（地球探测与信息技术专业论文）弹性波有限差分数值模拟及井间地震逆时偏移成像研究.pdf

摘要 传统的地面地震勘探技术，在解决构造精细成像、储层精细描述、油藏动态监测以 及剩余油气预测等问题时，已经满足不了现代石油勘探开发的需要。井间地震技术在这 种背景下应运而生，它突破了传统的地面地震勘探技术，其分辨能力介于地面地震和测 井之间，是两项技术的结合与补充。井间地震数据通常采用三分量检波器接收，可以同 时观测到上行波场和下行波场，波场丰富而复杂，难以识别；其次，常规的叠加成像方 法难以满足井间地震高精度和高分辨率的要求。因此，论文就各向异性介质交错网格有 限差分数值模拟方法及井间地震逆时偏移成像技术做了较深入的研究和探索。 论文来源于国家科技重大专项“海上斜井井间地震资料处理方法研究子课题。论 文在推导了三维t t i 介质弹性系数张量矩阵之后，系统地推导了三维三分量t t i 介质速 度应力一阶微分方程组，探讨了二维二分量t t i 介质及i 介质的速度应力一阶微分 方程，详细探讨了二维二分量t t i 介质速度应力一阶微分方程任意阶时间和空间精度 的交错网格差分格式及其实现过程。论文编写的正演程序适用于二维各向同性、v t i 及 t t i 介质，可以实现任意二维复杂地质模型的波场正演。在边界上，论文采用完全匹配 层吸收边界条件，该吸收条件对边界反射有十分理想的吸收效果，是目前为止吸收效果 最好的边界条件。 逆时偏移主要包括两个部分，一是成像条件的计算，一是波场的逆时延拓。论文使 用激发时间成像条件，采用初至波旅行时非线性插值射线追踪方法进行计算，编写的非 线性插值程序适用于任意复杂各向同性介质；波场的逆时延拓采用速度应力一阶微分 方程交错网格有限差分方法进行计算，所编写的逆时偏移程序适用于二维各向同性、v t i 及t t i 介质，可以实现任意二维复杂地质模型全波场和单波场的逆时偏移成像。通过对 绕射点模型、水平层状模型、尖灭地层模型及井间断层模型直井和斜井观测方式的正演 模拟和逆时偏移成像，结果表明，成像方法实现正确、成像效果好、精度较高；通过对 实际井间( 直井) 地震资料的处理，取得了可信的成像结果，进一步验证了实现方法的 正确性和有效性。 关键词：交错网格，完全匹配层，非线性插值，逆时偏移 a b s t r a c t t h ec o n v e n t i o n a ls e i s m i ce x p l o r a t i o nh a v en o tm e e tt h er e q u i r e m e n t so fp e t r o l e u m p r o s p e c t i n gi nr e s o l v i n gt h es t r u c t u r ea c c u r a t ei m a g i n ga n dr e s e r v o i ra c c u r a t ed e s c r i p t i o na n d r e s e r v o i rd y n a m i cm o n i t o r i n ga n dp r e d i c t i o no fr e s i d u a lo i la n dg a sa n ds oo n ，c r o s s - h o l e s e i s m i ct e c h n o l o g ye m e r g e di nt h i sc o n t e x t ，i tb r e a k t h r o u g ht h el i m i t a t i o n so ft r a d i t i o n a l t e c h n o l o g ya n dm e t h o d s ，a n di t sr e s o l u t i o ni sb e t w e e nt h es u r f a c es e i s m i ca n dt h el o g g i n g ，i t i st h ec o m b i n a t i o na n da d d i t i o no fs u r f a c es e i s m i ca n dt h el o g g i n g c r o s s h o l es e i s m i cd a t a u s e dt or e c e i v et h r e e - c o m p o n e n tg e o p h o n e ，t h ew a v ef i e l do fu p g o i n ga n dd o w n g o i n gc a n b eo b s e r v e da tt h es a m et i m e ，a n di ti sr i c ha n dc o m p l e xa n dd i f f i c u l tt oi d e n t i f y ；s e c o n d l y , t h es t a c ko fc o n v e n t i o n a l i m a g i n g m e t h o d sc a nn o tm e e tt h e h i g h - p r e c i s i o n a n d l l i g h r e s o l u t i o n r a t e r e q u i r e m e n t s t h e r e f o r e ，t h e d i s s e r t a t i o no n s t a g g e r e dg r i d f i n i t e - d i f f e r e n c em o d e l i n gi n a n i s o t r o p i cm e d i u ma n dr e v e r s e - t i m em i g r a t i o ni nc r o s s - h o l e s e i s m i ct od oa ni n - d e p t hs t u d ya n de x p l o r a t i o n t h i sr e s e a r c hw a sf i n a n c i a ls u p p o r t e db yt h ek e yp r o j e c t “s t u d yo nc r o s s - h o l es e i s m i c d a t ap r o c e s s i n gm e t h o d sa b o u ti n c l i n e dw e l la ts e a ，f r o mt h en a t i o n a ls c i e n c ea n d t e c h n o l o g y f i r s t ，t h ep a p e rh a v e ad e r i v a t i o no ft h r e e - d i m e n s i o n a le l a s t i c i t yt e n s o rd i e l e c t r i c m a t r i x ，t h e nt h ed i s s e r t a t i o nh a v eas y s t e m a t i cd e r i v a t i o na b o u tt h e3 d 3 cf i r s t o r d e rc o u p l e d e l a s t i ce q u a t i o n so fp a r t i c l ev e l o c i t y - s t r e s so nt t im e d i u m ，a n dd i s c u s s e di nd e t a i lt h e2 d 2 c f i r s t o r d e rc o u p l e de l a s t i ce q u a t i o n so fp a r t i c l ev e l o c i t y - s t r e s sa n da n yo r d e ra c c u r a t et i m ea n d s p a c es t a g g e r e d g r i d f i n i t e - d i f f e r e n c es c h e m ea n di t s i m p l e m e n t a t i o np r o c e s s b yt h e p a p e r ，t h ep r o c e d u r e sa r ea p p l i c a b l et o2 di s o t r o p i ca n dv t i a n dt t im e d i a , a n di tc a l lb e a r b i t r a r i l ya n yc o m p l e x2 dg e o l o g i c a lm o d e lo ft h ew a v e f i e l df o r w a r d m o d e l i n g a tt h e b o r d e r , t h ep a p e ru s e dp e r f e c t l ym a t c h e dl a y e ra b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ea b s o r p t i o n o ft h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a v eav e r yg o o dr e f l e c t i o no ft h ea b s o r p t i o n ，a n di ti st h eb e s ts o f a ra b s o r b e dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s r e v e r s e t i m em i g r a t i o ni n c l u d e st w os t e p s ，o n ei st h ec a l c u l a t i o no fi m a g i n gc o n d i t i o n s ， o n eo ft h er e v e r s e t i m ee x t r a p o l a t i o no ft h ee l a s t i cf i e l d p a p e r su s eo fs h o t i n s t a n ti m a g i n g c o n d i t i o n ，w h i c hi sc o m p u t e db yn o n l i n e a ri n t e r p o l a t i o nr a y - t r a c i n gm e t h o d sf o rt h ef i r s t i i b r e a k ，b yt h em e t h o d ，t h ep r o c e d u r eo f t h en o n l i n e a ri n t e r p o l a t i o na p p l i e st oa n yc o m p l e x i s o t r o p i cm e d i a ；t h ee x t r a p o l a t i o n o fw a v ef i e l du s eo ff i r s t o r d e r v e l o c i t y - s t r e s s s t a g g e r e d 一鲥df i n i t e d i f f e r e n c em e t h o dt oc o m p u t i n g ，r e v e r s e t i m em i g r a t i o np r o c e s sb yt h e p a p e ra p p l i e dt o2 di s o t r o p i ca n dv t ia n dt t im e d i a , i tc a nb ea r b i t r a r i l ya n yc o m p l e x2 d g e o l o g i c a lm o d e lo ft h er e v e r s e - t i m em i g r a t i o ni m a g i n go ff u l l - - w a v ef i e l da n ds i n g l e w a v e f i e l d f u r t h e r m o r e ，t h ep a p e rm o d e lo ft h ed i f f r a c t i o np o i n tm o d e l ，h o r i z o n t a ll a y e r e dm o d e l ， a n n i h i l a t i o ns t r a t i g r a p h i cm o d e la n df a u l tm o d e lo fc r o s s h o l eb yd e v i a t e dw e l lo b s e r v m i o n w a yf o r w a r dm o d e l i n ga n dr e v e r s e t i m em i g r a t i o ni m a g i n g b yt h em o d e l i n g ，w ec a ns e e ，t h e m e t h o d si sa c c u r a t e ，i th a v eg o o di m a g eq u a l i t ya n dh i g hp r e c i s i o n ；b yt h ep r o c e s s i n go ft h e a c t u a le r o s s - h o l e ( v e r t i c a lw e l l ) s e i s m i cd a t a ，i to b t a i nac r e d i b l er e s u l t ，t of u r t h e rv e r i f yt h e c o r r e c t n e s so ft h ei m p l e m e n t a t i o na n de f f e c t i v e n e s s k e yw o r d s ：s t a g g e r e d - g r i d ，p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，n o n l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ， r e v e r s e - t i m em i g r a t i o n i i i 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文中不包含任何 未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 论文知识产权权属声明 年月日 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权 利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成 果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名： 盈 i - 年月日 撕) 年只牮日 长安大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题研究的意义及选题 随着石油天然气开采的深入，油田开采难度越来越大，采油成本不断上升，效果逐 渐变差，开采对象不再是层系间或小层间的潜力层，而是层内潜力段和井间剩余油。如 何采用先进技术，提高采收率，保证老油田的稳产，进一步发现新的含油气圈闭，延长 油田的开采寿命，已成为现代石油工业实现持续发展的关键。 传统的地震勘探技术由于受方法技术的局限，在解决构造精细成像、储层精细描述、 剩余油预测与探测以及油藏开发过程的动态监测等问题时，已经达不到现代石油勘探开 发的需要，井间地震技术在这种背景下应运而生，在方法技术上突破了传统勘探开发技 术的局限，其分辨率介于地面地震和测井之间，是两项技术的结合、拓展与补充。 井间地震技术的主要特点有： ( 1 ) 直接在勘探目的层附近采集，环境噪声较小，得到的信息比地面观测准确可靠： ( 2 ) 可直接得到深度域的数据，可直接给出时深关系； ( 3 ) 波场的传播避开了地表黄土或松散层的吸收衰减，从而可以采集到具有高带宽、 高分辨率的地震资料，提高了分辨能力； ( 4 ) 可同时接收到下行波场和上行波场，波场信息丰富； ( 5 ) 井间地震资料分辨率一般可达到地面地震资料分辨率的l o 倍左右，可以分辨约 1 o m 厚的薄层n 一1 。 ( 6 ) 与地面地震记录不同的是，井间地震反射波剖面无法记录到来自地下反射界面的 自激自收数据，往往会形成广角反射，这要求我们在采集阶段做好观测的设计工作，尽 量做到接收井段远远高于观测的目标地层，使反射角度不会超过临界角度。 可解决的问题： ( 1 ) 可以得到高精度的时深关系，为地面地震时深转化提供标准或依据； ( 2 ) 层序精细对比，构造精细解释，落实小的断层以及裂缝的发育情况； ( 3 ) 精细描述储层和隔夹层分布规律及变化特征； ( 4 ) 评价储层含流体性质及变化特征； ( 5 ) 预测注水前缘及剩余油气分布； ( 6 ) 油气藏开发过程的动态监测。 既然井间地震具有如此多的优点，可以解决如此精细复杂的问题，那么井间地震波 第一章绪论 场传播特点如何? 如何识别井间地震的波组特征? 如何获得井间地震高精度的成像剖 面? 基于此，论文主要对各向异性介质的交错网格有限差分数值模拟方法及井间地震逆 时偏移成像技术展开了较深入的研究。 1 2 课题现状及其发展趋势口一1 井间地震于1 9 1 7 年首次提出，最初的应用目的是确定矿体的位置与分布范围，随 后又在建筑工程领域作为检测方法使用，在6 0 年代末这种方法就已移植到油气勘探领 域。1 9 7 2 年，g e o p h y s i c s ) ) 杂志第一次报道了井间地震技术在油田上的试验情况，这 次试验使用的设备较为简陋，成像结果不好，未能引起有关方面的重视。 在国外，2 0 世纪8 0 年代初，美国石油界率先将层析成像技术移植到油气勘探开发 方面，提出了“井间地震 的基本原理与方法。1 9 8 9 年雪弗龙石油公司利用井间地震技 术已成功地监测油藏蒸汽驱前缘位置取得了较好的效果。8 0 年代末，美国的井间地震技 术投入实用，主要用于监测稠油层中蒸汽或c 0 2 前缘位置和油气运移方向，确定小构造、 小断层与砂岩体，研究储层横向连通性等。目前，美国的井问地震己进入稳步发展的阶 段，井间地震已从简单的二维逐步走向三维、四维( 时延井间地震) 。 国内，井间地震的理论研究与国外基本同步，但装备和技术服务滞后于国外。2 0 世纪8 0 年代中后期，一些大学与研究机构已开始井间地震的理论方法研究，其中以石 油大学为首的研究小组进行了射线理论与波动理论的层析研究，取得了许多成果。9 0 年代初期我国胜利、辽河等油田相继开展井间地震研究工作，1 9 9 4 年，胜利油田利用自 己研制的采集设备与处理软件在草桥油田稠油开发区进行了一对深井的井间地震采集 与处理工作，第一次取得了井间纵、横波速度层析剖面与井间纵、横反射波成像剖面。 2 0 0 0 2 0 0 2 年，中石油、中石化与美国t o m o s i e s 公司合作，进行了多角度、不同地域的 井间地震勘测工作，取得了一定成果。 中国西安弘传科技开发有限责任公司和长安大学自9 0 年代末以来一直致力于井中 地震装备和方法技术的研究，于2 0 0 6 年完成了井中地震装备的成品开发，先后在陕北 定边红柳沟沙三井、陕北南梁、大庆油田升平气田、大庆油田喇嘛甸油田等进行了直井 v s p 勘探和井间地震的勘测工作，其中资料采集和处理均采用国产设备和软件，取得了 丰富的试验和勘探成果，其中仪器装备完全达到商业化运作水准。 就能够解决的实际问题而言，目前国内外井间地震技术已具有如下的水平和能力： ( 1 ) 能够对井闻储层作高分辨率监测； ( 2 ) 分辨率可达到地面常规地震的1 0 倍或更大： 2 长安大学硕士学位论文 ( 3 ) 可得n - 维、三维和四维的井间储层信息； ( 4 ) 提供深度域的数据，可以直接与测井资料相对比，是井资料与地面地震资料结合 的桥梁； ( 5 ) 已形成一套完整的工作流程和技术系统，能提供商业性的服务。 就理论方法而言，井间地震数值模拟从射线理论发展到了弹性波动理论，从直井向 斜井数值模拟方向发展，从各向同性介质向双相介质、裂隙介质等复杂介质数值模拟方 向发展。成像方法从直射线c t 发展到弯曲射线c t ，从单一的透射波层析成像发展到透 射+ 反射井间层析成像方法( c c r t t ) 。目前井间地震和逆v s p 联合层析成像方法、衍射 c t 方法、散射c t 及波形c t 方法都有所发展。小波多尺度地震层析成像，井间地震多尺 度遗传进化层析成像也是目前正在研究的领域。井间地震反射波成像由常规的“c d p 叠加发展到波动方程逆时偏移成像，技术上由单波场偏移到全波场偏移成像，目前较为 有效的是全波场叠前深度逆时偏移成像技术。 如何提高图像分辨率和成像效果，仍是今后井间地震成像技术所研究的重点。分析 认为，引起图像分辨率偏低、成像效果不好的主要原因是：( 1 ) 有限观测角；( 2 ) 介质的 非均匀性和各向异性；( 3 ) 观测数据含有误差；( 4 ) 成像方法本身的缺陷( 如线性化、正则 化和弱散射近似等) 。因此，井间地震成像仍需从反演理论及方法、反演算法，野外施 工与数据采集等方面进行研究、改进，进而很好地解决上述几方面的问题，才能提高地 震成像的地质效果。目前，井问地震成像技术需要深入研究的主要内容有陆1 ： ( 1 ) 含噪声不完全投影数据的3 d 地震成像方法； ( 2 ) 复杂介质井间地震弹性波波场快速数值模拟方法； ( 3 ) 双相介质井间地震成像方法； ( 4 ) 各向异性介质井间地震成像方法； ( 5 ) 3 d 多波井间地震成像方法； ( 6 ) 矢量( - - 分量或多分量) 井间地震成像方法； ( 7 ) 四维( 对闯推移) 井间地震成像方法。 1 3 论文研究的主要目的 随着国民经济的快速发展，石油资源短缺状态比较严峻，供需矛盾日益加剧。从长 远看，除了通过勘探扩大石油储量之外，努力提高已开发油田采收率，充分利用可采石 油资源是一项势在必行且十分紧迫的任务。纵观美国近6 0 年来储量增长的状况，勘探发 现仅占很小一部分，大部分新增储量是开发调整和扩边获得的。我国应当不会例外。要 3 第一章绪论 使现有油田增储上产，就必须对油藏进行精细描述。这就为井间地震提供了广阔的发展 天地，使井间地震大有可能。 为了了解地震波在井间各向同性、各向异性及含油气等介质中的传播特性，了解地 震波在含油气地质模型中的波组特征，更好地认识井间地震波场，解决井间地震成像问 题，为地面地震解释提供可靠的判据，为精细构造解释、油藏精细描述以及油藏监测和 剩余油的寻找提供依据，论文就井间地震的关键方法技术之一即波场成像方法进行了较 深入的理论分析，对速度一应力一阶弹性波动方程高阶交错网格正演模拟及井间地震全 波场叠前深度逆时偏移成像方法进行了较深入的探讨和研究。 1 4 论文研究的主要内容及成果 1 4 1 主要研究内容 论文研究工作主要涉及到下述4 个方面的内容，其整体研究思路参见图1 。1 图1 1 论文研究的总体技术路线 ( 1 ) 波动方程数值模拟 弹性波场数值模拟是认识波场的一种有效手段，论文采用速度应力一阶微分方程 交错网格有限差分方法来实现弹性波场的正演数值模拟，考虑到v t i 介质和t t i 介质。 交错网格有限差分它在时间上和空间上的差分精度可以达到任意阶，其交错的意义在 于：在时间上和空间上交错的进行差分计算来达到波场计算的目的。 ( 2 ) 吸收边界条件 4 长安大学硕士学位论文 论文拟采用完全匹配层吸收边界条件来克服方程模拟和偏移中的边界问题。完全匹 配层( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ，a b p m l ) 吸收边界条件，它是在边界上引入吸收材料。 当电磁波进入p m l 中时，因波阻抗保持不变而无反射发生：当电磁波到达p m l 的最外层 时，其幅度近似衰减为零。微弱的反射波在此产生，反射波传播到计算域之前，又要经 过完全匹配层的再次衰减，这样进入计算域的反射波是十分微弱的。p m l 能做到与其相 接触的模型真正的匹配，并且只需很少的网格点数就能有效地衰减边界反射而不会对数 值模拟及偏移成像结果产生干扰，就目前来说它是一种吸收效果较好的吸收边界条件。 ( 3 ) 成像条件 常用的成像条件有零时刻成像条件和激发时间成像条件，论文使用激发时间成像条 件，考虑各向同性介质，采用初至波旅行时非线性插值射线追踪方法进行计算。非线性 插值射线追踪方法是一种快速、有效的波场近似计算方法，偏移成像、层析成像等地震 信号处理领域。 ( 4 ) 井间地震偏移成像 论文使用速度应力一阶微分方程交错网格有限差分逆时偏移方法对波场进行逆时 延拓成像。逆时偏移是一种应用有限差分求解波动方程实现波场延拓的方法，它不是深 度域外推，而是进行时间外推，求解弹性波方程，并且允许波向各个方向传播。这种方 法没有倾角限制，精度较高。它的计算方法正好与波动方程数值模拟的计算顺序相反， 它是以最大时间开始向最小时间计算。它完全遵循全波波动方程，是较为精确的一种偏 移方法。 1 4 2 主要研究成果 根据论文所涉及的研究内容，主要获得了以下成果： ( 1 ) 论文编写的模型离散化程序，可以对层状结构模型、孤立体模型及任意复杂地质 模型进行正方形或长方形离散化，为正演模拟提供了便利和基础； ( 2 ) 论文推导了t t i 介质弹性系数张量，系统地推导了t t i 介质三维三分量速度一应 力一阶微分方程组，给出了v t i 介质及t t i 介质的二维二分量速度应力一阶微分方程， 详细探讨了t t i 介质二维二分量速度应力一阶微分方程任意阶时间和空间精度的交错 网格差分格式及其实现过程。 ( 3 ) 论文详细探讨了完全匹配层吸收边界条件，系统推导了边界处的速度应力一阶 微分方程，并利用编写的程序对完全匹配层吸收边界作了正演试算研究，试算结果表明： 完全匹配层吸收边界条件具有较好的吸收效果。 5 第一章绪论 ( 4 ) 研发的正演模拟程序适用于各向同性、i 及t t i 介质，可以实现任意复杂地质 模型的二维二分量波场正演，可以实现地面观测方式、井间直井观测方式以及井间斜井 ( 共面) 观测方式的正演模拟，为井间地震特别是斜并波场的认识和识别提供了有力的工 具； ( 5 ) 研发的正演模拟程序可以同时输出水平分量记录、垂直分量记录、旋度波场和三 度波场以及相应的波场快照，为波场的认识和识别提供了有力的手段； ( 6 ) 利用研发的正演模拟程序对弹性参数进行了快照模拟，加深了对弹性波场的认 识；利用程序对绕射点模型、水平层状模型、断层模型及透镜体模型进行了正演计算， 对井间斜井观测方式进行了正演试算，试算结果表明，速度一应力一阶微分方程交错网 格有限差分数值模拟是一种十分有效的认识、识别波场的手段。 ( 7 ) 论文首先推导了球面波非线性插值公式，然后详细探讨了初至波旅行时非线性插 值射线追踪原理及实现过程，完成了程序研发，并利用编写的程序对井间倾斜地层，井 间尖灭地层，井间断层斜井观测方式作了试算研究，取得了较好的成果。 ( 8 ) 论文在详细推导了各向异性介质速度应力一阶弹性波动方程交错网格高阶差分 格式的基础上，给出了弹性波逆时传播的递推公式，并完成了逆时偏移程序的研发。该 程序适用于t t i 介质，可以对任意复杂模型进行二维二分量逆时偏移成像。 ( 9 ) 利用研发的逆时偏移程序对绕射点模型、水平层状模型、尖灭地层模型及井间断 层模型斜井观测方式进行了成像试算，试算结果表明，速度应力一阶微分方程交错网 格有限差分逆时偏移成像效果较好、精度较高。 ( 1 0 ) 利用研发的逆时偏移程序对实际资料进行了偏移成像，取得了较好的结果。 6 长安大学硕士学位论文 第二章各向异性介质及弹性波动理论基础 2 1 各向异性介质及弹性波动基本理论 2 2 1 广义胡克定律阳一1 弹性理论的一个基本点是假定应力和应变之间存在着单值的线性关系，即虎克定 律。在复杂应力状态下，一点处的应力状态由六个应力分量来描绘，与之相应的应变状 态则由六个应变分量来描绘。无论是对于各向同性体，还是各向异性体，在线弹性阶段 应力与应变之间仍成线性关系，如用应变来表示应力，则可把这个关系写成如下的函数 形式 c l 。 c l ： g ， c 2 。c 2 2c 2 ， c 3 。c ：g ， c 4 。c 4 2c 4 3 c 5 。c 5 ：c 5 ， c 6 。c 6 2 g 。c l ， q 。 巳g ，q 。 g 。c 3 ，g 。 c c 1 5c 惦 c 5 。c 5 ，c 5 。 氏 ( 2 1 ) 上述方程表达了应力与应变之间的关系，称为广义虎克定律。其中，( 2 1 ) 式中 c ：i f ( f ，j = 1 , 2 ，6 ) 称为弹性系数，共3 6 个，一般为x ，y ，z 的函数。但是，如果材料是均 匀的，那么物体内任一点发生同样的应力，则必发生同样的应变：反之，如果物体内任 一点发生同样的应变，则必发生同样的应力。所以，这时的弹性系数g ( f ，= 1 , 2 ，6 ) 应 与点的位置x ，y ，z 无关，而为一组常数，因此这时的c ：i ( f ，j = 1 , 2 ，6 ) 也称为弹性常数。 3 6 个弹性系数是对称的呻1 ，即g = c j , ( i ，j = 1 , 2 ，。，6 ) 。这样，实际上3 6 个弹性系数中只 有2 1 个是独立的。 2 1 2 各向异性介质分类体系及弹性系数 根据晶体矿物学中对晶体矿物的分类体系，1 9 8 9 年，c r a m p i n s 按地球介质中波动 的物理可实现的对称性，对弹性各向异性介质做出了相应的分类一川。 表2 1 各向异性介质分类表 晶族品系对称特性独立弹性系数个数矿物 低级 三斜品系无对称轴和对称面 2 l 斜长石 单斜品系有一个对称面1 3角闪石 晶族 斜方晶系有三个相互正交的对称面 9 橄榄石 中级 三方晶系i 有三个对称面和 晶族 一个= 次对称轴 6 电气石 7 n 炒 互 归 盟 秒 占 s 占s f 尉 刀 口 曙 童 吵办西如和砀锄 第二章各向异性介质及弹性波动理论基础 表2 1 各向异性介质分类表( 续) 晶族晶系对称特性独立弹性系数个数矿物 三方品系i i 有一个= 飧对称而7 钛铁矿 有五个对称面和 中级 四方晶系i6 锡石 一个四次对称轴 晶族 有一个对称面和 四方晶系i i 7 白钨矿 一个四次对称轴 六方晶系圆柱对称 6 b 一石英 高级 有九个对称面和 晶族 等轴晶系 3 石榴子石 四个三次对称轴 各向同性介质可以看成是对称性最高的介质，即有无穷个对称面和无穷次对称轴。 下面给出包含各向同性介质在内的上述各类介质在自然坐标系下的弹性系数矩阵。 三斜晶系单斜晶系 斜方晶系( 正交各向异性)三方晶系i c l lq 2c 1 3 0 q 2c 2 2c 2 3 0 q 3c 2 3c 3 3 0 000 c “ oo0o 0o00 三方晶系i i c 1 1c 1 2 q 2c 2 2 c 1 3c 1 3 c 1 4一c 1 4 q 5一e 1 5 o 0 q 4c 1 5 一c 1 4一q 5 oo c 4 4 0 0 q 5q 4 c 1 1c 1 2 q 2c 2 2 c d c 1 4 0 0 四方晶系i 8 q 3 c 1 3 c 3 3 0 o o q 4 一q 4 0 o o q 6 c 2 6 巳6 c 5 6 气 o o o o o o o 钆0 0 o ：j 乾 d d 巧 吃o o l 2 3 6 0 0 6 6 6 6 6 6印彩咖跏踟彩 5 5 5 5 5 5 仍彩以以以靠 印彩印纵印阳印彩印印印彩 2 2 2 2 2 2 历晚以“彩靠 。 o o o o o o o o 钆 3 3 3 o 0 0 3 4 i 0 0 o 0 0 0 0 0 o 0 o 0 o o o o o o o 0 o o o o o o 0 龟气0 o 0 l 2 气0 o o o 0 o 钆 3 3 3 气0 0 0 长安大学硕士学位论文 四方晶系i i 等轴晶系 c 1 1q 2q 2 c 1 2c 1 1q 2 c 1 2c 1 2 e111 000 ooo 000 0oo 0o0 oo0 c 4 4 00 0 c 4 4 0 00 c 4 4 六方晶系( 横向各向同性) c 1 1c t 2c 1 3 c 1 2c 2 2 c i 3 c dc 1 3 c 3 3 ooo ooo o00 ooo oo0 oo0 c 4 4 00 0 c 4 4 0 00 c 确 各向同性介质 q 1g 2 g 2 c t 2q 1 c 1 2 c 1 2c 1 2 c l l o0o o0o 00o 000 000 oo0 c 4 4 00 0 0 00 c 4 4 上述弹性系数矩阵中，对于三方晶系i 、三方晶系i i 和六方晶系介质有 c 6 6 = 华，对于各向同性介质有= 华。 二 二 2 1 3 常见的各向异性介质 我们对地球各向异性介质的研究主要分布于地壳与上地幔中，地壳中介质的各向异 性主要是由于定向裂隙和薄层引起的，上地幔的各向异性主要可能是由橄榄石和斜方石 类矿物定向排列引起的。 在地壳中主要有三类各向异性：由裂隙引起的裂隙诱导各向异性( e x t e n s i v e d i l a t a n c ya n i s o t r o p y , a b e d a ) 及由薄层引起的周期薄互层各向异性( p e r i o d i ct h i n l a y e r , a b p t l ) 。e d a 和p t l 介质常被称做横向各向同性( t r a n s v e r s ei s o t r o p y , a b t i ) 介质。 具有垂直对称轴的t i 介质( t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hav e r t i c a la x i so fs y m m e t r y ) 称为v t i 介质，具有水平对称轴的t i 介质( t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hah o r i z o n t a la x i so fs y m m e t r y ) 称为h t i 介质，h t i 介质可以看成是v t i 介质旋转9 0 。角得到的。具有倾斜对称轴的 t i 介质( t r a n s v e r s ei s o t r o p yw i t hat i l ta x i so f s y m m e t r y ) 称为r r r i 介质，t t i 介质可以看 成是由v t i 介质进行坐标旋转得到的。此外，如果薄层中发育有定向裂隙组，并且裂隙 面与薄层面正交，就会产生正交各向异性( o r t h o r h o m b i ca n i s o t r o p y ) ，也有人称之为 p t l + e d a 介质。以上三类各向异性介质岩层模型参见图2 。1 。 9 1 o o o o o o o o o o o o o 3 3 o 0 o 2 2 3；1 o o 叱 l 2 i 6 0 o 第= 口再向异性升质世弹性波自目论基 留圆圈 ( a j巾)( c j ( a ) p t l 介质、( b ) e d a 介质、沁) 止变舟质 图2 1 三种常见的各向异性舟质岩层模型 在地幔中，由于由橄榄石和斜方石属于斜方晶系，具有很强的正交各向异性，所以 上地幔多表现出正交各向异性。 2 1 4 弹性力学基本方程 弹性力学的基本方程分为三组：表示应变与位移关系的几何方程、表示应力与位移 关系的运动方程以及表示应力与应变关系的物态方程( 广义胡克定律) ，在笛卡儿坐标系 下，它们可e 上表示成如下形式： 几何方程( 应变与位移关系) 加1 f 舢却 l 气2 面靠2 j 【面+ 瓦 却1r 翻却 1 嘞5 瓦屯。j l 瓦+ 瓦 1加1r 加执 i 屯5 i 2 j 【瓦+ 瓦 运动方程( 麻力与位移关系) i 等+ 鲁+ 誓+ 正= ，等l 缸却 a =。1 a 孥+ 等+ 鲁+ = ，窘 l 缸印 曲叫西2 l 鲁+ 鲁+ 誓+ 正= ，拿l 缸却惫一a 长安大学硕士学位论文 c l 。g ：g ，c l 。 g 。g ：c m c 3 。g ：c 3 ，c 3 。 g 。巳 g c 5 ：g ，c 5 。 c 6 3 巳 c l ，c l 。 c 2 ，c 2 。 c 3 ，c 3 。 c 4 ， c 5 ，c 5 。 c 醪吒 ( 2 4 ) 其中q ，( 扣x ，y ，z ) 为正应力，t v ( i ，= x ，y ，z ，i _ ，) 为剪切应力，岛( 扛x ，y ，z ) 为正应变， 勺( f ，j - x ，y ，z ，i j ) 为剪切应变，f ( i = x ，y ，z ) 为外力分量，“，w 为质点位移在x ，y ，z 方 向上的分量，c ：i o ，j = 1 , 2 ，6 ) 称为弹性系数，式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 构成了任意不均匀及 任意各向异性完全弹性介质波动方程，一般均具有2 1 个独立弹性参数。 2 2 各向异性介质的弹性系数 本节首先介绍v t i 介质的弹性系数矩阵，然后通过矩阵旋转由v t i 介质推导出t t i 介质的弹性系数矩阵。 2 2 1v t i 介质的弹性系数 i 介质时具有一个垂直对称轴的横向各向同性介质，令垂直对称轴平行于z 轴， x y 平面为横向各向同性面，在这种情况下v t i 介质的应力一应变关系 羽有如下形式： 其中2 = c l 。- c , ：，c 1 。= e ：此时，只有5 个独立的弹性参数。 ( 2 5 ) 2 2 2t t i 介质的弹性系数矩阵 t t i 介质的弹性系数矩阵是通过对v t i 介质的弹性系数矩阵坐标旋转得到的。在 t t i 介质中，对称轴是任意的，弹性系数矩阵不再像v t i 介质这样简单，而是依赖于对 称轴方向。如图2 2 ( a ) 所示，假设，在x ，y ，z 坐标观测系统中，有一v t i 介质其坐标系 统为工，y ，z ，它与原始坐标系z ，y ，z - 的位置关系可以用各向同性面的倾向角0 和走向角 伊来确定。 在t y t , z 7 坐标系中介质的应力应变关系满足方程组( 2 5 ) 式。为了考察弹性波在 盯 拶 口 f 秒 g s 占 占 占 占 盯 一 召 曙 耳 吵 办办如伽锄锄 曩 荔 弦 搿 矽 s 占f s s 占 6 0 o o 0 o 巴 2 4 o 0 o 0 g o 1 o o 0 e 0 0 2 q q g o o o q o o o q q q 0 0 0 k 第二章各向异性介质及弹性波动理论基础 x ，y ，z 坐标系中的传播特性，必须把弹性系数矩阵从t j ，：z 7 坐标系统旋转到x ，y ，z 坐标 第一步绕y 轴旋转口角，把，一y 7 旋转到工一j ，平面上，旋转矩阵为： 4 = 医 仁6 ， 第二步绕z 轴旋转9 0 。一9 角，把x ，y 分别旋转到x ，y 轴上，旋转矩阵为： 4 = 黟剐 亿7 ， 因此，x , y r , g 旋转到而y ，z 坐标系统的旋转矩阵为： 州4 = 睢割 其中= c o s o s i n 缈，肌l = e o s q ，甩l = s i n o s i n 缈，乞= 一e o s o e o s q ，m 2 = s i n p ( a ) a r l 介质几何关系 假定 j 矿 八j | r - _t 、y 。j 一 ( b ) 绕z 轴的坐标旋转关系( c ) 绕y 轴的坐标旋转关系 图2 2t 1 i 介质几何关系及坐标旋转示意图 知，= 芝2 l y x 兰 但，= 医耋芝 1 2 ( 2 9 a ) 长安大学硕士学位论文 为五y ，z 坐标系中的应力和应变张量； 细 = 吱 盯 吃 7 0 吒 e = f 矗艺 匡乏乏 ( 2 9 b ) 为x ，y ，z 坐标系中的应力和应变张量。其中勺= 靠，略- - - z ，= ， = s ；( f ，= 工，y ，z ，i ) 。 【 = k k 仃抄f 弦f 可r e 】= k 勃j r o ，】= b 二略盯二f 二哆】r e 】= k 二s s 二s ；：二砖r ( 2 1 0 ) 式为x , y ，z 坐标系和x 7 ，y ，z 坐标系中的应力和应变张量的向量形式。 根据张量旋转规则嘲( 或一点应力状态的柯什公式) ，有： 舾 = 彳加扣r e ) - a e 扣r 联合( 2 8