（概率论与数理统计专业论文）有序变量模型的相依结构.pdf

摘要 摘要 统计相依理论在应用概率、统计、可靠性理论、生存分析等领域都有着广泛的应用 本文主要致力于研究有序变量模型中两个相邻有序变量任意函数的协方差非负性，通常 次序统计量般间隔向量的相依结构，以及具有某种对称分布的随机向量的相依结构 首先，我们用_ 般性的方法研究了相邻两个有序变量任意函数的协方差非负性问题， 得到了几个结构性定理作为结构性定理的应用，我们分别讨论了一些常见的有序变量 模型这些有序变量模型包括，延迟记录值、连续和离散暖一球次序统计量、混合p o i s s o n 过程事件的发生时刻、广义次序统计量，离散弱记录值、修正的几何过程事件发生时刻、 相伴记录值与相伴次序统计量所得结果推广了q i ( 1 9 9 4 ) 和n a g a l r a j a & n e v z o r o v ( 1 9 9 6 ) 分别关于通常次序统计量和通常记录值的相应结果 其次，对于独立同分布样本一般间隔向量的相依结构进行研究，探讨了其满足m t p 2 正相依以及s m r ，r 2 负相依性的条件，并对两样本次序统计量间隔向量建立了多维似然 比序对于独立但不必同分布样本的次序统计量，讨论了其相依结构，推广了文献d u b h h i & h 耗g s t r 6 m ( 2 0 0 7 ) 和h u c h e n ( 2 0 0 8 ) 中的主要结果 最后，研究了一族对称分布的相依性质我们给出了服从此对称分布的随机向量满 足m t p 2 的条件，以及两样本情形下满足多维似然比序的条件，并讨论了此分布下相邻 次序统计量任意函数的协方差非负性 关键词：次序统计量；间隔；延迟记录值；弱记录值；z 毳一球次序统计量；广义次序统计量； 相伴次序统计量；相伴记录值；多维似然比序；通常多维随机序；m t p 2 ；s m r r 2 a b s t r a c t a b s t r a c t d e d e n d e n c es t r u c t u r e so fo r d e rs t a t i s t i c sa r eb e c o m i n gi n c r e a s i n g l yi m p o r t a n ti np r o b a - b i l i t y s t a t i s t i c s ，r e l i a b i l i t yt h e o ms u r v i v a la n a l y s i sa i l do t h e rf i e l d s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h e n o n n e g a t i v i t yo fc o v a r i a n c e so ff u n c t i o n so ft w oa d j a c e n to r d e r e d o r d e r e dr a n d o mv 甜i a b l 砖，a n d t h ed e p e n d e n c ep r o p e r t i e sd fg e n e r a ls p a c i n gv e c t o ro fo r d i n a r yo r d e rs t a t i s t i c s d e p e n d e n c e s t r u c t u r eo fac l a s so fs y m m e t r i cd i s t r i b u t i o n si sa l s oc o n s i d e r e d f i r s t l y w bi i l v e s t i g a t ec o n d i t i o n sb yau n i f i e dm e t h o dn n d e rw h i c ht h ec o v a l r i a n c e s6 f f u n c t i o n so ft w oa d j a c e n to r d e r e dr a n d o mv 缸i a b l e sa r en o n n e g a t i v e s e v e r a lm a i ns t r u c t u r a l r e s u l t sa 蜃ep r e s e n t e da n dt h e na t ea p p l i e dt os e v e r a lk i n d so fo r d e r e dr a n d o mv a r i a b l e ，s u c h 勰d e l a y e dr e c o r dv a l u e s ，c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e 叁一s p h e r i c a lo r d e rs t a t i s t i c s ，e p o c ht i m e so f m i ) ( e dp o i s s o np r o c e s s e s ，g e n e r a l i z e do r d e rs t a t i s t i c s ，d i s c r e t ew e a ：kr e c o r dv a l u e s ，a n d 印o c h t i m e so fn l o d i f i e dg e o m e t r i cp r o c e s s e s ，c o n c o m i t a n t so fo r d e rs t a t i s t i c sa n dr e c o r dv a l u e s t h e s e a p p l i c a t i o i l se x t e n dt h em a i nr e s u l t sf 曲o r d i n a r yo r d e rs t a t i s t i c si nq i ( 1 9 9 4 ) a i l df 曲u s u a l r e c o r dv a l u e si nn a g a r a j aa n dn e v z o r o v ( 1 9 9 6 ) s e c o n d l y f o ro r d e rs t a t i s t i c so fi n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s ，t h e m t p 2a i l ds t r o n 分m r r 2p r o p e r t i e so fg e n e r a ls p a c i n gv e c t o r sc o r r e s p o n d i n gt oo n er a n d o m s 锄p l e 盯ec o n s i d e r e d w 舀a l s oi n v e s t i g a t e t h em u l t i v 甜i a t el i k e l i h o o dr a t i oo r d c r i n g sb e t w e e ng e n e r a ls p a c i n gv e c t o r sf r o mt w os a r n p l e s f b ro r d e rs t a t i s t i c so fi n d e p e n d e n tb u tn o n i d e n t i c 出l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s ，w ed i s c u s sc o n d i t i o n a lo r d e r i n g so fo r d e rs t a t i s t i c s ， e x t e n d i n gt h em a i nr e s u l t si nd u b h a s h ia n dh 铝g s t r 6 m ( 2 0 0 7 ) ，a n dh ua n dc h e n ( 2 0 0 8 ) f i n a l l y d e p e n d e n c es t r u c t u r eo fac l a s so fs y m m e t r i cd i s t r i b u t i o n si sc o n s i d e r e d w e i n v e s t i g a t ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h eu n d e r l y i n gr a n d o mv a r i a b l e sa r em t p 2 ，a n dt h em u l t i v a r i a t el i l 【e l i h o o dr a t i oo r d e r i n gb e t w e e nt 、v os 锄p l e sc a nb eo b t a i n e d w 6a l s oe s t a b l i s h t h en o n n e g a t i v i t yo ft h ec a v a r i a n c eb e t w e e nf u n c t i o n so ft w oa d j a c e n to r d e rs t a t i s t i c so ft h e u n d e r l y i n gr a n d o mv 缸i a b l e s k e y w o r d s ：o r d e rs t a t i s t i c s ；s p a c i i l ：酗；d e l a y e dr e c o r dv a l u 船，w b a kr e c o r dv a l u e s ；蠹s p h e r i c a l l o r d e rs t a t i 8 t i c s ，g e r l e r a l i z e do r d e rs t a t i s t i c s ；c o n c o m i t a n to fo r i l e rs t a t i s t i c s ；c o n c o m i t a n to f r e c o r dv 越u ：m u l t i v a r i a t el i l 【e l i h o o dr a t i oo r d e r ；m u l t i v 骶i a t eu s u 龃s t o c h a s t i co r d e r ；m t p 2 ； s m r 】屯 i i i 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：塑燃 z o n 孑年厂月孑。日 嘲厶忠 p 瑚多3 0 第一章绪论 第一章绪论 统计相依包括三个方面的概念：相依性概念、相依序和相依度量相依性概念包 括正相依和负相依简单来讲，随机向量或其分布称为具有正相依性，是因为所有的变 量同时趋向于取较大值( 或较小值) 而如果一个随机向量任意子向量取较大值，其余的 变量却倾向于取较小值，则称此随机向量为负相依相依序为通过比较两随机向量间的 相依程度而建立的偏序关系当我f 了称两随机变量之间存在相依序时，总是假定这两个 随机向量有相同的一维边际分布这是我们研究的基本出发点以相依序的观点来看， 当一随机向量满足某种相依性时，是指此随机向量与一分量独立的随机向量之间存在 相依序关系刻画随机向量各分量间的相依程度的数值即为相依度量，常用的二元分布 的相依度量包括p e a r s o n 相关系数，k e n d a u7 - 、s p e a r m a np 等统计相依的研究始于上 个世纪6 0 年代，到目前已经在统计理论和统计应用两方面都取得到了大量的结果这 个研究领域的开山之作包括l e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 关于象限相依( o r t h a n td e p e n d e n c e ) 的基础 性工作，e s a r y p r o s c h a n & w 址u p ( 1 9 6 7 ) 关于正相协( 嬲s o c i a t i o n ) 的研究，m a u r s h a l l o l k i n ( 1 9 6 7 ) 关于多元分布模型的工作，以及y 觚a g i m o t o & o l c a m o t o ( 1 9 6 9 ) 关于正象限 相依( p o s i t i v eq u a d r a n td e p e n d e n c e ) 和回归相依序的研究有关这方面研究的文献可参考 k a r l i n 础n o t t ( 1 9 8 0 a ，b ) ，r i n o t t & p o u a k ( 1 9 8 0 ) ，b l o c k t i n g ( 1 9 8 1 ) ，l e e ( 1 9 8 5 ) ，s h a k e d s h a n t h i k u m a r ( 1 9 9 4 ) ，s z e k l i ( 1 9 9 5 ) ，j o e ( 1 9 9 7 ) ，l i n d q v i s t ( 1 9 8 8 ) ，7 i b n g ( 1 9 8 9 ，1 9 9 0 ) ，d r o u e t k o t z ( 2 0 0 1 ) ，m n l l e r s c a r s i n i ( 2 0 0 1 ) ，m 证l l e r s t o y a n ( 2 0 0 2 ) ，和d e i m i te t 越( 2 0 0 5 ) 有序变量模型是指模型中所涉及的诸随机变量序列( 有限或无限) 按取值由小到大 或由大到小自然排列有序变量模型非常广泛，例如，统计学中的一组随机变量的次序 统计量、极值统计中一族随机变量序列的前n 个记录值、可靠性中进行寿命检测时依次 记录的元件失效时刻、记数过程前n 个事件发生时刻，等等有序变量模型在许多学科 中都有着广泛的应用( 见a h a n s u l i a h & r a q a b ，2 0 0 6 ；a r n o l de ta 1 ，1 9 9 8 ；b a l a k r i 8 h n a n a g g a r w a l a ，2 0 0 0 ；b a l l a k r i s h n a n m ，1 9 9 8 a ，b ；d a v i d & n a g a r a j a ，2 0 0 3 ) 次序统计量在统计的很多领域具有重要意义，其性质已经得到众多学者的关注与研 究在可靠性理论中经常用到七n 系统，所谓尼n 系统，是指一个由n 个元件组成的系 统，系统工作当且仅当至少七个元件正常工作后加系统的寿命正好对应于佗个元件 墨二茎堡堡 - _ - _ _ - _ _ - _ - _ _ - _ - _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ - _ _ - _ _ - - - _ _ _ _ _ _ _ - - - - - 。_ _ _ 。_ 。- 。_ i - 。- _ - _ _ _ - 。- 。_ 。_ 。1 。1 。1 1 。1 1 一 寿命变量的第佗一七十1 个次序统计量研究次序统计量的相依结构便成为众多学者感 兴趣的课题对于次序统计量及其间隔的相依结构的研究，有关文献有k a r l i n & r i n o t t ( 1 9 8 0 a ) ，b a r l o w & p r 0 8 c h a n ( 1 9 8 1 ) ，k i ma n dd a v i d ( 1 9 9 0 ) ，b o l a n de t 越( 1 9 9 6 ) ，k h a l l e d i k o c h a r ( 2 0 0 0 ) ，h u z h u ( 2 0 0 3 ) ，a v 6 r o u se t a 1 ( 2 0 0 5 ) ，h u ) 【i e ( 2 0 0 6 ) ，d u b h a s h i h 茜雩黟t r 6 m ( 2 0 0 7 ) ，h u c h e n ( 2 0 0 8 ) ，l ie ta 1 ( 2 0 0 8 ) 本文我们致力于研究包含通常次序统计量在内的更为广泛的有序变量模型的相依 结构本章内容安排如下：1 1 介绍常用的几个随机序；1 2 介绍几个相依性概念；1 3 给 出全文的章节安排及其主要内容 。 为行文方便，在整篇文章中我们作出如下约定： r + = 【0 ，+ ) ，n + = ，则记x ，= ( 咒，冠j 对任意 x 舻，类似定义x ，有时x ，也记为( 鼢) t ， 1 1 常用的几个随机序 随机序为一类特殊的偏序关系，首先我们先回忆一下偏序的定义 一2 一 第一章绪论 定义1 1 1 定义于集合疋上的一个二元关系! 称为偏序，若其满足以下三个条件? ( 1 ) 自反性? 对任意元素z 彤，有z5z i ( 2 ) 传递性：对任意z ，z z ，若z5 秒且可5z ，则z 墨z j ( 3 ) 反对称性：对任意z ，剪彤，若。! y ，管5z ，则z = 矽 当集合石是所有取实数值的随机变量的分布函数所构成的集合( 或适当的子集) 时， z 上所定义的偏序就称为随机序通常，我们并不严格区分是分布函数之间的序关系还 是与其相对应的随机变量之间的序关系，因此为了方便起见，我们在整篇文章中总是约 定：若随机变量x 和y 的分布函数分别为f 和g ，记号f ! g 与x ! y 可以视具体情 况相互替代，二者并不作严格区分但是，值得注意的是，由于不同的随机变量可能对应 相同的分布，因此，关系墨作为分布之间的关系时具有反对称性，但作为随机变量之间的 关系时并不具有反对称性 比较两个随机变量的最简单的方法为比较其数字特征( 如均值、方差等) ，然而有时 这些数字特征并不存在，而且所能提供的信息有限为了获得更多信息，很多随机序概 念相继产生，现在我们给出几个用以比较随机变量( 向量) 取值大小的一维和多维随机序 的概念( 有关随机序理论与应用可参见s h a k e d s h a n t h i k u m a u r ，2 0 0 7 ；m d l l e r & s t o ) r 蚰， 2 0 0 2 ) 定义1 1 2 设x 和y 是两个随机变量，分布函数分别为f 和g ，我们称 ( 1 ) x 在通常随机序意义下小于y ，记为x 。ty ，若对任取t 驼，f ( t ) 虿( t ) ，或者 等价地，对任意递增函数，e 眇( x ) l e 眇( y ) 1 ； ( 2 ) x 在失效率序意义下小于y ，记为x 0 ) 第一章绪论 州t ) 二器吲z ：即) o ) 若x 和y 皆有失效率函数a x ( ) 和h ( ) ，则x h ，y 等价于 a j r ( t ) a y ( t ) ，v 刃：f ( z ) o ) 定义1 i 2 中四种序之间的关系如下： x l ry ；毒x h ry 口u x r hy = 专x 8 ty 定义1 1 3 设x = ( x l ，) 和y = ( m ，k ) 为n 维随机向量 ( 1 ) 若对任意单调增函数圣：舻_ 既均有 e 【圣( x ) 1 e 【雪( y ) 1 ， 则称x 在多维通常随机序意义下小于y ，记为x 8 ty ( 2 ) 若x 和y 分别具有密度函数a 和厅，且 ，x ( x ) ，y ( y ) ，x ( x y ) ，y ( x v y ) ， v x ，y r n 其中x y = l 1 ，z n 鼽) ，x v y = lv 1 ，z nv ) ，则称x 在多维似然 比序意义下小于y ，记为x i ，y 。 多维随机序也有类似于一维随机序的强弱关系； x l ry = 专x 冬s t y 另夕卜多维i ，有如下性质 x l ，y = 垮咒l ，k ，t = l ，竹 ( 1 1 1 ) 有时直接验证恐i rx 比较困难，但是验证x i ，y 却很容易，所以( 1 1 1 ) 提供了建立 置l ，k 关系的一个有效方法 一4 一 第一章绪论 1 2 几个相依性概念 1 2 1 二维相依性概念 我们先介绍一些二元正相依概念为此先给出t p 2 和r r 2 函数的定义( k 盯l i n ，1 9 6 8 ) 设彤和y 为r 的两个子集，称个二元非负函数西：z y _ r + 关于( z ，可) z y 为 t p 2 ( t o t a l l yp o s i t i v eo fo r d e r2 ) 的，若对任意z l ，z 2 疋，剪1 ，可2 y 且z 1 z 2 ，妙1 ! ，2 ，咖 满足 砂( z 1 ，可1 ) 妒( z 2 ，3 2 ) ( z 1 ，：2 ) ( z 2 ，暑，1 ) 若上不等式反向，则称咖关于( z ，3 ，) z y 为r 磁( v e r s er e g u l 8 ro fo r d e r2 ) 的 定义1 2 4 ( b n r ? o t t ，p r d s c 口元，1 9 8 1 )设和y 是两个随机变量 ( 1 ) 称v 和y 是t p 2 的，记为t p 2 ( 阢y ) ，如果u 和y 具有t p 2 的联合概率密度或 概率质量函数，( u ，”) j ( 2 ) 称u 关于y 随机单调递增( s t o c h a s t i c a l l yi n c r e a s i n g ) ，记为s i ( u i y ) ，如果对任意 1 l 瓣，p ( u u i y = t ，) 关于u 单调递增j ( 3 ) 称u 关于y 右尾单调递增( r i g h t 瞰li n c r e 嬲i n g ) ，记为r t i ( u i y ) ，如果对任意 u 跄，p ( u u l y u ) 关于 单调递增j ( 4 ) 称u 关于y 左尾单调递减( l e f tt a i ld e c r e a s i n g ) ，记为l i t d ( u i y ) ，如果对任意 t 跄，p ( u t i y u ) 关于单调递减， ( 5 ) u 和y 为正相协( p 0 8 i t i 诡l ya s s o c i a t e d ) ，记为p a ( y ) ，若对任意单调增函数，和 9 ， c o v ( ，( 以y ) ，9 ( 仉y ) ) 0 ； ( 6 ) u 和y 为正象限相依( p o s i t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n t ) ，记为p q d ( 阢y ) ，如果对所 有u 和u ，有下述不等式成立? p ( t ，y t ，) p ( u u ) p ( y t ，) 命题1 2 1 ( b 州d 伽& p m 3 c 帆，1 9 8 l ；咖，1 9 9 9 j 如e ，1 9 9 7 ) t p 2 ( 阢y ) = 专s i ( u i y ) = 今r t i ( i y ) = 净p a ( 以y ) = 专p q d ( y ) 当= f 巴其中的r t i ( l y ) 换为朋、d ( u i y ) 时，牡关系仍然成立 一5 一 第一章绪论 上述二维正相依概念之间有如下图1 1 所示的蕴涵关系，其中，( 阢y ) 表示随机变量 u 和y 相互独立， i ( 阢y ) t p 2 ( 阢y ) s i ( y i c ，)s i ( c ，i y ) l t d ( y i u ) r t i ( y i u ) r t i ( 【，i y ) i d ( u i y ) ， o 蕴涵妒( u ) 妒( v ) o ，其中u ，v 满足x y u ，v xvy ， 一6 一 第一章绪论 i ( 阢y ) i r 】( y ) s d ( y l u ) s d ( u i y ) l t i ( y i u ) r t d ( y i u ) r t d ( u i y ) i j t i ( u i y ) 。 n a ( 以y ) 1 1 n q d ( 以y ) 图1 2 二维负相依概念之间的关系 m t p 2 和两两t p 2 性质才是等价的 下面给出三个常见的多维正相依性概念 定义1 2 5 称随机向量x = ( x l ，) 为 ( 1 ) m t p 2 ，如果其概率密度函数或概率质量函数，存在且是一个m t p 2 函数( 见化n r 打l 口t z ，1 9 8 0 a ) j ( 2 ) c i s ( c o n d i t i o n 甜l yi n c r e a s i n gi ns e q u e n c e ) ，如果对任意的t = 2 ，n ， p ( 五 z i i x l = z l ，托一l = z t 1 ) 关于 l ，黝一1 ) 单调递增( 见b 口r f d 埘p r d s c 口n ，1 9 8 1 ) j ( 3 ) p a ( p o s i t i 、，e l ya s s o c i a t e d ) ，若对于任意单调递增函数妒：g p 一泥和妒：掰。一乳，有 e 渺( x 瑚( x ) 1 e 渺( x ) 】e 眇( x ) l ( 见互沽n 糟耐口z ，1 9 6 7 ) 上述几个正相依概念有如下的关系( 可参见b 缸k 聊p r 0 8 c h a n ，1 9 8 l ；m i l l l e r s t o y a n ，2 0 0 2 ) ： m t p 2 = 净c i s = 号p a ， 一7 一 第一章绪论 x 的p a 性质蕴涵 m t p 2 有许多好的性质我们列出其中的几条； 若，( x ) 和夕( y ) 均为m t p 2 ，则，( x ) 9 ( y ) 为m t p 2 若，( x ) 是m t p 2 ，则 vx r n 。 vx r n 9 ( x ) = ，( 6 1 ( z 1 ) ，6 2 2 ) ，k ( z n ) ) n 口t ( 戤) = 1 、 也为m t p 2 ，此处每个n t ( 翰) 都是非负的，7 每个6 i ( z ) 都是单调递增( 或单调递减) 若x = ( x 1 ，) 为m t p 2 ，则x ，= ( 五五。) 也是m t p 2 ，其中，= 0 l ，让) c 1 ，竹) ，l 一 住 n 1 1 i l l i _ 口_ 茁 z 一 噩 五 p p 第一章绪论 定义1 2 6 设x 为n 维m r r 2 随机向量，其概率密度函数为，p = p l o p 2 9 o p 为盯有限测度p l ，脚的乘积测度，其中n 3 假设，对任意屉 l ，n 一2 ，及两 两不同的j 1 ，如 1 ，n ) ，以及任意p f 2 函数妒l ，愀，若使得积分 九( ( 州1 ，n 协， j k ) ) = - z 。垂纵) ，( ，z n ) 础“叼1 ) 一砒。( 吼) 在r n 一七上存在有限，且函数，i 关于变量( 甄) l ，n i m 。九) 为m r r 2 的，则称x 为 s m r r 垃 利用s m r r 2 可以得到很多有趣的概率不等式，我们只列出如下的两个结果，更多 的讨论见k a r l i n 磁n o t t ( 1 9 8 0 b ) 命题1 2 2 设x 为s m r 】，且妒1 ，妒n 为单调递增的p f 2 函数，则 e 咒，) e 五) ) e c 塞。毗，) 一 命题1 2 3 设x 为s - m r r 2 ，l ， 和 【( x 1 ：，尥：n ，玛：n jl 托：赢引，j 一1 m i n n m ，o ) ， 关于剪单调递增，并推广了文献d u b h a u s h i h 苞g g s t r 6 l i l ( 2 0 0 7 ) 和h u c h e n ( 2 0 0 8 ) 中的 主要结果 第五章中我们讨论了一族对称分布的相依性质具有该对称分布的n 维随机向量x 具有如下形式的概率密度函数 奴( x ) = 妒n ( 。受。滕) ，x r ，7 我们给出了x 为m t p 2 的充分必要条件，并建立x 对应的次序统计量函数的协方差非 负性 一1 0 一 第二章有序随机变量函数的协方差非负性 第二章有序随机变量函数的协方差非负性 本章我们将采用一个统一的方法来探讨使得相邻有序随机变量函数的协方差具有 非负性的条件这里所说的有序变量是指所涉及的随机变量的取值有大小关系，常见的 有序变量如通常次序统计量和随机过程中事件的发生时刻我们首先建立几个构造性定 理，然后将其应用于不同的有序变量模型中，例如，延迟记录值，连续或离散唾一球次序 统计量，混合p o i 船o n 过程的事件发生时刻，广义次序统计量，离散弱记录值，修正的几何 过程的发生时刻，相伴记录值与相伴次序统计量，等等本章实质性地推广了q i ( 1 9 9 4 ) 对 通常次序统计量以及n a g a r a j a n e v z o r o v ( 1 9 9 6 ) 对通常记录值所建立的相应结果 2 1 引言 设x 1 ，恐，为几个独立同分布的随机变量，共同的分布函数为f ，记x 1 ：n 恐：n ：n 为x l ，拖，对应的次序统计量b i c k e l ( 1 9 6 7 ) 以及e s 哪e ta j ( 1 9 6 7 ) 证明了任意两个次序统计量的协方差非负，并且对任意两个单调增函数夕：r _ r 和 ：r _ r ，满足 c o v 0 ( 置：n ) ，九( 玛： ) ) o ，幻= l ，n ， - ( 2 1 1 ) 其中假定9 和 满足e 【9 2 ( 五：n ) 】 o 。，e f 2 ( ：n ) 】 2 以及任意1 l 1 ，取函数 矿( z ) = f 2 ( z ) 一半f ( z ) ， 则c o v ( ( 五：n ) ，砂( 玛：。) ) o 事实上，记砂( z ) = z 2 一掣z ，设仉，独立同分布， 共同分布为【，( 0 ，1 ) ，利用( 阢：n ，：n ) 的联合密度函数 。j ( t t ，t ，) = i 丁：= _ i ，坟了- = 二 芝丽_ 一1 ( t ，一u ) 一t j ( 1 一u ) n j ，。 u t ， 拖( n ) ) ， n n + ， 则称 l ( 佗) ，n n + ) 为记录值发生时刻序列，称 托( n ) ，n n + 为通常记录值序列有关 记录值的研究和应用，可以参见a h s a n u l l a h ( 1 9 8 8 ，1 9 95 ) fa r n o l de ta 1 ( 1 9 9 8 ) n a g a r a j a n e v z o r o 、r ( 1 9 9 6 ) 对通常记录值建立了类似( 2 1 2 ) 的结论：若f 为连续函数，则 c o v ( 矿( x l ( n ) ) ，毋( 叉2 ( n + 1 ) ) ) o ， n n + ，( 2 1 3 ) 对所有使得协方差存在有限的实可测函数成立；对任意两个不相邻的记录值，( 2 1 3 ) 仍 然不成立，即对任意i ，j n + ，i t 一引2 ，一定存在一个函数咖，使得c o v ( ( k ( t ) ) ，( 托o ) ) ) o ， e 咖( 】屯o ) ) 】= p ( ) ，l o ) = n ) = p ( x l = 1 ，】，2 = 2 ，】弓= j ) o ， 因此，c o v ( 毋( 妩( ) ) ，咖( 耽o ) ) ) a l ，引入一个参数为a 3 = 2 a 2 一a l o 的指数随机变量z 3 ，且 磊独立于其它所有的随机变量令 j 一1 乃= 彤乃= + z ，歹= 2 ，3 ，4 t = 1 第二章有序随机变量函数的协方差非负性 不失一般性，设为绝对连续随机变量，其概率密度函数记为加，则( 乃，乃) 的联合 密度函数为 严r 1 。孔( t l ，t 2 ，t 3 ，t 4 ) = ，订( t 1 ) 入l a 2 入3 e a 3 “+ l 1 e 6 ( 。2 + 3 ) ， t 1 t 2 t 3 4 ， 其中6 = a 2 一a 1 从而可以得到对任意5 t ，【m ，码) i n = s ，乃= t 】的条件概率密度函 数为 e 6 ( 2 + t 3 ) 以 一 。现如3 z 如3 = 2 1 如，t ( 2 ) 蜘t ( t 3 ) ，s t 2 t 3 t ， 其中当6 o 时， ，、，：岛，s z 为一列正实数，c 为如下的正则化常数 c = l p 嘞 - l 、 6 加扣幻 j ：一 二 22 誓慨妙s t 2 蜓乱( 2 2 1 1 ) 【如，t ( t 2 ，幻) ， 5st 2 号3 t ， ”一7 其中 f 铆渺矿孙，s z = ! ，t ， 乳，t ( z ，秒) = i c j ，t j 霉+ v 一2 j ，s z 耖， ( z ，y ) 【文s + 1 ，t ) 2 ， l o ，其它， 是某两个可交换随机变量m ( 占，) 和k ( 岛t ) 的联合概率函数此处白t 为正则化常数 c 一，t = o s 。萎。一，6 i + j 一1 显然，( 2 2 1 1 ) 意味着条件( 2 2 1 ) 成立由引理2 2 1 ，( ( s ，t ) ，( s ，t ) ) 条件独立同分布，从 而为p f d 因此由注2 2 1 即可以得到预期结论 第二章有序随机变量函数的协方差非负性 其次，考虑( 1 一p 2 ) 2 = 1 一p l 的情形设丑，死和死同上定义，则【( 疋，死) l 孔= s 1 的 条件概率函数为 p ( 疋= t ：，死= t 。l 孔= 5 ，2l 主精，ss 幻t 3 类似前段讨论可以推出，条件( 2 2 6 ) 满足，而且( ( s ) ，( s ) ) 具有p f d 性质因此，由注 2 2 1 可得结论成立定理证毕- l 一 值得一提的是，对于离散型随机变量丑，乃，码，五，如果 p ( 乃 l 瞄n 1 ) ) ， n n + ， 磁n ) 即为磁。一1 ) 后第一个超过x 故n 1 ) 的五值；参见w e i h u ( 2 0 0 7 ) 之所以称为 “延迟 ，是因为直到观察到某值y ，记录值才会保留n e dg l i c k 和h 戤yj o e 教授在他们 多年前的一些注记中使用了“延迟记录值这一术语当y = f - 1 ( o ) 时，延迟记录值即 为通常的记录值在这种情况下，上标y 可以省略，记录值序列简记为( x l ( ，。) ，n n + ) ， 其中 f 一1 ( 缸) ：s u p zj f ) 让，7u 【0 ，1 ) 第二章有序随机变量函数的协方差非负性 为f 的右连续的逆函数延迟记录值 x 故n ) ，b n ) 也构成了一个m 越k o v 链，其转移概 率为 p ( 硝。一l 砀州，= z ) = 器，v z _ 1 - 他们的证明方法完全不同于上定理2 3 1 的证明方法，而且他们的证明方法中存在漏洞 2 3 2 连续p 毳- 球次序统计量 墓球次序统计量产生于可靠性中贝叶斯统计理论，见s p i z z i c h i n o ( 2 0 0 1 ，1 4 和4 3 ) 下面我们给出其定义称非负随机变量噩乃死为匿一球次序统计量，若其联 合密度函数为 饥舶，幻= 墓辽幻9 g n ( 2 3 m 其中妒为某个非负函数乃，死可以看作为可交换随机变量噩，拖，的次序统 计量，这里( x l ，) 的联合密度函数为 玩 ( 一n ) = 刍妒( 盟。甄) ，( 尚) 畦， 令 磊= 丑，忍= 噩一乃，磊= 写一一1 ， 则乃，死为睡球次序统计量当且仅当( z l ，z n ) 的密度函数有如下形式 玩础_ ( 砉磊) 心一加畔t = l 这里的扬“，z 。( z l ，) 称为s c h u r 常数( s p i z z i d 矗m ，2 0 0 1 ) s h a k e de t 越( 2 0 0 2 ，2 0 0 4 ) 研究了嚆球分布的基本性质，并利用非齐次纯生过程时 间的发生时间以及均匀次序统计量的性质，对匿一球分布进行刻画 定理2 3 2 设乃死死为睡球次序统计量，其概率密度函数的形式同 ( 2 3 1 ) ，则对于任意可测函数妒，有 c o