（控制理论与控制工程专业论文）量子系统可控性、状态分解及其最优控制的研究.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文摘要 摘要 量子系统控制作为一个新兴的交叉学科领域正蓬勃发展，本文主要从量子系统可控性、 幺正演化算符分解以及量子系统最优控制这三个方面分别进行研究。 量子系统可控性的研究是通过与量子系统数学模型相似的双线性系统的可控性入手，归 纳了双线性系统、矩阵系统和右不变系统的可控性定义以及可控性定理，指出它们的可控性 定理主要是根据李群、李代数的特性来判断，对比分析了不同系统的可控性之间的关系，并 获得右不变系统可控可以推导出双线性系统可控。以类似方法详细分析了目前存在的各种不 同的量子系统可控性概念和可控性定理，通过对比研究，指出有关量子系统可控性定理与双 线性系统可控性定理之间的对应关系，并揭示出每一种量子系统可控性定理的适用情况以及 量子系统不同可控性概念之问的相互关系。 幺正演化算符分解的研究是为了把复杂的期望幺正演化算符分解成简单算符因子的乘 积，从而把难以进行物理实现的算符转换成可进行物理实现的算符，进而实现量子系统的控 制目标。本文讨论了m a g n u s 分解，w e i - n o r m a n 分解，李群的一般分解以及c a f t a n 分解在 量子系统上的应用，并针对一些不足给出改进方法，实现了分解方法在量子系统实例上的计 算机数值仿真实验，并从控制角度把各参数对实验结果的影响进行了详细分析，在此基础上， 通过对各种分解方法的含义及其应用的对比研究来区别各种分解方法的特性，并总结出不同 分解方法所具有的特点和局限性，以及它们所适用的量子系统。 量子系统最优控制的研究首先是针对量子系统的特性总结出目前常见的几种性能指标： 时间最优，能量最优，幺正演化最优以及松弛最优，然后通过选择合适的性能指标，利用一 般最优控制、基于k r o t o v 方法的最优控制以及平均最优控制这三种方法来实现量子系统的 最优控制。针对一般最优控制设计方法所存在的问题，给出可以求解的改进方法，在此基础 上进行数值仿真实验，并对实验结果作了详细分析。基于k r o t o v 方法给出一种用于分析量 子系统的最优控制策略，并把获得的最优控制策略应用到具体的实例中进行数值仿真实验， 通过系统的仿真实验，对控制作用时间、幅值与控制效果之间的关系作了详细的分析。平均 最优控制是利用平均理论对量子系统进行简化得到平均系统，对平均系统利用经典的最优控 制理论进行控制场的设计，获得系统在能量达到最优情况下的控制场的解析解，避免了利用 迭代求解二值边界条件的常规求解方式，最后对量子系统的实例进行数值仿真实验，根据仿 真结果得到相关结论。 关键词：量子系统：幺正演化算符；系统可控性；李群；李代数；双线性系统；右不变 系统；m a g n u s 分解：w e i - n o r m a n 分解；李群的一般分解；c a r t a n 分解；最优控制；性能指 标：时间最优：能量最优；幺正演化最优：松弛最优；k r o t o v 方法；平均虽优 i i 中国科学技术大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t q u a n t u ms y s t e mc o n t r o l a sab r a n dn e wc r o s sa c a d e m i cf i e l di se m e r g i n gf a s t q u a n t u m s y s t e mc o n t r o l l a b i l i t y ，u n i t a r ye v o l u t i o no p e r a t o rd e c o m p o s i t i o na n dq u a n t u ms y s t e mo p t i m a l c o n t r o la r es t u d i e di nd e t a i l t h em o d e lo fq u a n t u ms y s t e ml i k e st h a to fb i l i n e a rs y s t e m ，a n dc o n t r o l l a b i l i t yo fb i l i n e a r s y s t e mi sf i r s ts t u d i e d t h e n ，c o n t r o l l a b i l i t yt h e o r e m sa n dc o n t r o l l a b i l i t yn o t i o n so f b i l i n e a rs y s t e m ， m a t r i xs y s t e ma n dr i g h t i n v a r i a n ts y s t e ma r es u m m a r i z e d c o n t r o l l a b i l i t yt h e o r e m so ft h e s e t h r e ed i f f e r e n ts y s t e m sa r e e s p e c i a l l ye m p h a s i z e db yu s i n gl i eg r o u p sa n d l i e a l g e b r a r e l a t i o n s h i p sa m o n gc o n t r o l l a b i l i t yo f d i f f e r e n ts y s t e m sa r ec o n t r a s t i v e t ya n a l y z e d ，a n dr e l a t i o no f c o n t r o l l a b i l i t yb e t w e e nr i g h t - i n v a r i a n ts y s t e m w i t hb i l i n e a r s y s t e m i so b t a i n e d d i f f e r e n t c o n t r o l l a b i l i t yt h e o r e m sa n dc o n t r o l l a b i l i t yn o t i o n so fq u a n t u ms y s t e m su s i n gs i m i l a rm e t h o da r e a n a l y z e di nd e t a i l c o r r e s p o n d i n gr e l a t i o n so fc o n t r o l l a b i l i t yb e t w e e nq u a n t u ms y s t e m sw i t h b i l i n e a rs y s t e m sa r ep o i n t e do u tb ym e a n so fc o m p a r i s o n ，a n de a c ht y p eo fc o n t r o l l a b i l i t ya p p l i e d t od i f f e r e n ts i t u a t i o n si sa l s og i v e n r e l a t i o n s h i p sa m o n gd i f f e r e n tn o t i o n so fc o n t r o l l a b i l i t yo f q u a n t u ms y s t e m sa r ee s t a b l i s h e d t h ep r o b l e mo fq u a n t u ms y s t e mc o n t r o lc a l lb et u r n e di n t ot h ep r o b l e mo fg e n e r a t i n gd e s i r e d u n i t a r ye v o l u t i o no p e r a t o r t h ed e s i r e do p e r a t o ri st o oc o m p l e xt od y n a m i c a l l yr e a l i z e t h u s ，t h e d e s i r e du n i t a r ye v o l u t i o no p e r a t o rc a nb ed e c o m p o s e di n t op r o d u c to fs i m p l ee x p o n e n t i a lf a c t o r s b yu s i n ga p p r o p r i a t ed e c o m p o s i t i o n ，a n dt h ee x p o n e n t i a lf a c t o r sa r ed y n a m i c a l l yr e a l i z e d m a g n u s d e c o m p o s i t i o n , w e i - n o r m a nd e c o m p o s i t i o n , l i eg r o u pd e c o m p o s i t i o n ，a n dc a r t a nd e c o m p o s i t i o n u s e di nq u a n t u ms y s t e m sa r eg i v e n ，a n ds o m ei m p r o v e dm e t h o d sb a s e do nt h ed e f i c i e n c i e so f d e c o m p o s i t i o n sa r ea l s og i v e n s i m u l a t i o n so fd e c o m p o s i t i o n su s e di n r e a lq u a n t u ms y s t e m e x a m p l e sa r ec a r r i e do u t a n dt h ei n f l u e n c eo fp a r a m e t e r so nt h es i m u l a t i o nt e s t r e s u l t sa r e a n a l y z e di nd e t a i l f i n a l l y , t h ec o n t e n t sa n da p p l i c a t i o n so fd i f f e r e n td e c o m p o s i t i o n sa r e c o n t r a s t i v e l ys t u d i e di nd e t a i l t h u s ，s p e c i a l t i e so fd i f f e r e n td e c o m p o s i t i o n sa r ep o i n t e do u t ，a n d e a c ht y p eo f d e c o m p o s i t i o na p p l i e dt od i f f e r e n ts i t u a t i o n si sa l s og i v e n t h ec o s tf u n c t i o n so fq u a n t u mo p t i m a lc o n t r o li na c t u a le x i s t e n c ea r es u m m a r i z e db yt h e s p e c i a l t i e so f q u a n t u ms y s t e m s ，a n dt h e ya r et i m eo p t i m a l ，e n e r g yo p t i m a l ，u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n o p t i m a la n dm l a x a t i o no p t i m a l t h e n ，t h ea p p r o p r i a t ec o s tf u n c t i o ni sc h o s e n t h eg e n e r a lo p t i m a l c o n t r o l ，t h eo p t i m a lc o n t r o lb a s e do nk r o t o vm e t h o da n da v e r a g i n go p t i m a lc o n t r o la r e r e s p e c t i v e l ya p p l i e dt o t h e q u a n t u ms y s t e m s ，s o t h ea i mo fq u a n t u m o p t i m a lc o n t r o l i s a c c o m p l i s h e d o w i n gt ot h ep r o b l e mo fg e n e r a lo p t i m a lc o n t r o ls c h e m e ，a ni m p r o v e ds c h e m ei s g i v e n t h e nt h ei m p r o v e ds c h e m ei su s e dt oar e a le x a m p l ea n dt h es i m u l a t i o nt e s tr e s u l t sa r e a n a l y z e di nd e t a i l af o r m a l i s mb a s e do nk r o t o vm e t h o di sd e v e l o p e dl e a d i n gt oan e ws c h e m e ， a n dt h eo p t i m a lc o n t r o ls c h e m ei su s e dt oaq u a n t u ms y s t e m t h er e l a t i o na m o n gt h ec o n t r o lt i m e ， i i i 中国科学技术大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ea m p l i t u d ea n dt h ec o n t r o le f f e c ta r ea n a l y z e di nd e t a i la c c o r d i n gt ot h es i m u l a t i o nt e s tr e s u l t s t h ea v e r a g e ds y s t e mi so b t a i n e db yu s i n go ft h ea v e r a g i n gt h e o r e mi nt h eq u a n t u ms y s t e m t h e c o n t r o lf i e l do fa v e r a g e ds y s t e mi sd e s i g n e db yc l a s s i c a lo p t i m a lc o n t r o lt h e o r e m ，t h e na n a l y t i c e x p r e s s i o nf o rt h ec o n t r o lf i e l di sa c q u i r e dw i t h i no p t i m a le n e r g y a sar e s u l t ，t h en o r m a li t e r a t i v e s o l u t i o no f at w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sa v o i d e db yt h eu s eo f a v e r a g i n go p t i m a lc o n t r 0 1 a tl a s t ，m o r e o v e r , t h em e t h o di su s e dt or e a lq u a n t u ms y s t e m s t h es o m ea n a l y s i sa r eg i v e n a c c o r d i n gt ot h es i m u l a t i o nt e s tr e s u l t s k e ! o , v o r d s ：q u a n t u ms y s t e m s ；u n i t a r ye v o l u t i o no p e r a t o r ；c o n t r o l l a b i l i t y ；l i ea l g e b r a ；l i e g r o u p s ；b i l i n e a rs y s t e m ；r i g h t - i n v a r i a n ts y s t e m ；m a g n u sd e c o m p o s i t i o n ；w e i - n o r m a n d e c o m p o s i t i o n ；l i eg r o u pd e c o m p o s i t i o n ；c a f t a nd e c o m p o s i t i o n ；o p t i m a lc o n t r o l ；c o s tf u n c t i o n ； t i m eo p t i m a l ；e n e r g yo p t i m a l ；u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o no p t i m a l ；r e l a x a t i o no p t i m a l ；k r o t o vm e t h o d ； a v e r a g i n go p t i m a l 中国科学技术大学硕士学位论文 致谢 值此论文完成之际，谨向给予我无私帮助的老师和同学们致以诚挚的谢意! 首先要特别感谢的是我的导师丛爽教授，感谢她在我整个研究生阶段给予我的悉心指导 和无私帮助，使我懂得如何做研究，从选定研究方向，到开展一项研究工作，再到如何阶段 性的总结自己的工作，以及最后完成论文写作，每个过程都倾注了丛老师的关怀和帮助；在 丛老师的悉心指导和帮助下，使我具备了研究工作能力，为将来的学习工作奠定了基础。丛 老师渊博的专业知识、严谨的治学态度以及不断创新的精神永远激励着我，使我受益终生。 感谢量子讨论小组的成员：匡森，楼越升，冯先勇等，在小组的讨论过程中使我学习到 了很多知识，并且也共同解决了很多问题，量子讨论小组的研究氛围促进了我的研究能力， 并且开拓了我的研究视野。 感谢实验室的梁艳阳，尚伟伟，刘宜，邓娟等同学曾经给予我研究上的帮助，同时感谢 实验室其他同学，感谢他们共同营造了一个良好的实验室研究氛围，也感谢他们和我一起度 过了这三年难忘的时光。 感谢我的家人，正是他们的关爱与支持才使得我有了不断前进的动力! 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 量子力学理论是2 0 世纪科学史上最重大的发现之一i j 】，其诞生深刻地改变了人类社会， 开辟了人类认识微观世界的道路，奠定了原子弹、核电技术等的理论基础。没有量子力学作 为工具，就不可能有化学、生物、医学、信息学以及其他每一个关键学科的引人入胜的进展。 在量子力学理论基础上所建立的量子物理、量子化学、量子计算机以及量子信息学等研究领 域的出现以及发展趋势必将对整个基础科学和工程科学带来一次巨大的变革【2 j 。而所有这些 新兴交叉学科所作的研究过程中，非常关键的一个步骤就是实现对量子态操纵，例如量子物 理的研究内容中包含原子层次上的物质态的操纵以及磁场的操纵等【l j ；量子化学的研究范围 包括稳定和不稳定分子的结构、性能，及其结构与性能之间的关系，分子与分子之间的相互 作用，分子与分子之间的相互碰撞和相互反应等问题p j ；量子计算机研究的内容则包括要实 现对量子系统的单个量子位或多个量子位的操纵以及物理实现等1 2 l p q 5 】；量子信息学研究的 内容主要是实现对量子信息的处理，由于量子信息学是采用量子态作为信息单元的，所以对 量子信息的处理在实质上是对量子态的操纵口j i “。因此，为了推动量子物理，量子化学以及 量子计算机和量子信息学的快速发展，一个全新的学科领域“量子系统控制”应运而生州。 所谓量子系统控制，简单的说就是包含所有相关的控制量子系统得到期望输出的各个方面。 从物理角度来说就是实现对量子态的操纵，所以也可以如b u c k s b a u m 教授所认为的1 7 j ：它是 “物理研究的一个新领域，它通过利用精细的控制( 目前主要是激光场) 操纵量子现象。量 子计算、慢光子、原子束及其类似的目标都属于这一新领域一量子控制”。 1 1 量子系统控制的发展及研究现状 量子系统控制课题从二十世纪八十年代提出到现在已经有二十余年的发展历程，最初只 有少数人参与研究，发展非常缓慢，其学术界反应寥寥，但是进入二十世纪九十年代，随着 量子计算机和量子通讯的飞速发展，越来越多的科研人员，包括物理学家，化学家，计算机 学家以及系统与控制学家等都加入到量子系统控制的研究领域，所以量子系统控制在试验和 理论上也取得了激动人心的进展。目前量子系统控制的研究内容主要包括量子位的制各与操 控、量子系统的可控性、量子系统的最优控制及其反馈控制、量子系统的测量、混合态系统 和纠缠态系统的控制以及量子系统仿真等h j 。根据本论文所要研究的内容，本节只对涉及到 的量子系统可控性，量子系统的幺正演化算符分解以及量子系统最优控制展开讨论，下面分 别对它们的发展以及研究现状作介绍。 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 1 量子系统可控性的发展及研究现状 在量子系统可控性问题的研究上，由于系统本身的复杂性，至今没有形成统一的可控性 理论。所以目前对于量子系统可控性的研究还主要集中在有限维的模型上，所采取的主要方 法是基于李群和李代数的理论。 最早提出量子系统可控性概念的是美国华盛顿大学的g a r n gm h u a n g 和tj t a m ，他 们于1 9 8 3 年6 月在j m a t h p h y s 中发表了名为“o n t h ec o n t r o l l a b i l i t yo f q u a n t u m m e c h a n i c a l s ”t e m s ”的论文【6 ，这也是已知的最早的关于量子系统控制的文章，该文在根据量子系统的 物理意义以及分析的方便情况下，状态空间是选择希尔波特空间中由范数定义为单位球s 。 的情况，此时状态空间为无限维的，因而量子系统从初态演化的流形也是无限维，通过n e l s o n 定理引入希尔波特空间的解析域对状态进行分析，此时的量子系统从初态演化的流形就变成 有限维，该方法的优点是：解析域在希尔波特空间是稠密的，而且解析域对算符是不变的， 解析域里量子系统方程的解可以用指数来全局表示，因此通过解析域来定义量子系统的解析 可控性，并获得了量子系统在一个特定的希尔伯特空间上的全局可控性的条件，此外对无限 维量子系统的可控性进行了一些数学上的分析，最后从大的方向上对量子系统的控制进行了 一些展望，并提出了几个关键性的问题。由于当时参与的人员比较少，量子系统的可控性研 究进展很缓慢，直到上个世纪九十年代末，随着越来越多的人员的参与，量子系统可控性的 研究成果也有了非常大的发展，特别是针对各种特殊情况下的有限维量子系统，所以目前许 多特殊情况下的量子系统可控性问题已经被解决。如连续光谱量子系统的可控性问题，双线 性量子系统波函数的可控性问题，分子系统的可控性问题，分布式系统的可控性问题，旋转 系统的可控性问题，n m r 分光器量子演化的可控性问题，紧致李群量子系统的可控性问题等 吲。此外，针对同样的有限维的量子系统，从不同的方面也进行了研究。例如在2 0 0 0 年左 右，a l b e r t i n i 和d a l e s s a n d r o 对有限维量子系统定义了算符可控性，纯态可控性，等价状态 可控性，密度矩阵可控性，并根据李群和李代数理论给出了各种可控性的判据条件【1 ”。同 时s c h i r m e r 等人根据动力李群和李代数的概念针对量子系统又提出一种量子系统的观测可 控性定义1 。【”1 ，并且针对相互作用的一级的量子系统还定义了量子系统完全可控性 1 1 2 l “】，从系统的本征值以及李代数理论角度给出了完全可控性的充要条件。所有以上特殊 量子系统所获的可控性判定定理以及可控性定义非常类似，其不同点主要是针对不同的物理 特性给出的定义不同而已。对于无限维量子系统可控性的研究并不像有限维量子系统那么成 熟，目前只有少数人运用一些新方法来研究无限维系统可控性或者把有限维方法推广到无限 维等【1 5 】【”1 ，这些都是对无限维量子系统可控性研究的有效尝试。如果量子系统不是可控的， 则量子系统在不可控时从初始态所能到达的集合具有什么特性成为今后研究的重点。以上所 提到的量子系统大多是纯态或混合态，没有涉及到纠缠态，对于纠缠态量子系统的可控性的 研究也是今后的发展趋势。 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 2 量子系统状态分解的发展及研究现状 控制一个量子系统的目标可以根据应用领域的不同而不同，从达到一个期望的系统演 化( 跟踪控制) ，到操纵系统从初始状态到目标状态( 状态控制) ，或达到最优的期望值或所 选择可观测系综的平均值( 最优控制) 。不过，从物理和技术实现的角度来看，每个控制 问题最终都可以归纳为这样的问题：对一个给定的量子系统，产生所期望的幺正演化算符。 一方面，幺正演化算符是满足薛定谔方程的，但由于描述量子系统的动力演化规律的薛定谔 方程通常是一个含时微分方程，一般情况下很难对其求解，所以有必要从数学领域寻找可以 用来分析量子系统方程的解的方法，从而达到控制的目的；另一方面，期望幺正演化算符是 非常复杂且难以进行物理实现的，所以有必要把复杂的难以进行物理实现的期望幺正演化算 符分解成简单且易于物理实现的算符，如何对复杂的幺正演化算符进行分解便成为研究的重 点。对于类似量子系统的微分方程，在数学领域上已经存在非常成熟的用来获得期望幺正演 化算符分解的方法，而目前用于量子系统分析的分解方法主要包括：m a g n u s 分解， w e i - n o r m a n 分解，李群的一般分解，c a f t a n 分解。侧如c l a u d i oa l t a n l l i 在i e 髓会议上发 表了一篇名为“e x p l i c i t w e i - n o r m a n f o r m u l a f o r m a t r i x l i e g r o u p s ”的文章”，该文从纯数学 的角度讨论了w e i - n o r m a n 分解用来分析类似量子系统的微分方程的求解方法，这使得把 w e i - n o r m a n 分解与量子系统相结合进行分析更进一步，但是该文没有对量子系统进行具体 的应用或仿真实验等。s c h i r m e r 则进行了把李群的一般分解用于获得期望幺正演化算符的 分析，并且主要是对比较特殊的幺正演化算符进行了李群的一般分解以及一些简单的仿真实 验等【1 ”。n a v i n k h a i l e j a 等人把c a f t a n 分解用来分析量子系统的状态空间，从而获得期望幺 正演化算符，运用c a r t a n 分解的目的是把获得期望幺正演化算符的过程转化到流形上进行 分析，从而使获得期望幺正演化算符的最小时间问题转化成在流形上寻找最短路径问胚，但 是c a r t a n 分解对期望幺正演化算符分解所获得的结果不是最简单的算符，只是使得复杂的 期望幺正演化算符分解成了比较简单的幺正演化算符，所以c a r t a n 分解只是量子系统状态 分解的整个过程中比较重要的一个环节【1 。从以上对期望幺正演化算符分解的研究现状可 以看出，到目前为止，该方面的研究还是集中在纯数学的求解及其分析上，并没有具体考虑 其实际应用的价值以及与量子系统控制的关系等。如何合理选择各个分解方法应用到实际量 子系统当中，以及继续寻求其他的分解方法将成为今后的发展趋势。 1 1 3 量子系统最优控制的发展及研究现状 最优控制是经典控制的一个基本问题，所以对量子系统的最优控制的研究也是非常重要 的一个问题，量子系统的最优控制就是使得期望终值或可观测的全体平均值达到最优。在进 行最优控制研究的过程中，首先要根据目标选择合适的性能指标，目前量子系统最优控制的 目标主要集中在以下方面：时间最优，能量最优，松弛最优，幺正演化最优，所以性能指标 中国科学技术大学硕士学位论文 第一章绪论 根据目标便可确定。量子系统最优控制是在2 0 世纪8 0 年代中后期受到了研究者的重视。1 9 8 8 年普林斯顿大学的r a b i t z 等人在p h y s i c a lr e v i e wa 上发表了一篇题为“o p t i m a lc o n t r o lo f q u a n t u m m e c h a n i c a ls y s t e m ：e x i s t e n c e ，n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n ，a n da p p l i c a t i o n s 的文章【2 0 1 ， 对量子系统最优控制问题的存在性、数学近似处理和最优控制的应用进行了详细的讨论，为 量子系统最优控制问题的研究奠定了基础。随后r a b i t z 研究小组以及其他研究者把最优控制 方法应用到化学以及物理系统的实际控制上，并取得了一系列实际实验的成功1 2 ”。近年来， d a l e s s a n d r o 等人针对自旋1 2 的单个粒子以及多个粒子的量子系统进行最优控制，分别对能 量最优以及时间最优进行了讨论，所用到的最优控制方法是基于经典的最优控制理论以及分 解方法所产生的1 2 2 】 2 ”。u g ob o s c a i n a 等人则是对分子结构的量子系统进行了能量最优控制 的研究，所用到的最优控制方法是基于极大值原理( p o n t r y a g i nm a x i m u mp r i n c i p l e ) 所产生 的口。j o s e p p a l a o 和r o n n i ek o s l o 衅人则是从幺正演化最优的方面对量子系统进行分析， 其用到的最优控制策略是基于k r o t o v 方法所产生的控制策略8 5 】跚。以上大多是针对与外界 环境不发生相互作用的理想情况下封闭量子系统进行最优控制的，现在也有越来越多的人对 与外界环境发生相互作用的开放量子系统进行最优控制，性能指标是选择为松弛最优，这主 要是从如何使得量子系统受外部环境影响最小来进行考虑，即量子系统的松弛越小越好，例 如n a v i nk h a n e j a 等人在文章“o p t i m a lc o n t r o lo f s p i nd y n a m i c si nt h ep r e s e n c eo f r e l a x a t i o n ” 中进行了详细的讨论口”。以上所涉及到最优控制方法既可以直接对系统状态方程进行分析， 构造合适的性能指标以及哈密顿函数( 或者变分函数) 来寻找最优控制场，也可以对量子系 统的幺正演化算符进行分解来寻找最优控制场，即利用以上所提到的各种分解方法来进行最 优控制分析，除此之外，晟优控制控制方法还包括基于k r o t o v 方法的所产生各种不同控制策 略等。如何将以上最优控制方法应用到实际系统以更好地完成相应的量子控制任务将成为今 后研究的重点，同时对纠缠态以及混合态量子系统的最优控制的研究也是未来量子系统最优 控制研究的一个重点。 1 2 量子系统控制的理论基础 量子力学是研究量子系统控制的理论基础“1 ，是用来描述微观世界的一些现象，尽管它 非常难以理解，但是我们并不打算对量子力学做深层次的解释，只是给出量子系统控制中所 必须用到的量子力学最基本的知识。量子力学理论主要是通过对量子力学的基本假设的完整 描述来建立的，并且这些基本假设是经过长期的尝试与失败后而推导出来的，所以通过结合 量子力学的基本假设来介绍量子系统中所用到的量子力学最基本的知识。 1 2 1 量子系统的状态空间 量子系统控制的状态空间是由熟知的希尔伯特空间来描述的，这可以从用于建立量子力 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 学所适用场合的量子力学的第一条假设获得吼 假设1 _ 1 ：任一孤立物理系统都有一个作为系统状态空间的复内积向量空间( 即h i l b e r t 空间) 与之相连，系统完全由状态向量所描述，这个向量是系统状态空间的一个单位向量。 对一个给定的量子系统，假设1 1 通过确定如何描述一个孤立量子系统的状态来设定量 子力学的研究范围，尽管通过假设1 1 并不能确定所给定系统的状态空间以及量子状态是什 么，但是我们感兴趣的是量子力学所提供的一般框架，对分析量子系统的控制来说，关于系 统状态空间作一些非常简单的且合理的假设，并坚持这些假设就足够了。所以，在分析量子 系统控制过程中，量子系统的状态向量通常是由单位向量i 妇来描述，并且单位向量l ) 也 称为态矢量，态矢量i p ) 是由物理学家狄拉克( d i r a c ) 提出来的用于描述量子系统状态向量 的狄拉克表示法。同时还引进符号( i 称为左矢，左矢缈1 是右矢i ) 的共轭转置。并且内积 缈l 曲= 1 是态矢量i y ) 成为单位向量的必要条件，条件缈l 叻= 1 常称为状态向量的归一化条 件。 与一个矢量可以用不同的坐标系表示一样，态矢量也可以用不同的“坐标系”表示。在 量子力学中，将表示态矢的具体“坐标系”称为表象。态矢用定义在某个区域上的平方可积 复数函数表示，就称为态矢的“坐标表象”。在坐标表象中，常省去狄拉克符号，直接用这 个平方可积复值函数表示态矢量。在单粒子情况下，这个函数可记为o ) ，x 就是粒子坐标。 y ( x ) 描述与单粒子相伴的物质波，所以又称为波函数。根据物质波的几率解释，( x ) 描述 了粒子坐标取值的几率分布。由于几率是非负实数，量子力学中把i y ( 刮2 出和这个粒子在x 体积元d r 内出现的几率联系起来，规定粒子在x 点体积元d r 内出现的几率 o c1 y ( x ) 1 2 d f = c l p ( x ) 1 2d r ( 1 2 1 ) 其中，比例系数c 是实常数。 在非相对论量子力学中，没有虚粒子产生，消灭的情形，粒子在空间出现的几率和等于 1 ，所以 f 。c i p o ) 1 2 打= 1 ( 1 2 2 ) 总可以选择适当常数c ，并把4 c 带入妒( z ) 中，使新的波函数( x ) 满足 。) 1 2 d t = l ( 1 2 3 ) 其中( 1 2 3 ) 式被称为波函数的归一化条件，满足归一化条件的波函数称为归一化波函 数。对于归一化的波函数( x ) ，i y ( z ) 1 2 d r 表示在x 点附近体积元出内出现的几率。y ( z ) 的 模方1 ( 功1 2 就是在x 点的几率密度。以后无特殊声明，总假设波函数是归一化的。 5 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 由此可知：波函数p ( x ) 本身只是几率幅( p r o b a b i l i t ya m p l i t u d e ) ，p ( x ) 的实部和虚部的平 方和模的平方l ( x ) 1 2 是j l 率密度，而粒子在空间出现的几率为l y ( 硎2 d r 。p ( x ) 本身并不 表示j l 率，而且由于它是复函数，其本身不代表任何物理量。在量子力学中引入几率幅，使 量子力学从根本上区别于经典统计学。经典统计学是以几率为研究对象的，著名物理学家 f e y n m a n 称几率幅的概念是量子力学中最基本的概念之一。 微观体系的运动状态由相应的一个波函数完全的描述，波函数作统计解释，这表明体系 的运动状态是由相应的波函数给出粒子在任一时刻f 的坐标、动量以及其它所有量子力学量 取值的几率分布而完全确定。这种按统计性( 而非决定性) 方式来完全确定的微观体系运动 状态称为量子态。 态矢量或波函数的物理意义就在于能够对它所描述的系统实施测量的结果几率分布做 出预言。态矢作为希尔伯特空间中的一个矢量是十分抽象的，我们可以从两个方面对其进行 理解，一是态矢是获得这个态历史过程的纪录，包含着制各这个态过程中使用的宏观仪器， 选定的参数值，整个操作过程等全部信息。态函数记录了系统制各的信息，使不同的态对测 量结果做出不同的响应。从这个意义上说，态函数是联系态制备历史和测量结果的纽带。另 一方面，不同态对测量结果做出不同的响应，说明不同的态具有不同的物理性质。一个态物 理性质的辨识需要通过多次重复( 不是对同一个态，而是对一批相同的态) 测量实现。测量 结果不是单值决定的，而且一般的测量过程要引起态的不可逆变化，因而测量过程实质上是 新态制备过程。只有对相同态的多次重复测量，得到力学量可能值的几率分布，才能描述态 的物理性质。在态矢量中包含着一个或几个力学量实现其某些特定值潜在可能性的全部信 息。一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量如坐标、动量、角动量、能量 等不同时具有确定的数值，而具有一系列可能的值，每一可能的值以一定的几率出现。当给 定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能的相应的几率就完全确定。利用统 计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测相比较。 既然一切力学量的平均值原则上均可由缈给出，而且这些平均值就是所描述的状态 下相应的力学量的观测结果，从这个意义上讲，态矢完全描述了量子系统。 1 2 2 量子系统的演化 量子力学系统的状态i 力如何随时间变化? 下面的假设为描述系统状态的变化提供了 一种方法【2 】。 假设1 2 ：一个封闭的量子系统的演化可以由个酉变换( 或称为幺正变换) 来刻画， 即系统在时刻f 。的状态i ) 和系统在时刻f ：的状态i ：) ，可以通过一个仅依赖于时间f 1 和 ，2 的酉算子( 或称为幺正演化算符) u 相联系： 6 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 y ：) = u l p 。) ( 1 2 4 ) 假设1 2 描述了封闭量子系统的量子状态在两个不同时刻的关系，作为这条假设的一个 更精细的版本，可以给出描述量子系统在连续时间上的演化，所修改的更精细假设如下： 假设1 2 ：封闭的量子系统的演化由薛定谔( s c h r o d i n g 方程描述： 腩掣：h 。i ) ( 12 5 ) 西 这个方程中a 称为p l a n c k 常数，其值必须由实验确定，它的精确值对于分析量子系统 并不重要，所以在研究量子系统过程中，常把因子a 的值放入到中，并置 = l ，h 。是系 统内部的哈密顿量。 更一般情况下，对于实际的量子系统，方程中的哈密顿量通常是时变的，这主要是因为 要对量子系统进行控制时要改变系统的某些参数。虽然系统是不封闭的，但在很好的近似程 度上，是按照时变哈密顿量的薛定谔( s c h r o d i n g ) 方程演化： 疏掣川。+ 扛) ( 12 6 ) 其中， 系统外部的哈密顿量。函数q ( 1 ) 是控 制场。同时根据( 1 2 4 ) 式和( 1 2 6 ) 式可以获得幺正演化算符u ( t ) 也满足薛定谔 ( s c h r o d i n g ) 方程演化： 访詈川。+ 却膨 ( 1 2 7 ) 其中幺正演化算符u ( t ) 是属于李群u ( ) 或s u ( n ) 的。 1 2 3 复合量子系统 在上一节中提到的量子系统是封闭、孤立的单个系统，基本上不考虑与外界的交互作用， 它们的量子态是纯态，, q p a f f j g - 尔伯特空间的向量i ) 来表示，量子态的演化是幺正的。而 量子控制中所要研究的对象还包括由两个及两个以上的不同物理系统所组成的复合系统，所 以有必要寻找到合适的表示来描述复合系统的状态。下面的假设描述了如何从单个的分系统 的状态空间构造出复合系统的状态空i 司t 2 l ： 假设1 3 ：复合量子系统的状态空间是分系统状态空间的张量积，若将分系统编号为l 到n ，并且系统f 的状态被置为l ) ，则整个系统的总状态为l - ) o o i ) 。 复合系统的状态除了可以由分系统状态直积表示外，还可以用密度算符p 来表示，密度 算符的引入是为了表示复合系统的混合态。如果复合系统是由多个纯态分系统组合而成，则 复合系统的混合态就是由一系列的纯态1 ) 混合而成，描述”个纯态系统所组成的复合系统 7 中国科学技术大学硕士学位论文第一章绪论 的混合态的密度算符p 的表示为 p = w ，妒 其中o w ，s l ，且= l ，参数w ，表示复合系统处于状态i ) 的几率。 ( 1 2 8 ) 如果用密度算符p 来表示纯态的量子系统，则表示为p = l ) 似i ，此时系统总是以概率 1 处在状态l ) ，并且很容易获得打( 力= 1 ，其中h - ( p ) 表示算符p 的迹，即算符p 的对角元 素之和。同时可以通过密度算符p 来判断系统的状态是否为纯态，如果护( p 2 ) = i ，则p 表 示的是系统的纯态，所对应的系统是纯态的量子系统；如果护( p 2 ) 0 。 这就简化了对t ( a ，b ) 的一个重要部分的讨论。因为最左边的叶子的形式就是a g ( b ) ， 它还用于可控性的秩的条件。 2 2 3 矩阵系