（机械电子工程专业论文）基于减基法的结构力学响应的快速计算方法研究.pdf

博士学位论文 摘要 在科学研究和工程应用中，针对实际的结构响应分析问题，一般都是将连续 结构系统通过一定的数值方式变为多自由度的离散结构系统。随着研究问题规模 的扩大，对结构离散得到的自由度数就会增多，从而利用计算机通过常规方法进 行结构响应分析的实时性就会降低。在此背景下，关于大规模结构系统响应的快 速计算研究成为了一个值得关注的热点问题，而减基法在工程快速计算领域占据 着重要的位置并发挥着相应重要的作用。 减基法的基本概念是利用参数域中参数样本点对应的响应构建减基空问，将 原大规模结构系统通过一定合理的方式投影或者映射到减基空间中形成减缩模 型，进而快速获得结构响应的逼近解。利用减基法快速计算结构静力响应的理论 已经基本确立，但在工程应用中仍存在一些问题有待解决；同时，关于减基法快 速分析结构动力响应问题的研究日前还尚不成熟。本文基于减基法概念从不同途 径提出了三种快速计算结构动力响应的方法，同时还进一步完善了基于减基法的 结构静力响应快速分析方法，主要工作如下： 1 ) 从结构动力学方程入手，设计了一种快速求解结构动力响应的方法。针对 参数样本点对应的动力响应，通过时间域积分构建三个不同的减基空问，利用时 问域积分和最小二乘原理将原结构动力学方程同时在此三个不同的减基空间进行 投影降阶，形成与时间因素无关的缩减的线性方程，求解该低阶线性方程得到权 系数向量，进而在减基空间中回代权系数向量并通过线性组合方式得到结构动力 响应的逼近解；该方法在保持高精度的同时极大地提高了动力响应的求解效率。 2 ) 针对结构模态分析问题，提出了一种快速计算模态固有特征值和固有振型 的方法。针对单阶的模态，该方法首先利用参数样本点对应的特征向量形成相应 的特征向量减基空间；利用g a l e r k i n 映射方法在减基空问中得到一个减缩的计算 模型，进而快速求解获得结构的逼近特征值；利用剩余差向量的2 一范数优化问题 以及矩阵中的r a y l e i g h r i t z 定理在减基空问中得到另一个减缩的计算模型，结合 已经求解得到的逼近特征值进而快速获得结构的逼近特征向量；最后将单阶模态 问题的计算流程进行简单结合，从而得到多阶模态问题的计算流程。 3 ) 从结构动力响应恢复的角度出发，设计了一种快速恢复结构动力响应的方 法。该方法首先在结构系统的参数域采集参数样本点，并计算对应的动力响应形 成减基空间；在构建的减基空间中利用线性插值原理形成与参数无关的插值矩阵； 在输出响应中采集与参数样本点数量一致的输出响应点，通过插值矩阵求出权系 数向量，进而在减基空问中快速恢复出结构的动力响应逼近解；同时相应地还提 基1 二减基法的结构力学响应的快速计算方法研究 出了一种有效的时问节点选择算法，该选择算法能够使数值计算过程中所致的误 差最小。该方法具有采点少、精度高、计算快捷等优点。 4 ) 提出了一种针对减基法计算结构静力响应的扰动分析方法。该方法通过对 已有的减基方程进行形式变换得到新的减基方程，确保其响应在2 一范数条件下具 有不变性，进而通过一系列范数意义上的不等式推导，将减基方程在整个参数域 上的扰动响应相对偏差的界定变成一个与减基刚度矩阵条件数有关的非线性优化 问题的求解。同时，该方法还给出了减基方程针对整个参数域所能承受的最大扰 动范数比。 5 ) 针对结构静力响应问题，提出了一种改进的减基法。该方法针对用于构建 减基空间的位移响应基矩阵，利用向量子空问夹角的观点进行奇异性判别，并对 其中出现奇异的基进行删除。为了进一步提高数值计算精度，对保留下的位移响 应基进行了约化的o r 分解，并通过g a l e r k i n 映射将原结构静力方程投影到分解 后的列正交矩阵形成减缩方程进行求解。该方法相对改进前的减荩法提高了计算 精度。 在研究过程中，本文所提的方法都经过了算例的验证，结果表明，文中针对 结构动力响应所提出的减基计算方法能够在保证计算精度的同时提高计算的效 率，而针对结构静力响应减基计算所提出的扰动分析方法和改进方法都具备计算 的有效性。 关键词：减基法；结构动力学方程；结构模态方程；实时计算；结构静力响应 i i i a b s t r ac t c o n t i n u o u sm e c h a n i c a ls t r u c t u r e sa r e g e n e r a l l yt u r n e di n t od i s c r e t es t r u c t u r a l s y s t e m sw i t hm u l t i p l ed e g r e e so ff r e e d o mf o r t h ea c t u a l a n a jy s iso fs t r u c t u r a l r e s p o n s e s 1 ns c l e n c e s t u d y a n d e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n a st h es c a l eo ft h e l n v e s t i g a t e dp r o b l e m si se n h a n c e da n dt h u st h ed e g r e e so ff r c e d o ma r ei n c r e a s e d ，t h e c o m p u t a t i o n a lt i m eo fa n a l y z i n gt h es t r u c t u r a lr e s p o n s e st h r o u g hn o r m a lm e t h o d s w i n i n c r e a s e d u et ot h i s s i t u a t i o n ，r a p i dc o m p u t a t i o no f1 a r g e s c a l es t r u c t u r a ls v s t e m b e c o m e sar e m a r k a b l eh o t s p o t ，w h e r et h er e d u c e d b a s i s m e t h o d ( r b m ) p l a y sa n i m p o r t a n tr o 】e t h eb a s i cc o n c e p t i o no ft h er e d u c e db a s i sm e t h o di s 矗r s tf o r m i n gr e d u c e db a s i s s p a c ea c c o r d i n gt ot h er e s p o n s e so fs a m p l ep a r a m e t e rp o i n t s ，t h e n e s t a b l i s h i n ga r e d u c e dm o d e lt h r o u g has u i t a b l ea n dr e a s o n a b l ep r o j e c t i o no rm a p p i n g m a n n e r ，a n d f i n a l l yr a p i d l ya p p r o x i m a t i n gt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h es t r u c t u r a lr e s p o n s e si nt h e r e d u c e dm o d e l a l t h o u g ht h es t r u c t u r a ls t a t i ca n a l y s i s t h e o r yb a s e do nt h er b mi s b a s i c a l l yc o m p l e t e d ， t b e r ee x i s ts o m ep r o b l e m st on e e d r e s 0 1 v i n gi ne n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s ；a tt h es a m et i m e ，t h ed e v e l o p m e n t so fa p p l y i n gr b mf o rt r e a t i n g s t r u c t u r a lr e s p o n s e sh a v e n b e e nm a t u r ea t p r e s e n t i nt h i st h e s i s ，s o m ee f 五c i e n t m e t h o d sa r ep r o p o s e df o rc o m p u i i n gt b es t f u c t u r a ld y n a m i cr e s p o n s e sb a s e do nt h e c o n c e p t i o no fr b m ，w h i l es o m eo t h e rm e t h o d sa r e 西v e nf o rf u r t h e ri m p r o v i n gt h e r b mi ns t r u c t u r a ls t a t i c s t h em a i o rw o r k so ft h i st h e s i sa r es t a t e da sf o l l o w s ： 1 ) t os t a r t w i t hs t r u c t u r a l d y n a m i ce q u a t i o n ，f o rw h i c har a p i dm e t h o di s d e v e l o p e dt os 0 1 v e t h r e ed i f 耗r e n tr e d u c e db a s i ss p a c e sa r ec o n s t r u c t e dt h r o u g ht i m e i n t e g r a t i o no fd y n a m i cr e s p o n s e sa s s o c i a t e dw i t hs a n l p l ep a r a m e t e rp o i n t s t i m e i n t e g r a t i o na n dl e a s ts q u a r e sp r i n c i p l ea r eu s e dt o g e t h e rf o rp r o je c t i n gt h eo r i g i n a l s t r u c t u r a l d y n a m i ce q u a t i o no n t ot h e s er e d u c e db a s i ss p a c e st oo b t a i nas e to f t i m e i n d e p e n d e n tr e d u c e d 1 i n e a r e q u a t i o n s s u b s e q u e n t l y ， t h el o w o r d e rl i n e a r e q u a t i o n sa r es o l v e dt oa c q u i r et h ew e i g h tc o e f h c i e n tv e c t o r ，w h i c hi st h e nr e p l a c e d i n t ot h er e d u c e db a s i s s p a c e s t o g e tt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n st h r o u g h1 i n e a r c o m b i n a t i o n t h ep r o p o s e dm e t h o dc o u l dg e n e r a t es i g n i f i c a n te f n c i e n c ya sw e l la s h i g ha c c u r a c y 2 ) f o rt h ep r o b l e mo fs t r u c t u r a lm o d a la n a l y s i s ，a ne f 行c i e n tm e t h o di sp r o p o s e d t oc o m p u t et h e e i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r so fl a r g e s c a l es t r u c t u r e s f o rt h e s i n g l e 。o r d e rm o d a l ，t h em e t h o dn r s tf o r m st h ec o r r e s p o n d i n gr e d u c e db a s i ss p a c eo f e l g e n v e c t o r ，i nw h i c har e d u c e dm o d e li s p r o d u c e d ，t h r o u g hg a l e r k i nm a p p i n g ，t o r a p i d l y o b t a i ni h e a p p r o x i m a t e e i g e n v a l u e ； s u b s e q u e n t l y ， a n o t h e rr e d u c e d c o m p u t a t i o n a lm o d e li so b t a i n e dj nt h er e d u c e db a s i ss p a c eu s i n gt h eo p t i m i z a t i o no f 2 n o r mo fr e s i d u a lv e c t o ra n dr a y l e i g h r i t zt h e o r e mi n m a t r i xt h e o r v ，a n dt h e nt h e a p p r o x l m a t es t l u c t u r a le i g e n v e c t o ri sr a p i d l yo b t a i n e di nc o m b i n a t i o no ft h er e d u c e d c o m p u t a t i o n a lm o d e la n dt h ea l r e a d yo b t a i n e da p p r o x i m a t ee i g e n v a l u e ；f i n a l l y ，t h e c o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r eo fm u l t i o r d e rm o d a lisa c h i e v e db ye a s i l yc o m b i n i n gt h o s e p r o c e d u r e so fs i n g l e o r d e rm o d a l 3 ) f r o mt h ev i e w p o i n to fr e c o v e r i n gt h es t r u c t u r a ld y n a m i cr e s p o n s e s ，ar a p i d m e t h o di sd e s i g n e d ar e d u c eb a s i ss p a c ei sf i r s te s t a b l i s h e db yt h ed y n a m i c r e s p o n s e s c o r r e s p o n d i n gt ot h es a m p l ep a r a m e t e rp o i n t s ；i nt h er e d u c e db a s i ss p a c e ，a p p l i c a t i o n o fl i n e a r i n t e r p 0 1 a t i o np r i n c i p l eg e n e r a t e sap a r a m e t e r i n d e p e n d e n ti n t e r p o l a t i o n m a t r i x ，b yw h i c ht o g e t h e rw i t hs a m p l er e s p o n s ep o i n t st h ew e i g h tc o e f f i c i e n tv e c t o r a n dt h e nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nc a nb eo b t a i n e df a s t ；m e a n w h i l e ，a na s s o c i a t e d t i m e n o d ec h o o s i n ga l g o r i t h mi s g i v e nf o ri m p r o v i n gt h ea c c u r a c y t h es u g g e s t e d m e t h o dp o s s e s s e st h em e r i t ss u c ha sf e ws a m p l er e s p o n s ep o i n t s ，h i g ha c c u r a c y ，a n d e a s yc a l c u l a t i o n 4 ) an e wp e r t u r b a t i o nm e t h o di sp r o p o s e df o ra n a l y s i so ft h er b mi ns t r u c t u r a l s t a t i cr e s p o n s e s t h ef o r m u l ao fr b mi s6 r s tt u r n e di n t oa n o t h e rn e wf o r m ，w h i c h c o u l de n s u r e st h a tt h er e s p o n s e so fr b mk e e pt h e i ri n v a r i a 矗c eu n d e rt h e2 一n o r m c o n d i t i o n t h e na f t e ras e r i e so fi n e q u a l i t yd e d u c t i o n ，t h er e l a t i v eb i a sb o u n do f p e r t u r b a t i o nr e s p o n s e si so b t a i n e da n dc a nb es 0 1 v e dt h r o u g hn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e ，w h i c h i sj u s tr e l a t e dt ot h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h er e d u c e ds t i f - f n e s s m a t r i x m e a n w h i l e ，t h ep r o p o s e dm e t h o da i s op r e s e n t st h em a x i m u mp e r t u r b a t i o n n o r mr a t i o ，w h i c hc o u l db ea f f b r d e db yt h er e d u c e de q u a t i o nf o rt h ew h o l ep a r a m e t e r d o m a i n 5 ) f o rt h ep r o b l e mo fs t r u c t u r a ls t a t i cr e s p o n s e s ，a ni m p r o v e dr b mi sp r e s e n t e d t h eb a s i sm a t r i xo fd i s p l a c e m e n tr e s p o n s e s ，e s t a b l i s h e di nt h er e d u c e db a s i ss p a c e ，i s m a d et og ot h r o u g hs i n g u l a r i t ye v a l u a t i o n ，a n dt h e nt h es i n g u l a rb a s i sv e c t o r sa r e d e l e t e d t of h i r t h e r i m p r o v e t h e c o m p u t a t i o n a la c c u r a c y ， t h er e d u c e d q r d e c o m p o s i t i o n i sc o n d u c t e df i o rt h er e m a i n d e rb a s i s v e c t o r s ， a n dt h e o r i g i n a l s t r u c t u r a ls t a t i c e q u a t i o n i s p r o j e c t e dt h r o u g h g a l e r k i n m a p p i n g o n t ot h e c o l u m n o r t h o g o n a lm a t r i xt of o r ma n o t e rr e d u c e de q u a t i o nf o rc o m p u t a t i o n t h e p r e s e n t e dm e t h o de n h a n c e st h ec o m p u t a t i o n a la c c u r a c yc o m p a r e dw i t ht h eo r i g i n a l v 博士学位论文 r b m i nt h ei n v e s t i g a t i o np r o c e s s ，t h ep r o p o s e dm e t h o d si nt h i st h e s i sa r ea l lt e s t e db y s o m ee x a m p l e s i ti sf o u n d ，f r o mt h ec o r r e s p o n d i n gc o m p u t a t i o n a lr e s u l t s ，t h a tt h e a s s o c i a t e dm e t h o d sw i t hs t r u c t u r a l d y n a m i cr e s p o n s e sc o u l dg e n e r a t eb o t hh i g h e f f i c i e n c ya n da c c u r a c y ，a n dt h a tt h ep e f t u r b a t i o na n a l y s i sm e t h o da n dt h ei m p r o v e d m e t h o da r ea l ie f f e c t i v ef ：o rt h er b mi nt h es t r u c t u r a ls t a t i c s k e yw o r d s ： r e d u c e d - b a s i sm e t h o d ；s t r u c t u r a ld y n a m i ce q u a t i o n ；s t r u c t u r a lm o d a l e q u a t i o n ；r e a l t i m ec o n l p u t a t i o n ；s t r u c t u r a ls t a t i cr e s p o n s e v i 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究工作的背景、目的和意义 结构分析在工程中有着重要的地位和作用。例如机械工程中的机械构件设计 和整体动态性能的评估，上木工程中建筑和桥梁的静态受力分析和抗风振动分析 等，都涉及结构的分析。工程中，结构分析技术直接从描述结构本质的物理方程 出发，通过一定的数值方法在计算机上分析结构系统，从而避免了物理过程的直 接试验，降低了结构设计的成本，缩短了结构分析的周期。结构分析技术在计算 机中具体表现为通过矩阵和向量的迭代得出问题对象的数值解，进而用数值解去 近似逼近问题对象的复杂解析解。然而，在很多情况下实际研究的结构问题是很 难找出其显式解析解的，有时甚至根本不存在其显式解析解。因此，结构分析技 术需要直接从结构问题解析解存在的微分方程出发，利用变分原理将结构的微 分方程变为弱形式进行数值处理，这样不但能得到原问题微分方程的数值解，而 且还能使这种数值解较之其解析解更贴近结构问题的物理实际解。 随着工业经济发展以及科学技术本身发展的需要，工程人员在实际工程中遇 到的结构对象变得越来越复杂，例如汽车车身结构，通常都是规模很大的物理力 学系统。在结构分析技术中，利用有限元f 2 ，3 j 等数值方法将这些复杂结构对象离散 后，产生的离散自由度数很多，相应生成的特征矩阵( 质量、阻尼和刚度矩阵) 阶数很高，造成计算机面临的求解对象规模很大。在结构静态和动态分析中，应 用标准迭代方法( 如g a u s s 列主元消去方法【4 j 、r u n g e k u t t a 方法l 川、n e w m a r k 方 法【6 ，7 l 等) 计算这些离散火规模结构的响应时，求解器耗费的计算时问很长。在遇 到需要对大规模结构进行实时响应控制的时候，这种采用常规理论的计算方式由 于其计算效率低下而常常变得无能为力。另外，在涉及大规模结构的系统参数优 化【8 ，9 1 及反向模型建立1 1 1 的过程中，大量反复地计算结构参数对应的响应往往会 使累计的计算时间变得让人无法接受。因此，如何提高结构分析的时效性已成为 现代工程计算中一个重要的热点问题。相应地，能够快速分析工程结构的响应也 已成为工程技术人员迫切需要解决的项任务。 当然，升级计算机硬件来获得工程结构分析的计算效率是一种可行的途径， 例如采用高主频的处理器，安装高速、大容量的内存等措施来提高计算机本身的 运算速度，进而间接地提高了工程结构的分析计算速度。针对某个特定的专项的 结构分析问题，采用高品质器件的高端工作站或者采用多器件并行作业方式的超 级计算机能够获得极大的计算效率。然而，由于结构分析在实际工程中是一项具 基于减基法的结构力学响应的快速计算方法研究 有普遍性和整体性的工作，人们在实践中经常遇到的结构分析问题不可能处处都 依靠高端工作站或者超级计算机来求解计算，大多数情况下只能依靠有限度升级 的计算机来处理问题。虽然是适当地、有限度地改善和提高计算机硬件，然而站 在整个社会层面上来看，普遍性地升级计算机硬件意味着会有昂贵的成本投入。 其次，这种单纯依靠升级计算机硬件来提高运算速度的做法，需要依托计算机、 电子等相关工业的大力发展，使之能够为其提供价廉而优质的器件，故从某种意 义上来说，升级计算机硬件的做法是受到其它相关产业限制的，并且计算机硬件 升级的幅度也是有一定限额的。另一方面，针对同一工程问题，耗费一定成本提 升计算机硬件而获得的计算效率往往不是很高，从性价比的角度来看，投入和产 出不是等量的，故在普遍遇到大规模工程结构问题时，仅仅通过单纯地升级计算 机硬件来提高运算速度的做法往往也显得力不从心。 由于结构分析技术是对一定的物理控制方程进行数值计算，在计算机实际运 算中表现的不外乎是一些矢量迭代，如果在理论上通过对物理控制方程进行相应 的处理和变换，并且依据一定的逼近原理发展出新的计算方法，进而使得其在计 算机中实际迭代的矢量维数变小或者使矢量迭代的步数变少，这样便能提高工程 中结构分析的计算效率了。这是从数值计算本身的角度出发，通过改进结构分析 内在算法进而提高计算效率的做法。它能在保持现有计算机硬件条件不变的情形 下，极大地提高结构分析的计算效率，并且随着研究问题规模的扩大，这种效果 的提升就越明显。当然，通过改进结构分析原有算法来提升其计算效率的做法， 往往会带来一定程度上的计算精度损失，两者是有一定矛盾而不可兼得的。然而， 在工程中只要改进的算法相比于原算法带来的计算误差比较小且在一定的工程要 求范围之内，通过改进算法提升的计算效率相比于其降低的计算精度不仅具有诱 人的科研理论意义，同时也更具现实的工程应用价值。对结构的物理控制方程处 理的角度不同，可以产生不同的改进算法，而不同的改进算法对所研究的问题带 来的计算效率也是不一样的。好的改进算法往往可以带来甚至上万倍的计算效率 而同时损失的计算精度并不大，将这些改进的算法嵌入到结构分析的求解器中， 会使研究的复杂问题在很短时问内得以求解。 目前，用于提升结构分析效率的数值手段是从简化物理模型的观点出发的， 一般来说，分为两类方法。一类方法是，首先将有限次的输入组合依据问题的物 理控制方程进行计算，得出相对应的输出组合，然后利用这些输入输出组合对， 从纯粹的数学意义上构建某种近似的计算模型，进而通过这种近似模型代替原有 的物理控制方程来进行快速计算，这就是所谓的近似模型设计方法。另一类方法 是，将原有的物理模型变换成一个小型的减缩模型，这个小型的减缩模型由原有 物理模型的主要因素构成且一般反映了原有物理模型的主要特征，故关于原物理 模型的计算问题可以近似转化成关于小型减缩模型的计算问题，进而可以快速得 博上学位论文 到原问题的近似逼近解，实现高效的运算效率，这就是所谓的模型降阶设计方法。 在近似模型设计方法中，常见的应用模型和方法有人工神经网络、k r i g i n g 模型、径向基函数方法、混合数值方法和响应面方法等。人工神经网络的研究目 前已经比较普遍，它对采集的样本点所对应的输入输出对进行训练并找出相应的 加权系数向量，通过嵌入层间的神经元函数来实现不同的函数关系，关于人工神 经网络方面的具体阐述可以参考文献【1 2 。4 | 。k r i g i n g 模型一般较多地用于优化方面 的逼近问题，例如多学科优化设计中的全局逼近解1 1 川，汽车乘员约束系统稳健性 的优化设计【l6 】等。径向基函数模型是一类多变量插值函数的总称，它利用各种类 型的基函数，通过不同的精确插值方法来构建近似曲面去逼近问题的实际过程 i l7 ，1 8 j 。混合数值方法通常将有限元法和傅里叶变换相结合，一般比较多地应用于 功能梯度材料的响应分析，其具体的思想和过程体现于l i u 和h a n 等所写的文献 中【l 址2 0 】。响应面模型的基本思想是通过一系列的确定性实验，利用多项式函数来 逼近隐式目标函数，从而可以利用明确表达的函数近似代替不能明确表达的函数 【2 l 一2 3 o 在模型降阶设计方法中，比较常用的方法有缩聚法、基于k r y l o v 向量子空间 迭代逼近方法、子结构方法以及减基法( r e d u c e db a s i sm e t h o d ，r b m ) 等。缩聚法 首先是由g u y a n 【2 4 】和i r o n 【2 5 j 等研究结构响应时提出的，具名为静力缩聚法，后来 拓展到结构动力响应的快速求解中，发展成了更为有效的动力缩聚法；其主要思 想是对主副自由度的选取和划分，通过研究具有小数量的主自由度的响应值，进 而快速获得整个结构的逼近响应解【2 6 ，2 ”。基于k r y l o v 向量子空间迭代方法利用 k r v l o v 向量子空间通过一定的迭代方法使初始向量快速趋近原问题的向量解，其 典型应用是利用l a n c z o s 方法快速求解大型特征问题【2 8 。0 1 。子结构方法将研究的 结构分割为若干子结构，每个子结构又划分成若干个单元，进而建立子结构的控 制方程，在各子结构的界面引入约束条件，综合各子结构的控制方程得到整个结 构的控制方程进行求解；通过子结构法建立的整体控制方程，其阶数比直接在物 理坐标中建立的系统控制方程得到了一定程度地缩减，从而提高了问题的计算效 率；目前子结构法涉及的研究领域有固体碰撞3 1 ，3 2 1 、模态分析【3 3 ，3 4 1 等。 减基法( r b m ) 【3 5 3 8 1 是通过预先在参数域采样建立的减基空间，利用一定的映 射原理将原研究问题投影到减基空问进行模型缩减，并采用相应的离线在线形式 进行计算的。作为范畴意义上的模型降阶设计方法，其不但具有计算效率极高和 稳定可靠的优点，还兼具了保持原问题物理性质的特质，这是其它数值方法所不 能比及的。减基法从诞生至今，其概念涵义不断得到丰富和发展，其应用已涉及 工程中的各个领域，包括结构分析、流体分析、传热计算以及优化控制等。具体 到结构分析领域来说，在结构的静态响应快速分析方面，减基法已经取得了不错 的效果，但是仍然存在着一些关键问题需要得到进一步完善和解决。而在结构的 基于减基法的结构力学响应的快速计算方法研究 动态响应分析方面，目前还没有利用减基概念形成比较成熟的快速计算方法。如 前所述，由于结构分析在工程中的重要意义以及减基法具有高效、稳定的特点， 故进一步完善基于减基法的结构静态分析方法以及有效地发展出基于减基概念的 结构动态响应快速分析方法将具有极大的工程价值。 1 2 减基法的产生及概念 文献【3 9 ，4 0 1 中提到，减基法的基本思想诞生于上世纪七十年代，是n a g y 【4 1 】在 用有限元法分析桁架结构非线性行为时引进的，随后a 1 m r o t h 【42 1 、n o o r 【4 3 4 8 1 等人 在结构分析和应用中进一步发展了减基法的思想。文献1 3 9 4 0 j 中还提到，关于减基 法数学方面的相应研究，例如误差界导数问题的研究，开始于f i n k l 4 引、p o r s c h i n g 【5 0 】 等人的工作。上世纪九十年代初左右，p e t e r s o n 【5 l j 利用减基法计算了不可压缩黏 性液体的流动问题；k i r s c h 应用减基法分别进行了结构位移优化设计【5 2 j 以及结构 精确重分析【5 3 l 等方面的工作；r h e i n b 0 1 d t l 5 4 j 研究了基于减基法分析多重参数问题 的误差估计；k a p a n i a 等【5 5 j 针对非线性瞬态分析提出了一种基于特征向量和里兹 向量的减基方法。 减基法主要是针对变参数大规模系统进行快速计算方法设计的，其涉及的变 参数系统既可以包括几何变参数系统，也可以包括物理变参数系统。减基法的大 体思想是：离线阶段中通过在系统的参数域采样形成参数样本点集合，针对每个 参数样本点计算其对应的响应向量，进而利用这些响应向量构建一种低维的减基 空间，然后通过某种合适的映射关系将原大规模系统投影到这种已构建的低维减 基空间中，进而形成一种关于原问题的减缩逼近模型；在线阶段中针对给定的系 统变参数，利用减缩逼近模型可以快速得到原问题的逼近解，由于在减缩逼近模 型中计算机涉及的运算只是一些关于低阶矩阵的简单操作，不需要面临大规模的 运算，从而能获得极大的求解效率。 从减基法的主体思想不难看出，用于构建低维减基空间的响应向量基来源于 原系统问题参数域对应的响应域，从而在一定程度上继承和反映了原系统问题的 物理特性，故利用这些具有原问题物理特性的响应向量基构建的减基空问能从物 理角度很好地去逼近原问题的响应域，所以在这些响应向量基础上通过一定映射 关系获得的减缩模型也不失包含有原问题的物理特性，进而不仅具有计算时效性， 而且还具有稳定和收敛等计算特性。减基法由于在模型降阶时能保持原问题物理 特性这一极大优势，以及由这一优势带来的计算稳定性和收敛性，使得它非常便 于快速分析工程中遇到的大规模问题。 目前，应用减基法研究椭圆型偏微分方程( p a 九i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p d e ) 的技术比较成熟，而椭圆型偏微分方程一般表达的是物理稳态场，例如结构静力 场、稳态热传导等。这里可以用物理稳态场中的结构静力场作为求解示范对象， 4 博士学位论文 从矩阵形式出发，进一步具体阐述减基法的概念。将结构静力场的偏微分方程利 用相应的变分技术使其变成弱形式，然后利用有限元等数值方法将其离散，同时 将其边界条件进行相应加载，可以得到结构静力场的离散控制方程： 砌= 厂( 1 1 ) 其中，k 表示静力场的刚度矩阵，髓表示结点输出位移向量，厂表示外加载荷向量。 这里，上式所示系统的自由度数用符号n 表示。当结构静力场受到自身的物理参 数或者几何参数影响时，上式就变成了参数化的离散控制方程： k ( ) 比( ) = 厂( 1 2 ) 其中，符号声q 表示影响系统的参数向量，q 表示相应的参数域。当上式的自由 度数n 很大时，求解一次参数对应的结点输出位移向量比较耗时，利用减基法 可以很快捷地对上式进行求解。这里从矩阵形式的角度出发，对减基法的求解过 程进行简述。将参数化的刚度矩阵丘( ) 进行参数相关分离，有： 月r k ( ) = 巧( ) k ， ( 1 3 ) = l 其中，点( ) 表示与参数相关的标量函数，墨表示与参数无关的分离矩阵，表 示参数分离的数日。在参数域q 采集( ) 个参数点构成采样参数点集合，记 为： = l ，2 ， ( 1 4 ) 利用式( 1 2 ) 求出参数点鸬& ( 汪1 ，2 ，) 对应的位移响应比( 麒) ( 待l ，2 ，) ，利用 这些位移响应作为基向量，进而可以张成相应的减基空问，为： u = s p a n 掰( h ) ，比( 2 ) ，比( ) ( 1 5 ) 将此减基空间的位移基向量写成矩阵形式，有： 瓦= 【髓( 1 ) ，距( ：) ，“( ) 】 ( 1 6 ) 其中，z 为阶矩阵。由于形成的减基空间u v 是一种逼近空间，故原控制方 程式( 1 2 ) 中的位移解向量“( ) 可用减基空间中的近似解( ) 来逼近，而减基窄 问中的任何形式的近似逼近解都可以表达为减基空间中基向量的一种线性组合形 式，即： h ( 芦) 2 ( ) 甜( ，) ( 1 7 ) ，- 1 其中，口，( ) ( 扛l ，2 ，) 表示对应于每个基向量的待求权系数。结合式( 1 6 ) ，将式 ( 1 7 ) 写为矩阵向量形式，为： ( ) 2z 口( ) ( 1 8 ) 其中，( ) 为待求权系数的向量形式。用如式( 1 8 ) 所示的近似解( ) 取代原控 制方程式( 1 2 ) 中的口( ) ，同时利用g a l e r k i n 映射将原控制方程式( 1 2 ) 的两端向减 基空间【厂的每个基向量比( 以) ( 江1 ，2 ，) 进行投影，有： 即： ( ，) 7 k ( ) z 口( ) = 砧( j i l ，) 7 厂 ( f = 1 ，2 ，) ( 1 9 ) 髓( ) 7 1 “( 2 ) 7 1 即( 如) 丁 k ( ) 瓦口( ) = h ( “) 7 甜( 2 ) 。 h ( 肌) 7 ( 1 1o ) 将上式( 1 1 0 ) 提出转置有： 【h ( ，) ，h ( ：) ，比( ) 】2k ( ) 磊( ) = 【比( 飓) ，比( ：) ，掰( ) 】。 ( 1 1 1 ) 结合式( 1 6 ) ，上式( 1 1 1 ) 可以变为： 乙7 k ( ) 瓦( ) = z 1 ， ( 1 1 2 ) 可以看出，上式为阶线性方程组。利用刚度矩阵的参数化分离式( 1 3 ) ，上式可 以进一步写成： 厂h ，、 l 磊( ) 瓦丁，磊i ( ) 2 乙r 厂 ( 1 1 3 ) f - 1 ， 为了方便表述，将上式简写为： k ( ) 似) = f ( 1 1 4 ) 其中， k ( 肋2 善谚( ) 氐，氐，一= z 丁k 磊( 1 1 5 ) f n = z l 在式( 1 1 4 ) 及( 1 1 5 ) 描述的阶方程组中，阶基矩阵乙、阶矩阵 召。( f = l ，2 ，) 和x 1 阶向量日与参数无关，可以在离线计算阶段获得并存储 于计算机中。在线计算阶段，针对参数快速得到谚( ) ( 扛l ，2 ，) ，提取 b 胁( f = l ，2 ，) 进而依据关系式( 1 1 5 ) 快速得到k ( ) ；并且同时在计算机中提 取最；求解阶线性方程组( 1 1 4 ) 快速得到权系数向量( ) ：提取位移基矩阵 z ，同时利用求解得到的权系数向量( ) ，通过式( 1 8 ) 快速得到逼近解( ) 。 比较式( 1 2 ) 和( 1 1 4 ) ，可以看出，问题由对原阶控制方程( 1 2 ) 的求解变成了对低 维( n ) 阶方程( 1 1 4 ) 的求解，阶数的降低促成了效率的提高；同时，通过将减 基过程分割为离线和在线两个阶段的方式，进一步增加了问题的在线计算效率。 综合上述讨论以及减