（光学专业论文）超透镜中电磁波的传输.pdf

烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘要摘要 本文利用传输矩阵方法研究了电磁波通过平板超透镜的传播规律， 给出了完美平板超透镜对倏逝波振幅放大的模拟图，结果表明，横向波 矢量越大, 倏逝波振幅被放大的程度越大，从而实现了完美成像。对于 非匹配平板超透镜，本文将其与非超透镜相比较，模拟结果表明非匹配 平板超透镜能放大倏逝波，而非超透镜却不能放大倏逝波。同时讨论了 金属-介质的厚度、入射波长以及介质帽对倏逝波放大作用的影响，结果 表明只有金属和介质厚度匹配才能使倏逝波的放大程度达到最大。带有 介质帽的平板超透镜会增强对倏逝波的放大。本文应用并矢量格林函数 法完成了电磁波通过球形超透镜的传播规律的数值模拟，证明了球形超 透镜的亚波长成像能力。这种方法弥补了坐标变换法的不足。 【关键词】【关键词】 平板超透镜；传输矩阵法；球形超透镜；并矢量格林函数法 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract in this paper, the propagation of electromagnetic wave through the lens of flat superlens is investigated by transfer matrix method. the simulation map of evanescent wave amplitude amplified by perfect flat superlens is displayed.the results show that the greater the transverse wave vector components is,the greater the degree of evanescent wave amplitude is,then achieve a perfect image. in this paper,non-matching flat super-lens is compared by non-superlens ,the result of simulation shows that non-matching flat super-lens can amplified evanescent wave,but non-superlens cannt. the metal - dielectric thickness, incident wave length, as well as medium cap on the effect of evanescent wave amplification is also discussed, he result shows that only when the metal - dielectric thickness is matched, can the amplification of evanescent waves achieve thegreatest degree.a flat superlen with dielectric cap will enhance the amplification of evanescent waves. the numerical simulation of the electromagnetic wave propagation through spherical super-lens is completed by dyadic greens function method,it proved the subwavelength imaging capability of super-spherical lens. this method makes up coordinate transformation method. key words： physical optics; flat super-lens; transfer matrix method; spherical super-lens; and dyadic greens function method 烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权说明学位论文使用授权说明 本人完全了解烟台大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在非保密的论文范围内，学校可以公布论文的部分或全部内容。 （保密论文在解密后遵守此规定） 论文作者签名： 导师签名： 日期： 年 月 日 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 第一章绪论第一章绪论 1.1 负折射介质发展概述负折射介质发展概述 20 世纪 70 年代， 前苏联物理学家 veselago 从纯理论的角度提出了一种假想介质 （负折射率介质又称左右介质） ，这种介质同时具有负的介电常数和负的磁导率，并 从理论上对它进行了研究【1，2】 。但由于当自然界中并不存在介电常数和磁导率同 时为负的物质，所以他的研究不能得到实验验证，因此没有引起学术界的重视。直 到上世纪 90 年代末， 英国物理学家 pendry 对这种材料的制备进行了研究， 他提出了 可以用金属线阵列获得负的介电常数【3，4】 ，通过开口环共振器阵列获得负的磁导 率【5】 ，进而可以通过将周期远小于工作波长的金属线阵列和开口环共振器阵列组 合起来得到负折射介质。2000 年 pendry 提出了“完美透镜”的概念【6】 。在 pendry 提出完美透镜概念后不久，美国加州大学圣迭哥分校的 smith 等人采用提出的方案 实际制备出了人工的负折射率介质， 并通过微波波段的实验证明了负折射现象 【7-8】 。 负折射率介质方面的研究现在已与许多科联系密切，具有很强的学科交叉性9-14. 这种材料只所以被称为负折射率介质，是因为当电磁波在普通材料和种材料的界面 上发生反射和折射时，在负折射介质内部会发生负折射，即折射光线和入射光线位 于法线的同一侧，折射折射率只有取负值时才遵守 snell 定律，这样的好处是使得已 有的物理定义和规律不需要改写15。负折射现象最处引起了很大争议16，但理论 分析17-18和数值模拟19都证明这种现象是实际存在的，也不违背任何基本定律。 完美超透镜曾引起很大争论【20-21】 ，对此 pendry 都一一对进行了反驳22-23，尽 管实际中不存在“完美透镜” ，但突破衍射极限的“超透镜”不仅理论被证明是可能 的24-28而且也被实验验证了29。随着对负折射产生的超透镜效应的研究，对于 tm 偏振光，在静态电场极限下，具有负介电常数的金属板也能够将倏逝波从薄板的 一端传输到另一端，这使得金属薄板可以作为突破衍射极限的超透镜，并被近来的 实验所证明31-32。随后 ramakrishna 等人设计了由多层金属-介质堆构成的超透 镜30。cai 等人提出了一种建立在金属-介质复合薄膜基础上的可调超透镜33。 但是，在工作波长上，超透镜和周围介质的介电常数必须匹配才能实现倏逝波的无 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 反射传输，限制了这种介质复合薄膜的应用。接着人们开始研究金属与介质介电常 数不匹配情况下超透镜的特性34-36。 负折射率介质除了超透镜效应外，还存在逆切伦科夫效应、反多普勒效应、反光压 效应，负折射率介质不仅支持电表面波，还支持磁表面波，不仅如此，负折射率介 质还会引起异常增强的光子隧道效应、负的古斯汉辛横移、巨型负的古斯汉辛横移、 反布儒斯特角、反临角、对原子自发增强等现象。 1.2 负折射基本理论负折射基本理论 电磁波在介质中的传播行为是由其介电常数和磁导率决定的。一束平面波在各向同 性均匀介质中的传播，其波矢和频率满足色散关系： 22 2 n k c =，其中n=为介质折射率，c为真空中光速。不考虑任何能量损耗，在 普通性材料中，n、和均为正实数，若和同时为负实数，表面看来，该色散 关系没有任何变化，但深入研究就会发现其中的差异。下面我们从axmwell方程出 发推导左手材料中电磁波的传播规律。介质中的axmwell方程及物质方程为： 0 0 b e t d h t bh dh = = = = v v v v vv vv （1） 对于平面单色波，电场矢量e v 和磁场矢量h v 的解都正比于 ()i k rt e vv g ，代入（1）式有： keh c khe c = = vvv vvv （2） 这里频率和光速c都是正实数。从这组等式可以看出在普通材料中，即和都是 正数时， vv k、e 和h v 遵守右手关系，而当和同时为负数时，它们将遵守左手系关 系，也就是k v 将指向 ()eh vv 方向。因此普通材料被称为右手材料，和同时为负 数的材料被成为左手材料。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 当电磁波从右手材料透射进入左手材料时，会出现不同于进入右手材料的折射现象。 如图 1-1 所示： 入射电磁波从介质 1 射向介质 2 时，在界面处要满足 maxwell 方程的边界条件： 12 12 1122 1121 tt tt nn nn ee hh ee hh = = = = （3） 这里 t 表示平行与界面的切向分量，n 表示垂直于界面的法向分量。当 1、2 两种介 质都是右手材料的时候， 如图 1-1a 折射就按照我们所熟悉的 snell 定律发生， 折射角 2 和入射角 1 满足下面的关系： 1222 211 1 sin sin n n = （4） 当介质 1 是右手材料，而介质 2 是左手材料时，界面上e v 和h v 的法向分量的方向是 一致的，而切向分量却有的相位跃变，加之介质 2 内keh vvv 、 、三者遵守左手系关 系，这时就会发生反常折射，折射光和入射光在界面法线的同一侧，这时折射光线 的波矢k v 和能流s v 的传播别如图 1-1（b） 和（c）所示。如果将 snell 定律做一推广： 定义负折射率材料的折射率为 222 n = ， 2 也相对于传统的折射角看作负角度， 这样仍然可以满足 snell 定律的形式，所以简称“负折射率” ，具有负折射率特性的 1 2 1n 2n a 1 2 k v 1 2 s v b c 图 1-1.电磁波在两种介质的界面上发生反射和折射。 图 a 是电磁波在两种右手材料界面上的反射折射。 图 b 是电磁波在右手材料和左手材料的界面上发生反射折射时的波矢方向 图 c 是电磁波在右手材料和左手材料的界面上发生反射折射时的能流方向。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 材料简称“负折射材料” ， 1.3 目前主要的研究方向和本文的主要研究内容目前主要的研究方向和本文的主要研究内容 目前关于负折射介质的研究主要内容包括以下几个方面： 1. 光频波段负折射介质的构造 负折射介质具备独特光学特性已经引起广泛的关注，而由于自然界天然的负折射 率介质，如何构造负折射介质成为当今被关注的热点。而且由于本世纪初实验的领 域都集中在微波波段，因此目前已个很重要的研究内容就是市选择合适的复合材料， 将负折射介质的工作频段拓展到可见光波段。 2. 负折射介质的制备 通过理论分析和数值模拟提出了合适的负折射介质构造方式之后，负折射介质的 制备，尤其是工作在光频的负折射介质的制备是一项很重要的研究内容，目前主要 的构造方法是使用复合结构。 3. 数值模拟验证 随着更多负折射介质的特异性质被发现，通过实验和数值模拟验证这些性质也是一 个重要研究内容。由于负折射介质的制备和构造条件往往比较苛刻，因此数值模拟 验证方法能给人们对负折射介质性质的研究带来极大便利。目前用于研究负折射介 质的最主要的数值模拟方法有三种，即传输矩阵方法，有限元法，时域有限差分法。 传输矩阵法和有限元法主要用来研究微波波段开口环共振器和金属线阵列构成的复 合材料的性质；时域有限差分法则可以完全模拟电磁波在负折射介质中的传播，因 此是目前研究负折射介质研究中最重要的数值方法。 4. 负折射介质的潜在应用 5. 除了超透镜以外，负折射介质还有很多其它应用，比如空间滤波，光束整形，能 量局域，近场光存储等。研究负折射介质在光频阶段的应用是一项重要的研究内 容。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 本文的主要内容有： 1第一章：介绍了负折射介质的概念、特性、制备方法以及目前的研究现状。 2. 第二章：介绍了本论文所用的传输矩阵法和并矢格林函数法。 3. 第三章：用传输矩阵法数值模拟分析了“完美超透镜”的完美成像分辨特性，同 时模拟分析了非匹配超透镜的成像特性，以及影响其成像特性的因素。 4 第四章：用并矢格林函数法数值模拟了球形超透镜的成像特性，证明了球形超透镜 的亚波长分辨能力，同时弥补了坐标变化法的不足。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 第二章基本理论第二章基本理论 本章主要介绍本论文分析平板超透镜所用的传输矩阵法，以及分析球形 超透镜所用的并矢格林函数法。 2.1 传输矩阵法传输矩阵法 传输矩阵法是研究电磁波在多层介质中的传播规律所常用的一种方法，在这 里以入射波为平面波为例作一介绍。 如图 2-1， 图 2-1 多介质层 考虑一个平面时谐电磁波入射到边界位于 0,1,.,n zddd= 处的分层介质。第（1n+） 层介质区域为半无限大区域并记作区域,1t tn=+。每一层介质的介电常数和磁导率分 别记作 l 和 l 。平面波从区域 0 入射，入射平面平行于x z平面。所有的场矢量都只 随x和z坐标变化而与y无关。由于/0y =，所以在任意的介质层中，maxwell 方程 都可以被分成 te 和 tm 分量。 对于 te 波， lx e= ly e=0, maxwell 方程化为下列三个独 立的标量方程（时间银子为exp()i t： x z 00 , 11 , 22 , l , nn , tt 区域 0 区域 1 区域 2 区域 n 区域 t=n+1 0 zd= 1 zd= 2 zd= 1n zd = n zd= 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 22 2 22 1 , 1 , ()0 lxly l lyly l llly he iz he ix e xz = = += （2.1.1） 对于 tm 波同理： lx h= ly h=0 22 2 22 1 , 1 , ()0 lxly l lyly l llly eh iz eh ix h xz = = += （2.1.2） 以上这两组方程通过 ,llll eh he 和 ll 的替换关系相互对偶。在均匀介质中， 若只考虑 te 波，入射波可以写成： 0 zx ik z ik x ly ee e + =， （2.1.3） 则第l层介质中的总场可以表示为： (), (), () lzlzx lzlzx lzlzx ik zik zik x lyll ik zik zik x lz lxll l ik zik zik x x lzll l eaeb ee k haeb ee k haeb ee =+ = =+ （2.1.4） 根据以上方程（2.1.1）和（2.1.4）可以得到色散关系： 222 xlzl kk += （2.1.5） 因为在每一个介质层中都存在多次反射和投射， 所以幅度 l a表示所有的具有z v方向传 播速度分量的波分量，而 l b则表示所有具有zv方向传播速度分量的波分量。 在边界上满足相位匹配 12 . xxlxx kkkk=： 在区域 0（0l =） ，则： 00, 00 are be = = (2.1.6) 在区域t中（1lnt=+ =） ， 0 0 t t a bte = = (2.1.7) 由于区域t为半无限空间， 而且其中不存在具有沿z+v方向速度分量传播的波， 可把透 射幅度记作 t。区域l中的波的幅度 l a和 l b与相临区域中波的幅度的关系 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 足边界条件。在 l zd= 处，为满足边界连续条件，即： (1)(1) (1)(1) 11 (1) 11 1 ()() lzllzl lzllzl lzllzl lzllzl ikdikd ik dik d llll ikdikdlz ik dik d lz llll ll aeb ea eb e k k aeb ea eb e + + + + + + +=+ = (2.1.8) 求解反射系数以及反射率： 求解方程(2.1.8)可以得到： (1)(1) (1)(1) (1)1(1)1 (1)(1)11 1 1 2 1 1 2 lzllzl lzl lzllzl lzl ikdikd ik d ll lll ll ikdikd ik d ll ll lll aepa erb e b epra eb e + + + + =+ =+ (2.1.9) 式中 (1) (1) 1 llz l l llz k p k + + + = （2.1.10） 对于波， (1) (1) (1) 1 1 l l l l l l p r p + + + = + （2.1.11） 从（1.1.10）式可以得知 (1) (1) (1)(1) 1 ll l l lll l p p rr + + + = = （2.1.12） 取（2.1.9）两方程的比值可以得到： (1)(1) (1)(1) (1)(1) (1) 1(1)12 (1)11 1 (1) 2 1 1 (1) 1 lzllzl lzl lzllzl lzllzl lzl lzl ikdikd ll llik d l ikdikd l l lll ikdikd l l l ik d l ikd l l l l a erb e a e bra eb e a ere b e a re b + + + + + + + + + + + + + = + + = + （2.1.13） 方程 （2.1.12） 给出了用 1 1 l l a b + + 表示 l l a b 的递推表达式， 可以一直到透射区域， 根据0 t t a b =， 可以求得分层介质的反射系数 00 /rab=. 则反射率为： 2 | r i zs rr zs = vg vg （2.1.14） 求解透射系数以及透射率： 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 根据(2.1.8)式可以得到： (1)(1) (1)(1) 11 11(1)( ) lzllzl lzllzl lzllzl lzllzl ikdikd ik dik d llll ikdikd ik dik d llllll a eb eaeb e a eb epaeb e + + + + +=+ = （2.1.15） 对于对于波，式中 1 (1) (1) llz ll llz k p k + + + =（2.1.16） 求解方程（2.1.15）可以得到 (1) (1) 1(1)(1) 1(1)(1) 1 1 2 1 1 2 lzl lzllzl lzl lzllzl ikd ik dik d lllllll ikd ik dik d lllllll a epaerb e b epraeb e + + + + =+ =+ （2.1.17） 将其表示成矩阵相乘的形式 (1)1 (1)1 1 (1) 1 lzl lzl lzllzl ikd ik d ll ll ikdik d l l a eae v b eb e + + + + + = g (1)1(1)1 (1)1 (1)1 ()() (1) (1)(1) () () (1) 1 1 2 lzlllzll lzll lzll ikddikdd ll llll ikdd ikdd ll ere vp re e + + + + + + =+ （2.1.18） 则得到第层n介质与透射区域1tn=+之间的 边界上的前向传输矩阵满足 0 nzn nzn ik d n tn ik d n a e v t b e = g （2.1.19） 其中 1 1 2 tzntzn tzntzn ik dik d tn tntn ik dik d tn er e vp r ee =+ 则透射率为 | 2 0t tpt= （2.1.20） 2.2 并矢格林函数法并矢格林函数法 用并矢格林函数方法处理电磁波场问题是本世纪 40 年代以后发展起来的，用这种方 法可以求解各类电磁场边值问题和各类复杂媒质中的电磁场问题，是处理电磁场问 题的一种系统理论和有效方法。下面介绍并矢格林函数的基本理论： 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 我们考虑一个位于 r 处的无穷小的电流源：沿着 x 方向，它的强度是 0 1 i 可以写 出它的表示形式 )( 1 )( 0 rr i rj = （2.2.1） 在自由空间中，场量)(re 和)(rh 分别满足下面的方程 )()()( )()()( 2 0 2 rjrhkrh rjirekre = = （2.2.2） 引进矢势)(ra 和标量函数)(r 时，上式变为 3 0 0 2 4 ),( )(),()( )( 1 )( )( 1 1 )( rr e rrg rdrjrrgra rarh ra k ire rrik = = = += （2.2.3） 将（2.2.1）式代入（2.2.2）式 得 xrrg i ra),( 1 )( 0 = 如果我们把这电流源产生的电场用),( )( 0 rrg x 表示，则 xrrg k rrg x ),() 1 1 (),( 0 2 )( 0 += （2.2.4） 它是下面方程的解 xrrrrgkrrg xx )(),(),( )( 0 2)( 0 = （2.2.5） 对于远场的情况，它应该满足辐射条件 0),(),(lim )( 0 )( 0 = rrgrikrrgr xx r （2.2.6） 我们就把),( )( 0 rrg x 叫做自由空间的极化方向在 x 方向上的点源的矢量格林函数，用 上标 x 标记， 把另外两个方向上的格林函数标记为),( )( 0 rrg y 和),( )( 0 rrg z ， 它们满足 方程 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 zrrg k rrg yrrg k rrg zrrrrgkrrg yrrrrgkrrg z y zz yy ),() 1 1 (),( ),() 1 1 (),( )(),(),( )(),(),( 0 2 )( 0 0 2 )( 0 )( 0 2)( 0 )( 0 2)( 0 += += = = （2.2.7） 由此可以看出，在 x，y，z 三个方向上，都存在各自方向上的矢量格林函数。我们 用一个并矢函数把这三个各自方向上的矢量格林函数统一表示起来，这样就能写出 把三个方向上的矢量格林函数用一个并矢格林函数统一表示： zrrgyrrgxrrgrrg zyx ),(),(),(),( )( 0 )( 0 )( 0 0 += （2.2.8） 我们就把它称为自由空间中的并矢格林函数。在（2.2.7）式中分别放置上单位 矢量zyx , , 再相加，我们就得到格林函数满足的微分方程： )(),(),( 0 2 0rrirrgkrrg = （2.2.9） 把（2.2.4）和（2.2.7）式代入到（2.2.8）式中，我们就得到),( 0rrg 和),( 0 rrg 的 关系 ),() 1 (),() 1 1 (),( 0 2 0 2 0rrg k iirrg k rrg +=+= （2.2.10） 把三个矢量格林函数的辐射条件结合在一起，就构成了并矢格林函数的辐射条件： 0),(),(lim 0 0= rrgrikrrgr r （2.2.11） 所以，如果知道了并矢格林函数，那么任意电流源所产生的场就能用并矢格林函数 来表示 5 3 0 0 )(),()(rdrjrrgire = （2.2.12） 下面我们用麦克斯韦方程组来导出并矢格林函数，存在三个方向上的电流分布 )3 , 2 , 1( =jj j 所产生的三组简谐场，它们具有相同的振荡频率且处于相同的环境条 件，此处的介质为空气，介电常数为 0 ，磁导率为 0 ，矢量电荷密度函数 含有三 个不同的标量电荷分布 i ，此时的麦克斯韦方程组可以写成下面的形式： 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 0)( )( 0 0 0 0 = = = = = j jj jj jjj jj h e ij eijh hie （2.2.13） 如果在三个方程的两边都后置 j x ，并将三组方程相加，就能得到麦克斯韦方程组的 并矢形式： 0)( )( 0 0 0 0 = = = = = h e ij eijh hie （2.2.14） 矢量电荷函数 含有三个不同的标量电荷分布。 现在我们考虑空间中 rr =处存在三个无穷小的电偶极子，他们的极化方向分别为 zyx , , ，相应的电流分布可表示为 3 , 2 , 1,)( =jxrrcj jjj （2.2.15） j c表示偶极子的电流矩， = jjj xcdvj 将电流矩归一化，使 1 0 =i 于是 jjjj xrrxrrciji)()( 00 = 引入一组新的符号： c k rr k rrij i rriji ghi ge m e = = = = = 00 2 0 0 2 0 0 )()( 11 )( 利用上面的符号（2.2.14）式可变为： 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 0 )( 1 )( 2 2 = = += = m e em me g rr k g gkrrig gg （2.2.16） 这样定义的 e g也称为电型并矢格林函数， m g称为磁型并矢格林函数。 电型并矢格林函数和磁型并矢格林函数满足方程（2.2.9） ，得到 )(),(),( 2 rrirrgkrrg ee = )(),(),( 2 rrirrgkrrg mm = （2.2.17） 对这两个方程的求解，最后得到自由空间的电型并矢格林函数和自由空间的磁型并 矢格林函数： ),(),( ),() 1 (),() 1 1 (),( 0 0 0 2 0 2 0 rrgirrg rrg k iirrg k rrg e e = +=+= （2.2.18） 最后利用自由空间的并矢格林函数的对称关系以及第一类、第二类磁型和电型 并矢格林函数的对称性关系，就会很方便地对电磁场问题进行求解。 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 第三章平板超透镜第三章平板超透镜 3.1 完美超透镜成像特性完美超透镜成像特性 2000年pendry首次提出并数学推导了可以用一个用负折射材料做成的薄板来实 现完美超透镜，他指出在真空中以指数规律衰减的倏逝波在负折射介质中并没有衰 减，而是变成了传输波，从介质中透射出来时，它的振幅被放大了，能量没有损耗， 实现了完美成像。本节应用传输矩阵方法对于其完美成像进行数值模拟从而给与以 证明。 3.1.1 完美超透镜的传输矩阵理论完美超透镜的传输矩阵理论 pendry所分析的完美超透镜是一种平板超透镜，这种平板超透镜是由负折射材料制 成的两边平行的薄板，所用材料的介电常数和磁导率都是-1（即11= = ，） ，这时 折射率应取负平方根，这样才遵守斯涅尔定律。当光入射到这种介质内部时，发生 了反常折射现像，折射光线和入射光线分居法线同侧，并且有两次会聚效应，即在 透镜内外分别进行了一次会聚，若点光源到平板前表面的距离为 l，平板厚度为 d， 则第二次会聚点离平板后表面的距离：z=d-l，光路如图 3-1 所示。两次会聚对应着 两次成像，所成像的大小与物体的大小相等。 对于求解平面电磁波在多层右手材料介质中的传播特性的传输矩阵已在2.1节中 作了详细阐述，传输矩阵法同样也可以应用于多层负折射率介质中。将入射的平面 lddl 图 3-1 平板超透镜 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 电磁波分解为tm波和te波， 对这两种波分量在多层负折射率介质中的传输可以分 别进行研究。但不同的是在负折射率介质中0 z kp，即沿z方向传播的波有一个负相 位速度，但能流沿z的正方向传播。因在每一层介质中都存在正向和逆向传播两种 本征模式，通过这两种模式的联系，可以由前一层介质中的电磁场分量求出后一层 介质中的电磁场分量的值。以下是负折射率介质层中的传输矩阵。 根据te波的电场分量e和tm的磁场分量h分别垂直于入射面，为简化讨论， 同时讨论两种情况，用相同符号, , , ,a b c 表示不同的偏振态。其中参量 对于te波，0=， 对于tm波，1=， (3.1.1.1) , ,a b c分别对应于每种偏振态中的电场和磁场的各个分量 当0=时，, yyz aebhch= = 当1=时，, yyz ahbe ce= (3.1.1.2) 这两个分量的关系通过定义一个系数来表示， 根据麦克斯韦方程， 定义系数如下： 当介质层为右手材料时 当0=时， 0 / ( ) cos/ ( ) , z knz= (3.1.1.3) 当1=时， 0 / cos/ , z kzn= 当介质层为负折射材料时 当0=时， 0 cos/ , nz= (3.1.1.4) 当1=时， 0cos /( ) zn= (3.1.1.3) 和(3.1.1.4)两公式表明无论折射率为正值还是负值，两种情况下的系数符 号都不变。 设定aj +、 j a和 1 aj + + 、 1j a+分别是第j层和1j +层界面处的正行波场分量和负行 场分量。由光波相位性质分析，容易给出aj +、 j a和 1 aj + + 、 1j a+之间的相位变化关系 1 1 aa exp (ik ,z ) -exp (ik ,z ) aa0 0 jj jzj jzj jj + + + = ， (3.1.1.5) 其中 j+1j, z z = ( z- z ) 0 , k 0 j 。而右手材料中的相位变化关系 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 1 1 aaexp (ik ,z ) -exp (ik ,z ) 0aa 0 jj jzj jzj jj + + + = (3.1.1.6) 若选取 , z k 0 j ，则两者在形式上一致。经过简单推导,可以得到负折射率介质薄层中 的传输 1 1 1 sin(ik ,z ) acos(ik ,z )a aisin(ik ,z )cos(ik , z ) jzj jjzjj j jjjzjj jzj b + + + = (3.1.1.7) 负折射率介质薄层中的传输矩阵 1 1 1 sin(ik ,z )acos(ik ,z )a isin(ik ,z ) a cos(ik ,z ) jzj jjzjj j jjzj jj jzj b + + + = (3.1.1.8) 若有介质是多层介质组成的介质堆，则总的传输矩阵可由各层传输矩阵相乘得到 total 1 m= j i i m = (3.1.1.9) 假定用, iis aaa +分别表示入射波、反射波、透射波的横向电场分量，则反射系数和 透射系数可表示为 /,/ iisi raataa + = 它们可由以下公式求得 total 1 )(1 m 1 sc r r = + (3.1.1.10) 3.1.2 完美超透镜数值模拟分析完美超透镜数值模拟分析 由负折射材料制成的平行薄板，它与真空构成了真空-负折射材料-真空三层介 质结构，应用传输矩阵理论进行的计算模拟显示，对于完美匹配超透镜，不论是 te 偏振波还是 tm 偏振波，能量能全部透射入介质中。如图 3-2 所示，图中横坐标代表 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 横向波矢量 x k与真空波矢量 0 k的数值比值（以下 0 k都表示真空波矢量） ，纵坐标代表 透射率，入射波长为 365nm，负折射材料厚度为 10nm,入射面距离负折射材料的左界 面是 2 nm，出射面距离距离负折射材料的右界面也是 2 nm 该图显示了 te 偏振波和 tm 偏振波的传输情况，两种情况下的反射率和透射率曲线重合。 从图中可以看出传输波的透射率等于常数 1，反射率为零，说明传输波的传输与入射 角度没有关系，传输波在介质界面上没有反射损耗，所有的传输波都通过负折射材 料薄板透射到真空中。倏逝波反射率为 0，透射率大于 1，而且横向空间频率越大的 倏逝波，透射率越高，说明负折射材料薄板能够放大倏逝波，使倏逝波参与成像， 从而突破了衍射极限。我们知道倏逝波能量不能传输到远场，只能在源的附近流动， 通过超透镜后它能够传播到更远的距离并且被放大是因为入射的电磁波在真空与负 折射材料的界面上激发了表面模，表面模能放大倏逝波的振幅并且将它耦合到较远 的距离。 0123456 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 transverse wave kx/k0 r e fl e c ta n c e r a n d t r a n s m itt a n c e t double interface te reflectance te transmittance tm reflectance tm transmittance 图 3-2 完美超透镜对电磁波的传输 3.2 非匹配超透镜成像特性非匹配超透镜成像特性 对于tm偏振光，在静电限制下，具有负介电常数的金属板能够大幅度地将倏逝波 从薄板的一端传输到另一端， 这是突破衍射极限分辨率的超透镜的关键。ramakrishna 等人随后设计了由多层金属-介质堆构成的超透镜，薄金属板层能够减少金属板的材 料损耗。cai等人提出了一种建立在金属-介质复合薄片基础上的可调透镜，近来用 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 烟 台 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 一个银超透镜和一个单结晶sic超透镜实验证明了分辨率突破衍射极限的光学成像。 然而这些超透镜是建立在超透镜和周围介质在工作波长上有一个匹配介电常数之上 的，因为在实际中适合的材料是有限的，这将限制它们的应用。近来的工作转向金 属和介质的介电常数不匹配的情况。 图3-3金属-介质交替组成的多层介质超透镜 3.2.1非匹配的金属介质多层超透镜与右手材料构成的多层 介质比较 非匹配的金属介质多层超透镜与右手材料构成的多层 介质比较 图 3-3 是多层介质交替排列的模型图，当金属-介质交替排列时，与空气接 触的层是介质帽层，然后是金属、介质、金属依次排列，介质帽层的介质是折射率 较大的介质，大折射率的介质有利于倏逝波的增强透射。图 3-4a 是 23 al o（英文名 字 corundum） （3.217=）和石英（石英的英文名字是 silica） （2.4=）交替构成 的多层介质中传输波传输情况，入射波长是 365nm，介质层数为 7 层，除第一层和最 后一层是 12 nm 外，其他各层厚度均为 35nm。透镜的周围介质是空气。对于 tm 波， 横向波矢为 0 时透射率为 93%，透射率随着横向波矢的增大先是逐渐减小到大约 90% 后又逐渐增大，横向波矢约为 0.83 0 k时透射率达到最大接近 100%，相应的反射率在 横向波矢为 0 时是 7%，反