（控制理论与控制工程专业论文）非均匀采样数据系统的辨识方法研究.pdf

摘要 摘要 传统采样数据系统的输入刷新周期与输出采样周期相等，操作频率相同而且同步，这种只 有单一操作频率的系统称为单率系统然而，在化工过程中，某些指示化工产品质量的数据不 能直接在线测量，导致输出采样频率比系统的输入刷新频率慢，这种具有两种及两种以上操作 频率的系统称为多率系统多率系统虽然具有多种操作频率，但是对于各个输入或输出通道来 说，采样频率是保持不变的，即采样间隔不变当系统的输入刷新或输出采样间隔呈现不等时 间间隔时，则得到非均匀采样数据系统由于硬件设备的限制等原因，非均匀采样数据系统广 泛存在于过程工业中，寻求这类系统的有效参数辨识方法，具有重要的理论意义和实际应用价 值针对这一现状，拟定课题为非均匀采样数据系统的辨识方法研究作者在查阅了大量相关 文献的基础上，对该课题进行了深入的研究，取得了如下成果。 1 在白噪声干扰下，推导了辨识非均匀采样数据系统c a r 模型参数的随机梯度算法为了 提高算法的收敛速度和辨识精度，分别引入遗忘因子和新息长度，推导了遗忘梯度算法和 多新息随机梯度算法，并利用随机过程理论对这两种算法的收敛性做了详细的理论分析， 文中的仿真例子也表明了所提出算法的有效性 2 利用辅助模型技术，推导出辨识非均匀采样数据系统输出误差模型的辅助模型随机梯度算 法，并利用鞅收敛定理证明了该算法的收敛性同时也得到了辅助模型遗忘梯度算法和辅 助模型多新息随机梯度算法，仿真例子表明：通过选取合适的遗忘因子与新息长度，两种 算法都可以得到令人满意的辨识效果 3 在m a 模型和a r m a 模型描述的有色噪声干扰下，研究了非均匀采样数据系统c a r m a 模型、c a r a r m a 模型、o e m a 模型以及b o x - j e n k i n s 模型的梯度型辨识方法基本思 想是将不可测的白噪声项和有色噪声项分别用其估计代替，将不可测的未知真实输出用辅 助模型的输出代替。最后通过仿真例子对各算法的辨识性能进行了验证 关键词：多率系统；非均匀采样数据系统；参数估计；随机梯度；多新息；辅助模型 a b s tr a c t t h et r a d i t i o n a ls a m p l e d - d a t as y s t e m sa r ew i t he q u a li n p u tu p d a t i n gp e r i o da n do u t p u t s 锄p l i n gp e r i o d t h eo p e r a t i o nf r e q u e n c y o fw h i c ha r es a m ea n ds y n c h r o n o u s ，s u c hs y s t e i i l 8w l t n s i n g l eo p e r a t i o nf r e q u e n c ya r ec a l l e ds i n g l e - r a t es y s t e m s h o w e v e r ，i nt h e c h e m i c a lp r o c e s s e s ， m a n v 、瞰i a b kt h a ti n d i c a t et h ep r o d u c tq u a l i t yc a nn o tb eo n l i n em e a s u r e d ，w h i c hr e s u l t s i ns l 【) w e ro u t p u ts a m p l i n gf r e q u e n c yt h a ni n p u tu p d a t i n gf r e q u e n c y s u c hs y s t e m sw i t nt w o o rm o r eo p e r a t i n gf r e q u e n c i e sa r ec a l l e dm u l t i r a t es y s t e m s a l t h o u g ht h i sk i n do fs y s t e 。n 8 w i t hm a n vd l 如r e n tf r e q u e n c i e s ，t h es a m p l i n gf r e q u e n c yf o re v e r yi n p u to ro u t p u tc h a n n e l a l w a v sr e m a i n st h es a i n e ，i no t h e rw o r d s ，t h es a m p l i n gi n s t a n t s o fw h i c ha r ec o n s t a n t h t h eu p d a t i n ga n ds a m p l i n gi n s t a n t so ft h es y s t e m sa r en o n - u n i f o r m l ys p a c e d ，t h e nw eg e t n o n u n i f o r m l ys a m p l e d - d a t as y s t e m s t h e s es y s t e m se x i s tw i d e l yi np r o c e s si n d u s t r i e sd u e t o h a r d w a r ed e v i c ec o n s t r a i n t s s e a c h i n gf o re f f e c t i v ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm e t h o d sf o rn o n - u n i f o 咖1 ys 锄p l e d - d a t as y s t e m si s w o r t hw i t ht h e o r e t i c a la n de n g i n e e r i n gv a l u e s t h e r e t o r t h er e s e a r c hm a i n l yf o c u s e so ni d e n t i f i c a t i o nf o rn o n - u n i f o r m l ys a m p l e d d a t as y s t e m s b a s i n g o np l e n t i f u lr e f e r e n c e s ，t h es u b j e c ti ss t u d i e di nt h i st h e s i sa n dt h em a i n c o n t r i b u t i o n sa r ea u s f o l l o w s 1 w i t hw h i t en o i s ei n t e r f e r e n c e ，t h ec a r m o d e lf o rn o n - u n i f o r m l ys a m p l e d - d a t as y s t e m si s d e r i v e d t os p e e du pt h ec o n v e r g e n c er a t ea n di m p r o v et h ep a r a m e t e re s t i m a t i o na c c u r a c y ， b yi n t r o d u c i n gt h ef o r g e t t i n gf a c t o ra n d t h ei n n o v a t i o nl e n g t hr e s p e c t i v e l y , t h ef o r g e t t l n g g r a d i n ta l g o r i t h ma n dt h em u l t i - i n n o v a t i o ns t o c h a s t i cg r a d i e n ta l g o r i t h ma r ep r e s e n t e d t h ec o n v e r g e n c eo ft h et w oi m p r o v e da l g o r i t h m sa r ea n a l y z e dd e t a i l e d l y b yu s i n gt h e t h e o r yo fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，a n dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m s i sv e r i f i e d b yt h es i m u l a t i o ne x a m p l e s 2 b ya p p l y i n ga u x i l i a r ym o d e lm e t h o d ，t h ea u x i l i a r ym o d e lb a s e ds t o c h a s t i cg r a d i n ta l g o r i t h mi sp r o p o s e dt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e r so fo u t p u te r r o rm o d e lf o rn o n - u n i f o r m l y s a m p l e d d a t as y s t e m s ，a n di t sc o n v e r g e n c ep r o p e r t y i sp r o v e db yu s i n gt h ec o 艄r g e n c e t h e o r e mo fm a r t i n g a l e t h ea u x i l i a r ym o d e lb a s e df o r g e t t i n gg r a d i n ta l g o r i t h ma n dt h e a u x i l i a r vm o d e lb a s e dm u l t i i n n o v a t i o ns t o c h a s t i cg r a d i e n ta l g o r i t h m a r ep r e s e n t e dt o o t h es i m u l a t i o ne x a m p l e ss h o wt h a tt h ei d e n t i f i c a t i o nr e s u l t sa r e s a t i s f a c t o r i e db yc h o o s i n g a p p r o p r i a t ef o r g e t t i n gf a c t o ra n di n n o v a t i o nl e n g t h 3 w h e nt h ed i s t u r b e dn o i s e sa r ed e p i c t e db ym a m o d e l sa n da r m am o d e l s ，r e s p e c t i v e l y , t h eg r a d i e n tt y p ei d e n t i f i c a t i o nm e t h o d so fc a r m am o d e l ，c a r a r m am o d e l ，o e m a i i i a b s t r a c t m o d e la n db o x - j e n k i n sm o d e lf o rn o n u n i f o r m l ys a m p l e d - d a t as y s t e m sa r es t u d i e d t h e b a s i ci d e ai st or e p l a c et h eu n k n o w nn o i s et e r m sw i t ht h e i re s t i m a t e sa n dt h eu n k n o w n t r u eo u t p u t sw i t hw h i c ho ft h ea u x i l i a r ym o d e l 。t h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a tt h e s e a l g o r i t h m sa r ee f f e c t i v e k e y w o r d s ：m u l t i r a t es y s t e m s ；n o n - u n i f o r m l ys a m p l e d - d a t as y s t e m s ；p a r a m e t e re s t i - m a t i o n ；s t o c h a s t i cg r a d i e n t ；m u l t i i n n o v a t i o n ；a u x i l i a r ym o d e l s i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是苯人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 签 名：立缸盖乳一日 期：j 雹肖。牲 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文， 并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签 名： 谭葱一 导师签名： 日期： j y 。 2 新戽箩曰3 i 目 j 一 第一章概论 1 1 问题提出与研究意义 第一章概论 1 问题提出 如果系统的输入通道或( 和) 输出通道各自的采样呈现不等时间间隔，则该系统称为非 均匀采样数据系统在化工过程中，由于设备的限制等原因，许多指示产品质量的变量都 是经过非均匀采样获得的【1 i 例如，在近年来出现的高速波形存储器或瞬态测试仪中， 采样时基做的不够精确，导致系统的实际采样过程是非均匀的【2 】；在多通道并列采样中， 各路之间的时延不等也会造成非均匀采样【3 】同时，非均匀采样在对系统进行离散化的 过程中比均匀采样更能保证系统的能控性和能观性，因而在过程监控，故障检测和分布控 制系统中得到了广泛的应用【4 】此外，非均匀采样具有不受采样频率限制，频率分辨率 高以及抗混叠等优点，在信号处理等方面也得到了广泛的应用【5 】 非均匀采样数据系统是一类更为一般的多率系统，但是由于其采样的非均匀性，使得 多率系统的辨识方法不能直接适用于非均匀采样数据系统因此，将课题确定为非均匀采 样数据系统的辨识方法研究参数辨识的方法多种多样，比如经典的最小二乘类辨识方法， 梯度型辨识方法，最大似然法等等。因为梯度型辨识方法具有计算量小的优点，特别适合 于待辨识参数较多的系统。离散化后的非均匀采样数据系统参数量会大大增加，采用梯度 型辨识方法可以在短时间内精确地获得系统参数，因此，本文将主要研究非均匀采样数据 系统的梯度型辨识方法 2 研究意义 本课题以国家自然科学基金面上项目为背景展开，针对国内外许多复杂化工生产过程 中广泛存在非均匀采样问题的现状，研究非均匀采样数据系统的辨识问题对系统模型作 出精确的辨识，是得到良好控制效果的基础若能找到适合的辨识方法来提高此类系统建 模的精度，从而进行有效的控制，必能提高生产效率和降低成本因此，研究非均匀采样 数据系统的辨识问题具有很大的理论意义和实用价值。 1 2 多率系统辨识方法综述 存在两种及两种以上操作频率的系统称为多率系统( n m l t i r a t es y s t e m s ) 6 】例如，对于单 输入单输出离散时间系统，当控制输入刷新周期乃不等于输出采样周期正( 五咒) 时， 得到最简单的多率系统，称为双率系统( d u a l r a t es y s t e m s ) ，如图1 1 所示其中y ( t ) 为系统 输出，代表周期为五的零阶保持器，代表周期为正的采样器，y ( k t 2 ) 为y ( t ) 的 江南大学硕士学位论文 图1 1 双率采样数据系统 f i g 1 1t h ed u a l r a t es a m p l e d d a t as y s t e m s 周期为正的采样信号。由于采用零阶保持技术，敖u ( t ) 与离散信号u ( k t l ) 有关系：u ( t ) = u ( k t l ) ，k t l t u 0 。l i m 。肌= 0 ，胁= o o ，肌2 = o 。 co。一一 随机梯度算法给出的参数估计误差一致有界，在强持续激励条件下参数估计误差一致收敛 于零 3 4 】。最近，在弱条件下随机梯度算法的收敛结果也得到了证明【3 5 】随机梯度算法比最 小二乘类算法的计算量小得多，但是收敛速度很慢，为了提高随机梯度算法的收敛速度，在算 法中引入遗忘因子入，即式( 2 2 2 ) 中的r ( t ) 选择为 n ( t ) = r ( t ) i ，r ( t ) = a r ( t 一1 ) + l ic j | o ( t ) 悒 得到收敛速度较快的遗忘因子随机梯度算法，简称遗忘梯度算法( f g ) ： 郎) 卸( 卜1 ) + 籍 卵) 一州啪( 卜1 ) 】， r ( t ) = a r ( t 一1 ) + i i , p ( t ) i 1 2 ，r ( o ) = 1 ，0 a 1 ， 当a = 1 时，遗忘梯度算法就是随机梯度算法丁锋等提出和研究了遗忘梯度辨识方法的性 能【3 6 】，研究了时变系统遗忘梯度算法参数估计的误差界【3 7 l ，并把遗忘梯度算法用于时变多变 量系统的辨识【3 8 】 梯度搜索( 迭代) 原理除了在系统辨识领域得到了广泛的应用之外，还被用于求解李雅普 诺夫矩阵方程，广义西尔维斯矩阵方程和耦合矩阵方程【3 9 _ 4 ”。除了在随机梯度算法中引入 遗忘因子以加快算法的收敛速度外，丁锋教授还通过引入新息长度，将标量新息扩展为新息向 量，提出收敛速度更快，参数估计更平稳的多新息随机梯度算法，并分别在强持续激励条件和 衰减激励条件下研究了多新息随机梯度算法的收敛性【4 2 “】。多新息辨识方法能够克服坏数 据对参数估计的影响，具有较强的鲁棒性，可以跟踪时变参数，目前已形成一大类方法族，可 以用于研究各种模型的辨识问题 对于辨识模型( 2 2 1 ) ，新息定义为 e ( t ) = y ( t ) 一妒t ( ) p ( t 1 ) ， 多新息辨识方法的基本思想是将标量新息( 单新息) e ( 亡) 扩展为新息向量( 多新息) e ( p ，t ) = e ( 亡) ，e ( t 一1 ) ，e ( t p 十1 ) t 瞅， 1 0 第二章预备知识介绍 其中正整数p 表示新息长度，且 e ( 亡一t ) = y ( t t ) 一9 t ( 亡一i ) o ( t i 一1 ) 通常认为t 一1 时刻的估计o ( t 一1 ) 比t i ( i 1 ) 时刻的估计台( 亡一i ) 更接近真值p ，所以新 息向量可修改为 e ( p ，t ) = y ( t ) 一9 t ( 亡) 口( 亡一1 ) y ( t t ) 一9 t ( 亡一1 ) o ( t 一1 ) ： v ( t p t + t ) 一9 t ( 亡一p + 1 ) 0 ( t 一1 ) 分别定义堆积输出向量和堆积信息矩阵如下， y ( p ，t ) = 阿 ) ，可( 亡一1 ) ，秒( 亡一p + 1 ) 】t 妒， 圣，t ) = 【9 ( 芒) ，9 一1 ) ，p ( 亡一p + 1 ) 】r 竹p 则新息向量可以表达为 e ( p ，t ) = y ( p ，t ) 一垂t 仞，t ) o ( t 一1 ) 因为e ( 1 ，t ) = e ( 亡) ，西( 1 ，t ) = p ( 亡) ，y ( 1 ，t ) = 秒( 亡) ，所以随机梯度算法可以等价表达为 蚍) 硼) + 等叭沪毗咖哪 上式中新息长度p = 1 简单的推广，可得新息长度为p 的多新息随机梯度算法( m i s g ) ： 郎脚( ) + 等【y ( p ，旷毗p 一砸圳 r ( t ) = 7 ( 亡一1 ) + i i 垆( t ) 1 1 2 ，r ( 0 ) = 1 ， 垂( p ，t ) 一 9 ( ) ，9 ( 一1 ) ，9 ( 亡一p + 1 ) ， y ( p ，t ) = b ( 亡) ，耖( 亡一1 ) ，秒( 亡一p + 1 ) 】t 2 3 系统噪信比的计算 顾名思义，系统噪信比就是系统输出中噪声的均方差与不含噪输出信号的均方差之比噪 信比是人们在做系统仿真研究中衡量噪声水平的一个重要指标，其大小可以说明仿真算法的抗 干扰能力下面将介绍直接由系统的传递函数计算噪信比的方法。 江南大学硕士学位论文 1 单输入单输出( s i s o ) 系统的噪信比及其计算 单输入单输出( s i s o ) 随机系统如图2 1 所示，其噪信比矗。定义为输入为零时噪声作 用于系统的输出的均方差与噪声为零时输入作用于系统的输出的均方差之比，即图2 1 中 叫( 亡) 的方差d ( 亡) 】= 2 与x ( t ) 的方差d p ( 亡) = 仃z 2 之比的平方根，用数学关系式可表 达为 6 n s =，或氏= 盯枷 o x 定理2 3 1 设输入 u ( 亡) 是零均值方差为盯：的不相关随机变量序列， 秽( ) ) 是零均 值方差为仃2 的不相关白噪声序列，则系统( 参见图2 1 ) 噪信比的计算公式为 6 n 。：一o w l o o ， o x 吒叫球m 驯= 毛蔓酢) 球_ 1 ) 警，j = 仃， 叩钆】= 翕蔓g g 扩1 ) 警， 其中c 是沿z 平面单位元逆时针方向一周的封闭曲线。 2 多输入多输出( m i m o ) 系统的噪信比及其计算 设m i m o 系统用传递函数矩阵描述为 妙( 。? 2 茁( 。) + ( 。) = g ( z ) u ( 亡) + 日( z ) ( 。) ，( 2 3 1 ) i 茁( 亡) = g ( z ) 乱( ) ，w ( t ) = 日( z ) 钞( 亡) ， 、7 其中u ( t ) = 饥( 亡) ，u 2 ( 亡) ，“，( 亡) | t 融为系统的输入向量， 可( ) = l ( 线y 2 ( t ) ， ( 亡) 】t 肽m 为系统的输出向量， v ( t ) = 【v i ( t ) ，秒2 ( 亡) ，v q ( t ) t 瓞q 为随机噪声向量 ( 不可测) ，z ( 亡) = x l ( t ) ，x 2 ( t ) ，x m ( t ) 】t r m 为系统的无噪输出向量( 不可测) ，w ( t ) = 【w l ( t ) ，w 2 ( t ) ，w m ( 亡) t r m 为噪声模型的输出向量( 不可测) ，c ( z ) = 【g i l ( z ) 】妒舯 为系统的传递函数矩阵，h ( z ) = h i t ( z ) 】r m q 为噪声模型的传递函数矩阵 m i m o 系统的第i 个输出犰( 亡) 的噪信比瓯。( i ) 定义为叫i ( ) 的方差2 i = 驯毗( t ) 与 甄( 亡) 的方差吒2 。= d k ( t ) 】之比的平方根，即 6 n 。( z ) = l o o ：丝l o o o x i 1 2 第二章预备知识介绍 假设输入 u ( 亡) ) 采用零均值方差为 茈( 1 ) ，口：( 2 ) ，盯：( r ) ) 的不相关随机噪声向量 序列， 钐( 亡) 是零均值方差为 盯2 ( 1 ) ，盯2 ( 2 ) ，0 - 2 ( 口) ) 的不相关白噪声向量序列，且 u ( 亡) 】与 t ，( 亡) ) 不相关有 d w i ( t ) 】 d x i ( t ) 】 2 4 鞅收敛定理 g f = 1 m i - - - - 1 筹加讹z 筹红捌 ，一1 、d z 【z1 ) 了， 石 鞅( m a r t i n g a l e ) 的概念在现代概率论中起重要作用，它已成为当今辨识与自适应控制领域 内必不可少的研究工具之一鞅理论中最常用的部分是不等式与收敛定理，其中鞅收敛定理是 研究时不变随机系统递推辨识收敛性的数学分析工具 定理2 4 1 ( 鞅收敛定理) 设 t ( 亡) ) ， ( t ) 】- ， 刃( 亡) ) 均为非负随机变量序列，它们适应于 递增口代数序列五( 即它们是五可测的) ，且满足 e t ( t + 1 ) 1 五】t ( t ) 一( 亡) + 钌( 亡) o 。 若留( 亡) o 。，a s 则t ( t ) 几乎肯定( a s ) 地收敛于一有限的随机变量死，即t ( t ) 一蜀 0 0 ， t = l o o 并且有g ( 亡) 0 0 ，a s = 1 鞅收敛定理的证明可参考郭雷编著的时变随机系统一一稳定性、估计与控制【4 5 】 1 3 第三章非均匀采样数据系统c a r 模型 第三章非均匀采样数据系统c a r 模型 本章将第二章所介绍的有关单率系统辨识的理论和方法，推广应用于非均匀采样数据系统 的参数辨识首先阐述了输入非均匀周期刷新，输出周期采样的非均匀采样方案，在无噪声干 扰的情况下推导出这类非均匀采样数据系统的状态空间模型，然后将其转化为输入输出表达的 确定性自回归滑动平均模型( d a r m am o d e l ) 假设附加噪声为白噪声，得到非均匀采样数据 系统受控自回归模型( c a rm o d e l ) ，推导出辨识此模型参数的随机梯度算法由于随机梯度算 法收敛速度太慢，本章提出两种改进的算法，以提高随机梯度算法的收敛速率和辨识精度通 过在算法中引入遗忘因子，提出辨识非均匀采样数据系统c a r 模型参数的遗忘梯度算法；通 过引入新息长度，提出多新息随机梯度算法文中利用随机过程理论对两种改进的随机梯度算 法的收敛性进行了详细的理论分析，并通过m a t l a b 仿真例子对提出算法的有效性进行验证 3 1 模型描述 确定性非均匀采样数据系统，即无噪声干扰条件下的非均匀采样数据系统如图3 1 所示， 由离散时间输入信号u ( k t + t 1 ) 经过非均匀零阶保持器“r 得到连续信号u ( 亡) ，经过连续时间 过程只产生系统的输出可( 亡) ，再经过输出采样器岛得到离散输出信号y ( k t + t ) 图3 1 确定性非均匀采样数据系统 f i g 3 1d e t e r m i n i s t i cn o n - u n i f o r m l ys a m p l e d - d a t as y s t e m s 非均匀零阶保持器咒r 在第k 个周期 k t ，( k + 1 ) t ) 上控制输入乱非均匀地刷新m 次，刷新 间隔依次为 n ，吃，) ，即输入刷新时间点为t = k t + t i ，i = 1 ，2 ，m ，k = 0 ，1 ，2 ， 其中t i ：= t 1 + 见+ + 瓦( 设t o = 0 ) ，t = t 1 + 您+ + 为框架周期。从而非均匀零阶保 持器何丁的特性可以表示为 u ( t ) 丁) ，k t t k t + t l ， t + t 1 ) ，k t + t l t k t + t 2 ， t + t m - 1 ) ，k t + t i n - 1 t ( k + 1 ) t 输出采样器岛的采样周期等于输入的框架周期，即系统输出在点t = k t + t 周期采样这 样的刷新和采样方案如图3 2 所示 即使连续时间系统只是一个时不变系统，由于非均匀周期刷新和周期采样方案，从u ( k t + t t ) 到y ( k t + t ) 也是一个时变系统然而，将m 个输入放在一起，构成一个多输入信号 1 5 u “ u -，llll【 江南大学硕士学位论文 图3 2 非均匀周期刷新和输出周期采样方案 f i g 。3 2t h en o n - u n i f o r mp e r i o du p d a t i n ga n do u t p u tp e r i o ds a m p l i n gp r o g r a m 【u ( k t ) ，u ( k t + t 1 ) ，u ( k t + t i n _ i ，就可以得到周期t 上的一个时不变多输入系统，下面推 导其离散时间传递函数模型 设图3 1 中连续时间过程只具有下列状态空间模型， 只：渺卜a 驯邶出 l ( 3 1 1 ) i ( t ) = c x ( t ) + d u ( t ) ， 其中z ( t ) 酞n 为状态向量， “( 亡) 和y ( t ) 分别是系统的输入和输出， a 。，b c ，c ，d 为适当 维数的矩阵采用上述输入非均匀周期刷新和输出周期采样方案，可量测的输入输出数据为 u ( k t + t i ) ，i = 0 ，1 ，2 ，m 一1 和y ( k t ) 。参考文 2 5 】的方法，以周期t 离散化系统( 3 1 1 ) 可得 z ( k t + t ) ：e a 。t z ( 后t ) + 厂似+ u te a c ( ( k + i ) t - t ) b 。“( 7 - ) d 7 - j k t 乒m t ) + 喜蔗。e a c ( ( k + 1 ) t - r ) b c d r u ( k t + t i - t ) 一娜t ) + 言m f t - t i _ 1 鼬( k t + h - 1 ) 1 6 第三章非均匀采样数据系统c a r 模型 其中 一( + 姜e a c 卜啪z n e a 跏( k t + t i - 1 ) = a x ( k t ) + b t u ( k t + t t 一1 ) ， ( 3 1 2 ) a ：e a c t r n x n b l ：e a 。( t 一们厂ne a 。d t b 。r n ，t ：1 ，2 ，m 于是，输出方程可以表示为 y ( k t ) = c x ( k t ) + d u ( k t ) ( 3 1 3 ) 引入单位前移算子z i e ，z x ( k t ) = x ( k t 十t ) 】。设厶为佗阶单位阵，应用式( 3 1 2 ) ，则式 ( 3 1 3 ) 可以等价表示为 舭耻薹雩糟m t 慨m 峒k t 上式也可等价为下列有理分式形式， 鼬耻高酗名，u ( k t + t i - 1 ) ， “， 其中 q ( 名) = z nd e t z i 礼一a 】= 1 + o l l z 一1 + a 2 z 一2 + + q n 名一n ， p l ( z ) = z 一竹ca d j z i n a b 1 + d a ( z ) = p l o + p 1 1 z 一1 + 1 2 z 一2 + + p 1 竹z 一竹， 屈( z ) 三名一n c 喇 z i n a b t = 屁1 z 一1 + z i 2 z 一2 + + 成住z n ，i = 2 ，3 ，m 式( 3 1 4 ) 即为连续时间过程只的传递函数模型表示的离散时间过程，它也可表示为 q ( z ) 可( 惫丁) = 屈( z ) u ( k t + t h ) ( 3 1 5 ) i = 1 上式是在没考虑任何噪声干扰的情况下得到的非均匀采样数据系统确定性自回归滑动平均模 型，即d a r m a 模型实际上，过程的输出除了受到输入量u ( k t + t t ) 的作用之外，它往往 还要受到其他一些不确定因素的影响，通常把这些不确定因素的影响都归结成附加噪声，假设 附加噪声为白噪声v ( k t ) ，就得到本章要讨论的非均匀采样数据系统受控自回归模型，即c a r 模型： q ( z ) 秒( 七t ) = 屈( z ) u ( k t + t ) + 口( 七丁) ( 3 1 6 ) 1 7 江南大学硕士学位论文 3 2 随机梯度算法 定义系统模型信息向量妒( 尼t ) 和参数向量0 如下： 【p ( k t ) = 一y ( k t t ) ，- y ( k t 一2 t ) ，一y ( k t n t ) ，u ( k t ) ，u ( k t t ) ， u ( k t 一2 t ) ，u ( k t n t ) ，u ( k t t + t 1 ) ，u ( k t 一2 t + t 1 ) ， u ( k t n t + t 1 ) ，u ( k t t + t m - 1 ) ，u ( k t 一2 t 十t m - 1 ) ， u ( k t n t + t m - i ) 1 te 瓞n n ，n 0 = ( m + 1 ) n + 1 ， 0 = f q l ，q 2 ，o l 凡，p l o ，p 1 1 ，p 1 2 ，p 1 帆，仍1 ，屈2 ，历佗， 风1 ，风2 ，一，n 】t r 彻 利用上述定义，则式( 3 1 6 ) 可写成向量回归形式 y ( k t ) = 妒t ( k t ) o + u ( 恐t ) ( 3 2 1 ) 由于式( 3 2 1 ) 中信息向量所含的变量都是可测的，容易得到辨识非均匀采样数据系统 c a r 模型( 3 1 6 ) 参数的随机梯度算法( s g ：s t o c h a s t i cg r a d i e n ta l g o r i t h m ) ： o ( k t ) 姐k t - t ) + 船叭- l | o t ( k t ) o ( k t - t ) ， r ( k t ) = r ( k t t ) + i i 妒( 忍丁) 1 1 2 ，r ( o ) = 1 ， 妒( 忌t ) = - y ( k t t ) ，- y ( k t 一2 t ) ，- y ( k t n t ) ， ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) u ( k t ) ，u ( k t t ) ，u ( k t 一2 t ) ，u ( k t n t ) ， u ( k t t + t i ) ，u ( k t 一2 t + t 1 ) ，u ( k t n t + t 1 ) ， u ( k t t + t i n - 1 ) ，u ( k t 一2 t 十t i n - 1 ) ，u ( k t n t + t m - - 1 ) 】t ( 3 2 4 ) 定理3 2 1 对于非均匀采样数据系统c a r 模型( 3 1 6 ) ，序列 口( 南丁) ) 满足噪声假设： ( a 1 ) e v ( k t ) l 氕丁一t = 0 ，a l s ， ( a 2 ) e p 2 ( k t ) l y k t t = c r 2 ( k t ) 厅2 ，a s ， c 粥) l i m 唧丢妻以妒 s 那么，s g 算法( 3 2 2 ) ( 3 2 4 ) 给出的参数估计误差 o ( k t ) 一0 一致有界，即 e 川台( 后丁) o l l 2 】_ t o ，k _ o 。， 1 8 第三章非均匀采样数据系统c a r 模型 式中e t o 】t ( 0 ) + ( 3 2 ；如果存在常数0 o 则参数估计o ( k t ) 几乎肯定收敛于真参数0 ，即 1 i mo ( k t ) = 0 ，a 8 定理3 2 1 的证明可参考单率系统随机梯度算法的证明过程35 i ，这里从略 众所周知，随机梯度算法比最b - 乘类算法的计算量小得多，但是收敛速度很慢，参数估 计误差以( i 1 ) 的速度收敛子零为了提高s g 算法的收敛速率和辨识精度，本章提出两种改进 的算法，即遗忘梯度算法和多新息随机梯度算法 3 3 遗忘梯度算法 在随机梯度算法( 3 2 2 ) 一( 3 2 4 ) 中引入遗忘因子入，得到辨识非均匀采样数据系统c a r 模 型( 3 1 6 ) 参数的收敛速度较快的遗忘因子随机梯度算法，简称遗忘梯度算法( f g ：f o r g e t t i n g g r a d i e n ta l g o r i t h m ) ： o ( k t ) = o ( k t - t ) + 船叭删v ( 自( k t - t ) ， ( 3 3 1 ) r ( k t ) = a r ( k t t ) + i i 妒( 尼t ) 1 1 2 ，r ( o ) = 1 ，0 a 1 ， ( 3 3 2 ) 妒( 艮丁) = - y ( k t 一丁) ，- y ( k t 一2 t ) ，- y ( k t n t ) ， u ( k t ) ，u ( k t t ) ，u ( k t 一2 t ) ，u ( k t n t ) ， u ( k t t + t 1 ) ，u ( k t 一2 t + 亡1 ) ，u ( k t n 丁+ 亡1 ) ， u ( k t t + t i n - 1 ) ，u ( k t 一2 t + t i n - - 1 ) ，u ( k t 一佗t + t m - 1 ) 】t ( 3 3 3 ) 当入= 1 时，f g 算法就是s g 算法 3 3 1 算法性能分析 引理3 3 1 对于非均匀采样数据系统c a r 模型( 3 1 6 ) 和f g 算法( 3 3 1 ) 一( 3 3 3 ) ，如果存 在常数0 q p o 则算法( 3 3 1 ) 一( 3 3 2 ) 中r ( k t ) 满足 可an-l(1_)_k-n+1)itoq+akr(。)r(七t)竺堂掣+入七r(。)，as 江南大学硕士学位论文 如果选择r ( o ) 满足 则有 t l o o x 1 一ar ( o ) n o n p 1 一a f 入n i - 1 礼。q r ( 南丁) r 万礼o q r ( 向j 证明由r ( k t ) 的定义，有 0 a 1 n q n8 1 一a a s0 a 1 r ( k t ) = a r ( k t t ) + i i 妒( k t ) 1 1 2 a k - ii n o 卢】+ a k r ( o ) = 箬+ 一两n o n ，( 3 卜a s ， r ( 后t ) = a i i i ，a ( i t ) 1 2 + n a k r ( o ) k - n + ik - n + 2 a i lc p ( i t ) 1 1 2 + a 枉l |垆( z 丁) | 1 2 + a k - i f i 垆( i t ) 1 1 2 + + 入惫一i i 妒( i t ) 1 1 2 + 入七r ( o ) i = 3 i = n 七一+ 1南一+ l a 肛i l i d ( i t ) i 2 + a k - i - 1 m i t + 丁) 1 1 2 i = l = 1 知一+ 1 + a k - i - 2 l i f o ( i t + 2 t ) 1 1 2 + 扛= 1 知一+ 1 + a k - i - n + l i i 妒( i t + t 一丁) 1 1 2 + 入南7 ( o ) i = 1 k - n + i i n 一1 = 入_ a - 3 m i t + 删1 2 i + 入南r ( o ) i = l l j = o j k - n + l f n 1 - 1 入肛l i i 妒( i t + j t ) 1 1 2i + 入惫r ( o ) i = 1 l y = oj 七一 ，+ 1 a k - i n o q 】+ n a k r ( o ) = 1 a n - j i _ 广a km q + n a 七7 ( 。) ，a 。s ，。 入 0 在条件( a 1 ) 两边左乘 ；，右乘v 0 ，并利用式( 3 3 4 ) ，式( 3 3 6 ) 和( 3 3 7 ) ，有 钐吾