（控制理论与控制工程专业论文）非线性控制系统中无源理论应用的研究.pdf

摘要 非线性控制系统的分析与设计是自动控制的一个重要研究方向。近年来工程的实际需要 使非线性系统理论受到了研究者的广泛关注。而非线性系统的复杂性使这方面的研究有相当 大的难度，现有的研究成果还远不能满足实际需要。无源性概念是从耗能网络中抽象出来的， 具有广泛的工程背景。无源性系统理论已成为非线性控制系统分析和设计的重要工具。被广 泛应用于自适应控制和鲁棒控制等方面。本文尝试讨论无源化方法和无源性系统理论在非线 性控制中的应用。 本文主要内容如下： 前两章回顾了无源性理论的产生、发展及研究现状，总结了非线性系统无源控制的一 些主要结果、研究方法和尚需解决的问题，同时指出了本文的主要工作。 第三章给出了应用无源性分析非线性系统稳定性的方法。通过引进了两类复合微分算 子，用循环反馈的形式构造无源的非线性系统，进而给出了非线性系统稳定的一个充分条件， 提供了一条分析非线性系统稳定性的新思路。 第四章讨论了非线性系统通过并联和串联补偿后反馈无源化的方法。针对线性系统， 将无源化问题转化为线性矩阵不等式可行性的求解问题。 第五章讨论了逻辑切换无源化的问题，在此基础上。提出应用逻辑切换改善非线性系 统动态特性的方法。进一步针对一类特殊的非线性不确定系统，应用逻辑切换给出了鲁棒镇 定控制规律的设计方案。 第六章为全文的总结和展望。 本文就主要的设计方案进行了仿真研究，结果表明所给出的控制策略可以达到预期的目 的，控制算法是切实可行的。 关键词：无源性、非线性系统、复合微分算子、并联无源化、串联无源化、逻辑切换 a b s t r a c t a b s t r a e t t h ea n a l y s i sa n dd e s i g no fn o n l i n e a rs y s t e m si s i m p o r t a n tf i e l do fa u t o m a t i o nc o n t r 0 1 n o n l i n e a rc o n t r o lt h e o r yh a sb e e np a i dm u c ha t t e n t i o nt ob yi s c a r c h e r st h e s ey e a r sd u et on e e a l s o fe n g i n e e r i n g , s i n c en o n l i n e a rs y s t e m sa r eu b i q u i t o u s h o w e v e r , t h ee x i s t i n gn o n l i n e a r m e t h o d o l o g i e sc a n n o tm e e tt h ea c t u a lr e q u i r e m e n t sb e c a u s eo f t h el a r g ed i v e r s i t ya n dc o m p l e x i t y o fn o n l i n e a rs y s t e m s o r i g i n a t e df r o me l e c t r i c a l n e t w o r k , p a s s i v et h e o r yo w n se x t e n s i v e e n g i n e e r i n gb a c k g r o u n d s ，a n di th a sb e e na p p l i e dt oa d a p t i v ec o n t r o l ，r o b u s tc o n t r o la n de t c t h i s d i s s e r t a t i o nf o c u s e so nt h ep a s s i v a t i o nm e t h o d sa n da p p l i c a t i o n so fp a s s i v et h e o r yi nn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m sc o n t r 0 1 t h ec o n t e n to f t h i sd i s s e r t a t i o ni sa r r a n g e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tt w oc h a p t e r so f t h i st h e s i s ，t h ef i r s ta p p e a r a n c e , t h ed e v e l o p m e n ta n dt h ec u r r e n t u 瞄o f p a s s i v eo w m r ya r er e v i e w e da n dt h em a i nr e s u l t so fp a s s i v i t y - b a s e dn o n l i n e a rs y s t e m s c o n t r o la r er e v i s i t e d s o m ea p p r o a c h e sa n dp r o b l e m sa l ep r e s e n t e di nt h es t u d yo ft h ep a s s i v e t h e o r ya n dt h em a i nw o r ko f t h i st h e s i si si n t r o d u c e d i nt h et h i r dc h a p t e r , s t a b i l i t yo f n o n l i n e a rs y s t e m si ss t u d i e db yu s i n gp a s s i v i t ya n a l y s i s t w o c l a s s e so fn o n l i n e a rc o m p o s i t ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sa r ei n t r o d u c e d b yu s i n gt h e s ec o m p o s i t e d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，ac l a s so fs t r i c t l yp a s s i v en o n l i n e a rs y s t e m si sc o n s t r u c t e d a n dt h e na s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rn o n l i n e a rs y s t e m ss t a b i l i t yi s p r e s e n t e d , w h i c hs h o w sao e ww a yt o a n a l y z et h es t a b i l i t yo f n o n l i n e a rs y s t e m s i nt h ef o r t hc h a p t e r , t h em e t h o do f p a s s i v a t i o no f n o n l i n e a rs y s t e m sb yc o n s t r u c t i n gp a r a l l e l o rs e r i e sc o m p e n s a t o r si ss t u d i e d f o rl i n e a rs y s t e m s , t h ep r o b l e mo fp a s s i v a t i o ni st r a n s l a t e dt o t h ep r o b l e mo f t h el m i sf e a s i b i l i t y i nt h ef i f t hc h a p t e r , t h el o g i cs w i t c h e dp a s s i v a t i o ni ss t u d i e d , w h i l et h em e t h o da p p l y i n g l o g i cs w i t c ht oi m p r o v et h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c so f n o n l i n e a rs y s t e m si sp r e s e n t e d a n dt h e n t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o no f as p e c i a lc l a s so f n o n l i n e a rs y s t e mi sr e a l i z e db yu s i n gl o g i cs w i t c h 1 nt l l ee n d t h i st h e s i si ss u m m a r i z e da n dt h ef u t u r ew o r ki sp r e s e n t e d k o , w o r d m ：p a s s i v i t y , n o n l i n e a rs y s t e m s ，c o m p o s i t ed i f f e r e n t i a lo p e r a t o r , p a r a l l e lp a s s i v a t i o n ， s e r i e sp a s s i v a t i o n ，l o g i cs w i t c h l l 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：日期： 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：导师签名： 日期： 第一章绪论 1 1 研究目的和意义 第一章绪论 非线性控制研究的主题是非线性控制系统，即至少含有一个非线性元件的系统的分析 和设计。在分析过程中，假定一个非线性闭环系统已经设计好，我们希望确定它的性态特性。 在设计过程中，给出要控制的非线性装置和闭环系统性态的一些设计要求，要构造控制器， 使该闭环系统满足期望的性态特征。众所周知，线性控制是一个成熟的理论，它有很多有效 的方法，在工业应用中有相当长的成功历史。但鉴于实际控制系统往往具有非线性，非线性 系统才是最一般的系统，以及线性控制方法本身的局限性，因而有必要深入研究非线性控制 系统。 控制系统中有许多非线性因素，例如干摩擦非线性、饱和非线性、死区非线性、间隙 非线性以及时滞非线性，它们大量存在于控制工程中，有些非线性因素是系统动态特性本身 所固有的，有些非线性因素是有意识地引入的非线性的控制规律，对控制系统进行高质量的 控制。因此需要有相应的非线性分析技术来预测当这些非线性因素存在时系统的动态，从而 避免非线性因素的缺点，利用非线性因素的优点。例如，鲁棒控制器和自适应控制器这两类 非线性控制器使模型的不确定性可以容忍，对模型的不确定性进行了很好的处理。 对于线性系统，由于可以用线性常微分方程来描述，而解线性常微分方程已有成熟的 方法，因此线性系统理论取得了很大的成就。但非线性微分方程只有在个别情况下才有解析 解，不能应用叠加原理，这给非线性控制系统的研究带来了极大的困难。 自1 9 4 4 年建立起l u r i e 系统以来，至今己有5 0 多年的历史，不少学者对此进行了大 量的研究工作，提出了很多非线性系统的分析和设计方法。这些理论主要是围绕简单的非线 性控制系统的绝对稳定性问题而展开讨论并进行研究的，建立了一系列系统稳定的充分判 据。例如：l u r i e 开创的以l y a p u n o v 方法为基础的代数判据，p o p o v 开创的以频域方法为基 础的几何判据，包括：p o p o v 判据、圆判据、抛物线判据等等，以输入输出稳定性为基础的 算子形式的判据，包括小增益定理、钝性定理、回路变换法、乘子法等等，以及描述函数法 等等。进入8 0 年代，面对当今社会飞速发展的现代科学技术，这些经典的非线性理论鉴于 自身的局限性，已远不能满足时代的需求。很多高科技领域( 如航天航空控制、机器人、过 程控制) 中出现了十分复杂的、有强非线性和不确定性的非线性系统，不仅要求系统绝对稳 定，还要求系统有良好的品质等等。对控制系统新的需求为非线性控制理论的进一步发展提 出了新的挑战。 早在7 0 年代，人们就已经知道系统的无源性和稳定性之间关系，经过众多学者多年的 努力，又逐渐发现系统的无源性和鲁棒性、优化控制、日* 控制之间都有着密切的联系。无 源性分析和基于无源系统理论的控制设计正逐步发展起来，成为分析和设计非线性系统的强 有力的工具，并引起了越来越多的学者的关注。但是，无论从哪个方面来说，不管是无源系 统理论本身还是基于这一理论的控制设计，它们都远非完善。进一步研究无源性问题和基于 东南大学硕士学位论文 无源性分析的非线性控制系统设计有着重要的理论价值和实践意义。 1 2 无源理论的介绍 1 2 1 无源系统和无源性概念 无源性这个概念早先来源于网络，用于处理相对阶不超过1 的由电阻、电容、电感组成 的有理传递函数。无源性概念最早是由l u r i e 和p o p o v 1 k 控制中的，经过y a k u b o v i c h ，z a m ， k a l m a n ，d e s o e t ，w i l l e m s 以及h i l l 和m o y l a n 等人的发展，形成了现有的无源性概念。现在常 讨论的无源性定义有两类：一类是在研究非线性系统的输入输出特性时，根据正实网络的耗 能特性，给出的无源性定义。其中较为重要的是p o p o v “1 引入无源性概念作为反馈的基本特 性。d e s o e r ”1 讨论了无源性与系统稳定性之问的关系，给出了著名的无源性定理，为基于输 入输出的无源性设计打下了基础。 另一类是在研究非线性系统的状态方程描述时，基于耗散概念提出的。对于给定的能量 供给率，如果存在一个依赖于系统状态的非负能量存储函数，使得耗散不等式成立，则称该 系统是耗散的。耗散性的实质内容是存在一个非负的能量函数，使得系统能量损耗总是小于 能量的供给率。它在系统稳定性研究过程中起到重要的作用。当取供给率为输入输出的乘积 时，就成为状态无源问题。 无源性是网络系统理论中的一个重要概念，它表示耗能网络的一种性质。无源网络中的 能量流向一般满足输入能量为最后能量与初始能量耗散的能量的差，即，网络不会自己产生 能量。无源网络只是消耗能量而不产生能量，这对于网络的稳定性研究很重要。由无源网络 可以得到无源系统的概念，而在无源网络中成立的能量流向等式对于无源系统也同样成立。 系统无源可以保证系统的内部稳定。 对于一般的控制系统来说，无源性的物理意义已经不很鲜明。但在众多学者的研究下， 发现系统的无源性与系统的稳定性、鲁棒性以及最优控制等有着紧密的联系。事实上，基于 李亚普诺夫函数的镇定理论，就可从无源性的角度加以解释。可以说，无源性是稳定性的一 种更高层次的抽象。在对系统进行镇定时，人们常常需要构造一个李雅普诺夫函数，现有文 献表明，这一过程可转化为构造一个使系统无源的存储函数。近年来，许多学者在无源性理 论方面做了大量的工作。冯纯伯等讨论- j t 线性系统的无源性问题”，取得了许多开创性 成果，然而他们的结果虽然适用于所有维的情形，但在解高维问题时将遇到求解复杂微分方 程组的问题，从而带来相当大的实际应用难度。梅生伟”1 等则基于微分几何理论，进一步考 虑了一类非线性系统的控制器构造问题。所有这些工作都极大地促进了无源性理论的发展。 1 - 2 - 2 非线性系统无源理论的研究 一般非线性系统的无源性研究主要集中在系统的无源性和无源化以及基于无源性理论 的非线性控制系统设计上。 m o y l a n 将k y p 引理推广到仿射非线性系统的情形，并证明了对仿射非线性系统，在局 部能控的假设下，输入输出无源和基于状态空间的无源性定义是等价的“。而h i l l 研究了无 源性和稳定性之间的关系，揭示出零状态可观的系统的储能函数是正定的，从而断定这样的 无源系统是稳定的，并进一步指出此时系统可以通过无记忆输出反馈渐进镇定，这就是说， 2 第一章绪论 对无源系统，只要零状态可测，简单的单位负反馈就可使系统渐进稳定。这些研究成果为控 制系统的无源设计方法奠定了理论基础。无源性理论是非线性系统分析和设计的一个重要工 具，而使系统无源即系统的无源化成为基于无源性分析的控制系统设计的关键。 非线性系统的无源化问题的研究可以说在很长时间内没有能够取得突破性进展。直到 1 9 9 1 年，针对仿射非线性系统的无源化问题的研究才有了重大的突破。b y r n e s 等人将无源 性理论同非线性系统的几何理论结合起来，使一个仿射非线性系统在什么条件下可以通过光 滑状态反馈等价到一个无源系统这个基本问题有了比较完善的解答”1 。无输入输出直输通道 ( i n p u t - o u t p u tf e e dt h r o u g h ) 的仿射非线性系统，在假设全局定义的正则型存在的条件下，系统 可通过光滑状态反馈成为关于c 2 正定存储函数无源的充分必要条件是系统相对阶为1 且是 弱最小相位的( 零动态稳定) ，并定义了k y p 特性，以及证明了具有k y p 特性的系统是无 源系统，反之也成立( 即无源系统一定具有k y p 特性) ，这就是著名的k y p 引理”1 。 在此基础上，s a n t o s u o s s o “于1 9 9 7 年讨论了一类带有输入输出直输通道非线性系统的 无源性分析和全局渐近稳定的：系统在全局定义的正则型存在条件下，若系统是可逆( 1 i p 有 相对阶1 ) 且是弱最小相位的，那么系统是反馈等价无源的。s h i s h k i n 则研究了系统可以通 过输出反馈等价到无源系统的条件，同时也研究了状态反馈的情况，无需正则型假设，但仅 证明了存在反馈的充要条件，而未能给出设计方法。1 9 9 9 年l i nw e i ，s h e nt i e l o n g 讨论了带 有结构不确定性最小相位非线性的鲁棒无源和反馈设计问题，证明了鲁棒k y p 引理、严 格鲁棒k y p 引理和反馈等价于鲁棒严格无源系统，使反馈等价无源系统的结果更进一步完 善。 以上这些结论大都是建立在仿射非线性系统之上的，针对非仿射非线性系统，迄今为止 仍没有完整的结论。反馈控制规律的设计也都利用了系统的正则型，对一般非线性系统而言， 仍没有有效的构造反馈规律的方法。 随着无源化问题的一系列突破，人们对无源性的认识越来越深，基于无源性理论的控制 设计也越来越多。在镇定控制方面，零状态可观测无源系统的渐近镇定问题相当简单。根据 仿射非线性系统的k y p 引理和m o y l a n ”“和b y m e s i ”的结论，在零状态可检测条件下，人们 可以简单地通过负反馈l y ( 工) 来镇定零动态稳定的仿射非线性系统。然而，系统能反馈无 源化的必要条件是相对阶为1 且是弱最小相位的，这大大限制了利用反馈无源化进行系统设 计方法的使用。1 9 9 5 年，针对一类具有特殊下三角结构的系统，k r s t i c “利用b a c k s t e p p i n g 递归设计方法，通过逐步选择输出和反馈变换，使新的输入到所选定的输出之间是无源的， 其实质是用了逐步三，矿( 功控制的思想，在额外的零状态可检测条件下，获得渐近镇定控制 规律，去掉了相对阶的限制。1 9 9 6 年，j a n k o v i c “”提出了f o r w a r d i n g 递归设计方法，其实质 是利用仿射非线性系统的k y p 引理逐步计算存储函数，去掉了弱最小相位限制。虽然这两 种方法都有其自身的局限性，但它们的出现给非线性系统控制带来了勃勃生机，在其后的过 程中，得到了广泛使用。 在非线性不确定系统控制方面，近年来如何应用无源分析方法设计鲁棒控制系统引起了 较多的重视。一个严格无源的动态系统一般均有良好的动态特性和较强的鲁棒性。一些研究 者讨论了如何设计非线性系统使其严格无源，提出的方法己引起广泛的重视。文献“提出了 符号跟随系统的概念，并将它用于线性系统和非线性系统的控制中，取得了良好的效果。文 献“”1 则应用无源性分析，分别讨论了一类非线性不确定系统的鲁棒镇定和鲁棒输出反馈 跟踪问题。在工业控制系统方面，滞后是石油、化工和冶金等工业生产过程中的普遍现象， 3 东南大学硕士学位论文 时滞系统的研究一直是控制理论研究的热点与难点。文以无源性代替正实性，基于a r e 讨论了线性时滞系统的无源状态反馈控制问题，利用输出反馈克服系统状态不易直接测量的 困难，针对状态延迟环节，采用静态和动态输出反馈的无源控制问题，使得闭环系统二次稳 定且有严格的无源性。 从上面的介绍可以看出，无源系统理论在非线性系统控制应用方面也取得了很大的成 就，但也存在很多局限性，因此需要进一步研究无源性理论及其在非线性控制系统中的应用。 1 3 有待解决的问题 虽然有关无源系统理论和非线性系统控制设计的成果越来越多，但远非所有的问题都已 经得到解决，从以上非线性系统中无源理论的应用可以看到，仍然存在以下一些主要问题： 如何使一个系统无源，即系统的无源化问题，是基于无源系统理论设计过程中研究的一 个焦点。前面已经提及，经过众多学者多年的努力，仿射非线性系统的光滑状态反馈无源化 问题已经有了比较完善的解答。但是，反馈不能改变系统的相对阶和零动态，系统相对阶为 1 且为弱最小相位这两个限制条件相当苛刻，而现有的研究基本上都基于光滑状态反馈无源 化，这在很大程度上限制了无源性理论的使用，突破这两个限制有着重要意义。同时对于反 馈无源化本身来说，也仍有一些问题需要解决。 首先，现有的反馈无源化结论，一般都预先将系统看作正则型来设计。虽然非线性系统 通常能转化为这种正则型系统，但基于正则型设计出的无源化控制规律与原系统之间的关系 比较复杂，很难直接利用，这在系统存在不确定性时尤其突出。对此，s h i s h k i n “就一般的 仿射非线性系统直接进行反馈无源化讨论，但其证明过程不是构造性的，没能得到存储函数 及相应的反馈控制规律；其次，在非线性系统控制理论中，许多系统的状态往往无法测量， 因此研究输出反馈无源化也有现实意义。关于这一问题的讨论尚在初级阶段：文献”“在非线 性系统的j a c c o b i a n 线性化系统是最小相位系统时给出了局部无源化结论。文献“则讨论了 相当特殊的系统的输出反馈无源化问题；再者，上述的这些结论均局限于仿射非线性，而无 源性定义本身是针对一般的非线性系统提出的，因此能否将b y r n e s ”1 的结论扩展到一般的非 线性系统也有待进一步研究。 此外，多数无源性研究是基于状态空间定义的，基于输入输出无源性定义的讨论几乎无 人涉及，而后者具有广泛性和实用性。事实上，一个无源系统的相对阶都未必存在，而现有 的讨论均须假设存在相对阶。基于无源理论的控制设计也有待进一步发展，利用 b a c k s t e p p i n g 进行渐近镇定研究虽然可以去掉相对阶限制，但需要系统具有特殊的下三角结 构，最终控制器的结构也相当复杂。利用f o r w a r d i n g 设计时，需要特殊的上三角结构。同 时要求每步递归中两个子系统的交叉项满足线性增长假设。因此现有的f o r w a r d i n g 设计方 法仅被用于一种几乎线性的系统的控制设计“”。因此，无论无源系统理论本身，还是非线性 系统中无源性原理的应用均需继续深入的研究。 1 4 本文研究的主要内容 正如前文所述，非线性控制系统的分析和设计的研究有重要的理论意义和应用价值。但 非线性系统不满足叠加原理，一般无法通过解析解进行分析，有关非线性系统的研究仍有许 多重要的问题需要解决。针对这一具有挑战性的问题，本文将以无源系统理论为主要工具来 分析和设计非线性控制系统。同时，无源系统理论本身的研究就是一个具有相当难度的课题， 4 第一章绪论 本文对这一工具做了尝试性的探讨。 首先，本文尝试引进两类复合微分算子，用循环反馈的形式构造无源的非线性系统，分 析了系统的稳定性，进而给出了非线性系统稳定的一个充分条件。本文的研究提供了一条分 析非线性系统稳定性的新思路，回避了l y a p u n o v 函数法需要直接构造合适的l y a p u n o v 函数 的限制。 然后，本文对无源化方法做了进一步的研究。针对反馈无源化相对阶为1 和弱最小相位 条件的限制，讨论了并联无源化和串联无源化的设计。针对非线性系统，着重讨论了系统通 过并联和串联补偿后可以反馈无源化的思路，并应用到具体算例中：针对线性系统，通过正 实引理将线性系统的并联和串联无源化问题转化为线性矩阵不等式可行的求解，同时给出了 无源化控制规律的设计。 最后，本文讨论了逻辑切换无源化的问题，给出了逻辑切换无源化的结构，并尝试应用 逻辑切换无源化改善系统的动态性能。进一步针对一类非线性不确定系统，基于无源性分析， 应用逻辑切换给出了鲁棒镇定控制规律的设计方案。 全文的主要内容安排如下： 前两章分别为绪论和预备知识，回顾了非线性系统理论和无源性理论的产生、发展及研 究现状，总结了非线性系统无源控制的一些主要结果、研究方法和尚需解决的问题。 第三章在介绍了l y a p u n o v 稳定性的相关结论以及无源性和稳定性的关系后，着重探讨 了应用无源性方法分析非线性系统稳定性的思路。应用引入的复合微分算子，用循环反馈的 形式构造无源的非线性系统，给出了非线性系统稳定的一个充分条件。 第四章介绍了反馈无源化的问题和相关结论，讨论了非线性系统并联和串联补偿后可 以反馈无源化的方法，通过对具体算例的仿真说明了方法的可行性。进一步将线性系统，由 并联和串联无源化问题转化为相应线性矩阵不等式的求解问题。 第五章讨论了逻辑切换无源化的问题，同时给出了应用逻辑切换改善系统动态特性的 方法。进一步基于无源系统理论，给出了一类非线性不确定系统的鲁棒镇定控制方案。 第六章为全文的总结和展望，归纳了本文研究的主要内容，指出了尚需解决的问题。 第二章预备知识 第二章预备知识 本章介绍非线性动态系统的基本数学描述和若干基本特性，以及无源系统的定义和基本 特性，为以后的讨论提供预备知识。 2 1 非线性系统的数学描述 非线性系统的情况非常复杂，有多种描述方法，并且常常不能相互转化。本节对非线性 系统模型做一些基本的介绍。主要参考文献“i s 。 一个非线性系统通常可用如下微分方程描述： 黧三船 1 ， 二i ， l j ，( f ) = 厅“) 、7 其中状态向量x 孵”；输出向量y 婀”；输入向量婀；( ) 和 ( ) 为相应维数 的向量函数。对于式( 2 1 1 ) 所描述的非线性系统日，我们总假定系统的状态地) 可由初值 和输入函数“f ) 唯一地确定。通常称式( 2 1 1 ) 中第一式为系统的状态方程，第二式为系统的 输出方程。这里的输出y 有时并不仅仅指整个系统的实际输出，往往还包含了我们所关心的 部分状态量测信号，在讨论输出反馈控制时尤其如此。 非线性系统有多种描述方法，有时可以根据不同的研究采用不同的描述方法。有时直接 用y = h u 这种简单的算子描述来表达这一系统，直接讨论系统的输入输出特性。 系统( 2 1 1 1 表达了相当广泛的一类非线性系统，它包含了以下几种常见的特殊形式： ( 1 ) 仿射非线性系统 i y 三器二y 烈( x 咖) u ( 2 - 1 2 ) = j ，( 力+ 、 ( 2 ) l u r i e 系统 扣竺+ 6 厂( 圳3 ) v = c 7 x ( 3 ) 静态非线性系统 y = 妒( 甜)( 2 1 4 ) ( 4 ) 线性系统 量= 彳x - i - b u v ：q + 砌 ( 2 1 5 ) 本文讨论的系统模型主要是仿射非线性系统，它的状态方程和输出方程关于输入1 , 1 是线 性的，而对状态是非线性的。线性系统本身也是仿射非线性系统的特殊情形。 6 2 2 仿射非线性系统的基本特性 针对仿射非线性系统( 2 1 2 ) ，给出一些重要的几何概念。这些概念在以后章节的讨论中 常常需要提到。记号t ( 工) 为通常的厶导数运算，本文参考文献“”给出以下定义： 定义2 2 i ( s l s o 系统的相对阶) 若s l s o 系统i 2 1 2 ) 在x = 的一个邻域内满足 ( 1 ) t 茸j l l ( x ) = 0 , k = o ，l ，r 一2 ( 2 ) k 巧。 ( x ) o ， 则称该系统在x = x o 处具有相对阶r 。m i m o 系统的相对阶的定义请参考相关文献。 对于非线性系统，相对阶是一个局部的概念，是定义在工= x o 的一个邻域内。如果定 义中条件( 1 ) 和( 2 ) 都全局成立，则称此非线性系统具有全局相对阶。需要指出，与线性系统 不同，非线性系统有时可能不存在相对阶。显然，定义2 2 1 ( s l s o 系统的相对阶) 退化为 线性系统( 2 1 5 ) 时，系统的相对阶，满足： c a b = 0 , 0 k r 一2 和c a , - 1 b 0 从线性频域描述来看，s i s o 线性系统的相对阶即为传递函数的极点数和零点数的差 对在x = x o 处具有相对阶，的系统( 2 1 2 ) ，存在坐标变换 偕，z ) = 丁( x ) ( 2 2 1 ) 可使系统变为一种特殊的结果形式 三= q ( z ，f ) + p ( z ，孝) 甜 卣= 磊 ( 2 2 2 ) 毒一，= 善 鼻= a ( z ，f ) + b ( z ，孝) 材 y = 卣 式( 2 2 i 广种可能的变换是取 正( x ) = 磊( 功= 弘兄( 力= 磊( = 0 矗( 功，t a x ) = 鼻( x ) = 三r ，- 1 ( x ) 并补上栉- r 个函数驯扩烈堋得割。非奇异有关以上变换的详细讨论，可以 参考文献”，通常称式( 2 2 2 ) 为系统的标准型( n 咖a lf o r m ) 。在s i s o 情况下，通过选择合 适的坐标z 可以使式( 2 2 2 ) 中的p ( z ，善) = 0 。 7 第二章预备知识 非线性系统的另外一种较为重要的形式是所谓的严格反馈型，它具有如下结构形式： 毋= f ( r ) + g ( 叩) 磊 茧= a 1 ( ，7 ，点) + b , ( r ，点) 彘 ； ( 2 2 3 ) 一l = 口( r l ，卣，六一1 ) + “一1 ( r ，磊，鼻一1 ) 己 = ( 印，磊，六) + 吒( ，7 ，缶，磊 这种系统实际上是仿射非线性系统的特殊情形。该系统具有特殊的下三角结构，称它 为严格反馈型是由于系统具有特殊的反馈形式，即系统( 2 2 3 ) 中第二个等式的状态是第一 个等式所描述的子系统的输入，并可逐级下推。这为递归设计提供了条件。并非所有非线 性系统都可写成式( 2 2 3 ) 的形式，但相当广泛的一类非线性系统可以完成这种转化。显然， 系统( 2 2 3 ) 可以通过坐标变换为( 2 2 2 ) 的形式，而s i s o 系统( 2 2 2 ) 在去掉第一式后即为式 ( 2 2 3 ) 的特殊情况但系统( 2 2 2 ) 中第一式 童= q ( z ，善) + p ( z ，掌) 甜 ( 2 2 4 ) 对系统有着重要的影响，当系统( 2 2 2 ) 的输出y 保持为0 时，即参= o r = - b 。( 三，o ) a ( z ，o ) 时，系统( 2 2 2 ) 的子系统( 2 2 4 ) 变换为 j = q ( z ，o ) - p ( z ，o ) b 一1 ( z ，o ) a ( z ，0 ) = ，二( z ) ( 2 2 5 ) 上式中的状态实际上是系统( 2 2 2 ) 限制在y ( ，) ；0 的动态情况，因此有以下定义。 定义2 2 2 称系统( 2 2 5 ) 为系统( 2 2 2 ) 的零动态子系统，称( 2 2 5 ) 中的状态为系统( 2 2 2 ) 的零 动态。 定义2 2 3 若系统( 2 2 2 ) 的零动态子系统是稳定的，则称系统( 2 2 2 ) 是弱最小相位的。若系 统( 2 2 2 ) 的零动态子系统是渐近稳定的，则称系统( 2 2 2 ) 是最小相位的。 对s i s o 线性系统g ( s ) ，从频率的角度来看，其零动态子系统由g 0 ) 的分子多项式所 决定，即g 0 ) 的零点决定。对线性系统( 2 1 5 ) ，一个众所周知的结果是状态反馈不改变系 统的零点，也就是说，状态反馈不改变系统的零动态，对非线性系统也有相同的结论。非线 性系统零动态和所选择的坐标没有任何关系，状态反馈也不改变系统的零动态，也就是说， 非线性系统零动态子系统( 2 2 5 ) 具有结构不变性。 2 3 无源系统及其基本特性 无源性理论是研究非线性系统特性的重要工具，本章以下几节将介绍有关方面的基本知 识和若干结果。 2 3 1 无源系统的定义 现在常讨论的无源性的定义有两类：一类是在研究非线性系统的输入输出特性，根据正 s 东南大学硕士学位论文 实网络的耗散特性给出的基于输入输出的无源性；另一类是基于状态空间的描述，由系统耗 散性引出的无源性定义。 首先给出基于输入输出的无源性的概念。 定义2 3 1 设算子h ：厶。一厶，且存在常数万，和，使 ( j ，砖f 蚱) 万0 坼8 2 + ，m ，啦2 + ，v 甜厶。，v f f o ，。) 若艿= o , y = 0 ，则称h 为无源的，若艿 o , y = 0 ，称h 为输入严格无源的，6 为以输入 1 , 1 表示无源度，若巧= o ， 0 ，称为严格输出无源的，为以输出h u 表示无源度。 下面基于状态空间的角度，给出非线性系统的耗散性以及作为耗散性特例的无源性概 念： 靛嬲 力 其中状态x 9 l ”，输k u 婀，输出j ，孵4 。 定义2 3 2 设函数( 而力：婀吼。 吼，称非线性系统( 2 3 力关于缈( 五力是耗散的，如 果存在非负c 1 存储函数矿( 功：吼“斗锨+ ，满足 矿( x ( f ) ) 矿( 而) +y ( r ) u ( r ) d r( 2 3 3 ) 对任意的初始值石( o ) = x 0 和时间t 成立。此时称函数国( x ，y ) 为供给率，非负函数矿( x ) 为 存储函数，式( 2 3 3 ) 称为耗散不等式。其中，砷) 为方程( 2 3 2 ) 基于初始状态而的解。另外， 如果存在一个正定函数s ( x ) ：卯_ 孵满足 y ( 工( f ) ) 矿( 而) + fj ，( f ) 甜( f ) d f f s ( f ) d f ，v t o ( 2 3 4 ) 那么，系统( 2 3 2 ) 被旅为是严格耗散的，( 2 3 4 ) 式称为严格耗散不等式。 定义2 3 3 称一个方的状态空间描述的非线性系统( 2 3 2 ) 为无源的，如果它关于供给率 ( x ，) ，) = 甜7 y 耗散的；称系统( 2 3 2 ) 为输入严格无源的z f p ( 艿) ，且具有输入无源度万，如 果存在6 o 使得系统关于( x ，力= 矿y - 1 1 2 耗散的；称系统( 2 3 2 ) 为输出严格无源的 o f p ( r ) ，且具有输出无源度，如果存在， o 使得系统关于缈( 五力= 矿y r l l y l l 2 耗散 的。 虽然基于输入输出的无源和基于状态空间的定义是相对应的，但两者之间有着细微的差 别。从定义可以直接知道，后者成立蕴涵了前者必然成立，但前者成立却不一定能得到后者 成立的结论。对线性系统来说，这两种定义是等价的。另外，对于一般的电路系统。耗散性 和无源性具有一定的物理定义。存储函数s ( x ) 是一种能量函数，f ( 地y ) 西可以看作外 9 第二章预备知识 部资源提供给系统的能量。那么，系统耗散即指在( o ，r ) 时间段内外部提供的能量大于系统 能够存储的能量。常数可以看作和系统的初始状态有关。这是物理上容易理解的，系统 存储函数的能量不仅仅与外部输入的能量有关，还与系统初始状态储备的能量有关。 2 3 2 无源系统的基本特性 无源系统重要的基本特性是其并联连接和负反馈连接是无源的，参考文献【l ，4 ，1 5 ，给出 如下结论 定理2 3 1 如图2 - 3 1 所示，假设系统e ：上2 。寸厶，持l ，2 ，且存在常数4 ，以和尼，使 u l e l 咒 譬 马 i ol l 日， 图2 3 1 无源系统反馈互联 ( e e i 巳) 4 i i e i | 2 + 一i i 胁，1 1 2 + 属，i = l ，2 则整个闭环系统对输入( 地，1 1 2 ) 和( 乃，肋) 有 ( 1 ) 若系统1 - i , 和皿都是无源的，即 4 o ， 0 则整个系统是无源的。 ( 2 ) 若系统q 和吼都是输出严格无源的，即 4 o ，以 0 则整个系统是输出严格无源的 ( 3 ) 若系统1 - i , 和峨都是既输入严格无源又是输出严格无源的，即 磊 0 ，只 0 则整个系统是输入严格无源的。 在讨论反馈系统时，除非特别指出，本文总假设整个系统是适定的。 定理2 3 1 指出，无源系统的如图2 3 1 所示的反馈连接仍然是无源的，但输入和输出 都是扩展了的。实际上通常讨论的反馈系统时，一般没有屹或者等同于= 0 ，此时，类 1 0 东南大学硕士学位论文 似结论仍然成立。 定理2 3 2 设系统鼠，日，：厶， 厶，若系统h 和日，是无源的，则其并联连接是无源 的。若进一步设系统甩和日，中有一个是输入严格无源的，则并联连接是输入无源的。 根据定理2 3 2 ，并联系统的输入无源度是可以互补的，因此一个输入严格无源的系统 可以分解为个无源系统和一个输入严格无源系统的并联连接。而根据定理2 3 i ，我们可 以看出，对反馈连接系统，无源度在一定程度上也是可以互补的，反馈回路的输入无源度可 以补偿直输通道的输出无源度。这样一个具有输出严格无源的系统可以分解为一个无源系统 和一个输入严格无源系统的反馈连接。那么我们可以根据这个思想，在设计控制器的时候， 进行无源度的补偿，使得系统的无源度增加或者是系统成为无源系统，从而改善系统的性能。 2 4 无源系统的结构和判据 虽然无源性定义2 3 3 可以作为判断系统无源的充分必要条件，但由于式( 2 3 4 ) 右端很 难计算，因而需要一些具体的结构特性，这些结构特性在一定程度上给耗散性和无源性提供 了判据。 具有有限上2 增益系统和无源系统在供给率上都是二次型的，即统一为， m c y ，= 1 7 厂 医各 习= 甜7 砌+ 砂t r u + y r 9 对有限厶增益系统可取 p = y 2 1 ，r = o ，q = 一i 对无源系统( 艿为输入无源度，为输出无源度) 取 p = 扎r = 毛i ，q = y l 考虑仿射非线性系统( 2 1 2 ) ，对( 2 4 1 ) 所示供给率，有以下结论： 定理2 4 1 ”1 设实值可微函数s ( 功0 ，s ( o ) = 0 ，则系统( 2 1 2 ) 关于供给率 w ( u ，力= y t u 一7 y 一蝴7 甜 是耗散的，且有存储函数s ( 功的充要条件存在函数，( x ) ，以力使得 成立。 0 跗) = 一吉舷川o ) 一肋砸) 蛳) 吾t 跗) = 坼) 一2 ( 班( 矿w ( “力7 w ( x ) = - 2 0 l + k ( x ) + k ( x ) 7 2 p k 7 ( 曲七( 力 ( 2 4 2 ) 第二章预备知识 若系统( 2 i 2 ) 中_ ，o ) = 0 ，即由下式描述 i 童= 厂( x ) + g ( x ) u 【y = 矗( x ) ( 2 4 4 ) 定理2 4 2 “3 系统( 2 4 4 ) 是无源的，充分必要条件是存在c 存储函数y ( x ) ：孵” 9 t 0 且矿( o ) = o 使得v x 吖，0 v ( x ) o ，乞矿( d = | i i ( 力 则此时系统是无源的蕴涵如下两条基本性质： 定理2 4 3 对于非线性系统( 2 4 4 ) ，假设g ( o ) 和婴( o ) 满秩，若系统是无源的，且具有 c 2 正定存储函数则系统( 2 4 4 ) 在x = o 处相对阶为1 且是弱最小相位的 以上结论为判断系统是否无源提供了方法，只要判断满足式( 2 4 j 3 ) 的半正定解s (