（控制理论与控制工程专业论文）基于h2h∞混合优化的变结构控制.pdf

y 6 547 8 8 基于h 。i 以混合优化的变结构控制 控制理论与控制工程专业 研究生顾宇杰指导教师涂源钊教授 h ，控制和h 。控制在现代控制理论中占有极其重要的地位，在众多领域内 受到了广泛的关注，并取得了不少研究成果。上世纪8 0 年代末期提出的h 上l 混合控制问题作为一种多目标控制问题，则是将见性能设计与h 性能设计相 结合，使整个系统既可以获得优良的调节性能，又可以保持鲁棒稳定性。而变 结构控制则以其在滑动模态上对参数摄动和外干扰在一定条件下的完全鲁棒性 而受到研究者的重视，研究也覆盖了飞行器控制、机器人控制、电机与电力系 统控制等诸多领域。 本文结合了h ，h 。混合优化的方法和变结构控制的方法，利用变结构控制 的不变性，使得在滑动模态面上系统在鲁棒性能和动态、稳态性能之间达到混 合优化，从而提出了基于b 乒气混合优化的变结构控制的概念。本文采用运动 分解法和干扰重定义法描述了系统在滑模面上的运动方程，通过定义辅助被控 信号得到广义被控对象，采用基于状态反馈的凸优化方法求解滑模面匕的 h ，i ，匕混合优化控制器从而确定终端滑模面的表达式，最后给出保证滑模可达 的控制律并给予稳定性证明。最后，针对类具有不满足匹配条件干扰的线性 不确定系统进行了仿真研究，结果证明了所提方法的有效性。动态、稳态性能 较好，又不失鲁棒性，本文提出的方法在工程领域应该有较好的应用前景。 关键词：不确定性，h ：i h 。混合优化，滑动模，变结构控制 v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lb a s e do nm i x e d h 2 h 。o p t i m i z a t i o n m a j o r ：c o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o e n g i n e e r i n g g r a d u a t e ：g uy u ji e s u p e r v is o r ：t uy u a n z h a o h 2 c o n t r o la n d 玩c o n t r o lo c c u p yt h em o s ts i g n i f i c a n ts t a t u si n t h em o d e r nc o n t r 0 1 t h e o r y t h e y h a v eb e e nr e c e i v e d c o m p r e h e n s i v e a t t e n t i o n si nm a n yf i e l d s ，a n ds o m er e s e a r c hr e s u l t sh a v eb e e na c q u i r e d a sak i n do fm u t i t a r g e tc o n t r o lp r o b l e m s 。m i x e d h l h 。c o n t r o lp r o b l e m p r e s e n t e d i nt h el a t e e i g h t i e s o ft h e2 0 ”c e n t u r yi n t e g r a t e s h 2 p e r f o r m a n c ed e s i g nw i t hh 。! s t h e nt h ew h o l es y s t e m c a nn o to n l ya t t a i n a ne x c e l l e n tr e g u l a t i v ep e r f o r m a n c e ，b u ta l s ok e e pt h er o b u s ts t a b i l i t y o nt h eo t h e rh a n d ，v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l ( v s c ) g o tr e s e a r c h e r s a t t e n t i o n sb e c a u s eo fi t sa b s o l u t er o b u s t n e s s f o r t h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t y a n dt h ee x t e r i o rd i s t u r b a n c e so nt h es l i d i n gm o d e t h e r e s e a r c h f i e l d so fv s ca l s oe m b r a c ea e r o c r a f tc o n t r o l 、r o b o tc o n t r o l 、 e l e c t r i c e l e c t r i cj a ns y s t e mc o n t r o l ，e t c t h i sp a p e ri n t e g r a t e dm i x e d h l h 。o p t i m i z a t i o nw i t hv s c m a k i n g u s eo fv s c i n v a r i a b i l i t y 。s ot h a t t h e s y s t e m c o u l da c h i e v em i x e d o p t i m i z a t i o n b e t w e e nr o b u s t p e r f o r m a n c e a n dt h e d y n a m i c a n ds t a b l e p e r f o r m a n c ei nt h es l i d i n gm o d e ，t h e nt h ec o n c e p to fv a r i a b l es t r u c t u r e c o n t r o lb a s e do nm i x e d h l f h 自o p t i m i z a t i o n w 3 sp r e s e n t e d a f t e r i n t r o d u c i n gt h em e t h o d so fs t a t e st r a n s f o r m a t i o na n dt h ed js t u r b a n e e r e d e f i n i t i o n ，t h i sp a p e rd e s c r i b e dt h e s y s t e m sd y n a m i c se q u a t i o no n t h es ll d i n gm o d e b ym e a n so fd e f i n i n gt h ea s s i s t a n tc o n t r o l t e ds i g n a l s ， t h i s p a p e rg a i n e d t h e g e n e r a l i z e dp l a n t ，a n d t h e nm a d ec e r t a i nt h e t e r m i n a ls 1i d i n gm o d e 。se x p r e s s i o nt h r o u g h s o l v i n gt h em i x e d h 2 旧。 o p t i m i z a t i o nc o n t r o l l e tb yw a yo fu s i n gt h ec o n v e xa p p r o a c hb a s e do ns t a t e f e e d b a c k l a s t ，t h ec o n t r o ll a w ，w h i c he n s u r e dt h ee x i s t e n c eo fs li d i n g m o d e ，w a sg i v e na n dt h es t a h i l i t yw a sp r o v e d t h es i m u l a t i o nr e s u l t sf o r ac l a s so fl i n e a ru n c e r t a i n t ys y s t e m sw i t hm i s m a t c h i n gd i s t u r b a n c es h o w t h ee f f e c t i v eo ft h i sm e t h o d n o t o a l y h a v eg o o dd y n a m i ca n ds t a b l e p e r f o r m a n c eb u ta l s ow i t h o u tl o s sr o b u s t n e s s ，t h ea p p r o a c hp r o p o s e di n t h i s p a p e r s h o u l dh a v e p r e f e r a b l ea p p l i c a t i o nf o r e g r o u n d i nt h e e n g in e e r i n g f i e d s k e y w o r d s ：u n c e r t a i n t y ，m i x e d 皿h 。o p t i m i z a t i o n ，s l i d i n gm o d e ，v s c 四j i l 大学硕士学位论文 1 引言 1 1 变结构控制理论的研究与发展 变结构控制( 又称滑动模态控制) 的基本概念起源于二阶系统的相平面 研究，出现于2 0 世纪5 0 年代，经历了近半个世纪的发展，已形成了自己的体 系，成为自动控制系统的一种一般的设计方法。变结构控制在滑动模态上对系 统参数的摄动和外干扰在一定条件下具有不变性，正是不变性这种突出优点引 起了人们的重视。此外，变结构控制作为一种设计方法，它的结果往往不是唯 一的，影响它的因素很多，如选择不同的控制形式、切换函数、到达条件以及 求取变结构控制的方法等。这样，同一问题中出现的多样性为工程设计者提供 了更多的选择。具体而言，变结构控制普遍适用于线性与非线性系统、连续与 离散系统、确定性与不确定性系统、集中参数与分布参数系统、同步与时滞系 统、集中控制与分散控制系统等；其适用的控制任务有镇定、运动跟踪、模型 跟踪等。特别是它已被应用于很多工程领域。 以滑动模为基础的变结构控制系统理论大致经历了三个发展阶段。早期的 工作主要由前苏联学者完成，研究成果见诸于专著【2 j 及综述文章【。 在第一阶段，变结构控制研究的对象以单输入单输出的线性系统为主，研 究的方法是相平面分析法。以误差信号及其各阶导数构成状态空间，亦即规范 空间。控制量是各相坐标的线性组合，其系数按一定切换逻辑进行切换，所选 的切换流形均为规范空间中的超平面。此时，滑动模态对摄动的不变性【4 pj 已引 起了人们的重视，因为这种优异性质对于控制系统而言是十分重要的，但由于 采用微分器获取误差的各阶导数信号的不可取使得这一阶段建立起来的理论很 少被采用，期间的文献也没有受到普遍重视。 2 0 世纪6 0 年代末开始了变结构控制系统理论研究的第二阶段。此时，人们 不再局限于在规范空间中进行研究，而是将研究的对象扩大到多输入多输出系 统和非线性系统 6 8 ，切换流形的选取也不再局限于超平面。在此期间取得了相 当多的研究成果，如关于滑动模的唯一性、稳定性及切换面方程式的设计等， 但由于没有相应的硬件技术支持，这一时期的主要研究工作还仅局限于基本理 论研究。 四川i 大学硕：l 学位论文 自2 0 世纪8 0 年代以来，变结构控制理论和应用研究进入了一个崭新的阶 段。以微分几何为主要工具发展起来的非线性控制思想极大地推动了变结构控 制理论的发展，如基于精确输入，状态和输入输出线性化及高阶滑动模的变结构 控制等。研究对象也丌始涉及离散系统【9 、分布参数系统 1 0 】、广义系统、滞 后系统、非线性大系统及非完整动力学系统 1 4 】等众多复杂系统。同时，自 适应控制【t 5 - 1 7 1 、模糊控制| ：”】、反步法 15 j 6 、边界层内的正则化方法等先进控 制技术也被综合应用到变结构控制系统的设计中，以解决变结构控制器所存在 的抖振对实际应用所带来的困难。近年来在非匹配不确定系统【l 饥”“j 方面的研 究也取得了相当的进展。 虽然变结构控制理论在近半个世纪以来取得了一定的研究进展，但是仍然 有许多理论问题尚有待解决，特别是对变结构控制与有关智能控制方法如模糊 控制、神经网络及遗传算法等先进控制技术的综合应用还处在研究的起步阶段， 绝大多数研究还仅局限于数值仿真和实验室平台实验阶段，迫切需要开展系统 的应用丌发研究工作。在一般理论发展的同时，变结构控制在很多工程技术领 域中的应用研究，发展也很迅速，如飞机控制、卫星姿态控制、机器人控制、 电机控制、电力系统控制、柔性空间飞行器控制等领域。 1 2 日，玩混合优化 2 0 世纪5 0 - 6 0 年代，在空间技术的发展和数字计算机得到广泛应用的推动 下，随着动态系统优化控制理论的发展，逐渐形成了现代控制理论的一个重要 分支最优控制理论。该理论已被广泛应用于空间技术、系统工程、人口理 论、经济管理与决策等各个领域，并取得了显著的成效。 将最优控制理论应用于工业过程控制领域，就得到了具有广泛工程背景的 线性二次型最优控制问题( l q c 问题或马控制问题) 。以系统的h ：范数为性能 指标的最优控制理论，可以使系统获得好的动态、稳态性能，但其鲁棒稳定性 则相对较差。早期的h 问题是基于y o u l a 参数化的，文献 2 2 对这方面的成果 进行了系统的总结。文献 2 3 对离散系统给出了一种真接基于状态空间的参数 化方法，目前这一设计方法己成为风最优控制设计方法的主流。 四门l 大学硕士学位论文 相对于较为简单且常见的凰最优控制设计，在此，作者更愿意介绍一下爿。 最优控制的发展历程。 1 9 8 1 年，z a m e s 首次提出了上l 优化控制的概念【2 4 ，但并没能给出行之有 效的解法。1 9 8 4 年，加拿大学者f r a n c 括和z a m e s 用古典的函数插值理论，提出 了 乙设计问题的最初解法【2 s 1 。同时，基于算子理论等现代数学工具，这一解法 很快被推广到多变量系统口酏。而英国学者g l o v e r 则将玩设计问题归纳为函数 的逼近问题，并用h a k e l 算子理论给出了这一问题的解析解。g l o v e r 的解法 又被d o y l e 在状态空间上进行了整理并系统地归纳为 乞控制问题【2 8 】。至此h 。 控制理论体系已经初步形成，这个时期的主要成果可见1 9 8 7 年问世的第一部 以控制理论专著 2 9 。但是这一阶段所提出的风设计问题的解法，所用的数 学工具非常繁琐，并不象问题的本身那样具有明确的工程意义。直到1 9 8 8 年 d o y l e 等人在全美控制年会上发表了著名的d g k f 论文 3 0 ，证明了日。设计问 题的解可以通过解两个适当的代数r i c c a t i 方程得到。随后日本学者木村英纪基 于网络共轭化的概念，提出了证明更为简洁的解法1 ，这个解法后来被进一步 完善和发展，形成了以，无损因子分解理论为基础的解；7 去1 3 2 , 3 3 ，但是这些解法实 际上与d g k f 论文提出的解法是等价的。 d g k f 论文的发表标志着日。控制理论的成熟，迄今为止，风设计方法主 要都依赖于这个解法。除r a c c a t i 方法之外，另一种时城状态空间方法a 棚 方法近年来在点乙控制理论中的研究中收获颇丰3 4 ，3 5 】。非线性系统的风控制近 年来一直是一个热门研究方向，其所用的算法涉及到 哪( h a i l t o mj a c c o b ii s j a c s ) 方程的求解 3 6 1 。9 0 年代中期之后，时滞系统( 包 括不确定时滞系统) 的以控制问题受到了广泛的关注，并取得了一些研究成果 f 3 7 1 。不仅如此，研究者还积极地同美国f 砘m a t h w o r k 公司合作开发了m a t l a b 鲁 棒控制工具箱，使得风，控制理论更具有工程应用意义。 四川大学硕士学位论文 作为也问题的推广，坞也混合优化问题是一一个藿要的鲁棒性问题。1 9 8 9 年b e r n s t e i n 和h a d d a d 首先提出了皿玩混合控制问题( 3 8 】，意在将h ，性能设 计与h 。性能设计相结合起来，使整个系统既可以获得优良的调节性能，又可以 保持鲁棒稳定性。实际上，：也混合控制是一种多目标控制问题。但是当 h ，乩混合优化问题被提出后，研究者发现求解这个问题的难度是令人惊奇 的，尽管如此，研究者还是进行了卓有成效的研究工作，并取得了重大的进展。 以下是几种较为典型的求解方法： r i c c a t i 方程法3 9 】将甄范数性能指标用只范数的上界来代替，通过辅 助目标函数将h ：h 。混合最优控制问题简化为一个次优控制问题，应用拉格朗 同乘数法，得出这+ 次优问题有解的必要条件是两个耦合的r i c c a t i 方程有解。 进一步简化可以得到一个方程组( 包括两个r i c c a t i 方程和两个l y a p u n o v 方程) ， 而这一方程组正是次优问题有解的充要条件。 凸优化方法针对二输入二输出混合马乒乙次优问题，可采用凸优 化的方法求解。对于状态反馈情形，静态增益控制器能够取得系统可能得到的 最好性能，混合马何。问题可以被看作一个凸约束集和一个凸目标函数的凸优 化问题，这样便可有效地进行求解。 n a s h 均衡理论h 1 3 通过求解妇均衡问题来求解状态反馈h ：风混 合优化问题。由于双人非零和对策具有两个性能判据，用其中的一个性能指标 来反映系统的圩。性能约束，而另一个性能指标用来反映皿性能指标。这一问 题解的形式为由系统数学模型的参数和耦合的r i c c a t i 方程组的解所确定的状态 反馈控制律。 遗传算法 4 2 1 由于h ：风混合优化问题是种多目标优化问题，故可用 四门i 大学硕- ：学位论文 遗传算法求解。对于一类修正的日：。混合优4 ；a 1 a 3 题，利用遗传算法在玩中 心解构成的解空间内进行寻优，寻找满足风性能指标的最优解。 近来，基于三 口的鼠。混合控制的研究也取得了一定成果限“，但就具 体实现来看，也不外乎对三a 打的求解与上述某种方法的综合。 13 本文所做的工作 本文的工作是对滑模变结构控制和县风混合优化进行综合研究，并提出 了基于凰日。混合优化的终端滑模控制的概念。 针对一类具有不满足匹配条件干扰的线性不确定系统，具体实现日：f 乙混 合优化的变结构控制的工作如下： 首先，选取终端滑模面。由于在滑模面上系统的运动对于满足匹配条件的 不确定性和外干扰具有不变性，因而可以采用线性变换和干扰的重定义重写滑 模面上的系统运动方程。 其次，定义辅助被控输出信号。与系统在滑模面上的运动方程合写成一广 义被控对象，采用基于状态反馈的凸优化方法求解滑模面上的上匕混合优化 问题并确定内稳定的控制器，从而确定终端滑模面的表达式。最后给出滑动模 可达的控制律，并找到了l y a p u n o v 函数，进行了稳定性证明。 最后，给出一个线性不确定系统，按所述设计方法进行控制律的设计，仿 真结果表明本文所提设计方法的有效性。 四川大学硕十学位论文 2 滑模变结构控制“5 。4 印 变结构控制方法通过控制作用使系统的状态轨线运动到适当选取的切换流 形，然后沿此流形渐近运动到平衡点。系统一旦进入滑动模运动，在一定条件 下就对外界干扰及参数摄动具有不变性。这样，系统的综合问题就被分解成两 个子系统的综合问题，即设计变结构控制规律使得系统在有限时间内到达指定 的切换流形和选取适当的切换函数确保系统进入滑动模运动以后具有良好的动 态特性。 2 1 滑动模态 滑动模态是动态系统 戈= f ( x ，) ，x r “ ( 2 - 1 ) 中发生在流形s 上的一类运动。 所谓的流形( 或子空间) s 可表示为s = x is ( x ) = o ，s 可以为超平面 s ( x ) = c x = 0 ，也可代之为超曲面s ( x ) = 0 。 从初始条件：初始状态及初始时刻“出发的运动x ( t ，x 。，“) ，如满足 若s ，则x ( t ，x o ，) s ( 2 2 ) 则称它是发生在s 上的系统( 2 - 1 ) 的滑动模态，s 称为滑动模态区，或滑动模 态子空f a j ，滑动模态流形( 若该区不是子空间) 等。 在此，我们采用变结构控制中滑动模态区常表现的两种形式中的终端滑动 形式( 最终滑模形式) ：只要求s 。= x ls ( x ) = 0 ) 是滑动模态区，即s 。时必 有x ( t ，如) s 。；而另外一种滑动模态区则表现为递阶形式。 2 2 等效控制法 等效控制法是最早提出的补充确定不连续微分方程在不连续面上的定义的 方法，即寻找一种控制，用来强迫系统在切换面上运动。这就是说，在这种控 6 四川大学硕士学位论文 制下系统的运动，正好是切换面上的滑动模态的运动，所以常称它为等效控制。 考虑单输入控制系统，其方程为 i = a ( x ) + b ( x ) u ，x r ”，“r 其中控制“为标量。取切换函数为s ( x ) ，切换面为 s ( x ) = 0 ，s r ( 2 3 ) ( 2 4 ) 切换面上的运动，对系统( 2 - 3 ) 的解x ( f ) 而言，应永远( 对所有f ) 满足 s ( x ( f ) ) = 0 ，j o ( f ) ) = 0 ( 2 5 ) 式( 2 5 ) 表示沿式( 2 - 3 ) 之解的j 对f 的导数应等于零。求此导数得表达式为： j ( x ( f ) ) ：宴丈：宴( 爿( x ) + 6 ( z ) “) = 孚4 ( x ) + 【享6 ( x ) m ( 2 6 ) 出o r ,o x蹦 式中_ o s ： 芸，等 = g r a d s ，称为j 的梯度，或方向导数等。 出 班钡。 现假设函数 孚6 ( x ) o ，当x s = x ls ( x ) = o ) 矗z ( 2 7 ) 即在切换面s 上函数嘉6 ( x ) 不等于零，条件( 2 1 ) 被称之为“变结构可控 条件。 由上述假设可从式( 2 - 6 ) 解出 铲一 塞) _ 1 塞撕啦 这就是我们所要求的等效控制。当然，此控制仅在切换面s 上有定义。 由式( 2 3 ) 和( 2 - 8 ) 得切换面s 上的系统的微分方程，它可表示为 膏= a ( x ) + 6 ( x ) “ ：爿( x ) 一6 ( x ) _ 当6 ( x ) ，o s a 、 x ) c 9 fo x ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) 四川i 大学硕士学位论义 j ( x ) = 0 方程( 2 - 9 ) 就是滑动模态的运动微分方程。 2 3 运动分解法 运动分解法对于如下式所示的线性控制系统是无条件适用的， t ：a x + b u s = c t x ( 21 0 ) 定义2 1 线性系统i = a x + b u ，x r ”，“r ，称为是简约型的，如果 b = 吕 ，b + t r j ，非奇。 假设( 4 ，b ) 可控，则存在线性变换y = 王x ，可将式( 2 1 0 ) 变成简约型 岁= j y + 百“，s = 互r ，百= 导 ( 2 - 1 1 ) 其中b + 为m m 非奇阵。 再做线性变换 z = e ，五= 刍。 ，y = 羔 ，z = ： ，s = y ：r ；s ，y ，r “ 可将( 2 1 1 ) 化为 其中 j 1 = a 1 + a 1 2 j = 一= 一一 j = a 2 1 z 】+ 鸣2 s + b + “ 翥：正巧，：i a i i 垒l ，亨：西 1 4 呜： ( 2 - 1 2 ) 四川大学硕二i 学位论文 式( 2 - 1 2 ) 中第二式所描述的运动，正是趋近运动，即从任意初始位置到 切换面的那段运动。第一式当j = 0 时 毛= a 1 】z 所描述的正是滑动模态。这也就是系统( 2 - 1 0 ) 在s = 0 上的定义。 ( 2 1 3 ) 2 4 滑动模态对摄动及干扰的不变性 变结构控制的一个突出优点是：当摄动与外干扰满足匹配条件时，滑动模 态是与它们无关的，或日滑动模态对系统摄动和外干扰是不变的。不变性是一 种比鲁棒性还优良的性质。如果说鲁棒性表示摄动与干扰对系统的稳定性或其 它性质影响不大的话，那么不变性则表示摄动与干扰对系统全无影响。 考虑仿射非线性系统，这是可应用变结构控制的最一般的系统： 量= a ( x ) + 曰( x ) “，“r “ ( 2 - 1 4 ) 假定它具有最一般形式的摄动：4 ( x ，p ，味丑( x ，p ，f ) 及外干扰f ( x ，p ，0 ，而呈 t = a ( x ) + 爿( x ，p ，r ) + ( b ( x ) + a b ( x ，p ，f ) ) “+ f ( x ，p ，f ) ( 2 - 1 5 ) 其中不确定参数p p r 。是某，维向量。 定理2 1 若存在j ，雪和户使匹配条件 4 ( x ，p ，t ) = b ( x ) a ( x ，p ，r ) a b ( x ，p ，f ) = b ( x ) b ( x ，p ，r ) ( 2 - 1 6 ) f ( x ，p ，r ) = b ( x ) f ( x ，p ，f ) 成立，则可以构造系统( 2 1 4 ) 的滑动模态，它对a a ，a b 及外干扰f 是不变的。 证明选取切换函数 s = j ( x ) ，s r ” 沿系统( 2 - 1 5 ) 的解计算s 对r 的导数，并令其为零得 塑型奎兰堡：!：兰堡笙墨一 j = 票( 4 + 鲋) + - 筹( b + a b ) 塞，= o ( 2 - 1 7 )出 一 上式取零表示沿s = 0 上的滑动模态的微分。假设 d e f l 兰( b + 日) 】o ，x q ，p p 盘 则从式( 2 1 7 ) 可得到滑动模态的等效控制： 塞( b + b ) 1 _ i 塞( a + 鲋+ f ) q 。8 在以上的式予中_ ，b ，4 ，b ，f 的自变量x ，p ，f 均来写出。将式( 2 一1 8 ) 代入系 统方程( 2 1 5 ) ，得滑动模态的运动方程： 曼= a + a a - ( 8 + 出) 暖( 胁丝汀1 要( 舢鲥 ) + f ( 2 - 1 9 )僦“ 一7 戈品= ( x ls ( x ) = 0 现将匹配条件( 2 1 6 ) 中的鲋，口及，代入式( 2 1 9 ) ，得到 i ：爿十厕一( 口+ 口新塞( 口+ 口勒。塞( 彳+ b a + b f “) + 盱 ：么+ 肠一b ( ，+ 两 塞b ( j + 两r & 0 s 、a + 叛+ 8 秘+ 酚 ：爿+ b j - b ( + 鲰j 十盼擘8 x 盯1 塞4 一即+ 鲰r + 计噻盯1 噻联“户) 枷尹 ：枷五一i ( 宴b ) 一i 宴4 一荫一时+ 肝 0 删 ：彳一b ( 拿盯一害爿 此式正是未受到摄动鲋，b 及外干扰f 时系统( 2 1 4 ) 的滑动模态，或者说是 ( 21 5 ) 中4 ：0 ，日= o ，f = o 时的滑动模态的方程。 这样，我们就证明了：当匹配条件成立时，滑动模态的运动方程与系统所 受的摄动左，b 及辨干扰f 是无关的，或者说，滑动模态对摄动与干扰具有不 变性。 四川大学硕士学位论文 2 5 滑动模可达与趋近模态的不变性 滑动模的存在性：n m 维区域d 是滑动模区域的充分条件是在n 维区域 q d ，存在一关于所有变量为连续可微的函数v ( t ，x ，s ) 满足下列条件：( 1 ) v ( t ，x ，s ) 关于s 正定：( 2 ) v ( t ，x ，s ) 关于式( 2 1 4 ) 的导数除了在未定义的曲面 s = 0 上是处处为负。 一旦滑动模被确认存在，那么变结构控制的另一重要问题是设计适当的变 结构控制规律保证系统在有限时间内到达切换流形，进而实现滑动模运动。 下面给出几种常用的趋近律： ( i ) 等速趋近律 i = 一s s g n s 占 0 ( 2 2 0 ) ( 2 ) 指数趋近律 j = 一s s g n3 一k s ，s 0 ，k 0 ( 2 - 2 1 ) ( 3 ) 幂次趋近律 j = 一4s g n s ，k o ，1 口 0 ( 2 2 2 ) 特别的，取口= i 1 时，j = 一t 以s g n 以k o ( 4 ) 一般趋近律 氚0 9 - o s g n 讥s - 咖f ( s 晦) 0 ( 2 _ 2 3 ) 厂( o ) = o ，矿( j ) 0 当j 在上节中我们证明了：当匹配条件成立时，滑动模态的运动方程与摄动和 干扰无关，且不管系统的摄动与外干扰有多强，都没有关系。但事实上，必须 求出确定的控制律，其中不含摄动与干扰：另外，摄动与干扰的强弱在大多数 情况下都将影响控制的确定，例如控制不可能无限大。因此，下面将讨论趋近 模态的不变性。 从s ( x ) 的微分式( 2 - 1 7 ) j 一0 。s 、a + 鲋) + 豢( b + a s ) “+ 祟f 僦眦出 四j i l 大学硕士学位论文 和趋近律 j = 一s s g n s 一鼢 可得变结构控制 “= 宴( b + b ) _ 1 害( 爿+ 6 a ) + 害f + fs g n j + k s ( 2 2 4 ) o xox(tx 将“代入系统的运动方程( 21 5 ) ，最后得到变结构控制系统的运动微分方程： 工= 爿+ a a 一( b + 口) 罢兰( b + b ) 】一1e 宝- ( a 十4 ) + 罢兰f + e s g n j + k s + f 毗f 7 xo x ( 2 - 2 5 ) 显然，趋近运动的方程( 2 - 2 5 ) 和趋近运动本身，都强烈的依赖摄动鲥，占 及外干扰f 。 现在我们考虑一个趋近空间 r = j = ( j 。，s 2 ，矗) 这是一个m 维的欧氏空间，坐标系为( s 1 , s ：，) 。 趋近律 j = 一c s g n s k s 当s 及k 选定后，在r 。中是一个确定的、与系统方程完全无关的方程，即在尺。空 间，趋近过程对系统的摄动和外干扰，都是不变的。 2 6 变结构控制的设计步骤 变结构控制器的设计过程可分以下几个步骤： ( 1 ) 总结构确定。即确定切换函数s ( x ) 和变结构控制器“+ ( x ) 的结构。 ( 2 ) 运动分解方法。为求出切换函数，并保证滑动模态的稳定性，采用 运动分解法将系统分解成两个子系统，其一是滑动模态，另一为趋近运动。 ( 3 ) 滑动模态的稳定性研究。确定并保证滑动模态的稳定性。 ( 4 ) 趋近律方法。用趋近律方法求解变结构控制。 四川大学硕士学位论文 3 h ：也混合优化口“4 。4 7 1 3 1 马风混合优化问题的提出 在最优控制理论中两个重要的系统性能度量是h ：范数和日。范数，x , l 于- - 个稳定的多输入多输出传递函数矩阵g ( s ) ，它的h ：范数和风范数定义如下： i i g ：= ( 去p 删 g ( 顸例埕 | | g | | 。：= s u po 。 g ( 徊) 】 其中g ( j m ) 为g ( j w ) 的转置共轭阵，o - 为最大奇异值。 图31 小增益定理保证系统鲁棒稳定性 在爿一控制理论中，运用小增益定理，只要扰动在某一有界范围内，对于结 构不确定性和外干扰，系统都可以在一定程度上保证鲁棒稳定性。对于如图3 1 所示的系统，吒为= 0 时从甜到z 的传递函数，令y = 1 i g , 。k ，那么只要 乙 0 且b i d ；= 0 ，即 过程噪声与量测( 传感) 噪声是不相关的。 求解一n 阶输出反馈动态控制器，形如 i c ( ) 24 c x c ( ) + b c m ( 3 2 ) “( f ) = e x 。( f ) 四川大学硕士学位论文 其中为控制器状态。由式( 3 - 1 ) 和式( 3 - 2 ) 构成闭环系统为 。( ) 2 譬( ) + b 4 ( )( 3 3 ) z ，( f ) = c l i ( f ) 脚斟五= k 斜豆= 蹦昏c g 删 下面，我们给出h ：也混合控制的定义。 问题3 2 对于被控系统( 3 - 1 ) ，设计输出反馈动态控制器( 3 - 2 ) ，满足如 下设计准则： 1 ) 闭环系统( 3 - 3 ) 渐近稳定，即匀是渐近稳定的； 2 ) 从叮到z 的闭环传递函数阵 g 一( s ) = c 1 ( s l 一爿) 。口 ( 3 - 4 ) 满足 悒。( s ) k - 0 为一给定常数： 3 ) 二次型性能指标泛函( 价值率函数) ，( a c e = 熄扫肛r l x “。) r 2 u 协) ( 3 删 达极小值，其中加权矩阵 r 1 = 岛c o o ，r ：= 联d 0 o ( 3 7 ) 由加权矩阵的分解式( 3 - 7 ) ，定义辅助被控输出信号 z o ( t ) = c o x ( t ) + d 0 u ( t ) ( 3 - 8 ) 其中如r “。并假设e d o = o ，则性能指标( 3 6 ) 等价于 y ( a 。，陵，c c ) = l i m 研菇( r ) 白( r ) 】 ( 3 9 ) 四川i 大学硕士学位论文 事实上，当干扰万为零均值单位方差高斯白噪声信号时，可以证明l q g 问题的 性能指标( 3 6 ) ( 式( 3 - 9 ) ) 即为从订到白的闭环传函阵g 一( s ) 的h ，范数： f g 2 ，( s ) f ：2 ( 去护s 巴，( 弦) 。( ，巧) f 口 咒 根据上述讨论，将式( 3 - 1 ) 和式( 3 - 8 ) 合写在一起，得广义被控对象的 状态空间描述： i ( r ) = a x ( t ) + b l w ( t ) + 马“( r ) 2 。( ) 。c o 。( ) + d o “( ) ( 3 一l o ) ：i ( r ) = c 1 x ( t ) + d 1 “( f ) y ( t ) = c 2 x ( t ) + d 2 河( f ) 这样，问题3 ，2 提出的码虬混合控制器设计问题就可转化为如图3 2 所示的 ，圩。混合标准控制问题。 图32 h 2 。混合标准控制 图中广义被控对象g 的状态空间实现为式( 3 - 1 0 ) ，待设计的控制器k 如式 ( 3 - 2 ) 。则问题3 2 可等价表述为： 问题3 3 对于广义被控对象( 3 1 0 ) ，设计输出反馈动态控制器( 3 - 2 ) ，满 足如下设计准则： 1 ) 图3 2 所示闭环系统内稳定； 2 ) 闭环传函阵嚷。( 5 ) 满足吒。( s ) 吐y ； 四川i 大学硕： 学位论文 3 ) 闭环传函阵吒，( s ) 满足n 霉n | 吒。( s ) 8 相应的控制器 ，称为h ：上l 混合最优控制器。 33 h h 。混合优化的求解 鼠混合控制，可以说将系统的最优性能和鲁棒性能指标二者结合起 来，通过求解个最优控制器使系统获得两个设计者最为关注的系统特性。但 是求解，风混合优化这个问题的难度是令人惊奇的。即使是一个有限维的系 统，它的虬混合优化控制器也可能是无限维的。这时矗：风混合优化问 题的研究主要集中在以下三个方面：1 ) 基于无穷维优化的解的研究；2 ) 基于 非线性耦合矩阵方程