2014级直升初二数学iii一元二次方程根与系数的关系(2)简版.doc

2014级直升初二数学III一元二次方程根与系数的关系（2）姓名_班级_923【课堂思考问题】1完成下面的范例，思考韦达定理与判别式的逻辑关系是什么？例1：已知关于x的方程的两个实数根、满足，求实数m的值2完成下面的例题，列出利用韦达定理解决对称式的基本思路，并写出常见的对称式有哪些？例2：若、分别是一元二次方程的两根（1）求的值；（2）求的值；（3）3韦达定理在解决非对称式的基本思路有哪些？请举例说明例3：已知、是方程的两实数根，求的值4阅读教材第140页例6，回答下面的问题：（1）为什么要讨论，？（2）还原方程的思想还用在什么地方，试举例说明（3）类似这样的例题，还有什么样的变式？5利用韦达定理能解决哪些根的分布问题？每一种问题是如何利用韦达定理的？例4：若关于x的一元二次方程的一根大于1，另一根小于1，求实数a的取值范围6试举例说明，如何利用韦达定理解决方程的整数解问题【A层必做题】1关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、若，求m的值2若一元二次方程的两实数根都大于2，求m的取值范围3设m是不小于1的实数，使得关于x的方程的两个不相等的实数根、求：若x12+x22=6，求m的值4若一元二次方程x22x+m=0的两根为、，且x1+3x2=3，求m的值5已知关于x的方程的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围6设：3a26a11=0，3b26b11=0且ab求a4b4的值7已知方程2x24mx+3（m21）=0求m为何值时，（1）方程有两个正根？（2）两根异号？（3）有一个根为0？8若a，b是方程x23x2=0的两个根，求代数式a3+3b2+2b的值【B层选做题】1已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为、；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1y1=x2y2=2求a、b的值2已知关于x的方程x22（m+1）x+m23=0（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设、是方程的两根，且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，求m的值2014级直升初二数学III一元二次方程根与系数的关系（2）参考答案与试题解析一解答题（共18小题）1关于x的一元二次方程x2+3x+m1=0的两个实数根分别为x1，x2若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值考点：根与系数的关系菁优网版权所有专题：计算题分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=m1，再利用已知条件得到6+m1+10=0，然后解一次方程即可解答：解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=m1，2（x1+x2）+x1x2+10=0，6+m1+10=0，解得m=3点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=2若一元二次方程x26x+5m=0的两实数根都大于2，求m的取值范围考点：根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组菁优网版权所有专题：计算题分析：如果设一元二次方程x26x+5m=0的两实根为x1，x2，那么根据两实数根都大于2，可知0，（x12）+（x22）0，（x12）（x22）0同时成立先由根与系数的关系，用含m的代数式表示出两根之和与两根之积，再分别代入，解由联立起来的不等式组，即可求出m的取值范围解答：解：设一元二次方程x26x+5m=0的两实根为x1，x2，则x1+x2=6，x1，x2=5m又两实数根x1，x2都大于2，即，解得4m3故所求m的取值范围是4m3点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及一元一次不等式组的解法等知识，难度中等正确理解一元二次方程x26x+5m=0的两实数根都大于2是解题的关键3设m是不小于1的实数，使得关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0的两个不相等的实数根x1，x2求：若x12+x22=6，求m的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题：判别式法分析：根据一元二次方程的根的判别式=b24ac0和已知条件“m是不小于1的实数”求得m的取值范围1m1；然后利用韦达定理求得x12+x22=（x1+x2）22x1x2=6，即2m210m+4=0，再利用求根公式求得m的值解答：解：关于x的方程x2+2（m2）x+m23m+3=0的两个不相等的实数根，=4（m2）24（m23m+3）0，x1+x2=2（m2），x1x2=m23m+3，整理得：m+10，解得：m1；又m是不小于1的实数，1m1；x12+x22=（x1+x2）22x1x2=6，4（m2）22（m23m+3）=6，即2m210m+4=0，解得m1=（不合题意，舍去），m2=点评：本题考查了根与系数的关系、根的判别式将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法4若一元二次方程x22x+m=0的两根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有分析：首先根据根与系数的关系得出x1+x2=2，与x1+3x2=3，组成方程组求得x1，x2，进一步得出x1x2=m求得答案即可解答：解：一元二次方程x22x+m=0的两根为x1，x2，x1+x2=2，则解得x1=，x2=m=x1x2=点评：本题考查了根与系数的关系二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=p，x1x2=q，反过来可得p=（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数5已知关于x的方程x22kx+k=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：一个根大于1，另一个根小于1，即方程两根与1的差的乘积是负数，根据一元二次方程根与系数的关系表示出两根的和与两根的积，根据（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1，即可得到关于k的方程，即可求得k的值解答：解：设两根为x11，x21那么x110，x210（x11）（x21）0x1x2（x1+x2）+10k0252k+10解得k点评：解决本题的关键是得到与所给题意相关的式子，用根与系数关系求解6若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两根（1）求|x1x2|的值；（2）求+的值；（3）x13+x23考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：（1）先利用根与系数的关系得到两根之和及两根之差，再对要求的代数式变形，把数值代入求解即可；（2）先通分，再把分子利用完全平方公式变形，代入求得答案即可；（3）利用立方和公式把代数式因式分解，再变形，再利用根与系数的关系即可求解解答：解：x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x3=0的两根x1+x2=，x1x2=（1）|x1x2|=（2）+=（3）x13+x23=（x1+x2）（x12x1x2+x22）=（x1+x2）（x1+x2）23x1x2=点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=7已知x1，x2是方程x2x9=0的两实数根，求x13+7x22+3x266的值考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有分析：先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+9，x22=x2+9再计算x13=x12+9x1=10x1+9，7x22=7x2+63则原式可化简为10（x1+x2）+6，然后利用根与系数的关系求解解答：解：x1，x2是方程x2x9=0的两实数根，x12=x1+9，x22=x2+9，x1+x2=1，x13=x12+9x1=10x1+9，7x22=7x2+63，则原式=10（x1+x2）+6=16点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的解的定义8设：3a26a11=0，3b26b11=0且ab求a4b4的值考点：根与系数的关系菁优网版权所有分析：根据3a26a11=0，3b26b11=0，于是设a，b是方程3x26a11=0的两根，根据根与系数的关系得到a+b=2，ab=，求得（ab）2=（a+b）24ab=，代入a4b4即可得到结果解答：解：3a26a11=0，3b26b11=0，设a，b是方程3x26x11=0的两根，a+b=2，ab=，（ab）2=（a+b）24ab=，a4b4=（a2b2）2+2a2b2=22+2（）2=点评：本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解本题的关键9若关于x的一元二次方程x2ax+a4=0的一根大于1，另一根小于1，求实数a的取值范围考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：依据题意可得0及把x=1代入方程求解即可解答：解：依题意可得，解得a为任意数点评：本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是0及把x=1代入方程求解10已知关于x的方程x22mx=m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：先把方程整理为一般式得到x22（m+1）x+m2=0，根据判别式的意义得=4（m+1）24m20，解得m；由已知条件|x1|=x2得到x1=x2或x1=x2，当x1=x2，利用=0求m；当x1=x2，利用根与系数的关系得到x1+x2=2（m+1）=0，解得m=1，然后根据（1）中m的取值范围确定m的值解答：解：方程整理为x22（m+1）x+m2=0，关于x的方程x22mx=m2+2x的两个实数根x1、x2，=4（m+1）24m20，解得m；|x1|=x2，x1=x2或x1=x2，当x1=x2，则=0，所以m=，当x1=x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=1，而m，所以m=1舍去，m的值为点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程有两个根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程根的判别式11已知方程2x24mx+3（m21）=0求m为何值时，（1）方程有两个正根？（2）两根异号？（3）有一个根为0？考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式菁优网版权所有分析：（1）直接利用根与系数的关系得出关于m的不等式进而求出即可；（2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于m的不等式进而求出即可；（3）把x=0代入方程求解即可解答：解：（1）当方程2x24mx+3（m21）=0方程有两个正根，解得：m1，当m1时，方程2x24mx+3（m21）=0方程有两个正根；（2）当方程2x24mx+3（m21）=0方程有两根异号，解得：1m1，当1m1时，方程2x24mx+3（m21）=0方程有两根异号；（3）当方程2x24mx+3（m21）=0方程有一个根为0，把x=0代入2x24mx+3（m21）=0得3（m21）=0，解得：m=1，当m=1，方程2x24mx+3（m21）=0方程有一个根为0点评：本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式等知识，其中由韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）结合已知，构造出关于m的不等式组是解答本题的关键12若a，b是方程x23x2=0的两个根，求代数式a3+3b2+2b的值考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a23a2=0，即a2=3a+2，b23b2=0，b2=3b+2，则a3+3b2+2b化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可解答：解：a、b是方程x23x2=0的根，a23a2=0，a2=3a+2，a3+3b2+2b=a（3a+2）+3b2+2=3a2+3b2+2a+2b=3（a+b）22ab+2（a+b），a，b是方程x2x3=0的两个根，a+b=3，ab=2，a3+3b2+2b=35点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的解13已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx24kx+k+1=0的两个实数根（1）是否存在实数k，使（2x1x2）（x12x2）=成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=2，=，试求的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有分析：（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1x2）（x12x2）=中，进而可求k的值；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得=，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值；（3）由k=2，=，x1+x2=1，得到x2=，x1=，然后根据x1x2=，代入即可得到结果解答：解：（1）x1、x2是一元二次方程4kx24kx+k+1=0的两个实数根，x1+x2=1，x1x2=，（2x1x2）（x12x2）=2x124x1x2x1x2+2x22=2（x1+x2）29x1x2=2129=2，若2=成立，解上述方程得，k=，=16k244k（k+1）=16k0，k0，k=，矛盾，不存在这样k的值；（2）原式=2=2=4=，k+1=1或1，或2，或2，或4，或4解得k=0或2，1，3，3，5k0k=2，3或5；（3）k=2，=，x1+x2=1，x2+x2=1，x2=，x1=，x1x2=，=，=33点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用14已知x1、x2是方程4ax24ax+a+4=0的两个实根（1）是否能适当选取a的值，使得（x12x2）（x22x1）的值等于？（2）求使+的值为整数的a的值（a为整数）考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）先根据根的判别式得到解得a0，再根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=，接着利用（x12x2）（x22x1）=变形得到9x1x22（x1+x2）2=，所以921=，解得a=9，于是可判断没有能适当选取a的值，使得（x12x2）（x22x1）的值等于；（2）先变形+得到，则原式=1，再利用整数的整除性得a+4=1，2，4，8，16，然后分别求出满足条件的a的值解答：解：（1）根据题意得a0且=16a244a（a+4）0，解得a0，x1+x2=1，x1x2=，（x12x2）（x22x1）=，9x1x22（x1+x2）2=，921=，解得a=9，而a0，没有能适当选取a的值，使得（x12x2）（x22x1）的值等于；（2）+=1，a为整数，+的值为整数，a+4=1，2，4，8，16，而a0，a的值为3，5，8，12，20点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了根的判别式15已知，是方程6x25x+m=0的两根，且满足2+3=3，求m的值考点：根与系数的关系；一元二次方程的解菁优网版权所有分析：根据方程6x25x+m=0的根与系数的关系求得，+=，=m；然后联合2+3=3列出方程组，解出方程组即可解答：解：，是方程6x25x+m=0的两根，+=，=m；又2+3=3，解得m=点评：本题考查了根与系数的关系、二元一次方程组的解将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法16（2010东莞）已知一元二次方程x22x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值考点：根与系数的关系；根的判别式菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）一元二次方程x22x+m=0有两个实数根，0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m解答：解：（1）方程x22x+m=0有两个实数根，=（2）24m0，解得m1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1x2=m，解方程组，解得，m=x1x2=点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握17（2006凉山州）已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1y1=x2y2=2求a、b的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式菁优网版权所有专题：压轴题分析：由根与系数的关系可得：x1+x2=a2，y1+y2=5a，y1y2=7与x1y1