（应用数学专业论文）单位圆上的n阶方程бnfбnzf的riemannhilbert边值问题.pdf

单位圆上的n 阶方程器= 厂的r i e m a n n - h i l b e r t 边值 问题 应用数学专业 研究生潘家鑫指导教师杨丕文( 教授) 论文摘要：本文利用复分析的方法讨论了单位圆上n 正则函数皿( 名) 和单位圆 上n 阶方程丽o n f = f 的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题 第一章讨论了单位圆上n - 正则函数皿( z ) 的性质及d i r i c h l e t 边值问题：第二 章通过用单位圆上的解析函数机( z ) ( 忌= 0 ，1 ，佗一1 ) 唯一表示单位圆上 的n 一正则函数皿( 2 ) ，并把单位圆上的n - 正则函数m ( z ) 的边界条件转化为单位 圆上的解析函数仇( z ) ( 南= 0 ，1 ，n 一1 ) 的边界条件，给出了非齐次n 阶方 程筹= f 的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题的提法，并i j s c h w a r z 公式导出单位圆 上的n 阶方程籍= ，的解的存在性及解的表示，利用丁算子给出了非齐次n 阶 方程的一般解的表示 关键词：解析函数；n - 正则函数；n 阶方程错= ，；r i e m a n n h i l b e r t 边n 问 题 第i 页，共2 7 页 r i e m a n n - h i l b e r tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m sf o r 丽0 n f = i nu n i tc i r c l e a p p l i e dm a t h e m a t i c s w r i t e r ：p a nj i a x i n s u p e r v i s o r ：y a n gp i w e n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，t h er i e m a n n h i l b e r tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so f n - r e g u l a rf u n c t i o ni nu n i tc i r c l ea r ed i s c u s s e db yt h ew a yo fc o m p l e xa n a l y - s i s t h er i e m a n n h i l b e r tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so f 万o n f = fa l s oa r ed i s - c u s s e d i nc h a p t e ro n e t h ep r o p e r t i e so fn - r e g u l a rf u n c t i o ni nu n i tc i r c l ea n d d i r i c h l e tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m sa r ed i s c u s s e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h e r e p r e s e n t a t i o no fn r e g u l a rf u n c t i o n 皿( 2 ) i nu n i tc i r c l eb ya n a l y t i cf u n c t i o n s ( 2 ) ( k = o ，1 ，m 1 ) i nu n i tc i r c l ee x c l u s i v e l ya r ei n v e s t i g a t e d t h eb o u n d - a r yc o n d i t i o n so fn r e g u l a rr u c t i o n 皿( z ) a l - et r a n s f o r m e di n t ot h eb o u n d a r y c o n d i t i o no fa n a l y t i cf u n c t i o n s 愀( ：) ( 七= 0 ，1 ，仡一1 ) i nu n i tc i r c l e t h e r i e m a n n - h i l b e r tb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e mo fn - o r d e rn o n h o m o g e n e o u se q u a - t i o no f 謦= i ss u g g e s t e d i ti sc o n c l u d e dt h a tt h ee x i s t e n c ea n dr e p r e s e n - t a t i o n so fs o l u t i o n so fn - o r d e r 器= fi nu n i tc i r c l eb ys c h w a r zf o r m u l a t h e r e p r e s t a t i o no fg e n e r ms o l u t i o n so fn - o r d e re q u a t i o n so fn o n h o m o g e n e o u sb y t o p e r a t o ri sa l s oo b t a i n e d k e yw o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n ；n r e g u l a rf u n c t i o n ；筹= ，；r i e m a n n - h i l b e r tb o u n d a r yp r o b l e m s 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法雒 结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 己获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全都或部分内容编入 有关数据库供检索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 文尊：话甏袋一乏俄 签字日期：为；。年咔月g 日签字日期阳降伞月y 日 引言 在复数域上建立的函数论及其边值问题是复分析极其重要的组成部分， 形成一门重要的学科其中，解析函数的边值问题是复变函数论中极为重要 的分支之一，由于许多力学的、物理学的、工程技术中的实际问题往往可 化为这类问题或者奇异积分方程，所以它在实际问题中有着广泛的应用调 和函数及广义解析函数的理论与边值问题是解析函数理论与边值问题的推 广，因此它同样也是复变函数论的重要组成部分，并且它们之间有着大量相 似的性质和结果 通过国内外众多学者长期以来坚持不懈的努力复平面上低阶的函数理 论已经发展到比较完善的程度如在文 1 8 】中就系统的论述了前面的几种函 数的基本性质给出了其d i r i c h l e t 边值问题、r i e m a n n 边值问题、r i e m a n n h i l b e r t 边值问题的一般解法以及解的表示 在此基础上近些年来，许多学者开始尝试把复变函数理论和依涅维库 阿在文中解决椭圆型偏微分方程中使用的方法向高阶和高维的情形推广，并 已取得许多重要的结论，广泛运用到各学科和实际应用中而这些工作主要活 跃在复平面、逆问题和高维空间三个方面 1 复平面上的情形 复平面上的情形以多解析函数的边值问题为主多解析函数是解析 函数理论的一种自然推广，与之有非常密切的联系早在1 9 0 8 年，俄国数学 家g v k o l o s s o v 求解平面弹性问题时首先给出了多解析函数的一般形式： f ( z ) = f oz ) + 乏 ( z ) + + 秒一1 厶一l ( z )( m 1 ) 其中五( z ) ( i = 0 ，1 ，n 一1 ) 是平面某一开集上的解析函数复平面上的函 数理论已经相对完善，文【7 2 系统的介绍平面上的函数理论，对于解析函数 的d i r i c h l e t 边值问题、r i e m a n n 边值问题、r i e m a n n h i l b e r t 边值问题是函 数论中较为基本的几类边值问题文献【1 】和f 6 1 介绍了这些基本边值f = 3 题及解 第1 页，共2 7 页 引言 法因为多解析函数一般形式是由解析函数构成的，人们求解多解析函数问 题往往将其转化为多个解析函数的问题来解决依照这种方法解析函数的众 多边值问题大多都已从一阶推广到高阶的情形 双解析函数的研究：1 9 9 5 年，赵祯在文f 9 ：1 0 中提出了双解析函数的概 念，阐明了其力学背景，并讨论了双解析函数的r i e m a n n h i l b e r t 边值问 题1 9 9 8 年，王明华在文f 1 1 1 中进一步研究了双解析函数的性质，提出了一 些与解析函数相似的性质，女n c a u c h y 型积分、p l e m e l j 积分公式，并讨论 了其h i l b e r t 边值问题2 0 0 4 年，王明华又在文 1 2 中研究了双解析函数的一 类含参变未知函数的r i e m a n n 边值问题2 0 0 7 年，蒲松在文【1 3 】中讨论了双 解析函数及非齐次二阶方程磐= ，的某些边值问题在k 解析函数方 面：1 9 9 7 年h b e g e h r 研究了多解析函数的h i l b e r t 边值问题，并且给出了封 闭曲线上的柯西型积分及其跳跃性质同年，m a k a l 和h b e g e h r 在文 1 4 】中 继续考察t p o m p e i u 算子和7 r 算子，并应用其讨论了复平面上高阶偏微分方 程的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题2 0 0 1 年杨丕文在文 1 5 1 中研究了k 正则函数 的c a u c h y 积分公式级数展开，c a u c h y 型积分p l e m e l j 公式及d i r i c h l e t 边值问 题2 0 0 5 年，李觉友在文 1 6 中给出了k 正则函数的一些性质和第一、二表示 式，还讨论了k j 下则函数的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题2 0 0 5 年杨柳在文【17 1 中 继续考察了k 一正则函数的柯西定理m o r e r a 定理及透弧延拓定理，并利用这些 定理讨论了其r i e m a n n 边值问题及逆问题的解法2 0 0 6 年，张位全在文【1 8 1 中 研究了k 正则函数的一个带共轭值的边值问题2 0 0 7 年，张斌儒在文f 1 9 】中进 一步讨论了k 一正则函数及非齐次k 阶方程筹= ，的r i e m a n n 边值问题 2 逆问题的情形 逆问题是基于解析函数边值问题的一类新兴理论，其研究业已起 步1 9 9 6 年，李星在文【2 0 中讨论了一类r i e m a n n 边值逆问题的可解性1 9 9 9 年 至2 0 0 6 年间，王明华在文【2 1 2 5 中给出了一系列解析函数边值逆问题的 数学提法，并通过将这些边值逆问题转化为一般的边值问题，借助解析 函数边值问题的相关理论，获得这些边值逆问题的可解条件和解的积 第2 页，共2 7 页 引言 分表达式；广义解析函数是解析函数的扩充，它反映着比解析函数更 一般的力学物理现象，广义解析函数可看着是标准化的椭圆型方程 组爱一赛= a u + b v ，器+ 赛= c u + 如于平面区域内的解2 0 0 4 年，温 小琴在文f 2 6 中给出了一类有关广义解析函数r i e m a n n 边值逆问题的数 学提法，并获得其解的积分表示同年，杨柳在文 2 7 中讨论了c l i f f o r d 分析 中一类r i e m a n n 边值逆问题的解的表达式和一类奇异积分方程组的解 法2 0 0 6 年，姚益民在文f 2 8 】中给出了共轭解析函数的一类r i e m a n n 边值逆问 题的数学提法，获得该问题正则型和非正则型时的可解性定理2 0 0 7 年，张斌 儒在文f 2 9 1 中提出了c l i f f o r d 分析中广义k 正则函数的概念，并讨论了它的一 些性质和r i e m a n n 边值问题及r i e m a n n 边值逆问题 3 高维空间上的情形 高维空间上的情形主要可以分为三类：多复变、c l i f f o r d 分析以及介于两 者之间的四元数分析多复变是基于单复变理论向高维空间的一种自然推 广单复变己近取得比较完整的理论，并且成功解决了实际应用中的许多难 题基于这一事实，人们自然联想到在高维空间是否也有如此方便的工具来 处理高维空间的奇异积分方程但是单复变函数和多复变函数之间有着本 质的区别许多基本问题都尚未解决，有待国内外科研工作者继续研究和探 索；c l i f f o r d 分析是单复变函数理论在高维空间中的另一种形式的推广，是上 世纪7 0 年代以来新兴起来的一个分析分支，是一种以c l i f f o r d 代数为基础，将 一维复分析推广到高维的理论，在数学及其分支，场论量子力学等方面有着 重要的应用1 9 7 0 年以来，国内外众多学者研究了实c l i f f o r d 分析中的各种函 数性质及相关边值问题得出许多有用的结果，使c l i 娲r d 分析有了长足的发 展；四元数是爱尔兰数学家h a m i l t o n 于1 8 4 3 年发现的，这一发现于1 8 6 6 年发 表在他的著作论文e l e m e n t so fq u a t e r n i o n s 中四元数的发现是1 9 世纪代数 学最重大的事件之一，它推广了平面复数系结构四元数是历史上第一次构造 的不满足乘法交换律的数系，为通过减弱、放弃、替换普通代数中的不同定 律和公理提供了很好的范例这对代数学的发展是革命性的，为众多代数系的 第3 页，共2 7 页 引言 研究歼辟了一条新的道路在1 9 3 5 年及其后的十多年中r f u e t e r 开始了这一 工作他利用一个类似的c a u c h y r i e m a n n 方程，在四元数代数中引入了正 则四元数函数的概念，证明了这一函数的类t 以c a u c h y 积分定理、c a u c h y 积 分公式、l a u r e n t 展式等，从而奠定了四元数分析的基础四元数分析是复分 析在高维空间中的另一种形式的推广它在数学物理等方面都有着重要的应 用，如对m a x w e l l 方程y a n g m i l l 场理论等问题的研究作用上世纪3 0 年代以 来许多学者投身于四元数分析的研究之中取得了大量重要的结论其中杨 丕文教授在文3 0 3 4 】中对四元数的性质进行了深入的研究，获得了四元数分 析中正则和广义正则函数的某些边值问题的可解性定理，在文 1 5 1 中讨论了 平面上的k 一正则函数及某些边值问题，在文【6 8 1 中讨论了单位球上的n 一正则 函数及其n 阶方程丽o k f = f 的问题r h 和问题d 受上述一系列工作的启发，本 文从这几个方面讨论了高阶偏微分方程的边值问题，在一定程度上推广了前 面的某些工作 具体讲，本文是利用复分析的方法讨论了单位圆上n 正则函数和 单位圆上n 阶方程鬻= f 的r i e m a n n h i l b e r t 边值问题进一步讨论单位 圆上的n 一正则函数皿( o ) 的性质及d i r i c h l e t 边值问题：通过用单位圆上的解 析函数七( ：) ( 后= 0 ，1 ，n 一1 ) 唯一表示单位圆上的n 正则函数量( z ) ， 并把单位圆上的n 正则函数m ( o ) 的边界条件转化为单位圆上的解析函 数七( 2 ) ( 惫= 0 ，1 ，n 一1 ) 的边界条件，给出了非齐次n 阶方程筹= ，边值 问题的提法，并用s c h w a r z 公式导出单位圆上的n 阶方程箬= ，的解的存在 性及解的表示，并利用丁算子给出了非齐次方程的一般解的表示 第4 页，共2 7 页 g g - 章_ 单位圆b 2 上n 阶方程筹= l 厂的d i r i e h l e t 边值问题 解析函数具有非常绝妙的性质，在物理学和工程技术等问题中有着 广泛和重要的应用，而作为解析函数边值问题，其研究业已起步，在文 献f 1 5 】中杨丕文教授就阐述了n 正则函数及某些边值问题在文献f 6 8 1 中，杨 丕文教授讨论单位球上的n j 下则向量函数的问题r h 和问题d ，以及单位球 上的n 阶方程, - 1 鬲o n f = ，的某些边值问题，讨论了齐次和非齐次方程的可解条 件和解的表示本文在此基础上进一步研究了单位圆上的n - 正则函数以及单 、 立n b 2 _ i r n 一阶方程丽o n f = 厂的d i r i c h l e t 边值问题，同时讨论了n 一阶方程解的 存在唯一性 1 1预备知识 我们指出c - r 方程组的复形式是： 婴：o 钷 。 其中，( z ) = u ( z ，可) + i v ( x ，秒) ，z = z + i y 番= 烈1 瓦0 + i 南) 定义1 1 11 1 6 1 假设g 是平面上的区域，在区域g 上给定了复函数，要求 它具有关于虿的n 阶导数，如果给定函数( 2 ) 满足以下方程式：鬻= 0 则 称( z ) 是c - _ h 的1 1 正则函数 以后将用d n ( g ) 表示所有的n 一正则函数构成的集合特别当n = l 时，函 数( ：) 即为通常说的解析函数； 当n = 2 时函数皿( 名) 即为通常说的双解析函数；从双解析函数以及解析 函数的定义容易验证以下性质： 性质1 皿( z ) 称为n 一正则函数的充要条件是鬃薯是解析函数； 性质2 雪( z ) n n n 一正则函数，则鬟鲁是双解析函数 定义1 1 2 卜1 设2 1 ，z 2 为闭集召上任意两点，函数，( 2 ) 在虿上满足条件 i - 厂( 。1 ) 一，( 。2 ) i 日l z l 一名2 i q ? 0 o t 1( 1 1 ) 第5 页共2 7 贾 第一章单位圆b 2 上n 阶方程名等= ，的d i r i c h k t 边值问题 其中h 和q _ 是与点名1 ，z 2 的选择无关的正常数我们以h ( f ) 表示满足不等式( 1 1 ) 中数h 的下确界，并称它为函数f ( z ) 的h s l d e r 常数，而q 称h s l d e r 指 数显然， 日( f ) - h m - c ) - - 轧s 球u p 否背 j f ( z 1 ) 一f ( z 2 ) j h ( f ) i z l 一勿f q ，0 1 ，由 文献 5 】中已，算子可知 皿( z ) = p 一1 眵n 一1 + p 一2 妒，l 一2 + + t 1 妒1 + 妒。 篱6 页莫2 7 页 定理1 1 3 ( 第二表示式) 如果皿( ：) 风( g ) ，则有以下表示式成 立5 订一1 一蠡 皿( 2 ) = 备( z ) 这里妒七( k = o ，1 ，n - 1 ) 是解析函数 这里称仇( 2 ) ( 惫= 0 ，1 ，2 ，礼一1 ) 是n 正则函数的解析因子，且咖是 其解析加项，显然，在上式中用匹= 面( a 为g 外一点) 代替万，并容易 忽略等式右边除k - - n 一1 以外的所有项而得到也是n 正则函数，记皿：一1 = 匹= 万一1 ( z ) d 几( g ) 这里巩( g ) 是所有表示成匹= 万一一1 ( 名) 的正 则函数集合，容易验证当k = 2 时，即皿( z ) 是区域g 的双解析函数的充分必 要条件是皿( z ) 可以表示成( 2 ) = 妒l ( z ) + 虿够1 ( z ) 其中妒 ( z ) ，( i = l ，2 ) 是区 域g 上任意解析函数，且( ：) 在g 上的表示唯一 证明取n 一1 = 两o q r t - 1 ，其中n - 1 ( z ) 是任意的解析函数，显然竹一1 ( 2 ) = 而秒一1 一。( 2 ) 是咒一正则函数，并且是等= 一1 ( 2 ) ，于是笠菩趔= 0 同理：皿n 一2 ( z ) = 而秒一2 一2 ( z ) ，丝j 兰赛箬掣= 0 其中一2 ( z ) 是任 意的解析函数依此类推最后得到签坚坠嘉型= 0 取皿一皿竹一1 一一l = 妒o ( 名) ，其中妒o ( 2 ) 是任意的解析函数于是即得m ( 2 ) = 皿佗一l ( z ) + 皿n 一2 ( z ) + + m 1 ( ：) + o ( z ) 证毕 定理1 1 41 1 6 1 ( 第三表示式) 如果皿( 名) 是区域g 内的n 正则函数的充要 条件是皿( z ) 可表示成： 皿( z ) = 砂妒( z ) 这里m 是g 内的解析函数，且皿( 名) 是区域g 内的表达式唯一 引理1 1 1f l o 】设f ( z ) 是定义在复平面上的有界区域d 内的已知函数，非 齐次方程为：错= ，记 班一：i 罄咄( 1 - 4 ) 第7 页，共2 7 页 若f l i ( d ) ，贝j j t f 是方程的一个弱解，而当厂g ( d ) ，0 口 1 时，t 往西上关于乏的偏导数连续，此时t f 是方程的一个古典解，方程 的一般解是： 皿( z ) = t f + 妒( z )( 1 - 5 ) 其中，p ( z ) 是d 内的任意解析函数 对于有界区域g 内的n 一正则函数，有如下的c a u c h y 积分公式成立 定理1 1 5 【1 5 】( c a u c h y 积分公式) 设g 是复平面内的一个有界区 域，l 为其边界a g 逐段光滑，若皿( 2 ) 在虿内n - 正则，且( z ) c n _ 1 ( 召) ，则 出厂喜篾瑞高铲0n-k-l、i2ri j o g k 妒 毛；( n 一一1 ) ! ( ( 一z ) a r 一七一1 ”、 卜l 艇g ( 1 - 6 ) 卜z g g 利用n - e 则函数的c a u c h y 积分公式，类似于单复变函数中的t a y l o r 定理 和l a u r e n t 定理的证明，可获下面两个定理： 定理1 1 6 【1 5 】( t ，1 0 r ) 若皿( 名) 在区域g 内n 正则，v a g ，只要m ：1 2 一 a l r 含于g ，则皿( 2 ) 在m 内能展成幂级数： 皿( z ) = ( k o + k 1 乏+ + 6 n ( n 一1 ) 尹一1 ) ( z 一口) n 九= 0 ( 1 7 ) 其中，k 七= 去片。器必= 盛，k = o 1 ，：n - 1 ，r p ：l ( 一n l = j 9 ，0 p r ，( 2 ) 展式是唯一的 定理1 1 7 【1 5 】( l a e r u n t ) 若皿( z ) 在圆环h ：r i z - a l r ( r o ，r + 。o ) 内n - 正则，则m ( z ) 在能展成： 皿( 2 ) = ( + k 1 乏+ 一1 ) 矽一1 ) ( z n ) n n = 一o o ( 1 - 8 ) 其中，k 知= 南止，滞必= 盛，k = 0 ，1 ，n 一1 ，r 黼t l ( 一n i = p ，r p r 且展式是唯一的 第8 页共2 7 页 定理1 1 8f 7 1 若m ( t ) ：圣( 兄e 妒) 是川：r ( o r 。) 上的连续实值函 数，则在圆r 上以西( 亡) 为边界d i r i c h l e t i ；7 题的解是存在唯一的， 即存在唯一的在圆h r 内的调和函数饥( z ) ，它在i z i r j ：连续，又 在i t l = r 有u ( t ) = 圣( t ) ? u ( z ) 具有如下的p 0 i s s o n 积分表示式： u = 爵1f 吣皿( 誊胁， ( 1 9 ) 其中，t = r e 泐，h r 定理1 1 9 【1 6 1 ( 零点定理) 若皿( 2 ) d n ( g ) 则它的零点必是孤立的并且 零点的个数一定是有限的 定理1 1 1 0 1 q ( 奇点定理) 若皿( ：) 风( g ) 则它的奇点必是孤立的并且 奇点的个数一定是有限的 定理1 1 1 1p 1 若垂( ) 是i t 一口l = r 上的连续实值函数，则存在圆i t - - aj 翮为的解析函数f ( z ) ，其实部u ( z ) 在f 2 一a lsr 上连续，且悻一a l = r 上 有t ( 亡) = 垂( t ) ，并j l f ( z ) 具有如下的s c h w a r z 积分表示式： 北) = 芴1f 酢) 专蚺州吐( 1 - 1 0 ) 其中，t = a + r e 泐，i z a i r ( d ) 表示f ( z ) 的虚部在点a 的值 定义1 1 3 【7 1 所谓调和函数在区域d 上的d i r i c h l e t 边值问题或第一边值 问题，即求d 内的调和函数u ( z ) ，使它在闭区域面= d + f 上连续，且满足边 界条件：u ( t ) = 中( ) 当亡r 我们把调和函数的上述边值问题简称为问题1 1 2问题的提出 本文考虑复平面中单位圆岛= i z l 1 ) 上方程： 翌y ：r z n ：， ( 1 1 1 )，、一一一， - j ：t 歹j j r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题( 简称方程的问题r h ) ，求方程在b 2 的连 续解霍( 2 ) ，使得( z ) 满足边界条件： r e k * 等】- 嘣t ) 亡溉忌扎，佗一1 ( i - 1 2 ) 第9 页共2 7 页 第一章单位圆b 2 上n 阶方程而n g = f 的d i r i c h l e t 边值问题 其中t a 岛，k = 0 ，n 一1 是定义在单位圆周a 岛上的复函数r k ( 亡) 是定义 在r = l t l = 1 上的实值函数，k k ( t ) ，( = 1 ，n 一1 ) 都是方程筹= ，的问 题r h 的指标当f = o 且t = 1 ，k _ j = 0 时可得下面定义： 定义1 2 1 设恳是单位圆上的有界连通区域，其边界a b 2 记为l 是一 条光滑闭曲线，设亿( 亡) ，忌= 0 ，1 ，扎一1 是定义在l 上的已知实值函 数( 芒) c 台( l ) ? 0 o l 1 a k ( 后= 0 ，l ，n 一1 ) 是己知实常数，求b 2 内 的n 一正则函数皿( z ) ，使在瓦上关于乏直到n 1 阶偏导数连续，且满足边界条 件： t a b 2 七= 0 ，佗一1 ( 1 - 1 a ) 这里a 是l 上的一点，称上述边值问题为区域a b 2 上的n 正则函数 的d i r i c h l e t 边值问题 1 3 主要结果 定理1 3 1 在单位圆b 2 内的n 一正则函数的d i r i c h l e t 边值问题的解是存在 唯一的 证明对于单位圆区域岛上的解析函数的妒( z ) 边值问题：已知在b 2 内 的解析函数，求解析函数( 2 ) 的d i r i c h l e t 边值问题，求p ( z ) 在岛内解析， 在瓦上连续，且满足边界条件： m 【妒( 2 ) = r n 一1 ( t ) ，t 0 8 2 j m p ( n ) = a n - 1 的解是存在唯一的设其解为一1 ( 2 ) g ( l ) o q 1 ，一般地? 设班( z ) ( 七= 0 ，1 ，n 一1 ) 是上满足边界条件： 喇圳：扣卜n 葛1 掣妒蜘a 岛 驯删：扣一”e 。1 掣j 耐啡) 】j m ) 】_ 去【。七一鼍产j 耐妒删 第1 0 页共2 7 页 ， = 羽 = = k 纠纠 万舢面等哮 r n 的解析函数d i r i c h l e t 边值问题的唯一解由定理( 1 1 3 ) i l l 令 锄一1 皿( 2 ) 5 妒。+ 乏妒l + + 石i 二可九一l 易验证，( 2 ) 即为b 2 的n 一正则函数d i r i c h l e t i ；- 题的解解的唯一性由n 一正则函 数的表示式( 定理1 1 3 ) 的唯一性及相应的单位圆上b z 的解析函数讯( 2 ) ( 而= 0 ，1 ，n 一1 ) 的d i r i c h l e t i b - j 题解的唯一性可推出 设f ( x ) 是区域单位圆b 2 上的已知函数，本节考察岛上的非齐次n 阶方程 0 n f 。 一= r a 。 对于区域上的复值函数9 ( ：) 和( z ) ，定义内积 = f e 。g ( - z ) ( z ) 咖 当妒( 2 ) ec 铲( j e 7 2 ) 时，容易验证夕( 2 ) 是c 铲( 岛) 上的分布若f ( 2 ) ，i ( z ) l 1 ( b 2 ) ? v 妒四( 岛) ，都有 斗妒 则称f ( z ) 为方程( 1 1 1 ) 的分布解( 或弱解) 定理1 3 2 设f ( z ) 是定义在单位圆上的有界区域b 2 的己知函数，记 死，= 器上：警讯 ( 1 - 1 4 ) 若f l i ( b 2 ) ，贝, l j t f 是方程( 1 一i i ) 的一个弱解而当厂仅( b 2 ) ，0 2 对方程( 1 1 1 ) 式的d i r i c h l e t 边值问题的 解是存在唯一的 证明由定理1 3 3 ，若疋，g ( 瓦) ，k = 1 ，竹，从而瓦，瓯( o b 2 ) 由 定理1 3 1 ，对于在a b 2 上满足边界条件： 冗e o 。k f 一- ：( ) 一月! e 疋一七，t o b 2 ， j 仇尝】1 t ：0 地一j m 仆七o ，”一旷1 的b 2 内的n 正则函数的d i r i c h l e t 边值问题有且仅有一解，记为皿( z ) 则 f ( z ) = 瓦厂+ 皿( z ) 即为方程( 1 1 1 ) i 拘d i r i c h l e t 边值问题的解，且此解是唯一的 一 第1 2 页共2 7 页 第二章 单位圆b 2 上n 阶方程鬻= f i j c j r i m a n n h i l b e r t 边a i l i f a 题 本文通过把。单位圆上的n 正则函数皿( 2 ) 用平面上的解析函 数妒( 2 ) ( 尼= 0 ，1 ，礼一1 ) 唯表示的思想，同时再把单位圆上的n - 正则函 数皿( z ) 的边界条件转化为单位圆内的解析函数机( ：) ( 后= 0 ，1 ，7 一1 ) 的 边界条件，给出了非齐次n 阶方程鬻= ，的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题的提 法再利用s c h w a r z 公式导出单位圆内解析函数p 詹( o ) ( 忽= 0 ，1 ，n 一1 ) ， 的r i e m a a n h i l b e r t 问题解的表示和可解条件 2 1 预备知识 定理2 1 。1 1 若圣( ) = 圣( 兄e 如) 是= r ( o r o 。) 上的连续实值 函数，则在圆h r 上以西( z ) 为边值的d i r i c h l e t i = - 题的解是存在唯一的， 即存在唯一的在圆 r 内的调和函数u ( z ) ，它在1 2 一a i r 上连续，又 在i t i = r 上，有u ( t ) = 圣( 亡) ，并且饥( 2 ) 具有如- f 的p o i s s o n 积分表示式： uz ) = 芴1 卜剐点廊( 2 - 1 ) 其中，t = r e 幻，z i r 定理2 1 2p 1 若圣( t ) 是i t a i = r 上的连续实值函数，则存在圆l t a l r 内的解析函数f ( z ) ，其实部u ( z ) 在l z a i 兄上连续，且l t o i = r 上 有u ( t ) = 圣( t ) ，并且f ( z ) 具有如t 的s c h w a r z 积分表示式： f ( - - ) = 互i 丌。2 7 r 圣( ) 警d 妒+ i ，( 。) ， 其中，t = a + r e ，j z a l r p ( o ) 表示f ( z ) 的虚部在点a 的值 ( 2 - 2 ) 2 2问题的提出 定义2 2 1 在本节中我们考虑单位圆区域b 2 = i z l 1 ) 内，记l = a b 2 表 示单位圆周，r k ( 亡) c o ( l ) ，0 o l 1 ，这里= 1 , k = 0 ，1 ，佗一1 在单 第1 3 页，共2 7 页 位圆区域内b 2 的n 正则函数皿( ：) 满足边界条件： 觑矿。丝0 - 2 z k 】= 删t 慨后= 0 ，, r t - - i ( 2 - 3 ) 我们把上述的边值问题称为方程( 1 1 1 ) 的问题r h ，此外，还称为问 题h 的指标 2 3问题的转化 现考虑把单位圆b 2 上的n - 正则函数皿( z ) 的边界条件转化为单位圆b 2 上 的解析函数仇( 2 ) ( 七= 0 ，1 ，n 一1 ) 的边界条件，由下面两个定理可知： 定理2 3 1 皿( 2 ) 是单位圆区域b 2 内的n 一正则函数，则( z ) 可由区域b 2 内 的解析函数讯( ：) ( 尼= 0 ，1 ，r t 一1 ) 唯一表示成： 皿( z ) 2 妒。+ 乏妒l + + 南n 一1 ( 2 4 ) 反过来，上式中的奄( ：) ( 七= 0 ，1 ，礼一1 ) 可由( 2 ) 唯一地表示成： ( z ) = 矿越皿一秽“皿+ + ( 一1 ) 1 意可矿_ 1 ( 2 - 5 ) 证明由定理( 1 1 3 ) 可得等式( 2 4 ) ：现证明等式( 2 5 ) 成立直接 4 ( 2 4 ) 式得出一lz ) = 0 - - 1 皿故当k = l 时，( 2 5 ) 式成立； 设k m 一1 ，仇之2 时，( 2 5 ) 式成立； 当k = m 时? 对( 2 4 ) 式两端作运算扩一m 可以得到： =2芎m一1 矿2 m m + - 州+ 参沁m + 2 + 一+ 盖可沁1 从而，得 m _ 扩咖一+ 1 一豸m m + 2 一赢面1 1 ；2：仉一 由假定当七m 一1 时，( 2 5 ) 式成立，故有下式： - = 2 ，- - m - 2 妒n m = 矿一m 一万( 扩一m + 1 皿一殉肛m + 2 皿+ 。2 - - c g n - m + 3 i i - - 卜( 一1 ) m - 2 丽丢面扩- 1 皿 第1 4 页共2 7 页 = 2i 2 一身( 扩一m + 2 一乏扩一m + 3 皿+ 备扩一m + 4 + ( 一1 ) 仇一3 而 硼一1 ( 仇一1 ) ! a n 一1 皿 - = 肌一3 ( 仇一3 ) ! = 2 = 扩一m 皿一秽一m + 1 皿+ 着扩一m + 2 皿。+ ( 一1 ) m 1 尹- 1 c 志一蒜匆+ 赤与 ( m 一2 ) ! 又因为下式： 狐而+ 页丽 ( i - - 1 ) 一1 一删+ 舞等+ 一+ 踹旷1 皿 1 11 2 11 ( m 一1 ) ! o n - 1 霍1 ( 一1 ) m - 2 + ( 一1 ) m = 0 所以，有 = m 一1 m ( 2 ) = 扩一皿一乏矿一+ 1 皿+ + ( 一1 ) 卅1 赢面扩1 故当k = m 时，( 2 5 ) 式成立，由数学归纳原理即可得到惫( 2 ) ，七= 0 ，1 ，n ，可由( z ) 表示 ( 2 5 ) 式为了方便可改写如下： 哆七( z ) = a 惫皿一虿a 七+ 1 虫+ + ( 一1 ) n 一七一1 这里k = 0 ，1 ，n 一1 硼一七一l ( f t k 一1 ) ! 矿一1 皿 一 定理2 3 2 单位圆b 2 = i z i 1 j i ，记l = o b 2 表示单位圆周，r k ( t ) c 台( l ) ，0 q 1 ，这里21 , k = 0 1 ，n 1 在单位圆b 2 内的n 一正则函 数皿( ：) 满足标准化边界条件： r e 矿塑0 - 2 k 】= 删亡a 玩，忌= 0 ，, n - i ( 2 - 6 ) 第1 5 页共2 7 页 仇一m ，l一，k 我们把上述的边值问题称为问题r h ，此外，还称k 七为问题h 的指标贝u 单位 圆b 2 = i z i 1 ) 上的解析函数仇( ：) 所满足的边界条件可表示成： r e 矿妒知( 。) 】= g k ( t ) t a 岛? k = 0 ，t t 一1( 2 7 ) 其中鲰( 亡) = r k ( ) 一吒( 亡) ，吒( 亡) = r e e 胁p 扎一k 】 孑 挑一七2 乏p k + l + 酉妒南+ 2 + + 咖- k - 1 ( n k 一1 ) ! 妒九一1 ，后= 佗一1 ，t 一2 ，1 ，0 ( 2 - 8 ) 证明 由定理2 3 1 可知 对( 2 4 ) 依次分别作运算伊二1 ，扩，a 伊 可分别求出n - 1 ( 名) n - 2 ( 2 ) ，妒1 ( 2 ) ( ：) 即可求出( 名) ，( 七= 佗一 1 ，n 一2 ，1 ，0 ) 当k = n 一1 时 矿一1 皿= ( 9 n - - 1 ( 妒o + 劢1 + + 所以矿妒n 一1 = 壬k ”一1o n 一1 皿 且r e 矿磐】_ r k ( t ) 所以冗e 矿一1 一1 ( 2 ) 】 锄一1 ( 扎一1 ) ! 妒n 一1 ) = 妒n 一1 t o b 2 ，k = 0 ，扎一1 = r e 矿“一1 尘- 万一= 皿r l j = 一l + 砷n 一2 扩2 = 扩2 ( + 确+ + 静南沁1 ) 2 l 所以矿”一2 妒扎一2 = 毛- 2 扩一2 皿一矿一2 乏妒咒一2 易得兄p 【矿”- 2 ( t g t l - - 2 ( ：) = r e p 瓴一2 a n 一2 皿一i k ”2 乏妒n 一1 】 = r n - 2 一 r e 矿一2 砷n 一1 】_ 一2 一r e 矿p n l 】， 其中这里的p n 一1 = 乏n 1 这样依次往下作运算妒n t ( 2 ) ( 七= 1 2 ，n ) ，可得下式： 扩叫= o n 叫( o + 却1 + + 第1 6 页共2 7 页 尹一1 ( 礼一1 ) ! 妒n 1 ) 笙三童兰堡堕星! 圭里堕查型羞三塑塞! 翌竺翌：旦塑堡! ! ! 望篁塑壁 扩2 灿汁却 件l + 面_ + 2 + + 赤可- l 所以有式子：妒住一t = 伊一皿一( 乏一件l + 南一l + 2 + + 若寺一1 ) 故得 r e 矿一妒n f ( z ) 】= r e f 卅0 n 一叫一r e p “( 乏妒n 一件1 + 蔫九一+ 2 + + 研j - i - 1 一1 ) 由定义( 2 2 1 ) 可得下式：r e 旷”n i ( ：) 】= r n - - i ( t ) 一r e 旷一( - 一l + 1 + 蠢n 一件2 + + 荐杀妒咒一，) 】= 一t ( t ) 一r e 矿”p z 】 其中这里的仇= 乏9 n 一件l + 罱妒n 一件2 + + 若寺够n - l , i = 1 ，2 ，扎 为了方便起见，现令忌= n 一狈0 有下式：r e 旺愀( 2 ) 】= r k ( t ) 一 r e 旷。p n 一詹 ? 这里的七= 佗一1 ，佗一2 ，1 ，0 设 ，c = r e 旷p n 一磨】g k ( t ) = r k ( t ) 一r ：( 亡) ：2铆一膏一1 一七m 1 + 箭m 2 + 一十吾商l ，皓俨1 ，卜2 ， 1 ，o 所以命题得到证明 2 4