（计算数学专业论文）非线性矩阵方程xaxnaq的理论与数值解法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文讨论非线性矩阵方程x + 彳r ”a = q 的正定解，其中彳是掰脚阶复矩阵，q 是 聊肌阶正定矩阵，九是正整数。求解非线性矩阵方程是数值代数研究的重要领域之一， 其最大正定解的应用特别广泛。这类方程一般存在最小正定解，当刀 1 时，不一定存在 最大正定解，但是可能存在极大正定解。本文主要研究最小正定解、极大解的存在性及 解法。 第l 部分介绍了这类非线性矩阵方程的来源和研究的主要成果，列举求解矩阵方程 z + z 1 a = p 的主要方法，并交待本文所用的记号和预备知识。 本文的主要结果在第2 部分。第1 节介绍求方程正定解的两种方法，当么非奇异时， 这两种方法均可以求出最小正定解，当彳奇异时，推导出了利用这两种方法求方程极小 正定解的条件。第2 节讨论方程极大解的性质和解法。首先找到方程存在正定解的一个 充分条件，然后讨论极大解的性质，这两个结论的推导过程提供了两种求极大解的方法， 一个是应用基本不动点迭代的方法，第二个是应用无逆不动点迭代的方法，并且文中给 出了第二种方法收敛性的证明。然后本文构造了求解矩阵方程z + a r ”a = 9 的n e w t o n 迭代法，采用b r o u w e r 不动点定理证明了n e w t o n 迭代法是可以不断地进行下去的，并 且证明解此方程的n e w t o n 迭代法具有二次收敛性。基于n e w t o n 迭代法的形式，给出 了另外一种较简易的迭代法。这两种方法都可以求出方程的极大解。 第3 部分针对n e w t o n 迭代程序的每一步都需要求解的一类广义s y l v e s t e r 矩阵方程 给出具体解法，分别讨论利用简单迭代法、g r a t e s 方法和c g 法求解的可行性，并证明 了它们收敛到这一方程的h e r r n i t e 解。 第4 部分是数值试验。利用数值例子验证了文中所得的结论的正确性以及求解方法 的有效性，同时也比较不同解法求同一个解时的步数、精度和时间。 关键词：非线性矩阵方程；正定解；数值解法；n e w t o n 迭代法；广义s y l v e s t e r 矩 阵方程 非线性矩阵方程x + 彳z a = 9 的理论与数值解法 o nn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a rm a t r i x e q u a t i o n x + a 。x a = q a b s t r a c t i nt h i sw o r k , w ei n v e s t i g a t ep o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n so ft h en o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n x + 岔x a = q ，w h e r eai s am m m a t r i koi s am x mm a t r i xa n d i sa l l i n t e r g e r s o l v i n gn o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n si so n eo ft h ei m p o r t a n ts t u d yf i e l d so ft h e n u m e r i c a la l g e b r a h e r e ，w es t u d yt h ep r o p e r t i e sa n dm e t h o d sf o r t h em i n i m a lp o s i t i v ed e f i n i t e s o l u t i o na n de x 仃e m ns o l u t i o n i nt h ef i r s ts e c t i o n , w es t a t et h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea n dd e v e l o p m e n to fn o n l i n e a r m a t r i xe q u a t i o n s m o r e o v e r ，w ei n t r o d u c es o m em e t h o d sf o rs o l v i n gt h e f a m i l ym a t r i x e q u a t i o n sw h i c hh a sb e e ni n v e s t i g a t e d t h em a i nr e s u l t sa r ei nt h es e c o n ds e c t i o n f i r s t l y ，t w om e t h o d sb a s e do nt h ef i x e dp o i n t t h e o r ya r eg i v e n n em i n i m a lp o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no fm a t r i xe q u a t i o nx + a x a = q 谢t hai sn o n s i n g u l a rc a l lb eo b t a i n e db yt h et w om e t h o d s i fai ss i n g u l a r , t h ec o n d i t i o n f o rt h et w om e t h o d si sd e r i v e d s e c o n d l y ，a ne l e g a n tp r o p e r t yo ft h ee ) ( 仃e m a ls o l u t i o nt ot h e m a t r i xe q u a t i o n x + a x a = qi sp r e s e n t e d t h ep r o p e r t ys h o w st h a tt h ee x t r e m a l s o l u t i o ni sw e l l c o n d i t i o n e d t w oi t e r a t i o nm e t h o d sf o rf i n d i n gt h ee x t r e m a ls o l u t i o na le p r o p o s e d a ne a s ym e t h o ds i m i l a rt ot h en e w t o nm e t h o df o rs o l v i n gt h em a t r i xe q u a t i o ni s g i v e n 1 1 1 et w om e t h o d s0 a n f i n dt h ee ) 栅a ls o l u t i o n i nt h et h i r ds e c t i o n , w ei n v e s t i g a t et h eg e n e r a l i z e ds y l v e s t e rm a t r i xe q u a t i o nr e s u l t sf r o m t h en e w t o nm e t h o d s i m p l ei t e r a t i v em e t h o d ，g m r e sa n dc gc a nb ea p p l i e dt ot h i se q u a t i o n w e p r o v e dt h a tt h e yc a nf i n dt h eu n i q u eh e r m i t es o l u t i o n t h en u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e ni nt h el a s ts e c t i o nt oi l l u s t r a t et h ec o r r e c t n e s so f t h e o r e t i c a lr e s u l t sa n dt h ee f f e c t i v e n e s so fi t e r a t i v em e t h o d s c o m p a r i s o n sh a v eb e e nm a d e b e t w e e nt h e s em e t h o d s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n ；p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n ；n u m e r i c a lm e t h o d ； n e w t o nm e t h o d ；g e n e r a l i z e ds y l v e s t e rm a t r i xe q u a t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体己经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：曲莲芈也丝上乳薹立盖盟匕盗王坠墨立坦垒曼錾剑 作者签名：牛红一帆年上月望日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名：超塑盘日期：丝翌年上月竺日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 非线性矩阵方程是一个比较新的研究课题，它最初的研究始于上世纪9 0 年代，虽然 它的研究不过仅仅十几年的时间，由于它广泛的应用，仍受到了广大科学工作者的关注， 使其目前发展日趋完善。 常见的非线性矩阵方程有 对称非线性矩阵方程f 1 】 x a “x 一a = q ， 其中么，9 c ”且q 是h e r n l i t e 正定矩阵，g 为实数。 离散代数r i e e a t i 方程1 2 】 彳= a r x ( i + g x ) 叫a + h 和它的对偶方程 】，= a y ( i + 月y ) - 1 么r + g ， 其中彳日g r ”，且g 和日是对称半正定阵。 二次矩阵方程【3 】 a x 。七b x 七c = 0 其中彳b 。c 酞雕” 本文只讨论上面提到的第一类非线性矩阵方程。 1 1 非线性矩阵方程x + 彳f g 彳= 9 研究的发展概况 1 1 1矩阵方程z + 彳r 9 彳= p 的来源 在许多物理问题中，经常可以遇到求解线性矩阵方程m x = f 的问题【4 】，其中矩阵m 是利用有限差分方法求解椭圆偏微分方程时提炼出来的。令 肘= ；耋) ， 考虑矩阵m = m + d i a g ( q - y ，0 ) ，其中 ，】，么、 肛bq j 通过对m 的不同的l u 分解，就可以得到不同的矩阵方程。例如，如果将m 分解成 非线性矩阵方程x + a + x a = 9 的理论与数值解法 砑= ( 矧“叫 令x = 】，要使以上分解成立，则x 必须是矩阵方程 x + 彳r 9 a = q ( 1 1 ) 的解。同样，如果将m 分解成 面= 匕驯一。珩甜 令x = 】，s ，要使以上分解成立，则x 必须是矩阵方程 x + 彳r q a = q ( 1 2 ) 的解。从而矩阵方程m x = f 的求解问题转化成了两个分别具有上三角和下三角系数矩 阵的方程的求解问题。 对于最初的一类非线性矩阵方程 x + 彳r 1 a = 1 ， ( 1 3 ) 和 x 一彳。r 1 a = 1 ， ( 1 4 ) 到目前为止，国内外很多学者对此进行了研究。同时这两类矩阵方程的来源也已经有了 很详细的描述。例如在控制论方面，z a b c z y k t s 弓l 用了控制系统 薯+ l = 面薯+ d u i ，h ，u ，u ，i = 0 ，1 ， 和相应的二次价值函数 j n ( j c 0 ，叫川) = , , v - i ( ，) + ( r ) ，n = i 2 其中状态空间嚣和控制空间u 均是h i l b e r t 空间，：h 寸h 和d ：u 寸u 是线性有界算 子o ：h - - 4 日是有界自共轭半正定算子，r ：u _ u 是有界自共轭正定算子。同时， z a b e z y k 还给出要求解此系统的最优控制问题，其核心问题是求解k ，使得k 满足方程 k = k f ，+ d r 一1 d k 1 - 1o + ， ( 1 5 ) 而此方程等价于r i c c a t i 方程 k = 彳k k b ( 胄+ b k b ) b k ) a + ， ( 1 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中a = ，占= d 。而且当hw - r ”，u = f 时，e n g w e r d a l 6 】证明了求解以上r i c c a t i 方 程的解k 等价于求解方程 y + m t r l m = n ， 其中y = r + b 7 k b ，m = r b a b ，n = b r 彳丁b 一7 r b 一7 a b + r + b 7 0 召。同时e n g w e r d ajc ， r a na c m 和r i j k e b o e ral t 7 】证明了当q 是正定矩阵时，求解矩阵方程x + 彳r 1 彳= q 的问题等价于求解方程】，+ j 】厂1 j = 1 ，其中l ，= q l ，2 x q - v 2 ，j = p - v 2 4 q 一归。而矩阵方 程( 1 5 ) 又等价于r i c c a t i 方程 y = ，x r 一，x fd - r d 叫+ 彳l 。j 孑“+ 0 ， ( 1 7 ) 其中f = ，x = k 。f e r r a n t ea 和l e v ybc 1 8 】证明了求解r i c c a t i 方程( 1 7 ) 等价于求 解方程彳= q + n x 1 n ，其中q = o ，f = n n - ，d 。r d - 1 = 矿q 叫。同时还证明了当 q 是正定矩阵时，求解矩阵方程x = q + 扎r 1 矿的问题等价于求解方程y = 1 一么r 1 彳， 其中y = q - v ：x q 一啦，a = q - l , 2 n q 一归 同样，矩阵方程x 彳x - 1 彳= ，在电子网络随机渗入陋1 ”，统计学f1 , 1 2 ，动态 规划1 1 3 , 1 4 ，排队理论【1 5 】，梯形网络【1 6 】等多个领域都有很重要的应用。 1 1 2 矩阵方程x + 彳z q a = o 研究的历史发展概况 在实际中，由于人们经常会碰到这类非线性矩阵方程，因此这类矩阵方程的研究也 就越来越引起人们的重视。 比较早的研究者a n d e r s o n j rwn ，m o n l e ytd 和t r a p pge 1 17 】于1 9 9 0 年发表了关 于方程x = 么一b x - 1 b 的正定解的研究，阐述了此方程在多方面的应用。之后1 9 9 3 年， e n g w e r d ajc ，ra n d r ecm 和r i j k e b o e ral i t j = 6 f j ：究了方程彳+ a + r 1 么= q ( q 正定) 时的求解及方程有解的充分及必要性条件，当时他们采用矩阵分解的方法给出方程求解 的递归算法，最后得到方程的最大及最小解和解的个数，并且将其结果应用于工程学中 一类特殊的离散代数r i c c a t i 方程中，给出x 是离散代数r i c c a t i 方程 z = a x a + a a 。一爿y ( 一+ r 1 - 1 的解的充要条件是么可逆，彳是方程( 1 1 ) 的解。同年e n g w e r d ajc 对方程( 1 3 ) 在 实数范围内进行了研究1 6 1 ，特别地讨论了当么是正规阵即么7 a = a a7 时方程的一些性质， 当然此时e n 刚e r d a 仍是利用矩阵分解的办法给出迭代求解算法，并将此类方程的求解问 题应用于控制论中所谓的不定线性二次控制问题中，给出了众所周知这难解的问题可 解性条件。 非线性矩阵方程x + a x a = 9 的理论与数值解法 1 9 9 6 年，詹兴致和谢建军【1 8 】采用矩阵相关知识对矩阵方程( 1 3 ) 再次进行了研究， 给出了该矩阵方程有解的充耍条件是彳满足分解a = p 7 f q 尸，其中p 和q 是正交矩阵， 对角矩阵r 和满足r 0 ，0 ，f 2 + 2 = j ，此时方程的解为x = p 丁r 2 p ，并由此给 出了该矩阵方程有解的一些必要条件。1 9 9 8 年，刘新副1 9 】继续研究了该矩阵方程，给 出了求解的简单迭代。1 9 9 9 年，郭晓霞【2 0 】给出了( 1 3 ) 存在可稳定化解的充分必要条 件。2 0 0 0 年，徐树方f 2 】证明了矩阵方程( 1 3 ) 的最大正定解是良态的，给出了求解最 大正定解的迭代方法，并且讨论了该迭代方法的收敛性。随后徐树方，孙继广1 2 2 2 3 3 和陈 小山，黎稳【2 4 】详细讨论了矩阵方程( 1 3 ) 的最大正定解的扰动界，误差分析以及条件 数。在研究矩阵方程( 1 3 ) 的基础上，1 9 9 8 年，i v a n o vig 和e 1 s a y e dsm 1 2 5 】对此进行了 扩展，讨论了矩阵方程 x + 彳x 一2 a = ( 1 8 ) 的正定解存在的充分条件，即如果存在两个实数口，满足不等式0 口 1 和 口2 ( 卜口) ， 以 矿( 卜8 ) i ，则矩阵方程( 1 8 ) 有正定解，同时给出了求解的两个迭 代方法，并讨论了解的收敛性与收敛率。但是在理论求解与具体计算中都与不确定的数 口，有关。2 0 0 3 年，张玉海【2 6 】给出了a 正规时，矩阵方程( 1 8 ) 有解的充要条件是 p ( 彳) 2 2 7 ，在此假设条件下，通过求解方程x 2 ( 1 - x ) = 以( 彳a ) 和x 2 ( 1 一x ) = 五( a a ) 的两个非负解，从而得到了确定的q ，a 2 ，届，岛，满足o 口。届2 3 反1 7 , ：1 ， 由此确定了解的具体范围，即 x a j i ，属刀u 口：i ，8 d u 口。s 以( x ) 属，色以( x ) 口： 2 0 0 4 年，程明松和徐树方【2 7 】研究了矩阵方程 x 一彳x 一2 a = i 推导出怕k 1 条件下正定解的扰动界和条件数。随后e 1 s a y e dsm ，a 1 d b i b a na m 【2 8 和廖安平f 2 9 】研究了此类矩阵方程更为广泛的形式，讨论了矩阵方程 x + 彳+ x ”a = 1 ( 1 9 ) 在彳为实矩阵情形下的可解性，给出了矩阵方程( 1 9 ) 有解的充要条件以及迭代求解方 法，但是也有不确定的数a ，。h a s a n o vvi 和i v a n o vig f 3 0 】继续研究了矩阵方程 x a x 1 a = q ，给出了方程有解的充要条件，得到了解的扰动界。在此基础之上，2 0 0 6 年，i v a n o vlg 【3 1 】更为详细的研究了矩阵方程 x + 彳f ”a = q ( 1 1 0 ) 大连理工大学硕士学位论文 其中么是非奇异的复矩阵，而p 则是任意的正定矩阵。引用了拉直算子，得到了一些新 的结果，同时利用标量方程口”( 1 一口) ，= ( q 一2 彳矿旷2 ) ，”( 卜) = 仃；( q - 一2 爿q 一”2 ) ， o c n ( 1 - a ) = 吒2 ( a q m ) 和”o - p ) = o - ；( a q m ) ，得到了解的具体存在区间，即如果方 程( 1 1 0 ) 存在正定解，那么 f ，一 ， x l 么矿1 么，q 一面石而丢：i j 百彳矿”么i 他还构造了求最小正定解和特殊解的数值迭代方法，并讨论了相应的收敛性。在方程 ( 1 1 0 ) 的基础上，2 0 0 6 年，h a s a n o vvl 和e 1 s a y e dsm 【3 2 】进行了另外一种扩展，讨论 了矩阵方程 彳+ a x - 6 a = q ( 1 1 1 ) 在0 万1 时的正定解存在的充要条件，构造了求最大正定解的迭代方法，并对此最大 正定解进行了误差分析。2 0 0 7 年，彭振贽f 3 3 】利用无逆迭代算法求解了矩阵方程( 1 1 1 ) 在0 1 时，方程不一定存在最大解，但可能存在极大解。研究方程( 1 1 0 ) 解法的成果主要有： 1 基本不动点迭代：该法是根据函数迭代思想构造迭代格式墨+ 。= g ( 五) ，具体 做法有两种，第一种是把方程中常数矩阵和带逆矩阵项全部移至方程左边来构造迭代 法。文献 2 8 】中研究了当q = ，且彳满足a 彳= 剧时的情况下，如果存在实数口满足不 等式彳彳 l 以( 彳) l f a 】不大于实数a 的最大整数 p ( r 1 算子r 的谱半径 火连理工大学硕士学位论文 1 4 预备知识 1 4 1k r o n e c k e r 积及性质 设矩阵彳= ( 口1 口2 ) 2 ( ) 。，定义 v e c ( a ) = ( 口j 口；d ：) 1 ， 彳与矩阵b 的k r o n e c k e r 积( 0 ) 为 彳 b = 【a q b ) 下面是我们将用到的k r o n e c k e r 积q 的一些基本性质，假设矩阵彳，b ，c 与d 有适当 的维数，那么 1 ( 彳。b ) ( cqd ) = ( 彳c ) q ( b d ) ，当u 是酉矩阵时，0 u p 矿0 = 0 ，圆u 0 = 1 2 v e c ( a b c ) = ( c 7 圆a ) v e c ( x ) 3 若a 的特征值为矗，f = 1 ，2 ，m ，b 的特征值为，= l ，2 ，以，那么彳ob 的 特征值为以，f = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ，刀。特别地，如果u 和v 都是酉矩阵，那么uq v 也是酉矩阵， f l u o v l i = 1 向量x ，y ec ”的内积定义为( x ，y ) = x * y 设矩阵a ，be c ”，令4 = ( q ，a 2 ，a 。) ， b = ( b i6 2 ，吃) ，那么a 和b 的内积为 ( 么，b ) = ( 诣c ( 彳) ，v e c ( b ) ) = ( 馏c ( 彳) ) v e c ( b ) = z6 i = t r ( a b ) t = l 1 4 2 正定矩阵的性质 如果矩阵a 满足关系式a = a ，那么称么是h e r m i t e 矩阵。对于h e r m i t e 矩阵彳和b ， 彳 0 ( a 0 ) 表示么是正定( 半正定) 的，彳 b ( a b ) 表示彳一b 是正定( 半正定) 矩阵，用尸( m ) 表示全体研聊半正定矩阵，并且有下面的集合 么，明= xa x b ) 和【么，佃) = xz a ) 如果聊m 阶矩阵a b 0 ，c 是脚k 阶矩阵，那么不等式 c + a c c + b c ，4 - 1 b 叫和a 4 矿，v 口( o ，1 】 均成立。用，表示单位矩阵，我们有 ( a ) 厂c 彳2 1 ， 彳a 厂仁 ，4 a ， 非线性矩阵方程x + 彳。x a = 9 的理论与数值解法 在此我们作出说明，下文中提到的正定矩阵均是指h e r m i t e 正定阵，矩阵方程的正 定解均指h e r m i t e 正定解。 1 4 3 基本定理 定理1 1 ( h o f f m a n - w i e l a n d t 定理f 3 4 】)设m 阶h e r m i t e 矩阵a 与b 的特征值分 别为 矗五九和t i a 2 ， 那么l 以- a , h a - n i l ：，净1 ，2 ，m 定理1 2 ( b r o u w e r 不动点定 1 3 5 1 ) 设q 为r ”中的有界闭凸集，甲为q 上的连 续映像，且甲( q ) f 2 ，则甲于q 上有不动点存在。 设已给定线性方程组 a x = b 。 其中设a c ”和b c ”已知，x c ”未知。考虑下面的迭代法 给定而，x k 。= 取+ 6 ，七= o ，l ， ( 1 6 ) 定理1 3 解线性方程组a x = b 的迭代法( 1 6 ) 对任意初始近似j c n 以及任意右端向 量b 均收敛的充分必要条件是p ( r 1 1 定理1 3 是解线性方程组迭代法收敛性的基本定理，具体证明可参考文献f 3 5 。 大连理工大学硕士学位论文 2 矩阵方程彳+ 彳x a = q 的数值解法 这一部分我们讨论非线性矩阵方程 x + 彳x a = q ( 2 1 ) 的数值解法。第1 节介绍求极小解的两种方法，第2 节研究方程极大解的性质，讨论求 极大解的两种简单迭代法和n e w t o n 迭代法，并计算n e w t o n 迭代法的收敛速度，最后 基于n e w t o n 迭代程序，给出一种简易的求法。 2 1矩阵方程x + a 。x 呻a - - - p 的最小正定解 这一部分我们介绍求方程x + a x a = q 的最小正定解的两种迭代方法。 首先考虑矩阵序列 x 0 = 彳矿a ，置= 彳( q k ) 叫a ，露= o ，1 ， ( 2 2 ) 定理2 1 ( h a s a n o vv 】a n d v a n o vlg 3 6 )设矩阵彳是非奇异的，如果矩阵方程 ( 1 1 ) 存在正定解，那么它存在最小正定解墨，并且( 2 2 ) 中的序列 五) 收敛到x s 。 考虑第二个迭代程序 k = q - l , 五= ( 彳巧1 a ) ，k + 。= e ( 2 1 一q k + x 。k ) ，七= o ，1 ， ( 2 3 ) 仍然把彳。记作矩阵方程( 2 1 ) 的最小正定解。根据文献【3 3 】我们可以得到下面的结论： 定理2 2 设矩阵a 是j 觜异的，如果矩阵方程x + r “a = p 存在正定解，那么按 照( 2 3 ) 定义的序列 互) ， k ) 满足 五 五 ，! i m 。x k2 ；r o o 使得4 和q 满足不等式聆m 2 y 一1 和( ，? + 1 ) 圳q 一1 1 1 - 聆，那 么序列 以) 线性收敛到矩阵方程( 2 1 ) 的解咒，并且五是( 2 1 ) 在【y ，悃) 中唯一的 正定解。 证明m + + 式, , l l a i l 2 y 一1 和( ”+ 1 ) y l l q 叫i i 胛得剃a f 州j 和( 聆+ 1 沙n q ，所以 砌 三q 叫q 一斋q ) 纠( q 叫) 彳。么 磊q = 广一焘q j y ”( q y n 大连理工大学硕士学位论文 如果e 7 1 ，就有 t + l = q - 4 杆”彳p _ - r ”a 彳r 1 因此我们利用数学归纳法证得 x 7 1 ，k = 0 ，l ， 那么 f f 五+ 。一五| = i 卜彳+ 昕”一义= ) 彳j | - i i a i l 2i 幞i 矿伐以。) 研罐i i 2i f 巧一伐一五一。) 研诣 ，# 0 - i i a l l 2 勃巧1 l i ，+ li i 硭，u i l x 。一五一。6 n 7 11 1 4 2i i x , - x , 扎 由于玎6 彳6 2 y 肿1 ，所以 7 1 ，由上式也可以知道( 五) 是线性收敛的a 假设矩阵方程( 2 1 ) 还有解z 7 1 ， 那z , i i r - s 1 l - - i i - a ( f ”一盯”) 彳0 i i 彳1 1 28 丢- 1 巧卜1 ( z 一兄) 苁州i ， - 1 1 , 4 1 1 2 r r - i 弦h i 苁t i i 州犯一x i i n 7 1 2 l i t 一五8 o 使得彳和q 满足不等式”m 2 厂时1 和( 刀+ , ) 7 1 1 q i i - n ，那 么矩阵方程( 2 1 ) 存在一个正定解置满足 慨1 i 1 - 孑， 其中手满足。 手 吉 非线性矩阵方程j + 彳彳a = q 的理论与数值解法 证明答易验证，彳是矩阵万程( 2 1 ) 的解等价于】，= x 1 满足万程 y = q - , + q 。1 y ”a y 考虑如下矩阵序列 k = 0 ，k = q 1 + q 叫a 距i 彳虼一，k = 0 ，1 ，2 ， 利用数学归纳法，我们证得 i i k i i - t l q 叫l | ( 1 + 1 1 4 2 斧1 ) ，k = 0 12 ， 其中 j 舌= o ，色= 妙l j ( 1 + 1 1 4 2 裂) 利用数学归纳法及条件栉 彳1 1 2 0 ，尼= 0 ，1 ，2 ， 所以存在善 o ，一1l 使得= ! 受由于善满足方程式( 2 11 ) ，有 1 ，i + 矧q i i ( 1 + i i a i l 2 ) 容易证明，这个方程在 。专 有唯一解手( 。专) 。假设。硎。器，那么 l l k + 。i i - - iq 叫+ q 。1 彳珂么k0 l l q - 1 l i ( 1 + 0 彳| 1 2 手一1 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 】1 ) ( 2 1 2 ) = f 利用数学归纳法，得到 k + l 善 专，k = 0 , 1 2 ( 2 1 3 ) 所以 0 e + ，一k i i = 0 q 。1 彳v a t , - q 叫么璎，么k 一。8 - i q 1 i i i i a 0 ( | | w 4 墨一鬈彳匕一，0 + l 鬈彳k 一，一璎，么e 一，1 1 ) 啦! l i | | 4 u 2 忖i i + 峰州k 埤蚓慷i l | ) i i 大连理工大学硕士学位论文 i i q 一- 蛐彳1 1 2i i l e l l ”+ 圭8 k o ”l i t , 一。1 1 7 ) l i t , 一e 一。i i ( 嚣+ 1 ) ，一”i i q 一18 | 彳8 2i l r , - r , 一。8 p i i q - 1 1 1 ( 2 1 4 ) 其中 p = ( 嚣+ 1 ) 厂”f q - l i i i t 么t 1 2 1 ( 2 1 5 ) 这说明矩阵序列 k ) 是收敛的。假设】，= 。l i m 。y k ，那么】，是( 2 8 ) 的解，并且y 孝 o 蕴含着j i r l 忙0 r 10 ，从而7 = 五1 证毕。 矩阵方程( 2 1 ) 可能不存在最大正定解，但是从定理2 4 我们可以看出，x l 的最 小特征值大于7 ，而( 2 1 ) 的其它解的最小特征值均小于y ，所以x l 实际上是矩阵方 程( 2 1 ) 的极大解，而且定理2 3 中的唯一解五y l 就是极大解置j 在下文中，我们 仍然用k 记( 2 1 ) 的极大解。从定理2 4 我们可以得到 推论2 i 假设彳和q 满足不等式 怕0 2 y 肿1 和仰+ 1 ) f i i q 一10 以，那么五的条件数 啦) ：i i x l x ：- i 垮， 说明极大解置是良态的。 定理2 3 和定理2 4 分别为我们提供了一种求矩阵方程( 2 1 ) 极大解的方法，即程 序( 2 7 ) 和迭代程序 墨= q ，e = q 叫+ q 叫么+ 璎l 彳k 一。，k = 1 ，2 ， ( 2 18 ) 定理2 4 的证明也给出了程序( 2 1 8 ) 的收敛性结论，即 定理2 5 假设彳和q 满足不等式圳爿1 1 2 y 一1 和( ”十1 ) y i | q 一1 忙，z ，那么( 2 1 8 ) 中的 序列 k ) 线性收敛到矩阵方程( 2 1 ) 的极大解的逆五1 大连理工大学硕士学位论文 如果令，7 = 1 ，q = f ，y 2 1 2 , r 2 1 ，男【；么我们将得到文献 2 1 】中定理2 1 成立。也就 是说，定理2 5 是文献【2 1 】中定理2 1 的推广。 定理2 6 假设彳和q 满足不等式纷8 彳8 2 0 ，使得 o x + 日l f c 。h 且- i i ( x + i - ) 。18 c 20 x 。1 l | 因此有 i l ( x + 日) - - n - - x - - t fo = | i 喜( x + 日) ”h x 咐1 0 赫彳+ 日) 叫n 俐n 主f 0 f 1 旷1 1 1 1 ( 2 2 4 ) 利用不等式( 2 2 3 ) 及( 2 2 4 ) 得， 瞰，k彳悯一+挈hxroll= a axa x - h x 川彳l l l 陋( x ，怕+ ( 彳+ 日) 一”+ 彳， 川彳i l ，= i = ( x 删一一r ”) 喜h x - - i a + a ( x 侧1 眦朋r ”么1 1 i i a i l 2 ( l l f l 10 ( x + 日) 一一r ”舯o 十8 ( x + 日) 叫l x l l 尸( x ，日) 昀 ( 玎羔c f ，+ 岛群c ；1 l i 么1 1 2 | l x 一1 o 日1 1 2 一1 6 大连理工大学硕士学位论文 上式说明当i i m l l - - 0 时，i i r ( x ，日) 0 是1 1 日l | 的无穷小量。由x 的任意性知，可微，其在 x 处的微商是l 证毕。 容易得到，解非线性矩阵方程( 2 1 ) 的n e w t o n 迭代程序是 选取合适的初值k 解k ( ) = 一f ( x k ) 得巩 置州= 置+ 吼，k = 0 , 1 ， ( 2 2 5 ) 其中0 。( 日) 如( 2 2 1 ) 式。 引理2 1 设么c ”，工，如果刀| j 刎2 m - 疗i i a l l 2 弦1 n 矧 1 - 1 l a l l 2 厂一 由于以1 1 彳1 2 。这说明。是可逆的，并且。乓| | 歹；甭证毕。 由引理2 1 可以看出，在1 1 4 2 y 肿的前提下，当墨厂，时，n e w t o n 迭代程序( 2 2 5 ) 中的线性矩阵方程 l x , ( ) = 一f ( 五) ( 2 2 6 ) 有唯一解以存在，下面的定理则给出了五+ y i 的条件，从而保证程序( 2 2 5 ) 能不 断地进行下去。 首先定义一个记号，令 刁= 错厂 ，一l 一”8 彳1 1 2 由于o + 1 ) 圳q 一1 1 1 - o 使得a ，q 满足不等式, , i i a i 2 一， 2 正知+ 厂巧”l c 栉+ t ，杆” 么+ 9 = a a 彳+ q 7 i 所以当刀是奇数的时候q ( 工) y i 如果刀是偶数，按同样的方法可以证明g ( 彳) 7 1 下面考虑g ( x ) 的上界。由于x ，墨 r x ，v i ，那么 从而得到 喜彳( 巧珥一k ”) 卅，；l 因为q 力j ，所以 | i x - 托8 喜么( 巧7 x x ；- 一巧”) 彳厂i a 肿u 。2 f 、7 7 一y ) ， 一1 9 一 声筹土俨 _i主一 宇上上尸 、孝筹_ | 妻州 2 一矿型圭川 扩 巧五 一 x 。州 4 一 rl， 卜 j 厂 k i 虬旷 刁 。剐nh 肛i 彳i 圳一y 一 o 使得彳和q 满足不等式拧i a i l 2 厂川，( 栉+ 1 ) y8 q 一1 i | o 使得彳和q 满足不等式行1 1 4 2 y 时1 和( 卯+ 1 ) y l | q - 1 0 栉，由定理 2 3 知矩阵方程( 2 1 ) 在【y ，矽， 中有唯一的正定解五。假设鼍 y i ，刀明，利用定理2 7 得，由n e 咖n 迭代法中的线性矩阵方程( 2 2 6 ) 得出的解吼使得x k + 。 r z ，7 7 刀。设 置= x 一墨，i = 露，k + l ，由( 2 2 0 ) 式得 0 = f ( x l ) = f ( 鼍+ e ) = f ( 五) + 气( e ) + 火( 五，e ) 其中r ( 五，e ) 的定义如( 2 2 2 ) 式。将k 。( 以+ ，一以) = 一，( x k ) 代入上式得 k ( e ) 一k ( 以卅一置) + r ( 墨，乞) = 0 ， 即 k ( k 一) + r ( 置，e ) = 0 设 那么 p 呸k ，e k 、) = x i 硪七x ：3 e k xk e k 七x i l e k x j e k + 七e k x ：。e k + x r 酸xk + x ：4 e k xk e k x t + + e k x ：