（机械电子工程专业论文）大模数齿轮成形铣刀齿形数字化曲面展成方法研究.pdf

硕士学位论文 摘要 解决数字化曲面展成的问题，其关键就是要研究数字化共轭曲面理论。为 适应这一现实需求，本课题就大模数齿轮成形铣刀齿形数字化曲面展成方法进 行了研究。 本文以大模数齿轮成形铣刀为研究对象，运用共轭曲面的基本原理，进行 了二维数字化铣刀齿形曲线拟合方法及三维数字化铣刀齿形曲面展成方法的研 究探讨。并以c + + b u i l d e r 为开发工具，结合m a t l a b 与o p e n g l 开发铣刀齿形数 字化益面展成加工系统。 首先，运用共轭曲面的基本原理，研究已知的数字化铣刀齿形曲面和已知 的以解析表达式表达的砂轮曲面之间的共轭运动。并提出了针对数字化铣刀齿 形曲面的展成加工方法，得到了数字化铣刀齿形曲面展成加工的运动模型。 然后，以二维数字化铣刀齿形曲线拟合加工为例，推导得出实际展成加工 中的加工参数，反求实际展成加工的铣刀齿形曲面；再以三维数字化铣刀齿形 ，曲面展成加工为例，推导得出实际展成加工中的加工参数，得到了砂轮产形面。 最后，借助c + + b u i i d e r 作为开发工具，将m a t l a b 作为后台调用程序，结 合o p e n g l 图形库，采用混合编程的方式，开发了铣刀齿形数字化曲面展成加工 系统。该系统可用于成形铣刀齿形数字化曲面展成加工参数的求解及模拟展成 加工出的铣刀齿形曲面，为实际加工提供技术支持。 本研究完善了传统的解析展成加工理论，可为成形铣刀的数字化设计提供 有效的手段，从而形成完整的成形铣刀齿形曲面数字化加工技术。 关键词：数字化共轭曲面铣刀齿形曲面展成加工 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ek e yt h a th o wt os o l v eg e n e r a t i n go fd i g i t i z e ds u r f a c ei sr e s e a r c h i n gt h e t h e r o yo fd i g i t i z e dc o n j u g a t es u r f a c e t h er e s e a r c ho ng e n e r a t i n gm e t h o do fd i g i t a l t o o t hf o r ms u r f a c eo fb i gm o d u l u sm i l l i n gc u t t e ri sb r o u g h tu pt om e e ts u c hp r a c t i c a l n e e d s t h i st h e s i st a k e st h eb i gm o d u l u sg e a rt o o t hf o r mc u t t e ra st h eo b j e c to fs t u d y t h ef i t t i n go ft w o - d i m e n s i o n a la n dt h eg e n e r a t i n go ft h r e e - - d i m e n s i o n a ld i g i t a lt o o t h f o r ms u r f a c eo fm i l l i n gc u t t e ri ss t u d i e db yu s i n gt h et h e o r yo fc o n j u g a t e s u r f a c e t h i st h e s i sd e v e l o p e das y s t e mo fg e n e r a t i n gm e t h o do fd i g i t a lt o o t h f o r m s u r f a c eo fm i l l i n gc u t t e rw h i c ht a k e dc + + b u i l d e ra st h ed e v e l o p m e n tt o o la n d c o m b i n e dw i t hm a t l a ba n do p e n g l f i r s t ，t h i st h e s i sr e s e a r c h e dt h ec o n j u g a t em o t i o n sb e t w e e nt h ek n o w nd i g i t a l t o o t hf o r ms u r f a c eo fb i gm o d u l u sm i l l i n gc u t t e rt h a tp r e s e n t e db yd i s c r e t ep o i n t s a n dt h ek n o w ne m e r yw h e e ls u r f a c e st h a tp r e s e n t e db yt h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o nb y t h et h e o r yo fc o n j u g a t es u r f a c e s t h i sp a p e rp u tf o r w a r dt h eg e n e r a t i n gm e t h o do f d i g i t a lt o o t hf o r ms u r f a c ea n da t t a i n e dt h em o t i o nm o d e lo ft h eg e n e r a t i n gd i g i t a l t o o t hf o r ms u r f a c e s e c o n d l y , t h i st h e s i st a k e dt h ef i t t i n gp r o c e s s i n go ft o o t hf o r ms u r f a c eo f t w o - d i m e n s i o n a ld i g i t i z e dm i l l i n gc u t t e ra st h ee x a m p l e i to b t a i n e dt h ea c t u a l p r o c e s s i n gp a r a m e t e ra n dp l a n e dt h es i m u l a t i o nc h a r to fg e n e r a t i n go ft o o t hf o r m s u r f a c eo fd i g i t i z e dm i l l i n gc u t t e r t h e n ，i tt a k e dt h eg e n e r a t i n go ft o o t hf o r ms u r f a c e o ft h r e e d i m e n s i o n a ld i g i t i z e dm i l l i n gc u t t e ra st h ee x a m p l e i to b t a i n e dt h ea c t u a l p r o c e s s i n gp a r a m e t e ra n dt h es u r f a c eo fg r i n d i n gw h e e l f i n a l l y , t h i st h e s i sd e v e l o p e das y s t e mo fg e n e r a t i n gm e t h o do fd i g i t a lt o o t h f o r ms u r f a c eo fm i l l i n gc u t t e rw h i c ht a k e dc + + b u i l d e ra st h ed e v e l o p m e n tt o o la n d c o m b i n e dw i t hm a t l a ba n do p e n g l i tu s e sf o rs o l v i n gt h ep r o c e s s i n gp a r a m e t e ra n d s i m u l a t i n gt h et o o t hf o r ms u r f a c eo fd i g i t i z e dm i l l i n gc u t t e r i i 硕士学位论文 一二一 t h et r a d i t i o n a lt h e o r yo fa n a l y t i cg e n e r a t i n gi sp e r f e c t e d t h i sr e s e a r c hm i g h t p r o v i d e st h et e c h n o l o g y f o rt h ed i g i t i z e dd e s i g n ，t h u si tw i l lf o r mac o m p l e t e d i g i t i z e dp r o c e s s i n gt e c h n o l o g yo f t o o t hf o r ms u r f a c eo fm i l l i n gc u t t e r k e y w o r d s ：d i g i t i z e d ：c o n j u g a t es u r f a c e ；t o o t hf o r m s u r f a c eo fm i l l i n gc u t t e r ； g e n e r a t i n g i i i 目录 目录 摘要一i a b s t r a c t i i 第1 章绪论1 1 1 国内外齿轮成形铣刀与数字化曲面加工的研究现状1 1 1 1 国内齿轮成形铣刀研究现状1 1 1 2 国外齿轮成形铣刀研究现状2 1 1 3 数字化曲面加工的研究现状4 1 2 课题来源与论文主要研究工作_ 7 1 2 1 课题来源7 1 2 2 论文的主要内容8 第2 章数字化曲面共轭理论9 2 1 引言9 2 2 共轭曲面原理1 0 2 3 共轭条件分析1 1 2 3 1共轭求解数字曲面的相关性1 1 2 3 2 数字化共轭曲面概念与求解原理1 3 2 4 连续求解共轭运动1 3 2 4 1数字曲面上一维三次样条函数构造1 3 2 4 2 共轭曲面计算模型与算法1 5 2 5 共轭运动分析1 5 2 6 本章小结1 6 第3 章二维数字化铣刀齿形曲线拟合研究1 7 3 1 引言1 7 3 2 展成理论计算1 7 硕士学位论文 3 2 1 展成加工理论1 7 3 2 2 坐标系的建立与变换：1 8 3 2 3 铣刀齿形曲线与砂轮产形面的数学模型1 8 3 2 4 展成加工数学模型与反求2 0 3 3 加工实例与仿真2 2 3 4 本章小结2 4 第4 章三维数字化铣刀齿形曲面展成研究2 5 4 1 引言2 5 4 2 展成理论计算2 5 4 2 1坐标系的建立与变换一2 5 4 2 2 砂轮产形面与铣刀齿形曲面的数学模型2 6 4 2 3u ( i ) 展成加工数学模型与反求2 7 4 - 3 加工实例与仿真一3 0 4 4 本章小结3 2 第5 章数字化铣刀展成计算软件实现3 3 5 1 软件开发平台一3 3 5 1 1 硬件设施3 3 5 i 2 软件环境3 3 5 1 3 软件设置3 9 5 2 系统主要功能与结构4 2 5 2 1 主要功能4 2 5 2 2 主要功能流程图4 3 5 3 系统主要功能实现4 5 5 3 1 求解加工参数4 5 5 3 2 铣刀齿形曲面、砂轮产形面、包络面的模拟图4 7 第6 章结论与展望5 0 6 1 结论5 0 v 目录 展望5 0 参考文献5 2 攻读学位期间成果5 2 附录5 9 致谢：6 3 v i 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1国n ； i - 齿轮成形铣刀与数字化曲面加工的研究现状 1 1 1国内齿轮成形铣刀研究现状 齿轮铣刀是切削加工必不可少的重要工具之一，在机械制造、汽车、模具、 医疗器械、国防工业和航空航天等行业中占有十分重要的地位。刀具质量好坏 直接影响到加工对象的表面质量、精度及加工效率【l 】。 在机械加工中，铣刀作为常用刀具之一，它的刃磨非常困难，一直是困扰 刃磨行业的一大难题，究其原因主要有以下两点：( 1 ) 铣刀形状复杂；( 2 ) 精 度要求高。刀具的刃磨一般分为手工刃磨和磨刀机刃磨，其中手工刃磨需要掌 握严格的技术要领，不但效率低，而且精度差，况且有些刀具根本无法手工刃 磨，随着数控力n - r - 设备的普及，手工刃磨的刀具越来越不适应现代化的加工方 式，所以磨刀机越来越受欢迎【2 j 。 合肥工业大学的王玉琳提出了一种四坐标的经济型数控磨刀机。该磨刀机 可以磨削圆形锯片、圆盘铣刀、圆柱铣刀、圆锥铣刀等齿状刀具或机械零件。 磨刀机的控制系统基于g m s 9 7 l 5 2 单片机，具有自动分齿、砂轮自动迸给、自 动重复磨削等功能【3 j 。 上海交通大学的罗玉梅等人提出将快速点磨削技术引入到曲线磨削过程 中，提出了曲线磨削中砂轮对工件轮廓实施法向跟踪磨削的新方法。该方法是 在传统的曲线磨床的基础上，增加一个可以使工件相对于砂轮偏转的数控回转 轴，实现砂轮对工件轮廓的法向跟踪磨削。在分析磨削运动关系的基础上，建 立了砂轮法向跟踪的数学模型，并分别给出了无干涉情况下的完全法向跟踪和 有干涉情况下的近似法向跟踪的法向跟踪角的算法。这种利用工件偏转来实现 砂轮的法向跟踪磨削方法简单有效，能够有效避开砂轮和工件的干涉，提高加 工精度和实现对任意复杂益线轮廓的磨削加工【4 j 。 华中科技大学的熊烽等采用计算机三维仿真技术，对复杂形状刀具前刀面 数控磨削过程中刀位计算方法、磨削方式及磨削过程进行了研究，并采用数控 第1 章绪论 工具磨床进行实际磨削加工对研究结果进行验证。并在研究数控加工代码仿真 检验技术的基础上，开发了基于m a t l a b 平台的数控工具磨床仿真加工系统，实 现了复杂形状刀具数控磨削加工代码的仿真检验 5 】 6 1 。 罗怀晓则对成形砂轮加工复杂曲面进行了研究，采用数控两轴直线插补的 方法进行加工【7 1 。 华中科技大学数字化制造装备与技术国家重点实验室提出一种新的磨削加 工工艺，即采用c b n 球面砂轮数控磨削复杂形状刀具，利用球面的自适应性， 以减少所需c n c 磨床联动轴数，并实现球头铣刀不同形状刀体接合处前刀面的 光滑过渡。同时，新工艺为新型的复杂曲面c n c 磨削工艺系统的开发提供理论 参考 s 】o 1 1 2 国外齿轮成形铣刀研究现状 工具磨床自1 8 8 9 年美国辛辛那提公司开始制造以来，发展一直比较缓慢。 近二、三十年来，为适应刀具、模具及切削加工的需要，刀具刃磨受到极大重 视，发展很快。 计算机技术是现代工具磨床发展的重要基础之一。计算机技术开始应用于 工具磨床大约在七十年代中后期，在各类磨床中处于领先地位。这是由于刀具 磨削运动轨迹的复杂性，决定了c n c 技术对工具磨床比车、铣床具有更多的优 越性【9 。 c n c 万能工具磨床经历了几代产品发展过程。初期是在原普通型机床上改 变控制方式，以简化结构，提高精度。被简化的部件、附件所完成的功能全部 由c n c 软件来实现。第二代产品是c n c 万能刀具“磨削中心”，“磨削中心”在 八十年代中后期己达到普及阶段，不管是生产万能型工具磨床的厂家还是生产 专用型工具磨床的厂家几乎都对其进行开发生产。“磨削中心”适用于刀具的连 续加工，使刀具制造工艺高度集成，工件一次装夹，通过几组独立砂轮的转塔 磨头来完成多种工序的复合d i d - r - ，加工过程中自动更换砂轮，因而刀具制造精 度高。对于复杂形状刀具的连续加工，则采用轴数较高的( 最高可有8 轴) 磨削 中心【l o 】。 c n c 万能工具磨床的第三代产品是柔性制造单元。柔性制造单元由一组几 2 硕士学位论文 台机床组成，各机床间由传输线和机械手连接，用于磨削刀具外圆、沟槽、刃 背和端面。对机床只需一次调整，就可实现多种加工功能的转换，适用于刀具 批量生产。因而对复杂形状型面刀具的精密磨削，选用“磨削中心”系列机床， 对批量较大的生产制造，则选用柔性制造单元( 1 l - 1 5 1 。 八十年代末期，作为进入自动化工厂、自动化生产线，柔性制造单元的工 具磨床，只需完成单一加工工序，因而2 4 轴的简易型c n c 工具磨床又有发展 的趋势，简单化、低价格化、特殊专用化又成为某些厂家追求的目标。如日本 牧野公司近二年内致力于生产2 4 轴c n c 控制的c n i i 2 5 型万能工具磨床，采 用充实软件来扩大它的万能性，以进入不同的自动化生产线及柔性制造单元， 两年内产量增加1 0 倍【1 6 18 1 。 控制技术和砂轮的发展是工具磨床提高磨削效率的主要途径，由此带来了 结构布局变化 1 9 - 2 。 近年来在工具刃磨中出现了很多新的磨削方法，例如钻头磨尖的四、六面 磨削法、刀具沟槽的高速深切快进一次成型磨削法、滚刀的单齿磨削法、滚刀 及整体小刀具一次成型的深切缓进磨削法等。应用c n c 控制技术后，还开发了 一些新的工艺方法。这一系列新的磨削工艺克服了传统磨削工艺的缺点，达到 高效、高精度地刃磨刀具的目的阻2 4 1 。 ( 1 ) 铣刀之类多刃刀具的分度磨削法 分度磨削法用来分度磨削类似于铣刀之类多刃刀具。日本松泽公司将它运 用在c n c 万能工具磨床上，并取得了专利。 分度磨削法弥补了往复磨削法效率低及单齿磨削法因砂轮磨损造成的刀具 等分精度差的缺点，采用对被加工工件的每个需磨削的位置进行分度。在这种 分度状态下，工作台往复运动，砂轮进给量连续递增，磨完预定的磨削量即完 成粗磨，然后对每个需磨削的位置进行分度，重复上述过程。然后进入作微量 进给运动，工件通过一次精密磨削过程。最后在保持上述的精密磨削状态下， 对由磨床的机械弹性变形等因素造成的误差作修正磨削过程。 每个过程都由计算机预先设定并控制，因而经分度磨削法磨削的多刃刀具 的等分精度极高，由于不需频繁分度，效率也极高。 ( 2 ) 成组成型砂轮参数反馈式成型磨削法 第1 章绪论 该磨削方法适用于复杂的无特定形状的成形刀具陆j 头、扩孔钻、深孔钻、 铣刀等) ，采用成组成型砂轮，直接将棒料加工成成型刀具。这种磨削方法简单、 合理，可避免繁琐的计算及成本昂贵的仿形加工，并与操作人员的水平无关。 成型磨削法用一标准的样品刀具，对安装在砂轮位置上的盲板进行切削，再用 通过对盲板检测得到的形状参数修整成组成型砂轮，用这样的砂轮磨削工件， 产生的误差可通过与计算机储有的标准样品刀具数据进行比较，并通过软件转 换成成组砂轮下次修整的预置数据。经多次反复以达到预定精度要求。这种工 艺方法用于c n c 工具磨床上取得了专利2 5 - 2 7 。 采用c n c 技术后，有的公司采用多轴联动工具磨床，利用简单形状的砂轮 与工件间的相对运动，近似创成多种不同形状铣刀的断面。 1 1 3 数字化曲面加工的研究现状 现代先进制造技术通过对传统制造技术的创新性发展，不断吸收现代机械、 电子、材料、信息、计算机、管理等前沿技术的最新成果，并将其综合应用于 产品的开发、设计、制造、检测、管理、售后服务等制造全过程，以实现优质、 高效、低耗、清洁、敏捷制造。现代先进制造技术具有先进性、通用性、系统 性、集成性等特点，正朝着精密化、自动化、柔性化、智能化和数字化的方向 发展。 数字化曲面加工的研究就是为适应先进制造技术的需要而提出的，它对于 解析表达式未知或非解析表达的曲面的精密加工具有重要的理论及实践意义。 此项研究主要涉及以下四个方面的内容：曲面的数字化；数字化曲面及 其微观特性；数字化曲面的共轭理论；数字化曲面的展成与应用。其中， 曲面的数字化可为数字化曲面的形成提供数据前提；数字化曲面及其微观特性 的研究可为数字化曲面共轭理论的突破提供保证；数字化曲面的共轭理论可为 数字化曲面展成问题的解决提供理论基础；数字化曲面展成的应用则可对数字 化曲面展成方法的有效性进行验证 2 8 1 。 1 1 3 1 曲面的数字化 曲面的数字化即是在控制精度的前提下合理确定曲面数据点的数量及其分 布，其最终目的是为形成数字化曲面提供合理、精确的三维数据。曲面的数字 硕士学位论文 化可分为真实曲面的数字化和虚拟曲面的数字化两类。真实曲面的数字化是通 过对实物模型或加工后的工件实体进行三维测量来实现的；虚拟曲面的数字化 则是根据现代设计理论来进行的。 ( 1 ) 真实曲面的数字化 真实曲面的数字化是利用三维测量技术提取实体的三维数据，从而实现真 实曲面的离散化 3 0 1 。近年来，现代三维测量技术( 包括传感技术、控制技术、激 光技术、计算机技术等相关技术) 的发展为真实曲面的数字化提供了必要的技术 手段。在实现真实曲面的数字化时，最常用的三维非接触测量方法是激光测量 法。 ( 2 ) 虚拟曲面的数字化 虚拟曲面的数字化即是设计出以离散数据方式表达的数字化曲面。现代设 计理论及方法( 包括优化设计理论、现代有限元理论及边界分析方法、c a d c a e 技术等) 的发展及应用使虚拟曲面的数字化成为可能。以离散数据方式表达的新 型曲面的设计已成为曲面设计的重要发展方向。 1 1 3 2 数字化曲面及其微观特性 近几十年来，在生产实践中出现了许多不能用数学表达式描述的曲面，如 外形曲面中包含剧烈变化曲面的雕塑曲面、基于飞机、车身表面的自由曲面以 及由众多简单曲面拼接而成的复杂曲面等。由于数字化曲面是通过对曲面的数 字化处理而形成的，因此一般来说其具体数学表达式未知。目前，国内对数字 化曲面的研究处于起步阶段。国外虽然从二十世纪八十年代即开始对数字化曲 面进行研究，但对其迄今尚无公认的定义。通常认为，数字化曲面表示一个连 续曲面的数字化点集合。数字化曲面不一定是一种真实存在的曲面，它可以三 维矩阵形式存储于计算机中。本文研究的数字化曲面分为两种形式：一种是通 过数字化设计计算得出；另一种是加工后经过测量得出 】。 一般来说，曲面的微观特性包括其法( 主) 矢、主方向、切矢、高斯曲率等。 曲面的微观特性影响曲面的传动效率、加工质量、受力状况等。应用微分几何 理论可以对基于解析连续的一般曲面的微观特性进行完备的描述，但对于只有 离散点信息的数字化曲面却无能为力。由于数字化曲面具有离散的特点，因此 其微观特性的求解方法也不同于一般曲面，如求法矢时可将法矢公式离散化， 第1 章绪论 采用数值逼近方法求解；也可用围绕某点的三角形面的法矢代替该点法矢；有 人采用局部样条的方法求解三点或五点中的中点切矢；还有用参数二次曲线求 解主方向、用b 样条曲面求解法曲率、用三点圆弧方法求解法矢等多种方法。 综合分析可知，求解数字化曲面微观特性的方法主要可分为数值方法和计算几 何方法。数值方法是将连续问题离散化，如在某一点用泰勒展开方法求解切矢； 计算几何方法主要是用样条曲面将数字化曲面转换为解析曲面，然后用解析曲 面的微观特性代替数字化曲面的微观特性。但是，采用上述方法求解数字化曲 面的微观特性时，不可避免地存在一定的原理误差( 如用不同的样条曲面拟合数 字化曲面后求得的法矢并不相同) 【2 9 1 。 数字化曲面展成方法的研究对象是一对共轭曲面一多轮产形面与数字 化铣刀齿形曲面。根据共轭原理可知，通过求解砂轮产形面的微观特性，即可 求得与其共轭的数字化铣刀齿形曲面的微观特性。 1 1 - 3 3 数字化曲面的共轭理论 共轭曲面理论的研究对象是几何图形及其共轭运动，它的任务是研究在机 械加工、机械传动条件下共轭几何图形与共轭运动之间的内在联系及相互转换， 在实际应用中则体现为五类共轭曲面( 曲率) 的求解问题。 近几十年来，在生产实践中遇到了一些富于挑战性的问题，如准双曲线齿 轮的啮合、弹性齿轮的接触等，这些传动方式突破了传统机械传动理论的刚体 假设规范及连续性假定，从而推动了共轭曲面理论的研究 3 。共轭曲面理论研 究的典型内容包括研究成对弹性体曲面几何图形及其共轭运动的弹性共轭曲面 原理、将手工推导计算转换为计算机自适应处理的离散解析共轭曲面原理、突 破了两曲面必须连续相切接触的假定、将模型转换为标杆函数的共轭曲面数字 仿真原理等 3 2 1 。数字化共轭曲面理论主要研究由离散点集表达的数字化曲面与 共轭解析曲面之间的联系与运动，它突破了传统共轭理论所要求的两成对共轭 曲面必须为解析曲面的限制，其实质是要对传统的解析共轭曲面原理进行数字 化离散改造，即将其中的连续变量离散化。对于可离散化变量如位矢，可具体 离散到某一点的位矢；对于不可离散化变量如某一点的法矢、曲率等有赖于对 解析式求导的变量，则需要通过其它数学方法加以解决。因此，数字化共轭曲 面理论需要解决如何将不可离散化变量离散化的问题 3 引。数字化共轭曲面理论 硕士学位论文 脱胎于传统的共轭解析理论，它应用现代数值方法，借助于计算机对数据的离 散处理能力，将宏观的、连续的曲面共轭问题转化为微观的、离散的点一点共 轭问题。数字化共轭曲面理论将为数字化曲面的展成提供理论依据。 1 1 3 4 数字化曲面的展成与应用 数字化曲面的展成问题是数字化共轭曲面理论的第五类问题，即己知共轭 的以解析方式表达的砂轮产形面和以离散方式表达的数字化铣刀齿形曲面( 啮 合面1 ) ，求两共轭曲面的共轭运动的问题。对于引入了离散表达曲面的共轭问题， 国内外学者进行了大量研究 3 4 。7 】。有人尝试采用自由曲面加工方法来加工数字 化曲面，但发现加工精度往往难以达到要求。有人提出用离散表达的刀具曲面 来求解所加工的工件轮廓曲面，其中离散点可分为两种情况：已知各离散点 的坐标及切线斜率，求解方法是从刀具曲面的一个离散点出发，找出满足啮合 要求的工件轮廓曲面上点的坐标；仅给出了离散点坐标，此时可采用三次样 条函数的方法求出各点的切线斜率，从而将其转化为第一种情况进行求解。数 字化曲面展成问题的研究与上述问题有一定相似性，其关键是解决离散化问题， 其理论依据是数字化共轭曲面原理。已知两共轭衄面，可利用数值法求解对应 的共轭运动。该问题可看作齿轮机构分析的逆命题，即已知机构简图和两运动 构件齿面，用数值解法求解其运动规律【3 8 - 3 9 1 。 数字化曲面展成是根据数字化曲面上的离散点找出与之对应的刀具解析面 上的对应点，然后求出两点分别通过各自的共轭运动到达共轭接触点。曲面共 轭必须满足两个基本条件：接触条件：r l = r 2 ，e l = e 2 ，即两曲面的共轭点和曲面 单位法矢分别重合，根据接触条件可求出两曲面通过各自运动到达接触点； 连续传动条件：e - v 1 2 = o ( e 上v 1 2 ) 。根据连续传动条件可求出满足连续接触传动的 瞬时传动比，由此可求出实际加工中机床所需的运动参数 4 0 4 。 1 2 课题来源与论文主要研究工作 1 2 1 课题来源 本课题来源于江苏省自然科学基金( b k 2 0 0 8 3 7 4 ) ；江苏省高校科研成果产 业化推进项目( j h 0 7 0 1 3 ) 。 第1 章绪论 现有的铣刀齿形曲面加工方法是基于几何解析的加工理论，其共轭展成运 动基于连续的曲面。展成运动主要由机械传动机构实现，不具备局部运动控制 能力，必须采用特制砂轮才能加工不规则变化的铣刀齿形曲面，特制砂轮精度 决定了铣刀的加工精度【2 引。这些方法加工柔性不够好，成本高( 每种不规则变 化的铣刀齿形曲面都需要配备专用的砂轮) ，局限性大，数字化铣刀齿形曲面设 计和加工完成难度较大。因此，数字化的铣刀齿形曲面展成理论和方法的研究 迫在眉睫。其实质是利用共轭曲面理论，研究数字化铣刀齿形曲面和砂轮产形 面之间的几何关系和共轭运动，形成通用的数字化铣刀齿形曲面展成加工理论， 为实现数字化铣刀齿形曲面及类似曲面的高效、高精、高柔度加工提供可靠的 手段。本课题将为解决该问题做出有益尝试。 1 2 2 论文的主要内容 一、数字化曲面的共轭理论。运用共轭曲面的基本原理，研究已知的数字 化铣刀齿形曲面和已知的以解析表达式表达的砂轮曲面之间的共轭运动。提出 针对数字化铣刀齿形曲面的展成加工方法，得到数字化铣刀齿形曲面展成加工 的运动模型。 二、二维数字化铣刀齿形曲线拟合研究。以二维数字化铣刀齿形曲线拟合 加工为例，推导计算，得到实际展成加工中的加工参数，并模拟绘制实际展成 加工的铣刀齿形曲线。 三、三维数字化铣刀齿形曲面展成研究。以三维数字化铣刀齿形曲面展成 加工为例，推导计算，得到实际展成加工中的加工参数，并模拟绘制实际展成 加工的铣刀齿形曲面。 四、数字化铣刀齿形曲面展成计算软件实现。借助c + + b u i l d e r 作为开发 工具，将m a t l a b 作为后台调用程序，结合o d e n g l 图形库，采用混合编程的方 式，开发了铣刀齿形数字化曲面展成加工系统，用于加工参数的求解及模拟展 成加工出的铣刀齿形曲面，为实际加工提供技术支持。 硕士学位论文 2 1 引言 第2 章数字化曲面共轭理论 现代科学技术的迅猛发展，正推动着机械制造业进入综合化、智能化和数 字化发展的新时期。为适应这一大趋势，提出了数字化曲面展成方法的研究。 解决数字化曲面展成的问题，其关键就是要研究数字化共轭曲面理论。 共轭曲面理论是研究在机械加工和机械传动条件下，成对几何图形与成对 运动间的内在联系和相互转换规律的一门基础性的新兴技术科学，它涉及到力 学、微分几何学、机构学等学科，其应用遍及齿轮齿面设计、凸轮轮廓设计、 机构的运动分析与综合、加工仿真等众多领域。多年来，国内外学者在基于几 何解析的共轭曲面理论方面做了大量工作，建立了解析曲面的共轭理论。然而， 随着数字化设计和加工技术的发展，解析曲面的共轭理论己不能满足现代设计 与加工技术的需要，因此，迫切需要研究基于离散形式的共轭曲面的数字化方 法，建立共轭曲面的数字化方法体系，为数字化曲面的共轭展成加工奠定理论 基础1 4 。 目前，共轭曲面研究中数字化进程刚起步，其前期工作仍由人工建立或给 定母曲面方程，完成所有的公式推导，得到共轭盐面的解析表达式。然后编程 由计算机进行一些后处理工作；进一步的研究工作也有基于母曲面方程和共轭 运动方程的计算机求解方法，然而，还没有形成完整的共轭曲面的数字化方法 体系。 所谓共轭曲面的数字化方法，其特征就在于抛开传统共轭曲面理论的繁琐 推导与变换，仅借用其共轭条件的构架关系，利用数字方法，借助于计算机即 可解决共轭曲面理论中的各种问题；既能解数字母曲面问题，又能处理解析母 曲面的求解问题，实现真正意义上的共轭曲面的数字化方法分析，即从数字化 到数字化的分析求解过程【4 2 j 。 因此，进行共轭曲面的数字化方法研究，特别是数字化共轭曲面的求解具 有重要的理论和实用价值，也是今后该领域里的研究热点和重点。 第2 章数字化曲面共轭理论 2 2 共轭曲面原理 共轭曲面的数字化方法的特点，就在于抛开传统共轭曲面理论的繁锁推导 与变换，仅借用共轭条件的构架关系，利用数值方法，借助于计算机即可解决 共轭曲面理论中的各种问题；且问题的维数降低，算法简单，既能解数字母曲 面问题，又能处理解析母曲面的求解问题，实现了真正意义上的共轭曲面的数 字化方法分析，即从数字化到数字化的分析求解过程。4 引。 传统的共轭曲面求解方法是基于解析表达式描述的已知蓝面，通过人工推 导，得到共轭曲面的解析方程或数据。当己知曲面由一系列离散数据点来描述 时，这种方法就无法适用，也就是说它的适用范围有很大局限性。另一方面， 因为共轭曲面求解涉及繁琐的公式推导和大量的数学计算，对一般的工程技术 人员来说，掌握这一套理论和计算方法有一定难度，而且人工计算很容易出错， 所以共轭求解的计算机化是有必要的。而在利用计算机求解实现方面，由于解 析方程式及其推导计算的多样化，传统的共轭求解方法也很难建立通用性较强 的计算机算法。 在实际应用中归纳为五类共轭曲面的求解问题j ： ( 1 ) 已知曲面l 及共轭运动i i ，1 2 ，求解共轭曲面2 与啮合轨迹图形c 。 啮合传动中求解共轭曲面，啮合轨迹以及机械加工中常遇到此类问题。 ( 2 ) 已知啮合轨迹图形c 及共轭运动i l ，1 2 ，求解共轭曲面l 与2 。机 械传动中求解传动副几何图形时常遇到此类问题。 ( 3 ) 已知共轭曲面l 与2 及两共轭运动之一i i ，求解啮合轨迹图形c 与另一个共轭运动1 2 。在对机械传动进行接触状况和传动精度分析以及在测量 精密复杂曲面时，大量遇到此类问题。 ( 4 ) 己知曲面l ，啮合轨迹图形c 与两共轭运动之一i l 。求解共轭曲面 2 和另一个共轭运动1 2 。在机械加工中确定刀具曲面和加工运动轨迹或在控制 切削加工所得曲面的表面粗糙形态时，遇到此类问题。 ( 5 ) 已知共轭曲面l 与2 及啮合轨迹图形c ，求解共轭运动i i ，1 2 。在 机械加工中确定加工运动轨迹，包括数控加工的程序编制中大量遇到此类问题。 随着数字化设计和加工技术的发展，数字化曲面得到广泛应用已成为必然 发展趋势。基于解析曲面的共轭理论已不能满足数字化益面设计和加工的需要， 硕士学位论文 迫切需要解决数字化曲面的共轭分析问题，为数字化曲面的共轭展成加工及基 于数字化曲面的共轭曲面反求奠定理论基础。 一方面使共轭曲面求解在已知曲面为数字化曲面的情况下依然能够应用， 即拓宽共轭曲面的适用范围；另一方面，增加共轭曲面求解的自动化程度，使 得从得到己知曲面数据点和运动参数到求解出共轭曲面这一过程都可以由计算 机自动完成，用户只用改变输入参数就可以方便地得到各种共轭曲面 4 5 】。 2 3 共轭条件分析 2 3 1 共轭求解数字曲面的相关性 无论是数字曲面，还是解析曲面，在对其进行共轭理论的研究中，共轭关 系与共轭条件是研究的基础和重要依据。 图2 一l 两曲向的共轭还动 f i g 2 - 1c o n j u g a t em o t i o n sb e t w e e nt w os u r f a c e s 如图，l 、2 为两共轭的任意曲面，其中l 设为母曲面，sl ( o l ，x t ，y t ， z i ) 、s 2 ( 0 2 ，x 2 ，y 2 ，z 2 ) 为两个分别与l 、2 相固连的坐标系；，i n 、r 2 ( 2 ) ：5 3 v 另l j 表示l 、2 上一点的位置矢，z l 、? 1 2 2 分别表示曲面1 、2 上，1 n 、您q 两点 处的单位法矢。上述符号中上标表示所定义的坐标，下标表示所属的曲面 4 6 1 。 设母曲面l 在坐标系s t 中可表示为以扒v 为参数的方程： rz ( 1 ) = ，1 ( 1 ( “，v ) ( 2 1 ) 则曲面i 按以毋为参数的规律变化，在空间形成一曲面族，该曲面族的方 第2 章数字化曲面共轭理论 程则为： ( 1 ) ：r l ( 1 ) = ，l ( 1 ( “，v ，0 ( 2 2 ) 甜，v 是母蓝面的几何参数；口是母曲面的变化参数，当母面无形状变化时， 秒则为运动参数。文中的臼即为曲面间的运动参数。 若存在一盐面2 与曲面族( 【) 中任一曲面有【都有一条公共线l 或公共 点m ( e 称接触线或接触点) ，在公共线每一个点m _ k y , 2 与l 都有公切面和公法 线，曲面2 即为曲面族( 1 ) 的包络，曲面2 与l 互为共轭曲面，这种接触 现象则称为共轭接触状态或共轭传动。 曲面，与2 为实现共轭接触运动，两曲面必须满足以下基本条件【4 7 】： ( 1 ) 曲面l 、2 上相对应的接触点( 共轭点) m 1 、m 2 必须重合为一点( 如图 2 - 1 ) ， 即 ，2 = ，l 怕( 2 3 ) 对于具体实际问题，上式则等价于： rz ( 2 一，2 ( 2 ( 材，v ，印 ( 2 4 ) ( 2 ) 两曲面在接触处相切，即在接触处有公法线，且两曲面应在其空域一 侧接触，即 1 = - 7 2( 2 5 ) ( 3 ) 两曲面在接触处的相对速度h 2 应位于该处的公切面内，以保证连续 接触，而不致发生嵌入或分离状态，即 挖“2 5 0( 2 6 ) 或 ( r l u x r l o 。r 1 0 2 0( 2 7 ) 通常称上式为共轭条件( 或包络条件) 。 由上式联立求解，即可求得母曲面，的共轭曲面为2 。亦即由共轭条件求 得运动参数口与母曲面的几何参数( “，v ) 之间的关系：萨故“，v ) ，然后代入， 即可得到共轭曲面2 ：r 2 ( 2 ) = ，2 ( 2 ( “，v ) 。当然，对于母曲面为数字曲面，实现算 法相当复杂。不过，不论是数字曲面，还是解析曲面，其最终得到的共轭曲面 均为离散的数字曲面。 硕士学位论文 2 3 2数字化共轭曲面概念与求解原理 基于解析曲面的共轭曲面理论，无疑是共轭曲面求解和共轭接触分析的精 确有效的工具。但是，这套理论存在致命的缺陷，一是其代数变换和几何变换 繁杂，计算工作量大，使得计算机仿真计算和动态优化设计有相当难度；二是 对于非解析形式的离散化数字曲面，传统的基于解析理论的共轭曲面原理与分 析方法则无能为力。基于此，提出共轭盐面的数字化方法，以解决现代数字设 计、数字加工和各种数字反求工程中的问题 4 引。 基于数字曲面的求解理论与方法是共轭曲面的数字化方法的核心内容【4 5 1 。 它的基本思想是从数字化离散曲面出发，应用数值分析手段将数字曲面分别沿 不同的方向“、v 构造一个整体上具有二阶连续导数的三次样条插值函数，将具 有双几何参数曲面上一点几何性质的讨论退化为关于具有单几何参数的两条曲 线交点几何性质的研究，并按照曲面运动过程中的共轭关系和条件，建立求极 小值的数学规划模型，应用优化算法，即可求到与数字母曲面。相共轭的数字 曲面2 。 2 4 连续求解共轭运动 2 4 1 数字曲面上一维三次样条函数构造 若已知一数字曲面，由节点数字分别构造“、1 ，方向一维三次样条函数。现 以v 方向为例构造三次样条函数。 设沿v 方向在区间【a ，b 上取n + 1 个节点a = v o q l 锄 v n i v n = b ，给定这 些点上的函数值，( v i ) = ，i ( f _ 0 ，1 ，2 ，n ) 。现构造一个函数双v ) ，使得满足下 列条件4 9 ： ( 1 ) 双1 ，i ) = ，i ，i = 0 ，1 ，2 ，n ； ( 2 ) 在每个小区间【v i ，v i + l 】上是一个三次多项式； ( 3 ) 蹄) 在x e f 日- l a ，b 上二阶连续可微，即即) e c 2 a ，b ，则称双1 ，) 为r ( v ) 的三次样条插值函数。 假设在区间 a ，b 】上三次样条函数双v ) 存在，并用m i 来表示砂在点v i 处 的导数值。即s ( v i ) = m i = g i v ( i = 0 ，1 ，2 ，n ) ，那么，可利用埃米尔特插值公 第2 章数字化曲面共轭理论 式求得小区间【1 ，i ，v i + 1 上的三次样条函数s ( v ) 的表