（应用数学专业论文）半线性抛物方程全局吸引子的存在性研究.pdf

摘要 本文主要考虑了无界域上半线性抛物方程的解的长时间行为，其次研究了有界域 上非线性双曲方程的整体强解的渐近行为 本课题的研究主要有两大困难，第一是系统解半群的紧性的验证我们知道要得 到全局吸引子存在性，关键是要得到解半群的某种紧性当区域无界时，经典的s o b o l e v 紧嵌入不再成立因此，不能直接运用紧嵌入来得到紧的吸引集的存在性，而目前一 些用来验证半群的紧性的方法例如渐近光滑等也不能解决这个难题，因为在本系统中 非线性项d i 仅属于日- 1 的第二是由于非线性项，是任意阶指数增长而日1 ( a - ) 与( r n ) 之间，当p 充分大时没有嵌入关系，因此尽管s u n & z h o n g 证得了( l 2 ( 舯) ，汐( r n ) ) 一全 局吸引子的存在性，也不能用这一方法直接得至i u ( l 2 ( r “) ，h 1 ( 耻) ) 一全局吸引子的存在 性，因此，我们提出了一种新的方法，即收缩函数这种方法出自s u n 等人的文章，这 一方法首先利用s u n & z h o n g 的结果，得到有界吸收集在护( r n ) 中和l 2 ( ) 中渐近紧， 再构造日1 ( 肝) 中的收缩函数，得到有界吸收集在日1 ( p ) 中渐近紧，从而得到全局吸 引子的存在性 第二章，我们给出无穷维动力系统全局吸引子的相关理论概念及其存在判别性定 理，并且建立了一种在无界域上验证半群渐近紧性的定理和吸引子存在性的定理作 为具体的应用，在第三章我们研究了无界域上半线性抛物方程的全局吸引子的存在性 问题 第四章，我们研究了阻尼非线性双曲方程的渐近行为对方程的整体强解渐近性 问题进行研究，得到更理想的结论 关键词：全局吸引子；半线性抛物方程；渐近紧；收缩函数；无界域；双曲方程 a bs t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yac o n t r i b u t i o nt ot h es t u d yo fl o n g t i m eb e h a v i o r so fs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o no nu n b o u n d e dd o m a i n s n e x tw ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro fg l o b a ls t r o n gs o l u t i o nf o rac l a s so fn o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o n so n b o u n d e dd o m a i n s a sf o ro u rp r o b l e m ，w es h a l lc o n f r o n tt w od i f f i c u l t i e sw h e nc o n s i d e r i n gt h ee x - i s t e n c eo f ( l 2 ( 渺) ，h 1 ( r n ) ) 一g l o b a la t t r a c t o r o n ed i f f i c u l t yi st ov e r i f yt h en e c e s s a r y a s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so ft h es e m i g r o u pa s s o c i a t e dw i t ht h es o l u t i o n a sw ek n o w n ， t h ek e yi st og e tt h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so ft h es e m i g r o u pw h e nw ec o n s i d e rt h e e x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r t h ep r o b l e mi sm o r ec h a l l e n g i n gw h e nqi su n b o u n d e d s i n c et h ee m b e d d i n g sa r en ol o n g e rc o m p a c t ，s ot h a tt h ee x i s t e n c eo fc o m p a c ta t t r a c t - i n gs e tm a y n o tb ed i r e c t l ys u f f i c i e n t l a t e l ys o m ea u t h o r sh a v ed e v e l o p e dm e t h o d sf o r v e r i f y i n gt h en e c e s s a r ya s y m p t o t i cc o m p a c t n e s s ，e g a s y m p t o t i cs m o o t h n e s s ，w h i c h i sn ol o n g e ra v a i l a b l ef o ru ss i n c et h ee x t e r n a lt e r md 。，。b e l o n g st oh 一t h eo t h e r o n ei st h a tw ec a l l td i r e c t l yu s et h em e t h o d so fs u n & z h o n gp r o v i n gt h ee x i s t e n c eo f ( 驴( r n ) ，l p ( r n ) ) 一g l o b a la t t r a c t o rt oo b t a i no u rr e s u l t ，b e c a u s et h en o n l i n e a rf u n c t i o n ，h a sn oa n yr e s t r i c t i o na n dt h e r ea r en on e s t e dr e l a t i o nb e t w e e nh 1 ( r 竹) a n dt y ( r n ) a spl a r g ee n o u g h s ow ef i n dan e wm e t h o dn a m e dc o n t r a c t i v ef u n c t i o n i tc o m e sf r o m t h ea r t i c l eo fs u n c a o & d u a n h e r ew ef i r s t l yu s et h er e s u l to fs u n & z h o n gt oo b t a i n t h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so fb o u n d e da b s o r b i n gs e ti n 护( r n ) a n dl 2 ( p ) ，t h e nw e c o n s t r u c tt h ec o n t r a c t i v ef u n c t i o no fh 1 ( r n ) a n dg e tt h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s so f b o u n d e da b s o r b i n gs e ti nh 1 ( r n ) ，t h ee x i s t e n c eo ft h eg l o b a la t t r a c t o rf o l l o w sf r o mi t i m m e d i a t e l y i nc h a p t e r2w ef i r s t l yr e c a us o m eb a s i cc o n c e p t sa n dt h e o r i e sa b o u tt h eg l o b a l a t t r a c t o rf o rt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s a n dp r e s e n tac r i t e r i o nf o r t h ea s y m p t o t i cc o m p a c t n e s su s i n gt h ec o n c e p to ft h ec o n t r a c t i v ef u n c t i o n a sa n a p p l i c a t i o n ，i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h el o n g t i m eb e h a v i o ro ft h es e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o no nu n b o u n d e dd o m a i n sa n dg e tt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r i nc h a p t e r4w es t u d yt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so fg l o b a ls t r o n gs o l u t i o nf o r n o n l i n e a rd a m p i n gh y p e r b o l i ce q u a t i o na n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e s u l t k e yw o r d s ：g l o b a la t t r a c t o r s ；s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ；a s y m p t o t i cc o m p a c t n e s s ； c o n t r a c t i v ef u n c t i o n ；u n b o u n d e dd o m a i n s ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 作者签名：3 够 日期：叫年j 月汐日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密1 1 ，在年解密后试用本授权书 2 、不保密c , 1 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 必 讳采钦 j 日期：叫年f 月，? e t 日期：徊7 年r 月，寥日 c h a p t e r1 综述 近三十年来、受物理、力学、数学、生命科学、大气科学等自然科学和 经济学的共同影向，人们掀起了对无穷维动力系统的长时间行为的研究高潮， 涌现了大量的研究成果，见文献【2 ，4 ，6 ，7 ，1 4 ，2 0 ，2 6 ，2 7 ，4 0 等这些成果主 要基于有界域上发展型方程的长期行为的研究，见文献【2 0 ，1 6 ，1 4 ，6 ，2 】近 年来，v i s h i k & b a b i n 【3 0 】无界域上吸引子存在性的研究成果，激发了人们对 于无界域上发展方程动力学长时间行为的研究兴趣，并且取得许多深刻的成 果，见文献f 1 ，1 1 ，1 2 ，1 5 ，1 9 ，2 1 ，2 3 ，2 8 ，2 9 ，3 0 等但仍有许多问题有待进一步 研究下面我们首先介绍一下自治系统全局吸引子的存在性问题 我们知道，一个自治的发展型方程总可以写成如下的抽象形式 j 赘= a ( u )、 1 砒| t = o 础( z ) u j 由( 1 1 ) 的解可以定义一族非线性( 或线性) 算子_ s ( t ) ) t o ，其中算子s ( t ) 映 初值u o ( x ) j ! l j c a u c h y 问题( 1 1 ) 在t 时刻的解，即u ( z ，t ) = s ( t ) u o ( z ) 如果我 们假定初值u o ( z ) 属于某- - b a n a c h ( 或度量) 空间e ，且对e 中的每点u o ( z ) ， c a u c h y 问题( 1 1 ) 都存在唯一的解u ( z ，t ) ，并对任意的t 0 ，乱( z ，t ) 都在e 中， 则对任意的0 ，算子s ( t ) ：e e ，且 s ( ) ) 。 o 满足半群性质： s ( t + 7 ) = s ( t ) s ( 7 - ) ，v t ，丁0 s ( o ) = i d ( e 恒等算子) ( 1 2 ) ( 1 3 ) c h a p t e r1 综述 另一方面，e 中的集合称为( 1 1 ) 的( 或等价的 s ( ) ) t 2 0 ) 的全局吸引子，如 果满足： ( 1 ) 在e 中紧； ( 2 ) 是不变的，即对任意的t 0 ，有s ( ) = ； ( 3 ) 吸收e 中的任意有界集，即对于e 中的任何有界集b ，有 d i s t ( s ( t ) b ，) _ 0 ，当t 0 0 时 其中 抛( s ( 。) b , a g ) 一u p 垅s 。( 刚y ，) 。；u 伊p i n fi i s ( 。) 可- x l l y e b 曰 薯h o c 为h a u s d o r f f 半距离 由定义我们不难发现，全局吸引子包含系统( 1 1 ) 的解的所有可能的极 限状态而无穷维动力系统所关心的主要问题是非线性发展型偏微分方程整 体解的存在性、正则性、稳定性、全局吸引子的存在性、以及全局吸引子的 分析性质和几何拓扑性质，从动力学的角度来说，它所关心的问题更加注重于 系统解的极限状态，另一方面研究限制在全局吸引子上的动力系统将能了 解很多重要的反映整个系统的一些基本的问题，因此证明全局吸引子的存在 性是研究无穷维动力系统的一个基本而重要的问题 本文研究下列方程的初边值问题解的长时间渐近行为： 半线性反应扩散方程( s e m i l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ) ： u s + 啦a u + 纵f ( u 吐) 2 咖) 叭r + ( 1 4 ) 其t o = o o x i 是广义导数，夕l 2 ( r “) ，a 0 是常数，是非线性项 非线性阻尼双曲方程n o n l i n e a rd a m p e dh y p e r b o l i ce q u a t i o n ) ： 怪utt-亏a兰u-赢au,-au。tt， ，( “) ，q r + ， u 1 ( z ) ， i nq ( 1 5 ) 1 1 研究背景与研究现状 c h a p t e r1 其中缸为未知函数表示非线性弹性质点的应变位移，为已知函数表示非线 性杆体所受的力，qcr n 为适当的光滑区域 1 1研究背景与研究现状 我们知道，耗散系统的全局吸引子的存在性依赖于相关半群的某种紧性， 而在有界域上，可利用渐近先验估计的方法与s o b o l e v 紧嵌入的方法来得到解 半群的紧性而当区域无界时，s o b o l e v 紧嵌入的方法很难运用了为了得 到解半群的紧性，一些作者利用逼近的思想，即，利用截断函数技巧( c u t o f f f u n c t i o n ) ，用有界域来逼近无界域：在有界域上用s o b o l e v 紧嵌入或能量方法， 而在所余的无界域证明解的范数可以一致小，见w a n g 【2 1 ，1 3 ，f a u 【2 9 】而有些 作者用加权函数空间作为相空间和局部一致空间作为相空间 1 9 9 0 年，v i s h i k & b a b i n 【3 0 】得到了无界域上下列反应扩散方程全局吸引 子的存在性： 饥一u a u + f ( u ) + 入札= g( 1 6 ) 作者用了加权s o b o l e v 空间作为相空间，他们得到了当7 0 ，g 为单调下 降很快的函数，此方程有强拓扑意义下的全局吸引子，且吸引子与不同的7 有 关 2 0 0 1 年，p a t a 【1 1 】用非紧性测度得到了方程( 1 6 ) 中，当，( z ，u ) = ，( u ) + a u 时，全局吸引子的存在性 2 0 0 4 年【1 】中的作者用局部一致空间得到了方程( 1 6 ) 的全局吸引子的存 在性 2 0 0 6 年，y a n g 2 8 1 在她的博士论文中用了局部一致空间作为相空间得到 了强耗散方程，非经典扩散方程与半线性双曲方程的全局吸引子存在性 用加权空间，由于初值与外力项必须属于相应选取的相空间，这样就有 很大的局限性因此，1 9 9 9 年，w a n g 【2 1 】用逼近的思想，即”t a i le s t i m a t i o n m e t h o d s ”得到了方程( 1 6 ) l 2 ( r ”) 空间中上述方程的全局吸引子 3 c h a p t e r1 1 2 吸引子存在性的判定定理 2 0 0 5 年，s u n & z h o n g 【1 9 】证得了系统( 1 4 ) 的全局吸引子的存在性，且系 统( 1 4 ) 中的厂c 1 ( r ) 满足如下条件： f ( o ) = 0 ，( ，( s 1 ) 一，( s 2 ) ) ( s 1 8 2 ) 一p o l s l s 2 1 2 ， 对任给的s 1 ，s 2 r 成立，p o 为给定的正数 q 2 i s i p 一如h 2 ，( s ) s 口1 i s | p + 尼lj s l 2 ， 2 o 在x 中有有界的点吸收集； ( i i ) s ( t ) ) 垃。在x 上渐近紧 则 s ( t ) ) t 2 0 在x 中存在全局吸引子 上述紧性的验证常用至 j s o b o l e v 紧嵌入定理，而在一些没有紧嵌入的情况 下，人们提出了一种现在被人们称为”j m b a l l 的方法”，即用弱连续方法或者 能量方法 u 极限紧：即比 0 ，对相空间x 中的任何有界集b ，都存在依赖域b 和e 的时间t = t ( e ，b ) ，使得当t t 时，有 k ( us ( t ) b ) 0 1 a 可被x 中有限个半径不大于5 的集合覆盖) 与之相对应的全局吸引子的存在性定理 5 c h a p t e r1 1 3 紧性的验证、半群的连续性 定理1 2 2 ( m a ，w a n g z h o n g 【l o ) 设 s ( t ) ) t o 是完备度量空间x 上 的连续半群，并且满足 ( i ) s ( ) ) t 0 在x 中有有界的点吸收集； ( i i ) s ( t ) ) o 在x 上u 一极限紧 则 s ( t ) ) 。o 在x 中存在全局吸引子 1 3紧性的验证、半群的连续性 上述所有的全局吸引子存在性定理中，作为相空间的函数空间x 既可以是 定义在有界区域上的，也可以是定义在无界区域上当相空间x 是定义在有 界区域上的函数空间时，运用不同的有效的方法，人们对许多具体的动力系统 都得到了半群的某种紧性，对解的长时间行为也有了很好的描述见 2 ，6 ，1 4 ， 1 6 ，2 0 1 等然而，当区域无界时，解的长时间会非常复杂，而且区域无界时会 给我们验证半群的紧性带来很大的困难 终所周知，在通常的s o b o l e v 空间中，由于区域无界，经典的s o b o l e v 紧嵌 入不再成立，如当2 p 0t s 为b 的u 极限集，其中，页表示a 在x 中的闭包 根据u 一极限集的定义，我们有如下的等价刻划： x o u ( b ) 仁号存在x n b ，t 。- - - - - - 90 0 ， 使得当 礼- - - - - ) c o 时s ( k ) z 。一x o 定义2 1 5 完备度量空间x 上的半群 s ( ) ) t o 称为u 一极限紧的，如果对 任意的 0 和x 中的任何有界集b ，存在t s 0 ，使得 k ( u s ( t ) j e 7 ) t s 其中k ( a ) 表示a 的非紧性测度 1 0 2 2 一些有用的结论 c h a p t e r2 下面我们给出双空间( b i - 8 p a c e ) 全局吸引子的概念，这些概念可在b a b i n v i s h i k 【2 】中找到 定义2 1 6 设( s ( t ) ) o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 集合cx ，如果它满足在x 中不变，闭，在z 中紧，并且按照z 的拓扑吸 引x 中的有界集，则称是( s ( ) ) 。 o 的( x ，z ) 一全局吸引子 定义2 1 7 设 s ( t ) ) t o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 集合b ocz 称为( x ，z ) 一有界吸收集，如果满足在b o 满足对x 中的任何集b ， 存在t = t ( b ) ，使得s ( t ) bc1 3 0 对任意的t t 成立 定义2 1 8 设 s ( ) ) 。 o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， s ( 亡) 】- t o 称为( x ，z ) 一渐近紧，如果对x 中任意有界序列称为 z n ) 黯1cx 以 及t n 0 ，t n o 。，【s ( t 。) z 。) 巽1 在z 中有收敛子列 在讨论( x ，z ) 全局吸引子，自然的就要讨论( x ，z ) 连续性，即 定义2 1 9 设 s ( 亡) ) o 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， ，a t 在x 上是非空 紧集此外，如果x 是b a n a c h 空间，则下述结论成立： ( 4 ) 当丽赳的闭凸专( h u l l ) ，有k ( 丽) = 圪( a ) ( 5 ) 对任意的a ，bcx ，则k ( a + b ) k ( a ) + k ( 口) ( 6 ) 如x 有如下分解：x = x l0x 2 且d i mx i 0 和任意有界子集bcp ( r n ) ， 存在正常数t = t ( u ) 和m = m ( e ) 使得对任意的u o b 和t t ，有 m ( r “( i s ( t ) u o i m ) ) c e 其中c 与b ，t 和e 无关，m ( a ) 表示a 的测度 证明由假设【s ( t ) ) c o 在p ( 时) 存在有界吸收集，可知存在 0 以及 只依赖b 在p ( r n ) 中的有界的时刻t ，使得对任意的u o b 以及t t ，有 从而，当t t 时，有 s ( t ) u o 峻m o 1 2 2 2 一些有用的结论 法 m o i u l p i u l p u f = 朋t m ( q ( i u i 尬) ) ，q ，q ( i u i 如)j n “t 1 2 f 1 ) 因此，当m ( 华) 1 q ，有m ( q ( 1 乱l m ) ) 口 在下面的引理中，我们给出证明妒( r 竹) 有界集b 有有限的e 一网的验证方 引理2 1 1 3 bcl 2 ( r “) n 驴( r n ) 2 ) 在( r n ) 和妒( r n ) 中有界若 满足对任意e 0 ，存在正常数m ( = m ( ) ) ，使得 ( i ) 在l 2 ( ) 中，b 有有限( 3 m ) ( 2 一n ) 1 2 ( 2 ) p 2 - 网； ( i i ) 对任意u b ，( 厶。( i u l 2 m ) l u l p ) ； 0 ，从( i ) 可知存在u 1 ，u k b ，使得对每个札b ， 存在地( 1 i 尼) 满足 i 仳一u t 睦 ( 3 m ) 2 呻( 丢) p ( 2 1 ) 则显然可得到 i u u 郴= 上。i 札一u t i p 上u u 抡。mj ) l u u 中+ 上吲，训3 m i ) i u u 妒( 2 2 ) 和 丘。( i u 一毗i s 3 m 1 ) i u u i i ps ( 3 m ) p 一2 丘。( i u 一蛳i 3 m i ) i 仳一1 2 ， ( 2 3 ) 8 其中才表示a 的闭包，其范数为日1 ( r n ) 一范数由动力系统全局吸引子存在 的经典理论可知，具体见文献【2 ，6 ，7 ，1 5 ，17 】，显然我们得到，在日1 ( r n ) 中 紧且吸引l 2 ( ”) 中每一个子集因此，我们只须证的不变性，即， s ( t ) d = 对任给的亡0 事实上，从设想 s ( t ) ) t 0 有( 三2 ( r “) ，l 2 ( r ”) ) 一全局吸引子，记为留，得到历是 不变的于是我们证= 历从假设( i ) 和的定义，显然有历c 下面 过固c 弱 从的定义，可得z 当且仅当存在z n b 1 和t 。一0 0 ，使得当n _ 0 0 有 s ( t 。) z n 骂z ( 2 6 ) 因此，对于任意z o ，根据定义，我们可得到当n o o ，存在z n b 1 和t 。_ o 。，使得s ( t n ) z n 1 1 1 1 跏另外 s ( t n ) z n ) 甚1 在l 2 ( r n ) 中准紧，由( s ( t ) ) 。2 。 有( l 2 ( p ) ，l 2 ( r n ) ) 一全局吸引子，不失一般性，我们假定s ( 如) 。n 业珈留 因此根据定理2 1 1 4 ，我f f 0 - - i 得到z o = y o ，即有z o 留则由z o 的任意性，可 立即得到c 绍口 定义2 1 1 6 x 是b a n a c h 空间，b 是x 的有界子集我们称定义在( xx x ) 上的函数咖( ，) 为b j e i 上收缩函数，如果它满足，对于任意子列_ 【z n ) 箍1c 1 5 c h a p t e r2 2 3 全局吸引子 b ，存在 z 。) 是。c z 。) 器1 使得 1 i mj i m 矽( z n k ，z 川) = 0 - - - * o ol - - - - o o 在bxb 上所有收缩函数的集为匹( j e 7 ) 下面我们给出一个判别定理，这个定理用来证明发展方程所产生的半群的 渐近紧 定理2 1 1 7 设 s ( t ) ) o 是定义在b a n a c h 空间( x ，”恢) 上的半群且 有有界吸收集b ocx 若对于任意给定的实数g 0 存在t = t ( b o ；) 和咖t ( ，) 笆( b o ) ，使得 l i s ( t ) x s ( t ) y l i x e + t ( z ，可) ， v x ，y t 7 0 成立，其中如与t 有关 则 s ( 亡) ) t o 在x 上渐近紧 证明v x 。) 是1c1 3 0 ， k ) cr + ，a t n _ o 。则 z n ) 器1 是x 中的有界 序列，我们只须证 s ( k ) z 。) 墨。 在x 中相对紧下而用对角线法则证明 s ( 。) z 。) 器1 有c a u c h y 子列取m 0 ，且m _ 0 当仇_ 首先，对1 ，根据假设，存在五= 乃( 6 1 ) 和圣1 匹( b o ) 使得 i is ( 乃) z s ( 五) yi l x 9 1 + 西1 ( z ，y ) ，v x ，y b o ( 2 7 ) 由于t n _ 0 0 ，对固定的五，不失一般性，我们设想当几充分大，t 。噩对于这 样的n 有s ( t 。一正) z 。b o 令= s ( t n t i ) x n 从( 2 7 ) 式得到 | ls ( t n ) z n s ( t 。) z ml i = i ls ( 乃) s ( t n 一正) z n s ( t i ) s ( t 仇一n ) z ml l i js ( 五) 蜘一s ( 五) l l l + 圣1 ( 蜘，) ( 2 8 ) 由匹( b o ) 定义和圣，笆( b o ) 知 玑) 是。有子列 删) 芒。满足下列条件 l i mj i m 垂。( 可裟，嘏? ) 昙 ( 2 9 ) k - - * o ot - - - o oz 1 6 2 3 全局吸引子 c h a p t e r2 类似于 9 】 我们有 l i r a 。k - - * s u p p i is ( t 默p ) z 一s ( t 聊) z 聊 l i m 詹。s u p p l i r as u p z 。| | s ( t n l k ) + p ) z 襞0 一s ( t ) z 2 + l i ms u p k - - * o 。l i ms u p f 。i is ( t 珊) z 观一s l 、t 。( z ) ，、x ，( 1 ) 2 e 1 + l i r a k - - o os u p p l i r as u p f 。空l ( 啬p ，嘏) + l i ms u p k - - * o ol i r as u p f 。o o 西1 ( 叠0 ，秒 ( 2 1 0 ) 结合( 2 8 ) 一( 2 9 ) ，则有 l i mp s u p i is ( ) z 一s ( t 罂) z 黝i i 4 e - 因此存在蜀使得对于k ，l k 1 有 南l 。i m 。p s u p i is ( t 1 1 2 ) z 婴一s ( t 2 ) z i i 5 e -( 2 1 2 ) 用数学归纳法，对于每一m 1 ，有 s ( t 船) z 船) 是。的子列 s ( t 船+ 1 ) z 船+ 1 ) 是l 和某一k 聃1 使得v k ，l k n + 1 有 s ( t 嚣+ 1 ) z 器+ 1 一s ( t 嚣+ 1 ) z 嚣+ 1 i l 5 e m + 1 现在考虑 s ( t 嬲) z 瓣) 是。的对角线的子列由于对每一m n s ( t 嚣) z 嚣) 篷1 是_ s ( 蜜) z 船) 罂1 的子列，则对v 七，2 m & x m ，) s ( 嬲) z 嬲一s ( t 辫) z 辫1 1 0 是常数并且，c 1 ( r ) 满 足如下条件： s ( 0 ) = 0 ，7 ( 5 ) 一肋，( 3 3 ) 对于任意的8 r ，都成立，肋是正常数 q 2 l s l p 一七2 i s l 2 ，( s ) s o t l i s i p + k l l s l 2 ， 2 0 ，都存在唯一的解u 满足： u l ( o ，r ；l 2 ( r ”) ) nl 2 ( o ，丁；日1 ( r n ) ) n 上尸( o ，t ；护( p ) ) 并且，映射