（机械电子工程专业论文）基于高阶统计量的机械故障分析识别方法研究.pdf

郑州大学工学硕七学位论文 摘要 故障信号的特征提取是设备状态监测和故障诊断过程中重要的环节。从 某种意义上说，特征提取是当前设备故障诊断研究中的“瓶颈”问题。在信 号检测环节不可避免引入的干扰噪声，则是影响故障信号特征正确识别的重 要因素。为了解决特征提取这一关键问题，本文重点研究了基于高阶统计量 的故障信号降嗓与特征提取技术。 正确认识设备状态监测和故障诊断中噪声信号来源及分类是抑制噪声影 响的前提。因此本文探讨了故障特征信号中的机械噪声来源和电磁噪声来 源。研究了设备状态监测和故障诊断中噪声信号的概率分布情况，指出一般 情况下噪声信号都是高斯分布的色噪声。给出了噪声正态性的两种检验方 法一一图方法和j a r q u e b e r a 检验法。并对实测噪声的统计分布情况和功率 谱密度形式进行了验证，进一步说明了干扰噪声的高斯分布特征。 为了解决高斯噪声背景下的故障信号中的特征提取问题，本文提出了时 间平均三阶累积量的概念。从理论上系统地阐述了时间平均三阶累积量的定 义、性质以及计算方法和工程应用前景。研究表明：谐波过程的时间平均三 阶累积量为非零值，其一维切片依然为谐波过程。更为难能可贵的是，理论 上噪声方差越大，利用时间平均三阶累积量维切片检测到的谐波成分就越 显著。这为我们在深度高斯噪声背景中识别设备谐波振动信号提供了有力的 工具。工程实例和仿真结果很好地验证了这一结论。 针对非高斯色噪声背景下故障信号的特征提取问题，本文研究了基于参 数化方法的非高斯有色噪声中的谐波恢复。通过h i l b e r t 变换将原观测值变 换成复数形式，定义一种特殊的复数过程四阶累积量，使得按该定义计算的 谐波信号四阶累积量为零( 不管是否含有二次相位耦合) ，然后由观测值估计 噪声模型，从而对含非高斯有色噪声观测值预滤波，最终实现谐波的恢复。 振动信号的双谱能够比功率谱提供更多的故障信息。转子系统中转子不 对中、转子裂纹、转子弯曲等故障的一个共同之处是振动信号中具有明显的 二次谐波。本文针对这类故障的高阶谱特征进行了研究。试验结果表明，双 潜对这类故障更为灵敏和准确。具有一定的工程应用价值。 本文还研究了v c + + 与m a t l a b 的接口技术。着重探讨了如何利用 m a t l a b 编译器来实现在v c 中调用m a t l a b 中m 文件功能。并在此基础 上用混合编程的方法完成了本文研究的算法实现和系统软件设计。 关键词故障诊断信号处理高阶统计量噪声谐波恢复 郑州大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t a sw ek n o w ，f e a t u r ee x t r a c t i o ni st h em o s ti m p o r t a n ta n dd i f f i c u l tt o p i ci n t h ef i e l do fm a c h i n e r yc o n d i t i o nm o n i t o r i n ga n dm e c h a n i c a lf a u l td i a g n o s i s t o s o m ee x t e n t ，f e a t u r ee x t r a c t i o ni sap u z z l i n gp r o b l e mi nt h ed e v e l o p m e n to f f a u l t d i a g n o s i st e c h n i q u e f u r t h e r m o r e ，t h ei n t e r f e r e n c en o i s eb r o u g h tf r o m m o n i t o r i n gp r o c e s sh a st h ek e yf a c t o rt h a tt oa f f e c tt h ea c c u r a c yo ff e a t u r e i d e n t i f i c a t i o nf r o mf a u l ts i g n a l i no r d e rt or e d u c et h en o i s ea n de x t r a c tt h e f e a t u r ef r o mf a u l ts i g n a le f f i c i e n t l y ，t h er e s e a r c h o fn o i s er e d u c t i o na n dt h e m e t h o do ff e a t u r ee x t r a c t i o ni nf a u l ts i g n a lb a s e do nh i g ho r d e rs t a t i s t i c st h e o r y a r ep r e s e n t e do ni nt h i st h e s i s t ol e a r nt h en o i s es o u r c ea n ds o r t si st h en e c e s s a r yp r e r e q u i s i t et oc o r r e c t r e a l i z a t i o n t h es o u r c eo fm e c h a n i c a la n de l e c t r o m a g n e t i cn o i s ei nm a c h i n e r y c o n d i t i o nm o n i t o r i n gs i g n a l si sd i s c u s s e d r a n d o mn o i s ei sc l a s s i f i e db yi t s s t a t i s t i c a lc h a r a c t e r sa n dp o w e rs p e c t r a ld e n s i t ys h a p e s t h ed i s t r i b u t i o no f n o i s ei nt h es i g n a l so fm a c h i n e r yc o n d i t i o nm o n i t o r i n ga n dm e c h a n i c a lf a u l t d i a g n o s i si si n v e s t i g a t e d a l m o s ta l lt h en o i s es i g n a li sg a u s s i a nc o l o r e dn o i s e t w os o r t so fn o r m a l i t yt e s t s ( g r a p h i c a lm e t h o da n dj a r q u e - b e r at e s t ) a r e i n t r o d u c e d f o rt h e p u r p o s eo ff e a t u r ee x t r a c t i o ni nv i b r a t i o ns i g n a l sw i t h g a u s s i a n c o l o r e dn o i s e ，t h ec o n c e p t i o no ft i m ea v e r a g e dt h r e e o r d e rc u m u l a n ta n di t s t h e o r e t i c a li l l u m i n a t i o na r ep r e s e n t e d t h et h e o r e t i c a ld e r i v a t i o ni n d i c a t e st h a t t i m ea v e r a g e dt h r e e o r d e rc u m u l a n to fs i g n a l s ，w h i c ha r ef r o mr a n d o mp h a s e h a r m o n i cp r o c e s s e s ，i sn o n z e r oa n di t so n e d i m e n s i o ns l i c ea l s oh a sah a r m o n i c p r o c e s s t h e o r e t i c a l l y ，t h eb i g g e rv a r i a n c eo fn o i s ei s ，t h es t r o n g e rh a r m o n i c c o m p o n e n ti d e n t i f i e db yt h es l i c ei s ap a r a m e t r i ch a r m o n i cr e t r i e v a lm e t h o di ng a u s s i a nc o l o r e dn o i s ei s p r e s e n t e d h i l b e r tt r a n s f o r mi s u s e dt ot r a n s f o r mt h er e a lm e a s u r i n gd a t ai n t o t h e i rc o m p l e xc o u n t e r p a r t ，t h e nak i n do fe l a b o r a t e l yd e f i n e df o u r t h o r d e r c u m u l a n to ft h e s ec o m p l e xm e a s u r i n gd a t ai su s e dt oi d e n t i f yt h ea rp a r a m e t e r s o ft h en o n g a u s s i a nn o i s e a f t e rp r e f i l t e r i n gt h en o i s yd a t aw i t ht h ei d e n t i f i e d a rp o l y n o m i a l ，h a r m o n i c si sr e t r i e v e ds u c c e s s f u l l y m o r ei n f o r m a t i o no ff a u l tc a nb eg o t t e nf r o mb i s p e c t r u mo fv i b r a t i o n s i g n a l st h a ni t sp o w e rs p e c t r a ld e n s i t y a tt h eo t h e rh a n d ，t h e r ea r eo b v i o u s i i 郑州大学工学硕士学位论文 s e c o n dh a r m o n i c si ns o m er o t o rf a u l tv i b r a t i o ns i g n a l s c o n s e q u e n t l y ，t h e b i s p e c t r a lf e a t u r eo ft h ek i n d o ff a u l ti sd i s c u s s e d e x p e r i m e n t a t i o ni n d i c a t e s t h a tb i s p e c t r u mi sm o r es e n s i t i v et ot h e s ef a u l t st h a np o w e rs p e c t r u ma n dc a nb e u s e di ne n g i n e e r i n g k e y w o r d s f a u l td i a g n o s i s s i g n a lp r o c e s s i n gh i g h e ro r d e rs t a t i s t i c s g a u s s i a nn o i s eh a r m o n i cr e t r i e v a l i n 郑重声明 v7 8 2 5 6 2 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切 法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者： 驴，年 ，矿 日 ，y 孝f 厂协p 月 可厂 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题概述 现代工业及科学技术的发展速度大大加快，各种机电设备的结构越来越 复杂，功能越来越完善，自动化程度也越来越高，不仅同一设备的不同部分 之间互相联系，紧密耦合，而且不同设备之间也存在着紧密的关系，在生产 过程中形成一个统一的整体。大型机电设备是构成现代连续工业生产过程的 关键物理单元，保障其长期满负荷的安全运行是企业生产管理和提高生产率 的关键。现代设备诊断技术是有关设备运行、维护的一项新型技术，它综合 运了机械学、动力学、信息论、控制论、人工智能及计算机技术等学科的理 论和技术，其根本目的是实现设备运行的状态监测与故障的早期诊断与预 报，“防患于未然”，避免灾难性事故发生，从而提高设备利用率，缩短停机 维修时间，使设备维修制度从事后维修、计划维修逐步向预测维修方向发 展，这对于提高经济效益和社会效益，促进国民经济的发展具有十分重要的 意义【射。 机械设备状态监测与故障诊断是一项与现代化大生产密切相关的技术， 近三十年来在航空、石化、电力、冶金、钢铁等国民经济重要部门中受到了 广泛的重视，目前己基本形成了一门既有基础理论，又有多方面实际应用背 景的独立学科。随着很多前沿学科的最新成果被不断引入到机械监测与诊断 领域，使得状态监测与故障诊断从方法到手段都有了很大的发展，完全改变 了过去那种凭直觉的耳听、眼看、手摸的落后状态，尤其是计算机技术突飞 猛进的发展，更使得诊断技术体现出了前所未有的应用价值和可推广性，在 工厂实际应用中取得了巨大的经济效益，有效地防止了重大事故的发生，保 障了设备和人身的安全，大大提高了产品质量和劳动生产率【1 0 】。 机械设备状态监测和故障诊断技术起源于6 0 年代，在8 0 年代中后期出 现了蓬勃的发展。众所周知，机械设备状态监测和故障诊断技术是一个融机 械、电子、化工、力学等多学科知识于一身的交叉学科。诊断技术的三个核 心步骤是信号采集、特征提取和模式识别，其中特征提取又是核心中的核 心。这就使得诊断技术和信号分析与处理技术，特别是数字信号分析与处理 技术的结合更加紧密，两者相辅相成，共同推进彼此的发展l l “。 1 2 设备状态监测与诊断技术的发展现状 从科学发展的大环境来看，设备诊断技术的产生也是各学科交叉发展的 第1 章绪论 必然。四十年代以来，人类的生产方式f - j 益向大工业方向发展，在这种社会 大背景下，系统论，混沌理论等纷纷诞生，尤其是控制理论出现了重大突 破，现了一系列现代控制的理论与方法。生产系统的庞大化和复杂化同时 也相应地暴露出一些问题，其中一个非常重要的问题就是如何及时发现机器 运行中的故障，这就要求有一门相应的诊断技术。同一时期，电子技术，尤 其是计算机技术的发展，为设备诊断技术提供了必要的技术基础。六十年 代，快速傅里叶变换算法的出现，使得诊断技术的发展产生了大的飞跃。近 年来，传感器技术的发展，各种崭新的信号处理技术的出现，人工智能技术 如专家系统、神经网络等也有了新的发展，这些新兴技术都推动了诊断技术 的前进，使得设备诊断技术日趋完善。 就设备故障诊断技术这一学科来说，一方面需要研究设备故障机理，另 一方面在于研究故障识别与预报的方法。故障诊断过程由于其复杂性，在多 数情况下仅仅采用单一的方法尚无法解决问题，因此，必须从各种学科中广 泛探求可用于故障诊断的方法和技术，这就使得故障诊断技术呈现多学科交 叉这一鲜明特点。目前，该学科的基础主要包括：数学、物理、化学、力 学、传感器与测试技术、电子学、信息与信号处理、计算机科学与技术，以 及机械零件、转子动力学、摩擦学等，甚至包括人工智能和专家系统等边缘 学科 6 1o , 1 2 1 。尽管广泛的应用领域和前景，以及不同学科的交叉和渗透，使 得故障诊断技术发展很快，但它还远远算不上成熟，目i i 仃它仍是一门正在日 益完善中的学科。 从发展的趋势看，机械设备状态监测与故障诊断技术经历了这样一个发 展过程，早期主要是依靠人的感觉( 听觉、触觉) 来判断设备运行状态的正常 与否及故障定位，利用物理和化学的原理和手段，通过伴随故障出现的各种 现象，直接判断故障的发生和发展。随着传感器技术和信号分析技术的进 步，逐步走向依靠传统的信号分析手段来完成监测与诊断的阶段。这一技术 发展到今天，已经突破了传统的时域、频域以及幅值域分析方法，并且在大 量吸收相关学科的先进理论与方法的基础上，开始依靠现代信号处理以及先 进的知识发现技术( 包括：联合时频域分析，小波分析、模糊逻辑、粗糙集理 论、神经网络、混沌与分形等非平稳与非线性数据分析方法) 来提取信号的 特征，目前在对设备故障特征提取方法进行深入研究的同时，也正逐步进入 智能化系统的研究阶段【4 ，6j 。 诊断技术发展几十年来，己经产生了巨大的经济效益，成为各国研究的 一个热点。美国的许多权威机构，如美国机械工程师学会 a s m e 】，美国 宇航局( n a s a ) 等都参与了这一领域的研究，投入了大量的资金，不少高校 弟1 章绪论 和企业也都设立了诊断技术研究中心。美国的一些知名公司，如b e n t l v h p , s c i e n t i f i c a t l a n t a ，e n t e k i r d 等，都有成套的状态监测与设备诊断产品。 他们的产品在许多领域如宇航、军事、化工等有着广泛的应用。其他一些国 家，诊断技术的发展也各有特色。如英国在摩擦诊断方面，丹麦b & k 公司 在振声诊断方面，日本在诊断技术的应用方而等各具优势 1 0 ，13 ，1 “。 我国的诊断技术的发展始于七十年代末，虽起步较晚，但发展迅速，经 过一二十多年的发展，己基本上跟上了国外的步伐，许多研究成果己经超过 了发达国家。目前我国在一些特定设备的诊断研究方而很有特色，也开发了 一批自己的监测产品。如西安交通大学、东南大学、哈尔滨工业大学、华中 科技大学、郑州大学等都有相关的监测诊断系统问世。并在不同行业发挥着 积极的作用。但就监测系统的商品化方面和发达国家相比还有相当的差距。 纵观我国的设备诊断技术与应用的发展，主要集中于石化，电力，冶金等行 业，科研工作主要集中在高等院校进行。目前全国性的设备诊断会议及相关 的国际会议几乎每年都有举行，对推动诊断技术的发展和学术交流起到了积 极的作用。 1 3 故障诊断领域的信号处理技术 1 3 1 设备故障信号的传统处理方法 机械诊断中应用的传统信号处理方法可以粗略地分为三大类：幅域分 析、时域分析和频域分析。幅域分析主要包括信号的均值、方差、均方根值 ( r m s ) 、峰一峰值、直方图( 幅值概率分布) 以及各种无量纲指标( 波形指 标、脉冲指标、裕度指标、偏度指标与峭度指标等等) 。时域分析主要包括 时基波形分析、自相关分析、互相关分析等。频域分析则以傅里叶分析为基 础，包括功率谱及其各种派生方法，如细化功率谱、二次f f t 分析、倒频谱 分析等等。时域分析与功率谱分析对机械设备状态的监测与诊断发挥了重要 的作用，至今仍是监测系统中必不可少的基本方法，但传统的信号处理方法 由于其自身的局限性，它们把信号视为线性的、平稳的和服从高斯分布的。 传统分析方法由于难以提取信号中足够的反映非线性、非平稳性和非高斯性 的信息，越来越无法适应现代工业生产对诊断技术提出的要求，为此，各种 新的信号处理技术应运而生【4 “”】。 1 3 2 设备故障信号的现代处理方法 为了从根本上解决机械故障渗断中特征提取这个关键问题，人们主要足 借助于现代信号处理理论，从对信号的深度加工中获取更多的信息。研究非 第j 苹绪论 平稳、非高斯信号处理理论已成为现代信号处理理论研究热点的一个方面， 大量成果不断涌现【1 6 - 18 。非平稳信号处理的主要方法是时频分析，该方法 在时间频率域上对信号进行分析，而不是仅在时域或频域上。所谓非平稳信 号是指信号的统计特性，包括时域统计特性和频域统计特性，是随着时间的 变化而变化的。时频分析可以分成线性和非线性两种形式，线性时频分析主 要包括小波变换、短时f o u r i e r 变换、g a b o r 展开等：而非线性时频分析应 用最广泛的是二次双线性时频分布，包括c o h e n 分布、w i g n e r v i l l e 分 布、谱图、尺度图等。非高斯信号处理的主要数学工具是高阶统计量 ( h i g h e ro r d e rs t a t i s t i c s ) 及相应的高阶谱，包括高阶矩、高阶累积量、 双潜、三谱等19 1 。 1 4 故障特征信号的消噪技术 在机械故障诊断的发展过程中，人们发现最重要、最关键也是最困难的 问题之一就是故障特征信号的特征提取。从某种意义上说，特征提取可以说 是当前机械故障诊断研究中的瓶颈问题，它直接关系到故障诊断的准确性和 故障早期预报的可靠性。其中噪声的干扰是影响故障信号特征正确识别的重 要因素。为了解决特征提取这个关键问题，人们提出了很多方法，诸如状态 空间分析、功率谱分析、三谱、时域平均、自适应消噪、解调分析、时间序 列分析等。这些方法在故障诊断领域都得到了广泛的应用，实践也证明了它 们的有效性，但是它们又存在不同程度的局限性。只有在特征信号与征兆之 间存在定量的函数关系时，才可以应用状态空间分析法，因此其应用受到很 大的限制：而基于统计分析的功率谱分析、三谱、时域平均、自适应消噪、 解凋分析、时间序列分析等都是建立在信号是高斯的、平稳的假设基础上 的，当应用在齿轮及往复式发动机时就存在困难，因为这些机械设备的振动 信号往往是非高斯、非平稳信号，尤其当出现故障时表现得更加突出 【l5 , 19 , 2 0 】。 在工程应用中，许多机器本身就是在非平稳状态下工作的，它们的振 动信号往往也表现为非平稳，出现故障时，非平稳性表现的就更为明显，而 且这些信号的信噪比往往比较低，如齿轮箱、滚动轴承等。同时，由于各级 信号通道通频带宽都是有限的，噪声的频谱总是被限定在一定范围之内，表 现为有色噪声。因此，研究机械振动信号中有色噪声的抑制方法就有着很重 要的理论和实践意义。 高阶累积量对有色噪声有着非常好的抗干扰性能。从理论上蜕，二阶累 积量对于有色噪声是敏感的，它不能提供有效的处理手段分离开原始信号与 第1 章绪论 景卜扰：高阶累积量可以自动抑制高斯有色噪声对与之相对独立的非高斯 信号的影响，而且对于非歪斜的非高斯有色噪声( 例如均匀分布噪声和任何对 称分布噪声) 也是不敏感的：高阶循环累积量则对于无论是高斯噪声还是非 高斯噪声，它都具有自动免疫性。这就为现场采集到的污染信号的处理提供 了十分强有力的分析工具1 2 1r 2 2 1 。 1 5 基于高阶统计量的故障特征信号处理方法 实际上，高阶统计量的概念早于1 9 5 8 年就已由维纳提出，它能提供比 相关函数和功率谱更丰富的信息，但由于其理论与方法研究上的困难及庞大 的计算量，很长一段时期内并没有引起足够的重视，直到近年来随着理论研 究的深入和计算机技术的飞速发展，高阶统计分析方法才真正获得了广泛的 j 遵用，目前它己经成为现代信号处理的核心内容之一 2 3 - 2 8 1 。高阶统计量有 许多优良的性质，如：可以抑制混入信号的高斯测量噪声，从而提高信噪 比：能有效提取由于偏离高斯分布引起的各种信息：可以提取反映非线性特 祉的高阶相关信息等等。这些优良性质使得它在雷达、声纳、地球物理、生 物医学、机械故障诊断等领域有着良好的应用前景。尤其值得指出的是，高 阶统计分析技术的发展还带动了高阶循环统计量理论的诞生和发展，循环平 稳信号分析技术可以被认为是一种特殊的非平稳信号处理方法，它在许多应 用中也有着潜在的应用价值【2 “。 在信号处理与系统理论等领域使用高阶统计量方法的主要动机可以归结 为以下几点1 2 4 , 2 6 - 2 7 ：1 抑制未知频带的加性白色嗓声及有色噪声的影响；2 辨 识非因果、非最小相位系统或重构非最小相位系统；3 提取由于信号偏离高 斯分布引起的各种有用信息；4 ，检测和表征信号中的非线性以及辨识非线性 系统：5 检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平稳信号。高 阶统计量不仅可以自动抑制高斯有色噪声的影响，而且有时还能够抑制某些 对称分布的非高斯有色噪声的影响；高阶循环统计量则能够自动抑制任何平 稳噪声( 高斯或非高斯) 的影响。 1 6 本文的主要工作 本文的主要工作集中以下几个方面；一是研究了机械振动信号中的噪声 来源及其统计特征，并对随机噪声的正态性检验方法进行了探讨。二是以高 阶统计量为工具，研究了机械振动信号中的谐波恢复方法。重点是利用时间 平均三阶累积量实现深度高斯色噪声背景下机械振动信号谐波恢复，以及基 于参数化方法的非高斯有色噪声中的谐波恢复。三是研究了转子系统的高阶 谱特征。 本文的安排如下： 第二章主要介绍高阶统计量的理论基础，包括高阶矩、高阶累积量、商 阶谱的概念和性质，以及高阶累积量的估算方法等。并从实用的角度上介绍 了高阶统计量特点和在工程上的应用前景。 第三章研究了设备状态监测和故障诊断中噪声信号来源及分类。从统计 特征方面研究了噪声信号的分布情况，并给出了噪声信号的正态性检验方 法。 第四章研究了时间平均三阶累积量及其应甩，从理论上系统的阐述了时 间平均三阶累积量的定义、性质以及计算方法。指出谐波过程的时间平均三 阶累积量为非零值。并利用时间平均三阶累积量在深度高斯噪声背景下识别 出了振动信号中的谐波成分。 第五章研究了基于参数化方法的非高斯有色噪声中的谐波恢复。通过 h i l b e r t 变换将原观测值变换成复数形式，定义一种特殊的复数过程四阶累 积量，使得按这种定义计算的谐波信号四阶累积量为零( 不管是否含有二次 相位耦合) ，然后由观测值估计噪声模型，从而对含非高斯有色噪声观测值 预滤波，最终实现谐波的恢复。 第六章研究了转子系统的高阶谱特征。指出双谱对谐波信号中的二次谐 波成分非常敏感，并且具有较强的抑制噪声能力，可以很好的识别转子不对 中、转子裂纹、转子弯曲、转子不平衡、径向轴承碰磨与损伤等故障。 第七章探讨了v c + + 与m a t l a b 的接口技术。分析了v c + + 与 m a t l a b 几种接口方法的优缺点。着重探讨了如何利用m a t l a b 编译器来 实现在v c 中调用m a t l a b 中m 文件功能。并在此基础上完成了本文方法 的算法实现和系统软件设计。 第八章为全文总结及讨论。 6 第2 章高阶统计量理论简介 第2 章高阶统计量理论简介 2 1 绪言 从上世纪八十年代后期起，高阶统计量的研究和应用得到了迅速的发 展。高阶统计量不仅能自动抑制高斯有色噪声的影响，有时也能抑制非高斯 有色噪声的影响，高阶循环统计量还能自动抑制任何平稳( 高斯与非高斯) 噪 声的影响1 2 “。已有的研究和应用表明，一方面，基于高阶统计量的信号处 理方法可以有效增强信噪比，具有在有色高斯噪声中提取非高斯信号的能 力，可以抽取得到不同于高斯信号的多种信号特征；另一方面，高阶统计量 不仅可以揭示随机过程的幅值信息，而且还能揭示随机过程的相位信息，因 而高阶统计量具有重构非最小相位系统的能力，可以分析和处理循环平稳信 号或系统【2 7 1 。正是由于高阶统计量方法能够有效地辨识非因果、非最小相 位系统和非线性系统，因而，近年来高阶统计理论为系统辨识和信号处理开 辟了一个崭新的研究领域。基于高阶统计量的理论和算法的层出不穷，不仅 推动了高阶统计理论的发展，同时也很好地解决了实际中存在的问题。 2 2 高阶统计量方法的研究现状 人们对高阶统计量的研究实际上已经有几十年的历史，但是，直到上个 世纪8 0 年代后期至9 0 年代，基于高阶统计量方法的研究和应用才得到迅速 发展，有关方面的研究成果大量涌现【2 8 。3 “。近几年，在很多刊物和国际会 议上都可以看到大量有关这方面的研究成果，其应用范围涉及到通信、地球 物理、生物医学、故障诊断、声纳等多个领域。在这方面的研究和应用中， 国外最具代表性的人物是m e n d e lj m ，g i a n n a k i sg b 和n i k i a sc l 等 人。其中，m e n d e lj m 提出了基于累积量的非高斯a r m a 模型的阶次确 定算法、利用高阶统计量进行非最小相位系统的辨识方法；t u g n a i tj k 提 出了基于高阶统计量的非因果自回归模型的阶次选择、高阶谱分析等方法。 在9 0 年代国内有关科研院所，如其中清华大学、吉林大学、华中科技大学 等也开展了基于高阶统计量的理论和应用研究，其应用范围包括信号处理、 系统辨识、时间序列分析等1 3 2 - 4 2 1 。 利用高阶统计量来研究非高斯信号或模型的辨识问题时，有些方法秉承 了原有方法的基本思路，用高阶统计量替代2 阶统计量，对传统方法进行改 进。还有一些方法则是直接建立在高阶统计量基础之上。1 9 9 3 、1 9 9 7 、 1 9 9 9 年，i e e e 信号处理协会分别召开了关于高阶统计理论的专题讨论会， 第2 章高阶统计量理论简介 从会议资料和国内外有关方面的资料来看，目前利用高阶统计量解决非高斯 有色噪声的理论和应用研究可以归纳为如下几方面：( 1 ) 传统算法的改进方 法，以有效地解决对噪声特别是对有色噪声的敏感问题为目的，由传统的系 统辨识方法向高阶统计量方法推广，主要表现为对各种传统算法的改进。如 由b u r g 算法向基于高阶累积量的c b u r g 算法、m u s i c ( 多重信号分类) 算法 向基于高阶累积量的m u s i c 算法、基于均方误差( m s e ) 向基于高阶累积 量的c m s e 准则的改进。这些改进都是在原有算法基础上，引入高阶统计 量，运用最小二乘法、极大似然法等经典的辨识方法，很好地解决了因噪声 的影响造成系统辨识的偏差。此外，将奇异值分解、总体最小二乘法运用于 高阶统计量的算法中，也具有很好韵数值鲁棒性。( 2 ) 同现代估计方法相结 合的方法，这类方法将高阶统计理论同现代估计方法相结合，如基于累积量 的参数自适应估计、鲁棒估计、b a y e s 方法、现代谱分析、神经网络、子 空间算法、向量累积量矩阵、循环累积量方法等。例如在v i d a l f o n o l l o s a 组合累积量切片方法( v f 方法) 的基础上，建立累积量和脉冲响应矩阵之间 的关系式，从而估计a r m a 模型参数的正交子空阃算法( 简称o s 算法) ”， 该方法在低信噪比的情况下，对非高斯白噪声( 具有指数分布) 输入的系统， 有很好的估计效果，且减小了计算的复杂性。( 3 ) 能适应于复杂信号或噪声 环境的方法，这类方法放宽了对信号、噪声等条件的要求，当系统的输入为 非高斯信号、或者在时间序列分析中对非高斯的a r 、m a 、a r m a 模型进 行辨识，测量噪声可以是高斯白噪声或有色噪声，甚至是更为复杂的实时噪 声，有些算法还可以很好地解决加性非高斯噪声问题1 4 4 1 。由于高阶统计特 性能够很好地抑制高斯噪声，分离出非高斯信号，因此，运用高阶统计量方 法能够很好地解决这一系列的系统辨识问题。此外，利用高阶统计量方法还 能够解决诸如低信噪比、小样本等的系统辨识问题。( 4 ) 适应于更一般系统 的方法，这类方法放宽对对象系统的要求。解决非因果系统、非最小相位系 统、非线性系统等更一般的系统辨识问题。( 5 ) 寻求算法的简单、实用性方 法，由于引入了高阶统计特性，必然会使计算量增大，算法复杂，因此寻求 算法的简单、实用性，解决非线性计算带来的复杂性问题等方面，也成为近 年来研究高阶统计量辨识方法的一个方面，如递推算法、实时在线算法、自 适应算法等。 2 3 高阶统计量方法的发展趋势 高阶统计量方法发展至今，其理论和应用研究逐步趋于成熟，从看到的 资料来看，高阶统计量方法的发展趋势突出地表现在以下几方面： 第2 章高阶统计量理论简介 ( 1 ) 力求减小计算的复杂性，在满足一定的信号和噪声环境的要求下，一 般追求提高精度或者减小计算的工作量，对于在线系统，应力求计算的简单 和实时性。尽管高阶统计特性更能刻画出一般随机过程的本质，但由于引入 了高阶矩函数，增加了算法的复杂性，因此，试图寻求各种估计精度高、算 法简单、计算速度快、适用性强的高阶统计分析算法是目前研究这一方法存 在的关键理论和技术问题。例如，采用递推算法、解决被估参数与已知量之 间的非线性问题，使得计算简便，估计精确。( 2 ) 在非高斯噪声环境下进行 研究，利用高阶统计量进行信号分析研究中，通常见到的很多文献都是针对 非高斯激励噪声在高斯白噪声或有色噪声环境下进行的，对于非高斯激励噪 声在非高斯加性有色噪声环境下的信号分析的研究，目前看到的资料还较 少。( 3 ) 向累积量的多维化、复数化发展，多维的累积量比以往的一维累积 量在信号分析中使用了更多的信息，如2 维谐波的4 阶累积量包含信号的频 率和振幅参数。复数过程的高阶统计量对研究4 阶以上非对称非高斯信的研 究有重要意义，如对复数非高斯噪声，四阶累积量为零，且满足1 m l e w a l k e r 方程。此外，运用高阶统计量方法研究时间序列的非线性模型，以及 在小样本、低信噪比情况下，探索用高阶统计特性方法进行研究等方面，也 有了进一步的发展【1 5 , 2 1 , 2 3 - 2 7 , 4 5 。 2 4 高阶统计量的定义 特征函数方法是概率论和数理统计的主要分析工具之一。利用特征函 数，很容易引出入高阶累积量的定义。 考察一随机变量x ，若它的概率密度函数为f ( x ) ，则其第一特征函数定 义为 西( 珊) = e e ” _ i f ( x ) e ”。d x ( 2 1 ) 也就是说，随机变量工第一特征函数o p ) 是其概率密度函数f ( x ) 的傅立 叶( f o u r i e r ) 变换。由于概率密度函数( x ) 0 ，所以，第一特征函数m ) 在原点处有最大值。 第一特征函数巾洄) 的k 阶导数为 f f p ( k ) ( m ) ：可d k o ( c o ) ：_ ，e x k e j m x ) ( 2 2 ) 随机变量工的k 阶( 原点) 矩和中心矩以分别定义为 慨= e x 。 _ rx k 厂( z ) 出 ( 2 3 ) 9 ：= = = = = = ：= = ：，。一。叁! 薹查竺篁茎墨竺篁堡垒 心2 联( x 一秽) 2e ( x 一7 7 ) f ( x ) d x ( 2 4 ) 式中町2 目x ) 代表随机变量x 的一阶矩即均值。对于零均值的随机变量 x ，其尼阶原点矩m k 和中心矩肌等价。在下面的讨论中，均令随机变量和随 机信号的均值为零。 显然，在式( 2 2 ) 中令国= 0 ，即可求出工的k 阶矩为 姐忖剿- ( _ ( o ) ( 2 5 ) 由于随机变量x 的k 阶矩e x 可以由第一特征函数生成，故常将第一特 征函数中沏) 称为矩生成函数。 称第一特征函数的自然对数 甲 ) = i n 中 ) ( 2 6 ) 为随机变量x 第二特征函数。 与七阶矩的定义式( 2 5 ) 定义随机变量z 的第二特征函数甲佃) 按泰勒级数 展开系数 d 嘲生凳掣卜棚叩 f 2 7 ) 为随机变量z 的七阶累积量。 由于是用第二特征函数甲沏) 定义的，所以、壬，沏) 又称为累积量生成函 数。 上述关于单个随机变量x 的论述很容易推广到多维随机变量。对于k 维 随机变量( 五，坼) ，其联合概率密度函数为厂( 西，x 2 ，以) ，则七维随机变 量( x ，屯，托) 的第一联合特征函数定义为 中( ，由：，n k ) = e e 。q + q 也+ + 斗 1 = ，( ，而，t q z 一+ n - 凼啦呶 ( 2 8 ) 求巾( 缈l ，( 0 2 ，嘶) 关于，吐，的，= + 乞+ + 阶偏导，有 ；：；笔! j i ：! ：j j i 豢= ，e t _ 1 屯。吨1 e “n 1 m q ，】q h ， c z ， 因此，k 维随机变量瞒，叠，魂) 的r 阶联合矩为 ”。2e t x ， x z ，x t ，= c 一，j ；：； ；! ：；! ! ； j j 犁f 。，：。，：；。 c z t 。， 类似地，第二联合特征函数定义为 l o 第2 章高阶统计量理论简舟 甲( ，0 3 2 ， 维随机变量( x i ，x ：， ，q ) = i n 中( l ，珊2 ，一，t ) ， ) 的r 阶联合累积量为 c t = c u m ( x 1 1 ，x 2 ，x ) = ( 一) 7 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 。0 2 一= 乩2 0 这里c d n ( ) 代表联合累积量。 在实际应用中常取= r 2 一一= 1 ，此种情况下，可以得到k 维随机变量 ( 薯，x ：，心) 的k 阶矩和七阶累积量分别为 ，-。=etx。x：x。，=c一，。!：5：!l；：i；!：j。剥。：。：。 钆l = c u m ( x l ，x 2 ，x k ) = ( 一，) +矿h a o ( c o , ，0 ) 2 ，q ) i a 留l a o j 2 - 3 c o i i o ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) = 啦= = 峨= 0 更为常用的是随机过程的高阶统计量。 不失一般性，设f x ( n ) 为零均值的k 阶平稳随机过程，则该过程的t 阶 累积量定义为随机变量 x ( h ) ，z + 1 ) ，x 0 + 以一，) 的七阶累积量，即 c k x ( r l ，f 2 ，f 一1 ) = c “m ( ( x ( n ) ，x ( n + f 1 ) 一x ( n + t k - 1 ) ) ) ( 2 ，15 ) 对于零均值平稳随机过程( x ( ”) ) ，其高阶累积量也可定义为 c k x ( t 1 ，t 2 ，- o i ) = e x ( n ) x ( n + q ) x ( n + r k 一1 ) ) 一e g ( n ) g ( 即+ r 1 ) 一g ( n + r k 1 ) ( 女3 )( 2 1 6 ) 式中 g ( ”) ) 是一与 x ( ”) 具有相同的相关函数和功率谱的高斯随机过 程，即满足 e g ( 疗) g ( 拧) 盘e x ( 弹) 工( ，z ) ) ( 2 17 ) 这是一个工程性的定义，它不仅显示了随机过程 x ( n ) ) 的高阶相关的程 度，而且还提供了该过程偏离高斯分布的测度。显然，若 z ( n ) ) 是高斯过 程，则其高于2 阶的累积量恒等于零。但高阶统计特性的一些重要性质却不 能从该定义导出【2 “。 设 x ( ”) ) 为零均值的k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶矩 ，( f l ，r 2 ，靠一1 ) 定义为 m h ( r i ，f 2 ，q 1 ) = m o m ( x ( n ) ，x ( n + ) ，x ( n + 靠一i ) ) = e x ( n ) x ( n + 1 ) - x ( n + 靠一i ) ) ( 2 1 8 ) 2 5 高斯过程的高阶矩和高阶累积量 下面考虑高斯过程的累积量。首先考虑单个高斯随机变量的情形。设随 机变量x 服从高斯分布n ( o ，盯2 ) ，即x 的概率密度为： 叫l嚣 訾：器 第2 章高阶统计量理论简介 似) = 而1e x p ( 一斋) 因此，x 的第一特征函数为 m ) = 厂( 工) 。出= o - j 一2 4 磊e x p ( 一吾十归x ) 出 积分可得 - - d 2 0 ) 2 巾( 珊) = e 2 求中沏) 的各阶导数，有 一f 0 2 中( 出) = 一盯2 国e 2 ”( 国) = ( o - 4 m 2 一盯2 ) e 2 一d 2 m 2 巾1 3 ( 国) = ( 3 仃4 一盯6 3 ) e 2 一口2 矿 中4 ( ) = ( 3 盯4 6 0 6 脚2 + 盯8 0 9 4 ) e 2 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 将这些值带入式( 2 5 ) 即可得高斯随机变量的矩为 m 1 ，= 0 ，m 2 ，= 盯2 ，鸭，= 0 ，m 4 ，= 3 0 2 推而广之，对于任意整数k ，高斯随机变量的矩可统一写作 = 艮舷棚：曩 亿：- ， 2 1 1 t 3 ( 七一1 ) t ：偶数 ( 2 2 1 ) 由式( 2 2 0 ) 直接得高斯随机变量工的第二特征函数为 甲( ) ：i n ( ) ：一_ 0 z o ) z 其各阶导数为 甲( c o 、= 一盯2 0 9 甲”( c o 、= 一盯2 甲。( o j ) i 0 ，k = 3 ，4 ， 将这些傻带入式( 2 7 ) ，便可得到随机高斯变量的务阶累积量为 c 1 ，= 0 c ，2 2 。h = 0 ，k = 3 ，4 ， 综上所述，我们有如下的结论： 佗2 2 a ) f 2 2 2 b ) ( 2 2 2 c ) 第2 苹高阶统计量理论简介 ( 1 ) 高斯随机变量x 的1 阶累积量钆，和2 阶累积