（机械电子工程专业论文）少齿差内啮合齿轮副的图形式设计方法研究及设计软件的开发.pdf

摘要 本课题主要研究内容是内啮合平动齿轮减速器齿轮副变位系数的选取及中心距确 定的可视化、参数化、图形法设计。 采用m a t l a b 与p r o e 配合应用实现配对啮合齿轮副齿形参数的自动计算与图形可 视化显示，使多齿数少齿差配对啮合齿轮副的齿形参数设计成为可能。用m a t l a b 编程 来实现少齿差内啮合齿轮副参数的设计计算，然后再用其优化工具箱计算得到最优化设 计方案，运用p r o e q 丁p r o g r a m 模块参数化设计出内外齿轮，然后再利用p r o t o o l k i t 并且借 助v c + + 6 0 语言对p r o e 进行功能扩展，利用p r o e l 为部的d l l 程序自定义设计规划、应用 程序，实现内外齿轮的自动生成，然后完成内啮合齿轮副的装配。利用p r o e 仿真功能来 验证齿轮副的干涉，输入不同的变位系数对内啮合齿轮副装配图进行干涉检验，并运用 仿真及回放观察齿轮的干涉位置，依据干涉情况调整参数数值，重复上述过程直至获取 合理的变位系数使得齿轮副完全没有干涉，对最终优化参数进行适当圆整、通过修改对 话框中的相应数值控制程序作进一步优化，全部参数均满意后，绘出外齿轮及内齿轮的 工作图。 关键词：图形式设计数值计算及优化设计m a t l a b 与p r o e 应用少齿差齿轮干涉 检验三环减速器 a b s t r a c t t h er e s e a r c hc o n t e n to ft h i st o p i ci n c l u d i n gf o ri n t e r n a lm e s h i n gt r a n s l a t i o n a lg e a r r e d u c e rg e a rp a i rs e l e c t i n gd i s p l a c e m e n t sc o e f f i c i e n ta n dd e t e r m i n et h ec e n t e rd i s t a n c e s v i s u a l i z a t i o n ，p a r a m e t e r , g r a p h i c sd e s i g nm e t h o d t h i ss u b j e c ta d o p t sm a t l a ba n dp r o ei m p l e m e n t a t i o n sw i t hm a t c h i n gm e s hv i c et o o t h s h a p ep a r a m e t e r s a u t o m a t i cc o m p u t i n ga n dg r a p h i c sv i s u a ld i s p l a y t e e t hn u m b e rt h e o r yl e s s t o o t hd i f f e r e n c eg e a rp a i rt ot o o t h s h a p ep a r a m e t e rd e s i g no fm e s hv i c eb e c o m et r u e m a t l a b p r o g r a m m i n gr e a l i z ed e s i g nc a l c u l a t i o no fl e s st o o t hp o o ri n s i d em e s hv i c ep a r a m e t e r a n d t h e nw i mt h eo p t i m a lt o o l b o xc a l c u l a t i o ng e to p t i m a ld e s i g ns c h e m e u s i n gp r o e sp r o g r a m m o d u l e sp a r a m e t r i cd e s i g no u ti n t e r n a lg e a ra n de x t e r n a lg e a r t h e nr e u s ep r o t o o l k i ta n d v 洲0t or e a l i z ep r o el a n g u a g ef u n c t i o ne x p a n s i o n , u s i n gp r o e si n t e r n a ld i i sp r o c e d u r e s c u s t o md e s i g np l a n n i n g , a p p l i c a t i o np r o c e d u r e s ，a c h i e v ei n t e r n a lg e a ra n de x t e r n a lg e a ra n d t h ea u t o m a t i cg e n e r a t i o no fg r a p h i c so fi n t e r n a lm e s h i n gg e a rp a i r u s i n gp r o es i m u l a t i o n f u n c t i o nt ot e s ti n t e r f e r e n c eo fg e a rp a i r , t h ei n p u to fd i f f e r e n tc o e f f i c i e n tt ot e s t i n gi n t e r n a l m e s hg e a r si na s s e m b l yd r a w i n g sa n du s i n gs i m u l a t i o na n dp l a y b a c ko b s e r v a t i o no ft h eg e a r i n t e r f e r e n c ep o s i t i o n , a c c o r d i n gt oi n t e r f e r e n c es i t u a t i o nt oa d j u s tp a r a m e t e r s ，r e p e a tt h e p r o c e s su n t i lo b t a i nr e a s o n a b l ed i s p l a c e m e n t sc o e 伍c i e n ta n dm a k e sg e a r sa b s o l u t e l yn o i n t e r f e r e n c e t oa c h i e v et h eo p t i m i z e dp a r a m e t e r st h r o u g ht h em o d i f i c a t i o nr o u n d ，w h i c h p r o v i d e sa p p r o p r i a t ed i a l o g b o xc o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lc o n t r o lp r o g r a mt o f u r t h e r o p t i m i z a t i o n , w h e na l lp a r a m e t e r sa r es a t i s f i e d , d r a wo u to f t h ew o r k i n gd r a w i n go fi m e r n a l g e a ra n de x t e r n a lg e a r k e yw o r d s ：g r a p hd e s i g n ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o na n do p t i m i z a t i o nd e s i g n ，m a t l a ba n d p r o ea p p l i c a t i o n ，l e s st o o t hd i f f e r e n c eg e a ri n t e r f e r e n c ei n s p e c t i o n ， t h r e e - r i n gg e a rr e d u c e r 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题研究的必要性及应用前景 齿轮传动技术之所以能够大量的应用于各类机械中，是由于这种技术具有许多不可 替代的优点，例如传递功率范围广、工作可靠和传动比稳定等等【l j 。当前工业中常用的 减速器可以大体分为以下几种类型：第一类是行星减速器，虽然能够克服定轴齿轮减速 器的不足，重量比较轻、结构比较紧凑、传动比比较大、体积比较小以及机械效率较高， 并且能够实现输出轴和输入轴同轴而被广泛应用，但是只能应用在功率较小的场合，一 般要小于2 0 k w 。因此，它的应用受到非常大的限制，除此之外，该减速器存在着对材 质及热处理规范要求特别高、制造难度比较大和维修不太方便等问题，除此之外，它还 有一个显著的不足之处，就是它的机械效率会随着传动比的增大而减小，在做反行程运 动时，会出现自锁的现象【2 】o 第二类是定轴齿轮减速器，虽然其构造和维修都相对简单、 方便，但是却有小传动比，大质量，弱承载能力的不足。第三类是平动齿轮减速器，它 是由平动齿轮机构组成的，平动齿轮机构是将一对啮合齿轮与一个平动机构相叠加而形 成的，其中与平动机构相分离的齿轮始终作定轴转动，而另外一个与平动机构固定联接 的齿轮一直作平动【3 1 。一对外啮合齿轮与平动机构相互叠加而形成的机构叫作外啮合平 动齿轮机构，这种机构轮廓太大，不易应用。齿圈与外齿轮的啮合齿轮副与做平动的机 构相互叠加而形成的机构被叫作内啮合平动齿轮机构【3 1 。通常把与平动机构没有固定联 接的齿轮作为输出构件，另一个作圆平动运动的齿轮是输出构件，内、外齿轮都可以作 圆平动运动，其中下图1 1 ，图1 2 所示的是内啮合平动齿轮机构【z 儿引。 图1 - 1 内啮合外平动齿轮机构 图1 - 2 内啮合内平动齿轮机构 第一章绪论 三环减速器是属于内啮合外平动齿轮机构的一类典型产品，它综合了行星减速器与 定轴齿轮减速器的优点，又避免了它们的一些缺点；三环减速器是承载能力最强并且传 动比比较大的一类减速器，正是由于它拥有3 个传动环板，因此它被叫作三环减速器便 不言而喻【4 】。该减速器传动环板不需要自转，也没有滑动部分，只作平动，总的机械效 率能够达到9 2 - 9 6 且使得整个机组运动平稳。水平分箱的方法大多被常用的减速器 采用的，内部零部件装卸，更换都比较方便【5 】1 6 1 7 1 。三环减速器这些优点使得它能够在 任何工作条件，任何功率和速度范围应用，因此许多国家对其都非常关注，并且在三环 减速器的研究上做了相当大的努力与研究，注入了大量的时间，三环减速器传动原理如 图1 - 3 8 。 图1 - 3 三环减速器传动原理简图 应用内啮合内平动齿轮机构制造而成的典型例子有：x - y 型减速器以及内平动齿轮 减速器，内平动齿轮机构除了具有重量轻和径向尺寸小自己独特的优点外，还可以实现 输人轴与输出轴同轴传动，它的整体性能比外平动齿轮机构的性能更好一些，用上面的 研究成果设计出来的内平动齿轮减速器同时还要比三环减速器表现出一些优越性p 儿1 0 j 。 综上所述，内啮合平动齿轮减速器的优点有以下几点：( 1 ) 加工制造容易、成本比较 低、不需要特殊的材料和热处理以及装卸与维修比较方便；( 2 ) 传动比较大、分级较密集， 内啮合平动齿轮减速器是一类比较特殊的少齿差减速器，它可以制作成为一齿差、二齿 差、三齿差和四齿差的减速器；( 3 ) 结构形式紧凑且多样，应用广泛，由于其输入轴与输 出轴能同轴亦能够异轴，因此它在机械领域能够得到广泛的应用：( 4 ) 机械效率高，通常 能够获得8 0 0 0 - , 9 0 的机械效率甚至更高；( 5 ) 承载能力较强、使用寿命较长、运转较平 稳、噪音较小以及输出转矩较大。正因为是内啮合传动，所以凸出的齿面与凹进去的齿 面便成相互啮合在一起，并且两个相互啮合的齿面的曲率半径几乎相等，曲率中心在同 一个方向上，所以相互接触的面积就会很大，从而使轮齿的接触强度有很大成度的提高 【5 】。同时在工作的时候，是由3 9 对轮齿同时啮合并且接触受力，伴随着不断加大的负 载，在同一时见相互啮合的齿数将会不断的增多，最多的时候可以达n 1 8 对齿轮的轮齿 第一章绪论 同时啮合，在这种情况下碍难断齿的嘲，所以内啮合平动齿轮减速器承载能力较强、运动 起来比较平稳、噪声也很小。除此之外，作为输入元件的衄柄长度也是非常小的 p = 【朋( z i z 2 ) 2 ( c o s a c o s a ) ，作为运动元件的线速度v 也是特别的低( v = e x o ，) ，且传 动比较大，因此它的使用寿命较长、输出转矩较大【4 卜1 3 】【1 1 】【3 5 1 。 1 2 国内外研究现状分析及发展方向 齿轮传动技术已经大量的应用于各类机械中，是其它技术无法取而代之的，但是目 前的减速器在某些方面存在着不足，例如机械效率会随着传动比的增大而减小、载荷大、 体积也比较大。干涉现象很容易在齿数相差极小的互相内啮合的两齿轮中发生，所以在 减速器的设计过程中，齿轮的基本几何参数的选取是非常重要而且极其繁琐的。在2 0 世纪4 0 年代末，一齿差齿轮传动的理论计算就已经被苏联学者实现了，一直到1 9 6 0 年 代以后才得以快速发展【s 】。双曲柄少齿差传动机构是我国非常有名的教授朱景梓在2 0 世纪5 0 年代中期指出的，该传动机构是根据双曲柄机构的原理实现的，并且取得了各 国机械学家的高度认可与评价田i 。三环减速器是在1 9 8 5 年由陈宗源教授在重庆钢铁设 计学院提出的【2 2 1 。随着对少齿差行星齿轮传动机构的深入研究，目前，我国已经成功地 开发出了一种连杆偏心套式三环减速器，并且已经成为内啮合外平动齿轮减速器的一种 典型的产品【姗。 丹麦、德国与日本的少齿差减速器在传动原理以及结构上都是属于内啮合内平动齿 轮减速器，都是目前比较先进的减速器，使用时间长，工作性能好【3 7 1 【3 9 1 。为了能够让 减速器的传动效率、传动比和承载能力提高，轮廓尺寸和质量减小，目前国内外的减速 器大多是向大传动比、低成本、高可靠性、高机械效率、高承载能力、大功率、高速度、 小体积、高传动效率、高精度、低噪音和长的使用寿命的方向发展，所以，除了在传动 原理和结构上下功夫以外，还得在工艺水平和质量方面进行提高和改进，平动齿轮传动 减速器原理就符合上面的要求。 我国的学者同样也在内啮合内平动齿轮减速器的研究制作方面做了大量的工作，并 且取得了很大的进展【l h 3 】【9 】 【1 4 1 ；北京理工大学研制出来的内平动齿轮减速器不仅具有 输入轴和输出轴同轴和功率体积( 或重量) 比大的特点，还兼有三环减速器的优点，目 前在国内处于领先水平和地位【l 0 2 1 。 1 3 目前国内外研究所存在的问题 国内外的机械专家已经对三环减速器的振动、噪声、传动效率、均载、润滑、接触 分析、变形协调条件、结构强度、内啮合变位、运动精度、结构优化、参数化设计、动 态特性齿形分析、动力分析等方面的内容进行了深入的分析与研究；文献【2 0 】是在文献 6 】研究基础上，提供了一种三环减速器弹性静力分析的方法，为在工程实际中用来进行 轴、齿轮和轴承的校核和设计提供了非常重要的数据；文献 2 1 】设计了一种弹性波纹环 均载机构，并且对它进行了有限元分析，指出如果把这个均载环安装在三环减速器的输 第一章绪论 出轴的轴承外圈与轴承座孔中间，则可以使三个环板的受力情况趋向于平衡，从而用来 实现三环减速器的均载和减振。但我们还看到一个现象：尽管我们国家的科学家在1 9 8 5 年发明了内啮合外平动齿轮减速器即三环减速裂引、在1 9 9 5 年就研制成功了第一台内平 动齿轮减速器【l l 】【1 2 】，而且具有如上所述的众多优点，但是，时至今日内啮合平动齿轮 减速器在工业应用上并没有普及，生产厂家也很罕见，追究其原因，与下述两个方面的 问题无疑有着直接关系。 第一、对少齿差内啮合齿轮副齿形变位系数的设计方法研究不够，至今仍然没有脱离传 统的选取原则和设计方法。 一对少齿差内啮合齿轮则是内啮合平动齿轮减速器的重要元件，由于需要用变位系 数来计算齿轮的几何尺寸以及相互啮合的基本参数，并且当内啮合的两渐开线齿轮齿数 相差非常小的时候，极其容易产生各种干涉，所以在齿轮设计的过程中只有通过选取合 适的齿轮变位系数来解决这种问题。当前所用变位系数的选取大多都是围绕着干涉系数 和重合度的验证计算公式，利用计算机编写程序来进行判断、计算和选取( 如文献【1 3 】， 【冽、【2 7 】) 。然而，由于这样选定的齿廓形状、齿形参数和啮合状况没有明确的对应关系， 往往造成顾此失彼的现象；例如，啮合处的齿侧间隙如何和齿廓接触长度怎样等并不是 十分清楚。图1 4 、1 5 、1 - 6 为某厂钢渣车用三环减速器的照片，图中齿廓啮合痕迹用a 来表示，齿廓高度用b 来表示，齿侧间隙用e 来表示。由图中所示的情况便可知道这对齿 轮的参数选择并不是很理想，存在的问题是齿廓实际啮合长度比较短、齿侧间隙比较大， 并且需要专门指出的是，本项目组研究发现如果按照传统的验证计算方法求得的齿轮变 位系数来计算的话发现当齿轮的齿数超过5 5 以后多数少齿差配对齿轮都找不到适当的 变位系数来避免干涉，以上就是平动内啮合齿轮减速器开发比较困难、普及率较低的主 要原因。 图1 - 4 内齿轮照片 第一章绪论 图l - 5 外齿轮照片 图1 _ 6 内啮合照片 第二、针对外平动齿轮减速器齿轮环板相位关系的研究不够，针对内平动齿轮减速器的 外齿轮轮齿相位关系的研究还处于空白状态。 平动齿轮减速器通常用双曲柄平行四连杆作为平动机构，运动到共线的位置时，便 会出现死点位置。为了避免死点位置，关于与三相并联平行四连杆机构固定联结的内外 齿环板，除了三齿差的情况以外，三个外齿轮或三片内齿环板的轮齿间须符合一定的相 位关系，这样才能实现装配，因此解决轮齿间相位关系的问题是内啮合平动齿轮减速器 在设计、生产以及维修中不能回避的课题。 本课题的研究将能够较好的解决上述的第一个问题，其研究成果将会为内啮合平动 齿轮减速器产品的设计、开发、维修以及制造提供必要的技术手段，具有非常广阔的应 用前景。 第一章绪论 1 4 本课题的主要研究内容和主要方法 本课题主要研究内容是内啮合平动齿轮减速器齿轮副变位系数的选取及中心距确定 的可视化、参数化、图形法设计。最终需要实现的效果及主要用到的方法如下： 第一、运用m a t l a b 与p r o t o o l k i t 实现内啮合齿轮副图形的自动生成 在减速器设计中通常的已知条件是传动比、输出转矩、输出或输入转速，由已知条 件运用最新关于内啮合少齿差齿轮强度设计理论的研究成果计算渐开线齿轮副的模数、 齿数时将会有较大的数学运算量。用m a t l a b 编程来实现少齿差内啮合齿轮副参数的设 计计算，然后再用其优化工具箱计算得到最优化设计方案，运用p r o e 中p r o g r a m 模块参 数化设计出内外齿轮，然后再利用p r o t o o l k i t 并且借助v c h 6 0 语言对p r o e 进行功能扩 展，利用p r o e 内部的1 3 1 1 程序自定义设计规划、应用程序，实现内外齿轮以及内啮合齿 轮副图形的自动生成。 第二，运用p r o t o o l k i t 实现内啮合齿轮副变位系数及中心距的优化 按预定边界条件及约束将己完成的齿轮副进行装配，测试装配后的最小齿侧间隙并 在对话框界面中显示。设计人员可同时观察p r o e 图的具体情况，决定此问隙是否满意， 如果不能满足预想的间隙要求，则可通过修改对话框中的间隙值控制程序返回上一过 程，绘制另一组变位系数的对应齿轮副图形并重新进行装配和测试，直至满足要求。将 满足要求的齿轮副变位系数及对应中心距以界面形式输出显示，经设计人员确认后保存 并转下一步。 第三、运用p r o t o o l k i t j 拄行干涉检验并自动获取径向干涉长度 针对满足齿侧间隙要求的内啮合齿轮副装配图进行干涉检验，测出各干涉位置处 ( 齿廓交点处) 对应的径向干涉长度，经比较给出其中最大径向干涉长度尺寸供设计人 员判断。设计人员可观察p r o e 图的情况，决定是否满意，如果结果不满意，通过修改对 话框中的径向干涉长度值控制程序返回，然后分析新一组变位系数，直至满足设计人员 的要求。 第四、参数调整并完成内啮合齿轮副工作图 设计人员对最终优化结果参数进行适当圆整、通过修改对话框中的相应数值控制程 序作进一步优化，全部参数均满意后，绘出外齿轮及内齿轮的工作图。 m a t l a b 及p r o t o o l k i t 的人机信息交互均采用图形界面方式，以提高设计程序的效率及 通用性。 第二章少齿差内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 第二章少齿差内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 2 1 少齿差内啮合齿轮副参数的确定 齿轮的传动具有工作相对可靠、传递功率的范围很广泛、结构相当紧凑、传动效率 非常高、传动比比较稳定、圆周速度范围广泛以及使用寿命比较长等特点，所以在各类 机械中都在广泛应用着齿轮。在设计齿轮传动的时候，我们需要根据具体的工作情况来 选择适当的齿轮精度、材料、热处理、润滑方式和润滑剂，从而使得齿轮具有充足的承 载能力和寿命，不出现失效。因此，我们再设计当中应该针对每一种失效形式都建立与 其相应的设计准则。然而，截止到今日对于塑性变形以及齿面的磨损还没有建立起工程 上能够实际应用并且有效的设计方法及其设计数据，当前对于齿轮传动也只能是齿根弯 曲强度与按照齿面的接触强度这两个准则来进行计算( 见g b t 3 4 8 0 1 9 9 7 ) 。 齿轮传动的设计计算步骤：在减速器设计当中，大多数情况下已知的条件是额定功 率或输出转矩、传动比、输出或输入转速和需要满足的工作寿命。 2 1 1 齿轮材料及热处理，确定齿轮的疲劳极限 齿轮材料及热处理不仅是影响齿轮的质量、成本以及齿轮性能的重要环节，也是关系 到齿轮的使用寿命和承载能力的关键因素。直到目前为止，齿轮的材料主要还是钢，其 它材料应用的很少见，伴随着齿轮技术的不断发展、设计制造技术以及参数要求的不断 提高，目前国内外主要采用的齿轮还是硬齿面齿轮；硬齿面齿轮目前已经得到了广泛的 应用，它不光能改善技术性能和提高承载能力，而且还能够因其结构尺寸相对减小从而 得到较好的经济效益。在相同的承载和工作条件下，齿轮采用不同的材料和热处理的相 对重量比与价格比如表2 1 所示【3 6 】： 表2 1 ：不同的材料和热处理的相对重量比与价格比 要依据齿轮的工作条件来选择齿轮材料及其热处理方法，例如，高速、可靠性高、 尺寸小、工作寿命长、重载和伴有冲击载荷的齿轮应该选则应用高强度和高韧性的合金 钢，并且需要采用渗碳淬火工艺；刚度小易变形、结构不对称及高耐磨性的齿轮，需要 采用渗氮工艺；中速、中等冲击、中载、尺寸要求不是很严格的时候，则可以采用合金 调制钢或者是表面淬火：低载、低速及不太重要的齿轮，那么就可以采用优质碳素结构 第二章少齿差内啮合齿轮的备参数确定及优化设计 钢；如果有比较重要性能要求的齿轮，那么应该选用合金钢；噪音比较低而且重量比较 小的齿轮，就可以采用工程塑料来制作。 对于软齿面的齿轮传动来说，如果想要减小齿轮副材料由于黏着而造成的磨损，一 般不宜让两大小齿轮用一样的材料，需要齿面硬度有一定的差别( 对于直齿轮： h b s 岫- h b s 2 懈2 0 2 5 对于斜齿轮：h b s t 。i n 一脚：一4 0 一5 0 ) 。并且应当尽最大 的可能把齿轮齿面的硬度提高；当齿轮副是硬齿面和软齿面结合的时候，我们就要将相 对比较小的齿轮硬化并且磨削。齿轮的毛坯的形成、制造的工艺以及尺寸大小的选用方 法。轮廓大的齿轮采用铸造毛坯，例如球墨铸铁或者铸钢，有一定重要性要求的中等及 以下尺寸的齿轮，需要当采用锻造毛坯：重要性要求不高、小载荷以及载荷平稳时，可 以用铸铁；在极少数的情况下，没有重要性要求并且尺寸小的齿轮，那么可以用圆钢直 接来制作，方便选择适当的齿轮材料以及热处理，并且明确需要达到什么样的热处理质 量水平，才能得到期望的极限应力值。作为齿轮的设计者，还应该了解g b t 8 5 3 9 2 0 0 0 ， 理解材料极限应力质量等级和热处理质量水平之间的关系。 根据上面所述的原则以及表一，选择出齿轮的材料和合适的热处理方法，然后根据 齿轮的硬度、材料以及疲劳极限图查取齿轮的疲劳极限应力缸。、妇：、硒，和陆：。 2 1 2 初步确定齿轮的主要参数 由机械设计手册知载荷因素k = k a k v 疋k 疗，使用因素k 考虑的是由于齿轮的 外部因素( 工作机和原动机的特性及联轴器系统和轴的质量与刚度等) 引起的外部附加 动载荷对齿轮承载能力造成影响的因数，假如有可能的话，应该通过对传动系统的精密 测量或者全面分析确定：如果不能够实现的话，那么应该按照机械设计手册来查取；动 载荷因素k 考虑的是齿轮啮合的齿轮的制造误差和刚度变化等因数所引起的内部附加 动载荷对齿轮承载能力造成影响的因素，对于理想的渐开线齿轮副来说，它们的基圆齿 间距是相同的，也就是玩。= 以：；但是由于在实际加工当中难免受到周期性变化和制造 误差的啮合刚度的影响，两大小齿轮实际基圆法向齿距并不一样，这样就会使得瞬时传 动比发生变化，形成内部附加动载荷；除此之外，转动件的惯量和刚度及圆周速度和轮 齿载荷等参数对动载荷也有一些影响。动载荷因素凰是按照机械设计手册的图查取得到 的；齿间载荷分配因素e 考虑的是由于在同一时间进入啮合的每一对齿轮间的载荷分配 不均匀从而影响齿轮承载能力的因数，在齿轮传动的过程中，因为齿轮形状特殊，齿轮 的啮合刚度也不相同。它的定义为：在无任何动载荷的情况下，在啮合区的一对齿轮上 的最大载荷与相同条件的一对精确齿轮轮齿上相应的最大载荷之比。当齿轮处于双齿对 啮合区的时候，由于齿距偏差和其它的原因，从而使得前后两对齿轮的啮合刚度比是不 同的，齿间载荷的分配不均匀对齿根弯曲强度k ，。以及齿面接触强度k 。的影响是不同 的，k 。和k f ，的简化计算见文献 3 6 】，由于载荷分布在齿长方向并不平均从而使齿轮承 载能力受到影响的因数叫作齿向载荷间的分布因素k ，使得载荷在齿长方向布局分散不 均匀的原因包括以下内容：齿轮的加工误差、轴与箱体的刚度、支撑对齿轮的布置、齿 轮的结构、箱体镗孔偏差、载荷状况、相关零件的热变形、轴线平行度以及支承的误差 与刚度等；齿向载荷的分配不均匀对齿根弯曲强度足p 。以及齿面接触强度k h 疗的影响是 第二章少齿著内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 不同的，k 厅和k f 疗的计算见机械设计手册。 齿宽因数瓦的确定，适当的加大齿宽因数，虽然能使齿轮的承载能力提高，但齿 宽因数6 二越大，沿齿宽方向的载荷分布受误差以及啮合变形的影响也就越大。齿宽因数 常用的数值如下：0 2 ，0 2 5 ，0 3 ，o 3 5 ，0 4 ，0 4 5 ，0 5 ，0 6 ，0 8 ，1 0 ，1 2 。一般在闭 式齿轮传动中，绞= o 3 o 6 ，高速级取最小值，低速级取最大值，硬齿面齿轮要取得相 对小点，软齿面齿轮要取得相对大点：在开式齿轮传动中，常用的齿宽因数为芘= o 1 o 3 ， 变速滑移齿轮常用的齿宽因数为z = o 1 2 o 1 5 ，重型减速器的齿宽因数常用6 二= o 8 ，中 载、中速减速器的齿宽因数常用e = o 4 0 6 ，轻型减速器的齿宽因数常用虻= o 2 0 4 。 为防止齿轮由于装配时大小齿轮的轴向错位而导致齿轮齿宽减小，可以取 6 2 = b - - 吃吐，2 j i = 6 2 + ( 5 l o ) m m 。 齿轮的许用接触应力，国标g b t 3 4 8 0 - 1 9 9 7 规定的许用应力不仅是在试验齿轮接触疲 劳极限o x l i r a 的基础上，而且是在考虑实验条件和实际运行条件不同的情况下进行一定的 修正得出的。许用应力的计算公式为= o h 陆s 晌，其中品响是接触强度的最小安 全系数，其中高可靠度要求时可取品曲= 1 5 1 6 ，中- - f 靠度时可取晶劬= 1 2 1 3 ，一 般可靠度时可取西血= 1 o 1 1 ，低可靠度时可取品幽= 0 8 5 。小齿轮传递的名义转矩为 正= 9 5 4 9 p l 啊。 按照齿面接触强度来估算中心距，对于口= 2 0 0 的标准圆柱直齿轮，重合度影响不计， 齿轮副材料为钢对钢且精度不高的时候 洲8 3 厩 p - ， 对于吒= 2 0 0 的标准圆柱斜齿轮，重合度影响不计，齿轮副材料为钢对钢且精度不高时 a 4 7 6 似1 ) ( 2 - 2 ) 其中以万一和以，中较小的数为以p ，初步确定中心距a ，但是由于考虑到结构、工艺和 使用等方面的要求需要进行一定的修改和圆整进行结构设计，然后进行强度校核，最终 根据强度校核的结果来重新调整尺寸的值【37 1 。 按齿根弯曲强度来估算齿轮的模数m ，接着选取小齿轮的齿数毛，然后再根据公式 磊= 互计算出大齿轮的齿数z ，选得齿轮的综合齿形因数k 。和k ，计算齿轮齿根的 许用弯曲应力近似为= 睇陆1 0 品曲，其中品旺m 是弯曲强度计算的最小安全系数， 高可靠度时可取品h l n = 2 0 ，中等时可取鄙i j l i l = 1 6 ，一般时可取鄙陆= 1 2 5 ，低时可取 品= 1 0 ；k r 是试验齿轮的修正应力因数，当露的值由机械手册中的图查取时 k - 2 0 ；由公式知，应将齿宽因数转化为e ，6 二= e ( + 1 ) 2 ，当为斜齿轮时，令= 1 0 0 得出模数的设计公式为 m n 1 2 4 ( 2 - 3 ) 磊 第二章少齿差内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 其模数的设计公式在齿轮为直齿轮时如下： m n 1 2 6 其中墨为小齿轮转矩( n 。m ) 计算的时候以。与：中大的数代入， 模数应按国标g b t 1 3 5 7 1 9 8 7 取标准值。 初步确定齿轮的中心距及其它几何参数 ( 2 _ 4 ) 所得的 口= ( z 2 z i ) m n ( 2 c o s p ) ( 2 5 ) 在得出中心距a 之后进行圆整并且按照产品的标准系列选取标准值口，之后再计算精确的 螺旋角 = 一s 骘警 ( 2 - 6 ) 齿轮分度圆的直径 dl=毛mncosflcli c o s 2 毛 畋- z 2 m n c o s ? ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 齿轮的齿宽为b = e 4 ，为防止齿轮装配时大小齿轮的轴向错位而导致啮合齿宽的减小， 一般让小齿轮的齿宽比大齿轮的齿宽么= b 宽5 1 0 m m 。 纵向重合度占。= b s i n 万m 的计算以及重合度的校核，对于标准齿轮的端面重合n 度幺可查相关的手册，交位齿轮因其齿顶圆的直径未确定，因此上面说的厶的值是近似 的。总重合度c = 幺+ 靠，在确定的时候，应该同时考虑齿宽b 和模数朋。，要使得纵向 重合度s 库 1 0 ，总重合度 2 2 ( 如是直齿轮= 厶) 。当v 4 0 m s 时， 1 2 ， - j 。 占， 2 6 。计算圆周速度y = 錾，按机械手册的表选择齿轮的精度等级。 6 0 1 0 0 0 校核齿面接触疲劳强度，接触强度的安全因数品一o n u m z t c r z l z r z r z w z x _ s n 。h ，齿 一 盯 一 面接触应力= z h z e z , z p，其中z = 2 0 0 0 t ，d , ，当齿轮副材料为钢对钢的 时候z e = 1 8 9 8 m p a “2 ，为钢对铸钢的时候，z ，= 1 8 8 8 m p a 2 ，为钢对球墨铸铁的时候， z f = 1 8 1 4 m p a “2 ；z 。为重合度系数，z 疗为螺旋角因数，z r 是接触强度计算的寿命因数， 是考虑由于计算得到的齿轮的应力循环次数，和试验齿轮获得盯l ；。的应力循环次数不 相同，从而影响到了极限应力的因数。乙、z ，和z 。为影响齿面润滑剂因数、润滑油膜 的速度因数和齿面不光滑因数；乙为齿面工作硬化因数；z x 为尺寸因数。 五，1 7 齿根弯曲疲劳强度的校核，载荷在齿顶作用的齿根应力= 等k 圪k 易，是一 o m n t ，vvvv 种修正应力的系数，安全因数品= j o r 里。iu il 1 卫l 1 掣：l 1 互鄙响，k 只是和齿轮的轮廓形 第二章少齿茅内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 状有关系，而与齿轮的模数没有关系，珞为试验齿轮的，应力修正系数圪应用于齿顶 被载荷作用的时候，艺是重合度的因数，为螺旋角的因数，r 为相对齿根的表面情 况因数，敏感因数r 是相对于齿根圆角的，e 为弯曲强度计算的尺寸因数，为弯 曲计算的寿命因数。齿轮尺寸的计算 a o i = 西+ 2 ( 虻+ x m 。 吃2 = 吐+ 2 ( 虻+ 功m a n = d l - 2 ( h ：+ 0 一x ) m 。 办：= 畋一2 ( 虻+ c 一x ) m 2 2 用m a t l a b 计算少齿差内啮合齿轮副基本参数 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 用上述传统的方法也可以计算出齿轮基本参数，但是计算过程较为复杂，尤其是在计 算多个齿轮副时，不仅计算过程繁琐，而且还得做大量重复的动作，基于以上缺点，设 计了一个用m a t l a b 编程来实现少齿差内啮合齿轮副参数化的系统。 内啮合少齿差齿轮副参数化设计系统需要用户提供的原始数据有：小齿轮的转速n 1 ， 小齿轮的额定功率p 1 ，传动比i ，另外，还需要用户做一些补充性的输入，而输入这些数 据最后想要获取的参数为：齿轮的变位系数、模数、齿数以及其他的几何尺寸。 表2 - 2 内啮合少齿差齿轮副参数化设计系统的主要输入与输出参数 第二章少齿差内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 按照上表编写的m a t l a b 程序如图2 1 ： f _ i l e 曼d iti e x t 堡o e 1 1t o o l sd e b u gd _ e s k t o p w _ i n d o v h t l p x d 口鞠，墨；魄电n ? 。国* 嘞j 目固；镶辘蓼固锈+ ：田i _ = - 一_ 、 一 。一： 曰；+ 昌谒涸l - 1 0 。+ 1 1 x - 磷磁q 4 - i “n p u ti j 凌蠢蘸矮蠢满度话瓢；猝：乏鹾；一鼍霪 5 一b 在= i n m a t ( 7 镬途鸯嚣摹羧b 3 $ ：) ：i 6 一鼬i a l = i 删落凌嚣鸯职小蠹铊靛密蒡援缳应力f d d l i m l ：) ：缓 7 一础毗惦i 呻啭( 落捩嚣套职宠齿轮豹疲劳橡羧应力襄d d l i m 2 ：) ：艺 8 一s m 衅i 1 1 p 吐( 锖缓裕攘惫强震翰爱全泰黪s h l i m ：) ：l = 9 一i f 班l l i a l = r h l i 正2 一 1 0 一r m i l - r m i i l ：! 荔 1 1 一e l s e i f 髓h i 锨i l l 2 1 2 一 e e l i n = r h l i n 2 ： 1 3 一e n d篡 1 4 一耻= r u l i a s h l h ： 三 1 5 一i 印砒( 小落轮静名义转矩) ： 1 6 一t i = 9 5 4 9 * p i n l ；黧 1 7 一z a = i n p u tf 请选撂麓臻函数冀如) ： i 8 一k v = i n p u t ( 请透撂劲裁困熬爰弩：) ： 1 9 一x s = i n p u t ( 7 落i 蠹撂纛嘲裁膂蟹南因磐x 3 ；) ： 2 0 一x b = i 舶毗( ：请德撬纛赢藏蕊强撩厦囊糕h ；：二 一。，。 。羔l s m 2m xl u n w e n lm x ； s c r i p t 图2 - im 文件的基本内容 运行的结果如图2 2 ： 一1 2 第二章少齿差内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 ! i l2 1 5 9 l 乳+ ， 请进辫蔓甩圈翔1 2 5 谴连挥动囊目嬲陆j 腑 帚选辩栅t 霄舟南蜀，缸缸1 1 ；- 葱粕向囊肴骨布因数i h1 b 2 2 8 1 知皓撮膏曲强度估葺毒蛇鞭 撮嚣出轮孵材辩爰盎敷比选取小盘椽扮盘薰t i ：甜 l 盘枯咯台为拓准的 ，潞鲥瀚九1 为皓薯斤曼齿轮佟萄竹黼入厶2 2 2 2 = 2 3 齿轮副参数的优化设计 图2 _ 2m 文件的运行结果 传统的少齿差内啮合齿轮减速器设计根据的是设计经验来进行试探性的设计过程， 这样需要重复进行修改、设计和计算，耗费大量的经费和时间，用上述这种方法选择的 方案和参数通常只能满足一定的要求，并非最好的设计方案。优化设计的方法可以避免 传统设计方法的缺点，对缩小减速器的体积、提高其承载能力、减轻变速箱的重量、降 低成本及节约材料都具有重要的现实意义。 2 3 1 数学模型的建立及选取设计变量并建立目标函数 m a t l a b 优化设计是基于体积最小的原则，因此少齿差内啮合齿轮减速器便可以用 内齿圈体积来作为目标函数，可以表示为： f ：三2 宰 + 2 5 ) 2 宰a m ( z 2 b r 。 ( 2 1 3 ) 式中，用m 表示模数( 埘衄) ，用b 表示大齿轮的齿宽，用z ：表示大齿轮的齿数，取 以下的优化设计变量： x _ 【朋，z 2 ，曰】r = x l ，x 2 ，x 3 】r ( 2 - 1 4 ) 第二章少齿差内啮合齿轮的备参数确定及优化设计 从而目标函数变成为： 2 3 2 确立约束条件 f ( x ) = i 7 1 x ；( 屯+ 2 5 ) 2 而 ( 2 - 1 5 ) 不等式( 非线性) 的约束条件，载荷分布是否均匀与齿轮的齿宽有密切关系，所以 要求齿宽系数选取要合理，具体的选择公式为：5 邓m _ 1 7 ，即： g l ( 工) = 5 幸五一而0 ( 2 1 6 ) 。 9 2 ( x ) = x 3 一1 7 x l 0 ( 2 1 7 ) 把求得的相关参数代入齿根弯曲强度，得到如下的约束函数： 9 3 ( x ) = 7 8 2 5 5 一x 1 2 x 2 x 3 - 0 ( 2 1 8 ) 线形不等式约束条件，( 1 ) 要想避免齿轮的根切，内齿轮的齿数要大于等于1 7 ，要 求1 7 _ z 2 _ 2 0 0 ，a , - 譬似= 1 7 一而o ( 2 1 9 ) 9 5 ( 功2 而一2 0 0 0 ( 2 2 0 ) ( 2 ) 齿宽的限定公式为1 0 _ b _ 1 0 0 ，即： 9 6 ( 工) = l o 一而0 ( 2 2 1 ) 9 7 ( 砷2 屯一1 0 0 0 ( 2 2 2 ) ( 3 ) 齿轮的模数通常要比1 5 m m - - - 2 m m 大一些，所以限定2 螂o ，即： g g ( x ) = 2 一五0 ( 2 2 3 ) g g ( x ) = x a 一2 0 _ 0 ( 2 2 4 ) 2 3 3 利用m a t l a b 工具箱优化求解 ( 1 ) 目标函数f m f u n c t i o nf = f ( x ) f = p i 宰x ( 1 ) 2 乖( x ( 2 ) + 2 5 ) 2 幸x ( 3 ) 4 ； ( 2 ) 不等式( 非线性) 的约束的函数y m f u n e t i o n e ，e e q = y ( x ) c ( 1 ) = l1 6 8 8 0 5 7 一x ( 1 ) 2 幸x ( 2 ) 幸x ( 3 ) ； c ( 2 ) ：5 幸x ( 1 ) 一x ( 3 ) ； 第二章少齿差内啮合齿轮的各参数确定及优化设计 c ( 3 ) = - 1 7 x ( 1 ) _ 怄( 3 ) ； c e q = 】； ( 3 ) 编制( 1 ) 与( 2 ) 的调用函数文件f y m f u n c t i o nf y ( x ) x o = 5 ，6 0 ，9 2 3 6 8 4 ； 1 b = 2 ；2 7 ；10 ； u b = 2 0 ；2 0 0 ；1 0 0 ； a 爿l00 lo 0 o 1o 0l0 o0 1 00l 】； b = - 2 ；2 0 ；一2 7 ；2 0 0 ；一1 0 ；1 0 0 ； ； 【x , f v a l = f m i n c o n ( f , x o , a ，b ，【】，【 ，l b ，u b ， ” ( 4 ) 程序运行结果及处理 x = 4 4 4 6 36 0 0 0 0 06 9 4 4 4 5 f v a l4 2 1 2 l 刮懈 把得到的x i , x 2 ，x 3 分别圆整得到x l = m = 5 ，x 2 = z 2 = 6 0 ，x 3 = b = 7 0 ；带入目标函数得 f = 互4 宰m 2 ( z 2 + 2 5 ) 2 宰b = 5 3 6 6 2 1 1 经过优化设计最终获得的的数据如下： n m - - 5 ，z l - - 5 7 ，z 2 = 6 0 ，x l = 1 0 6 4 2 ，x 2 = 1 2 l3 3 ，b 1 = 8 0