（岩土工程专业论文）三种介质耦联系统中动力返回应分析的显式有限元法.pdf

摘要 ，一 i 在人类开发和利用地下资源、探索地球内部构造过程中，以及在研究动力 或地震作用下土体中结构物的反应或场地和结构破坏等工程问题中都会涉及到 流体饱和两相多孔介质。b i o t 于1 9 5 6 年建立了流体饱和两相多孔介质的波动 方程。但由于波动方程自身的复杂性和实际工程问题的多样性，绝大多数饱和 孔隙介质中的波动问题都是采用数值方法求解，特别是有限元法。目前用于求 解饱和孔隙介质中波动问题的有限元法基本都是隐式法，或隐一显式法。当这 些方法用于求解复杂或较多自由度问题的时域解时，其计算工作量将很大，因 此极大地限制了它们在工程上的应用和发展。赵成刚，王进廷，迟蓬勃等为克 服上述缺点提出了求解b i o t 流体饱和两相多孔介质波动方程的显式有限元解 法，并建立歹波在两种不同介质交界面上的反射与透射的四节点矩形显式有限 元模拟法之、7 本论文拄他们工作的基础上j 推导了波在流体饱和两相多孔介质、单相弹 性固体介质j 理想流体介质中任意两种介质交界面上或三种介质交界线上节点 动力反应分析的显式有限元表达式，联合采用四节点四边形单元和三节点三角 形单元，结合局部透射人工边界，建立了可用于模拟任意地形形状的流体饱和 两相多孔介质一单相弹性固体介质一理想流体介质系统中结构动力反应分析的显 式有限元法。并将该方法应用到水库地震动水压力反应和有饱和软土下卧层的 场地地面运动的分析中。通过编制相应的计算程序，在水库地震动水压力的分 析中，分析了淤砂层厚度，淤砂层孔隙率，淤砂层固相骨架密度的变化对水库 地震动水压力反应的影响，得出了一些初步的结论，可为水库抗震设计提供参 考。在有饱和软土下卧层的场地地面运动的分析中，分析了上覆土层为透水和 不透水两种情况下，下卧饱和软土层厚度，孔隙率的变化对场地地面运动的影 响，得出了一些初步的结论，可为有饱和软土下卧层场地的抗震设计提供参考。 、 m a s t e rt h e s i so f mec a n d i d a t ea tn o r t h e r nj i a o - t o n gu n i v a b s t r a c t a b s t r a c t h o wt os o l v ea n da n a l y z et h ed y n a m i cr e s p o n s e so f a ne a r t hs t r u c t u r ea n das i t ei n f l u i d s a t u r a t e d p o r o u s m e d i ai s i m p o r t a n t i n e a r t h q u a k ee n g i n e e r i n g a n ds o i l d y n a m i c sb e c a u s ef l u i d s a t u r a t e dp o r o u sm e d i ao f t e nn e e dt ob ed e a l tw i t hi n t h e p r o c e s s o fh u m a ne x p l o i t i n gu n d e r g r o u n dr e s o u r c e sa n de x p l o r i n gt h ei n t e r n a l s t r u c t u r eo ft h ee a r t h b i o t ( 19 5 6 ) d e v e l o p e dt h ep r o p a g a t i o nt h e o r yo f e l a s t i cw a v e s i nf l u i d s a t u r a t e dp o r o u sm e d i a m o s td y n a m i cp r o b l e m si nf l u i d - s a t u r a t e dp o r o u s m e d i aa r es o l v e du s i n gn u m e r i c a lm e t h o d s ，e s p e c i a l l yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，d u et o t h e c o m p l e x i t y o fb i o td y n a m i cf o r m u l a t i o na sw e l la sp r a c t i c a le n g i n e e r i n g p r o b l e m s a tp r e s e n t m o s tf i n i t ee l e m e n tm e t h o d su s e dt od e a lw i m t h ed y n a m i c p r o b l e m si nf l u i d 。s a t u r a t e dp o r o u sm e d i aa r ei m p l i c i to ri m p l i c i t - e x p l i c i t i ft h e s e m e t h o d sa r eu s e di nt h et i m ed o m a i n ，t h ec o m p u t a t i o n a le f f o r ta n dm e m o r y r e q u i r e m e n tw i l lb ee n o r m o u sf o rc o m p l i c a t e dp r o b l e m sw i t hal a r g en u m b e ro f d e g r e e so ff r e e d o m ，s ot h ea p p l i c a t i o no ft h e s em e t h o d st op r a c t i c a le n g i n e e r i n g p r o b l e m si sl i m i t e d t oo v e r c o m et h ed i s a d v a n t a g eo ft h e s em e t h o d s ，c z h a o ，j w a n g a n dp c h ie ta ld e v e l o p e d a l le f f e c t i v ee x p l i c i tf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rb i o t d y n a m i cf o r m u l a f i o ni nf l u i d - s a t u r a t e dp o r o u sm e d i aa n ds e tu pt h er e f l e c t i o na n d t r a n s m i s s i o nm o d e l so fw a v e so nt h ei n t e r f a c eb e t w e e naf l u i d s a t u r a t e dp o r o u s m e d i u ma n da n o t h e rm e d i u m i nt h e s em o d e l s a 1 1e l e m e n t sa r eq u a d r a n g l ee l e m e n t s w i t hf o u rn o d e s b a s e do nt h e i re x p r e s s i o n sa n dt h et h e o r yo ft r a n s m i t t i n ga r t i f i c i a lb o u n d a r y , a n e x p l i c i tf i l l i t ee l e m e n tm e t h o dt oa n a l y z et h ed y n a m i cr e s p o n s e so ft h r e e - m e d i u m c o u p l e ds y s t e m sw i t ha n ys h a p eo f t h et e r r a i ni s d e v e l o p e d ，i nw h i c hq u a d r a n g l e e l e m e n t s 、撕t l lf o u rn o d e sa n dt r i a n g l ee l e m e n t sw i t ht h r e en o d e sa r eu s e d t h e e x p l i c i tf i n i t ee l e m e n td y n a m i ce x p r e s s i o n sf o rt h en o d e so nt h ei n t e r f a c eb e t w e e n a n yt w om e d i ao ro nt h ej o i n tl i n ea m o n gf l u i d - s a t u r a t e dp o r o u sm e d i a ，e l a s t i c s i n g l e p h a s em e d i aa n di d e a lf l u i dm e d i aa r ep r o p o s e d t h em e t h o di sa p p l i e dt o a n a l y z e t h es e i s m i c h y d r o d y n a m i cp r e s s u r e s i nar e s e r v o i ra n dt h e d y n a m i c r e s p o n s e so f as i t ew i t has a t u r a t e ds o f ls o i ll a y e ru n d e ra nu p p e rs o i ll a v e ld u r i n g t h ea n a l y s i so fh y d r o d y n a m i cp r e s s u r e s t h eh y d r o d y n a m i cp r e s s u r ew i t l ld i f f b r e n t s e d i m e n t st h i c k n e s si sc a l c u l a t e dw h i l eo t h e rc o n d i t i o n sa l ek e p tu n c h a n g e d s oa r e t h eh y d r o d y n a m i cp r e s s u r e sw i t ht h ed i f i e r e n tp o r o s i t yo ft h es e d i m e n ta n dt h e d i f r e r e n tm a s sd e n s i t yo ft h es o l i d p h a s e o ft h es e d i m e n t l a y e r s o m e i n i t i a l c o n c l u s i o n sa r ed r a w n ，w h i c hc a nb eu s e da sr e f e r e n c e so fa n t i 。s e i s m i c d e s i g n d u r i n gt h ea n a l y s i so ft h es i t ew i t has a t u r a t e ds o f ts o i li nt 1 1 e 】o w e rl a y e r , t h e d i s p l a c e m e n t so ft h eo b s e r v e dp o i n to nt h es u r f a c eo ft h es i t ea r ec a l c u l a t e di nt h e c o n d i t i o n so ft h eu p p e rs o i l l a y e ri sd r a i n a g ea n du n d r a i n a g ew i t ht h ed i f f e r e n t t h i c k n e s sa n dp o r o s i t yo ft h es a t u r a t e ds o f ts o l ll a y e r s o m ei n i f i a lc o n c l u s i o n sa r e d r a w n ，w h i c hc a nb eu s e da sr e f e r e n c e so f a n t i s e i s m i cd e s i g no f t h i sk i n do f s i t e 1 1 北方交通 掌硕掌m * 文 i q - - 论 一、科研背景和现状 土是由不同形状和尺寸的颗粒骨架和充满着液体与气体的孔隙组成的集合 体。对于“土”应把它看成是由各种矿物颗粒和不同类型的流体组成的混合物。 理论上，土在被看作两相( 饱和土) 或三相( 非饱和土) 孔隙介质时，其状态 应用各相的应力和位移来描述。土在承受地震荷载时，其颗粒骨架和流体之间 一般存在着速度差，这不但使固相和流体之间产生速度渗阻力，还产生惯性耦 合效应，因此，用单相连续介质理论描述土中的波动是不完善的。地球表面7 0 以上的海洋底部，大部分为饱和沉积土层；另外，在陆地上也有相当大的地区 在不同深度上存在饱和土层。地震波从震源通过各种传播途径，经常要通过饱 和土层最后到达地面。地震波在饱和土层中是怎样传播的，土层中流体对波动 产生怎样的影响是一个值得研究和探讨的问题。历史地震震害表明，地震时在 饱和软土地区发生砂土液化或震害加剧的现象，毫无疑问地说明了地震波在饱 和地层中的传播情况是与一般地层中的情况有很大差别的。因此，建立两相孔 隙介质中的波动理论具有很强的理论和现实意义。 多年来，从b i o t ( 1 9 5 6 年) 【j 】起国内外许多学者基于不同的理论建立了许 多不同类型的两相孔隙介质中的波动方程，使得两相孔隙介质中波动问题的求 解成为可能。然而，由于波动方程的复杂性，在特定的边界条件下很少能求得 解析解。因此，决大多数两相孔隙介质中的波动问题都是采用数值方法求解， 特别是有限元法。文献 2 】介绍了两相孔隙介质中波动方程有限元数值模拟 方法的研究现状，并指出目前所有方法基本都是隐式法1 3 1 或隐一显式法i ”。当这 些方法求解时域解时，一旦问题复杂或自由度较多时，其计算工作量将很大，因 此极大地限制了它们的应用和发展，目前还极少看到它们在工程上应用的文 章；在处理非线性问题时更加不便。 另外，在目前的数值模拟方法中，都只考虑一种、或两种介质耦联的场地 的动力反应，很少考虑包含多种介质耦联的情况。而进行动力反应分析时，场 地中经常存在多种介质耦联的情况。例如在进行水库大坝地震动水压力反应的 分析时，就存在饱和孔隙介质( 淤砂) ，理想流体( 库水) ，单相弹性固体介质 ( 坝体，基岩) 三种不同类型的介质互相耦联的情况。平常所采用的近似计算 ! ! 查兰兰查竺! 主竺竺竺查 一一一_ = ! 模型中，有的计算模型忽略t p 砂的影响：有的计算模型忽略了基岩的影响而 近似为刚体；这些计算模型显然是十分粗糙的。 针对目前用于求解饱和孔隙介质中波动问题的隐式，或隐一显式有限元方 法的缺点。赵成刚，王进廷，迟蓬勃等提出了一种求解b i o t 两相孔隙介质中 波动方程的显式有限元解法例，并建立了波在两种不同介质交界面上的反射与 透射的四节点矩形显式有限元模拟法【6 】【7 】。该方法的特点是：采用解耦技术， 只求单刚而不形成总刚矩阵，不须求解联立方程组。并且节点的运动量仅与周 围几个节点有关，而与其它节点无关，因而具有节省内存空间、提高计算速度 等优点。与局部透射人工边界嘲相结合，形成了可以分析饱和孔隙介质中波动 问题的具有解耦特征的完整而有效的方法。 但他们的模型在两方面不够完善：一、数值模拟模型中仅采用四节点矩形 单元，只能模拟层状矩形介质，无法模拟其它复杂形状的场地，极大地限制了 模型的实用性；二、对三种介质耦合的情况没作深入讨论和研究。本论文的目 的就是要在这两方面对他们的模型进行完善，并将其运用到实际工程问题中 去。 二、本论文的研究内容 从论文的目的可以看出，本论文主要进行二方面的研究工作。第一方面是 建立可用于模拟任意地形形状的流体饱和两相多孔介质一单相弹性固体介质一理 想流体三种介质互相耦联的介质系统的动力反应分析的显式有限元法。第二方 面是将该计算模型应用到实际工程中去。 本论文共分四章： 第一章首先简要介绍了流体饱和两相多孔介质动力反应分析的显式有限元 解法的建立。 第二章推导了波在流体饱和两相多孔介质、单相弹性固体介质、理想流体 介质中任意两种介质交界面上或三种介质交界线上节点动力反应分析的显式有 限元表达式，联合采用四节点四边形单元和三节点三角形单元，结合局部透射 人工边界，建立了可用于模拟任意地形形状的三种介质耦联系统的动力反应分 析的显式有限元法。 第三章将该方法应用到水库地震动水压力的分析中，通过编制相应的计算 程序，分析了淤砂层厚度，淤砂层孔隙率，淤砂层固相骨架密度的变化对水库 地震动水压力的影响，得出了一些初步的结论，可为水库抗震设计提供参考。 jt者变埯夫掌硕掌位论文e 第四章对有饱和软士下卧层的场地地面运动进行了分析，通过编制相应的 计算程序，分析了上覆土层在透水、不透水情况下，当下卧饱和软土层厚度， 孔隙率变化时，对场地地面运动的影响，得出了一些初步的结论，可为有饱和 软土下卧层场地的抗震设计提供参考。 第一章流体饱和两相多孔介质动力 反应分析的显式有限元法 本章概述了流体饱和两相多孔介质的波动理论及其数值模拟的研究现 状，简要介绍了流体饱和两相多孔介质动力反应分析的显式有限元法的建立。 1 流体饱和两相多孔介质的波动理论及其数值模拟的研究现状 随着科学的发展，在岩土工程、地球物理、地震工程、海洋工程和声学 等学科中，均遇到两相饱和孔隙介质中波的传播问题。两相饱和孔隙介质是固 体颗粒骨架和充满在孔隙中的液体组成的混合物，理论上其状态应用固相和液 相的应力和位移来描述。在承受地震荷载时，两相饱和孔隙介质中的固相骨架 和液相之间一般存在着速度差，这不但使两相材料之间产生速度渗阻力，还产 生惯性耦合效应，用单相连续介质理论描述两相饱和多孔介质中的波动是不完 善的。因此，两相饱和孔隙介质的波动理论的研究具有很强的理论和现实意义， 吸引了许多研究者的兴趣，取得了丰硕的成果。 1 1 波动方程 解决流体饱和两相孔隙介质波动问题的关键是建立相应的数学模型。b i o t ( 1 9 5 6 年) 【1 】假定孔隙是相互连通的，孔隙中流体是可压缩的，研究对象统计 各向同性，给出了流体饱和两相多孔介质的弹性动力方程。 b i o t 这一方程的建立为研究两相孔隙介质中的波动理论奠定了基础。随后 b i o t 、门福录、陈龙珠等人给出了不同的波动方程。其中b i o t ( 1 9 6 2 年) 【9 】把 上述理论扩展到各向异性和具有粘弹性的两相饱和孔隙介质中，同时还给出了 和1 9 5 6 年给出的方程等价的以、w ( 其中“为固相位移，w = ( 【，一) 为流 体相对于固相骨架的位移) 为变量的波动方程。门福录( 1 9 8 1 ) 0 0 1 考虑了流体 的可压缩性，引进准微观连续条件的概念，直接联合应用流体动力学方程和固 体弹性和粘弹性动力方程，得到了饱和孔隙介质的动力学方程。陈龙珠等 ( 1 9 8 7 ) m 1 用与文献f l o 】相似的方法，考虑了液固两相之间的惯性耦合效应， 4 给出了饱和土层中的动力方程。n i k o l a e v s k y ( 1 9 8 3 ) m 喇用热力学第一定律和有 关方程，建立起了两相孔隙弹性介质的波动方程，他采用了物理上可测的量 口，比b i o t 方程更方便。z i e n k i e w i c z ( 1 9 8 4 ) 0 1 u 3 1 较系统地推导了两相孔隙介质 的波动方程。并在随后的文章【1 4 】中给出了其波动方程中常数与b i o t 方程中常 数之间的相互关系。 随着混合物理论的发展，亦有许多学者以此为理论依据，建立了两相孔隙 介质的波动方程。例如p r e v o s t ( 1 9 8 0 ，1 9 8 2 ) ”】1 1 6 1 利用混合物理论建立了可考虑 非线性的一般情况下的场方程及瞬态动力方程。m e i 和f o d a ( 1 9 8 1 ) ”7 1 证明了在 不计土颗粒压缩时，b i o t 理论与混合物理论是一致的。茵天德等( 1 9 9 5 ) 1 1 ”依 据混合物理论，讨论了饱和孔隙介质波动的一般方程，考虑了耦合质量、初始 压力及其浮力效应。 综上，虽然许多学者建立了不同的波动方程，但在本质上与b i o t 方程并 无多大差别，只是局部上作了一些修改，b l o t 波动方程仍然具有权威性。 1 2 数值模拟 饱和孔隙介质中的波动方程是液固两相耦联的偏微分方程组，它很复杂， 在初一边值条件下很少能求得解析解。因此绝大多数饱和孔隙介质中的波动问 题都是采用数值方法进行求解，特别是采用有限元法。 文献 2 介绍了饱和孔隙介质中波动方程有限元数值模拟方法的研究现 状，指出最早用于处理饱和孔隙介质中波动问题的数值方法是有限差分法。g a r g 等【1 9 】1 2 0 11 2 h 较早地利用有限差分法对一维弹性或非弹性饱和孔隙介质中波传播 问题进行了研究。g h a b o u s s i 等【2 2 1 首先在b i o t 动力方程的基础上建立变分公式 并由此导得有限元方程。z i e n k i e w i c z 和s i m o n 等人【3 】【”】1 2 3 1 的研究小组对孔隙 介质中波动及有限元数值分析做了较为系统深入的研究，他们在不计惯性质量 耦合项的条件下给出了用不同未知量表示的几种不同形式的有限元方程。 p r e v o s t 领导的研究小组对饱和孔隙介质波动理论进行了精湛的研究。文献 4 提出了一种有限元数值分析方法，该法可用于分析饱和孔隙介质的波动问题。 s a n d h u l 2 4 1 以b l o t 理论为基础，在不计惯性耦合质量项的条件下，给出三个场 即土骨架( 固相) 位移场、液相相对于土骨架的位移场以及孔隙水压力场的有 限元方程和数值计算方法，并用于一维饱和孔隙介质的波动分析。h a r r a 2 s 建 立了一种有限元数值方法，用于分析饱和孔隙弹性层状半空间在r a y l e i g h 波 作用下的土层反应。b o u g a c h a l 2 6 】【2 7 1 提出了一种半解析法，可用于分析饱和孔隙 层状半空间的波动问题。a u b r y 等【2 8 1 建立了非线性有限元方法，并用于分析饱 m z l 矩 掌# 位* 文苎一章 和孔隙介质在地震波作用下场地条件和地质条件的影响及砂土液化问题。y a z d i 等 2 9 】在频域内建立了一种用于分析饱和孔隙成层半空间内波传播问题的有限元 方法。k h a l i l i 等m 】【3 1 1 先后建立了频域内分析无限域饱和两相孔隙介质中波动问 题的一维、二维有限元一无限元耦合方法。用无限元处理无限域问题。 国内，崔杰( 1 9 8 7 ) 删假设介质为多层水平无限饱和土层，采用了土体为 弹塑性和剪胀模型，利用有限差分法建立起分析地震波作用下一维砂土液化过 程的方法。崔杰( 1 9 9 5 ) 3 3 1 建立起了二维有限元方法，该方法考虑了土骨架的 线性、非线性本构关系、剪胀体变和振动孔隙水压力体变以及透水与不透水边 界条件。 张洪武等( 1 9 9 0 ) 1 在文献 1 3 中给出的有限元方程的基础上，将常加速 度一常边界力的广义s m i t h 非反射边界条件用于两相饱和孔隙介质的动力方程 的求解中，并在文献 3 5 中将这一方法用于两相饱和土壤地基与平台结构动力 相互作用。 邵秀民( 2 0 0 0 ) 1 3 6 在b l o t 理论的基础上讨论了流体饱和孔隙介质中波传 播问题的有限元解法。该方法建立的有限元方程中包含有惯性耦合质量项，但 作者并未对此项的取值末作任何说明。 上述用于求解流体饱和两相多孔介质波动问题的有限元法基本上都是隐式 的，或隐一显式的。而这些方法有一个缺点就是在求解时域解时在每一时间步 距必须解一组耦联的线性方程组。当求解问题的自由度较少时，采用这些方法 求解还可适用。一旦问题复杂或自由度较多时，其计算工作量将很大，因此极 大地限制了它的应用和发展。目前还极少看到它在工程上应用的例子。在处理 非线性问题时更加不便。为克服上述缺点，赵成刚，王进廷，迟蓬勃等开发了 一种显式有限元解法【5 】。该方法的特点是：采用解耦技术，只求单刚而不形成 总刚矩阵，不须求解联立方程组。并且节点的运动量仅与周围几个节点有关， 而与其它节点无关，因而具有节省内存空间、提高计算速度等优点。与局部透 射人工边界1 3 1 相结合，形成了可以分析饱和两相多孔介质波动问题的具有解耦 特征的完整而有效的方法。 2 流体饱和两相多孔介质动力反应分析的显式有限元法 本节中从b l o t 波动方程出发，应用g a l e r k i n 法建立了流体饱和两相多孔 介质动力反应分析的显式有限元法。 6 2 1 波动万程 1 9 5 6 年b i o d t l 给出了如下流体饱和两相多孔介质的波动方程： v 2 u + v ( 爿+ ) 卧酬2 ( 尸一- + p t ：驴) + 6 ( 女一寸) v q e + r 8 = ( p 1 2 + p ：驴) 一6 p d ) 式( 1 1 ) 中“和u 分别为固相和液相位移， p = v u ：s = v u 。 p l l = p l + p 。；p 2 2 = p 2 + p 。；户1 2 = - p 。而p l = ( 1 一n ) p ，：p 2 = n p ，；p 。为固 相质量密度，p ，为液相质量密度，p a 为液固两相耦合质量密度( 该质量密度 难以测定，在有限元分析中常取p 。= 0 ) 。b 是与渗流有关的系数，b = 珈2 k ，f 为流体滞变系数，”为孔隙率，k 为渗透系数。系数n 、a 、r 、q 均由实验 计算给出。 2 2 显式有限元方程的建立 考虑两维情况，并按流体饱和孔隙介质动力有限元的通常处理方法【3 】，取 p 。2 0 2 2 1 用矩阵形式表示波动方程 b i o t 波动方程( 1 1 ) 可用矩阵形式表达如下： 肛】7 d ，p 】如) + 陋r 【d ：k 】妙) = p 。缸) + 6 ) - 矽) ) ( 1 2 ) 陋r d ：b ) + 皿】r d ，i q u = p ：矽 6 ) 一矽) ) 其中 【三】7 = 旦。旦 反卸 。旦旦 彦夙 f1k 弘产；陆黝 北方交通大掌掌m 诧文 2 2 2 建立有限元方程的列式 应用g a l e r k i n 法对式( 1 2 ) 进行离散，共划分成m 个单元。设 】 为单元位移形函数矩阵，则 缸 。= 函。) ；妙 。= 】 乩) 饥r = 】k ；帆r = 【】乩 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中缸。) 、妙。) 分别为单元e 的节点固相和液相位移：帆，j 、k j 分别为作 用在单元e 的节点固相和液相的外力；缸 。、 u 。分别为与单元e 有关的节 点的固相和液相位移，阢 。、乩) 。为相应的固相和液相的外力。 根据文献 3 7 直接写出g a l e r k i n 弱式得 e 。 n t p l i n i i 。汹砂+ 善【】7 6 如。 _ 矽。必毋 + 善，陋r 【d - 】陋伽。) 出砂+ 。陋】7 陋：】陋。汹咖 ( 1 5 ) = 年【r 饥，炳 善，i n 7 如【】矽。扭砂一， 】7 6 【。) 一舡踟毋 + ，陋】7 【d ： 【曰弘。 蜘+ ，陋r 【d ，】陋弦，) 出砂 e e ( 1 6 ) = 4 ， r 乩。弦 们j 叫叫 r r o r 冠o l = 慨 们j 川叫 q q o q q o l | | p 1，j 0 o 爿心o 爿 眨爿o 4 l = p ! 兰查兰兰查兰竺主竺竺竺查一曼兰 其中，【8 1 - - 乜】i n 】 2 2 3 划分网格 将平面区域q 剖分成r n 个线性四边形单元， 共有k 个节点。把整体坐标转化为局部坐标后，4 ( 1 ， 在二维平面取任一单元局部坐标系如图1 - 1 所 刁io 四个节点的形函数为： n 。皓，r ) = a 4 0 一孝x 1 一叩) n 2 皓，叩) = 1 4 ( 1 + ：x 1 一r ) ( 1 7 ) n ，g ，叩) = 1 4 ( 1 + 孝x 1 + r ) l ( - l i 1 f ) r 一 3 ( 1 j i l i 一 图卜1 局部坐标系 4 悖，r ) = 1 4 ( 1 一手x 1 十，7 ) 在有限元中某一节点的物理量可以用周围邻 近节点的物理量表示即只有相邻节点对该节点有 。 贡献。考虑已剖分完毕的某一系统中的某一节点， 令该节点为节点1 。图1 2 给出了节点1 和与它直 接相邻的节点所构成的局部节点系。此节点系包 含9 个节点，节点编号用下标表示。这表明所考虑 图l - 2 局部节点系 的系统中的任一节点f 都可令其为节点1 ，其相邻节点都可按图1 2 表示。这 样做的原因是将来都是按节点的顺序，相对单独进行计算的。 下面采用解耦技术给出式( 1 5 ) 和式( 1 6 ) 中关于节点1 的方程： 4 4 聪，谚) + 4 4 瞄( 一谚) ) + 4 4 础。砖 + 4 4 瑞，蟛) ：4 山l ( 1 8 ) l = i _ 1l 莉= 1 l ；1j - l i嗣jzl商 4 4 且旗，聘) 一4 4 ( 澎) 一蟛+ 杰主蟛l 。，澎) + 4 4 磁。，盼) ：杰名( 】9 ) 为简化计算作如下假定：同一单元内惯性力的变化可以忽略不计，即假 定单元内惯性力为常量。根据这一假定有下式成立： 谚) = 溉) ；协) = 矽】 ( _ ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) 9 ( 1 1 0 ) m 与：j 。m 【，】i n , k 妙= f 。f ，舶【，】【川i ，i d 影印 m 南= 他。p ：【。】 ，k 砂= f ，f ，p ： ，】h 】 卅d 影叩 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 帆。娩 + 4 4 ( 每；) 一磅) ) 十壹壹砧，谚) + 善4 善4 瑞，辑) = 喜露 ( 1 ，6 ) m ，鼢 一4 4 瞄( 每钌一眈) ) + 4 4 如，。，谚) + 萋4 善4 聪。，”) = 喜允 ( 1 7 ) c ；= j ：6 【，】【，k d y = f 。f 。6 【，1 ( ， m d 髟叩 k = 虬【8 ，r 【d 1 】b m d 砌 k = 足= f ，f ，阻r 【d 2 】b 】b 4 d 当d v = f 。f 陋r 【d 3 】b i ， 倒卵 形= f 。【l e 咖 蹈= f 槲西= 斜 和t 为单元边界固相x 方向和y 方向的分布外力。玎为边界孔隙水压 力。 式( 1 1 6 ) 和式( 1 1 7 ) 是由式( 1 5 ) 和式( 1 6 ) 采用解耦技术经推导 而得到的关于节点1 的有限元列式。 2 2 4 推导内部节点动力反应表达式 o 一 一 一 一 - 一曲凛钆 一 蟛 一仆陆一冱一 磊瓿川 一斛p 渺菰罄 羲l。m 北方冀蝇 掌m t 攀位饨文 采用有限元法处理无限域问题时，必须引入人工边界，因此有限元网格 中的节点就被分为人工边界节点和内部节点两类。下面将推导有限元网格划分 后任一内部节点( 节点1 ) 运动量的表达式。人工边界节点运动量的表达式可 由内部节点的运动量表示，这将在后面详述( 见2 4 人工边界) 。 将式( 1 1 6 ) 和式( 1 1 7 ) 在时间步数为p 时( 时间= p + a t ) 的表达式和在时间步 数为p + l 时( 时间= ( p + 1 ) + t ) 的表达式相加可得 心如“ + 矗+ 萎4 弘4 【晦州) + 妒一水p + 陟吟卜主z ：l 趣- - i 船蹦) + 盼曲 + 窆宝石，( ” 1 + ”，j ) = 4 ( 露一- 蝣r ，) ( 1 1 8 ) l lj 5 l l ；1 ( 2 ) ；“1 j + 研j ) 一丢4 弘4 【电 + = ， ) 一辑“ + 防功) + 萎4 擎4 町衍“j + 谚 + 砉喜k 易“谚，p + 1 ) + 谚，) ) = 善4 ( 站“+ 鼢9 ) ( 1 1 9 ) 由关于时间的中心差分法可知 j = 去( “j _ 旷1 ) 矽) = 吉( 矿1 h 甲) + 矿) ) ( 1 2 0 ) ( 1 2 1 ) 式( 1 2 0 ) 、式( 1 2 1 ) 中a t 为时间步长，p 为步数。由式( 1 2 0 ) 和式 ( i 2 1 ) 可得： = 素( 渺1 一卜列2 ，0 ( 1 2 2 ) 式( 1 2 0 ) 、( 1 , 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 中 矽 、 印 、f 印 分别为节点，在g 时刻 位移、速度、加速度。为简化表达，w = 甜，u ( w 既可表示固相位移“，也 可表示液相位移u ) ；q = p i ，p ，p + i ，孽和p 均表示时间步数。 把式( 1 2 2 ) 代入式( 1 1 8 ) 和式( 1 1 9 ) ，令节点1 为节点f ，可得 妒1 j - 舻j + 出留 一等 喜喜喏( 好寸恸，玲喜壹础口蓬壹缸，寸盟4 ，l o 2 3 ) 一 l l i lj 司 阔j m ll = 一i 酉+ 。? 了i ! 兰! 苎兰查兰竺兰竺苎兰圭兰! 防1 - 陋圳 、 一等喇k 乞扔( 舻 _ 磅。，扣乏4 4 硫船， 萋4 乏4 x 脚盼，1 弘4 ， ( 1 2 4 z l 仁i j = l l = ij = l扫lj 2 i 垆1 j n e w m a r k 常平均加速度法采用了如f 假足： 毖：! ! 丝：! ：业：! ! 二逝：!( 1 2 5 1 2 a t 矿1 ) ： 旷) + & 矽) + 4 & 2 ( 矿1 ) + 秽) ) ( ，2 6 ) 由式( 1 2 5 ) 和式( 1 2 6 ) 可以得： i 堕：! ：i 堕：! ： 兰二二! ! 二 兰： ( ，：，) 2r 式( 1 2 5 ) 、( 1 2 6 ) 、( 1 2 7 ) 中符号意义与式( 1 2 0 ) 、( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 中 相同。把式( 1 2 5 ) 和式( 1 2 7 ) 代入式( 1 2 3 ) 和式( 1 2 4 ) 可得速度表达式： 妒- ) - 留 - 螈i 壹蠡，l 黔l 叫一舻9 一孵川) 一陟 ) + 了, s t 隆妇l 川l 9 lj m + 眺垃踟州+ 睁一础4 川船俨8 二i凸l，；i嗣j=l=l | j 陟一) ：协 - 螈- ，1 圭壹，l 【( ( u ，l , 一1 ) _ 砖，9 + ( 盼川) _ 嘭，嘲 1 6 ，l l 二一4 一4 一l u ，l 川) + ”，+ 4 4 瑞聊( 协川) + 谚，) ) 一4 川+ 龙勺 2 9 p ”“ ，、( 1 ) l 扛l ，= l厶l j - 扣l jj 由式( 1 2 2 ) 可解得加速度的表达式为 每? + 1 = 一每? + 2 ( ”1 卜 i ，f ) l a t ( 1 3 0 ) 矽，+ 1 = 一妙? + 2 ( 矽? + 1 一移? ) 出 ( 1 3 1 ) 式( 1 2 3 ) 、( 1 2 4 ) 和式( 1 2 8 ) 、( 1 2 9 ) 、( 1 3 0 ) 、( 1 3 1 ) 组成一个求解 b i o t 流体饱和两相多孔介质波动方程式( 1 1 ) 的自起步有限元的显式差分格 式。从式( 1 2 3 ) 和式( 1 2 4 ) 可见，& ? “ 和 u j 可用前一步p 的运动量求 1 2 解；然后式( 1 2 8 ) 和式( 1 2 9 ) 中的函 和移 可由缸 和p 以及前 一步p 的运动量求解；最后，式( 1 3 0 ) 和式( 1 3 1 ) 中的每 和p 可由 每，+ 1 ) 和 + 1 ) 以及前一步p 的加速度求解。因而，根据式式( 1 2 3 ) 、( 1 2 4 ) 、 ( 1 2 8 ) 、( 1 2 9 ) 、( 1 3 0 、( 1 3 1 ) 就可以利用前一时刻的反应求得此一时刻i 点的动力反应。 2 3 人工边界 根据b i o t 动力理论可知饱和多孔介质中存在三种波( p1 ，p 和s 波) ， 每一种波都以其固有的波速向前传播。也就是说，无论是液相还是固相，对某 一特定的波来说( 例如只波) ，都是以同一波速沿同一方向向前传播。但固相 位移与液相位移具有固定的关系。基于文献【8 i 中所提供的单相介质多次透射人 工边界，我们提出饱和多孔介质的固相位移和液相位移分别以同一波速通过人 工边界，在固相和液相分别应用文献【8 1 给出的多次透射人工边界，求出边界 节点上固相和液相的散射位移场。 2 4 计算步骤 利用本章建立的显式有限元解法计算动力反应的步骤可总结如下： 第一步、引入人工边界，给出计算区域。 第二步、输入初始位移场或作用力场。 第三步、将计算区划为有限元网格，用有限元节点系代替连续介质区。 第四步、计算准备： ( 1 ) 、形成集中于每一节点的质量； ( 2 ) 、形成每一节点的计算刚度和阻尼： ( 3 ) 、令p = 0 和p = 0 时刻以前的若干时刻的节点位移为零； 第五步、计算p 、p = 1 时刻的节点外力。 第六步、计算p + l 时刻的动力反应： ( 1 ) 、用式( 1 2 3 ) 、( 1 2 4 ) 计算每一内部节点t + l x t ( p + 1 步) 时刻的位 移反应。利用囊， = 函) 一u ， ( 缸，) 为入射位移场) ，可得人工边界散射位移场。 计算人工边界上p + 1 时刻的散射位移，然后利用每) = 函，) + 缸，) 可计算出人工 1 3 北方交遣太掌女掌t 论r! 二! 边界上的总位移场； ( 2 ) 、用式( 1 2 8 ) 、( 1 2 9 ) 计算每一内部节点h a t ( p - i - 1 步) 时刻速 度反应。与第六步( 1 ) 同理可得人工边界上的总速度场： ( 3 ) 、用式( 1 3 0 ) 、( 1 3 1 ) 计算每一节点h 出( p - t - 1 步) 时刻的加速 度反应。 第七步、循环第五、六两步，计算区域网格上所有节点在不同时刻的动力反应。 2 5 结语 本节导出了流体饱和两相多孔介质动力反应分析的一种显式有限元方法 的计算公式。为对流体饱和两相孔隙介质动力反应进行数值模拟提供了一种有 效的方法。并为多种介质互相耦联的复杂场地数值模拟模型的建立提供了基 础。至于该方法的数值计算稳定性等问题将在另文加以讨论。 4 ! ! 空兰竺查竺! 主竺苎塑查! ：三! l 第二章三种介质耦联系统中动力反应分析的显式有限元法 本章推导了流体饱和两相多孔介质、单相弹性固体介质、理想流体介质三 种介质交界线上节点动力反应分析的显式有限元表达式，建立了可用于模拟任 意地形形状的流体饱和两相多孔介质一单相弹性固体介质一理想流体介质系统 的动力反应分析的显式有限元法。 1 引言 在处理涉及流体饱和两相多孔介质波动问题的复杂场地的数值模拟模型 中，一般存在多种介质的动力相互作用和处理无限域问题，计算模型复杂，计 算工作量大，因此，研究工作的关键是建立一套高效的数值计算方法。目前的 数值计算模型都只考虑一种、或两种介质耦联的介质系统的动力反应，很少考 虑包含多种介质耦联的情况。例如在进行大坝地震动力反应分析时，就存在流 体饱和两相多孔介质( 淤砂) ，理想流体( 库水) ，单相弹性固体( 坝体，基岩) 等三种不同类型的介质耦联的情况。目前所采用的近似计算模型中，有的计算 模型忽略了淤砂的影响；有的计算模型忽略了基岩的影响，而近似为刚体；这 些计算模型显然是十分粗糙的。 赵成刚，王进廷，等推导了用于求解b i o t 流体饱和两相多孔介质波动方程 的显式有限元表达式，并建立了波在两种不同介质交界面上的反射与透射的四 节点矩形显