（控制理论与控制工程专业论文）基于自由权矩阵的时滞相关鲁棒稳定与镇定.pdf

摘要 时滞现象常常出现在各毒申工程、生物_ ；5 鞋经济等系统中，荚骥究在过 去数十年来得到了许多学者的广泛关淀。时滞常常是导致系统不稳定的 的一个重要原因。时滞系统的稳定条件可分为两大类：时游糨关祭件和 时游无关条件。时滞相关条件由于考虑了时滞信息，因此眈时滞无关条 件舆有更低的保守性。目前，时滞相关研究的主要方法是确定模型变换， 帮拳j 霜一个积分磺来表示时滞硬的方法。这种确定模型变羧的方法中主 要使用四种基本的模型变换，其中的广义模型变换结合p a r k $ m o o n 等 的不等式楚鑫蓠最有效的方法，毽还存在一定的是袋性：在l y a p u n o v 泛 函的导数中，时滞项x ( t 一九) 在某些地方被o 一，2 ( s ) d s 替换，而在 荬它些撬方刘被傈磐下来，俊得表示牛顿一莱京尼茨公式中各项相 互关系的权矩阵是固定的。 论文蓄先指出了莓前时滞稻关磷究的主要方法新存在的局限性，特 别对其中的确定模型变换方法进行了详细分析。针对这种局限性，提出 一释自壶板矩阵方法，铡雳自由投篷簿来表示牛顿一菜京尼茨公式中 各i 贞的相互关系，并可通过线性矩阵不等式( l m i ) 求解，可以克服利用 固定权矩隧带来鼹保守性。 对于具有时变时滞的线性系统，利用自由权矩阵裘示牛顿一莱布尼 茨公式中餐矮熬关系，获得了系统时滏棰关麴稳定条件，并推广裂对眩 滞微分没有限制的时滞棚关时滞变化率无关的稳定条件。磁l y a p u n o v 泛 函的导数中，通过对童( ) 这一i 燹采用缳整或髑系统方程替换魄嚣耱不尽 处理方式，获得了这类准则的两种形式，并证明了它们的等价性。在此 基础上，将所获得的准则推广到具有时变结构不确定性的系统。阉时， 由于保留童的这种处理方式自然地分离t l y a p u n o v 矩阵和系统矩阵， 能够很方便地将标称系统的结论推广到基于参数依赖l y a p u n o v 泛函的 具有多项式鍪不确定性的时变时滞系统。 在利用自由权矩阵方法进行时变时滞系统时滞相关稳定分析所得结 论静基础上，采用基予l m i 的菲线性最小纯阎题的迭代方法和参数调整 方滋，获得了具有时变时滞的线性系统时滞相关镇定的控制器设计方法， 著对时滞微分没有限裁静时滞相关挎 滞交纯率无关镇定阗题，褥莼了 基于l m i 的控制器设计方法。 对于具有定常时浠静双时滞系统，m 幂| j 用自由权矩阵表示两个时滞的 关系，得到了时滞相关稳定准则。说明了当两个时滞相等时，所获得的 滚烫l 是郡单露澎系统所对应的灌刚等价静。麓时，这一总怒被箍广蜀具 有多定常时滞的系统，获得了系统时滞相关稳定的一般形式。 对予中立墅系统，利甭自由权瓶阵方法，首先讨论了矮有时变离散 时滞中立型系统的离散时滞栩关中立型时滞无关稳定条件；然后对于 鬃有禚阕离散时滞帮中立型融滞豹中立垂系统，暴麓叁由权矩降方法戬 及自由权矩阵方法结合参数化模型变换方法，得到了系统时滞相关稳定 漆粼；最后，对予具鸯不霹定需褰教对滞翻中立型黠瀑豹中立型系统， 撼于自由权矩阵方法，获得了离散时滞相关中立世时滞相关的稳定条 件，并瀵臻了壹接剥用童壶权矩阵方法赝获得的具有相爱中立型时滞和 离散时滞的中立型系统时滞相关稳定是这一结论的特殊情形。 对予具有多 # 线馕执行瓿梅静融滞l u r i e 控制系统，获褥了震l m l 寒 表示的存在扩展l u r i e 趔l y a p u n o v 泛函且保证系统绝对稳定的充分必要 条件，并攘广到具有时变结构不确定性鲍系统。疑对，利用自由投矩阵 方法，获得了具有时变时滞的l u r i e 控制系统时滞相关的绝对稳定条件。 对予具有时变眩滞麓嘉教系统，利震鑫国权蹩终方法对系统时滞翊 关时滞变化范围相关的稳定性进行分析，并将其推广到具有时变结构 不确定擞的系统。在稳定性分析所 ! 譬结论欧的基础上，粟用基予l m l 的 非线性最小化问题的迭代方法和参数调整方法，获得了系统时滞相关镶 定的状态反馈控制器设计方法。不仅时滞上界，恧且时滞变化的范围都 对稳定和镇定的的结论文产生褶应的影响。 最后，对皇出权斑阵方法在线性时滞系缆、中立型系统、l u r i e t 线 性时滞控制系统以及离散时滞系统的时滞梢关鲁棒稳定和镇定的应用进 行了总结，著对自由权矩阵方法的应用以及时滞棚关条件研究的困难进 行了展魑。 关键词对游栩关条件，稳寇性，镇定，自由权矩终，线性矩阵不等式 a b s t r a c t s y s t e m sw i t ht i m ed e l a y sa r ef r e q u e n t l ye n c o u n t e r e d i na r e a sa s d i v e r s ea se n g i n e e r i n g ，b i o l o g y , a n de c o n o m i c s ，a n dh a v eb e e na t t r a c t i n gag r e a td e a lo fa t t e n t i o no v e rt h ep a s tf e wd e c a d e sb e c a u s ed e l a y s a r eo f t e nas o u r c eo fi n s t a b i l i t y ，t h e r e & r et w ot y p e so fs t a b i l i t y c r i t e - r i af o rs u c hs y s t e m s ：d e l a y - d e p e n d e n ta n dd e l a y - i n d e p e n d e n t s i n c e d e l a y - d e p e n d e n tc r i t e r i am a k eu s eo fi n f o r m a t i o no nt h el e n g t ho f d e l a y s ，t h e ya s sl e s sc o n s e r v a t i v et h a nd e l a y - i n d e p e n d e n to n e s t h e m a i nm e t h o de m p l o y e dt od e r i v ed e l a y - d e p e n d e n tc r i t e r i ai n v o l v e sa f i x e dm o d e lt r a n s f o r m a t i o n ，w h i c he x p r e s s e st h ed e l a yt e r mi nt e r m s o fa ni n t e g r a l a n dt h e r ea r ef o u rb a s i cm o d e lt r a n s f o r m a t i o n st h a t a r ec o m m o n l yu s e d 。a m o n gt h e m ，t h ed e s c r i p t o rm o d e lt r a n s f o r m a - t i o nc o m b i n e dw i t hp a r k so rm o o ne to j si n e q u a l i t i e si st h em o s t e 基c i e n ta n dl e a s tc o n s e r v a t i v e h o w e v e r ，i tu s e st h el e i b n i z n e w t o n f o r m u l ai nt h ed e r i v a t i v eo ft h el y a p u n o vf u n c t i o n a l ，a n dt h ed e l a y t e r mx ( t 一劲i sr e p l a c e db y 嚣( ) 一z ： 圣( s ) 杰i ns o n l ep l a c e sb u t r e t a i n e di no t h e r si no r d e rt om a k et h el y a p u n o vf u n c t i o n a le a s i e r t oh a n d l e w h i l et h i sm e t h o di se q u i v a l e n tt ou s i n gp r e s e l e c t e df i x e d w e i g h t i n gm a t r i c e st oe x p r e s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h et e r m si n t h el e i b n i z n e w t o nf o r m u l a ，t h e r em u s te x i s to p t i m a lw e i g h t i n gm a - t r i c e sf o rt h o s et e r m s s o ，t h e r ei sr o o mt or e d u c et h ec o n s e r v a t i s m o ft h em e t h o d i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h el i m i t a t i o n so ft h em a i nm e t h o d su s e dt o h a n d l ed e l a y - d e p e n d e n tp r o b l e m sa r ef i r s te x a m i n e d ，e s p e c i a l l yt h o s e i n v o l v i n g af i x e dm o d e lt r a n s f o r m a t i o n af r e e w e i g h t i n g m a t r i xm e t h o d i sp r o p o s e dt or e l a xt h el i m i t a t i o n s + i nt h i sm e t h o d ，f r e ew e i g h t i n g m a t r i c e se x p r e s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h et e r m si nt h el e i b n i z i l l n e w t o nf o r m u l as ot h a tas o l u t i o nc a nb eo b t a i n e db y s o l v i n gl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) ，w h i c hm a k e st h em e t h o dl e s sc o n s e r v a t i v e t h a nt h o s ee m p l o y i n gf i x e dw e i g h t i n gm a t r i c e s f o rs y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ，t h en e wm e t h o de m p l o y s f r e ew e i g h t i n gm a t r i c e st oe x p r e s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h et e r m s i nt h el e i b n i z - n e w t o nf o r m u l a ，a n dt od e r i v ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc o n d i t i o n s m o r e o v e r ，t h ec r i t e r i aa r ee a s yt oe x t e n dt ot h e d e l a y - d e p e n d e n t r a t e - i n d e p e n d e n ts t a b i l i t yc o n d i t i o n s t w oc r i t e r i a a r eo b t a i n e d ，d e p e n d i n go nh o wt h et e r m 圣0 ) i nt h ed e r i v a t i v eo f t h el y a p u n o vf u n c t i o n a li sh a n d l e d ；a n dt h e i re q u i v a l e n c ei s p r o v e d o nt h i sb a s i s ，t h ec r i t e r i aa r ee x t e n d e dt os y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n g s t r u c t u r e du n c e r t a i n t i e s f u r t h e r m o r e ，s i n c et h en e w w a yo fh a n d l i n g t h et e r m 圣( t ) s e p a r a t e st h el y a p u n o vm a t r i c e sa n dt h es y s t e mm a - t r i c e si na ne a s yw a y , t h i st r e a t m e n ti se a s i l ye x t e n d e dt od e a lw i t h t h ed e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t yo f s y s t e m sw i t hp o l y t o p i cu n c e r t a i n t i e s ， b a s e do i lap a r a m e t e r - d e p e n d e n tl y a p u n o vf u n c t i o n a l b a s e do nt h ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i at h u sd e r i v e d ，a n i t e r a t i v em e t h o do fs o l v i n gan o n l i n e a rm i n i m i z a t i o np r o b l e ms u b j e c tt ol m ic o n d i t i o n sa n dam e t h o do fa d j u s t i n gt h ep a r a m e t e r sa r e e m p l o y e dt od e s i g nas t a t i cs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rt os t a b i l i z et h e s y s t e m i na d d i t i o n ，ad e l a y - d e p e n d e n t r a t e - i n d e p e n d e n ts t a b i l i z a - t i o nc o n d i t i o nb a s e do nl m ic o n d i t i o n si so b t a i n e d f o ras y s t e mw i t ht w ot i m ed e l a y s ，d e l a y d e p e n d e n tc r i t e r i aa r e d e r i v e db yt a k i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed e l a y si n t oa c c o u n ti n t h ef r e e - w e i g h t i n g - m a t r i xm e t h o d w h e nt h ed e l a y sa r ee q u a l ，t h e c r i t e r i aa r ee q u i v a l e n tt ot h o s ef o ra s y s t e mw i t has i n g l et i m ed e l a y a r e s u l tt h a th a sb e e no b t a i n e df o rt h ef i r s tt i m e i na d d i t i o n ，t h i si d e a i se x t e n d e dt ot h ed e r i v a t i o no fd e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i af o r as y s t e mw i t hm u l t i p l et i m ed e l a y s t h ef r e e - w e i g h t i n g - m a t r i xm e t h o di sa l s oe m p l o y e dt oa n a l v z e t h ed i s c r e t e d e l a y - d e p e n d e n ta n d n e u t r a l - d e l a y i n d e p e n d e n ts t a b i l i t y o fan e u t r a ls y s t e mw i t ha t i m e v a r y i n gd i s c r e t e d e l a y t h i sm e t h o d ， a n da l s ot h i sm e t h o di nc o m b i n a t i o nw i t hap a r a m e t e r i z e dm o d e l t r a n s f o r m a t i o n ，a r eu s e dt od e r i v ed e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t yc r i t e r i a f o rn e u t r a ls y s t e m sw i t hi d e n t i c a ld i s c r e t e a n dn e u t r a l d e l a y s b a s e d o nt h i sm e t h o d ，d i s c r e t e a n dn e u t r a l d e l a y d e p e n d e n ts t a b i l i t vc r i t e r i aa r eo b t a i n e df o ran e u t r a ls y s t e mw i t hd i f f e r e n td i s c r e t e a n d n e u t r a l - d e l a y s i ti ss h o w nt h a tt h e s ec r i t e r i ai n c l u d et h o s ef o ri d e n t i c a ld i s c r e t e a n dn e u t r a l d e l a y sa sa s p e c i a lc a s e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e v i s e df o rt h ee x i s t e n c e o fa ne x t e n d e dl y a p u n o vf u n c t i o n a li nt h el u r i ef o r mt h a t g u a r - a n t e e st h ea b s o l u t es t a b i l i t yo fal u r i ec o n t r o ls y s t e mw i t had e l a y a n dm u l t i p l en o n l i n e a r i t i e s i ts i m p l i f i e st h ee x i s t e n c ep r o b l e mt o o n eo fs o l v i n gas e to fl m i s t h e s ec o n d i t i o n sa r et h e ne x t e n d e d t oal u r i ec o n t r o ls y s t e mw i t ha d e l a y , m u l t i p l en o n l i n e a r i t i e s ia n d t i m e v a r y i n gs t r u c t u r e du n c e r t a i n t i e s m o r e o v e r it h ef r e e w e i g h t i n g - m a t r i xm e t h o di se m p l o y e dt oo b t a i nd e l a y d e p e n d e n ta b s o l u t es t a - b i l i t yc r i t e r i af o rl u r i ec o n t r o ls y s t e m sw i t hat i m e - v a r y i n gd e l a ya s w e l l f o rd i s c r e t e t i m es y s t e m sw i t ha ni n t e r v a l - l i k et i m e 。v a r y i n gd e l a y , t h ef r e e - w e i g h t i n g - m a t r i xm e t h o di su s e dt os t u d yt h ed e l a y d e p e n d e n t r a n g e - d e p e n d e n ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o np r o b l e m ，a n d t h er e s u l t sa r ee x t e n d e dt oas y s t e mw i t ht i m e v a r y i n gs t r u c t u r e d u n c e r t a i n t i e s t h e n ，b a s e do nt h es t a b i l i t ya n a l y s i s ，am e t h o do f d e s i g n i n gad e l a y d e p e n d e n tm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri s d e r i v e d n u m e r i c a ie x a m p l e ss h o wt h a tb o t ht h eu p p e rb o u n da n d t h er a n g eo ft h et i m e - v a r y i n gd e l a ya f f e c tt h er e s u l t s f i n a l l y , h o wt h ef r e e - w e i g h t i n g - m a t r i xm e t h o dc a nb eu s e dt o v s o l v et h ed e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o np r o b l e mf o rl i n e a rs y s t e m s ，n e u t r a ls y s t e m s jl u r i ec o n t r o ls y s t e m s ，a n d d i s c r e t e t i m es y s t e m sw i t hd e l a y si so u t l i n e d p o s s i b l ea p p l i c a t i o n s t oo t h e ra r e a sa r ea l s os u g g e s t e d i na d d i t i o n ，p r o b l e m sw i t hd e l a y d e p e n d e n tc o n d i t i o n sa n dt h ed i r e c t i o no ff u t u r e s t u d i e sa r em e n t i o n e d k e yw o r d sd e l a y d e p e n d e n tc o n d i t i o n s ，s t a b i l i t y , s t a b i l i z a t i o n f r e e w e i g h t i n gm a t r i c e s ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y v i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成鬃。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或萁德单位的学位域证书疆使焉过的誊孝料。与我共同工作的黼志对本 研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名：虹二蔓 基期：竺兰年竺羁上雹 关于学位论文使用授权说明 本人了鳃中商大学有关曝露、馊耀学位论文懿凝定，瑟：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内蜜，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名： 翻 之卜铲 导师签名牲日期：巡年丝月丝日 第一章绪论 1 1时滞系统及其稳定性研究 在一些物理和生物现象中，现在的状态变化率依赖于过去的状态，系统的这 种特性称之为时滞，而具有时滞的系统称之为时滞系统。人们很早注意到生物系 统的时滞现象，后来发现许多工程系统，如机械传动系统，流体传输系统，冶金工 业过程以及网络控制系统，都存在着时滞现象，而且时滞常常是造成系统不稳定 的一个重要原因。由于其广泛的研究背景，时滞系统的研究得到了许多学者的关 注( 1 4 】) 。二十世纪五、六十年代就建立了时滞系统的基本理论，包括运动方程解 的存在唯一性，零解的稳定性理论等，为后来时滞系统的分析和设计打下了基础。 稳定性研究是控制理论中一个非常重要的基础问题，有许多专著对此进行了 深入的讨论( 5 7 】) 。对于时滞系统，其稳定性研究起源于上一世纪五十年代，研究 方法有频域和时域方法，而频域方法是最早的稳定性研究方法，它通过特征方程 根的分布( 8 ”或复l y a p u n o v 矩阵函数方程的解( 9 ) 来判别稳定性，只适用于 定常时滞系统。时域方法主要有l y a p u n o v 泛函方法和r a z u m i k h i n 函数方法，它 们分别由k r o s o v s k i i 和r a z u m i k h i n 创立于上一世纪五十年代末( f 2 ) ，是时滞系 统稳定性分析的一般方法。上一世纪九十年代以前，由于没有一般的方法来构造 l y a p u n o v 泛函或l y a p u n o v 函数，所得到的条件一般也只是一些存在性条件而且 不可能获得一般解。后来，利用r i c c a t i 方程或线性矩阵不等式( l m i ) ( 1 0 1 ) 并利 用m a t l a b 工具箱的求解方法，利用它们的解来构造l y a p u n o v 泛函或l y a p u n o v 函数，使得其应用在线性系统的稳定性分析中起到了非常重要的作用。 1 2 时滞相关与时滞无关条件 在二十世纪九十年代以前，提出的关于时滞系统的结论基本上都是与时滞的 大小无关的，也就是说在进行系统稳定性或其它性能研究时，不考虑时滞的大小， 即对时滞不作任何限制，这样所得到的结论显然对于任意的时滞都是成立的。然 而，许多实际系统中的时滞一般都是有界的，无穷时滞很少出现，这种不考虑时滞 大小的结论，因为适用于任意大小的时滞，当时滞有界时，或者时滞比较小时，是 相当保守的，这类不考虑时滞大小的条件被称之为时滞无关条件( 1 1 1 4 ) 。与之 相对应，考虑了时滞大小对系统稳定性和性能的影响的条件，就称为时滞相关条 件。例如，就系统的稳定性而言，考虑线性时滞系统 士( t ) = a x ( t ) + a a x ( t h )( 1 1 ) 博士学位论文 第一章绪论 骰设当h 一0 时，系统燕稳定鹃，那么根攥系统静连续健，当h 穰小露系统应该 是稳定的。但是，并非对任意h 0 系统都是稳定的，这样一定存在着一个上界， 姿h 小于这个上爨魏霹媛，l 保谖系统静稳定毪，这样，与保l 歪慈统稳定缝酶时 滞上界相关的准则，就称为时滞相关稳定条件。 近年米，在稳定往分辑、鲁箨控镧、手k 控毒l 、可靠控翻、绦成本控镪、魄帮 输入控制以及混沌系统控制中的时滞相关问题已弓 起了许多学者的关注和广泛研 究t 成受控制理论豹一个热点阁嚣f 1 5 - 5 4 1 ) 。 1 3 时滞相关条件的研究方法鋈颓及局隈健 霞前，壹予颓域方法在处理辩变露漆| 蠢蘧土黪局隈。羧，国际上钎对露滞穗关 问题主要采用时域研究方法，可分为三类：离散l y a p u n o v 泛函方法，确定模型变 换方法零参数纯攒鍪交换方法。 离散l y a p u n o v 泛函方法主要用于讨论一类具有定常时滞的线性系统、中立型 系统的稳定往，对l y a p u n o v 泛嚣进行离散亿，新褥结栗用l m l 表示f 1 5 - - 1 8 ) 。 该方法的优点是：对于保证系统稳定的时滞界限的估计非常接近于实际慎，但其 算法复杂，更重要熬是这方法逐霄两个鬟要懿粥；基萑：第一，这类方法只逶霜予 飘有定常时滞的系统，对于具有时变时滞的系统怒失效的；第二，这类方法很难推 广到综合阉题。毽藏，这类方法鼓1 9 9 7 年c ；u ( 1 5 1 ) 握出露，只毒少数学学避行磅 究，没有得到广泛的推广和应用。 确定模型交换方法麦罄莛将一个具有离散薅潞的系绫逶遂牛顿一黎蠢涅茨 公式转化为一个段有分布时滞的新系统，再对这个新系统进行讨论。主要的模型 交换可以分藏如下4 类( f l 蹋： ( 1 ) 一阶模型变换，即将系统( 1 1 ) 变换成 t t e ( t ) = ( a 十a d ) x ( t ) 一a df 【a x ( s ) + a d x ( s 一向) 】d s ，( 1 2 ) ( 2 ) 中立型模型变换，即将系统( 1 1 ) 变换成 差憾。) 叫叫椭， ( 3 ) 熬于p a r k ( 2 0 1 ) 稚m o o n 等( 2 l 】) 的不等式酶模型变换，邵将系统( 1 1 ) 变换成 亩( ) = 汹+ a d ) 茹( t ) 一血e 童s ) 如， l ， ) 2 博士学位论文第一章绪论 ( 4 ) 广义系统模型变换，即将系统( 1 1 ) 变换成 ： ：；三答2a 。，z 。，一a 。正。圣。，d 。 c - s ， 对于上述4 种模型变换，g u 等在 2 2 ，2 3 中指出，经过模型变换( 1 ) 和( 2 ) 后，变换后的新系统将产生附加特征值，新系统和原系统是不等价的，因而用新系 统讨论稳定性不可避免地存在保守性( 2 4 3 2 ，3 6 3 8 ) 。同时，基于这两类模型变换 的时滞相关条件在一般情况下需要使用一个向量不等式( 2 7 ，3 0 - 3 2 ，3 6 - 3 8 1 ) ： 一2 a t b a t x a + 6 t x 一1 b( 1 6 ) 其中a ，b r ”，x = x 丁 0 。p a r k ( 2 0 ) 在1 9 9 9 年指出这个不等式是非常保守 的，并提出了一个新的不等式： 一2 a t b ( + m b ) t x ( a + m b ) + b t x 一1 b + 2 b t m b ， ( 1 7 ) 其中a ，b r n ，x = x t 0 ，m 是任意合适维数的矩阵。这个不等式能大大克服 不等式( 1 ，6 ) 的保守性，而m o o n 等( 2 1 1 ) 在2 0 0 1 年将这个不等式推广成更一般 的形式： r n rrx y 一门r 0 1 rxy 一2 扩6 16 y t 一， z6l ，iy tzl o ) ( 1 8 ) 其中a ，b r n ，x ，z 是任意合适维数的矩阵，是合适维数的单位矩阵。基于 p a r k 和m o o n 等的这两个不等式( 1 7 ) 和( 1 8 ) 产生了模型变换( 3 ) ，由这个模型 变换得到的新系统是和原系统等价的，这样就大大地克服了模型变换( 1 ) 和( 2 ) 带 来的保守性。模型变换( 4 ) 在2 0 0 1 年由p r i d m a n 等( 【3 9 4 2 】) 提出，后来结合了 p a r k 和m o o n 等的不等式，近两年来得到了非常广泛的应用( 1 9 ，4 3 5 4 ) 。从本 质上来说，模型变换( 4 ) 还是模型变换( 3 ) 的一个变化形式，从数值例子可以看出 其结果稍优于模型变换( 3 ) ，但理论上很难说明其优越性。这4 种确定模型变换方 法简单，对于稳定性和性能分析，基本上都能用l m i 求解。除模型变换( 2 ) 外，其 它三种模型变换都能用来讨论具有时变时滞的系统，而且能够推广考虑各种综合 问题来求解控制器。特别是模型变换( 3 ) 和( 4 ) ，由于大大克服了模型变换( 1 ) 和 ( 2 ) 的保守性，已经成为目前解决时滞相关问题的主要方法。然而，( 3 ) 和( 4 ) 这两 类模型变换还存在一定的局限性：在进行稳定性和性能分析时，它们本质上是基 于牛顿一莱布尼茨公式来替换l y a p u n o v 泛函导数中的时滞项，但并非每一个都 能被替换。例如，在2 1 1 中，l y a p u n o v 泛函的导数用下式表示： 1 ：，( 观) = 2 x t ( t ) p 2 ( t ) + - - + 圣r ( t ) z 亩( t ) + 一， ( 1 9 ) 3 博士学位论文 第一章绪论 其中p iz 都是l y a p u n o v 泛函中的待定矩阵。对于矿( z t ) 中的。( t 一 ) 这一项( 由 系绞方程替换圣( t ) 产生) ，其中2 x t ( 谚p 幻中靛善擘一h ) 被戆换，藤h k t ( t ) z x ( t j 中的x ( t h ) 没被替换。这种处理等价于将 2 x ( t ) p a d | 茗( 笱一z 0 一h ) 一i 。窖( s ) 蠢s | ( 1 。t 0 ) 这一等于零的项加入v ( 甄) ，所以，对于牛顿一莱布尼茨公式中的各项，采用的 是固定的衩矮阵( 如髫( 为这一项麓教矩阵就是p 也，丽x ( t h ) 静衩矩阵麓0 ) 。 同样，在 1 9 ，4 4 ，5 1 ，5 2 】等采用广义模型变换的方法中，在l y a p u n o v 泛函的导数 中， z f z te t ，童tc t l 笔三 l 叠。髫。；一是，e t t t ， 中的时滞项x ( t h ) 也被z ( t ) 一f ，k ( s ) d s 替换。这种处理也等价于将如下这一 等于零鹃顼 2 暇妁露勘+ 矿( t ) p i a d 】一z 一圣( s ) 如一z ” ) 卜 ( 1 1 2 ) 加入到l y a p u n o v 泛函的导数中。此时，对于牛顿莱布尼茨公式中的各项，采用 的也是固定的权矩眸( 熟。( t ) 这一顼瓣权矩蓐就是蹬如，童( 曲的权矩阵为霉也， 而搿( 一h ) 的权矩阵是o ) 。目前，采用模型交换( 3 ) 和( 4 ) 所获得的时滞辎关条 件都是通过逡种替换方法来获得的。事实上，作为牛顿一浆布尼茨公式中各项的 相互关系，闱衩矩阵来描述时应该肖一个最优的选择，丽这稀选择不应该麓依处 理的方便丽人为地进行选择来碍到，但在已有的方法中还没有提供一个有效的选 择方法。 参数化模型变换方法( 5 4 5 7 j ) 的特点是将系统( 1 1 ) 的时滞项分成荫部分， 一部分看成时滞无关部分，努一部分用确定的模鍪变换来遴行处理。其俸燕将系 统( 1 1 ) 变换为 未( = a x ( t ) + ( a a g ) 茹( 一h ) 十c x ( t h ) ( 1 1 3 ) 其中g 是一个待定鲍矩阵参数。这榉，参数化模型变换一般娶结合确定模型变换， 因而确定模翘变换的局限性仍然存在。另一方面，虽然h a n 在【5 4 中获得了种 对予矩阵分解的有效方法( 鼹3 7 8 疆的r e m a r k7 ) ，但其要求三个待定矩阵相等， 仍然不可避免缝产嫩保守性。 1 4 时滞相关镇定设计 与稳定性密韬鞠关静蔻镇定溺题。舞谮镇定赣逶寻我菠谈控制器傻麓繇系统 稳定，主要采用的反馈方案有状态反馈和输出反馈两种情形。虽然稳定性分析有 4 悻莩士学位论文 第一章绪论 频域方法和时域方法两种，但因为通过频域方法求解镇定问题非常网难，一般都 采弱眩域方法求解。曩 ；摹，在爵滞娟关镇定秘控毒l 等综合运遂中，瑟蠖对于麓擎静 状态反馈情形，也还没有比较有效的控制器综合算法，对于输出反馈情形就更加 困惑了。主要敷问题体现奁：皴果利鼹模型变换( 1 ) 髑( 2 ) ，缝够褥到基于l m i 的 控制器综合算法，但如前所述，由于模型变换使系统具有附加特征假，变换篇的系 统与原系统不等价，同时由于使用的向量不等式的保守性，这两类变换已经逐渐 被横篷变换( 3 ) 和( 4 ) 所取代；而对于模型变换( 3 ) 和( 4 ) ，在处理综合问越时，控 制嚣的求解鼹依赖一个非线性矩阵不等式( n l m i ) 。对于这个n l m i ，目前人们主 要采用两类方法来楚理这个淘题，箕一是m o o n 等 2 l j 握国静迭 弋算法，在【2 l j 中处理了鲁棒镇定问题，在| 5 1 ，5 2 1 中考虑了利用这一方法的风。控制问题，这一 方法获褥熬控利器臻益不大，篦较容荔实瑗，瞧瑟获褥豹解灵是一个次饶释( 2 l 猕 另一类方法是f r i d m a n 等广泛采用的参数设定方法( 1 9 ，4 3 5 0 1 ) ，通过对n l m i 中瓣菜令或菜些特定矩蓐设定为謦煮一个搽星参数蕊特定形式，将n l m i 转化为 l m i ，再通过调整这个标量参数来求解控制器，显然，这一方法仍然只能获得一个 次俊解，薅强震要不叛利用经验调熬参数。 1 5 时滞橱关条件的晷巍磅究现状 在国内，也有许多学者致力于时滞控制系统的时涝相关袈 串研究，绝大多数是 利用确定模挺变换方法对各种时滞系统的分析和综合问题谶行讨论( f 2 7 ，3 0 ，3 2 ，3 6 3 8 ，5 l ，5 8 8 8 1 ) ，涉及鲁棒稳定、鲁棒控制、鲁棒日o 。控制、保成本控制、可靠控制、 滤液、l u r i e 非线性系统、游淹系统蒋。铡稻：f 2 7 ，3 0 ，3 2 ，3 6 - 3 8 ，5 8 6 0 ，7 2 7 9 ，8 2 - 8 6 1 都患利用确定模型变换( 1 ) ； 5 1 ，6 2 7 0 ，8 0 ，8 7 】结合p a r k ( 2 0 ) 或m o o l l 等( 2 1 】) 静不等式褥至l 确定模型交捩3 ) 或( 4 ) ： 6 1 1 在处黧l y a p u n o v 泛醢中含双积分顼 的导数时，赢接去掉了负定的一项，事实上仍然是一个时滞无关的条件；8 1 1 利 躅豹是一移频装方浚，难予浆广裂爨有对交爨誊漳懿谤形。显然，这些磅究郡没袁聪 离上述方法的基本恩想，仍存在着局限性。 1 6 自由权矩阵的引入及其意义 在1 3 节中，可以看到，在m o o n 等( | 2 1 ) 的方法中，就是将( 1 1 0 ) 这一等 于零兹项热入y ( 款) ，爵在f i 9 ，4 3 5 2 ，5 4 l 等采用广义模型变换鲍方法中，就是将 ( 1 n ) 这一等于零的项加入y ( x 。) ，区别只是x ( t ) 和圣( ) 等项的校矩阵不同，但 本质上这些权矩阵都是固定的，例如m o o n 等( 2 1 1 ) 的x ( t ) 的权p a d 中的丽个 矩簿中，a d 是系数