（信号与信息处理专业论文）加速图像重建的迭代算法研究.pdf

中北大学学位论文 摘要 迭代重建算法( 如代数重建技术和期望最大值算法) 由于它的简单、有效和可执行 性，已成为c t ( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) 重建中最基本的算法。然而，迭代重建算法最 主要的缺点是计算量大、重建速度慢，这也是它没有被用于临床研究的原因。为了加速 迭代重建，本文以投影数据为研究对象，介绍了有序子集( o s ) 方法，子集序列方法和 统计调整方法，并将各方法应用在e m 算法上，即所谓的o s e m ，子集序列e m 和统计 调整e m 算法。分析了o s e m 在不同投影顺序和不同子集水平下的收敛情况，并针对算 法在子集水平高和噪声水平大的情况下会发散，适时地引入子集序列算法，同时给出选 取序列的一般方法。在以统计理论为基础的统计调整算法中，我们修改了原有的检验统 计量，扩大了算法的使用范围。仿真模拟和真实实验数据的重建进一步证实了这三种方 法均可在少次数迭代后得到高质量的重建图像，并且后两种方法更有利于对噪声投影数 据的重建。 关键词：图像重建迭代算法有序子集子集水平统计信息 中北大学学位论文 a b s t r a c t i t e r a t i v ea l g o r i t h m ss u c ha sa l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e ( a r t ) a n de x p e c t a t i o n m a x i m u m ( e m ) a l g o r i t h ma r er a p i d l yb e c o m i n gt h es t a n d a r df o ri m a g er e c o n s t r u c t i o nf o r s i m p l i c i t y 、e f f i c i e n c ya n dp e r f o r m a n c e h o w e v e r , t h em a j o rd r a w b a c kw i t ht h e i t e r a t i v ei m a g e r e c o n s t r u c t i o ni st h ec o m p u t a t i o n ，t h a ti s ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h er e c o n s t r u c t e di m a g ei sv e r y s l o w 眦si sw h yt h ei t e r a t i v em e t h o dh a dn e v e rb e e nu s e di ne l i n i c a ls t u d i e s t oa c c e l e r a t e t h ei t e r a t i v ei m a g er e c o n s t r u c t i o n , t h i sp a p e ri n t r o d u c et h eo r d e r e ds u b s e t ( o s ) m e t h o d ， s u b s e ts e q u e n c em e t h o da n ds t a t i s t i c a l l yr e g u l a t e dm e t h o d a n dw ec a l lt h e ( o s ) m e t h o d a p p l i e dt oe m t h eo s e m s u b s e ts e q u e n c em e t h o da p p l i e dt oe ms u b s e ts e q u e n c ee ma n d s t a t i s t i c a l l yr e g u l a t e dm e t h o da p p l i e d t oe ms t a t i s t i c a l l yr e g u l a t e de m w ea n a l y z e c o n v e r g e n c es i t u a t i o no fo s e mw h e n 血eo r d e ro ft h ep r o j e c t i o nd i r e c t i o ni sv a r i o u sa n d s u b s e tl e v e li sd i f f e r e n ta n dr i g h t l yi n t r o d u c es u b s e ts e q u e n c em e t h o dw h e n0 s e mm a yn o t c o n v e r g e n c ea tt h es i t u a t i o no fh i 曲s u b s e t sl e v e la n dh i g hn o i s el e v e l ，a n dp r o v i d et h e m e t h o do fs e l e c t i n gt h es e q u e n c eo fs u b s e t s w em o d i f yt h eo r i g i n a lt e s ts t a t i s t i co f s t a f f s t i c a l l yr e g u l a t e de m a n de n l a r g ei t su s i n gb o u n d s i m u l a t e da n de x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tt h e s em e t h o d sc a np r o v i d eh i 曲q u a l i t yo ft h er e c o n s t r u c t i o ni m a g ea f t e ras m a l l i t e r a t i v ea n dw h e nt h ep r o j c e t i o nd a t ai sn o i s yt h es e c o n da n dt h et h i r dm e t h o d ss h o wt h e i r s u p e r i o r i t y k e yw o r d s ：i m a g er e c o n s t r u c t i o n i t e r a t i v ea l g o r i t h mo r d e r e ds u b s e t ss u b s e t sl e v e l s t a f f s t i c a li n f o r m a t i o n 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名：型丝日期：论文作者签名：整厶筮堡日期： 冽f 乏髫 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包 括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件； 学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复 制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容 ( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 名：墨乙塾堡 日期： 导师签名：渣童羞 z 口d 、2 落 日期： 三。d ，、2 。g 中北大学学位论文 第一章绪论 1 1 课题背景： c t ( c o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) 理论的早期研究可以追溯到本世纪初，j r a d o n 首先开 展了由投影重建图像的研究。1 9 1 7 年奥地利数学家r a d o n 提出了二维物体分布与一维 投影之间相互联系的积分方程，给出了它们之间的变换关系( 即r a d o n 变换和r a d o n 反变换) ，从而奠定了图像重建的数学理论基础。当代投影图像精确重建的数学理论是 由美国物理学家b r a e e w e l l 与a m c o r m a k 确立的，1 9 6 3 年9 月及1 9 6 4 年1 0 月c o r m a k 先后发表了两篇用线积分表示函数的方法及其在放射学上的应用的系列文章，首次提出 了射线计算机层析摄影基础理论“1 。比c o r m a k 晚l o 年，英国e m i 公司中央实验室的 电子工程师g n h o u n s f i e l d ，从实验技术角度解决了吸收值问题。1 9 8 5 年，g t h e r m a n 在他的专著o 中更加系统地阐述了c t 的理论基础。 早期的图像重建理论建立以后，由于当时技术条件的限制，发展比较缓慢。到五、 六十年代，随着电子技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，图像重建理论才成为 研究的热点并开始应用于实际的科学研究中。 c t 技术在医学上的成功应用，激发了各国工业界的极大兴趣。以x 射线作为源的 i c t ( i n d u s t r i a lc o m p u t e r i z e dt o m o g r a p h y ) 系统称为x 射线i c t ( 简称x i c t 系统) 。目前 i c t 在一些发达国家己取得了较广泛的应用，七十年代中期，美国劳伦兹实验室和洛斯 阿拉莫斯实验室首先开始了c t 的非医学应用研究；七十年代末，美国的s m s 公司和 d m 公司先后推出了y 射线工业c t 用于航天和电厂的有关检测；八十年代初，美国军 方提出了若干专门的c t 发展计划，例如检测直径数米、重达数吨的火箭发动机和很小 的飞机铸件零件，从而使c t 技术作为一种无损检测手段向着精密定量、高速实时发展， 向高灵敏度、高分辨率、高自动化飞跃。 虽然国外己有现成的设备，但由于i c t 系统，特别是高能i c t 系统是检测火箭、导 弹及核武器等高科技军工产品的一种重要手段，所以各国这间严密封锁有关技术。 i c t 检测的对象可从几十毫米厚的飞机发动机高级涡轮叶片到2 4 米、高5 米、重 量4 9 吨的火箭发动机。就重建图像质量主要指标空问分辨率、密度分辨率及检测时问 中北大学学位论文 而言，现在重建图像的空间分辨率从小陶瓷零件的每毫米3 0 线对到海关集装箱检查的 每毫米0 2 线对。现有最先进i c t 系统的指标“1 ：空间分辨率：4 5 l p m m 密度分辨率： 0 0 5 0 1 ( 这里要注意，c t 指标的空间分辨率和密度分辨率并不应为能在一次试验中 同时达到) ；扫描一个断层( 切片) 的时间：3 0 s 3 0 r a i n ；可检测物体的最大尺寸：大约 由3 6 0 0 m m ；尺寸测定精度：5 2 5 u m ；扫描层厚度可控制到：2 0 1 0 0 u m ；重建图像 矩阵大小：1 0 2 4 x 1 0 2 4 像素。国内，1 9 9 3 年以来，重庆大学、东北大学秦皇岛分校和中 国科学高能物理研究所等陆续研制出工业y 射线c t 装置，部分己用于实际检测，总的 来说，我国的i c t 应用只是刚刚起步。 1 2 课题研究的内容及意义 i c t 基本原理同医用c t 是相似的，都是用穿透力强的射线扫描被测物体，利用射 线在物体内的衰减程度与密度相关得到投影数据，由各个方向的投影数据，重建出二维 或三维图像。人体的器官组成位置、组织密度相对比较固定，诊断对c t 图像的精度要 求较低。而工业产品材料性质和几何形状千变万化，且对i c t 图像的精度要求较高，因 为工件内部细小的裂纹、气孔等对工件质量影响极大，所以工业c t 在放射源强度、转 动与扫描精度、投影校正、图像重建算法、图像的空间及密度分辨率等方面都与医学 c t 有较大差异。而且由于高技术封锁，国外i c t 方面的资料比c t 方面的资料少得多。 工业c t 图像重建的算法主要有卷积反投影法、直接傅立叶变换法、代数重建法等。 其中卷积反投影法采用一维斜坡滤波算子与投影数据作卷积( 滤波) ，再将各方面上投 影数据迭加( 二维反投影) ，重建出断面的二维图像，其理论基础与傅立叶变换发相同， 有易于硬件实现，故获得广泛应用。但是该算法也存在些不足，它通常要求完全的采 样数据。直接傅立叶变换重建算法计算量小，速度快，但是因其成像质量较差，而没有 受到重视，自八十年代以来人们提出几种改进的傅立叶算法，并指出成像质量并不低于 卷积反投影重建算法。 在许多应用中，图像重建发挥着重要作用。典型地，一个图像装置可被模型化为下 匠的方程 r x = p 其中观测数据p = ( p l ，n ，p 。) r ”，原始图像工= ( x l ，x 2 ，z ) r “。且r 是一 2 中北大学学位论文 个非零的m n 矩阵。需解决的问题是从数据p 重建图像x 。显然，由于这个问题的病 态性、噪声腐坏数据b 和实际应用中巨大的数据维数，用传统的方法直接求解是不可行 的。 由于在上面问题中迭代方法的优越性能，使它成为图像重建中很重要的一种方法。 根据用观测数据更新中间图像的标准和方法，迭代算法可以分类。一般，标准是最小化 最小二乘函数或i 一发散，这分别等于在高斯和泊松环境下最大化似然。通常，最小二乘 最小化的算法是线性的，而i 一发散最小化的算法是非线性的。至于更新方法，看数据是 被联合使用还是分块使用。 代数重建技术( a r t ) 嘲和期望最大( e m ) 算法”7 1 ，由于其简单性、有效性和可 执行性，是一致被用的最主要的算法，。在最近十年，基于a r t 和e m 算法的几种提高 的算法被设计。一个显著的进展是它们联合系统的有序子集( 0 s ) 。“】或块迭代( b i ) “们形式。据报道，在最近的实验中：o s 算法可以产生令人满意的图像质量，而用比联 合形式少的迭代次数“。 经过多年的理论研究与实践，证明迭代重建算法在某些方面有着变换法所不及的许 多优点：适用于不同格式的采样数据，对不完全数据、噪声数据和动态数据亦可重建图 像。上述滤波反投影重建算法无能为力的场合，均可借助于迭代重建算法解决。另外， 迭代重建算法还可用一些诀窍，这些诀窍在解析重建法包括反投影重建算法中是无法利 用的。例如像素值永远为非负这一先验条件可作为约束条件加入；再如，根据经验，可 选择初始图像x ) ，以加速收敛。 综上所述，迭代重建算法不仅简单，而且具有好的重建质量。它的主要缺点是计算 代价大，所需内存空间大。随着计算机的快速发展，迭代算法将越来越重要。 对该课题的研究将有利于促进三维图像重建算法的研究。 1 3 国内外关于该课题的研究现状及趋势文献综述 软件方法是目前国内外实现i c t 图像重建算法的主流，但软件实现较慢，因此为了 满足需要，人们对快速i c t 图像重建算法进行了大量的研究，并且取得了可喜的成绩。 北京清华大学的张朝宗等人通过研究，提出了基于“旋转极坐标反投影”概念的几 何参数表方法，即提前将投影地址和反投影权中计算好，以表格形式存在。在反投影过 中北大学学位论文 程中，仅需要查表调用，可避免在反投影过程中进行大量费时的计算，从而将反投影时 间降低了一个数量级“。 沈阳东方软件有限公司的江根茁等人总结了针对c t 图像重建分别在算法层次和代 码层次上所做的优化工作。在东大阿尔派全身c t 扫描机c t - c 2 0 0 0 上实际测试表明，通 过该算法优化和代码优化，c t 图像重建软件的运行速度提高8 倍以上“。 北京信息工程学院的张朋等提出一种基于分块迭代的快速代数重建算法“；东大阿 尔派数字医疗公司的张铁等对一种改进的傅立叶算法进行研究，并进行了成像实验，结 果表明改进的傅立叶算法的成像质量并不低于卷积反投影重建算法，在速度上有很大的 优势，从而说明改进的算法具有实用价值。 从目前国内外研究现状来看，i c t 图像重建的理论比较成熟。现在，大家的研究一 般着眼于采用什么样的方式实现i c t 图像重建算法，从而提高i c t 图像重建速度。三维 i c t 图像重建正成为c t 领域的研究热点，其重建速度更是算法研究人员所关注的问题。 1 4 本论文所做的主要工作： 本文以如何利用投影数据的有序子集加速图像重建的迭代算法为研究课题，主要做 了以下工作： 1 ) 第一章介绍了课题的研究背景、意义及研究现状，针对目前由投影重建图像算 法中迭代算法以计算为代价的不足，确定了本文研究方向。 2 ) 先阐述了图像重建的基本理论和数学基础，并简单介绍了重建算法的分类。 3 ) 重点介绍了图像重建迭代算法中的代数重建技术( a r t ) 、联合代数重建技术 ( s a r t ) 和期望最大值算法( e m ) ，研究了图像初值和投影顺序对各算法的影响，并 比较了各算法的收敛速度及噪声对它们的影响。 4 ) 以e m 为例，介绍了o s 方法，分析了子集水平和噪声水平对重建收敛速度的影 响，鉴于噪声导致高子集水平图像在早期迭代中发散，介绍了子集序列方法和统计调整 子集方法，并给出了子集序列的选取方法，修改了统计调整方法中的检验统计量，扩大 了算法的使用范围。以上各方法和结论均得到仿真和实际实验数据的证实。 5 ) 最后，第五章总结全文，给出文章所解决的问题和创新之处，提出尚未解决的 问题为以后进一步的深入指明方向。 4 中北大学学位论文 第二章从投影重建图像 2 1 图像重建的基本原理 2 1 1 图像重建的定义 c t 的基本思想如下：取一理想的x 射线源，它发出极细的笔束x 射线，在其对面 放置一检测器测得的数据为，再将x 射线源与检测器在观察平面内同步平移一定的步 数，每移一步均做同样的测量，如此取得一组数据。然后使x 射线源和探测器旋转 一个小角度声( 例如r ) ，再同步平移m 步，做上述测量，取得新角度下的一组数据。 如此重复，直至旋转以次( 一般设叩= 1 8 0 。) ，取得以组不同的数据( 如图2 - l 所 示) 。 图2 - 1x 线发射源与探测器之间关系的示意图 假定物体是均匀的，物体对线性衰减系数为强度为i o 的x 射线行进x 距离后，衰减至 ，按b e e r 定理，有： ，= ，o g ，( 2 - 1 ) t x = 1 n ( 1 0 i ) 。 ( 2 - 2 ) 若物体是分段均匀的，各段的线性衰减系数分别为h ，鸬，鸬，相应的长度为 中北大学学位论文 玉，x 2 ，x 3 ，( 如图2 - 2 所示) ，则下式成立 , a l x l + 鹧t + 鸬毛+ = 1 n ( 厶i ) ( 2 3 ) 更一般地，物体在叫平面内都不均匀，即衰减系数= 从y ) ，则在某一方向，沿某 一路径l 的总衰减为 。刎= l i l ( 厶，) ( 2 4 ) 此即射线投影，射线投影的集合j 础称为投影。从投影重建图像就是根据一系列的投 影f l d l ，反求被积函数= 从y ) ，从而得出分布( 密度分布) 的像。 卜 p ： f 州l 图2 - 2x 射线强度经介质衰减示意图 2 1 _ 2 图像重建的数学基础( r a d o n 变换的定义) 2 1 2 1 二维情况 考虑直线 ：p = 工c o s 伊+ y s i n 矽， 其中p 为法线长( 即原点到直线的垂线长) ，妒为法线与x 轴的交线。p ，矿为直线l 的位 置参数。 考虑积分 ，( p ，力= i f ( x , y ) d s 定义l f ( x , y ) 基本空问k ，歹( p ，计对于所有的p 和妒是已知的，则称歹( p ，功 是2 维函数f ( x ，y ) 的r a d o n 变换，记为9 y 。 2 1 2 2r a d o n 变换的表达式 考虑s 为直线l 的方向，l 的法线方向为p ，则( p ，s ) 成新坐标系( 图2 3 ) 6 中北大学学位论文 则有 歹( p 力= 厂( p c o s 妒一j s i n 仍p s i i l 矿+ s c o s 纠山( 2 - 5 ) 记_ = j f = ( 工，y ) 为向量，单位向量： f = ( c o s 妒, s i n 功， 乒= ( 一s i n 妒, c o s 纠 p 七t 毒l = p ( c o s 矿, s i n 西+ t 卜s i n 妒, c o s 萌 = ( p c o s 矿一t s i n q o , p s i n 伊+ t c o s 力 = ( 工，y ) = x 其中f 表示方向，乎表示上的法线上的单位向量( 图2 4 ) 。 漆 - y一 裔，。 冷。i 图2 - 3 故式( 2 - 5 ) 改为 j欲。 弋 0 ) o 、广f - 图2 - 4 歹( b o = e ，( 心+ f 尹) 出 由乒= l 爿i i c o s 口= o q c o s 口= b 可知直线的方程为 p = 乒】? 5 = x c o s 矿+ y s i n 仍 ( 2 6 ) 仍弘 暑 s 0 占 s 一 p 矿 l 宝m o s p p = 一一 工 y ，【l 中北大学学位论文 即p 一扣z = 0 。 从而， 歹( p o = i i f ( x ) d ( p 一卿：) d x d y ( 2 7 ) 2 1 2 3n ( 3 ) 维情况 记r 4 中x = ( x t ，吒，) ，厂( ) = ，( 五，乇，) ，f = ( 磊，参，) ，i 爿= l ，考虑积 分： 歹( b 毋= i f ( x ) d ( p 一乒) 时 定义2 若f ( x ) k ( 基本空间) ，f ( p ，0 对于所有的p 和f 是已知的，则称f ( p ，0 是函数f ( x ) 的，r a d o n 变换，并记为呵。 2 1 2 4r a d o n 变换的求逆公式： 他加一五if d 矿e 丢面鱼学d p ( 2 - 8 ) 为了方便，称被积函数f ( x ，y ) 为图像，称作，的投影，并把图像，在点0 ，y ) 的 值称为在( x , y ) 的密度。r a d o n 变换及其逆变换就是由投影重建图像的数学基础。 图像重建的问题是：给出一物体所有可能的投影子集，估算物体内部密度的分布。 2 1 3 图像重建的基本定理 中心切片定理：某图像厂“y ) 在视角为庐时的投影n ( ) 的一维傅立叶变换给出 f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换f ( w l ，w 2 ) = ，( 岛刃的一个切片，切片通过坐标原点，和轴 成痧角。即： f i b ( t ) = f ( 4 矽) 定 ( 2 9 ) 其中f 表示一维傅立叶变换。 中北大学学位论文 空域 f c i d ：) = f ( p 壬) 频培 图2 5 图像投影的一维傅立叶变换和待重建的图像的二维傅立叶变换的关系 下面对投影定理加以证明。y e i 正p = 0 的情况，此时t = x ，所以投影 p a x ，) = p 0 ( 曲= 八而y ) d y ( 2 一i o ) f 。i 风( 州= p o ( x ) e - 雄d x = e e f ( x , y ) d y e - 柚x d x = ee f ( x , y ) e - 婶d x d y ( 2 - 1 1 ) 而f ( x , y ) 的二维傅立叶变换为 ，( q ，q ) = f ：【，( y ) 】 e 亡m ，j ，) e 叫”蛐， 比较式( 2 - 1 1 ) ，( 2 - 1 2 ) ，可知 f i p o ( 时】= f ( q ，锡) k ：o = f ( q ，o ) ， ( 2 - 1 2 ) ( 2 1 3 ) 也就是，) ，) 沿y 轴投影的一维傅立叶变换给出了f ( x ，y ) 的二维傅立叶变换，( q ，呸) 在q 轴上的值( 或f ( q ，q ) 在q = 0 处的一个切片) 。若投影的视角为妒，利用旋转坐 标x - y r ，使积分路径总是沿着y ，此时_ 轴与z 轴成痧角，如图示，并有关系 盼 = s i n 咧c e 。i ，x 9 ( 2 1 4 ) 中北大学学位论文 以卫轴为砹影棚嗣砹彰为 d ( ) = 亡 ，y ) d y , = 一z ( ，”) d ”(215)f(xy ) d y , j 2 1 5 ) 毋( ) 2 _ l ， 2 z ( ，”) d ” ( 2 一 它的一维傅立叶变换为 f 。魄( ) 】= e p c ( x , ) e - 2 ”电 = ee f ( ，只) 蛾巳。2 a x , d x = l 。e f ( x , y ) e - 2 9 j 。s 一，。9 d x d y = 儿( 力 ( 2 1 6 ) 在推导式( 2 1 6 ) 的过程中。我们利用了关系式 峨虮= l 魏o o 缸x ，, 引o y i 蛐 = p - s i n # 剖蛐 = d x d y ( 2 - 1 7 ) 以及f ( ，蚱) = ，“y ) 。由式( 2 1 6 ) 可知，当q ，哆的取值满足条件 q 2 2 矽8 痧l ( 2 - 1 8 ) 呸= 2 z p s i nj 时，有 吣峭( 力= e 肌咖。i 茹； 卸( q ，吐) b 。， l 吐= 2 m o s i n p 。f 力l 舻 q 。 上式说明：0 4 ，以不是独立的，而是受到式( 2 - 1 8 ) 的约束。其值必须局限于直线 0 中北大学学位论文 啦= ( t g 力q 之上。这就是欲证的投影定理表示式( 2 9 ) 。 根据投影定理，图像重建问题可按如下流程求解： 1 采集不同视角下的投影 2 采出各投影的一维傅立叶变换 3 根据投影定理，将上述一维变换汇集成图像的二维傅立叶变换 4 求二维傅立叶反变换得重建图像 2 2 图像重建的技术 2 2 1 重建算法概述 从投影数据获得隐含的断层图像信息是图像重建理论和技术的基础，通常人们非常 需要获取重建算法的性能状况。在传统的图像重建技术中，基本方法有两大类：变换法和 级数展开法。前者先通过连续域上的解析变换，得到r a d o n 逆变换各种不同形式的逼近 表达式，再离散计算：而后者一开始就把图像离散化，表示成方程组的一组未知变量，再 通过代数方法求解。 人们在图像重建领域已经得了巨大的成果。1 9 7 0 年，g o r d o n r 等人提出了a r t ( 代数 迭代重建技术) 方法后，级数展开法得到了迅速发展，比较有影响的如m a r t ( 采用乘法修 正的代数迭代重建技术，g o r d o n r 等1 9 7 0 年；i z n t a l 9 7 6 年) 方法、s 盯( 同时迭代重建技 术，o i l b e r t l 9 7 2 年) 方法和m e n t ( 最大熵重建技术，蹦e d e n b r l 9 7 2 年；m i n e r b o g l 9 7 9 年) 方法等。目前，完全投影数据的图像重建已得到了较好的解决，并在临床上得到了广泛的 应用。当前，重点研究的对象是少投影下的图像重建问题。这是因为，一方面在许多场合 下得到完全的投影数据是不可能的，或极其困难：另一方面如果能用较少的投影数据便 能提取出令人满意的隐含信息，那就无须花费更大的代价来获得更多的投影数据和对更 多的投影数据进行处理了“。此外，在实际情况中，有时也为了提高成像速度而减少了投 影数据。近年来在这一领域中，有限角投影重建问题已引起人们的广泛兴趣，并且提出了 诸多算法，如a r t , s i r t , i r r , c p l ，p o c s ，m e n t , m c e ，s r a ，以及利用周期性、各种最优估 计方法等“，其中比较典型的有：r e e d s 和s h e e p 提出的压缩恢复算法( s r a ) ；n a s s i ，b r o d y 和m e d o f f 提出的迭代投影重建( m r ) ：o s k o u i 和s t a r k 提出的c p l 、p o c s 算法等。与 此同时，三维直接重建、几何轮廓重建的图像重建方法和基于贝叶斯估计、最大似然估 中北大学学位论文 计等随机图像重建方法发展很快，特别是e m ( 期望最大) 算法由于收敛解非负、迭代形式 便于计算机实现、在一定的迭代次数内有较强的抑制噪声的能力等优点，已成为随机图 像重建求解的有力工具。 由于少投影重建是已知数据少于未知变量数的求解问题，所以这时问题是欠定的， 有许多解都满足已知条件。但是仅仅依靠这些条件是分不出优劣的，为此必须设定其它 的准则、条件或约束等。有了附加的准则、条件或约束，就可以在满足已知投影数据条 件的各个解中分出优劣。只要这些附加的准则、条件或约束选择适当，我们就能找出真 正的解或接近于真正的解“。 不论是完全投影重建，还是不完全投影重建问题，重建一幅图像需要对投影数据进 行大量的计算，在计算时间上的大量耗费是它的一大缺点，同时也限制了这一技术的发 展：另一个缺点是重建后的图像质量，尤其在不完全投影数据重建过程中，不得不加入一 些先验知识，这必然会人为地引入误差“”1 。 由于图像重建求逆的不适定性“，各种基于重建模型的直接求解一般难以获得稳定 的高质量重建结果。因此，人们往往通过优化的方法求得图像在某个质量准则意义下的 最优解作为原始图像的近似估计解。常用的准则函数有：原始投影数据和图像重建再投 影数据之间的平方误差、交叉熵，重建图像的熵、峰值性及局部平滑性等等。这些单个 准则函数都只强调了重建过程某一方面的要求( 例如，重建图像与原始真实图像在投影 空间的某种近似程度或重建图像所希望的某种特性) 。近年来，浙江大学生物医学工程研 究所在这方面做出了许多卓有成就的研究工作，提出了基于多准则的图像重建方法。多 准则重建理论认为，从本质上讲图像重建过程的性能准则和合理约束应该是多方面的， 它具有以下一些特点： 1 ) 它为在可行域内寻找最佳的重建图像提供了灵活的调整机制，采用多个使得重 建过程具有不同奇异值谱分布的准则函数同时优化求解，发挥了取长补短的优势，可以 在图像和噪声变化的情况下使调整后的奇异值谱达到理想状况，获得高精度的重建图 像。 2 ) 在其它因素确定的情况下，多准则图像重建方法的求解精度在很大程度上取决 于所选择的权系数。 3 ) 图像重建过程中，先验知识的合理利用对于避免求解的多义性、获得高精度重建 1 2 中北大学学位论文 图像具有非常重要的意义。 2 2 2 重建算法的简介 c t 重建算法是c t 技术中的核心部分，采用不同的重建技术对相同的投影数据重建 出的c t 图像效果不同。由于算法的好坏直接影响着图像重建的质量，因而有关这方面 的研究十分活跃。 1 _ 滤波反投影算法 滤波( 卷积) 反投影法o 纠是常用的算法，因为该算法主要由乘加运算组成，易于通 过硬件设计用流水线作业方式的专用图像处理机处理，所以倍受青睐。这一方法的研究 可以追溯到1 9 6 1 年w h o l d e n d o r f 发表的论文，其中的图像重建方法和反投影法是相同 的。经过了几十年医学c t 的应用和改进，该方法己基本达到完善的地步，其不足之处 在于滤波反投影算法是基于解析反求公式的闭合形式，因而要求投影数据是精确的、完 全的，也就是说，该算法对噪声是敏感的。另外，其计算复杂程度强烈依赖于数据采集 的扫描方式，如果投影数据不是沿直线的简单积分，那么就得不到解析反求公式的闭合 形式。“，从而使此算法失效。但总的说来，滤波反投影算法实现简单，速度快，对足 够精确的投影数据能获得很好的重建质量。滤波( 卷积) 反投影法的理论己基本完善，其 核心问题仍然是根据不同的对象选择适当的滤波和插值函数，而滤波和插值函数选择的 好坏主要取决于数据的采集方法、被重建物体的类型以及重建时所选择的标准。 2 系列重建算法 实际问题对图像精度要求越来越高，而投影数据的有限性决定了所能重建图像的最 大分辨率，进而决定重建图像的频率范围。要使频率范围的信息获得较好恢复，一方面 要减少投影数据中的噪声影响，另一方面，要合理利用图像的先验知识。仅用那些不完 全的投影数据要得到高精度图像几乎不可能，这就促使人们考虑将被检测物质分类，在 图像重建中，充分地利用被检物的先验信息和要重建图像的先验知识。同时，先验知识 的运用也对避免图像重建不适定性、问题求解的多义性以及合理剔除噪声，f 确重建图 像的高频信息，提高重建图像的质量和精度都有重要意义。这就给系列重建算法以用武 之地，再者，计算机内存的增大、速度的加快也为这类方法使用创造了条件。如代数重 建技术( a l g e b r m cr e c o n s t r u c t i o nt e c h n i q u e 简记为a r t ) 自1 9 7 0 年r g o r d o n ，r b e n d e r 和 中北大学学位论文 g t h e r m a n 公丌介绍后得到许多学者的关注”一1 ，但由于当时计算工具所限一直用于解 决一些专门问题，类似的还有联合迭代重建法( s i m u l t a n e o u si t e r a t i v er e c o n s t r u c t i o n t e c h i q u e 简记为s m t ) 等等。 3 统计重建算法 在利用被检物体固定先验知识的同时，进一步挖掘包括一些随机的先验知识，如人 们注意到探测器所接收的光子数服从某种概率分布，从而借用统计的方法进行图像重 建，e m ( e x p e e t a t i o nm a x i m i z a t i o n ) 算法就是其一个显著的代表。与迭代法的结合也降低 了运算量。e m 算法的引入引起了众多学者的关注，他们从不同角度将其推广得到许多 推广形式。 统计重建和系列重建两种算法不像变换法对射线穿过被检测对象的路径要求的那 么高，它可以解决被检测对象有多个旋转中心扫描形式下的图像重建问题。另外，先验 知识的利用对正确恢复被重建图像的本来面目十分有效。与此同时必须注意到它们的不 足，由于采用先验信息作为模型的约束条件，因而重建结果对模型有强烈的信赖性，也 就是说所得到的模型、所用的算法不带普遍性，不能通用。再者了，这些方法与滤波反 投影法相比所用的信息量大，因而计算量相应地也就大一些。这些迭代算法的最大缺点 是实现复杂，速度慢，所需的存储空间大，目前的商用c t 系统中几乎还有没用这种算 法的。 在寻找新方法的同时，人们通过各种优化形式提高旧方法的速度，此外，对不同的 判别标准，还有一些其它的优化算法。 4 直接傅立叶变换算法 直接傅立叶变换法的理论简单明了，快速傅立叶变换的出现也大大提高了该算法的 图像重建速度，其计算的复杂程度与滤波反投影算法基本相同，但由于该算法涉及到从 极网格到直角网格的插值，且在频域网格上的一个点的差会导致整个重建图像的误差的 出现，因而以往很少使用，近年来，由于计算机技术的进步，这种算法又引起了人们的 关注。通过对其插值方法的进一步的研究，在重建精度上有大的提高。通过优化插值方 法，可获得质量不亚于滤波反投影算法所获得的重建图像。它和滤波反投影法同属于变 换法。总的来说，变换法是基于解析反求公式的闭合形式，其优点是实现简单，速度快， 4 中北大学学位论文 对足够精确的投影数据能获得很好的重建质量，因而被广泛应用，特别是滤波反投影算 法。此类算法在技术上有两个主要的限制：噪声特性不好；复杂程度强烈信赖数据采集 的扫描方式。 迄今，不管对二维c t 重建还是对三维c t 重建，滤波反投影算法是最常用的算法1 ， 该算法重建图像质量高，主要由乘法运算实现，易于做成硬件，设计成流水线作业方式 的专用图像处理机咖“1 。尽管如此，关于算法的研究却从未停止过，每年至少有上百篇 论文涉及c t 的算法问题。代数重建法实际上一直用于解决一些专门的问题“”。直接傅 立叶变换由于大量用到指数运算，以往使用较少。近年来因计算机技术的进步，这种算 法又引起了关注。其他如利用l i n o g r a m s 和h a n k e l 变换进行图像重建，从计算速度、图 像质量等方面都至少可与卷积反投影媲美。 为适应c t 技术的发展以及医疗和工业检测不断提出的新要求，图像重建技术也在 不断发展和完善。目前比较活跃的领域是：c t 的定量问题，改进算法，投影不全的重建 技术以及三维图像重建技术等1 。例如双能量分析法是在相当长时间内一直研究的一种 改进算法，即利用两套不同能量的x 射线能谱，经一系列处理后得到光电吸收系数与康 普顿系数的分布，从而得到衰减系数的分布，但目前这种方法成本较高且设备复杂、处 理时间较长。 经典的c t 重建技术要求投影数据必须是完备的。然而在实际条件下，常常达不到 这样的要求，这就促使人们对投影数据不完全的情况进行研究。目前常用的有三种方法， 即：c l a r k - p l a m e r p - l a w r e n c e 插值法和r e e d s s h e p p 放射变换法，这两种技术都是寻求一 种坐标变换，使不完备的投影数据在变换后的坐标中达到完备，它们无需事先了解被检 样品的性能。另一种方法称为凸面投影法，是目前常用的，其要点是通过已知数据，如 样品的尺寸和衰减系数范围等，提出样品性能的约束条件，用这些约束条件来修正人为 假设的投影数据，通过反复迭代直到获得满意的c t 图像。 2 2 3 图像重建算法评价 虽然国际上流行着各种各样的重建算法，但是每种技术都有其自身的特点，一般说 中北大学学位论文 来，现在还没有一种技术能完全取代另一种技术。在实际的医学图像重建中，人们非常 需要能够得到算法的性能状况。对于一种重建算法的评价主要在于两个方面：一是重 建图像的质量，一是算法的可行性。 对于前者，衡量一幅重建图像的质量一般是按照以下三方面作为评价标准：图像的 空间分辨率；图像的对比度；伪影。从实际投影数据重建图像质量，往往是通过人的主 观意识作为评价标准的，而对于模拟投影数据重建的图像质量，除了主观方法外，可以 使用客观指标来评价。也就是说，图像重建算法的性能评价主要是依据视觉诊察，或者 计算重建图像和原始模型问的吻合度。目前国际上主要采用实物模型或标准数据测试模 型进行重建对比。方法如下： 1 ) 制作简单的实物模型，并在实际成像装置中获取观测数据； 2 ) 设计数据模型获取计算机模拟观测数“”： 通过分析上述观测数据的重建图像与模型之间的差异来评价重建算法的性能质量。 前者是在成像装置中获取真实观测数据，反映了在实际应用环境各因素影响下的重建质 量状况，但是由于实物模型的制造误差及材料性质分布的差异，数据模型在灰度分布、 形状和频率范围上的特殊性，不能全面反映某种算法的性能状况。此外，将重建的图像 质量和具体的装置一体考虑，不利于单独评价算法的性能状况。后者简单方便，可以将 不同的成像装置物理因素单独加载到观测数据的形成过程中，便于精确比较和分析重建 结果。但观测数据的模拟形成必须反映客观的实际物理过程，否则分析结果便失去意义。 比较有影响的测试模型有s h e p p l o g a n 标准人头模型、h o f f i m a n 人脑模型、以及l a c e r j 等常用于e c t 图像重建分析的人脑数学模型。这种基于模型的评价方法，主要立足于图 像空间个别样本的重建质量分析，由于有代表性的典型样本往往难以确定，在实际应用中 发现许多模型都不能全面反映某算法的真实重建状况。通常，图像重建算法的取舍主要 是从重建速度、重建图像的精度以及再现性来考虑。重建算法的性能是通过一些重建任 务比较它们的性能因数：归一化方根距离、归一化平均绝对距离、归一化最大距离，这 种方法的一个缺点是使用个小样本的集合，而没有考虑目标的变动；只反映了重建图像与 测试模型之间的误差程度，而没有充分考虑图像重建的目的性和任务性。因为一幅医学 6 中北大学学位论文 图像通常用于殊的医疗任务，它的性能度量应告诉我们它有多么适合当前任务。例如， 在医学图像处理中，一个人可能对颅内某一区域被吸收的放射性示踪物的量感兴趣，而 有的人可能对肿瘤的位置大小状况感兴趣。前者只是一种估计，而后者却是一种具体的 检测，两者具有不同的任务性质，如果使用同样的性能因数来衡量两种任务的图像质量 将会产生错误的结果，严重时甚至会导致重大的医疗事故。因此，有时评价结果与实际的 视觉观察质量之间存在着较大的不一致性。 此外，评价结果在一定程度上受到人的主观性影响。在图像重建中引入高超的后处 理技术，有时可以获得视觉效果良好的重建图像，但是这种后处理技术对于原始图像的 保真度影响以及不同图像的通用性值得认真考虑。图像的低频信号反映了图像的大体结 构和组成，高频信号则影响到其边缘、细节和质感，在某些重建算法中将高频部分当作噪 声而滤除，而其中或许包含了客观存在的原始真实图像，现有的重建算法评价方法根本 立足于个别样本的重建质量分析，没有对重建过程的特性给出一个比较全面、客观的描 述。 关于重建算法的可行性，通常是按照以下三个方面的来评价： 1 ) 算法是否易于实现。 2 ) 计算量的大小是算法可行性的一个重要指标。得到一幅质量较好的图像所需要 的计算时间，在不同的计算机上会不同，因此，计算时间是一个相对量，可以通过几种算 法在同一计算机上的计算时间来衡量。 3 ) 迭代算法的收敛速度。归一化方根距离、归一化平均绝对距离、归一化最大距 离三项评价指标不仅反映重建图像的误差，而且可以根据它们的下降速度来衡量算法的 收敛速度。 此外，对于同一种算法不同的人会有不同的实现方式，结果是重建图像的质量和重 建速度也各不相同。所以，通常评价方法是，首先要详细了解