（固体力学专业论文）变分迭代算法在非线性方程中的应用.pdf

摘要 变分迭代算法在非线性方程中的应用 摘要 随着计算机科学的迅速发展，大型线性方程组的求解已经不成问 题，但对于非线性方程，尤其是强非线性方程，迄今为止还没有一种 通用的求解方法。自2 0 世纪6 0 年代以来，非线性科学得到了突飞猛 进的发展，并出现了许多求解非线性方程的各种方法。 本文主要研究如何应用变分迭代算法求解非线性微分方程的近 似解、c o m p a c t o n 形式的精确解和孤波形式的精确解。第一章介绍了 非线性科学研究的一些背景知识和求解非线性方程的一些常用方法 以及它们的优缺点。第二章阐述了变分迭代算法的基本原理，总结了 最近几年来许多学者在变分迭代算法方面做的工作，介绍了变分迭代 算法最近几年来的一些新的发展，并且阐述了具体求解的步骤。为了 说明变分迭代算法的便捷性和准确性，我们把得到的近似解与精确解 作了比较。第三章求解了非线性方程k ( p ，q ) 方程的c o m p a c t o n 解和孤 波解，并且演示了c o m p a c t o n 解和孤波解可以互相转化。由于周期解 和孤波解可以相互转换，所以在第四章中，我们提出了为求解非线性 方程的解一个新方法一e x p 函数方法，并用l i u v i l l e 方程作为具体例 子说明该方法的有效性。我们比较了e x p 函数方法、t a n h 方法和f a n 氏方法，结果显示我们得到的解包含了所有t a n h 方法和f a n 氏方法 得到的解。 关键词：非线性方程，变分迭代算法，孤波解，c o m p a c t o n 解，近似 解，e x p 函数方法 v a r i a t i o n a l i t e r a t i o nm e t h o da n dl t s a p p l i c a t i o nt on o n l i n e a r e q u a t i o n s a bs t r a c t w i t ht h e d e v e l o p m e n to ft h ec o m p u t e rs c i e n c e ，t h e r ee x i s t sn o d i f f i c u l t y i n s o l v i n gl i n e a re q u a t i o n sn o w , h o w e v e r , w eh a v en oa u n i v e r s a la p p r o a c hf o rn o n l i n e a re q u a t i o n se s p e c i a l l yt h o s ew i t hs t r o n g n o n l i n e a r i t y t h en o n l i n e a rs c i e n c eh a sb e e nc a u g h tm u c ha t t e n t i o ns i n c e 19 6 0 s ，a n dm a n yd i f f e r e n tm e t h o d sh a v eb e e np r o p o s e dt os o l v ev a r i o u s d i f f e r e n tp r o b l e m s i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yh o w t oa p p l yt h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o dt os o l v en o n l i n e a r e q u a t i o n s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eab r i e f i n t r o d u c t i o nt on o n l i n e a rs c i e n c ea n ds o m em e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a r e q u a t i o n s ，b o t ht h em e r i t sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h o s em e t h o d sa r eb r i e f l y g i v e n c h a p t e r2p r e s e n t st h eb a s i cc o n c e p t so ft h ev a r i a t i o n a li t e r a t i o n m e t h o d ，i t sn e wd e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o n i no r d e rt oi l l u s t r a t ei t s e f f e c t i v e n e s sa n dc o n v e n i e n c e ，s o m e e x a m p l e s a r e g i v e n f i n a l l y c o m p a r i s o no ft h eo b t a i n e da p p r o x i m a t es o l u t i o n sw i t he x a c to n e si s m a d e ，r e v e a l i n gt h ec o n v e n i e n c ea n de f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d a sa n i l l u s t r a t i n ge x a m p l e ，t h ek ( m ，n ) e q u a t i o ni ss e l e c t e da sa ne x a m p l ei n c h a p t e r3 ，w h i c hg i v e sad e t a i l e ds o l u t i o np r o c e d u r eo ft h ev a r i a t i o n a l i t e r a t i o nm e t h o dt of i n de x a c ts o l u t i o n si n c l u d i n gc o m p a c t o ns o l u t i o na n d s o l i t a r ys o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，w ef i n dt h a tt h ec o m p a c t o ns o l u t i o na n d 摘要 t h es o li t a r ys o l u t i o nc a nb et r a n s f o r m e di n t oe a c ho t h e r i nc h a p t e r4 ，a n e wm e t h o dc a l l e d e x p - f u n c t i o nm e t h o di ss u g g e s t e dt os e e kt h e s o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re q u a t i o n w ef i r s tw es h o wi t sr e l a t i o nt ot h e v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ，t h e ns e l e c tt h e l i u v i ll e e q u a t i o n a sa n e x a m p l et od e m o n s t r a t et h em e r i t so ft h en e wm e t h o d w ec o m p a r eo u r s o l u t i o n sw i t ht h o s eo b t a i n e db yt a n hm e t h o da n df a n s u b e q u a t i o n m e t h o d ，r e v e a li n gt h a to u rr e s u l t si n c l u d en a t u r a l l yt h o s eb yt a n hm e t h o d a n df a ns u b e q u a t i o nm e t h o da ss p e c i a lc a s e s w u x u h o n g ( s o l i dm e c h a n i c s ) s u p e r v i s e db yp r o f h ej i h u a n k e yw o r d s ：n o n l i n e a re q u a t i o n ，v a r i a t i o n a li t e r a t i o nm e t h o d ，s o l i t a r y s o l u t i o n ，c o m p a c t o ns o l u t i o n ，a p p r o x i m a t es o l u t i o n ，e x p f u n c t i o nm e t h o d 东华大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位 论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除 文中已明确注明和引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰写，我对 所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：吴移呶工 i e i 势i ：山彳年fz 月 日 东华大学学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅或借阅。本人授权东华大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本版权书。 本学位论文属于 不保密豳。 学位论文作者签名： 吴饱仨1 日期：她年f 狷冼日指导教师签名：彳 丁一 日期：毒移p 乡年麒恳扩日 第一章绪论 第一章绪论 随着非线性科学的发展，求解非线性方程( 包括非线性常微分方程、非线性 偏微分方程、非线性差分方程和函数方程等) 的方法已经成为广大物理学、力学、 地球科学、生命科学、应用化学、应用数学和工程技术科学工作者研究非线性问 题所不可缺的工具。 1 1 非线性方程理论研究的现状以及存在的主要问题 非线性科学是描述非线性现象的基础学科。自上个世纪6 0 年代以来，非线 性科学得以迅速发展，内容也日趋丰富，其应用几乎涉及了自然科学和社会科学 的各个领域，因此非线性科学的研究不仅具有科学意义，而且对国计民生的决策 和人类生存环境的利用等也具有实际意义。 非线性系统的各部分之间是相互作用的，即多种因素之间相互影响，发生耦 合作用，这是产生非线性现象复杂性和多样性的所在。找出描述非线性现象的非 线性方程，和对非线性方程进行求解是非线性科学研究中必不可少的手段和方 法。 由于非线性问题的“个性 很强，因此而非线性方程没有统一的求解方法， 处理起来十分棘手，历史上曾有过一些成功的求解非线性方程的精品，但是它们 往往只能解决某一类或某些方程，不具有普遍意义。因此对非线性方程解的研究 成为了广大科研工作者致力解决的重要问题。 在最近十几年来，出现了许多求解非线性方程的方法。最常见的比如 a d o m i a n 分裂算法 1 ，2 】，t a n h 方法 3 6 】，h o m o g e n e o u sb a l a n c e 7 ，8 方法，f a n 氏 【9 1 2 】方法，改进的l i n d s t e d p o i n c a r e 摄动法 1 3 1 5 1 ，同伦摄动法【1 6 1 9 1 矛f l 试函 数法 2 0 1 等。下面我们来简单的介绍一下各种方法的优缺点。 首先介绍t a n h 方法。该方法最初是由m a l f i e t 5 提出用来求解行波方程的精 确解的。最近几年来许多学者把他的方法进行扩展和应用到了其他方面做了大量 的工作。经过几年来的发展，现已成为较有效和较直接的求解非线性扩散方程精 第一章绪论 确解的代数方法之一。 m a l f i e t 利用t a n h 函数的特性，即有关于t a n h 的导数项都可以用t a n h 本身 来表示。如令y = t a n h ( , u 孝) 那么我们可以推导出 面d = 万d 面a y = = ( 1 一y 2 ) 万d 嘉= 面d 面d ) = l a 2 ( 1 _ y 2 ) ( 由面d + ( 1 _ y 2 矿d 2 ) t a n h 方法可以直接的求解许多波动微分方程的精确解。对于偏微分方程 p ( u ，甜，材，材。) = 0 ，我们引入一个变量善= ( x c t ) ，那么u ( x ，t ) 可以表示为 甜( 心) ，于是偏微分方程可以表示成常微分方程p ( u ，u t , u ”) = 0 。 从解方程的效果来看，t a n h 方法的优点是能够直接的解出许多非线性微分 方程的精确解；缺点是这些微分方程必须以存在t a n h 形式的解为前提，而且解 出来的解也仅仅局限于t a n h 的形式，并且求出的解往往是特解，因此在实际应 用受到了限制。 h o m o g e n e o u sb a l a n c e 方法【7 ，8 的中心思想是对于p ( u ，u ，i d x , 材。) = 0 形式 的微分方程，先做变换孝= ( x c t ) 把关于f 和x 的方程变成关于f 的常微分方 程：p ( u ，甜，“ ) = 0 ，再假设方程的解“( 孝) 可以表示为“( 善) = q ，。，其中 = a 矽2 + 6 ，然后对方程进行展开后合并同类项求解。 f a n 氏方法【9 1 2 】实际上是h o m o g e n e o u sb a l a n c e 方法的扩展，假设关于孝的常 微分方程p ( u ，甜，“ ) = 0 的解甜( f ) 可以表示为“( 善) = q ，而矽满足r i c c a t i 方程矽= ，+ p c + q 2 。y o m b ae 1 2 把f a n 氏方法作了扩展，找到了更多关于 r i c c a t i 方程的特解。 f a n 氏方法的解相对于t 汕方法和h o m o g e n e o u sb a l a n c e 方法来说特解的个数 更加多了些，适用的范围也更加广泛了些扩展后的f a n 氏方法仅对于r i c c a t i 方程 的特解就达到了3 6 个，但是它们仅仅是特解，在实际应用中往往不能满足边界条 2 第一章绪论 件。 试函数方法 2 0 1 是通过方程的物理意义假设出方程解的可能形式，然后将解 代入到方程中去，从而使解满足方程来最终确定解的形式。 在计算机的帮助下试函数方法可以直接有效的解出一些方程的精确解，并且 解的形式更加的广泛和通用，但是并不是随便一种形式的解都是方程的解，如果 解的形式假设得不对，那么就无法求出。只有在了解物理意义的情况下，才有可 能做出正确的解。有时候就算解的形式和方程的物理意义相吻合，但是由于求解 的过程中所列出来的方程组太复杂，即使利用计算机也无法求出其解。 在很多时候非线性方程的精确解很难求得，所以我们不得不求解方程的近似 解。求近似解的方法很多，最常用的方法是摄动方法。摄动一词来源于天体力学， 原意为小得扰动。例如，在研究地球运动时主要考虑太阳的引力，而月球和其它 天体的引力可以看成摄动量，这样可以求得比较精确的近似解。 摄动法的中心思想很简单，如果占与l 相比是小量，则9 2 是更小量，摄动方 法的基本思想是假设解“可以表示为小参数f 的级数的形式 u = u o + c u l + c z u 2 + 一 ( 1 1 1 ) 并需要满足以下关系式i 警l t ，那么解可以近似地用它前面的门阶级数来表 示，为了说明其求解过程，我们考虑一个简单的方程 甜一+ ( 1 + 0 0 ) u = 0( 1 1 2 ) 其中0 - l j ( ，域) d s f 甜+ 口甜+ ( “，材) = 0 1 1 1 甜。+ 。( f ) ：u o ( t ) - p a ，一，( “。，甜：) d s f u 。+ f ( u ，“，z ，。) = 0 1 1 1 1 甜。卅o ) ：z ( ，) + f ( s f ) ( ，“：，z c ) d s i ”。+ 国2 甜+ ( “，甜，矿) = 0 o v t + ) = ( ，) + 1 缈 ，s i n g o ( s - o f ( u , 以，彬) d s i 甜。一口2 + ( 甜，甜，“。) = 0 l u + i ( t ) = u o ( ，) + f 扣卜卜1 胞砧棚s fz f ”+ f ( u ，“，甜，“”) = 0 d k 训，) _ f 吾( s - 0 2 m 础d s l ”4 + ( 甜，甜7 ，“。，“一，甜) = 0 v 1 1 1 甜。，( f ) = z 岛( f ) + f 吉( s t ) 3 f ( u , u ：，z 。) d s o f ) ”1 ( ，甜：，u ( n n ) d s 2 3 变分迭代算法在四阶积分方程中的应用 3 7 考虑以下四阶的积分方程 边界条件为 其精确解为 我们引入f ( x ) ： y 4 ( x ) = x ( 1 + e x ) + 3 e 。+ y ( x ) 一r y ( x ) a x y ( o ) = 1 ，y ( 1 ) = 1 + p ，y ”( o ) = 2 ，y 。( 1 ) = 3 e y = 1 + x e 。 1 3 ( 2 2 1 d ) f 2 2 2 d ) ( 2 2 3 d ) ( 2 2 4 d ) ( 2 2 5 d ) ( 2 2 6 d ) ( 2 2 7 d ) ( 2 2 8 d ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 一d 卸卜 、， 一，l 哪 一。由 y 0 ，r 1 - o 甜 “ 八 = + o 胂 甜 ，(，【 v 第二章变分迭代算法原理、应用和新的发展 m ) = 删叩“) 地一r y ( s ) d sp f 出 ( 2 3 4 ) 假设零阶近似可表示为 y o ( x ) = l + p 。( a + b x + c x 2 + 出3 ) ( 2 3 5 ) 其中口6 ，c 和d 是待定常数。 通过迭代公式( 2 2 3 d ) ，我们可以得到以下一阶近似 月( x ) = y o ( x ) + 【( s x ) f ( s ) d s = 【出3 + 口+ 1 + 1 0 c 一9 0 d b + ( 一3 d + c ) x 2 + ( - 1 + 3 0 d 一2 c + b ) x l e 。 + ( - 8 c + b + 6 0 d ) x + 9 0 d + ( 一讫1c 一去+ 丢d + 去6 一去口矿 q 3 6 + ( 吉6 + ；一詈c + 3 d ) x 3 + 6 + ( 一3 c + 圭6 + 丢+ ，8 d ) x 2 - 1 0 c 根据边界条件( 2 3 2 ) ，可得 y ( o ) = 1 ，j ，( 1 ) = 1 + p ，y ”( 0 ) = 2 ，y ”( 1 ) = 3 e ( 2 3 7 ) 解上述方程组可确定( 2 3 6 ) 中的待定常数： a = o ，b = 0 9 7 0 4 ，c = 0 0 2 9 6 ，d = 0 0 8 0 3( 2 3 8 ) 于是可以得到以下一阶近似 少2 ( o 0 8 0 3 x 3 + 2 3 2 0 2 x 一0 2 113 x 2 6 9 0 1 4 ) e 。 ( 2 3 9 、) + o 0 1 6 4 x 4 + o 7 1 6 2 x 3 + 1 0 3 4 1 8 x 2 + 7 9 0 1 4 + 5 5 5 1 6 x 。 与精确解( 2 3 3 ) 比较，我们发现一阶近似已经具有很高的精度，如图1 所示 y ，? x 图2 - l 方程( 2 3 1 ) 的精确解和近似解的比较 ( 其中虚线表示用变分迭代算法得出的解，实线表示精确解) 1 4 第二章变分迭代算法原理、应用和新的发展 从图2 - 1 中可以看出，我们的解几乎和精确解重合。 我们再考虑一个非线性积分方程： y ( x ) = 1 十rp y 2 ( x ) 出，o x l 其中边界条件为 y ( o ) = 1 ，j ，( 1 ) = e ，y 。( 0 ) = 1 ，y 。( 1 ) = e 方程在边界条件( 2 3 11 ) 下的精确解为 y = e 。 我们可以用式( 2 2 3 d ) 作为迭代形式，其中刑可以表示为 厂( x ) = re 1 + r e - s y 2 ( s ) e s ? 孝e x 假设方程的零阶近似为： y o ( x ) = 1 + p 。( 口+ 缸+ “2 + 出3 ) 其中饵b ，c 和d 是待定常数 通过式( 2 2 3 d ) ，我们可以得到 ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 11 ) ( 2 3 12 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) y lo ) = 卜d 2 x 6 + ( 一2 c d + 3 0 d 2 ) x 5 + ( 5 0 c d c 2 - 2 b d 4 5 0 d 2 讧4 + ( d 一6 0 0 c d + 4 2 0 0 d 2 + 2 0 c 2 2 b c 一2 a d + 4 0 b d ) x 3 + ( c + 3 0 b e 一3 6 0 b d 一1 8 0 c 2 一b 2 + 4 2 0 0 c d + 3 0 a d 2 5 2 0 0 d 2 2 a c ) x 2 + ( 6 1 8 0 b c + 1 0 b 2 2 a b + 2 0 a c 1 6 8 0 0 c d + 1 6 8 0 b d + 8 4 0 c 2 + 9 0 7 2 0 d 2 1 8 0 a d ) x + a + 1 0 a b 一3 0 b 2 3 3 6 0 b d + 3 0 2 4 0 c d - 1 6 8 0 c 2 + 4 2 0 a d a 2 6 0 a c + 4 2 0 b c 一1 5 1 2 0 0 d 2 】p 。 一x 8 一三x 7 一鱼一x 6 一三- x 5 4 2 0 a d + 1 5 1 2 0 0 d 2 3 3 6 0 1 2 6 03 6 06 0 + 6 0 a c + 3 0 b 2 + 口2 + 3 3 6 0 b d 一3 0 2 4 0 c d 一4 2 0 b c + 1 6 8 0 c 2 一】o a b + ( - 1 0 c d + 尘+ 2 b d a b一1 + 竺+ 3 0 d 2 a d b c + c 2 + 一a c 、x 4 2 41 21 21 222 6 + ( 去+ 兰 + 6 2 8 日d + 8 4 0 d 2 2 4 0 c d + 4 0 6 d 一8 b c 一2 。a b + 2 卯+ 2 0 c 2 ) z 3 + ( 1 8 0 c 2 2 5 2 0 c d 一6 0 a d + 3 6 0 b d + 1 0 0 8 0 d 2 3 a b + 6 b 2 6 0 b c + 1 2 a c + 譬) 冉( 2 0 b 2 - 1 3 4 4 0 c d + 1 6 8 0 b d + 6 0 4 8 。d 2 - 2 4 0 b c + 4 0 a c - 2 4 。a d ( 2 3 1 5 ) + l + a 2 + 8 4 0 c 2 - 8 a b ) x + p 一。 1 5 第二章变分迭代算法原理、应用和新的发展 利用边界条件 y ( o ) = l ，y ( 1 ) = e ， y 。( o ) = 1 ， y 。( 1 ) = e 解上述方程组可得： 口= 0 ，b = 1 0 4 9 9 ，c = 0 5 4 9 9 ，d = 0 1 5 1 1 7 于是得到方程的一阶近似解 y ( x ) = ( 一l5 0 6 0 2 x 4 + 0 8 518 x 5 10 5 5 6 x 2 + 15 9 5 6 2 7 x 3 0 0 2 2 9 x 6 “1 0 6 。4 x 一7 2 8 6 1 ) e 。- 4 4 9 9 2 1 0 - 5 x 8 + 4 3 6 4 3 1 0 一x 7 7 2 8 6 1 + 2 4 3 3 9 x 4 - 6 5 7 6 3 1 8 x 3 + 5 9 2 1 6 7 3 x 2 - 6 3 i 8 1 7 x - 6 e 一。 我们可以在图2 2 中把式( 2 - 3 1 8 ) 和精确解( 2 3 1 3 ) 相比较，如图2 2 所示： y x 图2 - 2 ：方程( 2 3 i o ) 的精确解和近似解的比较 ( 其中虚线表示用近似解，实线表示精确解) 从图中2 2 我们可以看出，我们的解几乎和精确解重合。 1 6 ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 17 ) ( 2 3 。1 8 ) 第二章变分迭代算法原理、应用和新的发展 2 4 变分迭代算法在非线性振动方程中的应用 3 7 我们来考虑以下的非线性振动方程 g t 。+ 翩3 = 0 ( 2 4 1 ) 其中边界条件为“( o ) = a ，h 7 ( o ) = 0 。 用变分迭代方法进行求解时，占并不一定要求很小，只要满足0 0 ，那么变分迭代格式可以写为 + l ( f ) = ( o ) + “( o ) hf ( s - t ) f ( u ) d s 假设它的周期 t = 4 o = 4 x 2 a f ( a ) 1 8 ( 2 4 9 ) ( 2 4 1 0 ) ( 2 4 11 ) ( 2 4 1 2 ) ( 2 4 1 3 ) ( 2 4 1 4 ) ( 2 4 1 5 ) ( 2 4 1 6 ) ( 2 4 17 ) ( 2 4 1 8 ) ( 2 4 1 9 ) ( 2 4 2 0 ) 童兰j 生燮垡竺鲨垦型：壁旦塑堑塑垄墨 它的近似解表示为 甜( f ) = 彳c 。s 了2 2 1 7 ( 2 4 2 1 ) 为了验证式( 2 4 2 0 ) 有效性和方便性我们可以看下面几个例子： 例子1 ( “) = 上 1 + 翩2 按式( 2 4 2 0 ) 可算出它近似周期 f 2 4 2 2 ) r = 4 f 。= 4 - 2 a f ( a ) 。= 4 2 ( 1 + e a 2 ) 阱2 3 ) 为了验证近似周期的精度，我们可以算出它的精确解的周期 t = 4 矗蠹 d 材 当别2 - + o o ，( 2 4 2 4 ) 式变为 - 4 石f 雨焘丽 亿4 2 4 ， 别m 石f 志= 4 肠f e x p ( 忙2 屙 ( 2 4 2 5 ) 即使是叫2 斗，最大误差也只有2 8 。 例子2 厂( ”) ：兰 “ 按式( 2 4 2 0 ) ，可以算出它的近似周期 t = 4 、l 2 a f ( a ) = 4 4 2 a 2 6 _ - - 一，。一 我们可以把它和精确解的周期比较： 丁= 2 4 - 5e 刖 d “ 2 4 2 融d ” 2 i j o4 1 n a - l n u ? = 警彳尚= 警彳石 ：2 压c a 可以算出最大误差为1 2 8 。 例子3 1 9 ( 2 4 2 6 ) ( 2 4 2 7 ) ( 2 4 2 8 ) 第二章变分迭代算法原理、应用和新的发展 ( 甜) = s i g n ( u ) 其中 s t g n c “，= 二二。， “；兰。 算出它的近似周期为 t = 4 t o = 4 厄而= 4 肠 发现它完全等同于精确解的周期。 我们可以根据不同的( “) ，来近似估算它的方程的周期 m 冲沪+ 1 ，卜4 1 2 a f ( a ) - 4 专 m ) = 品，m 4 2 a f ( a ) = 4 1 f 1 2 ( b 州+ c 2 a 2 ) r 厂( “) = 铭1 鸬，t = 4 、| 2 a f ( a ) = 4 2 彳2 7 3 m 阳2 川) ，h 1 2 a f ( a ) = 4 严署 ( “) = 材+ 甜17 3 ，t = 4 、j 2 a f ( a ) = 4 2 ( 1 + 么一2 7 3 ) 例子4 考虑波动方程的一般形式 坼，一c 2 + ( z ，虬，z 0 ，坼，矽。，) = 0 它的初始边界条件为 z ，( x ，0 ) = f ( x ) t l t ( x ，0 ) = g ( x ) 在f = o 的情况下我们可以得到a l e m b e r t 形式的解 州彬) = f ( x + c t ) 广+ f ( x - c t ) + 去e 冲 同样我们可以用变分迭代法构造如下的迭代格式 嘣蹦) = f ( x + c t ) 广+ f ( x - c t ) + 去e g 出+ f ( 川m 。( 喊冲 其中疋= f ( u 。，( 甜。) ，( 甜。) ，( “。) ，) ：0 。 ( 2 4 2 9 ) ( 2 4 3 0 ) ( 2 4 3 1 ) ( 2 4 3 2 ) ( 2 4 3 3 ) ( 2 4 3 4 ) ( 2 4 3 5 ) ( 2 4 3 6 ) ( 2 4 3 7 ) ( 2 4 3 8 ) ( 2 4 3 9 ) ( 2 4 4 0 ) 同样可以假设零阶近似的解为( x ，f ) = “( x ，o ) + t u ，( x ，o ) ，那么我们就可以得到 2 0 第二章变分迭代算法原理、应用和新的发展 嘶) = f ( x + c t ) 广+ f ( x - c t ) + 去e g 出+ f ( 州) 触 发现式( 2 4 4 1 ) 满足式( 2 4 3 6 ) 所有的起始边界条件( 2 4 3 7 ) 和( 2 4 3 8 ) 。 对式( 2 4 4 1 ) 两边分别对j c 和t 求导可以得到 珥( x ，f ) =c f ( x + c t ) - c f ( x - c t ) + 2 g ( x + e t ) 丁+ g 一( x - e t ) 一f 肚 2 南。 ( 圳) = c 2 f ( x + c t l ) + c 2 f 一 ( x - c t ) + c g ( x + c t ) 丁- c g ( x - c t ) 一， 虬( x ，) = ( 工，r ) = 2 g ( x + c t ) 一g ( x c t ) 2 c 2 g o + c t ) - g - c t ) 2 c ( 2 4 4 1 ) ( 2 4 4 2 ) ( 2 4 4 3 ) ( 2 4 4 4 ) ( 2 4 4 5 ) 从式( 2 4 4 3 ) 和( 2 4 4 5 ) 中，可以得到一c 2 甜。+ 厂= o ，从式( 2 4 4 1 ) 和( 2 4 4 2 ) y 我 j f 分别得到u ( x ，o ) = f ( x ) ，和“，( x ，o ) = g ( x ) 。所以迭代公式( 2 4 4 0 ) 可以简化为 如f ) = f ( x + c t ) 广+ f ( x - c t ) 0 2 cr g ( j 渺+ f ( 川) l a s ( 2 4 4 6 ) 2 1 第三章变分迭代算法在非线性扩散方程k ( p ，q ) 中的应用 第三章变分迭代算法在非线性扩散方程k ( p ，q ) 中的应用 我们在第二章中详细地介绍了变分迭代算法求近似解的具体步骤，在这一 章我们将介绍如何应用变分迭代算法求解精确解，特别是如何求解行波方程的精 确解。 3 1 变分迭代算法求行波方程精确解的一些方法 变分迭代算法能够有效地求解行波方程的各种解，包括周期解( c o m p a c t o n 解) 和孤波解等。我们在求解时需要假设有待定常数的初始近似解，然后再进行 迭代。比如我们为了求周期解可以假设零阶近似为 u 0 ( 孝) = a s i n ( r o 毒：+ 皖) ( 3 1 1 ) 其中孝= x + c t ，0 9 是待定常数。 为了求孤立波解，我们可以假设零阶近似为 u o = p s e c h 2 ( 孵) ( 3 1 2 ) 其中孝= x + c t ，p ，g 和c 是可以在迭代数次之后再确定的参数。 对于导数不连续的孤立子波我们可以假设如下的形式 甜( 善) = p e x p ( - q 孝1 ) ，孝= x + c t ( 3 1 3 ) 其中善= x + c t ，p 和q 是待定系数 在周期解时，我么可以假设初始近似为 甜。( 工，f ) ：竺掣型盟 ( 3 1 4 ) 甜。( 工，) 2 石_ = f ：i 五赢 o j 1 斗， 在经过几次迭代之后，我们可以近似认为 甜。( 工，) = 甜川( x ，f ) ( 3 1 5 ) 1 主t ( 3 1 5 ) 确定( 3 1 4 ) 可确定初始近似中的待定常数。 第三章变分迭代算法在非线性扩散方程k ( p ，q ) 中的应用 3 2 用变分迭代算法求方程k ( p ，q ) 的周期解1 3 8 1 k ( p ，q ) 方程 m + 口( 甜p ) ，+ ( 甜9 ) 埘= 0 ( 3 2 1 ) 是用来描述流体的扩散方程，它常常表现出孤波特性和c o m p a c t o n 特性。很多 学者 3 9 - 4 2 用不同的方法对k ( p ，q ) 方程做过研究，我们在这里主要阐述变分迭 代算法在这个方程中的应用。 用变分迭代算法我们可以对k ( p ，q ) 方程构造如下的迭代格式 ，) = z ( 砖，) + ( 名 ( n ) ，+ 口( 砑) 工+ ( 霸) 嬲) 功(32dn+l(x t 2 ) ，) = z ( 砖，) + 【名 ( ) ，+ 口( 砑) 工+ ( 霸) 嬲) 功 ( 3 2 ) 其中五是拉格朗日乘子，张是限制变分，瓯= 0 ，我们识别拉格朗日乘子名= 一i 得到如下的迭代格式 i - i ，f ) = ”疗( x ，f ) 一( ( 材疗) f + 口( 材善) j + ( z 锾) 默。渺(3232n+l(x2 ) ，f ) 2 ( x ，f ) 一j j ( ) f + 口( 材善) j + ( 醒) 删渺 ( 3 ) 为了说明求解过程，我们考虑k ( 2 ，l q ) 方程 u t + u 2 叱+ t l x x x = 0 ( 3 2 4 ) 它的变分迭代格式为 一1 + l ( x ，) 2 ( x ，f ) 一j ： ( ) f + 扰：( ) j + ( ) 黼渺 ( 3 2 - 5 ) 为了寻找c o m p a c t o n 解或周期解，我们可假设零阶近似解的形式为 姒圳= 舞端 ( 3 2 - 6 ) 其中绣色毛和w 是待定未知常数。 把式( 3 2 6 ) 代入式( 3 2 5 ) 我4 t qn - - i 以很容易的得到“i 和“2 。为了确定待定常 数，我们可近似假设 “。( 工，f ) = u n + l ( x ，) ( 3 2 7 ) 或 等f)_等+l(x,tun un) ( 3 2 8 ) 矿【圳) 2 矿+ - 【) 【j 厶5 ， 为了说明求解过程，我们取n = 0 我们可以算出 第三章变分迭代算法在非线性扩散方程k ( p ，q ) 中的应用 和 其中 拿(刈)=2abwsin(101c+w广t)cos(kx+wt)ot彳 a ，“一2 a b k b s i n ( k x + w t ) c o s ( h + w t ) - g ( 石，) 2 a 万二一 a = 6 2 + 2 b c + c 2 + ( 2 6 c 一2 c 2 ) c o s 2 ( 缸+ w t ) + c 2c o s 4 ( h + w t ) b = ( 口2 - 4 c 2 k 2 ) c o s 4 ( 缸+ w f ) + ( 2 口2 1 6 k 2 b c 一4 c 2 k 2 ) c o s 2 ( k x + w t ) + 口2 + 8 k 2 c 2 4 k 2 b 2 + 4 k 2 b c 假设西0 ( 五f ) = 昙姒x ，f ) ，那么我们可以得到 w ( b 2 + 2 b c + c 2 ) + w ( - 2 b c 一2 c 2 ) c o s 2 ( 舡+ w t ) + w c 2 c o s 4 ( 缸+ w f ) = 七( 口2 + 8 k 2 c 2 4 k 2 b 2 + 4 七2 6 c 1 + 七( 之口2 1 6 七2 b c 一4 c 2 k 2 ) c o s 2 ( h + w f ) + 露( 口2 4 c 2 k 2 ) c o s 4 ( b + w t ) 合并有关c o s ( k x + w t ) 的项，令其系数等于0 得： w ( b 2 + 2 b c + c 2 ) = k ( a 2 + 8 k 2 c 2 4 k 2 b 2 + 4 k 2 b c ) w ( 一2 b c 一2 c 2 ) = 尼( 一2 a 2 1 6 k 2 b c 一4 c 2 k 2 ) w c 2 = k ( a 2 4 c 2 k 2 1 解方程组( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 4 ) 得： f a = + 2 x - 2 k c b = 一三c i 2 lw = 一4 k 3 把( 3 2 15 ) 代入至l j ( 3 2 6 ) 中，得 z f ( x ，) ：+ _ 2 r 。 2 k c s i n 2 ( o f - 4 k 一3 t ) 一昙f + c 2 ( h 一4 k 3 t ) s i n i f 十c t 脐一 简化( 3 2 1 6 a ) 得 ，、4 4 2 k s i n 2 ( k x 一4 k f ) 甜( x ，) = 二- 3 + 2 s i n2 ( i x - 型4 k 3 t ) 我们也可以假设更广义的初始解： 2 4 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 15 ) ( 3 2 1 6 a ) ( 3 2 1 6 b ) 第三章变分迭代算法在非线性扩散方程k ( p ，q ) 中的应用 “。( j ，f ) = 口+ c + d c o j s l ( k x + w t ) 其中岛6 jck ，和w 是待定常数。为了识别这些常数我们近似假设： 0 u o a = 0 u l a f ，于是可得 其中 令 ( 3 2 1 7 ) 誓一百o u i = ds i n ( k x + w t ) m i c o s 忑2 ( k x 石+ w 而t ) + 矿nc o s ( k x + w t ) + h = 。( 3 2 1 8 )