第九章 第九节 空间向量的坐标运算(B).doc

第九章 第九节 空间向量的坐标运算（B）题组一利用空间向量证明平行、垂直问题1.已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值分别为 ()A.， B，C5,2 D5，2解析：ab答案：A2在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：如图，以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，E(1,1,2)(1，1,2)(2，2,0)0，.答案：B题组二利用空间向量求空间角3.(2010陕西八校)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为 ()A. B.C. D.解析：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.答案：B4(2009上海高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，ABBC，则二面角B1A1CC1的大小为_解析：如图，建立空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，BMAC，BMCC1.BM平面A1C1C，即(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是n(x，y，z)(2,2，2)，(2,0,0)，令z1，解得x0，y1.n(0,1,1)，设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos|cos|，解得.二面角B1A1CC1的大小为.答案：题组三利用空间向量求距离问题5.在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点，如图所示则点B到平面CMN的距离为_解析：取AC中点O，连接OS、OB. SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABCAC，SO平面ABC，SOBO.如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2，0)，C(2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，0)，N(0，)(3，0)，(1,0，)(1，0)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则取z1，则x，y，n(，1)点B到平面CMN的距离d.答案：6已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；(3)当的值为多少时，二面角BSCD的大小为120？解：(1)证明：SA平面ABCD，BD平面ABCD，SABD，四边形ABCD是正方形，ACBD，BD平面SAC，BD平面EBD，平面EBD平面SAC.(2)设ACBDF，连结SF，则SFBD，AB2，SA4，BD2，SF3，SSBDBDSF236，设点A到平面SBD的距离为h，SA平面ABCD，SSBDhSABDSA，6h224，h，即点A到平面SBD的距离为.(3)设SAa，以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，(1,1，a)，(1,0，a)，(0,1，a)，再设平面SBC、平面SCD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，则y10，从而可取x1a，则z11，n1(a,0,1)，x20，从而可取y2a，则z21，n2(0，a,1)，cosn1，n2，要使二面角BSCD的大小为120，则，从而a1，即当1时，二面角BSCD的大小为120.题组四综合问题7.(2010皖南八校联考)如图所示，已知四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且DD1底面ABCD，AB2A1B12DD12a. (1)试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1平面BCC1B1；(2)求二面角FCC1B的余弦值(F满足(1)解：(1)以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2a,0,0)，B1(a，a，a)，D1(0,0，a)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，C1(0，a，a)，依题意可设F(x0,0，z0)，(a，a，a)，(2a,0,0)，(ax0，a，az0)，由FB1平面BCC1B1得即，得，所以F的坐标为(a,0,0)，故可知点F为DA的中点(2)由(1)知(0，a，a)为平面BCC1B1的一个法向量设n(x1，y1，z1)为平面FCC1的一个法向量，(0，a，a)，(a,2a,0)，由即令y11得x12，z11，n(2,1,1)，cosn，即二面角FCC1B的余弦值为.8如图，已知等腰直角三角形RBC，其中RBC90，RBBC2.点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PAAB，连结PB、PC.(1)求证：BCPB；(2)求二面角ACDP的平面角的余弦值解：(1)证明：点A、D分别是RB、RC的中点，ADBC，ADBC，PADRADRBC90，PAAD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB.PB平面PAB，BCPB.(2)法一：取RD的中点F，连结AF、PF.RAAD1，AFRC.APAR，APAD，AP平面RBC.RC平面RBC，RCAP.AFAPA，RC平面PAF.PF平面PAF，RCPF.AFP是二面角ACDP的平面角在RtRAD中，AFRD，在RtPAF中，PF，cosAFP.二面角ACDP的平面角的余弦值是.法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则