（机械制造及其自动化专业论文）nurbs曲面构造拼接及光顺的研究与实现.pdf

独 创 性 声明 本人所 呈交 的学位 论文 是在 导师 指导下进行 的研 究工 作及 取得 的成果 。尽 我所 知 ，除特别加 以标注 的地方外 ，论文 中不包含其他人 的研究成 果 。与我一 同工作 的同 志对本文的研究工作和成果的任何贡献均 已在论文 中作了明确的说明并 已致谢 。 本论文及其相关资料若有 不实之处 ，由本人承担一切相关责任 者 签 名 :- 韭 兰 一 为 。 ， ; 、 : 。 学位论文使用授权声 明 本 人 圣 夔 益 一 在 导 师 的 指 ， 下 仓 。作 完 成 学 位 论 、 。 知 识 产 权 归 西 安 理 工 大 学 所有 ，本人今后在使用 或发表该论文涉及 的研 究 内容 时 ，会注 明西安理工大学 。本人 作为学位论文著作权拥有者 ，同意授权西安理工大学拥有学位 论文 的部分使用权 (在 以下 “口 ”中标 明 ，同意 的划 “7 ” ，不 同意 的划 “x ，) ，即 : 本 人 提 交 的 印刷 版 和 电 子版 学位 论文 ， 口 学校 可 以采用 影 印、缩 印或其他 复制手段保存 ; 口 学校可 以将 学位 论文 的全 部 内容编入 公开 的数据库进行 检 索 ; 口 学校可 以将 学位 论文 的摘要编入 公开 的数据库进行检 索 ; 口 学校可 以将 公开 的学位 论文或解密后 的学位论文作 为 资料 在 图书馆 、资料室等 场所 及校 园 网上 供校 内师 生 阅读 、浏 览 。 本人 学位 论文全 部或部分 内容 的公布 (包括刊登 ) 授权 西安理工大 学研 究生学 院 办理 。 (保密 的学位 论文在解 密后 ，适用本授权说 明) 论 文 作 者 签 名 : 奎迭.导 师 签” i o年 3 ” 了日 摘要 论文题 目: 学科专业 : 研 究 生 : 指导教师 : n u r b s 曲面构造 ，拼接及光顺 的研究与实现 机械制造及其 自动化 李英杰 李德信 签 名 : 签名 : 摘要 随着现代工业 的发展和科学技术 的不断进步 ，曲线 曲面造型技术也逐渐成熟起来 。非 均匀有理 b 样 条 (nurb s ) 方法作为 目前最有发展前景 的 曲线 曲面造型技术 ，也作为工业 产 品几何定义 的标准被广泛使用和研 究 。 本文对双三 次 nurbs 曲面 的拼接及光顺进行 了研 究 ，论文工作主要包括三部分 :(1 ) nurbs 曲面 的构造 ;(2 ) 双三 次 nurbs 曲面拼接 ;(3) 双三 次 nurbs 曲面光顺 处理 。 第一部分 ，即论文 中的第 3 章 ，对 于 nurbs 曲面构造 的研 究 ，采用插值 与逼近相结合 的方法 ，构造 了由曲面插值 、曲面逼近及误差分析 3 个步骤 组成 的 曲面造 型过程 ，获得一 种既能满足光顺性能要求 ，又能满足逼近精度要求 的 nurbs 曲面 的构造方法 。 第二部分 ，即论文 的第 4 章 ，对于两张双三 次 nurbs 曲面共边界拼接 的研 究 ，获得一 种两张双三次 n u rb s满足 了连续 的拼接实用算法 ，可 以将此方法推广到 n 次 n u rb s曲面 ， 计算速度快 。结合本文给 出的两张双三次 nurbs 曲面共边界拼接满足 了连续的算法 ，获 得基于最 小二乘法 的三张双三次 nurbs 曲面共角 点拼接满足 了连续 的方法 ，使得两种算 法有机地联系在一起 ，经实例证 明方法是可行 的。 第三部分 ，即论文 中的第 5 章 ，在对双三次 nurbs 曲面共边界满足 口连续拼接算法 的基础上 ， 根据拼接 前后 曲面 的 曲率 图与 曲面 图的变 化 分析 曲面 的光顺 性 ，根据 结果 查 找 拼接后 曲面上 的 “ 坏 点 ”的位置 ，实现基于剪 力跃度 的局部 曲面光顺 的方法 ，通过微调邻 近 点的权 因子 的方法修 改 曲面 的光顺程度 ，方法直观 、速度 快 。 最后 ，对全文 的工作进行 了总结并提 出了进一步工作 的研 究方 向。 关键词 : n l jrb s 曲面 ，拼接 ，光顺 ， 曲率 图， 曲面构造 s b stfa o t t itle :. s t u d y a n d r e a l iz a t io n o n c o n s t r u c t io n ， f a ir in g a n d s mo o t h j 0 1n in g b e t we e n a d j a c e n t o f t h e n u r b s s u r f a c e m a j or:m eehanieal m anuf a eturing and a utom ation n s me : y in幻ie l i d ex in l i s ig n a tu re : s u p e l. v lso r : si gnature氛 卫沁三三 二 a b s tfa c t a lon g 初 th t h e ra p id im p rov em ent of m oder n in d u s仰a n d s ei一 t eeh ， m od eling teeh nolo gy of cu r ve a n d sur i 五 ee a r e b eeom in g m or e a n d m ore m atur i t y . n on u n if o r m r a t ion al b 一 s p lin e ( n u r b s) 15 beeom ing the m os t ou t looks m odeling tech n ology . it ha s been specif i ed a sa s t a n da r d of i n dust r i al p roduets geom et r y descr i ption m ethod a n d ha s been w idely used a n d rcco rnrqen d cd . t h e f a i r ing a n d sm oo而 ng jo而 ng bet w een a d jaeen t of bieubie n u rb s su r f a ees a r e st u died.t he m a i n eon t en t i ncludes t h e f o llo诚 ng f o u r pa r t s， (1) the eonst r uetion of t h e n u r b s sll rf a ces，(2) t h e joining bet w een a d jacen t of bieu b ie n u r b s surf a ees，(3) t h e f a ir ing a n d sm o o t h in g o f b ieu bic n 工 jr b s su rf a ees. in t h e f i rst p a r t，t h e ch a pter 3 ，u sin g su r 五ce in ter p o la t e d ireetly ， f a ir n ess o f th e su r f a ee eo u ld n o t b e g u aranteed . a n ew m et h o d o f su rf a ee reeo n str u etio n w h ieh eo m b in e th e in t er p o la t io n初 t h app r o x im a t ion 15 p r e sen t ed ，a nd a n alg or i th n飞eom p o sed o f in i tial su r f a ee co n st r uc t io n o f p a r tia l in ter p o la t io n ，su r f a ce a pp ro x im a t ion o f a l l g iv en d a t a a nd er r or a naly sis h as b een realized . in t h e p a r t t wo ，ch a pter 4 ，jo in i n g b et ween t wo b ieu b ie n u r b s su rf a ees w h ieh h av e t h e sa me bou n d柳a r e st u died， a n d a use彻 algo五 th m w hich sa t isf y 0 2 。 on n eetivit y 15 intr o duced. a lt h o u gh it 15 b ased o n b icu b ic n ijr b s surf a ce， it ea n b e easily im p ro v ed to h ig h d eg r ee w hich ea n b e u sed初 dely . t he a l gor i th m 15 sim p licit y a nd ra pidly f o r caleu la t ion s. t he r e alistie ex per i m en t d a t a a n d 小e 也eo巧 a r e re免re n eed .腼e价 c t iv e m e出od o f 0 2 eon neetiv it y o f 而 ee b ieu b ie n u r b s su r i 滋ees w h i eh h a ve t h e s田盯e eo m er 15 o b ta i n ed . f t also ref e ren ees t h e m eth o d of tw o n ijr b s surf a ees joi ning a n d ba s ed on spaee pro j ection of eont r ol poi nts. it ea n be p r o v ed t h a t a l l a l g o r i thm s a r e f e a s ib le. t he th lrd p a r t o f p a per ， ch a pter s，f o eu s on t h e b o u nd ary af t er t h e su r f aees h a d b een join i ed.t h e eu r vatul re m a p ping a n d t h e line一 f r a me m 即 of t h e surf a ces a r e produeed.in ter ms oft h em t h e sm oot h ing at tr i bu t es ofbou n dar y 15 a n al yzed.it，5 explicitly ， ef f e etive a n d sub j ective. 111 人 西安理工大学硕士学位论文 a s f o r t h e ob j eeti ve de t eetion ofsm oot h i ng， t h e shea r i ng f o r e e degree 15 used t o de t eet t h e ba d p o i n 七 认忆 ch 15 k no 帅a s t h e n o n一 s mo o 而 ng p o in t ， a nd a sm o o t h ln g w ay b a s e d o n it 15 i n t rodueed.t h e sur i触 ee ea n be sm oot h ed by m ea n s of eha n gi ng t h e va l ue of w eig h t w hich nea r t h e b ad p ein t. t he m a i n eo n elu sion s o f t h e d isser t a t io n a r e g iv en in t h e la s t eh a pter ， in a dd ition to d irec t io n o f n ex t r e search es. k 盯 w or d s:n u r bs su r f a ce， join i ng， sm oot h i ng， cu r va t u r e m appi ng， sur ilee eonst r uc t ion y v 绪 论 1.1 曲线 曲面造型技术发展 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1， 2 几何连 续性 问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ， .3 曲面光顺技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .， . . . .4 1.4 论文 的研 究 内容 、 目的及结构安排 二 ， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ， . . . .5 1.4.1 研究 内容和 目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ， . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.4.2 内容安排 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2 理 论 基 础 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 曲率 的计算 .， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.1 .1 主 曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.1 .2 高斯 曲率 、平均 曲率和绝对 曲率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.2 nurbs 曲线 曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2.2.1 nurbs 曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 nurbs 曲面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1 2.3 几 何连 续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .， . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3 2 .4 2 ， 5 2.3.1 参数连续性与几何连续性 ， ， . . ， 二 ， . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 3 2.3.2 参数 曲线 的几 何连续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4 2.3.3 参数 曲面 的几 何连 续性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4 曲线 曲面 的光顺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .巧 2.4.1 曲线 曲面 的光顺准则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 5 2.4.2曲线 曲面光顺 的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 6 本章 小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ， . . . . . .1 6 3 nurbs 曲面重构 的整体插值 与逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ， . . . . . .1 7 3.1 曲面插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 户 洲内j . 气j 八西o 了，乙 l ，l 气乙，一，一勺，j 3.1 .1 nurbs 曲线 插 值 3.1 .2 nurbs 曲面插 值 3.2曲线 曲面 的逼近 3.2.1 曲线 的最 小二 乘逼近 3.2.2 曲面逼近 . . . . .， . 桃实 勺 3 . 3.4 本章 小结 4 双三次 nurbs 曲面 的拼接 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 3 3 4 3 4 4 5 5 0 5 0 5 1 5 2 5 6 4.1 算 法 原理 4.1 .1 两张双三 次共边 界 nurbs 曲面光滑拼接 满足 g 2连续 4.1 .2 三 张双三 次共边 界 nurbs 曲面光滑拼接满足 g 2连 续 4.2 算法 实现 4.2.1 两张双三次共边界 nurbs 曲面光滑拼接 g 2连续 的实现 4.2.2 三张双三 次 n u r b s 曲面共角点 g 2连续 的实现 . . . . . . 锹实 q 4 . 4.4 本章小结 西安理工大学硕士学位论文 5 双三次 n u r b s 曲面 的光顺. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 5.1 拼接 曲面光顺 性分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 5.1 .1 曲率 图的生成. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.1 .2 基 于 曲面 曲率 图的光顺分析方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 0 5.2 基于剪力跃度 曲面局部光顺方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 5.2.1 光顺方法 原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 4 5.2.2 实例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9 5.3 本章小结. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0 6 论 文 的总结和展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1 6.1 全文 总结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1 6.2 研 究展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1 致谢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 3 参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5 攻读硕士期 间发表的论文. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 丁绪论 绪论 曲线 曲面造型技术发展 曲线 、曲面造型是 cad/ c a m和计算机图形学中最活跃 、最关键 的学科分支之一 。从飞 机、汽车、船舶 、叶轮的流体动力学分析，工业造型设计、服装、皮鞋等的三维打样和款 式设计 ，以及 自然景物模拟 、地理资源描述 ，到人体外貌和 内部器官的 c t扫描数据 的重 构，还有科学计算 中的应力、应变 、温度场 、速度场 的直观显示等等 ，无不需要强有力 的 曲线 、曲面造型工具 。 计算机辅助几何设计 (computer aided geometric design，简称 cag d ) 是随着现代 工业 的发展和计算机的出现而产生与发展起来 的， 是对现代工业 的发展起着 巨大推动作用 的一 门新兴学科 。它 的产生和发展推动 了计 算机辅助设计 与制造技术 的迅猛发展 ，而 cad/ca m技术 的发展和应用水平 己经成为衡量一个 国家科技现代化水平 的重要标志 ，因 此 ，以g d与一个 国家 的发展水平和该 国工业发展水平紧密相关 。 以g d的主要研究对象是工业产品的几何形状 ，工业产 品的形状有些是 由初等解析 曲 面组成 (如平面、圆柱面、球面、圆锥面等 )，这类形状可以用画法几何与机械制图方法 完全表达和传递其全部形状信息 ; 而有些不 能 由初等解析 曲面组成 ，例如飞机 、汽车 、船 舶的外形 ，这类形状不能单纯用画法几何与机械制 图的方法表达清楚。1963 年美 国波音 飞机公司的 fergu s on，首先提 出将 曲线 曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次 曲线 。从此 ，曲线 曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式 。196 4年美 国麻省理 工学 院的 coon s发表一种具有一般性 的 曲面描述方法 ， 给定 围成封 闭 曲线 的四条边 界就可 以定义一块 曲面 ，但这种方法存在形状控制与连接方面的问题 。19 7 1 年法 国雷诺汽车公 司的 be z ier 提 出一种 由控制 多边形设计 曲线 的新方法 。这种方法不仅简单 易用 ，而且漂 亮地解决了整体形状控制 问题 ，但 be z ie r方法仍存在连接 问题和局部修改 问题 。gordon 和 r i e s e n fel d于 197 4年将 b 样条理论应用于形状描述 ， 提 出了 b 样条 曲线 曲面 。 它较成 功地解决了局部控制 问题 ， 又轻而易举地在参数连续性基础上解决 了连接 问题 。 但随着生 产 的发 展 ，b 样 条 方 法 存 在 不 能精 确 表 示 圆锥 及 初 等 解 析 曲面 的 问题 。1975 年 美 国 syracu s e 大学 的 ve r s p r i l 首次提 出有理 b 样条方法 。后来 由于 p i e g和 t i ll e等人 的工 作 ，终于使非均匀有理 b 样条 (n u rb s) 方法成为现代 曲面造型 中最为广泛流行 的技术 。 nurbs 方法 的出现不但解决 了 自由曲线 曲面与初等解析 曲线 曲面描述 的不相容 问题 ， 并克服 了 be z ie r 、 b 样条方法 的不足 ，同时权因子和非均匀节点矢量使得能够对 曲线 曲面 的形状进行更加有效地控制， 而且能够使得在一个系统中严格地 以一种统一的数学模型定 义产品几形状 ，使系统得 以精简，易于数据管理 ，便于工程人员使用 ，同时提高 了曲面造 型能力 。国内外学者通过多年来 的研 究 ，从研究领域来看 ，曲面造 型技术 己从传统 的研究 曲面表示 、曲面求交和 曲面拼接扩充到研究 曲面变形 、曲面重建 、曲面简化 、曲面转换和 西安理工大学硕士学位论文 曲面等距性 。传统 的 nurbs 曲面模型仅允许调整控制顶点或权 因子来局部改变 曲面形状 。 一些简单 的基于参数 曲线 的曲面设计方法 ，如扫掠法 、蒙皮法 、旋转法和拉伸法也仅允许 调整生成 曲线来改变 曲面形状。随着造型技术的发展，产生了 自由变形 (ffd ) ， 一 2 、基于 弹性变形或热弹性力学等物理模型的变形法 、基于求解约束 的变形法 3 j、基于几何约束 的 变形法等 曲面变形技术 4 。曲面重建和 曲面简化 目前也是 国际热点之一 s 1 。 在 国内，对 nurb s方法 的研究始于 孚 0 年代末 。北京航空航天大学对 n u rb s方法作 了 系统 的研究 ，发表 了大量论著 ; 施法 中撰 写 了有关 nurb s的专著 计算机辅助几何设计与 非均匀有理 b 样条 8 1，朱心雄撰写 了有关 nurb s的专著 自由曲线 曲面造 型技术 9 ， 。 与此 同时 ， 南京航 空航天大学和西北工业大学也深入探 索 了 nurbs 的理论和应用 ， 取得 了 重要 的成果 。 在 nurb s曲面设计系统与多项式 曲面系统之 间的数据传递 、曲面拼接和无纸 化生产工艺 中，存在着微分运算繁琐 费时、积分运算无法控制误差 的局 限性 。这就要求 同 一张 曲面可 以以不 同的数学形式表示 。近 几年 ，国内外许 多高校 及科研机构 都对 nurbs 方法进行 了深入 的研 究并取得 了不少新 的研究成果 。 近几年来 ，国际图形界对 曲面转换 的研究主要集 中在 : n u r b s 曲面用 多项式 曲面来逼 近的算法及收敛性; bezie r曲线 曲面的隐式化6 ， 及其反问题; consur f飞机设计系统的 b a n曲线 向高维推广 的各种形式 比较及相互转化 ; 有理 be z ie r曲线 曲面 的降阶逼近算法 及误差估计 月 ; n u rb s曲面在三角域上 的互相快速转换 。 随着工业生产 的发展和需求 ， 形成 了一种其他学科技术方法被 引进 到计算机 图形学 中 来的融合趋势 。 能量化优化法是 曲面形状 的改变服从物理准则 ， 通过在符合几何及非几何约束条件 的 情况 下 寻找具 有最 少物 理变形 能量 的 曲线 曲面 。早期 加拿 大学者 te r z叩o u los 等用 l a gra n ge 方程建立物理能量模型 。moretonn 利用能量优化方法 ，以曲线 曲面 的 曲率变化 为 目标 函数 ，求解用 bezie r方法描述 的三边 、四边 网格蒙面 曲面 。ha g e n和 leon 等人在 能量模型选择、 能量 曲线 曲面等方面都作出了比较突出的贡献 l 0 j 。国内能量优化法曲面造 型方面 ，彭芳瑜 、周云飞等人提 出了基于能量法 的截面 曲线 自动形状修改算法 ， 一 1 3 ， 。 基于偏微 分方程 (pd e) 的 曲面造型方法是使用一组椭 圆偏微分方程构造 曲面 。此方 法构造 曲面简单易行 ， 所得 曲面 自然光顺 ， 可通过方程 中的一个物理参数来调整 曲面形状 ， 于功能 曲面的设计 。pde 曲面形状完全 由边界条件确定，所需形状参量较少 ，可 以降低计 算耗费 。船体、飞机 、螺旋桨叶片等外形都可用 p d e 方法构造 。 流 曲线 曲面造型方法是根据流体力学 的原理 ， 依据运动物体所产生的阻力来设计物体 的外形 ，这样设计 出的物体外形不但美观而且运动 中所受的阻力减少 。 小波分析是 fo u r i e r分析 的突破性发展 ，它既是强有力 的分析技术 ，又是一种快速 的 计算工具 ， 兼具重要 的理论意义和使用价值 。 小波是刻画数据 内部相关性结构的有力工具 ， 在数据压缩和逼近 方面具有 强大威力 。 近年来 ，小波分析在计算机 图形学 中获得 日益广泛 的应用 。fr i n k e l is t ei n和 sa l esi n研 究 了闭区间上小波 的多分辨分析理论 。研 究 了 b 样 1 绪论 条 曲线和张量积 b 样条 曲面 的多分辩率表示及其在多分辨编辑中的应用。lo u n b e r y 将多 分辨分析及小波理论推广到任意拓扑类型的曲面 ， 4 。eck 等给出了将多分辨分析 ( m r a ) 用于任意网格 的 lo d(level一 。 f一 deta过) 逼近方法i ， 5 ，使得任一多面体和 网格 曲面均可 用多分辩率表示 。近年来 ，清华大学计算机系研究课题 “ 小波分析在大规模散乱点数据可 ， 视化 中的应用 ”，中科院计算所 以d 开放实验室研究课题 “ 小波分析在三维医学 图像重建 中的应用 ”等一些部 门都在做相关 的研 究 ， 5 ， 。 1.2 几何连续性 问题 在工程实际中所面对的几何形体往往十分复杂 ， 只用一张参数 曲面难 以实现 ， 通常将 几何形体按照一定的规则分成若干部分， 然后每一部分分别用一张参数 曲面来拟合 ， 再依 据一定的光滑拼接条件将它们整合起来 以形成 “ 光滑 ”的 曲面 ，这 是 cad/ c 枷 曲面造型 中 的曲面设计的典型方法 ，即分片构造法 。 人们借助微分几何理论对 以d/ c a m造型中普遍使 用 的 “ 光滑 ”概念进行 了深入的理论研究和实践探索 ，使几何连续与切 向量 (切平面 ) 连 续，曲率连续与密切面连续等几何概念完整联系起来 ，从而在 cad/ c a m曲面造型 中促使 毛n 参数连续逐渐被 g n几何连续所取代 。早在二十世纪六十年代 ，以g d大师 s. a. c。 。 ns 和 p. bezier 都 曾研究过具有切平面连续变化 的几何连续 曲面 ， 而真正引起人们对几何连 续性浓厚兴趣的是二十世纪八十年代初期，由b. a. ba r sky 1 6 j 于 198 1年提出的一种新的 样条: bet a样条 的定义及几何连续 的概念 ，和 j. ka h ma n n 7 一 l s j 于 198 2年发表 的论文 中提 出用杜潘标形描述相邻 曲面 片之 间的 曲率连续性 。ka h m a r m的工作是 cag d曲面 几何连续 性研 究 中的重要进展 ， 在此之后人们如何定义 曲面 的二阶几何连续达成 了一致 的意见 。随 后，1985 年 t. d. derose 1 的 提出几何连续性是与参数选择无关的一种度量，对 g ” 连续的 曲线存在一个参数变化 ，使其成为c ” 连续 ，因而几何连续描述 的是 曲线 内在的性质 。将 几何连续与双参数变化联系起来 ， 便将几何连续的概念推广到 曲面 ， 得到高阶几何连续的 概念 。1984 年 ，德 国的 oberwolfaeh 召开的 ，t surfaees in cagd ”国际学术会议上几何 造型大师 r. e. ba r n h in 2 0 1 提 出了八个有关 曲面研 究的公开 问题 ，其 中，几何连续性 问 题，封 闭曲面 的构造 ，矩形 曲面片与三角 曲面片的混和 使用 。这三个 问题 的核心技术是几 何连 续性 。在 ieee computer graphies and appli。 ations 杂志 一 993 年 的 以 gd 专题 论述 上 ，ar 1 zona 州立大学的 niezson汇 ， ， 提 出了 eaed 的十大前沿 问题 ，将几何连续性 、散乱点 曲面重构 、nurb s等作为重 点 问题介绍 。并且 ，herron 指 出，用 自由曲面工具基于参数连 续性构造 闭曲面是不可能的，然而基于几何连续性则成为可能，因此，研究 自由曲面的几 何连续性有着深刻的理论背景和广 阔的应用前景 。g.fa r in 2 2 j 也 曾指出曲面的几何连续性 是活跃 的研究领域 ，因为 曲面远 比曲线要复杂得多，而且重要得多。从二十世纪八十年代 至今 ， 自由曲面 的几何连续性一直是活跃 的研究领域 。 目前 ， 对于 be z ier 曲面 的光滑拼接 2 3 一 2 4 j 问题 的研究 己经趋于完美 ， b 样条 曲面 的光滑 拼接 2 5一 2 司 的研究也有了很大得进展 。但是，对 nurbs 曲面拼接的研究还是远远不够 ，这是 西安理工大学硕士学位论文 一个有待解决的问题 。 3 曲面光顺技术 随着现 代科技进步 ， 工业发展的不断提高， 人们对工业生产 及旧常生活 中产 品的外形 光顺性有 了更高地要求 。尤其是在工程设计 中，在 cad/ c a m中设计模具 的几何模 型 时，可 能 由于权 因子或控制顶点设置不当或其他原因， 都会或多或少 出现生成 的形状与想像 的有 差别 ，为 了将差别减小到最小 ，为 了能够更好地满足设计者的要求，所 以需要对得到 的 曲 线 曲面进行光顺处理 。 曲线 曲面光顺研 究大概始于上世纪 6 0年代初 。国际上 ， 曲面光顺处理最早 是采用最 小二乘法用于船 体数学放样 。1969 年 ho s a k a l z 7 在能量极值 的基础上最早提 出了用于空 间 三次参数样条 曲线光顺和网格光顺的能量法 。 国内最早是 由苏步青 z s 于 1974 年开始研究 。 1974 年，山东大学在船体数学放样中提出了圆率光顺的概念。1977 年，忻云龙提出了网 格基样条法 ，该方法是基样条法在二维场合 的拓展 ，是一种 曲线检查 ，曲面修改的方法 。 但是该方法存在检查与修改的结果不一致 ， 光顺 的过程要反复检查修改， 耗 时的缺 点。 19 7 8 年，董光 昌 绷提 出了 “ 回弹法 ”。1983 年 ，k j ell a n d e r 工 3 0一 川提 出了一种三次参数样条 曲线 和双三次参数样条 曲面局部光顺 的方法 ，同年 ，no w a c k i和 reese 3 2 提 出用薄板应变能量 作为曲面光顺 的准则 ， 此方法被公认为是一个 比较合理的准则， 但是构造此准则的算法较 困难 。fa r i n 3 3 j 提 出一种通过节点删除与插入对 b 样条 曲线光顺 的方法 。1 987 年 ，lott 3 4 等提 出了 b 样条 曲面光顺 的能量法 。1990 年 ，ra n d o和 ro u lie r 3 5 ， 改进