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非高斯随机粗糙表面的数字模拟 研究生签字：帮布， 指导教师签字：秒孝办 摘要 在研究接触式测量以及接触表面之间的摩擦特性等工程领域中，表面粗糙度对工件的 机械性能尤其是接触表面的摩擦、磨损、结合面的密封以及旋转件的疲劳强度等都有显著 影响。一直以来，在光学工程领域中，光学表面粗糙度引起的表面散射对于光学系统的工 作特性也有很大的损害。人们对表面粗糙度的研究，总是以生成的随机粗糙表面为研究对 象，且大多数研究都是建立在高斯随机粗糙表面的基础上。然而在许多工程研究中，由于 粗糙表面的峰相对于谷而言总是比较容易去除，所以很多的工程表面呈现的是具有某种程 度的负偏斜的非高斯随机粗糙表面，因此，研究非高斯随机粗糙表面具有重要的意义。 粗糙表面的计算机模拟是建立粗糙表面数字化模型，进而对粗糙表面间相互作用进行 模拟研究的前提。快速傅立叶变换( f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，简称f f t ) 是生成非高斯随 机粗糙表面的一种有效工具，为此本文提出了一种基于快速傅立叶变换、j o h n s o n 转换系 统和自相关函数等理论模拟生成非高斯随机粗糙表面的方法，该方法可以生成具有给定偏 斜度、峰度和不同的自相关函数的非高斯随机粗糙表面。基于上述理论和方法，采用m a t l a b 语言编写了生成非高斯随机粗糙表面的程序，模拟生成了具有不同偏斜度、峰度和自相关 长度下二维和三维非高斯随机粗糙表面的计算机仿真结果，从而验证了该方法的可行性和 正确性。最后，对非高斯随机粗糙表面模拟过程中的误差进行了分析，着重分析了自相关 长度、峰度和偏斜度变化时，生成的非高斯随机粗糙表面的输入统计参数与输出统计参数 之间的误差。分析结果表明：在一定的条件下用该方法模拟生成的非高斯随机粗糙表面， 其输入的随机表面的统计参数与输出的统计参数吻合较好，但是当自相关长度比较大的时 候，误差比较明显，同时，在峰度小于3 时，并不是所有的非高斯随机粗糙表面都能被模 拟。 关键词：非高斯随机粗糙表面；偏斜度；峰度；自相关函数；计算机模拟 d i g i t a ls i m u l a t i o no fn o n - - g a u s s i a n r a n d o mr o u g hs u r f a c e s d i s c i p l i n e ：o p t i c a le n g i n e e r i n g s t u d e n ts i g n a t u r e ： s u p e r v i s o rs i g n a t u r e ： 两珂圯 1 跏鹣i b q a b s t r a c t i nt h ee n g i n e e r i n gf i e l d so fs t u d y i n gc o n t a c tf r i c t i o n ，s u r f a c er o u g h n e s sh a sa r e m a r k a b l ee f f e c to ne n g i n e e r i n gp r o p e r t i e s ，e s p e c i a l l yc o n t a c tf r i c t i o n ，a b r a s i o n ，p r e s s u r ea n d f a t i g u ei n t e n s i t yo fr e v o l v i n ga p p a r a t u s i nt h ef i e l do fo p t i c s ，l i g h ts c a t t e r i n go fo p t i c a ls u r f a c e r o u g h n e s si n f l u e n c eo nw o r kc h a r a c t e r i s t i co fo p t i c a ls y s t e mg r e a t l y t h er a n d o mr o u g h s u r f a c e sw e r ea l w a y su s e dt ob eo b j e c ti nr e s e a r c ho fs u r f a c er o u g h n e s s ，f u r t h e r m o r et h em o s t o fr e s e a r c h e sw e r eb a s e do ng a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c eg e n e r a t e d b u ti nt h ef a c t ，r o u g h s u r f a c ep e a k sa r ee a s i e rt ob ew i p e do f ft h a nv a l e s ，t h u sm a n ye n g i n e e r i n gs u r f a c e sa r ea l w a y s n e g a t i v en o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e s s oi ti sv e r ys i g n i f i c a n tt os t u d yn o n g a u s s i a n r a n d o mr o u g hs u r f a c e s c o m p u t e rs i m u l a t i o no fr o u g hs u r f a c e si se s t a b l i s h e db yd i g i t a lm o d e lo fr o u g hs u r f a c e s ， w h i c ha r ep r e c o n d i t i o ni nr e s e a r c ho fs u r f a c ei n t e r a c t i o n f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ( f f t ) i sa n e f f e c t i v em e a n so fs i m u l m i o no fn o n g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e s i nt h i sw o r k , an e w m e t h o dw a sp r e s e n t e d ，w h i c hb a s e do nf a s tf o u r i e rt r a n s f o h n ，j o h n s o nt r a n s l a t o rs y s t e ma n d a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n n o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e sa r eo b t a i n e dw i t h g i v e n s k e w n e s s ，k u r t o s i sa n dd i f f e r e n ta u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o nb yt h i sm e t h o d c o m p u t e rp r o g r a mo f s i m u l a t i o no fn o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e sw a sw r i t t e nb ym a t l a bl a n g u a g e 2 一da n d 3 一dn o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e sf i g u r e sw e r es u c c e s s f u l l ys i m u l a t e db yt h i sp r o g r a m f i n a l l y , e r r o r si nt h ep r o c e s so fs i m u l a t i o no fn o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e sw e r e a n a l y z e d ；e s p e c i a l l ye r r o r sb e t w e e ni n p u ts t a t i s t i c a lp a r a m e t e ra n do u t p u ts t a t i s t i c a lp a r a m e t e r w e r ea n a l y z e dw h i l ea u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，s k e w n e s sa n dk u r t o s i sc h a n g e d t h es i m u l a t e d r e s u l t ss h o wt h a ti n p u ts t a t i s t i c a lp a r a m e t e r so fr a n d o ms u r f a c e sa r ea g r e ew e l lw i mo u t p u t p a r a m e t e r sw h i l en o n g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e sa r es i m u l a t e di nc e r t a i nc o n d i t i o n s t h e s i m u l a t e de r r o r sb e c o m em o r ea n dm o r el a r g ew i t hc o r r e l a t i o nl e n g t hi n c r e a s i n g w h e nk u r t o s i s i sl e s st h a n3 ，n o ta l lf i g u r e so fn o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c ea r es i m u l a t e ds u c c e s s f u l l y k e yw o r d s ：n o n - g a u s s i a nr a n d o mr o u g hs u r f a c e s ；s k e w n e s s ；k u r t o s i s ；a u t o c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ；c o m p u t e rs i m u l a t i o n 主要参数符号表 离散随机输入序列r ( x ，y ) 的傅立叶变换 滤波函数 系统的传递函数 峰度 分别是输出序列、输入序列的峰度 扫描长度 平均值 概率密度函数 自相关函数 离散状态下的自相关函数 j o h n s o n 转换系统中的三种频谱曲线分布 输出序列和输入序列的概率密度函数 偏斜度 输出序列z 和输入序y o , 7 的偏斜度 输出序列z ( x ，y ) 的傅立叶变换 沿x ，y 方向的自相关长度 j o h n s o n 转换系统的曲线分布的参数 标准正态输入序列 标带有给定偏斜度和峰度的非高斯随机序列 采样间距 标准差 蝴m k 三 所 财m聊蚋& 蚺蹦 刁矿 f 仃 蝴k 三 所 财m聊蚋& 嘴蹦 刁矿 f 仃 学位论文知识产权声明 学位论文知识产权声明 本人完全了解西安工业大学有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间， 学位论文工作的知识产权属西安工业大学。本人保证毕业离校后，使用学位论文工作成果 或用学位论文工作成果发表论文时署名单位仍然为西安工业大学。学院有权保留送交的学 位论文的复印件，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 学位论文作者签名： 韶煮， j 指导教师签名： l a 裳勰 f q n ： 刃泽厅勿a 学位论文独创性卢明 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师阳爱 玲的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，学位论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包含本人已经申请学位或其 他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示致谢。 学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 学位敝储虢氍 指导教师躲 孝泠 日期： 矽况牟彳日和a 1 绪论 1 绪论 本章将介绍非高斯随机粗糙表面模拟的相关技术，并分别阐述课题的意义、国内外发 展现状和主要任务。具体内容包括非高斯随机粗糙表面模拟技术的发展，课题的背景与意 义，国内外发展现状和课题的主要任务以及章节安排等。 1 1 本课题研究的意义 在研究接触式测量以及研究接触表面之间的摩擦行为等工程应用领域中，表面形貌u j 往往对工件的机械性能尤其是摩擦表面上的磨损、零件接触表面的摩擦、贴合面的密封、 旋转件的疲劳强度、支撑和润滑性能以及零件的美观等影响显著郾l ，也就是说当表面越 粗糙，配合表面间的有效接触面积越小，压强越大，磨损就越快；表面越粗糙，就越易磨 损，使工作过程中间隙逐渐增大；表面越粗糙，易使腐蚀性气体或液体通过表面的微观凹 谷渗入到金属内层，造成表面腐蚀；表面越粗糙，粗糙的表面之间无法严密地贴合，气体 或液体通过接触面间的缝隙渗漏；表面越粗糙，粗糙零件的表面存在的波谷越大，它们像 尖角缺口和裂纹一样，对应力集中很敏感，从而影响零件的疲劳强度。在光学工程领域中， 光学表面粗糙度引起的表面散射对于光学系统的工作特性也有很大的损害，如在相干光学 系统中，表面粗糙度引起的散射光的存在必将降低系统的对比度，严重时可能使系统无法 正常工作【4 】；在抗激光高反射膜中，由于薄膜表面的粗糙度引起的光散射损耗，从而降低 其激光损失阈值【5 】；对于金刚石薄膜，当其表面粗糙度较大时，将会产生较强的光散射现 象，强烈影响到薄膜对可见光的透射性【6 1 。也就是说表面形貌在很大的程度上反映了工件 表面的功能特性，对工件的使用寿命和工作性能等有着直接而重要的影响，因此，对表面 形貌的识别与分析，在工程表面的评定和理论研究中一直起着重要的作用【7 弗j 。 经过机械加工的零件表面，总会出现一些宏观和微观上几何形状误差，零件表面上的 微观几何形状误差，是由零件表面上一系列微小间距的峰谷所形成的，这些微小峰谷高低 起伏的程度就叫零件的表面粗糙度，而它们的研究总是建立在研究随机粗糙表面数据基础 卜【9 】 lo 粗糙表面的描述和评定是表面粗糙度测量技术中的一个重要研究方向。最早人们使用 标准样件或样块，通过肉眼观察或用手触摸，对粗糙表面做出定性的综合评定【i o 】。随着 检测手段的发展，促使工件表面粗糙度的评定由定性评定向定量评定发展。因此，在粗糙 表面测量技术中选择何种评定方法和参数来表征表面粗糙程度也尤为重要。在现行国标和 国际标准中规定的表面轮廓参数大致可分为三类【2 j ：与微观不平度高度特性有关的表面 粗糙度参数，如：轮廓算术平均偏差r a 、轮廓均方根偏差r q 、轮廓最大高度r y 和微 观不平度十点高度r z 等；与微观不平度间距特性有关的表面粗糙度参数，其中有轮廓 微观不平度的平均间距s m 、轮廓峰密度d 、轮廓均方根波长均以及轮廓的单峰平均间 两安工业大学硕十学位论文 距s ；与微观不平度形状特性有关的表面粗糙度参数，有轮廓偏斜度s k 、轮廓均方根 斜率q 和轮廓支承长度率t q 等。但是这些表征参数，大多是基于统计学的，具有尺度相 关性，受采样长度，采样间距等的影响较大。当测量尺度发生改变时，测量结果也将随之 改变。并且大部分参数只能反映表面形貌的部分特征，不能反应实际表面的复杂程度，也 不能用作粗糙表面模拟的参型】。例如轮廓算术平均偏差r a 只与轮廓凸峰的相对高度差 有关，所以，许多工件表面的r a 值虽然相等，但它们的表面形貌和功能特性并不相同。 所以，传统的表征参数有其一定的局限性，我们需要寻找更加适当的表征参数。 长期以来对粗糙表面的表征一直是二维的，即以扫描获得的轮廓线作为表征的基础。 但随着表面分析的深入和对表面性能的要求的进一步提高，二维参数表征己不能满足工程 界的要求，只有三维的检测和定量化计算才能对表面形貌进行完整的表征。目前，国际上 包括i s o 在内的许多组织正积极探索三维表征参数。至今国际上达成一致的是所有三维表 征参数的符号都标s ，以区别二维参数r ，不同参数根据其含义按下标形式在s 后标出。目 前已有1 4 个推荐参数，其中4 个幅度和高度分布参数( 方根偏差s q 、1 0 点高度s z 、偏斜度 s s k 、峰度s k h ) 、4 个空间参数( 面峰顶密度s d s 、表面的结构形状比率s t r 、表面的纹理方 向s t d 、最速衰减自相关长度s a l ) 、3 个综合参数( 均方根斜率s q s 、算术平均顶点曲率s s c 、 展开界面面积比率s d r ) 和3 个全功能参数( 表面支承指数s b i 、中心液体滞留指数s d i 、谷 区液体滞留指数s u i ) 1 2 】。虽然三维表征参数还没有最终确定，但三维参数取代二维参数 已是大势所趋l 1 3 , 1 4 j 。 在现代工业领域中，许多工程的粗糙表面被加工而具有某种特定的技术性能特征，比 如制件表面的耐磨性、密封性、传热性、导电性以及对光线和声波的反射性，薄膜、集成 电路元件以及人造器官的表面性能等功能，而这些技术性能的评价常常依赖于粗糙表面特 征的状况，也就是与表面的几何结构特征有密切联系。为了研究表面粗糙度对零件性能的 影响和度量表面微观不平度的需要，实现对表面形貌准确的量化的描述，首先获得随机粗 糙表面数据，从而对表面性能、表面形貌的功能效应进行分析。 目前，随机粗糙表面数据的获取一般有两种方法，一种是对实际表面进行测量来获取 数据。传统的表面粗糙度接触式测量方法中以机械触针法应用最为广泛，它利用机械触针 沿被测表面形状做垂直起伏运动，将这种微小位移通过电路转换成电信号并加以放大和运 算处理，即可得到工作表面粗糙度参数值，从而获取表面轮廓。此方法的优点是仪器稳定 性好，示数客观可靠，使用方便等。但是这种方法也存在无法克服的缺点，它的测量结果 易受触针针头直径和形状的影响，因为从理论上讲只有当触针的尖端圆半径等于零时，触 针的运动才能正确地反映被测表面的实际轮廓曲线，而实际上当触针尺寸过小时，如果直 接与试件表面接触，不仅容易损坏被测表面，由于压强增大，还容易使触针磨损，特别是 在三维粗糙表面测量中还限制了测量速度，采集数据时间长和测量效率低，测量的样品有 限。比如一些学者在研究粗糙表面的润滑效应时，采用此方法来获取粗糙表面数据，用轮 廓仪测量两条相互垂直方向上的轮廓，由两轮廓的相关长度( 自相关函数衰减到零的长度) 2 两安工业大学硕士学位论文 拟合一个具有线性衰减自相关函数的二维滑动平均模型( 2 dm a ) ，由模型可产生正态分 布的模拟表面，然后采用截去粗糙表面峰顶的方法，进一步得到具有负偏斜度分布的模拟 表面【1 5 , 1 6 1 ，这种方法有较大的局限性，难以得到具有较复杂的自相关函数形式和高度分布 形式的模拟表面。 随着现代工业生产和科学技术的发展，对零件表面的质量和性能提出了越来越高的要 求，这种测量范围小，时间长，且一次只能得到一种类型的表面的传统接触式测量方法已 不能满足实际需要和适应社会需求，特别是纳米技术的出现相应地提高了对表面粗糙度测 量精度的要求：另一方面，随着对零件加工技术的要求，对三维表面粗糙度测量的要求 越来越高，计算机技术的快速发展，对表面粗糙度的分析和测量提供了技术支持。 另外一种方法是利用计算机模拟随机粗糙表面来获取数据。计算机模拟生成粗糙表 面，就是建立粗糙表面的数字化模型，并用计算机模拟，是对粗糙表面间的相互作用进行 模拟研究的前提。实际上随机粗糙表面的模拟是统计意义上的模拟，即模拟得到的表面具 有所希望的统计特性，随机表面轮廓的统计特征有两方面，一是幅值分布，反映了峰值和 谷值不同曲率等特征；二是空间相关性，描述了表面不同方向起伏变化的特征，即就是说 粗糙表面的数字化模拟能够描述粗糙表面的微观几何结构和统计学之间的关系。1 9 5 8 年 t h o m a s 以及b e n d a t 等人证明了指数和指数余弦形自相关函数能够很好地表达现实世界 中的许多随机现象，w h i t e h o u s e 和a r c h a r d 在1 9 7 0 年的实验结构表明很多工程表面具有 指数自相关函数关系1 1 7 】，呈现了随机分布特征，随机过程模型就为粗糙表面的计算机模 拟提供了可能，计算机可以快速地产生具有特定随机特征的数字化粗糙表面，从而为粗糙 表面的功能效应的数值分析提供了输入数据【1 8 , 1 9 】。此外，随着计算机的功能的提高，数字 模拟适用于任何系统，而且不需要昂贵的实物系统，只要能在计算机进行模拟即可，可以 达到理想的精度要求，操作起来方便、快捷。所以用计算机仿真生成粗糙表面相对比较简 单，可以得到任意大小和任意粗糙度的随机表面【9 1 。因此，数字模拟粗糙表面是分析表面 粗糙度的一种非常有效的方法。粗糙表面模拟的目的是真实地反映实际工程表面的特征， 进而研究表面形貌特征与表面功能的关系。 在过去几十年里，很多粗糙表面的分析和数学模型的研究都是基于高斯分布的粗糙表 面2 睨5 1 。事实上，真正的工程表面不一定是高斯分布【2 5 圆】。也就是说这种粗糙表面的峰值 高度分布具有一定的偏斜和峰度。而粗糙表面的极值分布主要与形成表面的加工方法有关 系。如研磨加工，则可能形成谷值较深的负偏斜粗糙表面；如果用电解加工，则可能形成 具有尖锐表面极值的正偏斜粗糙表面1 3 0 1 ；如果用精密磨削加工，可能形成具有负偏态非 高斯表面【3 l 】：激光抛光则形成峰值尖锐地粗糙表面；通过研磨的硬盘机械组织结构的表 面具有较深的谷值和负偏斜值。一般来说峰度值在4 7 5 范围内和正偏斜度的粗糙表面 是最佳的表面，具有极小的接触面和半月板压力【3 0 1 ；具有高的峰度值的粗糙表面的摩擦 对液体薄膜厚度不敏感；负偏斜度而且峰度小于3 的粗糙表面将导致严重的摩擦问题p o j ； 具有高的峰度和标准差的粗糙表面会导致塑胶变形【3 训。因此，为了更精确的进行相关领 3 西安工业大学硕+ 学位论文 域的研究，与实际应用更紧密的联系，所以首先必须得到非高斯随机粗糙表面从而进一步 对粗糙表面的性能进行分析。 1 2 国内外研究及发展现状 粗糙表面需要用有效的方法和参数来表征，主要是基于统计学理论。目前，国内外众 多学者一直在努力探索三维表面粗糙度的合适评定参数【3 2 $ j ，计算机的飞速发展给这一问 题的解决提供了强有力的支持。数字模型的定义不仅局限于表征表面粗糙度的空间特性， 如标准差，而且还包括了粗糙表面有关功率谱特性的相关信息，这些空间特性可以通过自 相关函数( a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，a c f ) 来描述。有关计算机仿真生成二维或三维的 随机粗糙表面的算法，国外已有不少报道。 1 9 7 2 年s h i n o z u k a 和j a n 等人【3 4 】提出了用功率谱密度函数来模拟随机过程，1 9 7 8 年， p a t i d 3 5 l 提出了利用已知的谱密度函数模拟生成具有指定自相关函数的粗糙表面，来模拟生 成高斯随机粗糙表面。m i h a i l i d i s 和b a k o l a s 3 6 】利用p a t i r 提出的方法通过自相关函数( a c f ) 测量齿轮侧面的粗糙表面的粗糙度，通过比较影响摩擦的因素证明了该方法能够生成的粗 糙表面与实际测量的表面相似，该方法的主要缺点就是要解决非线性方程需占用大量的存 储空间和消耗时间。 时间序列也可以用于研究随机粗糙表面的特性和生成随机粗糙表面的方法，w a t s o n a n ds p e d d i n g t 3 7 】采用自回归滑动平均( a r m a ) 模型和w h i t e h o u s e d 8 】采用自回归模型( a r ) 时域方法来模拟生成随机粗糙表面，w a t s o n 和w h i t e h o u s e 方法只考虑了自相关函数原点 附近部分的模拟，误差较大。 为了能够解决上述方法所带来的占用存储空间大和时间限制所带来的问题，引入了快 速傅立叶变换( f f t ) 。n e w l a n d 3 9 1 ，h u 和t o n d e r 4 0 1 ，c h i l a m a n k u f i 和b u s h a n 【3 0 1a n dw u 【4 1 】 提出了用类似的模型来模拟生成随机粗糙表面，w u 对前几位学者提出的方法进行了比较 研究，发现他们建立的模型只能模拟自相关长度较小时的粗糙表面，随着自相关长度的增 大，尽管自相关函数的平均值是正确的，但是自相关函数的偏差逐渐增大。 上述提到的方法主要是用于模拟生成高斯随机粗糙表面，为了模拟生成非高斯随机粗 糙表面，研究者采用建立随机序列统计参数特性和被生成的粗糙表面高度分布的特性之间 的关系来建立数学模型，从而达到模拟效果。s e o n ga n dp e t e r k a h 2 j 和w h 【4 3 j 提出用f f t 生 成非高斯随机粗糙表面。p a t i r 提出了假设自相关函数a c f 是双线性的函数来解决这个问 题，在这种假设成功的情况下，他认为粗糙度高度分布服从y 分布，而随机离散序列也 服从y 分布，他的谱轮廓数据与原始数据相似。 w a t s o n 和s p e d d i n g t 3 7 】第一个从理论上计算了输入序列的统计参数和二维表面的高度 分布函数之间的关系，h u 和t o n d e r 【删把w a t s o n 提出的二维随机粗糙表面的公式运用 到计算机生成的三维随机粗糙表面，研究生成了具有偏斜度的随机三维粗糙表面， c h i l i m a n k u f i 和b h u s h a n 【4 1 】提出了通过使用标准正态随机序列发生器生成的随机序列和 4 西安- 丁业大学硕士学位论文 j o h n s o n 分布系统来生成非高斯分布的随机序列。 目前，国外学者对非高斯随机粗糙表面的研究是非常关注的，人们发现快速傅立叶变 换是产生粗糙表面的一种快速、方便的工具，目前，很多研究者利用快速傅立叶变换( f a s t f o u r i e rt r a n s f o r m ， f f t ) 来研究模拟生成非高斯随机粗糙表面。 目前国内有关研究粗糙表面的文献报道也不少，在研究机械零件的表面形貌时，由于 加工方法的不同而呈现出不同的结构特征，比如各种磨削方法、电火花加工、喷镀等得到 的表面，人们在研究粗糙表面引起的摩擦效应时，一般都采用p a t i r 提出的方法，在计算 机中模拟具有正态幅值分布和线性自相关函数的随机粗糙表面，然后采取截去峰顶的方法 得到负偏斜度分布的随机粗糙表面d 3 】1 1 6 1 。p a t i r 曾试图模拟具有任意分布和相关特性的随 机粗糙表面，都由于解非线性方程组的困难和幅值分布特征变换的困难而无法付诸实施。 近几年，国内在表征和研究机械加工零件表面的微观结构、接触机理和表面粗糙度等 方面越来越多地使用分形几何理论这一有力的数学工具。研究表明，很多种零件加工表面 呈现出随机性、多尺度性和自仿射性，即具有分形的基本特征，因此，很多人采用分形几 何来研究表面形貌。确定分形的重要参数有分形维数d 和特征长度a ，它们可以衡量机 加工表面轮廓的不规则性，理论上不随取样长度变化和仪器分辨率变化，并能反映表面形 貌本质的特征，能够提供传统的表面粗糙度评定参数( 如i h 、r y 、r z 等) 所不能提供的信 息。哈尔滨工业大学的李成贵博士主要采用分形几何来研究表面粗糙度的二维和三维表征 参数，但是分形理论在实际应用中还有许多工作有待进一步研究，因为，一是并非所有表 面都具有分形特征，分形维数能否完全表征实际表面，还有待进一步研究；二是现有的分 形数学模型并没有考虑表面的功能特性，也没有一种方法能唯一确定分形参数。 早在2 0 世纪九十年代初浙江大学顾新建教授主要采用的是将a r m a 模型产生的正 态分布的自相关函数直接通过j o h o n s o n 分布转换式得到需要的非正态分布序列，另外有 人基于随机震动理论方面的，提出了基于i f f t 的非高斯随机过程模拟算法，该研究的关 键是分析相位角和表征随机过程非高斯特性的两个重要参数偏斜度、峰度的关系，实现了 非高斯随机过程模拟1 2 。 因此，研究非高斯随机粗糙表面的特性并模拟具有非常重要的意义。基于前人的研究， 快速傅立叶变换是生成随机粗糙表面一种快速有效的工具，因此，本课题采用基于快速傅 里叶变换( f f t ) 、j o h o n s o n 转换系统和自相关函数通过滤波技术来对非高斯随机粗糙表 面进行分析并模拟，生成任意大小具有给定偏斜度、峰度、自相关长度和标准差的非高斯 随机粗糙表面。 1 3 本论文研究的主要内容和所做工作 依据课题的主要任务，本论文的主要研究内容和所做工作可分为以下几个方面： 1 ) 如果把随机粗糙表面看成一个随机过程，其完整的统计描述应当包括概率分 布密度( 高度分布) 函数和自相关函数。非高斯随机粗糙表面具有指数型的自 5 西安工业大学硕士学位论文 相关函数，偏斜度、峰度、自相关长度、平均值、标准差为非高斯随机粗糙 表面主要统计参数。本课题就是利用统计学理论，通过快速傅立叶变换建立 非高斯随机粗糙表面数字模型，生成给定偏斜度、峰度、自相关长度、平均 值、标准差等非高斯随机粗糙表面的一种有效算法。主要针对于快速傅立叶 变换和j o h n s o n 转换系统在粗糙表面的模拟中的应用，掌握快速傅立叶变换和 j o h n s o n 转换系统以及滤波技术，以及非高斯随机粗糙表面的各种表征参数， 提出了模拟生成非高斯随机粗糙表面的方法和理论模型。 2 ) 采用m a t l a b 语言编写了生成非高斯随机粗糙表面的程序，并模拟生成了二维 和三维非高斯随机粗糙表面，验证该方法的可行性和正确性。给出了不同自 相关长度、峰度和偏斜度下模拟生成的二维以及三维非高斯随机粗糙表面。 3 ) 针对该方法模拟生成的非高斯随机粗糙表面，分别分析了表征非高斯随机粗 糙表面的几个主要参数，如自相关长度、峰度以及偏斜度等参数对输入统计 参数和输出统计参数的影响，从而对模拟生成的非高斯随机粗糙表面进行了 误差分析。 1 4 论文的章节安排 本论文共分为5 章 第一章为绪论部分，主要概述了选择本课题的意义，课题来源以及国内外发展的现状； 第二章为基础知识，主要介绍了有关粗糙表面模拟的有关知识和数学知识包括自相关 函数、快速傅立叶变换等； 第三章为非高斯随机粗糙表面模拟的分析，主要描述了如何利用快速傅立叶变换和 j o h n s o n 转换系统将正态序列转换成非正态序列的分析； 第四章为结果与误差分析部分，根据第三章模拟非高斯随机粗糙表面的步骤，设计程 序并分析结果； 第五章为总结与展望部分，总结了本课题进行的主要工作，课题中间的经验教训和对 本课题未来研究工作的进一步展望和看法。 1 5 小结 结合本课题的主要研究任务，查阅了大量的国内外相关文献资料，阐述了选择本课题 的意义，国内外研究及发展现状，给出了本课题的主要内容和所做的工作以及本论文的章 节安排。 6 2 基本理论 2 1j o h n s o n 转换系统 2 基本理论 许多工程表面实际上是粗糙的，而且其幅值多是随机分布的，在一定的情况下粗糙 表面的形貌影响着表面间的摩擦、磨损，影响着光学表面的性能如反射性、散射性等。因 此，有必要对表面形状的幅值分布进行分析和表征。采用幅值分布函数来对幅值分布曲线 进行拟合，并且希望拟合的误差越小越好。为了达到拟合的目的，采用用分布函数的较少 的几个参数来表征幅值分布曲线。不同的随机粗糙表面它的幅值分布函数是不一样的，分 布函数包括正态分布函数、b e t a 函数4 4 4 5 1 、对数正态分布函数一6 1 和j o h n s o n 转换系统【4 7 】。 正态分布函数由于只适用粗糙表面呈正态分布的函数，而大多数零件粗糙表面的幅值分布 是非正态的，因而其应用范围有限；除了j o h n s o n 转换系统以外，还有几种分布函数可以 描述随机粗糙表面的非正态性，如：b e t a 分布函数，对数正态分布函数等，这些函数在 一定的范围内都是适用的，但是总体来说，j o h n s o n 转换系统更优于其它函数，因为，第 一粗糙表面的各种效应一般是整体效应，统计参数比极值参数更能反映出这种整体效应， 因此采用与矩参数有关的j o h n s o n 转换系统更能有效、准确地描述和表征表面的幅值分布 特征：第二，j o h n s o n 转换系统所包括的分布特征取值范围要宽些，比如在图2 1 中，正 态分布为一点，对数正态分布为一条线；第三，在进行随机粗糙表面的计算机模拟时， j o h n s o n 转换系统有正态变量和非正态变量的关系式，因此容易转换，特别是产生三维随 机粗糙表面。 2 1 1j o h n s o n 转换系统概念 j o h n s o n 转换系统主要是通过以下函数对幅值分布进行曲线拟合的，这些函数主要有 对数正态系统( l o g n o r m a ls y s t e m 或者记作s l ) 、有界系统( b o u n d e ds y s t e m 或者记作s b ) 以及无界系统( u n b o u n d e ds y s t e m 或者记作s u ) ，其表达式分别如下： 脱：z = 矗( 工) = 去e x p - 告( 7 + l n x ) 2 ，x o ( 2 1 ) 嘣功= 南e 斗如弛击) 2 ，0 x l - x 眨2 ， 黜三二舭，= 赤e 冲h 捌n g + 厨) ) 包3 ， 其中，x 为幅值分布，x = 旦，y 为幅值分布，g 、y 为控制参数，万、旯为标度参数， 7 西安工业大! 学硕十学位论文 厂，万，f ，和五由幅值分布的前四阶矩曲线拟合得到。 j o h n s o n 转换系统的特点就是可以建立正态变量和非正态变量之间的关系，即就是将 一个高斯分布的随机序列转变为具有一定偏斜度和峰度值的非高斯序列( 见图2 1 ) 。针对不 同的情况，j o h n s o n 转换系统所描述的系统频率曲线经变换包括以下3 种形式( 在不同的范 围内分别有其适用公式如图2 2 ) ： ( 1 ) 对数正态系统( l o g n o r m a ls y s t e m 或者记作s l ) ： 刁= y + 8 1 0 9 ( 生善) 其中， 刁 孝 ( 2 4 ) 几 ( 2 ) 无界系统( u n b o u n d e ds y s t e m 或者记作s u ) ： 即= y + 万s i n h 一1 ( 乏与 ( 2 5 ) ( 3 ) 有界系统( b o u n d e ds y s t e m 或者记作s b ) ： 驴”们o g ( 者鲁) 其中，善 水善“( 2 6 ) 其中，r 为高斯随机序列，刁为带有给定偏斜度和峰度的非高斯随机序列，万，孝，和兄 是由给定的偏斜度和峰度计算得到的常数。 赍再i 一 罐一，曙。警彩 一。三兰留1 宴 歹 一一一l ，一v 一，b ic 二咒一= = 藕l k， 、i 翱l | 、 一 图2 1j o h n s o n 转换系统示意图 图2 2j o h n s o n 转换区间 8 v 百安工业人学硕士学位论文 2 1 2 随机粗糙表面的几种模拟方法 随机粗糙表面的模拟归纳起来，可分为以下几种方法： 1 ) 排序插值法：该方法的基本思想来源于文献【4 8 】，如图2 3 所示，一y l 为模拟轮廓，该方 法利用序列的自相关函数主要与数据的排列顺序有关，幅值分布函数在一定的程度上 的改变对自相关函数的影响较小。 正考白曩声 f j 一 线性变换il i i r 或f i r i1 滤波i 朋 将( f i 和( x ：) 分到搜幅值大小 排队的编号 姜黑淼雷b放入相对应顺序的l 2 ( 奠) 的位置上l 图2 3 排序插值法不惹图 2 ) 残差转换法【3 7 】：这种方法如图2 4 所示，关键是要找到滤波器输入噪声的非正态分布 函数的参数。w a t s o n 等人利用j o h n s o n 分布系统从理论上解决了这一问题，但是实践 中遇到了一些困难。 正型型正巫亟堕口二巨亘至，二 图2 4 残差转换法示意图 3 ) 直接转换法1 5 0 】：其方法如图2 5 所示， 分布的相关序列的排列顺序不做改变， 它已用于粗糙表面的建模和模拟【5 l 】。 其基本原理与排序插值法相似，该方法对正态 仅对序列的各点的幅值分布作一非线性变动， 图2 5 直接转换法示意图 在对非正态分布随机序列的建模和模拟过程中，残差转换法存在如下的问题：第一， 当模型的极点接近单位圆时，要产生较大的截断误差，影响模拟精度；第二，模拟效果较 差，甚至无法拟合得到适当的j o h n s o n 分布族参数，因此该方法的适用范围得到限制。 为了克服上述缺点，本课题采用直接转换法进行模拟；其模拟过程如图所示： 图2 6 直接转换法模拟过程示意图 9 两安工业大学硕士学位论文 2 2 数学基础 在研究非高斯随机粗糙表面模拟的过程中，运用到了许多数学方面等相关理论知识， 在这里做一简单的介绍。 2 2 1 自相关函数 自相关函数就是用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系的重要特征。 运用到工程中，它能够很好地反映工程中被加工表面的纹理等。1 9 5 8 年t h o m a s 与b e n d a t 证明指数和指数余弦形的自相关函数能够良好的表达现实世界中的许多随机现象【2 5 】，自 相关函数能从空间上描述粗糙表面的特征。w h i t e h o u s e 等从它的衰减间距上获得了一个 有意义的结果，h u 等也从考察指数自相关函数在x 和y 不同方向上的不同衰减速度，从 而获得一个各项异性的表面。 定义随机过程的自相关函数r ( f 。，f ：) 为 r x ( f l ，f 2 ) = e 防0 1 ) ，x ( f 2 ) 】_ fi x , x 2 f x ( x l ，x 2 ；f l ，f 2 ) d r l d r 2 ( 2 7 ) 上式为随机过程x ( f ) 在两个不同时t l ，t 2 的取值x ( t 。) ，x ( t ：) 2 _ f 司f 1 0 - 阶混合原点矩，它反 映了x ( f ) 在任意两个时刻的状态之间的相关程度。 2 2 2 功率谱密度 功率谱密度是平稳随机过程在频率域的重要统计参量。平稳随机过程的自相关函数 r jo 。，f ：) 它可以表示为时间差，。- t ：= f 的函数r ( f ) ，这类随机过程在频域中的特征通 过功率谱密度来表示，记为( 珊) 。功率谱密度定义为自相关函数的傅立叶变换，其表 达式为： & ( ) = j r x ( r ) e - m d f ( 2 8 ) 上述表达式粗略地描述了随机过程的功率在频域存在的区域，以及各个频域上功率的相对 大小。 2 2 3 傅立叶变换 本文主要处理分析有限长度的离散数据，因此我们所用到的傅立叶变换是离散傅立叶 变换，下面对离散傅立叶变换予以简单介绍： 给定一个数字序列x ( n ) ： 。 珈，= 巍州。1 晓9 ， 则对x ( n ) 的离散傅立叶变换( d 刀) 的定义为： 1 0 西安工业大学硕士学位论文 x ( k ) = x ( n ) w n k ( 2 1 1 ) 函 在工程中应用较多的是快速傅立叶变换，是离散傅立叶变换的一种快速算法，简称 用可。剧叮使用迭代法、时域分组法、频域分组法来对离散傅立叶变换进行快速运算。 离散傅立叶变换具有如下基本性质：( 1 ) 、线性性质；( 2 ) 、比例伸缩性质( 相似性) ； ( 3 ) 、时移性质；( 4 ) 、频移性质；( 5 ) 、卷积定理等等。 2 2 4 随机变量的各阶矩 矩法是求估计量最古老的方法，是指用子样矩分别估计母体相应的矩。如果母体分布 有k 个未知参数，只要用前k 阶子样矩估计相应的前k 阶母体矩，再利用未知参数与母体 矩的关系可得到未知参数的估计量。这种方法最常见的应用是用样本平均数估计总体数学 期望。矩法比较直观，求估计量有时也比较直接。 定义：设而，x ：，x n 是来自某总体的样本。则 口。= 三y x ? 为样本k 阶( 原点) 矩 ( 2 1 2 ) “ j b k = 圭( 一- x ) 为样本七阶中心矩 ( 2 1 3 ) ，i = 1 一般地讲，设母体x 的分布函数为f ( x ；o i ，岛9 0 h0 9 0 k ) ，子样的k 阶原点矩为a 。，k 阶中 心矩为b 。，而剧= a k ( q ，岛仇) 或e ( x 一肼) = ( 只，岛吼) 。矩和未知参数分别用 估计量带入上式，解方程组即可得到未知参数的估计量。其中： 一阶原点矩q = e e x 】就是数学期望值，表示随机变量x 的数学期望值； 二阶中心矩b ，= a ：一a i ! 表示随机变量的方差，它为概率分布的离散程度提供了一种 度量； 三阶中心矩就是偏斜度，表述了概率分布的非对称性； 四阶中心矩就是峰度，描述了分布曲线的尖削或平坦的程度。 2