（应用数学专业论文）同单调与算术平均亚式看跌期权价格的上界和下界.pdf

摘要 在保险领域中，随机变量和的分布函数经常是人们所感兴趣的随机变量 的和在考虑保单组合的聚合理赔时是经常遇到的如果随机变量的和中各项 之间是相互独立的，那么就计算的角度来考虑是相当方便的，但在应用中独立 性假设有时是不切合实际的通常情况下，如果我们知道了和中各项的边际 分布函数，但是它们之间的相依结构是不知道的或不易处理的，那么我们可以 通过同单调理论来确定随机变量和的近似值本文中，在几个金融和精算应用 方面，我们展示了同单调概念在描述相依随机变量的优点另外，利用同单调 理论给出了b l a c k & s c h o l e s 公式的推导，并得到了算术平均亚式看跌期权价 格的上下界 关键词：同单调；酗混合反函数；b l a c k s c h o l e s 公式；算术平均亚式期权 a b s t r a c t i na ni n s u r a n c ec o n t e x t o n ei so f t e ni n t e r e s t e di nt h ed i s t r i b u t i o nf u n c - t i o no fas u mo fr a n d o mv a r i a b l e s s u c has u n la p p e a r sw h e nc o n s i d e r i n g t h ea g g r e g a t ec l a i m so fa ni n s u r a n c ep o r t f o l i oo v e rac e r t a i nr e f e r e n c ep e r i o d t h ea s s u m p t i o no fm u t u a li n d e p e n d e n c eb e t w e e nt h ec o m p o n e n t so ft h es u m i sv e r yc o n v e n i e n tf r o mac o m p u t a t i o n a lp o i n to fv i e w ，b u ts o m e t i m e sn o t r e a l i s t i c u s u a l l y w ew i l ld e t e r m i n ea p p r o x i m a t i o n sf o rs u m so fr a n d o mv u r i - a b l 鹤b yt h et h e o r yo fc o - m o n o t o n i c i t y , w h e nt h ed i s t r i b u t i o n so ft h et e r m s a l ek n o w n ，b u tt h es t o c h a s t i cd e p e n d e n c es t r u c t u r eb e t w e e nt h e mi su n k n o w n o rt o oc u m b e r s o m et ow o r kw i t h i nt h i sp a p e r ，w ed e m o n s t r a t e dt h eu s e - f u l n e s so ft h ec o n c e p to fc o - m o n o t o n i c i t yf o rd e s c r i b i n gd e p e n d e n d e sb e t w e e n r a n d o mv a r i a b l e si ns e v e r a lf i n a n c i a la n da c t u a r i a la p p l i c a t i o n i na d d i t i o n ， u s i n gt h et h e o r yo fc o - m o n o t o n i c i t y , w eh a v eg i v e nt h ea p p l i c a t i o ni nab l a c k & s e h o l e ss e t t i n g a n da l s od e r i v e dl o w e rb o u n d sa n du p p e rb o u n d sf o rt h e p r i c eo fa r i t h m e t i ca s i a np u to p t i o n s k e y w o r d s ：c o - m o n o t o n i c i t y ；a - m i x e di n v e r s ef u n c t i o n ；b l a c k & s c h o l e sf o r - m u l a ；a r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n s 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：鳟日期：2 受p 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰 州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学 校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：唣鼢师签名：扯日 c h a p t e r1 已f 圭 、，i 口 在风险理论中，独立性假设扮演着非常重要的角色组合中的个体风险之 间常被假设是相互独立的象成熟的决定聚合索赔的分布函数的技术就是建 立在相互独立的假设基础之上的，例如：p a n j e r 循环f 2 1 1 ，d ep r i l 循环f 1 1 保 险公司假设保单之间是独立同分布的，根据大数定律，通过增加保单的数量， 使得平均风险变的可预测这是因为在一个保单上的损失可以由其他表现好 的保单来补偿其他的统计中的基本理论，比如中心极限定理，在相互独立的 假设条件下，如果提供的保单数量是足够大的，那么聚合理赔的保单组合可以 近似理解为是正态分布的由于在数学上相互依赖的风险是不易处理的，因 为在通常情况下，被保险公司收集的统计资料仅给出了关于保单边际分布的 信息，并不知道它们的联合分布，也就是不知道保单之间的相互关系，所以相 互独立的假设是非常方便的， 然而在一定情况下，个体风险五之间并不是相互独立的，可以想象独立 性假设限制约束太强因为五可能属于相同的索赔机制，或者被相同的经济 或客观环境影响在这种情况下，独立性假设就与实际情况背离，或者对于描 述所涉及的不同的随机变量之间的关系就不是一个足够好的方法象关于地 震和洪水的保单组合，就与他们所处的地理位置有相关性；在大雾的天气，同 一地区的汽车同时具有较高的概率发生事故比如风暴，爆炸，地震，瘟疫等 等，对保险公司来说就可能导致索赔的累积我们再来考虑一个金融方面的例 子，一个投资组合中的各支股票在一定条件下可以认为是独立的，但是大的经 济环境( 如短期利率) 在证券市场上以相似的方式影响每一支股票在人寿保 险中，有大量数据的说明丈夫的寿命和妻子的寿命是正相关的象我们常说 的“羊群效应”，即属于同一社会阶层有相同生活方式的人们可能有类似的 引言 c h a p t e r1 心理所有这些现象都会影响到我们对风险的评估 在聚合风险模型中，对于给定了边际分布函数的一组随机变量的和，我 们希望能得到精确而妥善的处理，这是我们处理聚合风险的核心问题，但我 们并不知道各个分量之间的随机相依结构，由此我们引入了同单调结构在 金融精算领域我们经常碰到形如s = ：，置的随机变量的和，这里五 是非相互独立的随机变量。随机向量墨的多维分布函数并不是完全的清 楚，因为我们只知道随机变量咒的边际分布。在这种情况下，发现随机 向量( 五，x 。的相依结构对于处理给定边际分布的聚合风险是相当有用 的。因此，给定各项边际分布条件下，我们将在凸序意义下寻求随机变量 和s = f ! ，咒的最大值。 在这篇论文中我们将展现同单调概念在金融和精算领域中的简单应用， 作为一个保险方面同单调概念的理论例子，我们考虑n 个独立同分布的风 险j ，1 ，恐，的组合，分布函数为f ，有限的方差0 r 2 如果风险之间是 相互独立的，我们熟知有v a r ：警。五】= 譬- - - - 40 ( 当n 趋于无穷的时) ； 如果风险之间是同单调的，那么，矿吖【：e ：1 五】= y 盯睦警1 f - 1 ( u ) 】= 0 r 2 ，其中u 是【o ，1 1 区间上的均匀分布。这表明在同单调情况下，随着风 险数量的增加并没有使平均方差减小，同时说明在通常情况下，风险组 合( 为，五。) 显示了极端的同单调相依结构。对于独立情况的假设，可 能导致低估风险组合对大额索赔发生的概率，因为这种方法可能忽略了相关 性的影响但是由于同单调结构是一种正相依结构，在不知道实际的相关关 系的情况下，同单调结构无疑是一种保守的方法，也是一种安全的决策。 在金融领域，同单调理论应用最直接的例子是用来在考虑金融衍生证券 的收益。因为收益函数是强烈地佃：的或负的) 依赖于标的资产价值的，这 才使得金融衍生证券成为有用的对冲工具。具体地，如果我们设a ( t ) 是 将来某一时刻t ( t 0 ) 时证券的价值，我们来考虑欧式看涨期权，到期日 为t 0 ，执行价格为看涨期权在时刻t 的收益为( a ( t ) 一k ) + 证 券和看涨期权构成了一个收益组合( a ( t ) ，( a ( t ) 一k ) + ) ，而且此向量是同单 调的。因为期权的收益在到期日是标的资产价值的非递减函数因此证券持 有者购买看涨期权增加了其潜在收益，此时收益为a ( t ) + ( a ( t ) 一k ) + 另外，如果证券持有者决定卖出看涨期权，那么，在时刻t 的收益组 合为似( t ) ，一( 一k ) + ) ，且收益- ( a ( t ) 一k ) + 是a ( t ) 的非递增函 数我们称随机向量( r ) ，- ( a ( t ) 一) + ) 是反同单调的，如果一个向 量增加，那么另外一个向量减少卖出可以导致立即的收益( 期权价格) ， 2 引言 c h a p t e r1 但a ( t ) 一( a ( 卵一) + 是由a ( 即随机决定的 一份欧式看跌期权具有同样的特征，收益等于( k a ( ? ) ) + 在这种情况 下，证券持有者买一份看跌期权将有一个收益组合似( t ) ，( k a ( t ) ) + ) 是反 同单调的买看跌期权花费了期权费用但减少了最大损失若持有证券的同 时，卖出看跌期权，那么投资组合( t ) ，一( 一a ( t ) + ) 是同单调随机向量， 这种方法虽然获得了即时的收益，但增加了基于标的资产的潜在损失 设向量( 蜀，x 2 ，五；) 是个体风险五的保险组合，五之间不是相互独立 的，假设是正相依的，那么风险就不能得到有效的对冲保险公司可以通过金 融对冲技术来降低风险组合的聚合风险他可以买一份赔付是y 的金融合 约，使得y 与x 1 + j 己+ j 0 是同单调的( 或尽可能的同单调) ，当聚合损 失x l + j 岛+ 五。增加的时候，我们可以从金融合约的增加收益中获得补偿 另一方面，保险公司也可以卖出一份同他的聚合损失j 矗+ x 2 + j 厶负相关 的金融合约，能起到与买入合约相同的作用 总的来说，在某些情况下，同单调概念在金融领域的应用是相当有效的，使 得问题的处理更加贴近实际情况，虽然有时好像显得条件太强了些，但是正是 这种保守的结果会使得我们的决策更加安全从前面的论述我们可以知道的 到期权和保险有着密切的联系，像欧式看涨期权和我们熟知的停止损失保费 就没有什么本质性的不同在这些环境中同单调理论都能得到有效的应用，特 别是在处理随机变量和的情况时本文将在第二部分说明一些在保险精算领 域由同单调概念得到的理论结果，理论性地给出了停止损失保费的上界和下 界第三部分将利用这一理论结果，根据期权和停止损失再保险之间的密切 关系，讨论关于亚式看跌期权的上界和下界的问题，给出一些理论性的结果 3 c h a p t e r2 同单调理论在保险领域的应用 2 1同单调的定义 在j p 上，个n 维向量( z 1 ，z 2 ，) 用互来表示，对于两个向量x 和暨符号x y 表示x 的每一个分量都小于与其对应的型的每一个分量， 即x t 玑，对于所有的i = 1 ，2 ，n 下面，我们将给出同单调的定义，这些 概念也可参见【2 】 定义2 1 1 任意的集合a 彤被称为是同单调的，如果对于a 中的任 意元素互和塾有墨一y 或一y 星成立 所以，一个集合a 舻是同单调的，如果对于任意的互和y 属于a ， 若墨 敞对于某一i 成立，那么墨y 成立同单调集合的任意子集也是同 单调的 下面，我们给出n 维随机向量笸= ( x l ，j ) 的支集的定义任意的子 集a 舻称为是墨的一个支集，如果p r 【墨a 】= 1 成立在通常情况下， 我们感兴趣的是尽可能小的支集，随机向量益最小的支集是从集合毋中减 去所有具有0 概率的点下面我们将给出随机向量的同单调定义 定义2 1 2 一个随机向量墨= ( z l ，) 称为是同单调的，如果它有一 个同单调的支集 从定义我们可以知道，同单调是一个非常强的正相依结构事实上，如果互 和望是同单调支集五的元素，那么它们的每一个分量都满足相同的序关系， 这就解释了我们为什么称其为同单调的了随机向量墨的同单调说明其中一 4 2 1 同单调的定义c h a p t e r2 个分量研取大值，那么其它任意的分量z t 也取大值这意味着分量之间不 可能存在对冲关系，同时好同时坏下面的定理给出了同单调随机向量的几个 等价条件 定理2 1 3 【2 1 一个随机向量墨= ( x 1 ，x 2 ，】0 ) 是同单调的，当且仅当 下面的等价条件之一成立： ( 1 ) 2 有一个同单调支集； ( 2 ) 对于所有的x = ( 2 ：1 ，2 ：2 ，z 。) ，我们有 f x 像) = r i l i n f x 。( z 1 ) ，f x 2 ( z 2 ) ，最。( ) ( 2 1 ) ( 3 ) 对于均匀分布u 一( 0 ，1 ) ，我们有 墨= d ( j 营( u ) ，j 麓( u ) ，f 。- 。1 ( u ) ) ( 2 2 ) ( 4 ) 存在一个随机变量z 和非递减函数 0 = 1 ，2 ，1 ) ，使得 墨= d ( ( z ) ，f 2 c z ) ，厶( z ) ) ( 2 3 ) 证明：( 1 ) 号( 2 ) ：假设墨有一个同单调支集b 设x 尼并且定义如 为 a = 型b l y j 巧 ，j = 1 ，2 ，一，n 由于b 的同单调性，存在一个i ，使得a = n ：1 a j 因此，我们可得 n 如( z ) = 尸r 怪n a j ) = p r ( x a ) = f x , ( x ) j = l = r a i n f x 。( 茁1 ) ，乒k ( 勋) ，f k 。( z 。) 又由ac 如可知f x , ) 取，( 巧) ，因此，可知结论成立 ( 2 ) 辛( 3 ) ：现在假设对于所有的墨= ( x l ，勋，z 。) 的，瞧( 蓟= m i n f x 。( z 1 ) ，以。( z 2 ) ，( ) ) 成立从而可得 p r i 艮i ，( u ) 2 ：1 ，只乏( 矿) s l = p rp f x 。( 。) ，usf x ( x 。) = p r i u ；璺吼 r ，( 巧) ) j ij = l 。一。一”川i 2 汕r a i n 。 ( 巧) ) 5 2 2 反分布函数c h a p t e r2 ( 3 ) 号( 4 ) ：是显然的 ( 4 ) 兮( 1 ) ：假设一随机变量z 属于支集b ，并存在非递减函数五，( i = 1 ，2 ，佗) ，使得 墨= d ( ( z ) ，2 ( z ) ，厶( z ) ) 墨的所有可能取值为 ( ，1 ( z ) ，2 ( z ) ，竹( z ) ) i z b ，显然( 1 ) 式成立口 2 2 反分布函数 一个随机变量x 的分布函数取( z ) = p x 叫是右连续非递减的函数， 并且， 厥( 一o o ) = l i mf x ( z ) = 0 取( + ) = u mj k ( z ) = 1 反分布函数取细) 通常是非递减左连续的函数，定义为， j ；1 0 ) = i r l f z r l f x ( * ) p ) ，p 1 0 ，l 】， 并约定证o = + o o 对所有茁r 和p i o ，l 】，我们有 j 1 扫) z = = 争p f x ( z ) 在这篇文章中，我们将用更加精细的方式进一步来定义反分布函数对于 任意的实数p 【o ，l 】，f x 的反函数在p 点的可能选择是闭区间 i n f x r l f x ( * ) p ) ，s u p x r i f x ( z ) p 】 ( 2 4 ) 上的任意点 这里我们象前面约定的一样，i n f 0 = + o o ，s u p 0 = 一o o 类似地，我们定 义j 芰1 + p ) 为区间( 2 4 ) 的右边界： j 1 + p ) = s u p x r l f x ( x ) p ) ，p 【o ，1 】 显然，j 膏1 + p ) 是一个非递减右连续的函数巧1 ( o ) = 一o o ，玫1 + ( 1 ) = + o o ，x 包含在区间【j ；1 + ( o ) ，巧1 ( 1 ) 】中符号巧：1 p ) 和最1 + ( p ) ；+ m 对 任意的p 【o ，1 1 有定义此后，我们总是将p 看成是开区间( 0 ，1 ) 上的变量 6 2 2 反分布函数 c h a p t e r2 对于任意的o 【o ，l 】，我们将民的反分布函数定义【2 】如下 巧1 扛= 口歧1 ( p ) + ( 1 一a ) 巧1 + 0 ) ，p 【o ，1 j ( 2 5 ) 容易看出，f ；1 呻0 ) 是一个非递减的函数特别地，有只i 1 砷) = 只i 1 + ( 力 和贬呻( p ) = f ；1 ( p ) 从而，我们立即可知对于所有的o 【0 ，1 】有 贬1 ( p ) 贬1 。扫) 露1 + ，p ( o ，1 ) 下面，我们给出一个定理来说明随机变量x 的反分布函数同g ( x 1 的关 系，此处g 是单调函数 定理2 2 1 。【6 】设x 和g ( x ) 是实值随机变量，并且设0 p 1 ( 1 ) 如果g 是非递减且左连续的，那么 f 芟1 ( p ) = 9 ( j ；1 ( p ) ) ； ( 2 ) 如果g 是非递减且右连续的，那么 茄) = g ( 乓1 + ) ) ； ( 3 ) 如果g 是非递增且左连续的，那么 e - ( x 1 + ) 0 ) = g ( 最1 ( 1 一p ) ) ； ( 4 ) 如果g 是非递增且右连续的，那么 羔) = 夕( 巧1 + ( 1 一p ) ) 由于随机向量 ( 赋( u ) ，璀( u ) ，赋( 叫 和 ( 赋( u ) ，赡( ，f 。- 。i ( 矿) ) 以概率1 是相等的，所以，很容易看出墨的同单调性可以由 墨= ( 曙( ) ，磋( u ) ，砭( u ) ) 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 2 3 同单调随机变量的和 c h a p t e r2 来刻画这里均匀分布变量u 一( 0 ，1 ) ，给定的实数啦【o ，1 】 我们能够证明墨是同单调的，当且仅当存在一个随机变量z 和非递增 函数 ，a = 1 ，2 ，礼) ，使得 墨= d ( ，1 ( z ) ，2 ( z ) ，厶( z ) ) 这一结果的证明类似于定理2 1 3 中( 4 ) 对于任意的随机向量( 蜀，恐，) ，随后我们将用符号( 嚣，j 鼍，j ) 来表示一个与( 五，局，墨) 有相同边际分布的同单调随机向量由定 理2 1 3 中的( 3 ) 我们知道对任意的随机向量墨，对应的2 丝= ( x f ，) 瑾，j 罐) 以概率1 属于下面的集合 ( 赋( p ) ，f 2 0 ，) ，赋) 1 0 p 1 ) 2 3同单调随机变量的和 在后面的章节中，将用符号s 。来表示同单调随机向量( 聊，避，j ) 的和 = x f + 搦+ + 霹，( 2 9 ) 最终，我们将证明在凸序意义下，通过用同单调和酽的分布函数来近 似s = 蜀+ + + 岛的分布函数是一种谨慎的策略如果我们能容易 地决定s c 的分布函数和停止损失保费，那么进行这种近似是有实际意义的 事实上，这些是容易从和中各项的边际分布函数得到的下面的定理说明同 单调随机变量的和的反分布函数是边际分布函数的反分布函数的简单和 定理2 3 1 2 】同单调随机变量( j 矸，霹，x ：) 的和s c 的q - 反分布函 数f y j o 可表示如下： n 瑶。= ( p ) ，0 p 1 ，0 d 1 ( 2 1 0 ) 证明：考虑随机向量( x - ，兄，五。) 和它对应的同单调随机向量( 】搦 ，霹) ，则定义s c = 研+ 驾+ + 霹= dg ( u ) ，此处u 均匀分布在( o ，1 ) 上，且g 由下式给出， g ( = 聪( u ) ，0 札 1 t = l 8 2 3 同单调随机变量的和c h a p t e r2 显然，9 是非递减且左连续的由定理2 2 1 的( 1 ) ，我们有 璀( = 占) 0 ) = g ( f 5 1 0 ) ) = 9 p ) ，0 p 1 所以酽的反分布函数为 类似地，由定理2 2 1 的( 2 ) ，我们有 0 p 1 根据反分布函数的定义，可知定理结论成立 接下来，我们定义 酽皇。( u ) = l 由定理2 3 1 ，我们有如下结果： f 。7 1 。o ) i o p 1 ，o n 和 并且 掰+ ( 1 ) ；聪+ ( 1 ) = 佃 l = 1 n 略1 ( o ) = 吲( o ) = 一o o 9 口 ( 2 1 1 ) 1 1 ，0 o 1 j ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 嘭 。：i = 瞄 p o + 嚼 。埘 = + 瞄 p 0 a 曙 。烈 ，、【 = 邯 瞄 。“ = 即瞬 嘭 。：i = 睹 2 4 同单调与停止损失保费c h a p t e r2 给定反分布函数f - 。1 ，i = l ，2 ，n ，铲= 筠+ 麓+ + 麓的分布函 数可定义【2 】为： f s c ( z ) = s u p p ( 0 ，1 ) i f s c ( z ) p ) ；s u p p ( 0 ，1 ) 1 j p ) z ) 一p p ( ，嘻赋0 现在我们假设同单调随机向量( x c 端，群) 的分布函数氏，i = 1 ，n 是严格递增且连续的那么每一个反分布函数f - 1 ，i = 1 ，2 ，几 在( 0 ，1 ) 上是连续的由于当0 p 1 时，蹄( p ) = ：l 赋( p ) 成立，这说 明j 在( 0 ，1 ) 上是连续的反过来，这也说明f s c 在区间( 只+ ( o ) ，j ；1 ( 1 ) ) 上是严格递增的进一步，我们也能知道艮。是连续的 因此，在边际分布函数严格递增且连续的情况下，对任意的j + ( o ) z j ( 1 ) ，概率毋c ( z ) 唯一的由巧( f s o ( $ ) ) = z 决定，或者等价地 n 喇海( z ) ) = z ，磅+ ( o ) z 磅( 1 ) ( 2 1 6 ) = l 2 4同单调与停止损失保费 在下面的定理中，我们将证明对于同单调随机变量和的停止损失保费，也 可以从各项的停止损失保费得到 定理2 4 1 【2 】2 对于同单调随机变量( 嚣，憋，群) ，其和伊的停止损 失保费可由下式给出 其中 e 【( 酽一d ) + 】= e l ( x , 一魂) + 】， ( 嗣+ ( o ) d 疆( 1 ) )( 2 1 7 ) = 1 q d 【0 ，1 】由 决定 d = j 譬“4 ( 毋c ( d ) ) ，0 = 1 ，2 ，佗) 1 。4 ( 珞( d ) ) = d 1 0 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 2 4 同单调与停止损失保费c h a p t e r2 这样，我们可知， n e i ( s ”- d ) + 】= e 【五】- d ，d f + ( o ) ( 2 2 0 ) i = l 以及 e 【( s 。一d ) + 】= 0 ，d j ( 1 ) ( 2 2 1 ) 从上面的定理2 4 1 我们能得出结论，对于任意的实数d ，存在函，满 足：ld f = d ，使得 n e ( s c d ) + 】= e 【( 五一d ) + 】 ( 2 2 2 ) i = 1 成立 对于酽和五，由关系式 e 【( x d ) + 1 = e 【( d x ) + 】+ e x 1 一d ( 2 2 3 ) 我们能够得到下面与定理2 4 1 相对应的低尾结果作为本文得到的主要理论 结果之一，其说明了对于低尾情况，同单调和的低尾表达式可以表示成其各项 低尾的和 定理2 4 2 伊是同单调随机变量的和，那么我能的到酽的低尾表达式如 f n e l ( d s 。) + 】_ e ( d l 一咒) + 】，( f s j + ( o ) d f s o l 0 ) ) ( 2 2 4 ) i = 1 也和啦同定理2 4 1 中定义 证明：由关系式 研( x d ) + 】= 引( d x ) + 】+ e x 】一d( 2 2 5 ) 和定理2 4 1 ，我们可知 e ( s c d ) + j = e 【( 五一d ) + 】 i = 1 n = e f ( d 一五) + 】+ e 陇1 - d i i ；l n = e ( d l 一咒) + j + e 翻一d ( 2 2 6 ) 1 1 2 4 同单调与停止损失保费 c h a p t e r2 这里d = 竺1d i ，j ；1 + ( o ) d 0 ，并且百( t ) ，t 0 是一个标准布朗运动 在等鞅测度q 下，价格过程a ( 0 ) ，t 0 仍然是一个布朗运动，且具有同样 的波动率，但漂移率等于无风险连续复利6 ： 鬻= 础+ 枷，t o ， ( 3 6 ) 初始值是a ( 0 ) ，其中b ( t ) ，t 0 在风险中性测度q 下是一个标准布朗运动 i 天l g t ，我们有 a ( t ) = a ( o ) e ( 6 一手) 件4 口( ”，t 0 ( 3 7 ) 这表明在等鞅测度下，随机变量豁是关于参数p 一譬m 和t a 2 的对数正态 分布： 乃( z ) ：p rp ( o ) e ( 5 一务+ 廊一( 司， ( 3 8 ) 其中u 是( 0 ，1 ) 区问上的均匀分布 由定理2 2 1 ，我们可得 e c ( k , d = e - 6 t e q 【( a ( t ) 一k ) + 】 = a ( o ) 垂( d 1 ) 一k e 一5 t 圣( 如) ( 3 9 ) 其中 d l = l n ( a ( o ) _ k ) 劢+ ( _ 5 + 一3 2 2 ) t ( 3 1 。) 如= d l 一口 2 i ( 3 1 1 ) 这就是著名的对于欧式看涨期权的b l a c k s c h o l e s 定价公式f 1 9 7 3 ) 但是 在b l a c k & s c h o l e s 定价模型中，对于算术平均亚式期权的定价，并没有给出 贴切的表达形式因此在实际中，我们讨论一下这种期权价格的上界和下界 问题是有意义的 1 8 3 3 算术平均亚式期权 c h a p t e r3 3 3算术平均亚式期权 亚式期权是一张期权和约，在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期 内原生资产所经历的价格平均值，这里的平均值指的是算术平均值 一个欧式的算术平均亚式看涨期权( e u r o p e a n - s t y l ea r i t h m e t i ca s i a nc a l l o p t i o n ) 的期权到期日为t ，期权的执行价格为，平均日期个数为n ，则在 时刻t 产生的收益为 ( ：静叫一0 + 如果在t 前的最后礼个平均日内的原生资产的价格平均大于，那么收益 等于它们的差额：反之，收益为0 这样的期权保护了持有者在临近期权到期 日免受原生资产价格波动的危险欧式算术平均亚式看涨期权的价格给定如 下 r n - - 1、1 a c ( n ，k ，t ) = e - 6 t 庐li1 z a ( t - i ) 一k i ( 3 1 2 ) l i = 0 + j 确定一个亚式期权的价格并不是一件无意义的事情，因为在通常情况下， 对于= a ( t i ) 的分布我们并没有确切的表达式我们只能通过m o n t e - c a r l o 模拟技术或解偏微分方程等方法来解决问题我们有必要寻求其他更 有效的方法来解决这一问题 从上面算术平均亚式期权的价格表达式，我们可以看出这样的期权价格问 题转化成了计算相依随机变量和的停止损失保费的问题这意味着我们能够 利用先前界定停止损失保费的结果来界定亚式期权的价格对于算术平均亚 式看涨期权，j d h a e n e ，m d e n u i t ，m j g o o v a e r t s ，r k a a 8 ，d v y n c k e 等 人在2 0 0 2 年给出了算术平均亚式看涨期权的上界( 详见【3 】) 对于任意的常 数甩和k 满足k = ：1 恐，亚式看涨期权a c ( n ，k ，t ) 总有上界： 倒蜗刁= 譬俨摩n - 1t 叫一 。一打n - i 等俨【( a ( t i ) - n k i ) + 】 = ：争啦( 毗t 叫 ( 3 1 3 ) _ 生兰垒= ! = 型坠燮l 生塑塑! 篓二孝，磐旦单调壁氅粤论可得到其更加小的上界定义伊；哥- f ) ( u ) 其中矿是属于1 0 , 1 1 区间上的均匀分布变量，当喀1 + ( o ) 佗k 一蓦t “( t - 7 i ) f - 1 1 ) 时，由定理2 4 1 和2 4 4 可得 卿删：差e埘们隐仁卜驴n-1i-0 k 叫加一t 1 ， 孑i 其中a 由 ( 3 1 4 ) 瑶卜( 膨一”1 a ( t - i ) ) = n 耳一薹n - 1 舻叫 s ， 相应地，根据同单调概念，在凸序意义下，作为本文理论结果的应用，我 们将给出欧式算术平均亚式看跌期权( e u r o p e a n - s t y l ea r i t h m e t i ca s i a nd u t o p t i o n ) 定价问题的上界和下界假设一个算术平均亚式看跌期权到期日 是t ，平均周期数是，l ，期权的执行价格是k ，那么在时刻t 产生的收益 是( k 一磊i 厶 n 卸- ia ( t 一 ) ) + 那么在当前时刻t ：0 ，算术平均亚式看跌期权 仰即愚坍俨 ( ：丢n - 1 们叫) j 峋 由定理2 4 2 和定理2 4 5 ，在理论上我们可以得到 一e 哪忙n 1 ；”1 a ( t - i ) ) + = ：e 一卯俨 ( n k 一丢n - - 1a c t t ，) + 俨陋一萎r , - 1 即c t 瑚，) + 】 。：8 折丢庐 陋陋口一圳a 。巧1 + ( 1 一乃( n 幻) 卜伊阻口) l a d + 3 3 算术平均亚式期权c h a p t e r3 这样，我们就在理论上得到了算术平均亚式看跌期权的价格上界 下面，我们来考虑算术平均亚式看跌期权的价格下界问题用记号( a 。( o ) ，a 。( 1 ) ，a c ( t ) 来表示与向量似( 0 ) ，a ( 1 ) ，a ( t ) ) 有相同边际分布的同单调随机向量，那 么对于算术平均亚式看跌期权，当 时 n 一1 露+ ( o ) n k 一a ( t i ) 蹄( 1 ) t = r 妒一静叫) j = 萨 ( c n k 一薹* * - - ；1a c t 一。，一t 萎- 1 a c t t ，) j e q ( ( n k 一至n - ；i a c t t ，) 一酽) + = 曼i = o 俨 ( 础一驴n - 1 叫，) - a ( t - i ) ) + ( 3 埘= 俨【( 巧拦，( 珞k 一薹州t “ ) + j 。j 9 ) 其中 酽；a * ( t - i ) = - i ) ( u ) 决定 矿卜卜t ，) 2 1 印 l 0 配他 | | k佗 吩 一 0 h 巧 = 八 0 一raf 州：l 中其 磅 一r “凹 一kn = 3 3 算术平均亚式期权c h a p t e r3 由上面的结果我们立即可得 a p ( n ，k d = e 一日俨 ( k 一：善n - 1 a 口一t ，) + = ；e 一打俨 k 一n - - 1 a c t t ，) + 獠1 t 乞- ! 伊 一f 8 卜弘叫) ) 叫t 叫) + ( 3 2 0 ) 式( 3 2 0 ) 就是我们在凸序意义下得到的下界至此，我们已经得到了算术平 均亚式看跌期权在同单调理论下上界和下界本质上，算术平均亚式期权的 价格就是一个强正相依随机变量和的停止损失保费在实际中，由于这样的 上界和下界是方便计算的，这使得它们成为处理问题有用的工具 在这篇论文中，我们给出了同单调的基本概念和简单的理论，并以此来描 述了某些在金融和精算方面具有相依关系的随机变量在同单调的意义下， 简单讨论了随机变量和的上下界问题，重点论述了在此理论下算术平均亚式 期权价格的上界和下界问题，给出了一个理论结果同单调理论为我们解决具 有正相依结构的问题提出了一种有益的思想和方法，避免了一些由于独立性 假设的约束太强所带来的不足同时我们也需认识到同单调的假设也只适用 于较强的正相依关系，由于考虑的组合中各项是正相关的，不存在相互对冲的 关系，有时候势必使得风险的评估扩大化，从而使决策偏于保守因此，我们 有必要继续寻求更加有效的方法来解决实际问题 b i b l i o g r a p h y 【1 】d ep r i ln ( 1 9 8 6 ) o nt h ee x a c tc o m p u t a t i o no f t h ea g g r e g a t ec l a i m sd i s t r i b u t i o n i nt h ei n d i v i d u a l 蜘m o d e a s i t nb u l l e t i n ，1 6 ：1 0 9 1 1 2 【2 】d h a e n e ，j ；d e n u i t ，m ；g o o v a e r t s ，m j k a a s ，r ；v y n c k e ，d ( 2 0 0 2 a ) t h e c o n c e p to fc o m o n o t o n i c i t yi na c t u r i a ls c i e n c ea n d 鼻，m n c e ? t h e o r y , i n s u r - m a c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，3 1 ( 1 ) ，3 - 3 3 【3 1 3 d h a e n e ，j ；d e n u i t ，m ；g o o v a e r t s ，m j ；k a a s ，r ；v y n c k e ，d ( 2 0 0 2 b ) t h ec o n c e p to yc o m o n o t o n i c i 妇i na c t u r i a ls c i e n c ea n dl n a n c e ：a p p l i c a t i o n s ，i n s u r - a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，3 1 ( 2 ) ，1 3 3 - 1 6 1 【4 】d h a e n e ，j ；w a n g ，s ；y o u n g ，v ；g o o v a e r t s ，m ( 2 0 0 0 ) c o m o n o t o n i c i t ya n d m a x i m a ls t o p - l o s sp r e m i u m s , m i t t e i l u n g e nd e rs c h w e i z a k t u a r v e r e i n i g u n g ， 2 0 0 2 ( 2 ) ，9 9 - 1 1 3 ， 【5 】d h a e n e ，j ，g o o v a e r t s ，m j ( 1 9 9 6 ) d e p e n d e n c y0 ，r i s k sa n ds t o p l o s so r d e r , a s t i nb n l l e t i n2 6 2 0 1 2 1 2 【6 ld h a e n e ，j ；v a n d u f f e l ，s ；t a n g ，q h ；g o o a e r t s ，m j ；k