（应用数学专业论文）含加法扰动的随机boussinesq方程解的存在唯一性与方程的吸引子.pdf

含加法扰动的随机b o u s s i n e s q 方程解的存在唯一性 与方程的吸引子 应用数学专业硕士研究生曾雪萍 指导教师李扬荣教授 摘要 吸引子是最近兴起的数学热点问题之一全局吸引子已经成为描述一些偏微分方程 的解所产生的动力系统的渐近行为的有力工具在1 9 9 4 年，h c r 肌e l 和f f l 锄d o l i 在【3 1 中通过吸引集的定义为随机动力系统定义了随机吸引子由此，吸引子理论得到更进一 步的发展 本文中，我们研究的是含加法扰动的二维随机b o u 鼹i 舶s q 方程解的存在唯一性与方 程的随机吸引子问题非随机情况的b o u 鼹i n e s q 方程已经被许多作者研究过了( 参见文献 【1 5 】) 现在我们有必要给b o u 啜i n e s q 方程增添个随机部分一一加法白噪声，研究非随 机的情形b o l 螂i n e s q 方程是一个关于热力学的数学模型，它包含有温度，速度与压力这 些流体的参量在本文的第二章中，我们证明了方程全局解的存在唯性，并且证明依赖 于初始值的解的连续性和正则性在本文的第三章中，我们将利用第二章中得到的方程 的解与解的性质产生了一个随机动力系统，并且通过该系统进一步考虑方程的随机吸引 子在研究随机方程的时候，通常使用一个适合的变量代换这里一般的变换u = f + u ( 其中u = 呜( z ) d ) 对方程没有作用，我们将介绍一个包含o r 地t e n u i i l e n b e d 【过 j = l 程的新变化，利用它将方程化为非随机的情况，并对非随机情况里面涉及到的算子进行 s 0 b o l e 、，范数估计，在第二章中我们得到如下结论s 引理2 3 1 双线性算子j e i ：y y _ 且且：d ( a ) d ( a 一日是连续的并满足。 ( i ) ( 口( “，u ) ，u ) = 0 ，v u ，u y ； ) i ( b ( u ，u ) ，u ) i c l i t r 1 i i t 8 1 9 10 u i u 0 9 1 i u l l 一仉，v u ，u ，u y ； ( i i i ) i b ( u ，u ) i + i b 扣，u ) i c 2 0 t u 0 卜如l a 训如，v t l k u d ( a ) ； ( i v ) i b ( u ，u ) i c 3 l 训如0 t 0 1 一如0 u 0 1 一如i a 训如，v u v u d ( a 】； 其中c l ，c 2 ，c 3 是常数，巩【o ，1 ) ，l = 1 ，2 ，3 引理2 3 2r ( ) ：y _ 且冗( ) ：d ( a ) _ 日满足 i r ( ) u l 仍( ) 0 t 4 + 仍( t ) ，vu 1 吒vt 0 ， 其中a ( t ) = p l 姜9 ( 驯，q ( ) = 4 以a ( t ) + 讵，仍( t ) = 4 研( ) + ( q + 3 ) q ( 巩a ( 咄仍( t ) ， 伤( t ) 关于是连续的且当_ 时是至多多项式增长的以及 ( r ( t ) 仳，u ) l l 一2 ( t ) 0 t 1 0 i t i + c ) 1 u i ，vu kvt o 引理2 3 3 定义在y y 上的双线性形式口满足。 c 4 0 t 正8 2 口( t i ，仳) c 5 0 t t 0 2 ，vu 矿 其中c 4 ，c 5 是常数 利用上述引理，我们可以证明方程依赖于初始值的解的存在唯一性以及解的一些正 则性与连续性， 定理2 4 对几乎处处可测的u q 和t o r ，当方程( 1 5 ) 有初始值t l ( o ) = t l o 时，方 程存在唯一的解t ( ) ，满足。 ( i ) 若t 1 0 月，则 缸c ( ，) ，日) n 乙( 幻，；y ) ； 且映射t l o _ 缸( t ) 对任意的t t o 是从日到d ( a ) 上的连续映射 ( i i ) 若t l o y ，则 u c ( 【o ，) ，y ) nl 乙( o ，；d ( a ) ) 由定理2 4 ，我们可以通过方程的解来定义刻画方程的随机动力系统，并在第三章中 得到如下结论： 引理3 2 1 设t i = f ，刀，是方程( 1 1 ) 的解，则 l 叩( t ) is ( i 叩( t o ) i + 矗) e 2 ( 幻一。+ ，耽幻 其中i = 2 乃i d 峥是确定的常数 引理3 2 2 对任意的p o ，存在( u ，p ) 一1 ，使得t 对任意的6 0 = 伽，7 0 ) 汀， t 0 ( u ，力，1 6 0 l p ，下面不等式几乎处处成立， i 7 0 ，u ；t o ，伽) l gv 【一1 ，0 】； i f ( t ，u ；z o ，t 帕一z ( t o ) i 7 ( u ) ，vt 【一1 ，0 】 i i 其中c 是常数，y ( u ) 是随机变量特别的， b ( o ，c + 7 ) + i z ( o ) i ) 是日中关于动力系 统妒的随机吸收集 引理3 2 3 在与引理3 2 2 相同的假设和条件下，存在两个随机变量，y l ( u ) ，仇) 使 得对任意的t o t ( u ，p ) ，有下面式子成立 懈，州。，酬阳7 t ( 毗 仁憾( s ，u ；妣一名( 。) 1 1 2 d s 7 2 p ) 引理3 2 4 存在两个随机变量铂( u ) ，铂( u ) 满足下面性质t 对任意的p o ，存在 t ( u ，力一1 使得对任意的t ost ( u ，p ) 与6 0 = ，】o 】i 日且j 6 0 l ，i = 1 ，2 ，3 l e m m a2 3 2t h e0 p e r a t o rr ( ) ：y _ 粕dd ( a ) _ 日s a t i 蚯鹤 i r 0 心i c ( ) 0 t 1 8 + c b ( ) ，vu uvt 0 ， w h e r ea ( ) ：卢l 曼d ，( ) i ，q ( t ) ：4 钜q ( ) + 以，仍( ) ：4 研( ) + ( 口+ 3 ) q ( t ) ，a ( t ) ，仍( t )w h e r ea ( ) = 卢l 岛( ) i ，q ( t ) = 4 、2 q ( ) + 2 ，仍( ) = 4 研( ) + ( 口+ 3 ) q ( t ) ，a ( t ) ，仍( t ) a n d ( b ( t ) 缸ec o n t 面1 0 惦i n a n da tm 衄tp o l y n o m i a l l 伊o w t h a tt _ ，明d i ( r 0 ) 仳，t ) c 2 ( t ) l i t t i i + 仍( ) i t i ，vu kvt o l e m m a2 3 3t h eb i l i i l 朗汀f b r m 口y ys a t i s 矗笛 c 4 陋0 2 口( t i ，t 1 ) c 5 i l uj 1 2 ，d ru v w h e r ec t ，c 5a r e 印p r o p r i a t e n 8 t 衄t 8 n o m 甜 a v e ，w ec a ng e tt h e 瓯i b t e n 锄du n i q u e n e 鸥o ft h e9 1 0 b m l u t 蛔，蛐ds h o wt h a t t h es o l u t i o nc o n t i 肌o l l s l yd e p e n d e do nt h ei i l i t i a lv a l u e w ，ea 丑g e t m er e 刚a r i t y 陀s u l t so f t h eb o _ l u t i o n s t h e o r e m2 4f 0 rp - a & u q 锄d o r ，t h e r e 旺i s t s 柚u n i i 驴e 蹦u t i d e n 砷e db yu ( t ) 0 f t h ee q u a t i ( 1 5 ) w i t hu ( t o ) = t o ，s u c ht h a t ( i ) ri f 如日，t h e n 1 c ( o ，o o ) ，日) n l 乙( o ，；y ) ； a n dt h em a p p i n gt o _ t ( t ) i sc o n t 舢f o r m 日i i 怕d ( a ) ，f o re w r y o ( i i ) i ft 上o y ，t h e n u c ( p o ，) ，y ) n l 乙( o ，o o ；d ( a ) ) n o mt h e o r e m2 4 ，骶伽g e tt h er 锄d o md y n a 血c a ls y s t e m 衄dp r o 他t h ef 0 u o i n gi n t h et h i r dp a r t ： l e m m a3 2 1 l e t 缸= 【，田) b eb l u t i o no f ( 1 1 ) ，t h e n i 叩( t ) l ( i 叩( t o ) l + 矗) e 2 ( 幻一) + ，v t o w h e r e = 2 岛l d 件i sad e t e r i i l i n ec 0 i l s t 锄 l e m m a3 2 2 麟i s ta 眦加【b e rca n dar a n d o mv 甜i a b l e7 ( u ) s a t i s 匆i n gt h ef o u ，wp r o p 戗t y ： f 0 re v e 】呵p o ，t h e r ee 地t s ( u ，力一1 ，s u c ht h a tf o ra n y6 0 = ，7 0 ) 日w i t h1 6 0 l p ， 柚df ；d ra n yt o t ，p ) ，t h ef o l l o 耐n g 圈t i m a t h o l dp a s 1 叩( ，u ；t o ，扣) i gv 【一1 ，0 1 ； l 专( t ，u ；t o ，t j d z ( t o ) ls 一( u ) ，vt 【- l ，0 1 v i np a r t i c u l a r ，j e i ( o ，c + 一y ( u ) + i z ( o ) i ) i 8ar 锄d o ma b s o r b i n g 鼬tf o rr d s 妒i i lh l e m m a 3 2 3t h e 蛐e 够s u i i i p t i o n 姐dn o t a t i o 璐o fi 七m 舱3 2 2 ，t h e r ee ) c i s t 佃or a n d o m v 缸i a b l 箦7 l p ) 柚d7 2 ) 靶c l it h a tf b rt o t p ，p ) ， 刀0 ，u ；t o ，柏) 0 2 d t 7 l ( u ) ； i 陲( ，u ；o ，t j | d z ( t o ) 0 2 d t y 2 ( u ) j l l e 硼m3 2 4t h 盱ee ) 【i s tt 啪r 龃d o mr a i l d o mr 8 d i 岫馏x 似) s a t i s 鼽n gt h ef o u 呷i n g p r o p e r t i e 默f o ra l lp 0t h e r ee x i s tt ，p ) s 一1 眦c ht h a tt h ef o l l a w i n gh o l d 8p - 8 s ，f b ra h t o t p ，p ) 蛐d6 0 = ，) o ) 日w i t h1 6 0 l o ，x ( 8 + t ) 一x ( s ) 一( o ，c 2 ) ，即x ( 5 + ) 一x ( s ) 是期望值为o ，方差c 2 的 正态分布； 2 ( 3 x ( ) 关于t 是连续函数则称x ( t ) ，之。为标准布朗运动此时若x ( o ) = o ，x ( t ) 一 ( o ，1 ) 定理1 3 2 布朗运动 b ( t ) ，r ) ，v t ，对几乎所有的轨道u 都没有有限的导数 定义1 3 3 i 捌设= 靠，n z ) 为实的( 或复的) 随机序列，且e 厶= o ，el 矗1 2 = 盯2 则q ，z ，i 是q ，上的不变函数且对于u q ， 。甄m 朋( 洲加。 朋( s ) 州8 ：7 ( 以 定义1 3 6 【2 4 j 设( q ，丁，p ) 是一个概率空间，( e ，) 是一个可测空间，t 是一非空集 合随机变量族f = ( 劬t t ：q - + e 叫做一个随机过程 定理1 3 7 【1 1 y o u n g 不等式 口6 三0 r + r r ，e 6 r 7 成立，对于所有的n ，6 ，e o ，( o ，o o ) ，r = 南 定理1 3 8 【l 】g r o i l w a u 引理 设吼i l ，”为( t o ，+ ) 上的三个局部可积函数，若它们满足 鲁s 鲫地t 0 ， 则有 3 ，( t ) ! ，( 幻) e x p ( ( 夕( 下) 打) + 石l l ( s ) 饮p ( z 。9 ( r ) 打) d s 3 ，( t ) ! ，( t o ) e ) c p ( 夕( 1 - ) 打) + l l ( s ) 饮p ( 9 ( r ) 打) d s ，t o- ，t o，3 定义1 3 9 【3 j 随机动力系统 设t = r ，r + ，z 或者n 一个定义在度量、完备、可分空间( x ，d ) 上关于时间的 随机动力系统( r d s ) 是一个可测映射 妒：t x n x ，( t ，x ，u ) p 妒( t ，u ) x 使得妒( o ，u ) = i d ( 在x 上恒等映射) 且 此处。是组合的意思 妒( + 5 ，u ) = 妒( t ，以u ) o 妒( 3 ，u ) ，v t ，s t ，u n ， 4 定义1 3 1 0 连续随机动力系统 一个连续的随机动力系统是定义在系统( q ，歹，p ，( 口( t ) ) t t ) 上的拓扑空间x 上的可 测随机动力系统且满足：对每一个u q 映射 妒( ，u ，) ：t x 叫x ，( t ，x ) h 妒( t ，u ，x ) 是连续的 定义1 3 1 1 f 3 】设a ( u ) 是一个随机紧集，bcx ，我们称4 ( u ) 吸引b ，如果 1 i m 出觚( 妒( t ，p t u ) b ，4 ) ) = o ，p 一口8 ， i 。 其中击s t ( ，) 表示x 中的h a 璐枷半距离称4 0 ) 吸收b ，如果存在日) ，使得对任 意：的t t 日( u ) ， 妒( t ，p 一u ) bc 一4 ( u ) ，p o 5 给定t r ，我们说k ( t ) cx 是在时间的吸引集，若对于任意的有界集bcx ，都有 k ( t ) 吸引b 称k ( t ) 是在时间的吸收集若对于任意的有界集bcx ，都有k ( t ) 吸收b 注t ( 1 ) 吸收集必是吸引集( 2 ) 若集合a 吸引另一个集合口，则对于任意集合 a 7 ，ac ，p - a s 也吸引集合b ( 3 ) 如果在t 时刻存在一个紧的吸引集k ( ) ，则在r t 的 任一时刻都存在紧的吸引集k ( r ) 另k ( f ) = s ( 下，) k ( ) 就为满足条件的集合在随机性 的情况中，我们可以从t = o 这一时刻存在紧的吸引集得出在任何时刻都存在紧的吸引 集的结论 定义1 3 1 2 【2 】随机紧集 我们称以u 为指标的一个紧集族 k ) ) 。明为一个随机紧集，如果其满足对每一个 z x ，映射u d ( z ，k ( 曲) 关于，测度是一个可测映射 定义1 3 1 3 【2 】随机集k 称为( 严格) 妒一不变集如果 妒( t ，u ) k p ) ck ( 巩u ) ( 妒( t ，u ) k ) = k ( 巩u ) ) ，v t o 定义1 3 1 4 【2 】对于给定的随机集k ，集合 q ( k ，u ) = q k ( u ) = nu 妒( ，p t u ) k ( p t u ) t o t r 是k 的q 一极限集 引理1 3 1 5 【2 】任意随机集的k 的q 一极限集是不变集 推论1 3 1 6 1 2 l 假设k 和b 都是随机集且k 吸收b 若k 是随机紧集p - a s 则对于 几乎所有的u q 5 ( i ) q 8 ( “，) 是非空的，且q 且) ck ) ，因此是紧的 ( i i m b ( u ) 是严格不变集 ( i i i b ( u ) 吸引口 定义1 3 1 7 【2 】全局吸引子 随机集一4 称为r d s 妒的全局吸引子，如果对于几乎所有的u q ，4 ( u ) 满足 ( i m ( u ) 是随机紧集； ( i i m ) 是不变集，即妒( ，u ) 4 ) = 一4 ( 巩u ) ，vt o ( i i i m ( u ) 吸引x 中每个确定的有界集 定理1 3 1 8 【2 ) 设妒是定义在度量空间x 上的一个r d s 如果存在一个随机集u k ) 吸收x 中每一个确定的有界集b ，则集合 a ( u ) = uq b ( u ) 口c x 是动力系统妒的个全局吸引子 本文所用的其它定义、定理直接参考对应文献 6 第2 章随机b o u s s i n e s q 方程解的存在唯一性 2 1 随机b 0 u s s i n e s q 方程的介绍 b 0 u 鹞i n e s q 方程是关于热力学的数学模型，它包含有温度，速度与压力这些流体的参 量同别的方程一样。非随机的情形已经被许多作者研究过了g 参见文献【1 5 1 ) 我们有必 要给b o u 鼹i n e s q 方程增添一个随机力( 参见文献睁7 】) 我们现在就考虑含加法扰动的二 维随机b o u 鹃i i l e s q 方程 ，m l 咖+ 【p v 如一u + 刊出= e 2 ( t 一孔) d t + 呜( z ) d ( t ) ； 拧+ 【( u v ) 丁一卅d t ：o ； 户1 ( 1 ) l 幽，u = o 方程的定义域是d = ( o ，1 ) ( o ，1 ) ，e 1 ，e 2 是r 2 的基是l 印l a 算子，v 是梯 度”= h ，忱) ，? ，p 分别代表速度向量，温度和压力当z 2 = 1 时，温度是正，当z 2 = o 时，温度是= 乃+ 1 随机函数w ；( ) ，歹= 1 ，2 ，m ，是概率空间( q ，p ) 上的独立的二维实值w i e i 婀过 程，其中q = 如c ( 冗，j p ) i u ( o ) = o ，厂是由q 的紧开拓扑诱导的b m e l 半代数，p 是 w i e n 盱测度呜( z ) = 呜l ( z ) ，垂j 2 ( z ) ) ，j ；= 1 ，2 ，m ，是与时间无关的函数，我们将在后面 部分详细地介绍它们给方程( 1 ) 增加边界条件一 ft ，i z 2 ；l = u i 宅：o t i z 。= l = 噩，t l z 2 ：o = 孔+ l( 2 ) 【1 ；f ，l 王。；l = 妒k 。= o ，砂= u ，l p ，鬻，籍 我们的目的是求解带有初始值条件的方程( 1 2 ) 通过f 捌伽g a l 盯k i n 逼近法和向量 估计，我们可以证明方程全局解的存在唯性，并且证明依赖于初始值的解的连续性和 正则性 2 2 随机b 0 u 鹃i n e s q 方程的数学背景 我们考虑方程( 1 2 ) 的数学背景令h i l b e r t 空间日= 日l 胁，其内积记为( ，) ，范 数记为i i ，其中 凰= 工2 ( d ) 2 ：d l u = o ，& i 。；：o = 已i 甄：l ，i = 1 ，2 ) ，日2 = 工2 ( d ) ( 3 ) 7 记y = x 为日的子空间，其中是日1 ( d ) 中满足在z 2 = o 和z 2 = 1 时值为 。并且关于z l 方向是周期函数的函数， 屹为m l b e r t 空间，其内积和范数记为 ( ( 仇，) 2 ) ) = 矿口d 7 1 矿n d ，7 2 如， i = ( ( 叩，叩) 壹 j d = f 曙：d 伽f = o ) 记m 和y 的内积和范数分别为( ( ，) ) ，| i 1 1 定义n 是i ，上的双 线性形式，满足。 口( u l ，u 2 ) = ( ( f l ，已) ) + ( ( ，7 l ，7 2 ) ) ，v 啦= & ，碾) vi = 1 ，2( 4 ) 定义个从d ( a ) 到日，从y 到其对偶空间矿的线性同胚映射a ，满足 ( a t l l ，t 1 2 ) = 口( t 1 1 ，2 ) ，v 蚴= 6 ，哺) vi = 1 ，2 ( 5 ) 且d ( 4 ) = d ( a 1 ) d ( a 2 ) ，其中 ，d ( a l = 代mn 日2 ( d ) 2 ：舞i 霉l = 0 = 舞i 。：1 ) ； ld ( a 2 ) = ，7 k n 日2 ( d y ：碧k 。= o = 鲁l 王。；1 ) 注意到d ( a cyc 日c 且嵌入是连续稠密的a 是日中的自伴的正算子，a 一1 是 日中的自伴紧算子 定义b 是y 上的三线性形式，满足 6 ( u l ，缸2 ，t 1 3 ) = ( ( l v ) 巳，白) + ( ( f 1 v ) f 7 2 ，7 3 ) ， v 地= 6 ，t 7 ) ki = 1 ，2 ，3 ( 6 ) 6 在y 和日1 ( d ) 2 日1 ( d ) 上都是连续的定义双线性形式b ，满足： ( j 5 f ( u l ，缸2 ) ，“3 ) = 6 ( u l ，t 2 ，u 3 ) ，vu l ，u 2 ，u 3 矿 ( 7 ) 且日：yxy y ，b ：d ( 4 xd ( a ) 何 假设呜( z ) 日2 ( d ) 2 n d ( a 1 ) ，即jp o ，使得m 卢，妒= 奶t ( z ) ，篙擎，竺舞产t ，七= 1 ，2 ，j ；= 1 ，2 ，一m 做变换 = 一厄 ( 8 ) 其中z ：曼呜( z ) 岛( t ) ，q ( t ) 是o r 鹏t e i n u h k n b e 伙过程，即。 岛( ) ：厂e - o ( h ) d ( s ) ( 9 ) 岛( ) = e - o ( 卜3 ) d ( s ) ( 9 ) d j ( ) 依赖于变量口 o ，q ( ) 是稳定的m 盯k 叫过程且它的轨迹是几乎处处连续的由 于， d q ( t ) ：d ( 厂e a ( 佃) d ( 5 ) ) ：d ( e 刊厂e 口。m j ( s ) ) ，t = 【- q e 一耐 e d ( s ) 1 疵+ e 一耐e 耐d ( t ) = 一q 0 1 0 ) d t + r ( ) 于是可得：出= 一q z d t + 呜( z ) d ( t ) 由于呜( 功= 呜l ( z ) ，雪j 2 ( z ) ) ，则z ( t ) = z l ( ) ，勿( t ) ) ， 其中z 1 ( t ) = 曼呜1 ( z ) q ( t ) ，勿( t ) ：曼呜2 ( z ) q ( t ) 令 j = lj = l 叩= t 一五一( 1 一z 2 ) ，( 1 0 ) p 为p 一( z 2 + z ；2 ) ，方程( 1 ) 即为 i 蜓+ 【( f v k 一f + v p l d t = ( e 2 7 + q z 一( f v ) z 一( z v ) 一( z v ) 2 + z ) d t ； 却+ 【( v ) 7 7 一刀l 疵= f 忱一( z v ) ，7 】出；( 1 1 ) 【击1 j 专= o 且边界条件为 2 嚣三涩：。劣乏二摆毒 ， 1 妒i 。l = o = 砂l ? l ：l 。妒= f 。刀，p ，差，鲁 最后，定义在日中的一簇算子兄( t ) = r ( ，u ( 对任意2o ，u q ) 如下形式t 兄( t ) ：u = ，t 7 ) _ 肌= 代v ) z + ( z v ) + ( 2 v ) z 一z 一( e 2 7 + q z ) ，( z v ) ，7 一吨) ( 1 3 ) 其中吨= 巳+ 2 2 2 设t = 豫们是方程( 1 1 - 1 2 ) 的解，可= ，9 ) 是y 中的检验函数， ，夕) 与( 1 1 ) 相乘并在d 上积分后相加得t ( 必，) + ( ( f v ) f ，) 一( ，) + ( 1 即，) + ( 咖，夕) + ( ( f v ) 7 ，9 ) 一( 7 ，9 ) = ( t j 2 一( ：v ) 叩，9 ) + ( ( e 2 7 + q z 一( f v ) ：一( ：v ) f 一( z v ) z + z ) ，) 其中由于疵u ，= o ，= ( j r l ，2 x 有以下式子成立： ( 唧，) = 厶v p ，如= 厶( 砉，老) ，如 = 厶c 砉，老d z = 厶c 鲁 + 去 ，如 = 一厶p c 罄+ 差，出= 一厶p 础t ，出= 。 ( 武，) + ( 面，9 ) = 羞( u ，此 ( ( v ) f ，) + ( ( f v ) ，7 ，9 ) = 6 ( u ，牡，可) ， 一( ，) 一( 叼，9 ) = n ( t ，可) ， 故有z 爰( t ，可) + 6 ( t l ，让，y ) + 口( t l ，剪) + ( r ( t ) t ，3 ，) = o v 可v ( 1 4 ) 即 象+ 以u + b ( t ，t 工) + r o ) t 工= o ( 1 5 ) 方程( 1 5 ) 是带有随机变量的非自治方程为了求解方程( 1 5 ) ，我们需要对双线性算子b 和算子尉) ，a 进行s o b o l e 、r 范数估计 2 3 基本估计 引理2 3 1 双线性算子且：y y _ 且b ：d ( a ) d ( 4 ) 一日是连续的并满足。 ( i ) ( b ( t i ，u ) ，u = 0 ，v u ，u y ； ( i i ) i ( b ，u ，u l c li u l 9 - i l 训1 1 一巩i i u u i 尸i u l l 一仉，v t l ，u ，u y ； ( i i i i b ( 让，u ) i + 1 日( u ，u ) i c 2 训i l i 叫1 1 一如i a u p ，v 也v u 酬a ) ； ( i v i b ( u ，u ) i q k l 如0 u 0 1 一如u ”1 一如l a 如，v t 正v u d ( a ) ； 其中c l ，仍，c 3 是常数，巩【0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，3 证：( i ) ( j e i ( ，u ) ，功= 6 ( 让，u ，u ) = ( ( f l v ) ，已) + ( ( 6 v ) 7 2 ，7 2 其中：u = ( l ，呀1 ) ，u = ( 巳，7 2 ) ，l = ( 6 l ，f 1 2 ) ，巳= ( 已1 ，专2 2 ) ( ( 小v 烁已) = 厶慨- 鲁拍。鲁丙- 等拍：鲁。，锄 = 厶( 6 - 鬻巳- 拍。鲁拍鲁锄拍z 薏锄) 出 = 三上c 缸鲁怕z 鲁怕鲁伯z 鲁，如 = 一言厶( 姥- 鬻+ 髫- 薏+ 如等+ 岛鲁) 出 = 一三二毪击口6 如一圭厶岛出螗：出= 。 ( ( 小v ) 啦，啦) = 厶怎z ) ( 畚，毫) 砚】啦出= 厶( 扎筹怕。是) 啦出 = 加鲁啦拍z 象啦，如 = 三加著如+ 三胁差如 ；一三二( 镌筹+ 稆等) 出 = 一三上裙垅吒- 出= o 1 0 所以有：( b ( t ，u ) ，t ，) = o 证t ( i i ) 因为i b ( u ，t ，) ，u i b ( t t ，u ) 怕i ，所以我们需要计算出l b ( t i ，u ) i ( 口( t l ，u ) ，u ) 2 厶b ( u ，u ) u 如= 6 ( u ，叫) = ( ( f 1 v ) 已，6 ) + ( ( f l v ) ，7 2 ，t 7 3 ) = 上- 等拍：等血等拍：薏- 向) + ( a - 鲁拍z 象川出 = 厶【( - 鲁拍。鬻焰t 代- - 鲁拍z 等妇玳筹均：象川如 = 厶( 缸鲁拍：鬻 - 筹怕z 薏怎t 碧伯z 象煽- 航仍 = 厶慨- 鲁拍z 鲁 z 等拍。警甬- 差怕z 象，u 如 其中u = ( f 1 ，f 7 l x u = ( ，7 2 ) ，u = ( 6 ，) 3 ) ，f l = ( f l l ，1 2 ) ，巳= ( l ，f 船) ，6 = ( 6 1 ，6 2 ) 故b ( u ，u ) = ( 1 1 静+ f 1 2 镑，f l l 智+ 1 2 智，1 1 耪+ 1 2 笼) 于是t b “，u ) 1 2 =口( u ，t ，) b 似，u ) 如 ，d = 厶k ，鬻伯z 鼍) 2 + 慨t 鲁拍。警) 2 + 阳- 舞+ 6 。象) 2 】如 = 厶( 钆鬻) 2 出+ 厶( 缸鬻) 2 如+ 上( 缸筹) 2 出+ 厶( 缸薏) 2 d z + 上怕- 鲁) 2 d z + 厶c 缸象，2 出+ 厶2 “鲁缸甏出+ 厶鸳t 等缸薏如+ 厶越t t 鲁缸象出 厶2 ( 矗+ 渤【( 鲁) 2 + ( 鲁) 2 + ( 等) 2 + ( 等) 2 + ( 象) 2 + ( 笔) 2 1 出 所以有zl ( b ( u ，u ) ，u ) i i b ( u ，u ) 怕i 2 ，然而由p o i n c a r e 不等式，有川忪0 ， i u l i i t 0 ，于是。i ( 口( u ，u ) ，c 一) i c l l “尸i l t t 1 一。- 0 u i l o u 0 口- l u l l 8 - 证：( i i i ) 由上知。i b ( t ， ) i 2 川i 且i t i 0 “8 ，并且由于a u = 一v u ，i a 训2 = 尼a u 舢d z = 如( 一v ”) ( 一v u ) d z = 1 2 ，故l a ”i = m l ，所以i b ( t i ，u ) i + i b ( u ，1 1 ) lsl t l i i i ”+ l 训0 t 1 0 2 0 t i i i i u 0 c 2 0 训l | i u 0 1 一如0 u 0 如c 2 0 训i i i 训1 1 一如1 月u i 幻 证t ( i v ) 因为i b ( u ，u l 2 i u 川u i i ，| i i 且i a u i = i ，所以有i b ( u ，u ) i 2 i u l l l t ，0 = c 3 i u i 如i u l l 一如i l u 0 1 一如0 u 0 如c 3 i t i 如0 t 0 1 一如0 u 0 1 一如l a u i 如 1 1 引理2 3 2r ( ) ：y 一且r ( ) ：d ( a ) 一日满足 尺0 ) i c 2 ( t ) 8 让8 + ( 五( t ) ，v 牡u vt 0 ， ( 1 6 ) 其中q ( ) ：p l 曼d j ( t ) f ，q ( ) ：4 渤( t ) + 以，岛( t ) ：4 讲( ) + ( q + 3 ) q ( t ) ，q ( ) ，q ( ) ， j = 0 仍( ) 关于t 是连续的且当一o o 时，是至多多项式增长的以及 ( r ( t ) ，t ) sc 2 ( t ) 0 t i 训+ c ( t ) l t i l ，v 仳k vt o ( 1 7 ) 证一由( 1 3 h 可得 i 冗u i = i 健v ) z + ( z - v ) + ( z ，v 扣一2 一( e 2 叩+ q z ) i + i ( z v ) f 7 一已一钇i 其中i 已i i q 勿i = q 仍( ) ，i e 2 7 i = m ，i 勿i = a ( t ) ，l ( z v ) z i 4 钟( 洲：i 2 a ( ) ( f v 纠2 = 厶k 砉) 2 + 2 - 去笔+ 池毫) 2 1 如 2 厶( g + 镑) 【( 去) 2 + ( 亳) 2 】出 4 讲( t ) - 坪 ( z v 蚓2 = 厶- 筹+ 勿象) 2 + ( z 鲁+ z 。差) 2 】出 = 厶眙- 差) 2 + ( 勿差n 2 舵差差+ ( 名- 差) 2 + ( 现象) 2 + 2 础z 等差】出 2 厶筹) 2 + ( 勿差) 2 + ( z 筹) 2 + ( 钇差) 2 】出 2 厶( z + 鳓( 差) 2 + ( 差) 2 + ( 差) 2 + ( 差) 2 】d z 4 c ( 洲邢 v ) 轷= 厶( z t 鲁+ 忽老) 2 出2 厶鲁) 2 + ( 勿差) 2 1 出 4 研( ) 9 n r 却弘r 咖如 jd 4 c ( t ) 1 2 使用p o i n c 盯e 不等式， 让i i i u ，vu k 1 2 ( 1 8 ) 于是有： r ( ) t s2 q ( ) l k 0 + ( 2 a ( t ) + 1 ) 蟮 + 4 研( ) + l 7 i + ( n + 3 ) a ( ) + 2 c i ( ) 0 t 7 0 ( 4 d 0 ) + 1 ) ( 0 0 + 0 7 7 0 ) + 4 研0 ) + ( q + 3 ) a ( t ) 以( 4 c 1 ( ) + 1 ) 0 t | 0 + 4 四o ) + ( q + 3 ) 仍( t ) = 仍( ) l + 仍( t y 即( 1 6 ) 成立，又因为l ( 兄u ，u ) i j r u f ，故( 1 7 ) 成立 引理2 3 3 定义在y y 上的双线性形式n 满足。 c 4 h 训1 2 n ( 札，牡) c 5 0 t 0 2 ，v “v( 1 9 ) 其中c 4 ，c 5 是常数 证：由方程( 4 ) 知；n ( u ，u ) = ( ( e ，e ) ) + ( ( ，7 ，t 7 ) ) = 蚓1 2 + 1 2 ， 0 f h 2 + 0 叩0 2 ；( 0 e 8 + 0 叩0 ) 2 c 4 0 t i h 2 ， 0 8 2 + 0 ，7 0 2 2 仃l 口z 8 0 2 ，0 t 7 0 2 c 5 0 1 8 2 ， 所以有 c 4 0 2 n ( t ，u ) sc 5 8 u 2 ，v 缸v 成立，其中c 4 ，c s 是常数 2 4 解的存在唯一性 我们将证明方程( 1 5 ) 的全局解的存在唯性，既是方程组( n 1 2 ) 或者( 1 2 ) 的全局 解的存在唯性 定理2 4 对几乎处处可测的u q 和t o r ，当方程( 1 5 ) 有初始值u ( o ) = t o 时，方 程存在唯一的解u ( ) 满足： ( i ) 若如h ，则 缸c ( 【o ，) ，日) n 工k ( o ，；y ) ；( 2 0 ) 且映射t 1 0 一t i ( t ) 对任意的t t o 是从日到d ( a ) 上的连续映射 ( i i ) 若u o y ，贝l j u c ( i o ，) ，y ) nl ( o ，；d ( a ) ) ( 2 1 ) 证：( i ) 因为a 一1 ：日一d ( a ) 是日中的自伴紧算子，由谱理论可知存在数列：o 入1s 沁s b _ o o 和日中的完全正交基【嘶) cd ( a ) ，使得 a 吁= 嘶， vj i ( 2 2 ) 】3 对每个m ，设方程的逼近解t t m 为以f 。形式， ( t ) = 鲰m ( ) 撕， ( 2 3 ) i = 1 满足： 丢( ，q ) + n ( ，q ) + 6 ( t h ，t f r i ，屿) + ( 尺( ) 1 l m ，吻) = o ， 歹= 1 ，2 ，肌，( 2 4 对应初始值为 t h ( t o ) = 晶。t o ， ( 2 5 ) 其中是日或者y 到由伽1 ，生成的空间s 舯n 叫l ，) 上的投影因为a 和 f k 是可交换的，故方程( 2 4 ) 等价于 鲁+ a + p 仇b ( ，u m ) + p m ( r ( t h ) = o ( 2 6 ) 由常微分方程的解的存在唯性，在有界区间7 m ) 上的存在性容易证明当 = + 时，t ，l 的存在唯性可由以下结论得到 t h 在l ，t ；日) n l 2 ( t o ，t ；y ) 中是有界的，vt t o ；( 2 7 ) 方程( 2 4 ) 乘以乃m ( t ) 【，j = 1 ，2 ，竹l ，并将结果相加，由引理2 3 1 知b ( u m ，) = o ，故 可得一 丢爰i u m l 2 + d ( ，) + ( r ( t ) u m ，) = o ， ( 2 8 ) 使用引理2 3 2 ，( 1 7 ) ，引理2 3 3 和y 0 u n g 不等式，可得t 丢丢i 1 2 + 酬1 1 2s 三丢i 1 2 + 。( u m ，u m ) i ( r ( t ) t m ，撕n ) i 8 u pc 2 ( ) 0 t 。t m i + s u pl 乃( t ) i u m l 幻t s t t o t s r 等8 t h 0 2 + n l i u m l 2 + 口2 ， 即 丢i t ，1 1 2 + c l o 0 2 2 口i i t ，1 1 2 + 2 口2 ( 2 9 ) 其中c 4 在( 1 9 ) 式中已定义，口1 ，口2 是常数运用g r o 矾试l 引理，可得t i t 正仇( t ) 1 2 i u m ( 幻) 2 e 2 口- + 竺( e 缸- 2 1 ) i t i o l 2 e 2 口1 t + 竺( e 2 d l r 1 )