（岩土工程专业论文）基桩非线性动力学行为的数值模拟研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 桩基础作为一种古老、传统的基础型式，在工程建设中占据了重要地位。 我国平均每年用桩量至少有百万根以上，费用约占工程总造价的2 5 。由于其 承载力高、沉降量小，现已被广泛应用于高层建筑、铁路桥梁、核电站、近海 采油平台、海岸码头以及大型动力机器基础等工程中。在近海工程与海港工程 中大量采用的桩基结构物在恶劣海况的强烈动荷载作用下会进入非线性状态 并危及结构物的安全。因此，有必要对在动荷载作用下桩的非线性特性给予高 度的重视，并深入开展这方面的研究。 本论文运用非线性动力学原理，对在轴向力作用下单桩的非线性模型进 行分析，从而找出对在轴向力作用下单桩力学行为起主导作用的因素。理论分 析与数值模拟的有机结合即可说明理论的合理性，也可证实数值模拟的可靠 性。 本文的研究工作及特色如下： ( 1 ) 总结了现阶段国内外桩基非线性行为研究的现状。介绍了非线性动力学 的基本知识。探讨了求解在轴向力周期往复激振力及瞬态激振力作用下 单桩非线性问题的数学方法。 ( 2 ) 通过时程曲线、相平面图、蓬加莱映射、功率谱、分岔图来判断混沌现 象，归纳了一类非线性振动系统方程的一些出现混沌现象的规律。寻求 适合解决基桩动力非线性问题的有效方法，给出一些有益的结论。 ( 3 ) 导出完整基桩受瞬态激振力作用下纵向非线性振动模型，并采用有限差 分法计算桩的瞬态纵向振动。桩身各点纵向振动时程由空间曲面网线图 表示。数值计算响应与工程桩的反射波动测法进行了分析和比较。 ( 4 ) 用伽辽金方法转化非线性偏微分方程为常微分方程组，再运用变步长龙 格一库塔法原理编制出m a t l a b 程序求解常微分方程组，得到绘制时程曲 线图、相平面图、功率谱、p o i n c a r e 映射图等需要的数据文件。 ( 5 ) 结合在轴向周期往复激振力作用下单桩非线性动力学行为实例，用 武汉理工大学硕士学位论文 m a t l a b 软件进行数据绘图分析，得到了时程曲线、相平面图、功率谱、 p 。i n c 材e 截霆露等共5 0 余壤强。考察了在毒蠹囱力侉用下凌定肇援菲线 性动力学行为的各种参数的影响。 关键词：激强力，菲线性，翻辽金法，龙格一库塔法，有限差分法，p o i n c a r e 截 面，分岔，混渣 l i 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t p i l ef o u n d a t i o nb e i n gak i n do fo l da n dt r a d i t i o n a lf o u n d a t i o nf o r m o fb u i l d i n gi si nt h ei m p o r t a n tp o s i t i o ni e n g i n e e r i n gd e v e l o p m e n t a t l e a s tm i l l i o n so fp i l e so na v e r a g ea r eu s e de v e r yy e a r ，c o s t i n ga b o u t2 5 p e r c e n to ft h ew h o l ee n g i n e e r i n gi n o u rc o u n t r y t h ep i l ef o u n d a t i o i s e x t e n s i v e l y u s e di n h i g h - r i s eb u i l d i n g ，r a i l w a yb f i d g e ， u c l e a r p o w e r s t a t i o n s ， m a r i n e p l a t f o r m ， c o a s td o c ka n d 1 a r g ed y n a m i c a l m a c h i n e f o u n d a t i o ，b e c a u s ei t sl o a d i n gi sh i g ha n ds e t t l e m e n ti ss m a l l t h ep i l e f o u n d a “o no fb u i l d j g sn e a rs e aa n da b o v es e au n d e rh a f dd y n a m i c1 0 a d s g e t st on o n l i n e a rs t a t ea n de n d a n g e r sb u i l d i n g s t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r y t od e v e l o pt h er e s e a r c ho ft h i sr e s p e c t t h i st h e s i su t i l i z en o n l i n e a rd y n a m i c sp r i n c i p l e ，a su d e ra x i a lf o r c e ， t h e o n i i n e a im o d e io fs i n 9 1 ep 主i ei s a n a l y z e ，a n d f i n do u tt h em a j o r f a c t o r sj nt h eb e h a v i o ro fs j n g l ep n eu d e ra 盖i a lf o r c e t h eo 。g a n j c c o m b i n a t i o no f t h e o r y sa n a l y s i s a n dn u m e r i c a lv a l u es i m u l a t i o nc a n p r o v et h er e a s o n a b i l i t yo ft h e o r y ，m a ya l s 0c o f i r mt h ev a l u es i m u l a t i o n r e l i a b i l i t y t h er e s e a r c ha n du n i q u ef e a t u r ea r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) s u m m e r i n gt h ec u r r e n ts t u d yo ft b ep 钉ef o u n d a t i o nu n d e r 丑o n l j n e a r 1 0 a d si nt h e w o f l d h a v i n gi n t r o d u c e d o ft h eb a s i sk n o w l e d g eo f n o n l i n e a rd y n a m i c s ，h a v i n ge s p e c i a l l yg e to u tt h eg e n e r a lf e a t u r e0 f c h a o sa n dt h em a j o rm e t h o d sf o rp r e d i c t i n gt h eo c c u r f e n c eo fc h a o s ， a n dr e s e a r c ht h es t u d yo ft h em a t h e m a t i cm e t h o d0 fs i n g l ep i l eu n d e r o n l i n e a r1 0 a d s 。 ( 2 ) t h o u g ht h et i m i g t r a n s l o c a t i o ng r a p hp o i n c a f eg r a p hp o w e r c h a r tj u d g e c h a o s ，s u m m e i i n g t h er e g u l a t i o no fd u f f i n ge q u a t i o ne m e r g i n gc h a o s s e e kf o rag o o dw a yt os o l u t et h en o n l i n ep r o b l e ma n dg i v eo u ts o m e b e n e f i c i a lc o n c l u s j o n s ( 3 ) d e d u c i n g t h ev i b f a t i o nm o d e lo fn o n l i n e a rd y n a m i co ft h es i n g l ep i l e u n d e ra x i a ld i f f e r e n c em e t h o d t h et i m eh i s t o r i e s0 fas i n g l ep o l ei s s h o w ni nat h r e e d i m e n s i o n a lm e s hf i g u r e 。t h et h e o r e t i c a lr e s p o n s e c o r r e l a t e sw e l lw i t hd y n a m i ct e s t i n go fa ne n g i n e e r i n gp n eb yt h e 武汉理工大学硕士学位论文 r e f i e c t i v ew a v em e t h o d ( 4 ) t h e i n t e g r o p a r t i a l d i f f c r e n t i a ie q u a t i o n i s s i m p i i f i e d t o p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb yu s i g t h eg a l e r k i nm e t h o d ，m a k i n g m a t l a bp r o g r a m sb yt h et h e o r yo fv a r y - s t e pr u n g e - k u t t a ，t h e n ，g e t s s o m ed a t ad o c u m e n t sw h i c ha r eu s e dt od r a wg r a p h s ( 5 ) c o n s i d er i n gt h en o n l i n e a fd y n a m i c sb e h a v i o ro ft h es i n g l ep i l eu n d e r t h ea x i a lf o r c ea n du s i n gt h el a t e s ts o f t w a i em a t l a bt o a a l y s e sa n d d r a w ，t h ea u t h o rg e t sa b o u t5 0p i e c e so fg r a p h s ，f o re x a m p l e ，t h e t i m i n gc u f v e ，p h a s eg r a p h ，p o j n c a r eg r a p h k ：e yw o r d ：t r a n s i e n ti m p a c tf o r c e ， n o n l i n e a r ，t h eg a l e r k i m e t h o d ，t h e r u n g e - k u t t a m e t h o d ， t h el i m i t e dd i f f e r e n c e m e t h o d ， p o j n c a r eg r a p h ，b i f u r c a t i o n ，c h a o s 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 桩是深入土层的柱形构件，桩与连接桩顶的承台组成深基础，简称桩基。 其作用是将上部结构的荷载，通过较软弱的地层传递到深部较坚硬的、压缩性 小的土层或岩层。在一般的房屋建筑基础工程中，桩主要承受垂直的竖向荷载， 但在河港、桥梁、高耸塔型建筑、近海钻采平台、支挡建筑以及抗震等工程中， 桩基还需承受来自侧向的风力、波浪力、土压力、交通工具作用力和地震力等 水平荷载。 桩所承受的外力按其作用时间的特征可划分为静力荷载和动力荷载，而动 力荷载按其随作用时间的变化规律，又可分为周期荷载、冲击荷载以及随机荷 载0 1 。例如：风力和波浪力属于随机荷载，由于机器振动传递到桩基上的作用力 属于周期荷载，而桩受到的意外撞击( 交通事故) 以及预制工程桩( 或钢桩) 在其 打入过程中所承受的锤击力则属于冲击荷载。由于动力荷载的反复性和突发性， 其作用于桩上所产生的动力响应自然比静力荷载产生的静力响应难以把握和预 测，所以，从某种程度来说，动力荷载比静力荷载的危害大得多。1 。相对于浅基 础，桩基础具有以下优点：( 1 ) 能提供更大的动( 或静) 阻力：( 2 ) 具有更高的固有 频率：( 3 ) 具有更小的振动幅值：( 4 ) 具有更小的残余动沉降。然而，桩基础只有 在较小的变形情况下才能有效地抵抗动荷载的作用，桩基础对动荷载的响应与 纵向弹性波和横向弹性波的传播理论密切相关，它受桩基础承受的静荷载、桩 身自重和几何尺寸、以及桩和桩周土的本构特性的影响0 1 。所以桩基的定性分析、 数值模拟、试验等研究一直是国内外岩土工程专家、技术人员共同关心的问题。 桩基在各种载荷作用下，其载荷传递机理和桩基的破坏模式与基桩本身的材料 强度、抗弯刚度、桩侧土体的抗力、摩阻力、桩端土体的承载能力以及施加载 荷的方式等因素都密切相关，这给桩基的设计和施工带来很多困难。长期以来， 人们主要靠定性分析、简化的数值分析和经验方法来解决实际问题。由于分析 计算的精度很低，不得不通过大量的现场试验或工程经验来逐步修正，以获得 正确的设计方案和施工方法嘲。 武汉理工大学硕士学位论文 国内外迅速发展起来的有限元方法和近年来迅速推广应用的有限元应用软 件，可利用计算机进行模拟和优化，从而大大缩短了设计周期，提高了工程结 构的稳定性和安全性，并对桩基在临界工作条件下桩和结构之间的相互作用有 了一定的了解。有限元方法在模拟承台桩一土相互作用方面有独到之处，但 仍存在不足。主要原因是网格的存在妨碍了处理与原始网格不一致的材料、几 何大变形和边界移动等，特别是处理动力学问题时往往造成网格重构”_ 8 1 。对桩 基础的定性分析、数值模拟是目前比较好的分析桩基动力学行为的办法。但因 为桩和土本身具有的材料非线性，桩一土间剥离和摩擦等因素，及桩一土一上部结 构的相互作用，桩的力学行为具有高度的非线性特征。；而且桩基不仅要承受 上部结构传递的轴向静载荷作用，还要承受动力的作用，如桥墩、桥台及机器 厂房的桩基在正常情况下都要承受轴向动力载荷的作用，产生桩的参数共振“。 关键问题是提出一些既较合理又便于分析计算且精度较高的数学力学模型，特 别是应考虑非线性粘弹性等主要的影响因素“”。 1 2 当前桩基非线性力学研究现状 基桩的动力分析，是一个极为复杂而又具有实际工程意义的问题。当桩完 全埋置于土中时，桩身的振动受到整个桩身侧面土抗力的约束作用，当土质较 好时，基桩难以出现屈曲破坏，当土质较软时，较易出现屈曲破坏。魏新江“” 通过对复合平面应变近似法的改进，导出单桩的动力复刚度，分析了影响桩基 动力刚度和阻尼的因素。李耀桩“”等人分析了在桩头作用谐振荷载时有限长桩 与无限长桩的动力反应。沈锡英讨论了锤击桩在打入时的定向稳定性问题。申 世强“”等对桩基竖向振动进行了模型试验，建立了桩基动力反应简化计算模式， 分析了群桩竖向振动时有关刚度、阻尼和桩土参数质量的若干规律。 桩基础在静力荷载作用下的性能分析，国内外已有长期的研究，关于动力 荷载作用的情况，其中如地震作用下的桩的横向振动问题，也有较多的研究。 丽在公路桥梁、工业与民用建筑、机械基础、大跨高层建筑、栈桥、海洋钻井 平台等结构中，常会遇到杆系结构受到有竖向动力荷载作用，造成结构横向发 生参数若振。此方面的研究工作，相对来说还不多，有待于作进一步深入的研 究和实践。 不管涉及桩基的静力分析还是动力分析，要想把设计中所有必须考虑的因 2 武汉理工大学硕士学位论文 素都包括在个模型中也是不现实的，因此，关键问题是提出一个既较合理又 便于分析、计算且精度较高的力学数学模型，其中包括最主要的因素，再进行 定性和定量分析。n o v a k “”( 1 9 7 4 ) 首先分析了单桩的动力刚度和阻尼特征，这也 许是按连续介质力学的观点研究桩基动力分析的首篇文章，在此之后，又有一 些相关的工作，j 般均采用岩土均匀性的假设。n o v a k 和g r i g g “”( 1 9 7 6 ，1 9 8 2 ) 的研究指出，均质岩土的假设会对桩基的刚度和阻尼做出过高的估计，是不合 理的。因此，r o e s s e t “”等人基于非均匀的假设，对桩基进行了动力学研究，并 发展了有限元方法，进行了大量的参数研究。a b o a 卜e l l a 。”将均匀土的平面应 变方法推广到层状介质，得到了一个既简单又多用途的解，特别对于随深度按 抛物线型变化的岩土，得到了令人满意的结果。但是，在大多数情况下，由于 高应变下的土的非线性、桩一土的剥离啪1 ”( g a p p i n ga n ds l i p p a g e ) 和摩擦 ( f r i c t i o n ) 等因素，桩的力学行为具有高度非线性特征，采用连续性模型是相当 困难的，通常采用l u m p e d l a s s 模型( p e n z i e n ( 1 9 7 0 ) ，m a t l o c k ( 1 9 8 0 ) 等) ，然而 在这种模型中要给出离散单元的物理参数和土的标准地质参数之间的关系是十 分困难的，描述非线性岩土阻抗一挠度的模型已经问世。y a n ”( 1 9 9 0 ) 给出了p y 曲线和桩的非线性响应之间的关系的大量结果。还有一些研究者对循环加载下 桩的非线性行为也进行了研究。这些工作基本上是属于对单桩动力学行为的分 析、计算和实验研究。 桩基础动力非线性的研究对工程基础结构抗震设计理论有一定的指导意 义，在当前的基桩设计中也有很大的实际应用价值。该课题研究将力学、数学、 岩土工程、结构工程及计算技术方面的专业知识熔为一体，将非线性科学中分 叉、混沌理论应用于桩基工程，为跨学科、跨专业、相互交叉渗透的研究成果。 对优化基桩设计，提高基桩的承载力有着重要的指导作用，为基桩的动力设计 提供了有效的依据和分析的手段，为工程桩基动力分析与检测提供有效的分析 途径，对于提高桩基的设计水平以及桩基础的抗震减振，都具有重要的理论指 导意义和工程应用价值“1 。 1 3 计算机在非线性力学研究研究中的应用 由于非线性数学模型通常不能用分析方法得到解析解，数值方法、实验方 法和计算机仿真方法紧密相联，相互交叉和渗透，成为研究和分析非线性问题 武汉理工大学硕士学位论文 的重要手段“。图形化方法具有直观、易于观察和理解的特点，为洞悉系统内 部的复杂行为提供了直观有效的手段。常微分方程理论研究中，也经常借助时 程曲线、相图、功率谱图、p o i n c a r e 正映射、分岔图等来解释和揭示非线性系 统的内在行为和属性，如对吸引子、吸引域以及结构参数等的研究。 1 4 本文的主要工作 ( 1 ) 总结现阶段国内外桩基非线性行为研究的现状。介绍非线性动力学的 基本知识。 ( 2 ) 探讨一类非线性振动系统混沌运动的规律，详细阐述该系统产生混沌 的条件。从而为单桩非线性动力学行为分析做指导。建立了在轴向力作用下单 桩非线性动力学行为分析数学模型。 1 ( 3 ) 探讨求解在轴向力作用下单桩非线性问题的数学方法。比如把非线性 偏微分方程转化为常微分方程的伽辽金法，以及用来求解常微分方程的变步长 龙格一库塔法，有限差分法。 ( 4 ) 导出基桩受瞬态激振力作用下纵向非线性振动模型，并采用有限差分 法计算桩的瞬态纵向振动。桩身各点纵向振动时程由空间曲面网线图表示。 ( 5 ) 结合在轴向周期往复激振力作用下单桩非线性动力学行为实例，用 m a t l a b 软件进行数据绘图分析，得到了时程曲线、相平面图、功率谱、p o i n c a r e 截面图等。 ( 6 ) 考察在轴向周期往复激振力作用下决定单桩非线性动力学行为的各种 参数的影响。 4 武汉理： 大学硕士学位论文 第二章单桩非线性动力学的基本理论 2 1 基本概念 非线性动力学( n o n l i n e a rd y n a f l l i c s ) 研究非线性动态系统各类运动状 态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时间演化行为中的复杂性。对有限 维系统而言，其主要内容包括混沌、分岔和分形。混沌是一种由确定性动力学 系统产生对于初值极为敏感而具有内在随机性和长期预测不可能性的往复非周 期运动。 与线性系统的特殊情形相比，非线性系统具有若千更为复杂的性质。首先， 线性系统研究中经常采用的叠加原理对非线性系统不适用，即非线性系统中两 个运动叠加的结果一般不是该系统的运动。其次，非线性系统运动的周期不像 线性系统那样仅由系统特性确定，一般还与初始条件有关。第三，非线性系统 可能具有多个平衡位置和稳态运动，系统的动力学行为既取决于这些平衡位置 和稳态运动的稳定性，也与初始条件有关。第四，对工程中的非线性机械、结 构和机电系统，系统的响应与激励频率存在复杂的依赖关系，而线性系统响应 与激励的频率是相同的。最后，线性系统仅存在周期运动和准周期运动两种有 限运动，非线性系统存在混沌等复杂运动现象。 2 1 1 非线性振动系统 振动是物理学，技术科学中广泛存在的物理现象。如建筑物和机器的振动， 无线电技术和光学中的电磁振动，控制系统和跟踪系统中的自激振动，声波振 动，火箭发动机燃烧时所引起的振动。这样一些表面上看起来极不相同的现象， 都可以通过振动方程统一到振动理论中来。1 。 振动是机械运动的一种形式，在技术领域经常出现的振动是周期振动。所 以其规律x o ) 决定于作用在系统上各种力的性质，即为下列方程所决定。 ”+ “7 + h - ，o ) ( 2 1 ) m 一一振动质点的质量 武汉理工大学硕士学位论文 x 一一振动质点的位移 c 一一阻尼系数 “o 一阻尼力 舡一一弹性恢复力 ，( t ) 一一周期干扰力 因为弹性力和阻尼力都是线性函数，所以方程( 2 1 ) 是二阶线性非齐次 微分方程，这样的系统称为线性振动系统。如果弹性力和阻尼力二者之一或二 者都是非线性函数，2 0 ) 和 0 ) ，则振动方程成为非线性微分方程 眦”+ ) + ，2 0 ) ，( f ) ( 2 2 ) 此时系统为非线性振动系统【2 9 1 。 2 1 2 分岔理论 分岔嘞1 是一类问题当中有多个性质上完全不同的解，交叉在起，这个 交叉点就是所谓的分岔点；分岔一般伴随有事物性质上的突变，一种状态变为 性质上差别很大的另外一种状态；分岔的实质是非线性问题。分岔是指动态系 统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。分岔实际上是一种自然界 和社会上的普遍的现象。分岔在哲学上是对于确定论的一个否定，分岔再分岔 可以产生混沌，混沌是会导致系统内在的随机性，它对以前那种确定性的观点 是一个否定。分岔问题的研究不仅揭示了动态系统不同运动状态之间的相互联 系和转化，而且与混沌密切相关，成为非线性动力学的重要组成部分。 若任意小的参数变化会使结构不稳定的动态系统的相轨迹拓扑结构发生 突然变化，则称这种变化为分岔。分岔现象的研究主要可以概括为4 个方面： ( 1 ) 确定分岔集，即建立分岔的必要条件和充分条件。( 2 ) 分析分岔的定性 性态，即出现分岔时系统拓扑结构随参数变化情况。( 3 ) 计算分岔解，尤其是 平衡点和极限环。( 4 ) 考察不同分岔的相互作用，以及分岔与混沌等其他动力 学现象的关系”“。 分岔理论研究非线性常微分系统由于参数的改变而引起的解的不稳定性 从而导致解的数目变化行为。如果某个动力系统在相空间中的轨线是结构不稳 定的，则任意小的适当的扰动都会使系统解曲线的拓扑结构发生突然的质的变 化，这种质的变化为动态分岔。”。 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 3 混沌理论描述 混沌。”是一种由确定性动力学系统产生对于初值极为敏感而具有内在随 机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。系统是指这样的动力系统，他们 通常由微分方程、偏微分方程、差分方程、甚至简单的代数迭代方程所描述， 且方程中的系数都是确定的。 湿沌运动是不稳定有限定常运动，这个定义指出了混沌运动的两个主要特 性，或除开平衡、周期和拟周期以外的有限定常运动，指的是运动状态在某种 意义上不随时间变化。 混沌来自非线性，线性系统中不可能有混沌现象。非线性的本质是经过某种 线性变换，使两个变量之间的依从关系出现多值性。非线性的动力学中的许多 现象都是由多值性导致的。例如分岔，跳跃，滞后，突变等。混沌是比分岔更 复杂的一种现象，倍化周期分岔往往是将出现混沌的前兆之一o ”。 混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过 一定时间后可导致系统运动过程的显著差别。这种对初始条件的敏感依赖性称 为初态敏感性”1 ( s 雠s i 晰i t vt oi n i t i a is t a t e ) 。 混沌还必须是往复的稳态非周期性运动，这是非线性系统的又一特征。在 无限时间历程中，确定性线性系统的非周期性运动( 即除了周期运动、准周期 运动和拟周期运动之外的运动) 都不是往复的稳态运动。如强阻尼线性振动趋 于静止，而无阻尼线性受迫振予共振时的运动发散到无穷。非线性系统则不 同，它可能存在往复而非周期性的运动。 混沌的另一特征是长期预测的不可能性，这又有别于完全不可预测的真正随 机过程。现实中的任何量都只能具有有限精度，无穷高精度在物理世界中是不 存在的。因而初值中必存在不确定因素。可以认为，具有初态敏感性的系统对 于初值误差的作用不断进行放大。随着时间的流逝，初始条件中的不确定因素 愈来愈起着作用。一段时间之后，决定运动的已不是初始条件中以有限精度给 定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，运动的预测便 不可能了。由于初态敏感性而不可长期预测，被形象地称为蝴蝶效应”7 3 ( b u t t e r f i v e f f c c t ) 。一个蝴蝶的振翅，导致大气状态极微小的变化，但在几天后，千里之 外的一场本来没有的大风暴发生了。蝴蝶效应是混沌的一个生动描述。 从混沌的初始敏感性的实例可以看出，1 0 4 量级的初始误差经过5 0 秒后扩大 武汉理工大学硕士学位论文 为1 0 0 量级的差别。继续计算确定性非线性系统的长期运动时间历程，看上去 这一完全类似于随机噪声”。 一般来说，混沌运动具有下面的特征： ( 1 ) 长期运动对初值的敏感依赖性，即长期运动的不可预测性。 ( 2 ) 运动轨线的无规则性。 ( 3 ) 宽的f o u r i e r 功率谱。 ( 4 ) 有分形结构的奇怪点集。对耗散系统有分数维的奇怪吸引子出现；对 保守系统亦有奇怪的混沌区( “胖分形”) 。 2 2 非线性动力学的分析方法 2 2 1m e l n i k o v 方法 ( 1 ) 分界线附近的运动 m e l n i k o v “”方法是一种典型的预测混沌的解析方法。理论研究表明，系统 出现横截同宿轨道( 首尾通过同一鞍点的相轨迹称作同宿轨道) 或异宿环时可 能产生混沌振动。m e l n i k o v 方法基于摄动分柝给出受小扰动的可积系统出现横 截同宿轨道或异宿环条件的解析条件，作为系统出现混沌的必要条件。m e l n i k o v 给出了一个判别可积系统受到耗散扰动时分界线( 联结鞍点的相轨迹称作分界 线) 附近出现混沌的准则，一般的h 锄i l t o n 扰动总是在环绕分界线的一个薄层 中引起混沌运动，但对于耗散扰动，分界线附近则不一定出现混沌。 考虑一个2 维非自治系统 z 一，恤) + 曙杠，f 并r 2 ( 2 3 ) 其中扰动部分f 是周期函数( 周期为d ，为小参数，r 2 代表2 维空间。假 设未扰系统x ；，( z ) 是可积的，并具有一个简单双曲不动点( 鞍点) 岛，则对 可积系统的分界线轨道pf f l 有 l i i i l x o g ) 昂 ( 2 4 ) 且在相空间中，分界线轨道分属双曲线鞍点尼的稳定流形和不稳定流形 阮，和矿例：其中一条稳定轨道矿“) 和一条不稳定轨道x “( t ) 光滑地相连接， 武汉理工大学硕士学位论文 形成一条闭曲线z 。；矽5 ( 最) n 。( 晶) ，闭曲线内有一个椭圆不动点。当系统受 扰时，相空间必须扩充为维r 2 s 1 ，我们可以方便地在p o i n c a r e 截面上研究系 统的运动。 对于h 锄i l t o n 扰动，如前所述，轨道一般总是相交的，并且导致无穷多同 宿点和混沌出现。 对于耗散扰动，情况则不一样，会出现三种可能情况：“”不稳定轨道永远位 于稳定轨道外面；不稳定轨道永远位于稳定轨道的里面：不稳定轨道和稳定轨道 横截相交导致无穷多同宿点。只有第三种情况才如现混沌运动。 ( 2 ) m e l n i l ( o v 方法 m e l n i k o v 方法是用摄动方法“”计算稳定流形之间和不稳定流形之间的距离 口来确定横截相交条件的，系统( 2 4 ) 鞍点的稳定和不稳定流形上的轨道为 工。4 0 ，f 0 ) * x o ( f 一气) + s 4 0 ，气) + o ( 2 ) ( 2 5 ) 譬，一+ g 仁。o 吨l f ) ( 2 - 6 ) 式中，( p ) 是在x o ( f f o ) 处f 的j a c o b i 矩阵，方程( 2 5 ) 解的差为 砘，0 ) 一石3 ) 一算”) z 爿) 一冀( f ，气) ( 2 7 ) 它是 时刻稳定和不稳定流形上两点之间的距离，将d 化u 投影到未扰轨 道，在t 时刻的点x 。( f f 0 ) 的法线上，( r ，岛) ( 一，2 ( x 。) ，五( x 。) ) ，就得到距 蕊炙d t t ，t 0 ： d 0 ，f o ) 一d 一， d - ， z i 一， ( 2 8 ) 式中“八”是楔积算子：x _ ) ，；一) ，：一屯y 1 。对( 6 ) 求导，运算，再积分，最后 得 d ) - 一巴， 础 ( 2 9 ) 写成详细形式，并引入下列定义： m e l n i k o v 函数等于一d ( 岛，乇) ，即 m ( f 0 ) z 巴，b 。0 一“) ) ng b 。0 一气i f 协 ( 2 1 0 ) 9 武汉理工大学硕士学位论文 计算硝或以检查它作为如函数的行为。如果它在某处改变符号，则出现了 同宿点( 无穷多个) ，这些同宿点形成了同宿轨道，从而受般( 耗散) 扰动的系 统出现了分界线附近混沌运动。 如果m ( f 。) 具有简单的零点，且与e 无关，则对于充分小的 o ，和旷( p ) 横截相交。如果r 如j 恒无零点，则5 ( 尸) n 彬。陋) = o 2 2 2 数值分析方法 对于非线性动力学混沌现象，数值研究不仅是求解问题的数值计算，重要 的是观察模型条件或参数条件改变时计算结果有何种相应的变化。数值研究【3 2 】 的过程一般包括3 个基本步骤：首先，明确数值研究目的，设计研究方案；其 次，选择数值计算软件或编制数值计算程序，上机计算；最后，对计算机输出 的数字或图形进行理论分析。 数值研究在非线性动力学中的突出作用是发现新现象，这已成为过去2 0 余 年非线性动力学发展的特点。数值研究还可以补充理论结果，使一些理论结果 定量化，或揭示有关条件不成立时发生的情况。数值研究还可以借助具体直观 的结果，为一般理论研究提供启示，激发灵感。数值研究还有检验理论结果的 作用，在非线性动力学问题研究中，数值计算往往可以是理论分析的最终检验。 需要指出的是，数值研究只能在有限精度下进行。即使不考虑建立模型本 身的误差，数值研究也不可避免地存在截断误差和舍入误差。数值运算，如积 分求解非线性微分方程等极限过程，都是强制性取有限项近似的，因而存在截 断误差。在计算机中无限多位的实数是通过有限位的截尾数来近似的，因而存 在舍入误差。计算结果受到截断误差和舍入误差的影响称为计算机噪声“。 在研究混沌等非线性动力学问题时，需要考察长期的动力学行为，因而必 须计算连续时间变量动态系统大时间尺度的积分过程，或离散时间变量动态系 统的许多映射步数。计算结果的可靠性成为数值研究的关键性基础问题。理论 分析表明，计算机噪声对动力学行为的影响往往是可以忽略的。 在实际数值研究中，计算机噪声对动力学行为的影响，通常可以通过改变 计算精度、积分步长和计算方法加以考察。 2 3 混沌现象的数值识别 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 1 相平面图和p o i n c a r e 截面 在纵坐标为速度及横坐标为位移的相平面“”上，可作出随时间t 而变化的 轨线，如果在相平面图上出现闭轨线，则系统存在周期解：当经过无数个循环，无 法获得封闭的轨线，这时系统可能产生混沌运动。 对于含多个状态变量的自治微分方程系统，可采用p o i n c a r e 截面法进行分 析。其基本思想是在多维相空间( x ，d x ，d t ，x bd x z d t ，x 。，d x 。d t ) 中适当选 取一截面，在此截面上某一对共轭变量如( x 。d x d t ) 取固定值，称此截面为 p o i n c a r e 截面“。观察运动轨迹与此截面的截点( p o i n c a r e 点) ，设它们依次 为p 。，p ，p 。，。原来相空间的连续轨迹在p o i n c a r e 截面上便表现为一些 离散点之间的映射p 。_ t p n 。由它们可得到关于运动特性的信息。系统经过连续 的映射可以在p o i n c a r e 截面上观察到不同形式的相点或相轨线，依据其拓扑性 质可以判别系统出现周期l 的运动，周期k 的运动，拟周期运动或混沌运动。在 p o i n c a r e 截面所出现的孤立点或有限个( k 个) 孤立点，闭曲线和分布在一定区域 上的不可数集，可以分别表示系统的周期l 或周期k 的运动，拟周期运动和混沌 运动。 混沌的往复非周期特性可以利用相平面图的几何方法表示出来。周期运动每 隔一个周期就要重复以前的运动，即存在常数t 满足x ( t ) = x ( t + t ) ，这时易证 膏o ) 一量o + r ) ，故周期运动的相轨迹曲线是闭曲线。混沌不具有周期性，因而混 沌振动的相轨迹曲线是不封闭的曲线，而运动的往复性则反映在相轨迹曲线局 限于一有界区域内，不会发散到无穷远。 当周期运动的周期很长时，仅根据相平面图难以区分周期运动和混沌。 p o i n c a r e 映射能更好地刻画混沌的往复非周期特性。如果p o i n c a r e 映射既不是 有限点集也不是封闭曲线，则对应的运动可能是混沌。再进一步区分，如果系 统没有外部噪声扰动又有一定阻尼，p o i n c a r e 映射的结果将是具有某种细致结 构的点集。如果系统受外噪声扰动或阻尼很小，p o i n c a r e 映射的结果将是模糊 一片的点集。这里所称的细致结构是指相继将点集某一局部放大后都具有与整 体类似的几何结构。也就是说，确定性有阻尼系统混沌运动的p o i n c a r e 映射， 具有自相似结构的点集。由于p o i n c a r e 映射的分辨率高于相平面图，故p o i n c a r e 映射更经常被采用“”。 1 1 武汉理工大学硕士学位论文 2 3 2 频谱分析 频谱分析“。应当与p o i n c a r e 点集的观察结合起来进行。频谱分析的是点映 射产生的一个离散点列，或微分方程的解在不同时刻的值构成的一个离散点列 ( 不一定是点p o i n c a r e 集) ，采用的方法是f o u r i e r 分析。 当我们对拟周期“”和混沌运动进行f o u n e r 分析时，事实上只能取有限个点， 或者说一个有限长的样本过程。由于对混沌运动的了解还很少，这种假设的可靠 性还是有疑问的。实用中尽可能的取较长的样本过程，以减少误差。样本过程 f o u r i e r 的展开式可写成： 一础。i 羹巳j l 心_ 1 1 ) r 。 2 * 1 其中诸系数可用离散变换求得为： c ，一言副科e 。等 功率谱表示随机运动过程在各频率成分上的统计特性，是研究随机振动的 基本工具。对子给定的随机信号，可以采用标准程序软件计算或专用频谱分析 仪器测定其功率谱。为描述混沌的随机性，可以应用研究随机振动的频谱分析 方法识别混沌。通常假设混沌是各态历经的，即时间上的平均量与空间上的平 均量相等。 周期运动的f o l l f i e r 展开式只有相应频率的一项，其离散功率谱中也只有相 应的一项不为零，因此功率谱中只在其运动频率及其分频和倍频处出现离散的 谱线。准周期运动的功率谱是在几个不可通约的基频及它们的叠加处的离散谱 线 2 3 3l y a p u n o v 指数 混沌动力学系统的性质，通常采用l y a p u n o v ( 李雅普诺夫) 指数“8 和熵来 刻画。 l y a p u n o v 指数定量地描述了相空间中相邻轨道呈指数发散的性质。若 l y a p u n o v 指数九为正，则表示相邻轨道发散，说明系统具有混沌特性；若 为 负，则表示系统处于稳定状态，收敛于不动点临界状态。总之，l y a p u n o v 指数 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 的正、零和负的指数分另b 表示系统是混沌的、周期的和基本稳定的状态。 定义： o ) = 去善1 n d 。 ( 2 1 3 ) 行f 亡r 对于较小的r ，可证明a 。；l i m 九一 ，存在并与r 无关。 为刻画混沌运动过程中的初态敏感性，可以引入l y a p u n o v 指数。 2 3 4 分岔图 分岔图“”是以状态变量和分岔参数构成图形空间，表示状态变量随参数的 变化。当系统运动为周期运动时，分彷图上表现为1 条或k 条随参数变化的曲 线，当系统作混沌运动时，分岔图上表现为对应一个参数出现许多点。 首先将系统咖1 离散成p o i n c a r e 点映射系统： ) ，i + l4 9 抄j j ( 2 1 4 ) 相应的p - n 周期运动的系列不动点应满足下面的离散格式： _ ) ，+ l 。y 。( y 1 ) ，m ；1 2 ，“，n 一1 ( 2 1 5 ) 且 y i 。g ”( _ ) ，f ) ，fi 墉，n ( 2 1 6 ) 然后利用胞映射法求系统的p n 周期运动的吸引域，从而判别出各种周期运动 的稳定性，得到系统关于参数的分叉圈。 2 4 判断混沌出现的主要方法 目前判断或预告混沌出现的主要方法4 ”有： ( 1 ) 利用数值计算结果去观察运动轨线和奇怪吸引子结构的不规则性。 ( 2 ) 利用数值方法得到功率谱，如果有连续功率谱，则认为混沌出现。 ( 3 ) 利用p o i l l c 盯e 映射，把连续动力系统化为离散动力系统去研究，如果 p o i n c a r e 映射的结果不是有限点集或简单闭曲线，混沌就可能存在。 ( 4 ) l y a p u n o v 指数是用来度量运动对初值的敏感程度的量，它们一般要靠 数值方法计算。系统的l y a p u n o v 指数的个数通常等于相空间的维数，最大 l y a p u n o v 指数大于零可作为混沌存在的一个重要判据。 武汉理工大学硕士学位论文 ( 5 ) 对于耗散系统，确定吸引子及其吸引子域边界的维数有助于判断吸引 子的“奇怪性”。具有分数维的吸引子及吸引域边界的出现通常是混沌的重要 特征。 ( 6 ) 测度熵或拓扑熵是衡量系统的信息量在运动过程中变化的量。如果测 度熵或拓扑熵大于零，就认为系统是混沌的。这些熵。”可以通过数值方法计算。 ( 7 ) 如果稳定流形和不稳定流形横截相交，就会存在s m a l e 意义下的混沌。 对二维扰动h a m i l t o n 系统可用m e l i k o v 函数法去估计混沌出现的阈值，对高维 扰动h a m i i t o 系统亦有一些推广。 ( 8 ) k a m 定理表明，在非菸振条件下，可积h a m i n o n 系统运动的定性图 像与末受扰系统基本相同；此时除少数的随机运动外，绝大多数运动仍然留在 k a m 环面上。然而当k a m 定理的条件不满足时，k a m 环面的破坏会导致显 著的混沌行为。 ( 9 ) 符号动力系统法是一种研究混沌的严格方法，并可以通过数值计算来 实现。它根据移位不变集的存在去判断系统的混沌行为，目前已成功地用于由 一维映射或某些常微分方程描述的系统的混沌和吸引子特性的研究。 ( 1 0 ) 胞映射法在动态分叉，尤其是在混沌研究中也是一种很有效的方法。 应当指出，由于现在人们对混沌概念尚未取得完全的共识，而且有时用不 同方法判断的结论是有差别的，因此最好同时采用多种多样的方法进行研究。 从规则运动通向混沌的道路是多种多样的，它们与分叉现象密切相关。目 前已发现的主要道路有： ( 1 ) 倍周期分叉道路规则运动可经过周期不断加倍的分叉过程，最终进 入混沌状态。 ( 2 ) 准周期分叉道路一种是平衡一周期运动一准周期运动一混沌的道 路，即平衡状态经过三次h o p f 分叉就导致混沌。另一种是准周期运动一锁频( 周 期) 运动一混沌的道路。 ( 3 ) 阵发混沌道路阵发混沌是一种时而规则，时而混乱的运动状态。规 则运动可经过阵发混沌的中间过程转变为混沌运动。 ( 4 ) k a m 环面破坏是在h a m i l t o n 系统嘲1 中产生混沌的重要途径。 除了上述较常见的通向混沌的道路之外，还发现其他可