（地质工程专业论文）土坡稳定性分析二维通用极限平衡法研究.pdf

摘要 极限平衡法是边坡稳定分析中应用最广泛的方法，其基本思想是假定边坡内存在一 个潜在的滑动面，该面上土体处处达到了极限平衡状态，按极限平衡理论分析滑体的受 力。该法引入了一些简化假定，使本质上超静定的问题变得静定可解。由于简化条件不 同，产生了十多种方法，一些方法在理论上已很完善。但各种方法表达形式多样，在不 同程度上满足力的平衡条件。本文从极限平衡法的基本理论和概念出发，建立一种通用 的极限平衡法，该方法在特定条件下可导出其它方法。主要开展了以下研究： ( 1 ) 潘家铮提出的极小、极大值原理是边坡稳定性分析的基本准则，这两条原理是工 程实践中总结出来的，也应有理论上的依据。潜在滑动面的确定利用了极小值原理，本 文通过以简例验证了这一点；但是极限平衡理论对刚体进行分析时，不一定能得到物理 上合理的极大值；极大值的是土体通过塑性变形的调整发挥出来的。 ( 2 ) 从满足的平衡条件、求解的参数及其解收敛性等，分析了各种常用极限平衡条分 法，将其分为四类，第一类方法既满足力的平衡，也满足力矩平衡，能获得条间力和稳 定系数的收敛解；第二类方法只满足一个方向力的平衡和力矩平衡，只能求得稳定系数； 第三类方法既满足力的平衡，也满足力矩平衡，但不是严格的静定问题，解的收敛性差； 第四类方法满足两个方向力的平衡，不满足力矩平衡，可求得稳定系数和条问力的大小， 不能求得条间力方向。 ( 3 ) 在深入分析已有方法的基础上，提出了一种适用于任意形状滑动面的通用极限平 衡法，该法将现有极限平衡条分法对条间力的假定表示成统一形式，分别建立了基于静 力平衡和对平面内任一点的力矩平衡的稳定系数的数值积分公式，同时根据工程实践要 求，建立了任意横断面处的下滑力及其作用点位置的计算公式，并从本法的基本方程出 发，推导出各种常用的极限平衡法，从而将其纳入到本文的通用法中。 似) 将本课题组提出的对均质土坡最危险圆弧滑动面的搜索方法，拓展到对一般土坡 组合滑动面的搜索上，如对多层土构成的边坡，具有软弱夹层和坚硬基底的边坡可能形 成的组合滑动面等情况。针对本文提出的方法设计了相应的算法，采用s u a lb a s i c 语 言编制了程序，通过算例计算与比较分析，表明本方法的计算结果是可靠的。 关键词：边坡；二维；极限平衡法；稳定性；潜在滑动面 a b s t r a c t t h el i m i te q u i l i b r i u ma p p r o a c hi st h e e a r l i e s ta n dm o s te x t e n s i v em e t h o di nt h e a p p l i c a t i o no ft h es l o p es t a i b i l i t ya n a l y s i s ，i t sb a s i ci d e ai st oa s s u m e as u r f a c ew h i c hi sl i k e l y t of a i la n dt r yt of i n das t a t eo fs t r e s sa l o n gt h es u r f a c es ot h a tt h e 仃e eb o d yi s i ns t a t i c e q u i l i b r i u m t h em e t h o dm a k e ss o m ea s s u m p t i o n si n o r d e rt om a k et h eq u e s t i o nt h a ti s i n d e t e m i n a t ei nn a t u r et ob e s o l v e d b e c a u s eo fd i 骶r e n ta s s u m p t i o n s ，t h e r ea r es e v e r a l m o t h o d s ，s o m eo ft h e ma r es a t i s f a c t o r yi nt h e o r y v r a r i o u sm e t h o dh a v ev a r i o u se x p r e s s i o n ， a n ds a t i s f yf o r c ee q u i l i b r i u mc o n d i t i o n si nv a r i o u sd e 伊e e s b a s e do nt h el i m i te q u i l i b r i u m t h e o r y 锄dc o n c e p t i o n ，t h i st h e s i ss u g g e s t san e wc o m m o nl i m i te q u e l i b r i u mm e t h o dw h i c h c a nd e d u c e0 t h e rm e t h o di ns o m eg i v e nc o n d i t i o n s t h es t u d yi sm a i n l ya sf o w l l o w s ： ( 1 ) p a nj i a z h e n g sm i n i m a la n dm a x i m a lp r i n c i p l ei st h eb a s i c1 1 j l e i ns l o p es t a b i l i t y a n a l y s i s t h e ya r es u m m e du pf m me n g i n e e r i n gp r a c t i c e ，a n dh a v et h e o r yf o u n d a t i o n t h e m i n i m a lp r i n c i p l ei su s e dt of i n dt h ec r i t i c a ls l i ps u r f a c e ，a si sv a l i d a t e di nt h i sp 印e r w h e n w ea n a l y s er i g i db o d yw i t ht h et h e o r yo fl i m i te q u i l i b r i u m ，w ed on o to b t a i na l w a y s r e a s o n a b l em a x i m a lp r i n c i p l ei np h y s i c s ，a n dt h em a x i m a lv a l u ei st h er e s u l to fs o i lp l a s t i c i t y d e f b 加a t i o n ( 2 ) t h o r o u g h l yc o m m e n t i n gt h et y p i c a lm e t h o do fs l i c e sf 如mt h e i rs a t i s f i de q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s ，c a l c u l a t i o n a lp a r a m e t e ra i l dt h e i rc o n v e 玛e n c e ，t h et h e s i ss o r t e st h em e t h o d si n t o f o u rk i n d s t h ef i r s ts a t i s f i e sa uk i n d so fe q u i l i b r i u mc o n d i t i o n s ，c a no b t a i ni n t e r s l i c ef o r c e a i l dt h ef a c t o ro fs a f e t y t h es e c o n do n l ys a t i s f i e so n ed i r e c t i o n a l f o r c ee q u i l i b r i u ma n d m o m e n te q u i l i b r i u m ，m e r e l yo b t a i n st h ef a c t o r0 fs a f e t y t 1 l et h i r ds a t i s f i e sf o r c ea n dm o m e n e q u i l i b r i u m ，b u ti t i sn o tr i g o r o u ss t a t i cq u e s t i o na n dh a ss l o wc o n v e 玛e n c es p e e d t l l ef o u n h s a t i s f i e sf o r c ee q u i l i b r i u mo ft w od i r e c t i o n s ，n o tm o m e n te q u i l i b r i u m ，a n dc a ng e tm a g n i t u d e o fi n t e r s l i c ef o r c ea n dt h ef a c t o ro fs a f e t y ，n o td i r e c t i o no fi n t e r s l i c ef o r c e ( 3 ) b a s e do na n a l y z i n gf o m e rm e t h o d st h o r o u g h l y an e wg e n e r a l i z e dl i m i te q u i l i b r i u m m e t h o dw h i c hi ss a t i s f i e da r b i t r a r ys l i d i n gf a c ei sp r o p o s e d t h em e t h o d ，i nw h i c ht h e i n t e r s l i c ef o r c ei sa s s u m e da su n i f o mf o 肌，e s t a b l i s h e sn u m e r i c a l i n t e 伊a lf o r m u l ao fs a f e t y f a c t o rr e s p e c t i v e l yb a s e do nt h ef o r c ea n dm o m e n te q u i l i b r i u ma n dt h ef o 咖u l ao fs l i d i n g f o r c ea n di t sp o i n to fa p p l i c a t i o na ta r b i t r a r yt r a n s e c tt os a t i s f yt h ea c t u a lp r o j e c tr e q u i r e m e n t s i i w h a ti sm o r e ，f r o mt h eb a s i ce q u a t i o n ，t h em o t h o dd e d u c e sa uk i n d so fl i m i te q u i l i b r i u m m o t h o d s ( 4 ) d e v e l o pt h em e t h o dt h a ti so u rt a s kg r o u p sp r e v i o u so u t c o m ei ns e a r c ho ft h e d e t e m l i n a t i o no ft h es i m p l ys l o p 、sc r i t i c a ls l i ps u r f a c et oc o m m o ns l o p 、sc o m p o s i t es u r l a c e ， s u c ha ss e v e r a ls o i l so rw i t hw e a ki n t e r l a y e r t ba b o v e m e n t i o n e dn e wg e n e r a l i z e dl j m i t e q u i l i b r i u mm e t h o d ，ap r o g r 锄i sd e s i g i l e du s i n g s u a lb a s i cl a n g u a g ea n ds o m ee x a m p l e s a r ec o m p u t e db yt h i sp r o 孕a m i ti si n d i c a t e dt h a tt h e s er e s u l t sa r ec r e d i b l eb yc o m p a r i n g t h e s er e s u l t sw i t ho t h e rr e s u l t sw h i c hc o m p u t e db ys 1 0 p ep r o 伊a m 】y w o r d ：s l o p e ；s t a b i l i t y ； l i m i te q u i l i b r i u mm e t h o d ；s t a b i l i t y ；p o t e n t i a ls l i d i n gs u r f a c e 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论 文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成 果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：耆7 巧2 乙附莎年易月2 日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属学校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请 专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的 学术论文或成果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：曾耀瑚；年莎月2 日 导师签名： 绷勃 移6 年6 其猡， 1 1 极限平衡法研究现状 第1 章绪论 边坡稳定分析是土力学中的一个经典的领域，而极限平衡法则是边坡稳定分析方法 中应用最早、最广泛的方法。该法以m o h r c o l u m b 强度理论为基础，通过分析土体在 破坏那一刻的静力平衡来求得问题的解。它没有像传统的弹、塑性力学那样，引入应力 一应变关系来求解本质上为静不定的问题，而是引入了一些简化假定，从而使问题变得 静定可解。这种处理，使方法的严密性受到了损害，但对稳定性计算结果的精度影响并 不大，由此带来的好处是使分析计算工作大为简化，这也是迄今国内外对边坡稳定问题 的分析仍广泛采用极限平衡法的原因所在。 目前国内外常用的极限平衡法主要有f e i i e n i u s 法f 1 1 、简化b i s h o p 法f 2 】、 m o 培如s t c m p r i c e 法【3 l 、s p e n c c “1 9 6 7 ，1 9 7 3 ) 法【4 】1 5 】、s a m a ( 1 9 7 3 ) 法【6 】、j 柚b u 法( 1 9 7 3 ) 【7 】 和国内常用的推力传递法【g j 等。本文首先在此对这些方法做一概述。 ( 1 ) f 钒l e n i u s 法 f e l l e n i u s 法又称瑞典圆弧法，假定滑动面为圆弧，是条分法中最古老而又最简单的 方法。由于不考虑条间力的作用，严格地说，对每个土条力的平衡条件是不完全满足的， 对土条本身的力矩平衡也不满足，仅能满足整个滑动土体的整体力矩平衡条件。由此产 生的误差，一般使求出的稳定系数偏低1 0 左右，而且这种误差随着滑动面圆心角和孔 隙压力的增大而增大。 ( 2 ) 简化b j s h o p 法 该法也只适用于圆弧滑动面。与瑞典圆弧法相比，它是在不考虑条块间切向力的前 提下，满足力的多边形闭合条件。也就是说，隐含着条块间水平力的作用，虽然在它的 计算公式中水平作用力并未出现。很多工程计算表明，该法与满足全部静力平衡条件的 方法，如j a n b u 法相比，结果甚为接近。由于计算过程不很复杂，精度也比较高，所以， 该方法是目前工程中很常用的一种方法。 ( 3 )m o r g e n s t e m p i i c e 法 m o r g c n s t 啪- p r i c e 法适用于任意形状的滑动面，满足所有的极限平衡条件，其对多 余未知数的假定并不是任意的，符合岩土的力学特性，是极限平衡法理论体系中的一种 严格方法。它在数值计算中具有极好的收敛特性，因此被认为是对土坡进行极限平衡分 析计算的最一般的方法。 ( 4 ) s p e n c e r 法( 1 9 6 7 ) 该法适用于任意形状的滑动面，假设条间合力倾角为常数，可视为m o 唱c n s t e m p r i c e 法中俺) = 1 的特例，也可获得严格解。 ( 5 ) s 蛐a 法( 1 9 7 3 ) 该法适用于任意形状的滑动面，可得严格解。它采用假想的临界水平地震加速度k 作为衡量土坡稳定程度的标准而使f s = 1 ，这样可以不用试算或迭代，使计算工作大为简 化。如果疋s o ，则只s 1 ，土坡是不稳定的，反之土坡就是稳定的。但是，由于缺少 使用这个方法的经验，而且目前还没有找到恐与r 之间的定量关系，这就影响了该法 的广泛使用。 ( 6 ) j a n b u 法( 1 9 7 3 ) j 锄b u 于1 9 7 3 年在其简化法( 1 9 5 4 ) 的基础上，提出了同时满足力和力矩平衡的“通 用条分法”，这一方法区别于其他方法的一个重要方面是通过假定土条侧向力的作用点 位置而不是作用方向来求解稳定系数。该法是第一个基于任意形状滑动面且考虑滑体所 有平衡条件的边坡稳定系数计算方法，提出伊始，因其严格简明而很快在国际岩土工程 界广泛应用。但是，大量工程应用表明，该法存在着严重的不收敛问题【9 1 ，特别是条块 划分过密如1 0 0 块以上，简单均质土坡的稳定系数计算收敛性都难以保证。 f 7 ) 不平衡推力传递法 该法适用于任意滑动面，只通过静力平衡来使问题得解，因此是一种简化法。它假 定条间力合力作用方向与水平线夹角等于土条底部倾角a i 。但是，一般来说，滑动面 两端的a 是很陡的，该法在靠近坡顶的土条假定鼻= 口在物理上是不合理的；而且当遇 到有软弱夹层问题时，假定鼻= a 会导致稳定系数偏大9 1 。但该法因为计算简洁，所以 还是为广大工程技术人员所乐于采用，成为目前我国水利、交通在核算滑坡稳定时普遍 使用的方法，在进行支护设计时也常用它求出土条间的作用力。 早期的极限平衡法限于手工计算，大都采用条分法作为计算方法，即将滑体划分成 若干土条，建立作用在这些土条上的静力平衡方程来求解稳定系数。但是条分法的计算 过程是繁琐的，并且人工分条对计算结果的精度也是有一定影响的。分条宽度大，则计 算结果误差大；分条宽度小，计算结果误差小，但计算工作量加大。 近二十多年来，随着计算机和数值分析技术的发展，人们开始研究各种极限平衡方 法的数值算法【1 0 】【1 4 】，并在此基础上研究边坡稳定分析的通用极限平衡法 1 5 1 【2 1 】，试图 一2 将所有的条分法纳入到统一体系中。代表性的成果有普遍极限平衡法( g l e 法) 【2 2 1 和 陈祖煜的通用条分法【”。 g l e 法根据静力平衡和力矩平衡分别建立了条间力的递推公式和条间力作用点位 置的递推公式，结合相应的边界条件，基于r 印i ds o l v e r 法进行求解。该法仍需人工分 条，求解速度与精度较低。 陈祖煜的通用条分法改进了m o r g e n s t 锄p r i c c 法，根据微条上的力和力矩平衡，结 合相应的边界条件，推导出静力微分方程的闭合解，是目前较为完备的通用条分法。但 是，该法采用基于变分原理基础上的数值计算方法，一般工程技术人员难于理解，同时 计算中需要用到根值附近的导数值，编程复杂。 1 2 本文工作基础 近年来本课题组直致力于极限平衡法中的具体问题研究，针对各种模型改进其算 法，以便于程序实现。赵剑丽【2 3 l 针对均质土坡( 直线坡面) 推导了瑞典圆弧法的稳定系 数的积分解析公式，并考虑后缘拉裂的情况，编制了相应的v j s u a lb a s i c 程序；邓宏科1 2 4 1 在其基础上建立了任意坡面形状、剪出口不在坡脚的均质土坡模型，提出了最危险滑动 面的搜索方法，针对瑞典圆弧法编制了相应的程序。 1 2 1 积分取代条分思想的提出 条分法的缺点是显而易见的：人工分条带有很大的随意性，而且分条宽度、条数对 计算精度是有影响的；在搜索最危险滑动面时，每给定一个滑动面都要重新确定分条的 边界、高度、宽度和分条数目等参数，而且要反复试算，存在不确定性，具体计算过程 极为繁琐。因此，条分法只是早期手工计算的需要，随着计算机与计算技术的发展，采 用精度更高、更为合理的数值积分取代条分己成为必然。 赵剑丽通过大量算例分析，表明采用条分法时，分条的宽度不同，计算得到的k 值 就不相同；当分条的宽度越来越小时，条分法计算得到的k 值越来越逼近于积分法计算 得到的k 值。说明解析算法计算结果比条分法计算结果更精确更合理。 对于滑动面为光滑曲线的情形，比如圆弧滑动面，当土条宽度6 取很小，即6 一o 时， 根据积分的定义，可直接将条分法中的求和改写为积分的表达式；对于滑动面存在转折 点( 不可导点) 时，可采用分段积分。 1 2 2 最危险滑动面的搜索 一般情况下，土坡的最危险滑动面是未知的，边坡稳定性评价需要在一系列可能的 一1 滑动面中找到稳定系数最小的滑动面。文献1 2 5 针对简单土坡圆弧滑动面提出一种简洁有 效的搜索方法。 如图1 所示，首先假定滑动面与地面线的交点为o 、b 。过b 点作铅垂线b c ，实 际情况下，滑动面圆弧不可能凹进铅垂线b c 右侧，故此过o 点和b 点并与b c 线相 切的圆弧b c ，d 为滑动面圆弧的下限位置，当切线b c 向左移动靠近o 点时，与其相切 的圆弧贴近0 b 线，圆心在无限远处，即弦线o b 为滑动面圆弧的上限位置。过b 点作 斜线b d ，o d 的距离为f ，过o 点、b 点和以b d 为切线可以唯一确定个圆弧肋，d 。 当f 在区间( o ，0 上取值时，圆弧曰d ，o 在o b 线和丑c d 弧之间变化。由此圆弧b d ，0 可 以表示成o 、b 点的坐标和f 的函数，若认为o 、b 点固定，则该圆弧滑动面的稳定系 数为f 的一元函数。令的导数七( f ) = o ，可得t 的极小点位置f = f o ，由所确 定的圆弧即为与o 点、b 点对应的最危险的滑动面，七( 妨为其稳定系数。 o ( 0 图l 简单土坡最危险滑动面搜索示意 计算时，0 、b 点预先给定。先固定0 点，当b 点从坡顶点a 开始向坡后移动时，可 以设想对于b 的每一个位置，都可以获得相应稳定系数的极小值，在这些极小值中可得 到一个最小值。然后再给定一个新的。点，重复以上过程，求得新的最小值，从而确定 最危险滑面的位置。 1 3 本文的研究内容 本文首先对土坡稳定性分析的二维极限平衡法进行了系统的归纳与分析，在此基础 上提出了一种通用的极限平衡法。具体内容有： ( 1 ) 通过具体实例的计算分析，验证潘家铮提出的滑坡极限分析的极小、极大值原 d j 堑。 ( 2 ) 从各种极限平衡条分法的假定条件和满足的平衡方程入手，分析它们的特点和 局限性。 t ( 3 ) 针对二维土质边坡，提出适用于任意滑动面的通用极限平衡法。 本文首先将现有极限平衡条分法对条间力的假定表示成统一形式，通过分析微分土 条的受力，分别建立基于静力平衡和对平面内任一点的力矩平衡的稳定系数的数值积分 计算公式，同时根据工程实际要求，建立任意横断面处的下滑力及其作用点位置的计算 公式。 ( 4 ) 根据文献【2 1 l 的思路，提出具有软弱夹层的土坡最危险滑动面的搜索方法。 ( 5 ) 针对均质土坡和具有分层情况的非均质土坡模型，编制通用极限平衡法的算法 及相应的计算程序，并结合算例进行计算与分析。 s 一 第2 章极限平衡法若干问题的探讨 2 1 极小值和极大值原理 潘家铮【2 6 】于1 9 7 7 年针对空间滑坡提出了滑坡极限分析的两条基本原理，即极小值 原理和极大值原理，他认为： a 滑坡体如能沿许多个滑面滑动，则失稳时它将沿抵抗力最小的一个滑面破坏； b 滑坡体的滑面确定时，则滑面上的反力( 以及滑坡体内的内力) 能自行调整， 以发挥最大的抗滑能力。 换言之，对于不同的滑面，真正的破坏面将是其中稳定系数最小的那个面。而在同 一滑动面上各种不同的反力分布中，失稳时真正出现的反力，将是使稳定系数取最大的 那一组分布。 本文建立了简单的刚体模型，采用不平衡推力传递法进行计算，试图验证该原理。 2 1 1 极小值原理的验证 如下图所示，线段a c d 为坡面线，线段a b d 为滑动面。假设a b 为基岩面，则土 体必定沿a b 滑出，b 点可能有如图所示的两种位置： 由上图，有： 对图2 ( 1 ) ，有： 对图2 ( 2 ) ，有 ：二! = = ! 。 ( 1 )o x l l x l ( 2 )l x 2 l 图2 块体滑动模型 t a n a ：l 2 一x ：三拶2 ；昙r 也2 + 蹦一x2 ) 6 一 暇= r 仁2 + 三z z2 ) ；y 虹一2 ) 式中y 为土的重度，其它各符号意义见图2 。 假设条间合力方向与水平线夹角为卢，令卢一口，本文采用不平衡推力传递法对模 型进行计算，寻找稳定系数最小的滑动面。 建立铅垂、水平方向静力平衡方程： 对条块1 ： 稳定系数定义为： 1c o s 口+ 正s i n a 量一p s i n 口 1s i n a 一写c o s 口一p c o s 口 k ：些! 竺! 型! ! 竺尘 z j 联立式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) ，解得： 1 = 暇c o s 口 五；s i n a p 将式( 2 1 5 ) 和式( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 4 ) 中，得： 对条块2 ： k ：堕! ! ! 竺竺竺竺! 竺壁 s i n 口一p 2 ；+ p s i n 口 l = p c o s 口 k ；堕些! 翌生 乏 将式( 2 1 8 ) 、式( 2 1 9 ) 代入式( 2 2 0 ) ，整理得： k ：些咝型翌竺! ! 塑生 p s a 将上式改写为条间力尸的表达式： 7 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) p ：，堕堡塑生； i k c o s 口一t a n 驴s i n aj 将式( 2 2 1 ) 代入式( 2 1 7 ) ，整理得： 如三塑笔高舞卜 即劬一蠢篆品 等式右边分子、分母同乘以k c o s 口一t a n 毋t 粕口，得： 矿吐s e c 口憾c o s 口一t a n 妒s i n a ) + c o s 口僻c o s a 一伽1 庐s i n d ) t a n 庐 。1 两忑画忑i 面面司了瓦瓦面万一 将上式表达为稳定系数k 的一元二次方程的形式： s i n a s 斌2 一限t a n 庐+ 缸+ 切n 庐) + 吐k + 吐t 姐口t 壮妒+ c o s 口s i i l a t a n 2 妒暑o 令： 彳z 瞩s i n 口c o s 卢 曰孵t a i l + ( 醴+ 职t a l l 妒) + 吐1 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) c ；c j l t a n a t a n + 暇c o s 口s j n 口t a l l2 妒( 2 2 6 ) 则式( 2 2 3 ) 化为k 的一元二次方程： 肛。+ 麒+ c = 0 ( 2 2 7 ) 上式左侧为一抛物线方程。显然，系数爿是大于零的，因此，必然存在一个k 的极 小值。 本文编制了e x c e l 电子表格进行计算，给定不同的x 值，解得相应的稳定系数k 值。 绘制x k 的关系图表，如图3 所示。其中取c = 1 0 删2 、妒= 1 0 。、y = 1 讲m 3 、 工墨1 0 m 。 从图3 可以看出，当j ，- 1 7 m 1 8 m 之间，稳定系数，取得极小值o 8 3 1 3 。 由此，极小值原理得到验证。 8 0 8 4 0 0 0 8 3 8 0 f o 8 3 6 0 0 8 3 4 0 o 8 3 2 0 0 8 3 0 0 ， z 7 一 - - r 0 511 522 53j 图3j 与，的关系曲线 2 1 2 极大值原理的讨论 文献1 2 2 l 建立了一个由两个滑动面构成的空间滑坡体模型，用以讨论极大值原理。 a 图4 为用垂直于棱线的平面和滑体相截的断面图。滑 体沿棱线下滑，b 点为滑动棱线上的一点，a b 、b c c 为两侧的滑动面。 我们将滑体重量分解为平行于棱线的下滑力r p 和垂直于棱线的分值，再将分解为两个滑面上的 图4空间滑体模型 反力p 1 、p 2 。 我们知道，分解为分力、丁的解答是唯一的，即： = c o s 芦( 2 2 8 ) r = s i n 卢( 2 2 9 ) 其中口为滑体坡角，即棱线与水平面的夹角。 而分为两个滑面上的反力是不定的。假设p 1 、p 2 与法向力的夹角分别为b 、口：， 则有： 置= 嵩 只；嵩 将p 1 、p 2 再分解为沿滑面方向的切向力丁和法向力： 1 = 弓0 0 s k 。一岛) 正一只s i n ( 口，一吼) 一9 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ：= 只c o s 仁：一日：)( 2 3 4 ) 疋= 最s i l l 扛：一岛)( 2 1 3 5 ) 为了方便起见，我们给定c i o ，则： 对滑面，能提供的最大切向力为1t a n 噍，则该滑面能提供的最大抗滑力r 1 有： 墨一( 。t 卸唬) 2 一五2 ( 2 3 6 ) 同理，对于滑面，有： r ：；( ：，2 ) 2 一巧( 2 3 7 ) 其中，唬、晚分别为滑面、的内摩擦角。 因此，该滑坡体的稳定系数k 为： k 。鲁；譬墨 ( 2 3 8 ) rr 、7 本文编制了e x c e l 电子表格进行计算，取，1 = ，2 ，即死；欢= 妒。计算结果表明： 保持岛不变，改变口：；或者保持口：不变，改变岛都能得到相应的稳定系数k 的极大值。 图5 为给定岛一2 0 。( 取芦一5 。，庐= 。，a ，= 3 0 。，a ：= 0 ) ，变动q 所得到的b k 关系曲线，图中可以看出，当q = 5 1 。时，k 取得最大值1 2 5 7 5 。 1 8 0 l _ 6 0 1 4 0 冒1 - 2 0 l _ 0 0 0 8 0 0 6 0 0 4 0 ，一、 02 0 4 0 6 08 0日1 图5口l 与量的关系曲线 表1 为给定口，= 3 0 。，不同a ：下，保持日：不变，变动吼所得到的k 的极大值统计 表( 取卢= 4 5 。，妒= 5 0 。) 。从表中可以看到，对于一组特定的口。、a ：( 即确定滑动面) ， 总能从各组( 疗，日：，k 。) 数据中找到k 的极大值，换句话说极大值应该是“极大中的极 大”。如表中所示，给定滑动面a 。= 3 0 。，a ：= o 。时，滑动面上的反力调整到q = 5 l 。、 一1 n 一 表l 稳定系数k 的极大值统计表 a 1 a202 e lk 。 1 05 01 2 4 0 5 2 05 11 2 5 7 5 0 3 05 01 2 4 3 7 4 04 6 1 1 8 4 0 5 01 6o 9 4 8 2 1 0 4 4 1 1 5 8 3 3 02 05 51 3 3 6 1 3 06 11 4 8 3 7 4 06 41 6 1 4 8 3 0 5 06 71 7 3 5 6 6 06 9 1 8 4 1 9 7 0 6 91 8 9 5 8 8 05 8 1 3 8 6 0 是不合理的。 a 反= 2 0 。时，稳定系数k 取得极大值1 2 5 7 5 。 如上所述，确定滑动面后，我们仅仅根据 不同的分解方式( 即反力的不断调整) 求得 了稳定系数k 的极大值，其间并没有涉及到边 坡的形状。显然，如果该极大值真的存在的话， 它所对应的力的分解形式对于任意边坡形状 都应该是合理的。但是稍加分析我们便发现了 不合理的情况。如图6 所示，其中，法向力 的作用点d 为滑体的重心。滑面a b 上的反力 p 1 作用线已在a b 线以外，对于不能承拉的滑 面来讲，这种形式的反力是不能存在的。换句 话说，给定图示滑动面得到的极大值在物理上 bp 。 p 2 图6法向力n 的分解 c 孙君樊卅从理论上证明了极大值原理，指出稳定系数极大值的出现是土体塑性应变 调整的结果。下面给出他的证明过程： 两条基本假设： 假设1 ：给定一个滑动面( 亦界面) ，将考察物体分为两个区域，一个刚性区域和一 个由静平衡向动平衡过渡的临界状态区域，从而构成一个滑动机构。 假设2 ：在临界状态区域( 亦滑体) v 中，存在一个滑移场( 应变速率s ：、速度场k ) 以及相适应的一个有效应力场西，使v 内点0 ，y ) 处于安全度为f u 0 ，y ) 的极限平衡状 态，而界面s + 处于平均安全度为耶+ 的极限平衡状态，并且，界面5 或者为滑移面或 者为它们的包络面。沿界面s 的切向速度间断值k j 为常量，而法向速度间断值 i 力 ；i 岳i 蠢 ，其中，为界面s 上的摩擦系数，f 以为s 上的点在s 方向的安全 1 1 度。 考察临界区域v 。v 上作用有体力互，边界r 上作用有面力a ，界面s + 上作用有剪 应力r ：、有效正应力d ：。 定义一个静力许可的有效应力场( 简称可静场) 一，它满足如下条件：在v 内满 足平衡条件；在边界r 上满足力的边界条件；在v 内不违反安全度为f u g ，_ ) ，) 的屈 服条件；在界面s 上处于安全度为彤。的极限平衡状态，相应的应力为f ? 、盯：。 利用虚功率原理，可得： l f 取d v + s p 磙疆= l 吒e + 求螽：沁s l f 暇d v + s p 磙d r ； d 弑d v + 水电：、o 电：s 两式相减，有： 膨一瞄k 咖；( 乒南十一击z p b 根据德鲁克( d m c k e r ) 公设：b ；一司y s ；o ，得到： 驴击盯：卜驴南盯：产 再利用滑面安全系数的定义式： f s “。参+ o ：j s 峥扒或l 2 t 邪。2 + 0 ：，洒眵扒c + “孔： 把上式用摩尔一库仑屈服准则表示为： 悟+ 古( - 一篇p 卜= 导+ 古( ，一焉卜卜 式中：c 为滑面上的凝聚力。 注意到s + 在临界状态区域一侧的切向应变率为零而法向应变率大于零，把杜拉克公 设用于这种单边极限的情况，有盯：；仃：，因此，要使以上不等式在任何情况下都成立， 必须有： 耶+ 彤o ，盯：盯： 妒器卜苫盛( 一番卜 由此，本文认为，对刚体( 即不考虑土体塑性变形) 而言，求解稳定系数仍是个超 静定问题，不一定存在极大值。极大值的出现是土体塑性变形调整的结果。 2 2 条分法的条件与模型分析 传统极限平衡法的基本计算方法是条分法。在该法中，先假定若干可能的滑动面， 然后将滑动面以上土体分成若干垂直土条，对作用于各土条上的力进行力与力矩的平衡 分析，求出在极限平衡状态下土体的稳定系数。通过一定数量滑动面的试算，找出最小 的稳定系数，相应的滑动面即为最危险滑动面。 趣 址 l 形 么 图7作用在第i 土条上的各种作用力 在滑动土体n 个土条中任取一条，记为f 。如图7 所示，其上作用的已知力有：土 条本身重量彬，水平作用力( 例如地震惯性力) q f ，作用于土条底部的孔隙压力u ，以 及外部荷载口。当滑动面形状确定以后，土条的有关几何尺寸如底部坡角。j ，以及强度 指标c ；、也都是定值。因此，对整个滑动土体来说，为了达到力的平衡，我们所要求 的未知量如下： ( 1 ) 每一土条底部的有效法向反力j ，计n 个； 1 3 ( 2 ) 每一土条底部的切向应力z ，计n 个； ( 3 ) 稳定系数k ，1 个： ( 4 ) 两相邻土条分界面上的法向条间力e 。，计n 1 个； ( 5 ) 两相邻土条分界面上的切向条间力x ；，计n 1 个； ( 6 ) 两相邻土条条间力合力g ；，计n 1 个； ( 7 ) 条间力合力g 与水平线的夹角屈，计n - 1 个； ( 8 ) 每一土条底部互及巨合力作用点位置口；，计n 个； ( 9 ) 两相邻土条条间力合力g 作用点位置f ；，计n 1 个。 其中，( 4 ) 、( 5 ) 与( 6 ) 、( 7 ) 是等效的。这样，共计有6 n 2 个未知量。根据静 力平衡条件，我们可以建立任意两个方向力的平衡、对某一点的力矩平衡以及 m o n c o l u m b 强度理论，共4 n 个方程。因此，土坡稳定分析问题实际上是一个2 n 一2 次 超静定问题。如果把土条取得极薄，土条底部瓦及e i 合力作用点位置可近似认为作用 于土条底部的中点【9 】，口i 为已知。这样未知量减少为5 n 一2 个，与方程数相比，还有n 2 个未知量无法求出，要使问题得解就必须建立新的条件方程。 各种条分法以求解稳定系数为主要目的，对条间力作出不同的假设，建立了新的条 件方程。如表2 和表3 所示。 表2各种方法未知量的比较 未知量类型及数量 方法 x i e i g i b l i x n it i k 合计 ( n - 1 )( n 一1 )( n - 1 )( n 一1 )( n - 1 )( 1 ) ( n ) ( n ) ( 1 ) 第 m o r 萨n t e m - p d 5 n 1 s p c e “1 9 7 3 ) 5 n 一1 类 s “1 9 7 3 ) 5 n - 1 第 f e l l e n i u s 5 n - 2 一 类 简化b i s h o p 5 n 2 第 = j a n b u 5 n 2 类 第 推力传递法 5 n 2 四 类 s a r a m ( 1 9 7 9 ) 5 n 2 1 4 表3各种方法可建立的方程 方程类型及数量 方程数i 方法 底滑面 侧面 力的平力的平 力矩 条件方程 合计 与 衡方向 衡方向 未知数j ( n )( n 一1 )( n )( n - 1 ) 1 ( n )2 ( n ) 的比较 第 m o i g c n i c r n - p r i c e x = e a ，( 工) 5 n 1l = j s 眦r ( 1 9 7 3 ) x 一a5 n 1i = j 类 s a ( 1 9 7 3 ) x t n x i = 姬i 5 n 一1l = j 第 f b u e n i u s1识= 扭t 柚a3 n l - j - ( 2 n - 2 ) 简化b i s h 叩 1 工= 0 3 n i = j - ( 2 n - 2 ) 类 第 = j a n b u z ：为下三分点 5 n - 1i = j + 1 类 第 不平衡推力传递法 、， 尼= a f 4 n 一1 l - j ( n 一1 ) 四 类s m ( 1 9 7 9 ) 4 n - 1 i = j 一( n 一1 ) 表中未知量数目为土条客观存在的未知量，部分未知量未在所建立的方程中出现， 如第二类、第四类方法。各类方法的特点叙述如下： j 第一类方法：既满足力的平衡，也满足力矩平衡，方程数和未知量数目相等，能获 得严格的收敛解。 第二类方法：单一条块只满足一个方向力的平衡和力矩平衡，某一方向力的平衡不 能满足，这意味着力的边界条件是不能满足的，不能确定条间力的大小和作用点( 即2 n 2 个未知量不能求解) 。满足整体力矩平衡，因此只能求得整体力矩稳定系数。 第三类方法：既满足力的平衡，也满足力矩平衡，但方程数比未知量数目多一个， 这意味着力或力的作用点的不能满足其中某一个边界条件，解是不收敛的，但对求解稳 定系数影响小。 第四类方法，满足单一条块两个方向力的平衡，不满足力矩平衡条件，解是收敛的， 可求得稳定系数和条间力的大小，但不能求得条间力的作用位置( 即n 1 个未知量不能 求解) 。 1 5 第3 章通用极限平衡法的建立 3 1 方程的建立与求解 3 1 1 基本方程 从滑动体中取出任一微分土条，土条宽度为出，作用在该微分土条上的诸力如图8 所示。假设坡面线方程为z - z t o ) ，滑动面方程为z _ zo ) ，推力线位置方程为z 磁