（应用数学专业论文）几类微分方程边值问题的正解(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类微分方程边值问题的正解 摘要 分析学研究对象和方法的发展表明泛函分析的地位日益重要，它在物理工 程，化学，生物等方面有着广泛的应用，以泛函分析为工具来解决一些数学问题 已成为分析学的一个重要内容，在解决这些领域中的非线性问题的同时逐渐形 成了现代分析学中的一个非常重要的分支一非线性泛函分析它主要包括半序 方法，拓扑度方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问 题提供了富有成效的理论工具，尤其在处理应用科学中提出的各种非线性问题 中发挥着不可替代的作用到上个世纪中叶，非线性泛函分析已初步形成了理 论体系在无穷维空间中，用泛函分析的理论来处理非线性问题也有着巨大的 潜力1 9 2 1 年，l e j b r o u w e r 对有限维空间建立了拓扑度的概念，1 9 3 4 年，j l e r ”和j s c h a u d e r 将这一概念推广到b a n a c h 空间的全连续场后 来，e r o t h e ，m a k r a s n o s e l s k i i ，p ，hr 且b i n o w i t z ，ha m a n n ，kd e i m i n g 等对拓扑度理论，锥理论及其应用进行了深入的研究国内张恭庆教授，马如 云教授，郭大钧教授，陈文源教授，定光桂教授，孙经先教授，姚庆六教授， 赵增勤教授，刘立山教授，张克梅教授等在非线性泛函分析中的众多领域都得 到了大量的成就 对微分方程边值问题的研究已经有大量的结果出现，但近年来奇异边值问 题的研究尤为活跃奇异边值问题在气体动力学，流体力学，核物理，边界层理 论等实际问题中有着广泛的应用爱尔兰著名数学家d o n a lo r e g a n 曾对此问 题作了系统而详细的论述一方面实际问题中不断的涌现出大量的微分方程非 线性边值问题需要人们去深入研究另一方面，近几十年来非线性分析有了长 足的发展，其应用的理论和先进的方法日渐成熟所以，运用这几十年来成果 的基础上来研究微分方程奇异边值问题是一个富有兴趣和创新性的研究澡题 曲阜师范大学硕士学位论文 本文利用锥理论，不动点理论，融h a u d e r 不动点定理等方法在几类常微 分方程边值问题正解的存在问题上得到了一些新成果 根据内容本文分为五章 第一章为绪论，叙述了本文所研究的微分方程边值问题的历史现状，处理 此问题的一般方法 本文第二章中，应用s c h a u d e r 不动点定理，建立了奇异非线性二阶三点 边值问题 r ( 卅，o ，“( 圳：0 ，吣k l ， ( 2 1 1 ) l 让( o ) = o钍( 1 ) = n u ( 砷) 正解的存在性定理，这里卵( o ，1 ) 是一个常数并且a o ，c ( ( o ，1 ) ( o ，+ 。o ) ) 其主要内容是： 首先假定四个条件： ( h 1 ) 叩( o ，1 ) ，0 o 卵 1 ； ( h 2 ) ，( ，“) 是定义在( o ，1 ) o ，+ o 。) 上的连续函数，对于每个固定的 “ o ，+ 。) ，( t ，“) 关于t 在( o ，1 ) 上非负可测； ( h 3 ) vu o ，j 乱。芝。都有，( t ，“) 墨，( ，u o ) ，t o ，1 】；且 z ”s ，( t ，u 。) d s + z 1 ( 1 一s ) ，( s ，札。) d s o 从而得出了定理2 ，3 1 定理2 31 若( h 1 ) 一( h t ) ( 见5 2 2 ) 成立则边值问题( 2 ) 存在至少一个 正解 注定理2 3 1 比相关文章中的条件要求较弱 曲阜师范大学硕士学位论文 在本文三章中考察了四阶三点边值问题 f 3 1 1 1 的正解存在性，其中o q 1 ，o o 0 ，o 1 的解 我们得到了现面的结论 定理3 3 1 设 1 ) l 1 ( o ，1 o ，+ 。) ) ，p g ( o ) + 。) ，f o ，+ 。) ) 并且j 面学 o ，使得，( f ，f ) s ( f ) + p ( f ) ，( t ，z ) o ，1 c ，+ 。) 3 ) 存在正数a ，卢且叩sa b l 斗0z 则问题( 3 1 1 ) 存在一个正解u + 定理3 32 设 1 ) l 1 ( o ，1 】， o ，+ o 。) ) ，p g ( o ，+ 。) ， o ，+ o 。) ) 并且面学 a 2 2 ) ，( t ，z ) 墨危( t ) p “) ，0 ，z ) o ，1 j o ，+ 。) 3 ) 存在正数a ，“且叩sa b f _ + 0 z 则问题( 3 ，1 1 ) 存在一个正解u + ， l l i 仉嘶 蒜一 曲阜师范大学硕士学位论文 其中 忙 南小叫酬，妊( 可z 1 ( ，叫r b _ 尚沪州1 一如训e 啪冲| - 1 注四阶三点边值问题的文章在同类文献中几乎没有见到 在本文第四章中考察二阶三点边值问题 o ) + ，( 乱呱的) = 0 0 b e 十。 励边值问题( 4 1 ，1 ) 至少存在一个正解，其中b = 【芭笋( 1 一s ) d s 】一 在第五章中应用s c h a u d e r 不动点定理，建立了奇异非线性二阶三点边值 问题 l 札”( t ) + ，( t ，札( t ) ) = o ， o o ，o 矸 1 ，o 七 0 ； ( h 。) c ( ( o ，1 ) 0 f + 。) ) ，p g ( 【0 ) + 。) ， 0 ，+ o 。) ) 并且雹i 学 a ，其 中a = 陋片g ( s ，s ) 如 。； ( h 3 ) 存在正数7 - ，c 使得，( t ，f ) s 丸( 粥1 + 丁+ p ( f ) ，( t ，1 ) o ，1 【o ，c j ； ( h 4 ) 届+ s ) ( s ) d s + o o ，i ( s ) 如 + 。； ( h 5 ) ，( t ，札) 关于t 对于任意u o ，+ 。) 在f o ，1 上不恒等于o 我们得到了如下定理 定理53 1 若( h ，) 一( h 5 ) 成立，且o ，( t ，o ) 曼a e ，则边值问题( 5 11 ) 存在至少一个正解 注定理5 3 1 中利用条件以及证明方法与定理4 3 1 是不同的， 关键词 奇异边值问题；s c h a u d e r 不动点定理；全连续算子；等度连续；相对 紧；正解 曲阜师范大学硬士学位论文 t h eb o u n d a r yp r o b l e m so fn o n l i n e a r d i f f e r _ e n t i a le q u a t i o n a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sm o r ea n d m o r ei m p o r t a n ta n dt h ei m p o r t a n c ei se m b o d i e db yt h ei m p r o v e m e n to ft h es u b j e c t 8i th a ss t u d i e da n dt h e d e v e l o p m e n to ft h em e t h o di th a su s e d ，) u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n g s u c hp r o b l e m s ，n o n l i e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a 皿tr e s e a c hf i e l d 8i nm o d e r nm a t h e m a t i c s i tm a i n l yi n c l u d e sp a r t i a lo r d e r i n g m e t h o d ，t o p o l o g i c a lt o o lf o rs 0 1 v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nt h e 丘e l d so f t h es c i e n c ea n dt e c h o l o g 矿a n dw h a ti sm o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ra p p r o a c hf o r s t u d y i n gn o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ) d i 珏宅r e h t i a le q u a t i o n sa n dp a r t i a le q u a ， t i o n 8a r i s i n gf r o mm a n y a p p n e dm a t h e m a t i c s l e jb r o u w e rh a de s t a b i i s h e d t h ec o n c e p t i o no ft o p 。l o g i c a id e g r e ef o r 矗n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ei n1 9 1 2 j l e r a ya n dj ，s c h a u d e rh a de x t e n d e dt h ec o n c e p t i o nt oc o m p l e 七e l yc o n t i n 。u s f i e l do fb a n a c hs p a c ei n1 9 4 3 a f t e re r o t h e ，m a k r a s o n s e l ，s k i i ，p h r a b i n o w i t z ，ha m an n ，k e i m i n gh a dc a r r i e do ne m b e d e dr e s e a c ho nt o p o l o g i c a ld e g r e ea n dc o n et h e o r 矿m a n yw e uk n o w nm a t h e m a t i c i a n si nc h i n a s a z h a n gg o n g q i n g ，m ar u y u n ，g u od 司u n ，c h e nw e n y u a n ，d i n gg u a n g g u i ， s u nj i n g x i a n ，y a oq i n l i u ，z h a oz e n g q i n ，l i ul i s h a na n dz h a n gk e m e ie t c ， h a eg r e a tw o r k si nv a r i o u s 矗e l d so fn o n l i n e a rf h n c t i o n a la n a l y s i 8 t h er e s e a c ho fd i 珏b r e n t i 甜e q u a 七i o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e i i l sh a sal c ：o f a c h i e v e m e n t s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eo r d i n a r yd i h 色r e n t i a le q u a t i o n ss i n g u l a j b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa r i s e si nt h e 矗e l d 8o fg a sd y n a m i c s ，n e w t o n a i nf l u i d m e c h a n i c s ，t h et h e o r yo fb o u n d a r yl a y e r ，e p i d e m i cp r o b l e m sa n ds oo n ，a n d v l 曲阜师范大学硕士学位论文 h a sb e e nc o n s i d e r e de x t e n s i v e i yd o n a lo r e g a n ，t h ei r e l a n dm a t h e m a t i c i a n ， d e a l tw i t ht h es l n g u l a rt h e o r yi nd e t a i la n ds y s t e m a t i c a l l 弘o nt h eo t h e r h a d ，m a n yn o n l i n e a ro r d i n a r yd i h 色r e n t i a ie q u a t i o n ss i n g u l a rb o u n d a 。yv a l u e p r o b l e m sc o m ef o r t ha l ls o r t so fa p p l i e ds u b j e c t s t h i sf o r c e sm a m yp e o p i e t os t u d yt h e m o nt h eo t h e rh a n d ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sm a d e g r e a tp r o g r e s s i t sp o 、v e r f h la n df r u i t f h lt h e o r e t i c a lt o o l sa n di t sa d v a n e e d 1 e t h o d sh a v eb e e nr i p e n e s sg r a d u a l l y ，t h u s b yu s i n gm a n ya d v a n c e da n a l y s i s o fn o n l i n e a ra n a i y s i si nr e c e n ty e a r s ，t os t u d yd i 丘奄r e n t i a le q u a t i o n ss i n g u l a i b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sas u b j e c tw h i c hi sm u c hm o r ei n t e r e s t i n ga n dm a y g a i nm u c hm o r ei m p o r t a n tf r u i t f u ln e wr e s u l t s t h e p a p e ri sd i v i d e di n t o 矗v ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s t h e 矗r s tc h a p t e ri si h t r o d u c t i o ni ni t ，w en a r r a 七e dt h a t 恤eh i s t o r va n d c u r r e n ts i t u a t i o nm e t h o do fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m st h i sp a p e rs t u d i e d i n t h es e c o n dc h a p t e r ，as i n g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b i e mo f s e c o n do r d e rt h r e e d o i n t j 札”( t ) + ，( t ，u ( t ) ) = o ， o t 1 l 札( o ) = o “( 1 ) = 乱( 叩) w h e r e 卵( o ，1 ) i sac o n s t a n t ，g ( ( o ：1 ) ，f o ，+ 。) ) ，i se o n s i d e r e db y s c h a u d e r 矗x e d p o i n tt h e o r e m ，a n dw eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v e s o l u t i o no ft h eb o u n d a r yp r o b l e m w es t a t et h em a i nr e s u l t sa sf b l l o w s ： f i r 8 t l y ，w ea s s u m et h ef o u rf o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( h 1 ) 叩( o ，1 ) ，0 叩 l ； ( h 2 ) ，( ，u ) i sac o n t i h u o u sf u n c t i o no n ( o ，1 ) 【o ，+ o 。) a n df o ra 1 1 让 o ，+ 。) ，( t ，札) i sn o n - n e g a t i v em e a s u r a b l ea b o u tti n ( o ，1 ) ； 曲阜师范大学硕士学位论文 ( h 3 ) v 链o ，3 珏o ow eh a e ，( t ，乱) s ，( ，t 土o ) ，t 【o ，1 】；a n d z ”s ，( f ，“。) d s + z 1 ( 1 一s ) ，( s ，“。) d s o ； w eg e tt h er u s u l ta sf o l l o w s ： t h e o r e m2 3 1 s u p p o s e ( h 1 ) 一( h 4 ) ( 5 2 2 ) h o l d ，t h e nt h eb v p ( 2 1 1 ) h a s a tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n r e l e v a n tp a p e r s i nt h et h i r dc h a p t e r ，an o n l i n e a rb o u n d a r y 、，a l u ep r o b l e mo ff o u t ho r d e i t h r e e p o i n t p ”( t ) = ，( t ) ) ，。st 冬l u ( o ) = u ( 1 ) = o ， ( 31 1 ) l 札，( o ) = o ， 。u ，( 日) ：u ”( 1 ) ， w h e r eo 印 1 ，o ，c ( 【o ，1 o ，+ 。) ， o ，+ 。) ) ，a n d ，i sn o t a l w a y sz e r oi ne v e r ys u b i n t e r v a lo f 【o ，1 f o rta b o u t o ，+ 。) ，i 8c o n s i d e r e d b ym a k i n gu s eo ft h ek r s s o n s e l s k i i 矗x e d p o i n tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o nt y p e w eg e tt h er u s u l ta _ sf o l l o w 8 ： t h e o r o m3 2 1i ft h ef b l l o w i n gt h r e ec o n d i t i o n sh 0 1 d 1 ) 工1 ( o ，1 ，( o ，+ 。) j ，p g ( o ，+ ) ， o ，+ 。) ) a n d 面i 芈 oa n d ，( t ，f ) 九( t ) + p ( f ) ，( t ，f ) o ，1 c ，+ 。) ； 3 ) 叮a b t h e nb v p ( 3 1 1 ) h a so n ep o s i t i v es 0 1 u t i o n 矿 v 1 1 l 曲阜师范大学硕士学位论文 t h e o r o m3 3 2i ft h ef o l l o w i n gt h r e ec o n d i t i o n sh o l d 1 ) l 1 ( o ，1 ，【o ，+ 。) ) ，p g ( o ，+ o o ) ，【o ，+ 。) ) a n dj 面华 a 2 e o 。 2 ) ，( ，f ) s ( t ) p ( f ) ，( t ，f ) 【o ，1 x 【o ，+ o 。) ； 3 ) 叩a b 4 t = 南z 1 ( - - s ) d s | ，a 。= ( 去z 1 ( 一s ) 吣) 酬。1 b ：f 南( ) ( 1 一知c g s ) d s 】 r e m a r kt h er e l e v a n tp a p e r so fn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f f o u t ho r d e rt h r e e p o i n th a en o tb e e ns e e n i nt h ef o u t hc h a p t e r ，as i h g u l a rn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo i s e c o n do r d e rt h r e e p o i n t ju ”( ) + ，( 以u ( t ) ) = o ， o ow h e r e 叩s “sa 1a n d 。雪恐m i n ，c ) 0 ，c ) 山，a o ，f j b t h e nb v p ( 4 1 1 ) + h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es 0 1 u t i o n ，w h e r e b ：【掣爪恻 p儿、 7。 i nt h en f t hc h a p t e r ，as i n g u l a rn o n l i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b i e mo f s e c o n d o r d e rt h r e e p o i n t j 乱”f t ) + ，( ，钍( 0 ) = o ，o f o ，卢o0 r 2o ，盼o ，o 卵 1 ，o o w h e r e ，“，f ) 8 ) f 1 + 7 + p ( ! ) ，( ，f ) 【o ，1 x 【o ，c 】 x 一一些皇堕整盔堂堡主堂焦丝茎 _ _ 一一 ( h 4 )臂( 卢+ o s ) h ( s ) 如 + o 。，片h ( s ) d s o ，g ( ( o ，1 ) 0 ，+ 。) ) 二阶多点边值问题在弹性稳定性理论中有着广泛的应用，它的研究始于 i i i n 和m o i s e e v 【5 1 此后g t l p t a 等人相继就解的存在性建立了一些结果，近 来，文献 1 0 假定，关于u 严格单调递减，从而借助g r e e n 函数和摄动技巧 建立了奇异三点边值问题 1 ”( t ) + ，( t ，( 窃= o ， o 1 ， in ( o ) 一卢札7 ( o ) = o札( 1 ) 一向u ( 叩) = o 非负连续解的存在唯一性文献f 7 1 首次考虑了边值问题 ) + 缸，( 叻= 0 ， 0 k 1 j ( 2 m ) l “( o ) = ou ( 1 ) = o u ( 叩) 、 的正解，但非线性项不具有奇性本文研究了边值问题( 211 ) 的正解，我们 不要求，关于“的单调性，并且允许，( t ，“) 在t = o ，= 1 处具有奇性，主要 是应用s c h a u d e r 不动点定理 3 第二章 奇异二阶边值问题的正解 2 2 引理及预备知识 本文取b a n a c h 空间e = a f 0 ，1 1 ，范数为最大值范数， 定义：称函数u ( t ) 为边值问题( 2 1 _ 1 ) 的一个解，如果它满足下列条件 ( i ) c o ，1 】nc r 2 ( o ，1 ) ； ( i i ) + ，( t ，u ) = 0 ，o t o ，则称“( t ) 为边值问题( 21 1 ) 的 一个正解 本文假定： ( h 1 ) 叩( o ，1 ) ，o q 叩 o ，有 ， 。骧。，( s ，“) 如= o ( 2 ：j ) 。蟀( 1 叫z ，( s d s = 。 ( 2 2 2 ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 证明：对给定的u o ，设 ( t ) = t 劈，( s ，“) d s ，o ts 矸，则 进一步，有 。茎”( ) z ”s ，( s ，u ) d ssz ”s ，( s ，“) d s o 在 ( 。，叫u h6 3 上成立，故由上式可得 对于t o ( o ，叩) ，t ( 卵，1 ) 的情况证明方法同上 所以，) ( 卵) o 6 曲阜师范大学硕士学位论文 我们主要用文 2 】中的s c h a u d e r 不动点定理( 系3 ) ，即 引理2 2 3 设d 是e 中凸闭集，a ：d d 连续，并且a ( d ) 是相对 紧集，则4 在d 中必有不动点 2 3 主要结果 定理2 3 1 若( h 1 ) 一( h 4 ) 成立，则边值问题( 2 1 1 ) 存在至少一个正解 证明：由( 2 2 3 ) 式可知t 为到肖的映射，其中 k ：= u c | o ，1 】；u ( t ) o ) 是一闭凸集 下证t 是全连续算子 第一步：先证t 连续 对任给的“k ，选取一列 札k ) 产ck ，使u 女在 o ，l 】上一致地收敛 于“( t ) ，( t ，u 女( ) ) _ ，( ，u ( t ) ) ， - 。，。e t o ，1 则由t 的定义，及 ，( t ，k ( t ) ) ，( t ，“o ) ，o et o ，1 】， z ”s ，( s ，u 。) d s + z 1 ( 1 一s ) ，( s ，u 。) d s + 。 利用l e b e s g u e 控制收敛定理得 ( 丁u ) ( t ) _ ( t ) ( t ) ，自_ o 。，t 【o ，1 故丁连续 第二步再证丁是紧算子 ( 1 ) v 札k ，由t 的定义，有 ( 丁珏o ) ( t ) ( 丁) ( t ) 兰o ， vt 【o ，1 7 ( 2 3 1 ) f 2 3 2 1 第二章奇异二阶边值问题的正解 既 t u ；“k ) 一致有界 ( 2 ) v 乱，因为 ( t 让) ( t ) = 所以 ( 丁札) ( f ) f + ；z 。s ，( s ，“( s ) ) d s + ；z 1 ( ”一s ) ，( s ，u ( s ) ) d s 丽g n ( s 小) ) 豳 。 t 茎叩 南小一柑( s ) 吣) ) d s + 南，1 ( ，_ s j m 川圳出 十f 淌z 1 g h - mu ( s ) ) d s 】”st ， ；z 1 s 邝 + “。) d s + z 1 ( q s ) ，( s ，“。) d s g ( 0 ，1 ，( s ，“o ) d s ；o 叼 0 办驯泓s + 击小叫邝，如 q l + 丁i 丽f 面 g 【0 ，1 】，( s ，u o ) 如，叩t o 结合“4 的凹性可 知“+ o ，( o ，1 ) 故边值问题( 21 1 ) 存在至少一个正解，定理证毕 9 第三章一类非线性四阶三点边值问题 正解的存在性 3 1 引言 臌攀 多个正解的存在性，其中，： o ，1 o ，。) _ o ，。) 连续 本文考察了四阶三点边值问题 趾”( = ，( t ，“( t ) ) ，o t 1 u ( o ) = 札( 1 ) = o ，( 3 1 1 ) 钍”( o ) = o ，0 = “”( 叮) = “”( 1 ) 的正解存在性，其中o q 1 ，o o o ，o t 1 的解 本节通过对问题( 3 1 1 ) 的研究得到了两个定理 3 2 相关定义 为了阐述我们的工作，先做一点准备 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 本文定义范数f f “f f5 恶煞钍( t ) fb a n a c h 空间义= e o ，1 定义非负函数锥 记常数 k = u ( t ) ：“( t ) g ( o ，1 ， o + 。) ) ) 扯f 高小_ s ) d s 】。1 ，忙 矗丽小叫 ( s ) d s - 1 叫尚( ) ( 1 一训仁1 g 刚s _ 1 记函数 fs ( 1 一) 、 o s 1 g 0 ，s ) = 、“ 一 一 一 【t ( 1 一s ) ， o t s 茎1 我们记算子 3 3 主要结果及证明 t ：g ( o ，1 ； o ，+ 。) ) g ( o ，1 1 ， o ，+ 。) ) 为 ( 丁“) ( t ) = z 1g ( t ，s ) r 三z 1 ( 1 一r ) ，( 丁，札( 州打 一7 ( s 一7 - ) ，( 下，t 上( r ) ) d 5( 33 1 ) 一焉小叫m ，嘶) ) j 妇 显然丁是连续的，易知珏e ( o ，扎( o ，+ o o ) ) 是问题( 3 1 1 ) 的解当且仅当“ 是t 在e ( o ，1 l ， o ，+ 。o ) ) 中的不动点 第三章一类非线性四阶三点边值问题 正解的存在性 _ ( 孔厂弋归车铲旬“s ，吣”幽 ( 3 3 2 ) + 点心一q ) 讹 ( 帕 + 而i 上( 1 一q ) 8 m ， ( 8 ) 面掣 b f _ 0， 。 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 则问题( 3 11 ) 存在一个正解“+ 定理33 2 设 1 ) l 1 ( o ，l 】， o ，+ 。) ) ，p g ( o ，+ 。) ， o ，+ o 。) ) 并且 面掣 勉 f 。z 2 ) ，( t ，f ) s ( t ) p ( f ) ，( ，z ) o ，1 o ，+ 。) 3 ) 存在正数a ，肛且叩a b 则问题( 3 1 1 ) 存在一个正解“； 定理3 ，3 1 的证明 记a ( f ) = ：| | | o ，使得妒( 8 ) 8 ，其中 妒( 。) = 。器1 1 罐訾( 丁u ) ( 。) ，2 【o ，+ ) 由_ i 学 o ，d c 使得 p ( f ) ( a 1 一e ) f ， d 又设 m = m a x ，0 ，f ) ：o ts1 ，osf d ) m = 焉小一踟叫= 志小叫m 油 对于u 耳，我们记 e ( ) = t ：ost 1 ，“( t ) d ， e ( u ) = t ：oszsl ，乱( ) d ) 一 至壁丝壹查堡 一 一一 这样一来，对于任何f 芝d 及u a ( f ) ，必有 躐( 酬= 躜z 1 ，驯高小叫m ，灯) ) 打 一z 5 ( s r ) ，( r ，“( r ) ) d 7 一 一兰，”( q 一，) ，( ，。( r ) d r d s 墨罐驽z 1g ( t ，s ) r 当面【z 1 ( 1 一r ) ，( r ) ) d f 幽 高加小卜圳r + ( 1 一r ) p ) d t + ( 1 一下) p ( u p ) ) c h d s e h lj e ( u ) 高胁：1 ( 1 一渺 + z 1 ( 1 一r ) ( r ) d r + ( a _ ) ：1 ( 卜小打1 幽 5z 1m + ，十( 4 叫删u 忙s ：m + j + ( a 1 一) a i l l l “l l 于是我们断言 面掣s1 a i l e 0 使得妒( 口) b 卜uz 知存在o 6 县，a t p 这样从式( 3 3 ，2 ) 知 驯f2 躐( 驯 = 躜印 高z 1 ( 1 叫m ，u ( ) ) 打 ，日 一( s 一丁) ，( 7 一，u ( 丁) ) d 7 - j 0 一r 小叫m 酬酬幽 ，q 十i g ( 叩，s ) 卜( t “) “( s ) d s o 目一e l r 印十1 g ( 叮，s ) 。 _ ( t “) ( “) ”( 叩) j d s j 町一q g ( b 南( 小叫加州州蜊s 南a b e g s ) ( 小叫如 = 南吲) ( 1 一如灿 = 6 = j | u 1 5 第三章一类非线性四阶三点边值问题 正解的存在性 故由引理3 3 1 得存在“+ 为t 的不动点使得 6sl i u + | j o 第三步：证明矿为问题( 3 1 ，1 ) 的正解 因为i i u 4 | | 6 ，且矿a o ，1 ，所以存在一点f ( o ，1 ) 使得 矿( ) 6 0 又因为“+ 的二阶导数在 o ，1 上大于等于o ，且u ( o ) = “( 1 ) ，所以 让+ 0 ，( 0 ，1 ) 故u 为问题( 3 1 1 ) 的正解 定理3 ，31 得证 定理33 2 的证明 第一步：因为阿学 o ，日 o 使得 c 呻+ 。 p ( f ) ( a 2 一) f ，vf 日 故： ，( t ，f ) ( 4 2 一e ) f ( t ) ，ost 曼1 取“a k ( 日) ，则： = 罐答z 1g ( 拍) 二三 z 1 ( 1 一r ) ，( r ，“( 州驯d s 退答zg ( 。，s ) r 兰面 z ( 1 一r ) ( 4 z s ) l f 珏l f ( r ) d r 】d s ，。ir l a zz 1 s ( 1 一s ) r 三面 z 1 ( 1 一r ) 忆( r ) 打 d s = 志4 。：1 ( 1 一r ) ( r ) d r i 。i i ：i 札n 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 第二步的证明同定理3 3 ，l 证明的第二步 故根据引理331 可知存在。k 为t 的不动点并且6si i “+ f l h 再 按照定理33 1 第三步的证明可知u ，为问题( 31 1 ) 的正解 定理33 2 证毕 1 7 第四章一类二阶奇异微分方程边值问题的正解 4 1 引言 本文考虑了奇异二阶三点边值问题 ( 。) + ，u ( 。) ) = o ，o 。 1 ，1 ) i 血u ( o ) 一卢札。( o ) = o ，( 1 ) 七 ( 叩) = d 正解的存在性，这里耳( o ，1 ) 是一个常数，c ( ( o ，1 ) ， o ，+ ) ) 二阶多点边值问题在弹性稳定性理论中有着广泛的应用，它的研究始于 i i ，i n 和m o i s e e v 近来，文献f 1 0 1 假定，关于u 严格单调递减，从而借助 g r e e n 函数和摄动技巧建立了奇异三点边值问题 p ( 。) + 邢，u ( 。) ) _ 0 ，吣。 1 ，2 ) io 耻( o ) 一声“7 ( o ) = o“( 1 ) 一南u ( 叩) = o 非负连续解的存在唯一性 本文研究了边值问题( 4 1 ，1 ) 的正解，我们不要求，关于乱的单调性，并 且允许，( t ，u ) 在t = o ，= l 处具有奇性主要是应用锥上不动点定理 4 2 引理及预备知识 定义e 上的锥：= u c o ，1 】：“( t ) o ，f o ，1 ) 定义：称函数乱( ) 为边值问题( 4 1 1 ) 的一个解，如果它满足下列条件 ( i ) “a o ，1 nc | 2 (