（应用数学专业论文）因子von+neumann代数中套子代数上的线性映射.pdf

因子v o nn e u r n a n n 代数中套子代数上的线性映射 杨爱丽 摘要算子代数理论产生于2 0 世纪3 0 年代，随着这一理论的迅速发展， 现在这一理论已成为现代数学中的一个热门分支它与量子力学，非交换几何， 线性系统和控制理论，甚至数论以及其他一些重要数学分支都有着出人意料的联 系和相互渗透为了进一步探讨算子代数的结构，近年来，国内外诸多学者对算 子代数上的线性映射进行了深入研究，并不断提出新的思路例如，局部映射， 2 一局部映射，双局部映射，初等映射，线性保持问题等概念先后被引入，目前这 些映射已成为研究算子代数不可或缺的重要工具本文主要对因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上的j o r d a n 同构，局部自同构，2 一局部自同构，保幂等的线性 映射，双边保零积的线性映射以及双边保j o r d a n 零积的线性映射进行了讨论 具体内容如下； 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定 理等第一节我们介绍了y o nn e u m a n n 代数，因子y o nn e u m a n n 代数，子空间 格，套代数及有界线性算子等概念第二节主要给出一些熟知的定理如著名的 e r d o s 稠性定理等 第二章首先对因子y o nn e u m a n n 代数中的两个套子代数之间的j o r d a n 同构 进行了刻画，证明了因子v o nn e u m a n n 代数中两个套子代数之间的j o r d a n 同构 是同构或反同构接着我们又对因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上的局部自 同构和2 一局部自同构进行了讨论，分别证明了因子y o nn e u m a n n 代数中套子代 数上的每一个弱连续的满的局部自同构是自同构；每一个满的2 局部自同构是 自同构 第三章我们首先对因子v o r ln e u m a n n 代数中套子代数上的保幂等的线性映 射进行了讨论，得到此类算子代数上保单位且保幂等的范数连续的线性映射是 1 0 r d a n 同态；其次，我们对因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上的保零积的线 性映射进行了讨论，得到因子v o nn e u m a n n 代数中两个非平凡套子代数之间每 一个保单位且双边保零积的线性满射是同构最后，讨论了因子v o nn e u m a n n 代 数中套子代数上保j o r d a n 零积的线性映射，证明了因子v o l ln e u m a n n 代数中两 个非平凡套子代数之间每一个保单位且双边保j o r d a n 零积的弱连续的线性满射 是同构或反同构 关键词：因子v o nn e u m a n n 代数j o r d a n 同构局部自同构2 。局部自同 构保幂等的线性映射保零积的线性映射保j o r d a n 零积的线性映射 l i n e a rm a p p i n g so nn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o rv o n n e u m a n n a l g e b r a s y a n g a i l i a b s t r a c t ：t h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r at h e o r yb e g a ni n3 0 t i m e so ft h e2 0 t h c e n t u r y w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to ft h et h e o r y ，n o w i th a sb e c o m eah o tb r a n c h p l a y i n gt h er o l eo fa l li n i t i a t o ri nm o r d e nm a t h e m a t i c s i th a su n e x p e c t e dr e l a t i o n s a n di n t e r i n f i l t r a t i o n sw i t hq u a n t u mm e c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y ，l i n e a r s y s t e ma n dc o n t r o lt h e o r y , i n d e e dn u m b e rt h e o r ya sw e l la ss o m eo t h e ri m p o r t a n t b r a n c h e so fm a t h e m a t i c s i no r d e rt od i s c u s st h es t r u c t u r eo fo p e r a t o ra l g e b r a s ，i n r e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sb o t hh e r ea n da b r o a dh a v ef o c u s e do nl i n e a rm a p p i n g s o i lo p e r a t o ra l g e b r a sa n dh a v eb e e ni n t r o d u c e dm o r ea n dm o r en e wm e t h o d s f o r e x a m p l e ，l o c a lm a p p i n g s ，2 - l o c a lm a p p i n g s ，d u a ll o c a lm a p p i n g s ，e l e m e n t a r ym a p p i n g s ，l i n e a rp r e s e r v i n gp r o b l e m sa n d s oo nw e r ei n t r o d u c e ds u c c e s s i v e l y , a tp r e s e n t t i m et h e s em a p p i n g sh a v eb e c o m e i m p o r t a n t t o o li ns t u d y i n go p e r a t o ra l g e b r a s o n t h eb a s i so fe x i s t i n gp a p e r s ，i nt h i sp a p e rw em a i n l ya n dd e t a i l e d l yd i s c u s sj o r d a n i s o m o r p h i s m s ，l o c a la u t o m o r p h i s m s t2 - 1 0 c a la u t o m o r p h i s m s ，l i n e a rm a p p i n g sp r e s e r v i n gi d e m p o t e n t s ，l i n e a rm a p p i n g sp r e s e r v i n gz e r op r o d u c ta n d l i n e a rm a p p i n g s p r e s e r v i n gj o r d a n z e r op r o d u c to nn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o ry o nn e u m a n n a l g e b r a s t h ed e t a i l sa sf o l l o w i n g ： i nc h a p t e r1 ，s o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n ds o m ew e l l k n o w n t h e o r e m sa r e 舀y e n i ns e c t i o ni ，w e 百v es o m et e c h n o l o g i e sa n dn o t a t i o n s ，a n d i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fv o nn e u m a n na l g e b r a s ，f a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a s ， s u b s p a c el a t t i c e s ，n e s ta l g e b r a sa n db o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sa n ds oo n i ns e c t i o ni i ，w eg i v es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m s ，s u c ha sd i s t i n g u i s h e de r d o sj i e c h i x i n g t h e o r y i nc h a p t e r2 ，w ef i r s td i s c u s sj o r d a ni s o m o r p h i s m sb e t w e e nt w on e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a sa n dp r o v et h a te v e r yj o r d a ni s o m o r p h i s m b e t w e e nt w on e s ts u b a l g e b r a so fa n yf a c t o rv o nn e u m a n n a i g e b r a i sa ni s o m o r p h i s m o ra na n t i i s o m o r p h i s m s u b s e q u e n t l y ，w ed i s c u s sl o c a la u t o n r o r p h i s m sa n d2 - l o c a l a u t o m o r p h i s m s o nn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o rv o nn e u m a n n a l g e b r a sa n dp r o v et h a t e v e r yl i n e a rs u r j e c t i v ew e a k l yc o n t i n u o u sl o c a la u t o m o r p h i s mi s a na u t o m o r p h i s m a n de v e r yl i n e a rs u r j e c t i v e2 - l o c a la u t o m o r p h i s mi sa na u t o m o r p h i s m ，r e s p e c t i v e l y i i i nc h a p t e r 3 ，w ef i r s td i s c u s st h el i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gi d e m p o t e n t s o i ln e s t s u b a l g e b r a so ff a c t o rv o nn e u m a n na l g e b r a sa n dp r o v et h a te v e r yn o r m c o n t i n u o u s l i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n g i d e n t i t ya n di d e m p o t e n t si s aj o r d a nh o m o m o r p h i s m s u b s e q u e n t l y ，w ed i s c u s st h el i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gz e r op r o d u c ta n dc o n c l u d e t h a te v e r ys u u e e t i v el i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gi d e n t i t ya n dz e r op r o d u c ti nb o t h d i r e c t i o n sb e t w e e nt w on e s ts u b a l g e b r a sw i t hn o n t r i v i a ln e s t so fa n yf a c t o ry o n n e u m a n n a l g e b r a i sa ni s o m o r p h i s m f i n a l l y , w ep r o v et h a te v e r ys u r j e c t i v ew e a k l y c o n t i n u o u sl i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n g i d e n t i t y a n dj o r d a nz e r op r o d u c ti nb o t h d i r e c t i o n sb e t w e e nt w on e s ts u b a l g e b r a sw i t hn o n - t r i v i a ln e s t so fa n yf a c t o rv o n n e u m a n n a l g e b r ai se i t h e ra ni s o m o r p h i s mo ra na n t i i s o m o r p h i s m k e y w o r d s ：f a c t o rv o nn e u m a n na l g e b r a ，j o r d a ni s o m o r p h i s m ，l o c a la u t o - m o r p h i s m ，2 - l o c a la u t o m o r p h i s m ，l i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gi d e m p o t e n t s ，l i n e a r m a p p i n gp r e s e r v i n gz e r op r o d u c t ，l i n e a rm a p p i n gp r e s e r v i n gj o r d a nz e r op r o d u c t i i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：勉堡函 日期：2 以s日期；丝坠：兰 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名： 前言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，自2 0 世纪3 0 年代， f j m u r r a y 和j v o nn e u m a n n 创立算子代数理论以来，已得到了迅速发展它的 研究不仅具有十分重要的理论价值，同时具有广泛的应用前景现在这一理论已 成为现代数学中的一个热门分支，它与量子力学，非交换几何，线性系统和控制 理论，甚至数论都有着相互的联系和渗透 对于算子代数，其主要的研究课题是探讨代数的结构，利用同态映射研究代 数的分类但是，由于算子代数的结构非常复杂，即使是性质最好的y o nn e u m a n n 代数和g 。一代数，分类问题也远未解决。另一方面，由于算子代数上的线性映 射与算子代数的某些固有性质有着密切的联系因此，为了进一步加深对算子代 数的认识和理解，人们越来越关注算子代数上j o r d a n 同构，局部映射以及其他 一些映射的刻画问题关于j o r d a n 同构的研究很早以前就引起人们的注意( 见 文 6 7 ) ，但大多集中于素环或半索环以及半单b a n a c h 代数上迄今为止，对非 半素和非半单b a n a c h 代数上j o r d a n 同构的研究尚不见多事实上，j o r d a n 同 构的刻画问题与近年来已被许多学者在各类算子代数上所研究的等距问题密切 相关( 见文f 1 2 - 1 4 ) 近十年来，大量的关于各种不同算子代数上局部映射的研究 工作不断出现出于对算子代数上的同调理论以及k a d i s o n 和r i n g r o s e 三十年 前提出的v o nn e u m a n n 代数上的同调群是否为平凡群这一至今未解决问题的研 究，k a d i s o n 1 7 首次研究了算子代数的局部映射( 局部导子) 问题，并得到v o n n e u m a n n 代数m 上的每一个局部导于是导子与此同时，l a r s o n 和s o u r o u r 1 9 1 对b ( z ) 证明了同样的结论，这里z 是一个b a n a c h 空间由于局部映射不仅对 算子代数的上同调群起着十分重要的作用，而且为人们设计满足不同需要和具有 特殊性质的映射从而解决相关问题提供了一种可能，因此它已成为算子理论和算 子代数的重要研究课题之一近二十年来，国内外许多学者另辟蹊径，开始注意 到根据算子本身的特殊性，与算子理论相结合，开展对算子代数上把算子或代数 的某种特征作为其不变量的线性映射的研究，为算子代数研究的突破带来一线曙 光，这就是所谓的线性保持问题的研究，且已取得一系列深刻而又漂亮的成果 算子代数上线性映射的研究不仅丰富了算子代数理论的研究，同时也刺激了算子 理论中新结果的出现，进而，其成果往往从新的角度揭示了算子代数的固有性质 以及与其上线性映射的联系例如，在许多情形下，这样的线性映射是代数同态 或代数反同态这表明在某些条件下，算子代数上映射的线性蕴涵其可乘性算 子代数上线性保持问题的最终目的之一是利用线性手段探讨和解决拓扑代数的问 题，即通过刻画保持某种特征不变的线性映射反馈算子代数的整体结构性质，从 新的角度提供对算子代数的分类信息这在理论上和应用上都有着重要的意义 非自伴算子代数是算子代数的一个重要分支，其目的是研究自伴算子代数 ( v o y in e u m a n n 代数和c + 一代数) 中非自伴子代数的结构和性质人们对非自伴 算子代数的研究始于r v r i n g r o s e 和i m s i n g e r 于1 9 6 0 年发表的”t r i a n g u l a r o p e r a t o ra l g e b r a s ”和j r r i n g r o s e 于1 9 6 5 ，1 9 6 6 年发表的”o ns o m ea l g e b r a so f o p e r a t o r si , i i 相对于自伴算子代数，非自伴算子代数更年轻，数学现象更丰富， 方法也更多样，并且与其他数学分支也有各种紧密的联系，因此吸引了一大批数 学家投身其中k r d a v i d s o n 的专著”n e s ta l g e b r a s ”( 1 9 8 8 年) 系统地总结了前 2 0 年的研究成果，提出了许多新的问题，极大地推动了套代数，进而也推动了非 自伴算子代数的研究 1 9 8 2 年，f g i l f e a t h e r 和d r l a r s o n 3 7 1 引入并研究了 一类比套代数更一般的算子代数一v o nn e u m a n n 代数中的套子代数由于套代数 和v o nn e u m a n n 代数中的套子代数有着根本的区别，如套代数包含丰富的结构 清晰的一秩算子，但一般v o nn e u m a n n 代数中的套子代数甚至不包含紧算子，这 使得套代数中的一些重要结果在v o nn e u m a n n 代数中的套子代数中未必成立 本文用不同于以前的方法讨论了这类算子代数上的j o r d a n 同构，局部自同构， 2 一局部自同构，保幂等的线性映射，双边保零积的线性映射以及双边保j o r d a n 零 积的线性映射下面是本文的具体内容： 第一章是预备知识，简单介绍了本文中用到的一些符号，定义和本文后面用 到的一些定理 第二章首先对因子v o nn e u m a n n 代数肼中的两个套子代数a l g m 卢和a l g m 3 之间的j o r d a n 同构进行了讨论，证明了这样两个代数之间的j o r d a n 同构是同构 或反同构接着我们又对因子y o nn e u m a n n 代数中套子代数上的局部自同构和 2 一局部自同构进行了讨论，分别证明了这类代数上的每一个弱连续的满的局部自 同构是自同构；因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上的每一个满的2 一局部自同 构也是自同构 第三章首先对因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上的保幂等的线性映射进 行了讨论，得到此类算子代数上保单位且保幂等的范数连续的线性映射是j o r d a n 同态；其次，对这类算子代数上保零积的线性映射进行了讨论，得到因子v o n n e u m a n n 代数中两个非平凡套子代数之间每一个保单位且双边保零积的线性满 射是同构；最后，又对这类算子代数上保j o r d a n 零积的线性映射进行了讨论，证 明了因子v o nn e u m a n n 代数中两个非平凡套子代数之间每一个保单位且双边保 j o r d a n 零积的弱连续的线性满射是同构或反同构 2 第一章预备知识 l _ 0 引言 本章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定 理第一节主要介绍了v o i in e u m a n n 代数，因子v o nn e u m a n n 代数，子空间格， 套代数等一些常用的概念第二节给出了本文后两章所需要的几个定理 下面是本文用到的一些符号： 设咒是复可分h i l b e r t 空间，层) 表示咒上的全体有界线性算子，m 是 作用在咒上的y o nn e u m a n n 代数m 中的套p 是指m 中包含0 和，且在强 算子拓扑下连续的全序正交投影族对口中投影只我们令 p + = i n f q 卢：q p ) 和n = s u p q 卢：0 p ) 如果p + 一p 0 或者p 一殳0 ，那么称p + 一p 或p p _ 是p 中的原子 m 中相应于套卢的套子代数记为a l g m ，定义为a l g m f l = t m ：p t p = t p 对所有的p 声) 由投影 p ：p 所生成的v o nn e u m a n n 代数称为卢的 核，记为c ( p ) v o r ln e u m a n n 代数( a l g m f l ) n ( a l g m f l ) + 称为a l g m f l 的对角，记为 口( 卢) 令佗m ( p ) 表示由 咫p 1 ：t m ，p 册生成的范数闭子代数如果m 是因子v o nn e u m a n n 代数，由 1 8 知口m ( 卢) + 冗m ( p ) 在a | g m f l 中是弱稠的当 m = 8 ) 时，a l g m 3 称为套代数，并记为a l g f l 1 1 基本概念 定义1 1 1 ( 1 6 】设m 是作用在复可分h i l b e r t 空间死上的v o l ln e u m a n n 代 数，称m = s ：t s = s t ，v t m ) 为m 的一次交换子；类似地，称( m ，) ，= m ” 为m 的二次交换子 定义1 1 2 1 1 6 17 4 中的v o nn e u m a n n 代数m 是8 ) 的+ 一子代数满足 m = m ” 3 定义1 1 3 1 1 6 设m 是v o nn e u m a n n 代数，如果m 的中心z ( m ) = c ，则 称m 是因子的，其中c 代表复数域 定义1 1 4 2 】设c 是b a n a c h 空间爿的一族闭子空间称c 是子空间格，如 果 ( 1 ) ( 0 ) ，z c ； ( 2 ) 对c 的任一族子空间 l i c ：i a ，总有v i h l i ，a i e h l , c ，其中v 表示子空间的线性扩张， 表示子空间的交 设c 是b a n a c h 空间z 的一族闭子空间，b ( x ) 定义 l a t a = 己：l 是石的闭子空间使得t l l ，对任意t 4 易证l a t a 是子空间格，并称其为对应于一4 的子空间格 定义1 1 5 n 设z 是b a n a c h 空间，一4cb ( x ) 是一算子代数，如果a = a l g l a t a ，则称4 是自反的；对偶地，如果c = l a t a l g ：，则称z 上的子空间格c 是自反的 在h i l b e r t 空间上，自伴的自反算子代数是v o nn e u m a n n 代数；反之，任意 v o nn e u m a n n 代数都是自反的有关v o r ln e u m a n n 代数的一些知识可参阅文 1 6 】 定义1 1 6 n 作用在b a n a c h 空问z 上的标准算子代数是指包含单位算子f 和所有有限秩算子的召( z ) 的弱闭子代数 定义l ，1 7 【2 】设爿和y 为赋范空间，线性算子t ：石_ y ，定义i ，l _ s u p i it xi i ：1 fz | | 1 ) ，称为的t 范数如果| | t | l v ( p ) u 是一个投 影由p 是一个非平凡投影知，p ( p ) 】0 ，所以只有q 2 = 0 于是由( 1 7 ) 知 妒( p 上) 1 p ( 4 b ) 一妒( a ) 妒( b ) = 0 ( 1 9 ) 另外，在此情形下由引理2 1 4 ( 3 ) ，我们知道 妒( p ) 妒( a b ) 妒( p j 。)= 妒( p a p b p l ) + t ( p a p l b p l ) = 妒( p a p ) p ( p b p 上) + 妒( p a p 上) 妒( p 1 b p l ) = 妒( 尸) 妒( a ) 妒( p ) 妒( b ) p ( p 上) + 妒( p ) 妒( 4 ) 妒( p 上) 妒( b ) 妒( p j 。) 由此式，从而对任意a ，b a l g m 芦，有 妒( p ) 眙( a b ) 一p ( 4 ) 妒( 曰) 】妒( p 上) = 0 ( 2 0 ) 由( 1 8 ) 一( 1 9 ) 式，则对任意a ，b a l g m p 有 p ( a b ) = 妒( a ) 妒( b ) 如果对任意t a l g m p ，都有, w ( p t p 上) = 妒( p 上) ( t ) 妒( p ) 设x a l g m 砂， 令妒) = 妒( 腑+ j ) ，这里j 是文f 1 5 ，引理2 3 j 中所定义的共轭线性对合算子 不难验证移：a l g f 矿。a l g m 是一个j o r d a n 同构且对任意投影q 胪i ( o ，j ) ， 都有妒( q x q 上) = 妒( q ) t f i ( x ) 妒( q 上) 证毕 定理2 1 2 注显然，同构和反同构都是j o r d a n 同构，然而也存在不是同构 或反同构的j o r d a n 同构我们看下面的例子( 见文f 2 8 1 ) 在看例子之前我们先看 几个符号 设f 是特征为2 的域，7 - n ( f ) 表示f 上所有n n 上三角矩阵( 韪j ) 1 。勺。 是瓦( f ) 的矩阵单位 例1 设i t 3 ，对t 兀( f ) ，定义妒( 丁) = t + t r ( t d ) i ，其中打表示矩 阵的迹可以证明妒是一个一一映射，因为妒是线性的，因而是满的从而妒 是j o r d a n 同构令d = e 1 1 + e 2 2 ，a = e l l + e 1 3 ，b = 毋2 ，a ，b 兀( f ) ，我们 有妒( 4 ) = 毋3 + 岛2 + 易3 ，妒( b ) = 蜀】+ 局3 ，a b = 0 ，妒( a ) 咿( b ) = e 1 3 + 毋3 且 妒( b ) 妒( a ) = e 1 3 + e 3 ，因此， 妒( a 曰) 妒( a ) 妒( b ) 且妒( a b ) 妒( b ) 妒( a ) 这表 明妒既不是同构也不是反同构 1 2 5 2 2因子v o mn e u m a n n 代数中套子代数上的局部自同构 首先，我们给出局部自同构的定义； 定义2 2 1 【1 】设4 是一个代数，圣：a _ a 是一个线性映射，如果对任意 a a ，都存在a 上的自同构蛋。( 依赖于a ) ，使得垂( o ) = 吼( n ) ，则称垂是4 上的 局部自同构 下面的定理是这一节的主要结果： 定理2 2 2 设卢是因子v o nn e u m a n n 代数肘中的非平凡套，m 是a l g m f l 上的一个弱连续的满的线性局部自同构则对任意的a ，b a l g m 3 ，有圣( a b ) = 垂( a ) 垂( 口) ， 我们将定理2 2 2 的证明分解为若干个引理以下我们总假设卢是因子v o n n e u m a n n 代数m 中的非平凡套，a l g m 3 是相应于卢的套子代数，c ( z ) 表示a | g m f l 的中心，z k ( 卢) 表示a l g m 3 的对角，n m ( z ) 表示由 p t p 上：t m ，p 口) 生 成的范数闭的子代数，圣是a l g f 卢上的一个弱连续的满的线性局部自同构 由局部自同构的定义可得下面的引理； 引理2 2 3 ( 1 ) 对任意的幂等算子e a l g f 卢，有西( e ) = 西( e ) 2 ； ( 2 ) 如果a & l g m 3 使得a 2 = 0 ，那么圣( a ) 2 = o ； ( 3 ) 如果尸是卢中的投影，那么对任意的t a l g m 3 ，有圣( p 上) 西( t ) 圣( p ) = 0 ， 引理2 2 4 对任意的t m 和p 卢，都有垂( p t p j ) = 圣( p ) 圣( p 丁p j 。) m ( p j ) 证明令e = p + p t p 上，则f 是a l g m 3 中的幂等算子因此由引理2 2 3 ( 1 ) 知， 圣( p ) + 垂( p t p 上) = p ( p ) + , 垂( p t p j ) 】2 即v ( p t p l ) = 垂( p ) m ( p t p l ) + 圣( 刀p j 。) 垂( p ) 从而 圣( p ) 西( p t 尸上) 圣( p ) = 西( 尸上) 垂( p t p 上) 垂( 尸上) = 0 再由引理2 2 3 ( 3 ) ，西( p 1 ) 西( p t p l ) 圣( 尸) = 0 因此对任意的t m 和p _ 8 有 证毕 垂( p t p j ) = 圣( p ) 圣( p 丁p 1 ) 垂( p 上) 引理2 2 5 对卢中的任意投影p 有圣( p m p l ) = 垂( p ) m 圣( p 上) 1 3 证明由引理2 2 4 得圣( p m p l ) 西( p ) m 西( 尸1 ) 再由引理2 2 3 ( 3 ) 知 垂( p 1 ) ( a l g m f l ) 圣( p ) = 0 特别地，对任意的q 卢， 虫( p 。) q m q 上中( p ) = 0 注意到肘是因子v o nn e u m a n n 代数，于是有圣1 ) q = 0 或者q 1 圣( p ) = 0 这 蕴涵着垂( 尸) m 中( j p l ) a l g m 卢对面_ 1 进行同样的讨论得圣_ 1 p ( p ) m 垂( 尸1 ) 】 p m p l ，即圣( p ) f 西( p 1 ) 西( p 彳p 上) 因此，垂( p m p 上) = 圣( 尸) m 西( p j 。) 证 毕 引理2 2 6 对任意的t c ) 和d d m ( 卢) ，都有o ( t d ) = 西( t ) 圣( d ) = 垂( d ) 垂( t ) 证明因为圣是范数连续的且c ) ( r e s p 。d 吖( 口) ) 中投影的线性张在c ) ( r e s p ：d m ( p ) ) 【3 0 ，定理5 2 2 中稠密，因此我们只需证明下式成立： o ( e f ) = 圣( e ) 西( f ) = 西( f ) 雪( 司，对任意投影e c ( 声) 和f 口肼( 卢) 由引理2 ，2 3 ( 1 ) 知，e e f 和e 上一e 上f 都是口m ) 中的投影，所以 2 雪( e f ) = 中( e ) 垂( e f ) + 圣( e f ) 圣( e ) 和 2 垂( e 上f ) = 圣( e 上) 垂( e 上f ) + 圣( e 上f ) 西( e 上) 这蕴涵了o ( e f ) = 西( f ) 垂( e f ) 和西( e ) 圣旧1 f ) = 0 从而 圣( e f ) z 圣( e ) 净( e f ) + 西( e 上f ) = 面( e ) 西( f ) 类似地，我们可以证明圣( f e ) = 西( f ) 西( e ) 成立证毕 引理2 2 7 对任意的d 口m ( 卢) 和a 咒肘( 卢) ，都有圣( d a ) = 西( d ) 圣( a ) 和圣( a d ) = 圣( a ) 圣( d ) 证明因为垂是范数连续的，且集 p t p j 。：p 卢，t m ) 的线性张在 ，兄m ( 卢) 中稠密，所以只需证明下面两个等式成立, i ( q p t p l ) = 西( q ) 垂( p r p l ) 和垂( p t p 上q ) = 圣( p t p 上) 垂( q ) ，对任意的q 口m ( 卢) 和t m ， 令e = q p + q p t p l ，则e 是a l g m f l 中的幂等算子，于是由引理2 2 3 0 ) 知，, 亚( q p t p 上) = 西( q p ) 垂( q p t p 上) + q ，( q p t p 上) 垂( q 尸) 又由引理2 2 4 和引 1 4 理2 26 得 和 从而 o ( q p ) , 垂( q p t p 上) = 西( q ) 圣( p ) 垂( q 尸丁尸上) = 垂( q ) 圣( q p 丁p 1 ) , 垂( q p t p 。) 西( q p ) = ( 垂( q p t p l ) 币( p ) 垂( q ) = 0 o ( q p t p 上) = o ( q ) 西( q p t p 上) 对幂等算子f = q 上p + q 上p t p 上进行同样的讨论得 垂( q 上p t p 上) = 圣( q 上) 圣( q 上p t p 上) 故由( 2 2 ) 式得垂( q ) 西( q 1 p t p 上) = 0 因此 , 垂( q p t p 上) = 垂( q ) f 圣( q p t p 上) 十圣( q 上p t p 上) = o ( q ) o ( p t p 上) 类似地。我们可以证明等式圣( p t p l q ) = o ( p t p 上) 西( q ) 成立 引理2 2 8 对任意的gd 口m ) ，都有o ( c d ) = o ( c ) o ( d ) 证明设p 是z o ，j ) 中的一个给定投影，由引理2 ，2 7 得 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 西( c d ) o ( p t p 上) = 垂( c d p t p 上) = c h ( c ) 圣( d p t p l ) = 圣( c ) 圣( 口) 圣( p t p 上) ， 对任意的t m 所以由引理2 2 5 ，有【o ( c d ) 一圣( c ) 圣( d ) 】圣( p ) m 圣( p 1 ) = 0 注意到m 是因子y o nn e u m a n n 代数，于是有 陋( g d ) 一圣( g ) 西( d ) 】西( p ) = 0 ( 2 3 ) 类似地，可以证明 圣( _ 尸上) 垂( c d ) 一面( g ) 垂( d ) 】= 0( 2 4 ) 也成立于是由引理2 2 6 有圣( 尸c ) = 西( p ) 垂( g ) = 圣( c ) 圣( p ) 和西( d p i ) = 西( d ) 西( p 1 ) = 圣( p 上) 圣( d ) ，这说明 西( 尸) 圣( c r ) 圣( d ) 圣( p 上) = o ( p c ) 圣( d p 上) = 西( c r 尸) 西( p 上d ) = 0 ， 1 5 和 所以 中( p ) 圣( g d ) 圣( p j ) = c 奎( p c d p 上) = 0 圣( p ) 西( g d ) 一中( c ) 垂( d ) 西( p 上) = 0 ( 2 5 ) 由等式( 2 3 ) 一( 2 s ) 可得o ( c o ) = 圣( 8 ) 圣( d ) 证毕， 引理2 2 9 对任意的a ，b n m o ) ，都有中( a 日) = 中( a ) 圣( b ) 证明因为圣是范数连续的，且集 p ? p 1 ：p 卢，t m ) 的线性张在 冗m ( 口) 中稠密。所以只需证明对任意的投影只q 口和x ，y m ，有 圣( p x p 上q y q 上) = 西( p x p 上) 垂( q y q l ) 事实上，如果p q ，由引理2 2 3 ( 3 ) 和引理2 2 4 圣( p x p 上q y q 上) = 垂( p x p 上) 圣( q y q 上) = 0 如果p q ，令e = p 1 q + p 上q y q 上4 - p x p 上q + p x p j 。q y q 上，那么e 是 a l g 吖口中的幂等算子引理2 2 3 ，2 2 7 和2 2 8 说明 圣( p x p 上q y q 上) = 圣( p x p 上q ) 垂( p 上q y q l ) = 西( p x p 上) 圣( q ) 圣( p 上q y q 上) = 中( p x p 上) 垂( p 上) 西( q y q l ) = 圣( p x p 上) 圣( q y q 上) 定理2 2 2 的证明设x ，y 9 m ( z ) + 冗m ( 卢) ，那么x = a + c 且y = 日+ d 这里a ，b 佗m ) 且c ，d 口) 由引理2 2 7 ，2 2 8 和2 2 9 ， 垂( x y ) = 垂( a ) 垂( b ) + 中( g ) 中( 口) + 壬( a ) 圣( d ) + 垂( g ) 圣( d ) = 西( y ) 圣( 1 ，) 因为西是弱连续的且d m ( 声) - 4 - 冗m 拶) 在a l g m 卢中是弱稠的，所以圣是a l g 肘卢上 的自同构证毕 如果多是因子v o n n e u m a n n 代数m 中的一个有限套，那么口m ( 声) + 冗 f ) = a l g m 卢于是我们有下面的推论： 1 6 推论2 , 2 1 0 设p 是因子v o nn e u m a n n 代数m 中的一个非平凡有限套那 么a l g m 卢上的每一个范数连续的满的线性局部自同构是自同掏 2 3因子y o r en e u m a n n 代数中套子代数上的2 - 局部自同构 我们首先给出2 一局部自同构的定义： 定义2 3 1 【2 5 】设一4 是一个代数，皿：一4 _ 一4 是一个线性映射，如果对任意 a ，b a ，都存在4 上的自同构础( 依赖于a 和b ) ，使得( 8 ) = 皿。，6 ( n ) ，皿( 6 ) = 雪。，6 ( 6 ) ，则称皿是a 上的2 一局部自同构 下面是本节的主要结论： 定理2 3 2 设芦是因子v o l ln e u m a n n 代数m 中的非平凡套，皿是a l g m 廖 上的