（光学工程专业论文）几种二次曲面透射光栅的衍射特性研究.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 任何一种衍射单元周期性地重复排列的一维或二维的阵列，能对入射光的振幅和 位相或二者之一产生空间调制的都可以称作光栅，按不同的简单分类方法，有振幅型 和位相型、透射式和反射式等等。光栅在光学和其他领域有广泛的应用，主要作用是 色散、分束、偏振和位相匹配。因此对相位型的特殊结构的透射衍射光的理论分析和 作用分析就显得异常重要。 本论文主要用标量衍射理论和计算机模拟来分析二次曲面组成的几种柱面透射光 栅的衍射特性，列出其频谱面上光强的表达式，在符合抽样定理的前提下，得出计算 机模拟的结果，为其应用提供理论和参考。 第一部分绪言，简单介绍了光栅的发展历史和光栅加工工艺的发展历史，介绍了 光栅理论的发展过程。根据光栅的不同空间频率范围应用的理论不同，主要阐述了矢 量理论的发展历史和现状，介绍了几种比较成熟的分析方法，最后介绍了光栅的分类 和基本性质。 第二部分理论分析，由惠更斯菲涅尔基尔霍夫标量理论出发，从频域的角度来讨 论标量衍射理论，介绍了菲涅尔衍射和夫琅和费衍射成立的条件和傅立时变换。对圆 柱面组成的透射光栅的衍射特性进行理论分析，得出其复振幅透过率和衍射光强分布 的表达式。 第三部分用计算机模拟出圆柱面透射光栅的衍射光强分布随圆柱面半径和折射率 的变化规律，进行了光学实验。得到理论分析、模拟结果和光学实验结果三者相符， 针对其衍射特性提出了可能应用。 第四部分研究椭圆柱面，双曲柱面和抛物柱面各自组成的透射光栅的衍射特性， 推导出其频谱面上光强的表达式，得出衍射光强随二次曲面参数变化的规律，并对计 算机模拟结果作简要的分析。 晟后对本论文的研究工作进行了总结。 关键词：衍射二次曲面透射光栅傅立叶分析m a t l a b 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t a n yo n e - d i m e n s i o no rt w o - d i m e n s i o na r r a yt h a tb ec o n s i s to fp e r i o d i c i t yd i f f r a c t i v ec e l l a n dm a k et h ea m p l i t u d eo rt h ep h a s eb em o d u l a t ei ns p a c e ，t h e nt h i sa r r a yc a nb en a m e da s g r a t i n g , b yd i f f e r e n tc l a s s i f i c a t i o nm e t h o dt h eg r a t i n gc a nb ec l a s s i f i e da sa m p l i t u d et y p ea n d p h a s eq p e , t r a n s m i t t e dt y p ea n dr e f l e c t i o nt y p ee t e t h eg r a t i n gh a v ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n i no p t i c sa n do t h e rd o m a i n ，i t sg r e a tf u n c t i o ni sd i s p e r s i o n , s p l i t t e r , p o l a r i z a t i o na n d p h a s e m a t c h s oi ti si m p o r t a n tt os t u d yt r a n s m i t t e dd i f f r a c t i v el i g h to ft h ep h a s e t y p ei nt h e o r ya n d a c t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o ns c a l a rd i f f r a c t i o nt h e o r ya n d c o m p u t e rs i m u l a t i o na l eu s e dt oa n a l y s e t h ed i f f r a c t i v ec h a r a c t e f i s t i co fc y l i n d r i c a lt a n s m i s s i o ng r a f i n bt h a tb em a d eu po fq u a d r i c , t h e nt h eo p t i c a li n t e n s i t yf o r m u l ao fs p e c t r u mp l a n ec a nb eg a i n e d i na c c o r dw i t hs a m p l i n g t h e o r e mi tc a l lb eo b t a i n e dt h er e s u l to fc o m p u t e rs i m u l a t i o n , i tc a np r o v i d et h e o r ya n d p r a c t i c ef o u n d a t i o n i nt h ef i r s tp a r t ，t h eg r a t i n g ，t h eg r a t i n gt e c h n o l o g yc r a f t s m a n s h i pa n dt h e g r a t i n gt h e o r y o f h i s t o r ya r eb r i e f l yi n t r o d u c e d t h e na c c o r d i n g t ot h eg r a t i n g sd i f f e r e n c es p a t i a lf r e q u e n c y a p p l i e sd i f f e r e n c et h e o r y , t h eh i s t o r ya n da c t u a l i t yo fv e c t o rt h e o r ya t em a i n l ye x p a t i a t e d , s o m ea d v a n c e da n a l y s i sm e t h o di ss h o w n f i n a l l yc l a s s i f i c a t i o na n dt h eb a s i cp r o p e r t yo f g r a t i n ga r ei n t r o d u c e d i l lt h es e c o n dp a r t , b a s e do nh u y g e n s - f r e s n e l s - k i r c l t h o f fs c a l a rt h e o r yt h ed i f f r a c t i o n t h e o r yi sd i s c u s s e db yf i e q n e n c yr e g i o n ；t h e nc o n d i t i o n so ff r e s n e l sd i f f r a c t i o n ( n e a r - f i e l d d i f f r a c t i o n ) a n df r a u n h o f e rd i f f r a c t i o n ( f 缸- f i e l dd i f f r a c t i o n ) ，f o u r i e rt r a n s f o r ma r es h o w n t h ed i f f r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i co fc y l i n d r i c a lt a n s m i s s i o ng r a t i n gi sa n a l y z e d ，a n dt h e nt h e o p t i c a li n t e n s i t yf o r m u l ai so b t a i n e d i nt h et h i r dp a r t ，b yc o m p u t e rs i m u l a t i o nc h a n g ec o r r e l a t i o n si so b t a i n e db e t w e e n d i f f r a c t i n gi n t e n s i t ya n dc y l i n d r i c a lr a d i u s , i n d e x ；t h er e s u l t sa r ei nc o n s i s t e n tw i t ht h e e x p e r i m e n ta n dt h e o r y , t h e nt h ea p p l i c a t i o no fd i f f r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i ci sp r o v i d e d j i 华中科技大学硕士学位论文 i nt h ef o u r t hp a r t , t h ed i f f r a c t i v ec h a r a c t e r i s t i co ft h et a n s m i s s i o n 哥a t i i i 蓼i ss t u d i e d , w h i c hi sm a d eu po fe l l i p t i cc y l i n d e r , h y p e r b o l i cc y l i n d r i c a la n dp a r a b o l i cc y l i n d e r , t h e o p t i c a li n t e n s i t yf o r m u l ao fs p e c t r u mp l a n ei so b t a i n e d ，c h a n g ec o r r e l a t i o n so fd i f f r a c t i n g i n t e n s i t ya n dc o n c o r d sp a r a m e t e ri ss h o w n , a n dc o m p u t e rs i m u l a t i o nr e s u l t sa l ea n a l y z e d b r i e f l y f i n a l l yt h ew o r k o f t h i sd i s s e r t a t i o ni ss u n l l n l r i z e d k e yw o r d s ：d i f f r a c t i o n c o n i c o i dt a n s m i s s i v e g r a t i n g f o u r i e r 仃a n f o r m h d l a b 玎i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 黜姗躲藏锄 日期：妒年，。月；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于， 不保密影 ( 请在以上方框内打“v ”) 学位论文作者签名： 日期：矽年，o 月 私眵 l ；o 日 ：游砂 日期：彳年，d 月，d 日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪言 1 1 衍射光栅发展简述 衍射光栅是1 8 世纪就问世的光学元件，经历了多少代科学工作者探索和不断开拓， 发展日益完善。近年来，在工业生产和科学技术的发展中起着越来越大的作用。它作 为色散元件，广泛用于多个领域，是分析物质成分、探索宇宙奥秘、开发大自然的必 用仪器。此外，随着现代科学技术的发展，衍射光栅己大量用于激光器、集成光路、 光通信以及工业计量和控制中，特别是在集成光学领域中，光栅已成为一个很重要的 研究方向，衍射光栅的理论也日臻完善。衍射光栅的重要作用推动了它的发展，世界 上对衍射光栅的需求越来越大。 1 1 1 光栅早期的发展 最早的光栅，要归功于美国天文学家d a v i d r i t t e n h o u s e 1 7 8 6 年他在两根由钟表 匠制作的细牙螺丝之间，平行地绕上细丝，在暗室里透过它去看百叶窗上的小狭缝时。 观察到三个亮度差不多相同的像，在每边还有几个另外的像，“离主线越远，它们越暗 淡，有彩色，并且有些模糊”i l i 。他实际上制成了晟早的透射光栅。并且还在费城做了 光栅实验。他制作的最好光栅，约为4 3 线m m i ”。 1 8 0 1 年托马斯杨氏在“光的理论_ 文中，详细介绍了他研究光栅的情况。他利用 一块刻有周期约为o 0 5 m m 的一系列平行线的玻璃测微尺当作光栅，作了如下的观察： “让阳光以4 5 0 方向入射，当其以某一条刻线为轴旋转时，可以测出光的偏转角； 我发现最亮的红线出现在偏转角为1 0 5 0 ，2 0 7 5 0 ，3 2 0 和4 5 0 处，它们的正弦之比为1 ， 2 ，3 ，和4 4 3 1 。1 8 1 3 年，他认识到所观察到的彩色是由于相邻刻线的微小距离所致。 在光栅发展的早期，人们对光栅的认识还只是初步，仅对一些由光栅引起的现象 进行详细描述，却没有上升到理论高度。与此同时，在光栅制作上也仅仅是开始尝试， 并且没有给光栅定义。 华中科技大学硕士学位论文 1 1 2 光栅的中期发展 f r a u n h o f e r 用带棱镜的分光计细致地研究了太阳光谱，1 8 2 1 年他用两个完全相同 的1 2 6 牙e m 的细牙螺丝平行放置，在其相邻螺纹中绕上细丝，将细丝与螺丝粘好去掉 一面的细丝，剩下的一边成为栏栅状，制成了他的细丝光栅。f r a u n h o f e r 对光栅有着浓 厚的兴趣，对其偏振、闪耀，光栅间距的周期性改变做了一定的研究，同时利用他自 己刻制的特殊光栅，用太阳光作为光源最早发现了“鬼线”。 1 8 4 6 年，f r i c d r l c h a d o l p h n o b e d 制成2 4 0 线m m 的透射光栅，但其分辨率和强度 较低，只能用作教学工具。1 8 6 7 年，卢瑟福( 1 _ e w i sm e c r i s r u t h e r f u r d ) ，设计了以水轮机 为动力的刻划机，制作的光栅优于当时最好的光栅。 1 9 世纪8 0 年代，罗_ = “( h e m y a u g u s t u sr o w l a n d ) 为t 系统的测量光谱线的波长，致 力于光栅刻划技术的提高，制成了优良的衍射光栅，1 8 8 2 年他发明了凹面光栅，同时 建立了一整套的凹面光栅理论，还用自制的凹面光栅拍摄了精度大大超过以往的太阳 光谱图。 伍德( r o b e r tw i l l i a m sw o o d ) 继承罗兰的工作，研制出通过改进光栅刻槽的形状， 即利用“闪耀”技术，大大提高光栅的衍射效率。 1 1 3 现代光栅的发展 1 9 4 8 年，迈克耳逊( a l b e r ta b r a h a mm i c h c l s o n ) 提出了关于利用干涉仪控制光栅刻 槽的位置的设想即用干涉伺服系统来控制刻划机的方案，在付诸实施后，使光栅 刻划技术得到了长足的发展，标志着光栅刻划技术进入了新的阶段。 迈克耳逊与1 9 2 7 年还提出了利用两束单色的平行光产生高度均匀的干涉条纹，记 录在适当的介质上以制造高精度光栅的方法。 1 9 6 7 年法国的l a b c y r i e 与德国的r u d o l p h 和s c h m a h l 用光刻胶和a r + 激光器做出 “全息光栅”。它可以消除残留的机械误差，曝光时间又与槽数无关，受到普遍欢迎。 上世纪5 0 年代，采用了“真空蒸发复制法”复制光栅，它是在母光栅上一次复制出 光栅来，而不必先做负片，故称为一次复制法。这种方法大大简化了生产工艺，提高 了光栅质量和生产效率。 华中科技大学硕士学位论文 1 2 光栅加工工艺的发展 最早的光栅是用细丝拼成的，后来便采用刻划机刻划。1 9 4 7 年以前，光栅刻划机 都是机械控制的。1 9 4 8 年以后，便开始采用干涉伺服系统来控制刻划机，这标志着光 栅刻划技术进入了新的阶段。光栅的复制工艺开展于1 9 4 0 年，开始时用火棉胶，直到 1 9 4 9 年才用一镀铝母光栅以真空蒸发法复制成功，到1 9 5 5 年进入商品生产。 2 0 世纪8 0 年代中期，美国麻省理工学院( m i t ) 林肯实验室v e l d k a m p 领导的研 究组在设计新型传感系统中，提出了。二元光学”的概念1 4 , q 。二元光学的发展也促使了 衍射光栅的发展，从某种程度上说，目前应用的大多数光栅电是一种二元光学元件【6 】。 其制作方法主要有三种【5 l ：( 1 ) 掩模刻蚀法。这种方法通过对二元掩模版的多次图形转 印和刻蚀，产生台阶状的二元光学元件。( 2 ) 直写技术。这种方法不需要掩模版，仅通 过调制曝光强度直接在器件表面形成连续浮雕轮廓，( 3 ) 灰阶掩模图形转印法。这种方 法所用的掩模版透射率分布是多层次的，经过一次图形转印就可以形成连续或台阶表 面结构。 在第一种方法中，主要包括掩模版的制作、图形转印和刻蚀三种技术，当然，套 刻技术也是非常重要的。掩模版可用绘图机绘制成红膜图后再精缩而成，也可以用光 学或电子束图形发生器直接曝光生成图形。图形转印技术分接触式、投影式和分步投 影式光刻三种，接触式光刻是将掩模版和涂有光刻胶的基片接触曝光，它的最大缺点 是基片与掩模版的自接接触会引起光刻胶表面损伤及掩模版变形，影响光刻精度。投 影式光刻是将掩模版图形1 ：1 成像于基片表面曝光来完成图形转印，它是目前常用的方 法。分步投影光刻是用紫外光将掩模图形在基片上进行分布投影精缩。刻蚀技术分为 湿刻和干刻两种，湿法刻蚀即化学腐蚀，属于各向同性刻蚀，精度较低；干法刻蚀是 在气相中将要刻蚀的部分变成挥发物质，再加以去除，目前已有离子刻蚀、反应离子 刻蚀和反应离子束刻蚀等工艺，均属各向异性刻蚀，分辩率可达1 0 r i m 。另外，刻蚀属 于减法工艺，除此之外，还存在加法工艺，即薄膜淀积法。 直写技术的主要吸引力在于可以由灵活的加工工艺直接生产平面微光学元件，它 适用于通过压印或模压技术大批量生产低成本的元件。它避免了多次曝光需要的亚微 华中科技大学硕士学位论文 米级对准，能够方便地刻蚀出任意面形的浮雕。直写技术目前主要有两种，即激光束 直写和电子束直写。激光直束写技术非常适用于制造诸如菲涅耳子透镜及相息全息元 件等复杂的、非球面微光学之类的元件。在对电子束敏感的抗蚀剂薄膜上制作连续浮 雕微结构可以用电子束直写替代激光束直写。电子束直写系统有两种主要的类型，分 别是使用聚集屯子束和可变形电子柬。在这两种方法中，电子束的偏转限制在几毫米， 以致于大多数微光学元件的写入需要多扫描区相接合。 目前光栅制作工艺的最大特点是它的可复制性。复制技术可用于大批量的生产， 提高生产效率，降低生产成本。基本的复制工艺就是将一种金属的复制垫片或压模的 面浮雕微结构复制到一种诸如热塑性塑料和可固化聚合物等易成型的材料上。复制面 浮雕光学元件的主要技术主有下面三种： ( 1 ) 热压用冲压机、滚压机或者称之为往复式的复制系统将面浮雕微结构热压 在热塑性的箔片中。 ( 2 ) 注射成型注射成型技术是加工具有微米凹坑浮雕结构光盘( c d s ) 的标准复 制技术，现在正在研究将它用于微光学领域。 ( 3 ) 浇铸长久以来人们都用浇铸技术来生产有很高复制保真度的环氧材料的分 光光栅。这种技术的一个优点是复制出的膜层对随后的溶剂镀膜有相当好的稳定性， 并特别适用于高纵横比微结构的复制。 1 3 光栅理论的发展 我们将光栅衍射理论分为两个大类，第一个大类就是根据光栅的几何参数和物理 参数，确定光栅的衍射行为。第二个大类则是根据光栅的衍射行为要求和入射场参数， 确定光栅的几何参数和物理参数。第一个大类又称为光栅的正问题，第二个大类称为 光栅的逆问题。 正问题发展得较为完善，主要分为标量衍射理论和矢量衍射理论。标量理论衍射 主要是以基尔霍夫衍射理论为基础，并包括在此基础上发展起柬的菲涅耳衍射理论、 夫琅和费衍射理论和角谱理沦i 。目。标量衍射理论只适用于光栅周期远大于工作波长、 并且刻槽较浅的光栅。当光栅的单位宽度远大于( 5 个以上) 波长，台阶深度较小( 一两个 4 华中科技大学硕士学位论文 波长以内1 时，标量衍射理论还是比较成功的。但对亚波长光栅而言，其结构尺寸为波 长、亚波长量级，刻独深度也较大( 达数个波长) ，这时，标量衍射理论的假设不再成立。 必须使用矢量衍射理论方法来分析和设计。 标量衍射理论将在第2 章作详细介绍。 相对于光栅正问题发展的完善程度，光栅的逆问题理论则显得薄弱得多。我们可 以采用二元光学中的相位恢复优化算法来研究光栅的逆问题，目前发展起来的优化算 法有g s 算法, l o l 、杨顾算法p ，1 1 矧、遗传算法【s 叫以及模拟退火算法口，1 q 等。 1 3 1 光栅矢量衍射理论的发展史 光栅矢量理论的发展历史大致可以被分为三个阶段。第一阶段始于上世纪6 0 年代 初，至于7 0 年代末，其问严格理论的必要性和基础框架被建立起来，两种最重要的光 栅计算方法，积分法和微分法被充分的发展起来了。由p e t i t 主编的 e l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y o f g r a t i n g s 一书总结了这一阶段的成果。光栅理论的第二个发展阶段跨越了上 世纪七十年代末到九十年代初的十多年时间，它的特点是众多的光栅计算方法如雨后 春笋般地产生和己知算法迅速地扩大其应用领域( 如从理想导体到真实导体和电解质 材料、从各向同性到各向异性材料，从裸光栅到镀膜光栅，从一维到二维，等等1 ，事 实上，迄今为止人类所知道的大多数光栅计算方法已经在这个时期末之前被发明和发 展起来。美国光电子协会出版的里程碑系列第8 3 卷， s e l c c l c dp a p e r so nd i f f r a c t i o n g r a t i n g s ) ) ，收集了人类有史以来，截至1 9 9 2 年，一些最重要的有关光栅的论文，因此， 它也部分地记录了光栅理论的第二个发展阶段的成果。光栅理论的第三个发展阶段开 始于9 0 年代初，一直持续至今。顺应日益广泛的光栅应用对快速可靠计算方法的迫切 需要，它以对现有算法的数值稳定性和收敛速率进行改良为特征。 1 3 2 光栅矢量衍射理论的发展现状 矢量衍射理论的基础是严格的电磁波理论，不作任何的近似和假设，使电磁场严 格满足麦克斯韦方程组和边界条件，从而对光学元件的性能进行研究。经过近半个世 纪的发展，先后形成了比较成熟的方法主要有积分法、微分法、瑞利方法、傅立叶模 方法和坐标变换法。 华中科技大学硕士学位论文 积分法包括体积积分法和表面积分法，由于表面积分法积分维数较少，因此计算 量也相对比较少，目前在光学中得到广泛的应用，常用的积分法为上个世纪六十年代 发展起来的有限元法( f e m ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) f 冽和扩展边界条件法( e m c b ， e n l a r g e db o u n d a r yc o n d i t i o nm e t h o d ，与瑞利方法等f r ) t 1 6 - 2 2 1 。有限元法是以变分原理为 基础并吸收差分格式的思想而发展起来的一种数值方法，把求解无限自由度的待定函 数变为有限个自由度的待定值问题的求解，该方法适用面较广，但计算量特别大，因 而对计算机要求特别高，而且精度不够高，所以目前已很少有人采用。扩展边界条件 法是一种简捷的数值方法，其基础是假设在光栅表面上电磁场是由向外传播的行波和 衰减的倏逝波叠加而成。 上世纪八十年代，逐渐发展起来的微分法主要有瑞利一傅立叶模方法f 简称瑞利方 法) , z q 、傅立叶模方法( 耦合波分析与此等价) 【”侧和坐标变换法( 包括保角变换 法p 剖。其中傅立叶模方法由于计算相对简单、计算难度相对较小，因此是目前应用 最为广泛的方法。 瑞利一傅立叶模方法( r f m ) 的理论基础是瑞利假设，即假设在光栅面形皱纹区之 内，电磁总场是由无穷多的平面波叠加而成。其主要求解思路是：先分别将光栅界面 两侧的电磁场按傅立叶模式展开，然后代入界面两侧电磁场的麦克斯韦方程组并求解 出电磁场的傅立叶展开系数在光栅分界面切向的表达式，再根据电磁场的边界条件， 最后确定光栅界面两侧电磁场各个傅立叶模式的振幅系数，从而得到各级的反射率和 透射率。 1 9 8 1 年由m m o h a r a m 提出藕合波分析方法【2 7 】首先用于特殊情况，后来逐渐推广 到任意光栅情况，九十年代经不断改良和完善现也称为傅立叶模方法。该方法的基 本作法是：首先对求解区域进行水平分层，然后对每一分层求解麦克斯韦方程组。如 果用夫洛开解来表示每一分层基本模式场的横向坐标解，就得到藕合波方程，解耦合 波方程，最后就得到了每一分层的基本模式场。这就是耦合波分析方法。如果直接用 夫洛开一傅立叶函数来表示每一分层的基本模式场，其傅立叶系数间的关系就构成了 一个本征矩阵方程，解本征矩阵方程，最后就得到了每一分层的基本模式场。这就是 傅立叶模方法。可由耦合波方程严格导出本征矩阵方程，因此傅立叶模方法和耦合波 华中科技大学硕士学位论文 分析方法是等价的，但本征矩阵方程更规范、更简单、更易数值求解。每一分层的电 磁场足其基本模式场的线性叠加。叠加系数( 即基本模式场的振幅) 由各分层问的边 界条件和已知的入射波相联系。这些联系方程构成一个线性代数方程组。解线性代数 方程组，即可求得叠加系数值，从而确定了整个电磁场分布。 f m m 从r c h u l 2 4 1e ta l 开始，经l i l i f e n ge ta l 的发展和改进【“，其稳定性和收 敛性均很完善。目前，傅立叶模方法能够处理任意入射、任意面形、任意( 包括介电 常数和磁导率均用张量描述的) 介质、任意厚度和任意折射率的光栅衍射问题，而且 所计算光栅的深宽比没有限制，可以计算槽深很深的光栅。该方法的特点是：从麦克 斯韦方程组的求解，逐层递推到最后振幅系数阵的确定都始终在直角坐标系中完成， 对于多分层阶梯型光栅，由于没有模型方面的近似，傅立叶模式法可以给出非常准确 的结果，因此该方法非常适用于求解阶梯形光栅，但如果分界面是任意曲面，则必须 把它剖分成许多薄层的阶梯形光栅去拟合光栅的曲面，从而使计算速度大大下降，而 且计算结果的精度与剖分的层数和剖分的方式( 等宽或等厚分层) 有关，一般而言分 层数越多，结果越精确。 坐标变换法( c m ) 是1 9 8 0 年由j c h a a d e z o n 首先提出的一种矢量计算方法阎。 该方法采用非正交曲线坐标变换法，将光栅的波纹表面变为新坐标系中的平面，从而 简化了边界条件，在新坐标系中麦克斯韦方程组的求解和傅立叶模方法基本相似，实 际上，坐标变换法是对傅立叶模方法的进一步发展。因而可以认为坐标变换法是广义 的傅立叶模方法，该方法通过电磁场协变矢量在不同非正交曲线坐标系中的变换关系 完成对各层电磁场在边界上的匹配。 坐标变换法是一种较为优秀的算法，该方法的最大优势就是通过采用非正交曲线 坐标变换，将光栅的波纹面由直角坐标系下的曲面，变换为曲线坐标系下的平面，然 后在曲线坐标系下的平面分层上匹配边界条件，从而有效地简化了电磁场边界条件的 表达式1 1 。由于该方法无需对曲面再作剖割分层，因而它的计算速度要比f m m 更快， 所以非常善于处理多分层镀膜光栅，但当层与层之间的厚度比较大时，即镀膜厚度比 较厚时，存在数值不稳的问题，因此运用仅限于处理薄的多层镀膜光栅，在理论上由 于非i f 交曲线坐标系中协变麦克斯韦方程组求解的复杂性，大大限制了许多人对该方 华中科技大学硕士学位论文 法的使用。另外与傅立叶模方法相比较，该方法的优势还在于计算结果不依赖于光栅 介质材料的折射率和入射光波的偏振状态。目前该方法己经被推广到一维各向异性光 栅i 。j “，二维各向同性光栅i ”, 3 2 3 3 1 ，非均匀介质光栅1 3 4 1 和多分层、面形函数各不相同 光栅【划问题的衍射分析，总之对于那些光栅槽不是特别深的浮雕光栅，其计算效率明 显优于傅立叶模方法。 随着多分层问题的出现和层厚的加深，导致方程系数阵的猛然增大和矩阵病态度 的激剧变坏。直接解方程组不仅计算量猛然增大，更主要的是出现了极不稳定的问题。 人们在不稳定的问题上困扰了许多年。同时，由于计算速度和计算精度问的矛盾，如 何加快收敛速度也引起了人们的高度重视。1 9 9 3 年以来，人们在数值计算的稳定性和 收敛性上作了大量的工作，并取得了突破性的进展。 为了提高线性代数方程组的稳定性和计算速度，人们提出了各种各样的递推算法， 其中较典型的有r 矩阵算法及其各个变种、s 矩阵算法及其各个变种、增强透射矩阵 算法、反射透射系数阵算法( r t c m ) 。上述几种算法都是稳定的，但其物理模型和计算 速度是有差别的。r - 矩阵算法是一种“电压型四端刚络，物理模型1 3 5 i ，s - 矩阵算法是一 种“电流型四端网络”物理模型【2 9 l ，增强透射矩阵算法脚】是一种没有物理意义的纯数学 处理方法，r t c m 算法是一种“入射、反射、透射的三端网络”物理模型吲。最好的算 法是r t c m 算法，其物理概念更清晰、公式更简洁、数值计算速度更快，稳定性好， 其次是s 矩阵算法。 另一个重要的问题是收敛性。对于t m 偏振波情况、或t m 波与t e 波相互耦合 的情况，老方法的收敛性是很差的。1 9 9 6 年，ll i 提出了“函数乘积的傅立叶分解规 则”，并把这种规则应用到各种不同的光栅中，大大提高了计算的收敛速度，在计算精 度保持不变的情况下，使计算速度提高了几个量级”i 。 在过去的四十年里，光栅理论的研究成果主要来源于少数几个科技先进国家内工 作的学者，其中以法国最为突出，其次是美国和欧洲一些国家，日本和前苏联并不突 出。在理论应用方面，工业先进国家的光栅制造公司和使用光栅的科研部门都是先对 光栅进行计算机理论设计。 矢量衍射数值计算方法的发展和完善，为二元光学元件，特别是为波长量级甚至 华中科技大学硕士学位论文 亚波长量级以及精密光学元件的分析与设计研究提供了强有力的工具，同时，微细加 工技术的飞速发展，使得加工波长尺寸量级的特征光学元件成为可能。 1 4 衍射光栅的分类 因为不同种类的光栅往往需要不同的理论分析方法和计算方法来分析衍射特征， 因此有必要在此做一个关于光栅种类【”舯1 的介绍。 光栅的种类繁多，分类准则也有很多。按材料分；有金属光栅和介质光栅：按使 用衍射光的方向分：有透射光栅和反射光栅：按面形分；有平面光栅和凹面光栅；按 周期维数分：有一维光栅和二维光栅；按槽形分：有正弦光栅、矩形光栅、阶梯光栅 等；按制作方法分；有机刻光栅、全息光栅、全息一离子蚀刻光栅、母光栅、复制光 栅等：按折射率调制方式分：有浮雕光栅和体光栅：按使用波长分，有红外光栅、可 见光栅、x 射线光栅：按应用领域分，有光谱光栅、测量光栅，脉冲压缩光栅、激光 光栅等，可以说是不胜枚举。 体光栅是靠光栅材料体内折射率的周期性变化衍射光的，而浮雕光栅靠的是均匀 材料的表面轮廓的周期性变化。因为体光栅的折射率调制非常小，而且折射率的分布 是连续的，所以，相对于浮雕光栅而言，其数学模拟要容易得多，但从使用角度来说， 浮雕光栅比体光栅更耐用，更能抵御环境的变化，因而应用更广泛。 相位光栅和振幅光栅的称谓来源于经典的标量光栅理论，这种理论认为：相位( 振 幅) 光栅对入射光波的作用只表现为对经光栅反射和透射后的光波的相位( 振幅) 按 照光栅的复数反射率和透射率分别加以调制。以现代光栅理论的观点来看，这两个术 语的含义是含混不清的，冈为真正的光栅既不是纯相位的也不是纯振幅的。不过，这 种分类法在历史上曾经起过积极作用，因为旧时的光栅周期长、刻槽浅，标量理论通 常是适用的。但是，现代应用中的许多光栅的周期与使用波长在同一数量级标量理 论是根本不适用的。因此，相位光栅和振幅光栅的概念也就失去了成立的基础。 1 5 衍射光栅的基本性质 光栅主要有四个基本性质i ”l ：色散、分束、偏振和相位匹配，光栅的绝大多数应 9 华中科技大学硕士学位论文 用都是基于这四种特性。 光栅的色散是指：光栅能够将相同入射条件下的不同波长的光衍射到不同的方向， 这是光栅最为人熟知的性质，它使得光栅取代棱镜成为光谱仪器中的核心元件。光栅 的色散性能可以由光栅方程推导出来。 光栅的分束特性是指：光栅能够将一束入射单色光分成多束出射光的本领。应用领 域有光互连、光藕合、均匀照明、光通讯、光计算等。其性能评价指标有【q 衍射效率、 分束比、压缩比、光斑非均匀性以及光斑模式等。目前较常用的光栅分束器有：d a m m a n n 光栅分束器、t a b l o t 光栅分束器、相息光栅分束器、波导光栅分束器等。另外，位相型 菲涅耳透镜阵列分束器、g a b o r 透镜分束器等透镜型的分束器也是相当常用的。 在标量领域范围内，光栅的偏振特性往往被忽略，因此，光栅的偏振性在以前不 被人广知。但是理论和实验都证明，一块设计合理、制作优良的光栅可以被用来做偏 振器、1 2 波片、1 4 波片和位相补偿器等。光栅的偏振特性需要用光栅的矢量理论才 能分析得到，在这儿不作过多的叙述。 光栅的相位匹配性质是：指光栅具有的将两个传播常数不同的波耦合起来的本领。 最明显的例子是光栅波导耦合器，它能将一束在自由空间传播的光束藕合到光波导中。 根据瑞利展开式，一束平面波照射在光栅上会产生无穷多的衍射半面波，相邻衍射波 的波矢沿传播方向的投影之间的距离足个常数，等于光栅的波矢，平面波可以看作是 电磁波在无源、均匀媒质中的一种模式，因此光栅有能力把波矢沿着固定方向而投影 相差光栅波矢整数倍的不同平面波藕合起来。 1 6 本论文研究的意义 对于较低空间频率的振幅型平面透射光栅，位相模型的闪耀光栅和正弦光栅。在 许多光学文献【4 2 】中都有研究，而对较低空间频率的二次曲面组成的位相型光栅，文献 研究较少。本论文从标量衍射理论出发，应用光程和光程差的概念，列出了几种二次 曲面组成的光栅的透射场在谱面坐标系上的复振幅表达式。由于上述表达式无法在不 近似情况下精确求出它的傅立叶变换的解析表达式，因此在符合抽样定理的前提下， 本论文采用计算机抽样进行快速傅立叶变换，得到在谱面坐标系上二次曲面组成的衍 1 0 华中科技大学硕士学位论文 射光栅的光强分布花样。 上述研究，首先得出了用标量理论和抽样定理分析二次曲面组成衍射光栅的方法， 为研究此类光栅提供了简便的方法；其次是在不作近似处理的前提下，用m a t l a b 语 言在计算机上作快速傅立叶变换，得出谱面上的衍射光强分靠规律，为计算机研究此 类光栅提供了新的途径；最后是为二次曲面组成的光栅在光学和其他领域的应用提供 了理论和实践的参考方法。 华中科技大学硕士学位论文 2 圆柱面透射光栅衍射的理论分析 圆柱面组成的透射光栅在其光栅常数较大，即光栅的空间频率较小时，可以用标 量衍射理论来讨论。 2 1 标量衍射理论 电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。用矢量波处 理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起 不能单独处理；但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足： ( 1 ) 衍射孔径比波长大很多； ( 2 ) 观察点距离衍射孔不太靠近； 不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。 光学课程【4 1 罔中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本节将采用平 面波角谱理论i “卅导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱( 角谱) 方法在频域中分析，与用脉冲响应( 点光源传播) 方法在空域中分析是等价的。进而用角 谱方法讨论夫琅和费衍射。 2 , 1 1 经典标量衍射理论 衍射理论要解决问题足：光场中任意一点为p 的复振幅u 列能否用光场中其他各 点的复振幅表示出来。显然，这是一个根据边界条件求解波动方程的问题。惠更斯一 菲涅耳提出的子波干涉原理与基尔霍夫求解波动方程所得的结果十分一致，都可以表 示成在孔径上的面积分形式的如下衍射公式： 。归 u p ) 一c p ( 最) ( p ) 二一d s( 2 - 1 ) t 7 对点光源照明平面屏幕的衍射，基尔霍夫导出的复常数c 和倾斜因子q 8 ) 的表达 形式为 华中科技大学硕士学位论文 c - ( 2 2 ) j k ( o ) 型塑掣( 2 - 3 ) 式中u c p o ) 为衍射孔内的复振幅分布。如图2 - 1 所示，p 为照明平面屏幕的点光源，罚 为孔径z 上的任意一点，p 为孔径后方的观察点。，和r 分别是p 和尸r 到p o 的距离， 二者都比波长要大得多。矢量，和，均指向p o 点。i 表示z 面上法线的正方向。式( 2 1 ) 所表示的仅是单个球面波照明孔径的情况，但是衍射公式可以适用于更普遍的任意单 色光照明的情况。这是因为任意复杂的光波都可以分解为简单球面波的线性组合，波 动方程的线性性质允许对每一单个球面波应用衍射公式，再把它们在p 点产生的贡献 叠加起来。 图2 - 1 点光源照明平面屏幕的衍射 根据基尔霍夫对平面屏幕假定的边界条件。孔径以外阴影区内u ( p o ) - - o ，因此，式 ( 2 1 ) 的积分限可以扩展到无穷。从而有 u ( p ) - 击_ e 【，( 晶) 置p p 声d 奎( 2 - 4 ) 但光源足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大时，有c o s ( i ，r 3 一- 1 。 进一步如果观察平面与孔径的距离远大于孔径，而且观察平面上仅考虑一个对孔径上 各点张角不大的范围，即在傍轴近似下，又有c o s 何，) 一1 。从而使k p ) 一1 。再用二 华中科技大学硕士学位论文 项式近似将距离，表示为 r 一乒石习丽哪+ 互l f f - ：x o ) 2 + 学2 】 将上述近似均代入式( 2 4 ) ，得到菲涅耳衍射计算公式 【厂。，y ) - 去e x “卵。( ，y 。) c x p 囔【。一) 2 + ( y y 。) 2 】) 出。咖。( 2 - 5 ) 在此基础上，再做远场近似，对衍射孔采取更强的限制条件，即取； z ，去t 砩+ y ：) 则平方相位因子在整个孔径上近似为1 ，于是 v ( x 幽：) 竺罢粤e x p 【，妻o z + y z ) 】 i z 口 俨如，y o ，o ) e x p 一罢。+ y y 。) 协o d y a 得到夫琅和费衍射公式。 2 1 2 平面波角谱的传播 对任一平面上的光场复振幅分布做空间坐标的二维傅立叶变换，可求得其频谱分 布。由于各个不同空间频率的空间傅立叶分量可看作是沿不同方向传播的平面波，因 此，称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱。 设有一单色光波沿z 方向投射到q r 平面上，在z 处光场分布为u 0 ，y ，z ) 。则函数 u b ，y ，：) 在w 平面上的二维傅立叶变换足 a ( l ，z ) r 户o ，y ，z ) e x p 一j 2 z ( 坑+ 巩) l d “扣 ( 2 - 6 ) 这就是光场复振幅分布u 0 ，y ，z ) 的角谱。吲时有逆变换为 u o ，y ，z ) 。，p ( ，j ， ，z ) e x p j 2 , - t ( x f + y f , ) d x d y ( 2 。_ 7 ) 华中科技大学硕士学位论文 布u 0 ，y ，z ) 可以分别记做 x 夕。 1 1 。 。 乓 萝2 三! 一 一。 ? ( x 见7 。 。 y 。 。 孔径平面 观察平面 图2 2 复振幅分布及其角谱的传播 啪小也( 半，半，。) e x p 【，h ( 半z + 孚，撇半p ( 半) 毗( 半，半寸x 。h 半z + 半，) 叮半h 半) ( 2 9 ) 研究角谱的传播就是要找到z = 0 平面上的角叫半，半，0 ) 和z _ z 平面上的角谱 q 半，t c o s f l ，z ) 之间的瓶 从不含时间变量的标量波动方程出发讨论这个问题，将式( 2 - 9 ) 代人亥姆霍兹方程。 华中科技大学硕士学位论文 变量，可以导叫半，c o r s p ，z 卜须满足的微分方程、 ， 万6 2 4 【半，了c o s 0 寸t 2 ( 1 2 s 2 芦1 4 ( 半，警十。 该二阶常微分方程的一个基本解是( 另一个是倒退波，此处不予讨论) 一降，学，z ) i c ( 半，半，0 ) e x k 压丽) 式中c ( 半，竿) 自初始条件决定z = 。平面上的角谱为q 半，半，。) ，因而 有 c ( 半，竿) 。q 半，警，。) 最后得到 ( 半，半十爿( 半，竿，。) e 印k 正丽) 这是一个十分重要的结果，它给出了两个平行平面之间角谱传播的规律。在由已知平 面上的光场分布u ( x , y , o