（概率论与数理统计专业论文）一类带移民两性分支过程的极限行为研究.pdf

摘要 两性g a l t o n w a t s o n 分支过程是一类重要的随机过程，其最初是 由d a l e y t 坶】于1 9 6 8 年引进的本论文修正了一类带移民两性分支过 ( b g w p ) 并在此基础上利用了离散时间马尔可夫链和鞅的一些方法讨 论了这一特殊的两性分支过程的极限行为 本文第一章简述了分支过程的历史发展过程，并给出了本文要讨 论的模型第二章给出了相关的预备知识以便查阅 从第三章到第六章是本文的主要内容第三章讨论了b g w p 相关 随机变量的概率母函数的若干性质第四章集中论述了我们最感兴 趣的问题之一b g w p 的灭绝概率在适当的条件下，我们证明了 b g w p 的平均增长率存在并基于此得到了过程最终以概率一灭绝的判 定准则第五章我们得到了当b g w p 处于上临界情况时，它几乎必然收 敛的极限行为第六章我们对本文做了简要的总结并提出了另一个修 正模型及一些关于此领域可做的新工作和问题 关键词带移民两性分支过程，灭绝概率，随机单调性，上临界，平 均增长率 a bs t r a c t t h eb i s e x u a lg a l t o n - w a t s o nb r a n c h i n gp r o c e s sl so n eo ft h e i m p o r t a n tc l a s s e so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，w h i c hi sf i r s t l yi n t r o d u c e db y d a l e y 1 1 9 1 i n19 6 8 t h i sa r t i c l ei st oc o n s i d e ran e w l yr e v i s e db i s e x u a l g l t o n w a t s o nb r a n c h i n gp r o c e s sw i t hi m m i g r a t i o n ( b g w p ) a n dd i s c u s s t h el i m i tb e h a v i o u ro fb g w pt h r o u g hd i s c r e t e t i m em a r k o vc h a i na n d m a r t i n g i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eg i v eas h o r ti n t r o d u c t i o na b o u tt h eh i s t o r i c a l d e v e l o p m e n to ft h eb i s e x u a lb r a n c h i n gp r o c e s s e sa n di n t r o d u c et h em o d e l w h i c hw ed i s c u s si no u rp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , w eg i v es o m eb a s i c k n o w l e d g ea b o u td i s c r e t e - t i m em a r k o vc h a i n sa n dm a r t i n g f o re a s y r e a d i n g t h ec e n t r a lc o n t e n ti s g i v e nf r o mt h et h i r dc h a p t e rt ot h es i x t h c h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r , w es t u d ys e v e r a lc o r r e l a t i v ep r o p e r t i e so f t h ep r o b a b i l i t yg e n e r a t i n gf u n c t i o no fb g w p i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w e c o n c e n t r a t eo nd i s c u s s i n ge x t i n c t i o np r o b a b i l i t yw h i c hi so n eo ft h em o s t i n t e r e s t i n gp r o b l e m s u n d e r as u i t a b l ec o n d i t i o no nt h em a t i n gf u n c t i o n ， w ep r o v et h a tt h el i m i to fm e a ng r o w t h - r a t ep e rm a t i n gu n i te x i s t s b a s e d o nt h i sl i m i t ，w eg i v eac r i t e r i o nt oi d e n t i f yw h e t h e rt h ep r o c e s sa d m i t s u l t i m a t ee x t i n c t i o nw i t hp r o b a b i l i t yo n e i nt h ef i f t h c h a p t e r , t h el i m i t b e h a v i o u r so na l m o s ts u r ec o n v e r g e n c eo fb g w pf o rt h es u p e r c r i t i c a l c a s ea r eo b t a i n e d i nt h es i x t hc h a p t e r , w eg i v eab r i e fs u m m a r ya b o u tt h i s p a p e ra n d e s t a b l i s ha n o t h e rm o d i f i e dm o d a la n ds u g g e s ts o m en e w i n t e r e s t i n gp r o b l e m sa n dm e a n i n g f u lw o r k k e yw o r d s b i s e x u a lg l t o n w a t s o n b r a n c h i n gp r o c e s s w i t h i m m i g r a t i o n ，e x t i n c t i o np r o b a b i l i t y , s t o c h a s t i cm o n o t o n yp r o p e r t y , m e a n g r o w t hr a t e ，s u p e r c r i t i c a lc a s e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果论文主要是自己的研究所得，除了已注明的地 方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献，已在论文的致谢语中作了说明 作者签名：恤 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门的规定，送交学位论文对以上规 定中的任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用 名：率新熬盥嗍枷卫月翌日 1 1 引言 第一章绪论 马尔可夫链是一类重要的随机过程，最初是由a a 马尔可夫于1 9 0 5 5 4 j 年提 出的粗略的说，所谓的马尔可夫链就是这样一类特殊的过程：在已知系统目前 ( 现在) 的状态的条件下，它未来的演变( 将来) 不依赖于过去的信息( 演变) ， 简言之，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去 无关此文所研究的分支 过程正是马尔可夫链的一种特殊模型一个系统中粒子的分裂就是分支过程的一 个形象化描述：在一个粒子系统中，粒子可以死亡也可以分裂繁衍，一个粒子可 以分裂生成一个，两个以致无穷可列多个，而且系统中每一代粒子的分裂死亡与 上代都是无关的，甚至粒子之间的分裂死亡也是独立的其实，现实生活中有很 多过程如人口增长过程等都可视为分支过程 1 2 发展过程 对分支过程的发展历程我们从一个故事讲起 1 8 7 3 年，f r a n c i sg a l t o n 针对上流社会家族姓氏及贵族头衔在e d u c a t i o n a l t i m e s ( k e n d a l l 19 6 6 ) 上发表了一个问题p r o b l e m 4 0 01 2 2 j ： 有一个大国，我们只考虑他们中的成年男性不妨设该国有名男性，这名 男性有不同的姓氏，每个男性统治_ 块殖民地且每一代成年男性都有相同的繁衍 率，那么 ( 1 ) 经过，代之后，求有多大比例的姓氏会消失； ( 2 )由m 个人保持的同一姓氏会有多少? 现在一般把g a l t o n 问题归结为如下说法：一个生命体，根据某种确定的概 率分布独立进行繁衍并且他们生育的后代再次生育时与他们有相同的规律，那么 这种生命体不能再生育或它的后代最终灭绝的概率是多少? 对这个问题的考查就构成了经典g a l t o n w a t s o n 分支过程，简记为s g w b p ，详细 的演化细节可参看d a v i dgk e n d a l l 在1 9 6 6 年发表的相关文章后来人们对g a l t o n 问题的重新审视是由于s g w b p 存在两个明显的不足首先，s g w b p 的繁衍总假 定是单性即雄性个体就可以生育出同种雄性个体，没有考虑或注意雌性在繁 衍中的作用其次，一般说来，整个种族的灭绝与某个特征( 如姓氏) 的消失应 是不同的，而在s g w b p 中没有考虑这个区别于是d j d a l e y 于1 9 6 8 年引入了 两性g a l t o n w a t s o n 分支过程1 1 9 j ，简记为b g w b p 此模型考虑了两性在繁衍后代 中的交互作用，即配对，配对必须是同一代雌雄共同参与，配对机制受一函数( 称 为配对函数) 控制，模型具体可如下表达： z o = n 1 ， z 。 ( e 小掰州) = ( z ，a f = l 乙+ ，= ( c 小坂+ 。) ，n = 石 其中召表示正整数集，空集假定为( 0 , 0 ) 直观的说，此模型中，z ，( m n ，) 代 表第n 代第f 对配对单元( 指同一代中的一雌一雄为生育后代组成的单元) 生育 的雌性( 雄性) 数目；随机向量序列 ( z ，m 。f ) f 石，聆z + = o ，1 ， 是独立同 分布的且取非负整数值；l 称为配对函数，它满足：l ：r + r + jr + 是单调非降 的函数，在整数值上取整数值且( x ，y ) x y ；c ( m 。) 表示第，l 代雌性( 雄性) 总数，形成乙= l ( e ，m 。) 对配对单元，这些同一代的配对单元生育后代是独立 同分布的对三( 工，y ) = m i n x ，y 的情况，d a l e y ( 1 9 6 8 ) 得到了其以概率l 灭绝的充 分必要条件后来人们对配对函数l ( x ，少) 只作了上可加的要求，即对任意的，z 2 ，l ( x ，少) 满足： ，nh、“ i 薯，y ii 三( 蕾，咒) ，毛，y i r + ，i = 1 ，2 ，胛 具有这种配对函数的两性分支过程称为上可加的两性分支过程对上可加的两性 分支过程，d a l e ye ta 1 ( 1 9 8 6 ) 1 2 0 j 证明了增长率 厂，七、 卢舰旷憧【l l 善( 厶m n 州j 存在且有，= ! i 。m 。k 叫l ( k u ) ，其中“= ( e 【五。】，e m o 。】) 进一步有 j p lz 。_ 0 z o = ni = l ，n = l ，2 ，营，1 随后的研究不断的对此模型进行更加合理而接近实际的修正和扩展，丰富了这方 面的知识如m g o n z a l e z l 2 7 j 等( 2 0 0 0 ) 讨论t t j u 移民的两性分支过程，m o l i n ae t a 1 ( 2 0 0 2 ) 4 2 】修正并提出了人口相依的两性分支过程，y o n g s h e n g x i n g l 5 7 】等( 2 0 0 5 ) 在m o l i n ae ta 1 研究模型的基础上考察了后代繁衍不再是纯粹的独立同分布，而 是依赖于一定人e l 数的人口相依的两性分支过程，m a n u e lm o l i n a l 4 1 j 等( 2 0 0 7 ) 修_ i f 的模型考虑了更多的可控因素等等当然这些模型也不是已经完美，很多地 方还需扩展和补充，此文正是基于此而提出了一类有关此过程的修正模型，并讨 论了它的极限行为和有关性质 2 1 3 本文的模型 与以往研究不同，本文定义的带移民的两性分支过程 ( e ，m 。) ) 蒯如下： z ：= 矿1 ， z ( c 小m 剃) = 艺( z 。，) + ( 碟。，m 二。) ， 乙+ ，= 乞( e + t ，鸠+ 。) ， ( 1 ) z + ，= 矽( 乙+ 。) ， n = 0 ，l ，2 ；i = 0 ，1 ，2 ， 其中 ( z ，m 脚浏是一列独立同分布取非负整数值的随机向量； ( 群，叫) 槲 是一列独立同分布且与 ( z ，所。f ) 脚：浏独立并取非负整数值的随机向量； 厶( x ，少) 脚是r + r + 上的一列非负实函数，对任意固定的非负整数尼，厶( x , y ) 是一单调非降函数，在z + xz + 上取非负整数值且厶( x ，0 ) = 厶( o ，y ) = 0 ，x , y r + ； ( x ) 是尺+ 上的非负实函数，矽( o ) - - o ，矽( 尼) 召( 召= z + - ( 0 1 ) ，后召模型有 很强的直观意义，它的一般诠释如下：( ，m n ，) 表示第n 代第f 个配对单元所繁 衍的雌雄个体数目，( f 川i ，m 州i ) 表示n + l 代移入的雌雄个体移民数目，因此 ( c + ，鸠+ 。) 就是第胛+ l 代所有雌雄个体总数，再通过配对( 由配对函数乞控制， 它与上一代实际配对单元有关) 可形成乙+ 。个配对单元，但由于在实际环境当中， 还会受到诸如资源，灾害，气候等多方面自然因素影响而发生突然死亡或移民， 因此可由函数矽( x ) 控制，这样z + 。= 矽( 乙+ 。) 就表示在第刀+ l 代此群体中的实际 配对单元，显然，若矽( 乙+ 。) 乙+ ，那么说明物群中进来了矽( 乙+ 。) 一乙+ 。个新的 配对单元；若矽( 乙+ 。) 乙+ i ，那么说明物群中有乙+ 。一矽( 乙+ 。) 个配对单元离开 很容易证明 ( 乙，c ，m 。) ) 例， 乙) 脚， 乏 脚都是齐次马尔可夫链且以0 为吸收态除了理论，卜的兴趣，此模型实际背景也是很强的，例如大部分动物的 演化机制都可用此模型加以描述有关此模型的研究，我们很关心他们灭绝或爆 炸的条件，例如，我们只要对灭绝条件加以控制就可以预防如熊猫等濒危物种的 灭绝，对爆炸条件加以控制就可以防止如老鼠等有害物种的泛滥成灾除此之外， 3 我们对他们的爆炸速度也是很关心的( 当爆炸发生时) ，这些都会在以后的各章 中讨论 依据实际意义和研究背景，我们对配对函数作了适当的假设如下： ( a 1 ) 对每一个k z + ，厶( x ，y ) 是一上可加函数，即对n 2 ，有 ，n、h 厶i 薯，咒i 厶( x l , 咒) ，x , 乃r + ，江l ，2 ，玩 i = 1i = 1i = 1 ( a 2 ) 对任意固定的x ，y r + ，序列 厶( x ，y ) 脚是单调非降的 条件( a 1 ) 表明五个雄性与咒个雌性在同一群体中产生配对的配对数目要大 i = 1i = 1 于或等于把他们分成n 个群体后各自配对数目之和，条件( a 2 ) 表明上一代配对数 的增加会对后一代的配对起鼓励作用而随之增加配对以前研究过的很多配对函 数都满足上述条件，下面列举了一些满足( a 1 ) ，( a 2 ) 的这种配对函数： ( a ) l k ( x ，y ) = x m i n k ，y ) ； ( b ) 厶( x ，y ) = m i n x ，k y ) ； 注1 3 1 模型( 1 ) 包含了很多已研究过的两性分支模型，如当 ( x ) = k ，石0 ，厶( x ，y ) = l ( x ，y ) 时，它就是m m o l i n a 等于2 0 0 0 年研究的一类 两性分支模型 参见文献4 2 】；当( f 川n ，m - 。) = ( 2 0 ) ，刀0 时，此模型就是m a n u e l ， m o l i n a ，i n 6 sm d e l ，p u e r t o 等于2 0 0 7 年研究的两性分支模型【参见文献4 1 ；显然 文献 1 】、 7 】、【2 0 、 2 8 、【4 2 等文献中的模型都可看作此模型的特例需要指出 的是，若矽( x ) 是非降函数，那么对k z + ，= 矽。厶是一配对函数，此时我们似 乎可以不考虑矽( x ) 而把其归纳到一配对函数之中，显然这会损失 z 。 带给我 们的一些相关信息，也会违背我们的初衷，故不能随意简化 1 4 本文的结构 本篇论文有关绪论的部分就到此结束第二章丌始给出与本文讨论内容有 关的随机过程论和发生函数论的一些基础知识，对于讨论本文模型是有益的第 三章我们给出了模型( 1 ) 相应随机变量概率母函数的等式或不等式，而且计算了 相应随机变量的期望和协方差第四章我们主要讨论了过程的灭绝行为，得到了 一些过程以概率l 灭绝或以某个正概率存活下去的充分或必要条件第五章我们 讨论了当过程走向爆炸时，有关它的爆炸速度等极限性质第六章总结和提出了 4 菇 砾 七后 若若 y 啪 i = y 以 乙 此类过程进一步的发展和问题，对有兴趣从事这方面研究的读者将是有益的 5 第二章预备知识 本文所讨论的两性分支过程是齐次马尔可夫链的一种特殊模型，而概率母函 数又是其研究的有力工具，殃方法也是一种重要的方法它们构成了此章的主要 内容 2 1 齐次马尔可夫链的定义和状态分类 定义2 1 设有概率空间( q ，厂，p ) 上的以( z + ，厂) 为状态空间的随机过程 f = 孝( f ，) ；f z + ) ，及厂的一族子仃一代数 互；，z + ) 使对任意s 0 记为i 专歹称i 与 _ ，互通，如果f 专，且：，jf ，记为i 付状态集z + 的子集彳称为闭集，如果对任 意f 么有p u ( 1 ) = 1 如果z + 不含真的闭子集，则称齐次马尔可夫链为不可约的 定艾2 3 状态f 称为常返的，若 p ( c o ；9 1s 咒 o 当d = 1 时又称为非周期的 定理2 3 互通的常返类中一切状态都有相同的周期 定理2 4 设f 非常返，则 溉岛( 甩) = 0 ， 当非常返或零常返 定义2 5 状态f 称为正常返的，如果厶2 1 鳃吉荟既( 七) o ；f 称为零常返 的，如果f 常返且厶，= 0 定理2 5f 是正常返的，则它所在的常返类中全部状态都是正常返的 定义2 6 如果任意一个从f 可达的状态| 都和f 互通，则状态i 称作本质的， 否则称作非本质的 容易看出，只有本质状态才是从本质状态可达的事实上，设f 是本质的，而，是 从i 可达的若k 从，可达，则k 从f 可达，又因为状态f 是本质的，故f 从k 可达， 从而是从k 可达的，亦即，是本质的于是可得：在互通状态类中，或者所以状 态都是本质的，或者都是非本质的 性质2 1 从常返状态只能到达常返状态，而且常返状态是本质的 2 2 离散殃的定义及性质 定义2 2 1 若随机序列 疋，刀z + 满足：对以有l 碱l o 。，并对一切 m ，刀u ( m n ) 有 最l 最觚 就称 鼠，正，刀z + 为一下鞅 若 一最，正，nez + 为下鞅，则称 最， z + ) 为上鞅 若 最，l z + 兼为上鞅与下鞅，就称之为鞅 性质2 2 1 若 最，五，万z + 是下鞅 鞅】，那么哦( 作为以z + 的函数) 是 非降 常 函数 7 定理2 2 1 设 最，五，刀z + ) 为下鞅，= 仃( 璺) ，s 蒯u p e s + 。 删) 上口j 有限 推论2 2 。1 下列各种上鞅，下鞅几乎处处收敛到有限极限： ( 1 ) j - - 一e l 鼠l 0 ，刀o ；蹦 o , 1 1 性质3 1 吃+ 。( j ，f ) = 或 厂( s ，f ) i ( s ，t ) ，刀o ；j ，f 【o ，1 】 证明：h n + i ( 蹦) = e 一，一 = e e 一f l 乙 = 薹e s 警厶+ 碟1 ，警t o n i + m r + i - 尸c 乙= 尼， 矿( 置) = 厂( 蹦) i ( s ，f ) 尸( 乙= 尼) k = o = 或 ( 蹦) i ( s ，t ) 注3 1 1 令+ 。= e ( e 小m 川) ，“= e ( f o ，m o 。) ，“= e ( 曩7 ，m j ) 那么由概率母函数的性质，可计算如下结果： ( 1 ) 甜川= 磁u + u ( 2 ) = c d l ， ( c + ，m n + li 川) 一l 、 月t 月t - ，j = v a r z ：叫厶。】e m o 。】 + 磁 c 。v ( 厶。，m o 。) + c 。v ( 厶。，聊j ) + vm 。，爿) + c 。v ( e 7 ，m j ) 9 性质3 2 若( a i ) 成立，那么对s 【o ，1 】，刀z + ，有： c ；) e ( s ) = g 肘。( s ) e ( t ：( s ) ) 艺乞( s ) ( i i ) 若矽( x ) 单凋不增，n g ：+ l ( s ) e ( 砭( s ) ) 荔幺( s ) ( i i i ) 若矽( x ) 为上可加函数，则g ：+ l ( s ) e ( 噍( s ) ) 艺( s ) 证明： ( i ) 当 1 = 0 时，有 g。cs，=ecs而，=es工茄垂矗jj巧粪mm+mf 即当以= 0 时，( i ) 成立： 当k z + ，n z ；时，有 e r s z w l 纠s 弘l j 【炉 p 7 卅 = 啦) 石叫) ， = 尼，= e j 警厶+ 砥 警州 i 乙= 尼 e 州广e ( 川吐卅) = e s r a , ) 旷e 叫 = ( 乃) 烈引( s ) 由条件期望的定义，易知( i ) 式成立 ( i i ) 令( z + ) = 矽( 七) ，足z + ) 由于条件a ( 1 ) 成立及矽( x ) 在( o ，) 上非增， 那么当5 【o ，1 1 ，z z + ，可得 1 0 e s 一 昨 一 昨 = s l 、 。 舯g 昨 一 昨 一 a 引乙+ 。】e 乏e ( k ) + e ( 乞) b 若矽( x ) 单调非增，那么e z + 1 e z e ( ) + e ( 吃) c 若矽( x ) 是上可加的，那么e z ：+ 1 e 乏e ( 呸) + e ( 乞) d 若弓x ，厶露，那么由性质3 2 可得 ( 1 ) 万，( j ) 7 l ( s ) ，i ，( j ) i l ( s ) ，s o ，1 1 ，z o 心肛阳s ) ) 露础) e ( 万。( s ) ) z ：( s ) e m s ) ) z ： = g = ( 乃( s ) ) ( 2 ) 若矽( x ) 是单调非增的，那么 g ：+ 。( s ) e ( ：( 5 ) ) z ： 寻e ( ，( s ) ) 艺，? ( s ) e ( 万? ( s ) ) z ： = g ：( 才( s ) ) ( 3 ) 若矽( z ) 是上可加的，那么如( 2 ) 推导可得 g “s ) g ：( 才( s ) ) ，s 【o ，1 】，露 再由( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，可得： e z o + 。】e iz 陋【z 】 若矽( x ) 是单调非增的且e x 1 ，那么 乏+ e z 卜阿 + 砸f e 乏一。 e i + e i + + e e x + e f 矿x r + e 阿卜明+ + 卅 1 2 圳斜纠川叫 嘲 若( x ) 是上可加的且e x 1 ，那么类似如上计算可得相反不等式，即 蚓州斜纠川叫明 嘲 下面给出模型中随机变量序列 乙，刀o ) 和序列 z ，刀o ) 部分和概率母函 数的性质 q ( 叫= 虹s ，乙 ，日。( 纠= e i s r t z ，q ( 蹦) = e s r ；t z “ r 【o ，1 】，刀菇 由上易知：g i ( s ，f ) = 蜀( 肼) ，瓯( s ，f ) = ( j f ) 1 v ，s ，f 【o ，l 】 性质3 3 假设a ( 1 ) 成立且弓x ，- j z 苫，s ，t 【o ，i 】，那么 ( 1 ) q + 。( s ，t ) 致( s ，巧( 盯) ) ，嚣菇 ( 2 ) 若矽( x ) 在( o ，) 上单调非增，j j l j z _ , + 。( s ，f ) q ( j ，才( s f ) ) ，刀 ( 3 ) 若矽( x ) 在( o ，) 上是上可加的，那么q + 。( s ，f ) ( s ，万? ( s f ) ) ， 证明：( 1 ) 令= 万( z l ，z 2 ，乙) ，嚣召，由条件可得 e r s z “ l l = d 5 蜘吲 z ： 刀菇 = e j 乞 垂厶+ 碟l 喜+ m l 。 _ _ s 垂) + 乞( 躁l 圳+ 1 ) i e j 垂州厶，棚j - _ “| ! i ， ；i ：c 乃c j ，z ：c s ， 1 3 + z跨 才。 。简 = 巧茹 以 乙 。阔 = 瓦 令 因此，可知： g i + - ( s ，r ) = e s l e ( j r ) z 1i j l e s7 ：，e ( s r ) z ：( s ) e s 瓦 万。( j ，) z ： ( 2 ) 令c = 仃( 乏，z ? ，z ：) ，n e z o 若矽( 石) 在( o ，0 0 ) 上单调非增，那么 e s 不i c = e s 一 沓阿卜哪 帮卜 嘻 - + e 吲+ 州咖， 若删 i = 0 - + 若( x ) 在( o ，) 上是上可加的，那么中的不等号反向， e k 。 3 2 相关随机序列的随机单调性 若a l 若a = 1 即 若a 1 若a = 1 性质3 4 ( i ) 若( a 2 ) j t 矽( x ) 在( o ，0 0 ) 上单调非增，那么当岛z + ， z 矽( z + ) ，i = l ，2 ，k l k 2 ，z y 小陛峨，孙似川， 1 5 口 规 ，、l 鲁矿 l 儿门 r l 二r ，、科目 。瑚1 2 尸【z 。+ l j ，i z 。2 毛) 峨刈乏= 左) 尸m 阻峨瓠i = 1 似。肛 p ( 矽( 毛( 窑厶+ 碟。，窆i = 1 朋耐+ m 二) y = p ( 乙。y l 乏= z ) ( i i ) 类似( i ) 的证明，易得相反不等式 定义一与原过程 ( e + ，m 川) ) 脚独立的新过程 f ( 0 ，m 黠) 脚如下： 乏7 ) = 1 ，ie 磊d - ， ( 咖黠) = 即掣z y ) ， 掣= 锄b - ( 0 m ( 0 ：? i ) ， 犁= 矽( 雹0 ，行 o ，- ，1 - ) ， l ，2 ，2 ) 固定f ，对任意的be o ，1 ，) ，le 1 ，2 ，) ，( 硝，硝) 是独立同分布的随机向量 其中 ( 硝) ，嘏) 是一列独立同分布取非负整数值的随机向量； 、 ，n o ；l - i ；i i 厶( 工，夕) 脚是尺+ 尺+ 上的一列非负实函数，对任意固定的非负整数尼，l k ( x ，y ) 是一单调非降函数，在z + x z + 上取非负整数值且厶( x ，0 ) = 厶( o ，y ) = 0 ，x ，y r + ； 矽( x ) 是尺+ 上的非负实函数，矿( o ) = o ，矽( 尼) z 苫( 石= z + - 0 1 ) ，后石 性质3 5 若( a 1 ) ，( a 2 ) 成立，矽( x ) 在( o ，0 0 ) 上是上可加的，k z + ，y r ， n z + ，那么 a ，p ( z ：+ 。y ) p ( 喜乏。，y f - 1 b ，尸c e + 。y ，p ( 萋。y c ，凇枞钏尸陲雌y 1 6 证明：a ) 首先证明不等式 p ( z 卅， 7 一二、z n + k jlp 陲础y 匿i = l 考虑( a 1 ) ，( a 2 ) 及矽( x ) 的上可加性，可得 尸陋昏幢小尸m i = l 锄阻= l 翻= l 州酗曙 il 冲h 犁 = p ( 矽( t ( 喜z 吨，兰= 1 吨，) ) y i 量i = 1 尸m 鼢列， 刁 z ：、 芝犁= i 扛1 j 刁 蛾州 = 尸( 乏m 。- y l z + 。= ) ，即( 3 5 1 ) 成立 当掣删，显然州乏引= 尸陲挑y 成立 考虑到单调非降及对固定的孵，k z + ，y r ， 调非增序列，那么由引理1 可得 j p ( 乙川 尸( 乏m 。y ) p ( 乙川 y l z * + 。= j = o 妒( 尸( 萋z 辨s y l 莩z = ：尸r 量础 l 矧y y l z ：+ t = ) ) 脚是一单 1 p 隆 l 矧 注3 5 1 若性质3 5 中的条件成立，那么同理可得 ( 1 ) 若矽( 乙) 乙，胛菇，即每一代移出乙一矽( 乙) 对配对单元，那么 1 7 0 1 1 c ) 矽是一上可加函数，s u p 脚k q 矽( 后) 叫i 】 1 9 证明： 若条件a ) 满足，由归纳法可得z 乏，刀z + ，实际上，当，l = 0 时， 设乏乏，那么 因此可得 乏= 毛= n 。1 = 矽( 乞( ( 莩厶，喜) + c 砭。，m 。， 叫厶加j 心( 心) 厶c 六，z 町， 矽( 喜厶c z ，珑耐， 之+ 。， q 牙。= p ( 2 。专o i 毛= ) 再由g a l t o n w a s t o n 过程的理论，考虑引y ：】 1 得厅 一 因为矿( o ) n ，所以 ，n 、( u o ) z l 氐i 五，m o ，l 厶( f o ，m o ，) = 乏 i = l f = l ， f = l 设乙之，由的上可加性可得 因此 因此 乏矽( 之) 乙+ 。薹i = 1 乞( 厶，) + 乞( 碟。，m ：+ ，) z ：( 三。) 厶( 厶，m n ，) 厶( z ，) = 之+ ， f = ii = l 氢- - - p ( 三? o i 毛= 矿) 由矽的上可加性及s u p 脚k 一1 ( 尼) e x 】，可得香矿1 ，所以1 4 2 利用平均增长率考察带移民的两性分支过程的灭绝行为 每一配对单元平均增长率的概念首先由b r u s s 于1 9 8 4 m 1 年引入的，由此很 好的得到了以往两性分支过程以概率1 灭绝的充要条件，直观意义更加明显，也 有利于进一步的研究本节引入了模型( 1 ) 的平均增长率并由此得到了它以概率 1 灭绝的充要条件 定义4 2 对每一正整数尼，若= 七一e iz ：+ ，i z ：= ki ，我们就称为配 对单元的平均增为长率 显然应与，z 无关且可写成 r ；= k - l e m ( 拟洲川 ) ，k = 1 , 2 , - - - 注4 2 1 ：一般而言， 的极限不一定是厂实际上，在模型( 1 ) 中， l j 盂2 l 令矽( x ) = 而厶( x , y ) = x m i n 1 ，y 为混乱配对函数，( d a l e ye t a l 于1 9 8 6 年讨论过 此模型) 另外+ a 。= l ，q o 。= l ，那么易得“= ( a 。，o ) ，r = o 然而 2 l 对一个上可加的b g w p ， j l i k 炉、j 肌k - k o 年证明了增长率，即 ( 从 ) 、 存在且可表为，= ! i m k 1 ( l ( k u ) ) ，其中“= ( e 【厶。】，e l m - = + 0 0 。1 j ) r 、 ， p - z - + oz o = = 1 ，l ，n = i 2 一 另外 定理4 2 若矽是上可加函数，厶( 石，y ) s 石+ y ，矽( z ) x ，那么当露- - - - o o 证明：由强大数定律，易知 ) + ( 以。) ) 一“， 尼争 ) + 碟+ 峨 一”后一 ，) + 砭。+ 峨。 - - - u l + u 2 , k j 可得妻( 加朋j + 碟。+ 碥卜) 再由矽( 厶陲 i( 旷切 ，= l ( f n i , m n i ) + ( 以。) ) ) o ， 尸( m j = o ) o ，且j p ( z + 。= kj z ：= 是) 0 ，那么 p ( f o 。= o ) o 或尸( ，= o ) o 又知厶( 五少) 砂，( o ) = o ，那么 厶( 0 ，) = 厶( ，o ) = o 因此得 峨= 。f 乏= 尼= | p m ( 弘川+ ( 心) ) = o 惟小耻。) p ( 扔域= 。) m a x 尸( 五- 2 0 ) 尸( 互7 = o ) ，p ( m o 。= o ) 尸( 膨j = o ) o 考虑到0 为吸收态，所以 - i p ( 乏。= o j z = 后) 1 知后为马尔可夫链 z 。中的非常返状态 现在证明尸( 乏寸o ) + 尸( 乏一o o ) = 1 成立 已证七o 为马尔可夫链 z ) 。中的非常返状态，因此 ! 鳃p ( z = 尼) = o ip ( 、l l m s u p 。z 2 = k 1 ) = o 另外注意到 q c n ! i m z ；ea 。 。u 。，a 。：。u ：，e 。t ：五；：尼 = = 。u ，。! l m s u p 。 j 二：七+ 易得，在q