（应用数学专业论文）卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用.pdf

卞水曼攉敬仕利翠删限结稠甲明胜用 摘要 在利率市场化条件下，国债利率期限结构是所有金融产品( 包括股票、债券 及其衍生证券) 定价的基础，是投资分析与管理、利率风险管理、货币政策制定 与分析的重要工具，所以，对于这方面的研究具有重要的理论和现实意义。 本文首先介绍了国债收益率的一些基本概念以及在建模中使用即期利率的 原因。并介绍了利率期限结构的潜在因素模型：n e l s o n s i e g e l 模型和仿射模型， 和近几年的新研究方向宏观因素利率期限结构模型的研究现状。阐述了本文的主 要工作和创新点。介绍了实现主要工作的方法：卡尔曼滤波方法。 使用v a r 模型结合卡尔曼滤波方法在利率期限结构中的应用是论文的主要部 分。从两个不同的角度对该方法进行了应用。首先，在n e l s o n - s i e g e l 模型中， 对反，詹，度序列进行单位根检验和协整关系检验后，可对磊，磊，众向量 序列建立向量自回归( v a r ) 模型。使用v a r 模型结合卡尔曼滤波方法对上交所国债 即期利率曲线进行估计。把高斯一牛顿法和v a r 一卡尔曼滤波方法得到的结果进行 比较。我们发现，使用v a r 一卡尔曼滤波方法得到的结果更佳。其次，在宏观因素 模型中，使用最小二乘法来估计宏观因素模型，并使用v a r 模型结合卡尔曼滤波 方法来估计宏观因素模型。最后，我们把最小二乘法的残差平方和1 7 x l o - 4 与v a r - 卡尔曼滤波方法的残差平方和2 4 7 7 x 1 0 - 4 进行比较，发现v a r _ 卡尔曼滤波方法所 得结果明显优于最小二乘法所得结果，误差减少了8 5 4 3 。 接下来，对利率序列进行单位根检验，发现一阶差分后各个序列趋于稳定。 使用利率变化作为主成分分析对象，得到两因子利率动态模型可以很好地刻画国 债即期利率变化。介绍了仿射模型的定义及相关假设。对于广义高斯仿射模型， 应用i t o 弓l 理和均衡定价原理对随机微分方程进行分析。先把随机微分方程化为 偏微分方程，再把偏微分方程化为常微分方程进行求解，得到即期利率方程，并 通过对随机微分方程中的状态变量求条件期望和条件方差，得到状态方程。我们 得到了状态空间模型，可以使用卡尔曼滤波方法对其进行估计。最后，总结了论 文的创新之处和不足之处。 关键词：利率期限结构，n e l s o n - s i e g e l 模型，v a r 模型，卡尔曼滤波，仿射模型 稠置 a b s t r a c t u n d e rt h ec o n d i t i o no fi n t e r e s tr a t e s l i b e r a l i z a t i o n ，t r e a s u r yb o n d s t e r l n s t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e si st h eb a s i so ft h ep r i c i n go fa l lf i n a n c i a lp r o d u c t s i n c l u d i n g s t o c k 、b o n d sa n dr e l a t e dd e r i v a t i v e s i ti sa l s oo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o o l sf o r i n v e s t m e n ta n a l y s i sa n dm a n a g e m e n t 、i n t e r e s tr a t er i s km a n a g e m e n ta n dm o n e t a r y p o l i c ym a k i n ga n da n a l y s i s s ot h er e s e a r c ho ft h i s 丘e l di so fi m p o r t a n tt h e o r e t i c a l a n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e f i r s t l y , t h i st h e s i si n t r o d u c e ss o m eb a s i cc o n c e p t so ft r e a s u r yb o n d s y i e l da n d g i v e ss o m er e a s o n so fu s i n gs p o tr a t e sd u r i n gc o n s t r u c t i n gt h em o d e l s a n dt h e n , w e i n t r o d u c et h er e s e a r c he v o l u t i o no fl a t e n tf a c t o r sm o d e l s ，i n c l u d i n gn e l s o n - s i e g e l m o d e la n da m r em o d e l a n dm a c r of a c t o r sm o d e l si nt e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s s e c o n d l y , w ed e s c r i b et h em a i nw o r ka n di n n o v a t i o no ft h i st h e s i s f i n a l l y , w e i n t r o d u c et h em a i nm e t h o do ft h i st h e s i s ：k a l m a l lf l i t e r t h em a l np a r to ft h i st h e s i si st h ea p p l i c a t i o no fk a l m a nf i l t e rw i t hv a ri nt e r m s t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s w eu s et h i sm e t h o di n t oa p p l i c a t i o n sa tt w od i f f e r e n ta n g l e s f i r s t ，i nn e l s o n - s i e g e lm o d e l ，w ed ou n i tr o o tt e s ta n dc o i n t e g r a t i o nt e s ta b o u t 风， 6 。，民s e r i e s a n dt h e nw ek n o wt h a tw ec a nm a k eav e c t o ra u t or e g r e s s i o n m o d e i ( v a r ) a b o u tp o ，磊，j b 2s e r i e s w ce s t i m a t et r e a s u r yb o n d s s p o tr a t e sl l i i n e s i ns h a n g h a is o j l l r i t ye x c h a n g eu s i n gk a l m a nf i l t e rw i t hv a r w ec o m p a r et h er e s u l t o fg a u s s n e w t o nm e t h o dw i t ht h er e s u l to fk a l m a nf i l t e rw i t hv a r w ef i n dt h a tt h e r e s u l to fk a l m a nf i l t e rw i t hv a ri sb e t t e r s e c o n d , i nm a c r of a c t o r sm o d e l w eu s e l e a s ts q u a r e sm e t h o da n dk a l m a nf i l t e rw i t hv a rt oe s t i m a t em a c r of a c t o r sm o d e l a tt h ee n d ，w ec o m p a r et h er e s i d u a ls u mo f s q u a r e so f l e a s ts q u a r e sm e t h o d ，1 7 x 1 0 4 ， w i t ht h er e s i d u a ls u mo fs q u a r e so fk a l m a l lf i l t e rw i t hv a r , 2 4 7 7 x l o - 4 w e6 n d t h a tt h er e s u l to fk a l m a nf i l t e rw i t hv a ri so b v i o u s l yb e t t c rt h a nt h er e s u i to fl e a s t s q u a r e sm e t h o da n dt h ee r r o rh a sb e e nd i m i n i s h e da b o u t8 5 3 4 n e x t w ed ou n i tr o o tt e s ta b o u ti n t e r e s tr a t e ss e r i 鼯a n df i n dt h a tf w s to r d e r d i f f e r e n c eo fe v e r ys e r i e sw i l lt e n dt ob es t a b l e w eu s ev a r i a t i o no fi n t e r e s tr a t e sa s t h eo b j e c to fp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i sa n dk n o wt h a tt w of a c t o r sd y n a m i cm o d e l 0 fi n t e r e s tr a t e sc a l ld e s c r i b et h ev a r i a t i o no ft r e a s n r yb o n d s s p o tr a t ev e r yw e l l w e i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fa f f i n em o d e la n dr e l a t e da s s u m p t i o n s a b o u tg a u s s i a n e s s e n t i a la f f i n em o d e l ，w ea p p l yi t ol e m m aa n de q u i l i b r i u mp r i c i n gt h e o r yt o s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s t ，w et r a n s f o i t f ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n t op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s e c o n d , w et r a n s f o r mp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i n t oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e n , w eg e ta ne q u a t i o no fs p o tr a t e s t h r o u g h s o l v i n gc o n d i t i o n a lm e a na n dc o n d i t i o n a lv a r i a n c eo fs t a t ev a r i a b l ei ns t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w eg e tas t a t ee q u a t i o n a n dt h e n ，w eg e tas t a t e - s p a c em o d e l s ow eg a nu s ek a h n a nf i l t o gt oe s t i m a t es t a t ev a r i a b l e i nt h ee n d , w ec o n c l u d et h e i n n o v a t i o n sa n dl i m i t a t i o n so ft h i st h e s i s k e yw o r d s ：t e r ms t r u c t u r eo fi n t e r e s tr a t e s ，n e l s o n - s i e g e lm o d e l , v a rm o d e l , k a z a nf i l t e r , a f 五l n em o d e l 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名：砍建娥日期：2 7 年朋3 f 日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 日期：协7 年r 月王je 1 日期：z 7 年r 月弓j 日 卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用 第一章绪论 1 1 利率期限结构的背景知识 首先，介绍与利率期限结构有关的几个基本概念： 1 1 1 到期收益率 到期收益率是指为使债券的支付现值与债券价格相等的利率。在一级市场上，国债 的收益率指的是投资者要求的到期收益率。其计算公式是未来现金流贴现模型 p 。专j | + l 白( 1 + r y ( 1 + 月y 其中，p 为国债价格，c 为每期支付的国债利息，f 为国债面值，r 为到期收益率， t 为支付利息的期数，n 为剩余到期期限。 1 1 2 即期收益率 即期收益率是给定期限的国债复利收益率，其计算公式为( 1 1 ) 式。 只一而c + 而c 万+ 石c 可+ + 石c + 万f ( 1 1 ) 其中，只为距到期日还有n 年的附息国债价格，c 为每期支付的国债利息，f 为国债 i l i i t 直，墨，恐，玛，墨为不同剩余年限的即期收益率。 1 1 3 远期利率 远期利率是指将来某一时点的即期利率。它直接与即期利率相联系。远期利率表示 了个将两个即期利率联系起来的维持平衡的利率。如果r 为t 年期的即期利率，墨为f 年期的即期利率，e lt 。t ，t 一t 期间的远期利率，o ) 为： 第一章绪论 ，( f ) 一百r f - r t t 把( 1 2 ) 式重写为： r ( f ) - 喾 当f 趋近于f 时( 同样e 。趋近于r ) ，则 r ( f ) 一鲁 所以，我们对( 1 3 ) 式两边积分，得 墨。j ：r o ) 凼f 也即得到了即期利率足和远期利率，o ) 的关系式( 1 4 ) 。 其实，我们上面所讲到的利率和收益率这两个词是同一个概念。所以， 两个词可以调换使用。 1 1 4 利率期限结构 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 在论文中这 利率期限结构也称收益率曲线。收益率曲线是一条描述某一时点上一组上市交易的 国债收益率和它们的到期期限之间相互关系的曲线。它实际提供的是对利率期限结构的 估计值，每天债券的价格发生改变，债券内含的收益率也发生变化，收益率曲线随之发 生变化。 在研究国债收益率时，国债收益率有不同的计算方法。如到期收益率、即期收益率、 远期利率等。根据研究的利率不同，可得到不同的收益率曲线，如到期收益率曲线、即 期收益率曲线和远期利率曲线。 我们在论文中，使用即期收益率曲线，而不是到期收益率曲线来代表利率期限结构。 其理由为： 到期收益率的最大不足是，它把短期、中期、长期利率看成是相等的。但是这个假 设显然与市场实际情况不符。首先，银行储蓄利率就随期限长短而变化。国债市场上短 期、中期、长期债券的价格表现也表明，市场交易者对于短、中、长期利率的看法是不 2 卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用 同的。在多数情况下，期限越长，利率越高 考虑到利率随期限长短的变化，我们采用了这样一种办法，就是对于不同期限的现 金流，采用不同的利率水平进行折现。这个随期限而变化的利率就是即期利率。即期利 率随期限而变化，形成一条连续起伏的曲线，叫做即期利率曲线直接用到期收益率代 替即期利率的办法是不可取的。到期收益率不能准确地表达出市场上资金的时间价值。 特别是在对长期债券进行分析中。有可能导致很大的误差。 还有另外一个主要原因是套利交易的结果啊。比如，1 1 5 4 2 0 6 美元的理论价格可以 被认为是一组零息债券的价值和，也就是，如果购买的是票面利率为1 0 的1 0 年期国 债，然后将其进行本息分离处理，即将产生1 1 5 4 2 0 6 美元的收入。相反，现假设票面利 率为1 0 的1 0 年期国债是以收益率曲线给出的1 0 年期国债的到期利率7 8 为基础进行 定价。如果1 0 年期国债用7 8 作为贴现率定价，则以1 1 5 0 8 2 6 美元的价格可以购买这 一国债的零息债券出售。这一过程所产生的现金流为1 1 5 a 2 0 6 美元。所以，交易商所购 买的每1 0 0 美元面值所实现的套利利润为0 3 3 8 ( = 1 1 5 4 2 0 6 - 1 1 5 0 8 2 6 ) 美元。经过一段时 间，国债的价格将会被提高，只有当价格达到1 1 5 4 2 0 6 美元( 即用理论即期收益率作为 折现率所得到的理论价格) 时可，套利交易才会消失。也正是这种套利交易行为，追使国 债以理论即期收益率为定价基础，也即无套利定价原理。 1 2 关于利率期限结构的潜在因素和宏观因素模型的研究现状 1 2 1 利率期限结构的潜在因素模型 本论文主要讨论n e l s o n - s i e g e l 模型和仿射模型。其实，这两个模型都是用潜在因素 来表示国债收益率的典型模型。 ( 1 ) n e l s o n - s i e g e l 模型 n e l s o na n ds i e g e l t ”j 在1 9 8 7 年提出了一个用因子表示的瞬时( 即期限几乎为零的) 远期利率模型，该模型的具体形式为： ，( f ) 一磊+ 磊e x p ( - t 力+ 尾( f f ) e x “- f 力 其中，r ( f ) 表示为到期期限为t 的瞬时远期利率。 3 第一章绪论 所以，由( 1 4 ) 式。可以得到即期利率r ( f ，6 ) 的函数形式为： 础，- 属+ 层f 1 一唧一，f ) j ( f o + a ( 【1 一e x p 一瑚( f 铆一唧一砌 ( 1 5 ) 这个模型中只有四个参数，即风，磊，见，f 。根据( 1 5 ) 式的即期利率，我们可以得 到相应的贴现函数，从而计算债券的理论价值用以拟合现实数据。 虽然这里的因子比较少，但是这样的函数形式已经能够很好地拟合不同形状的国债 收益率曲线了。在该模型提出以后，许多国家的中央银行都相继采用n e l s o n s i e g e l 模型来计算国债的收益率曲线。 在2 0 0 3 年，周建新以n e l s o n - s i e g e l 模型为基础，利用高斯一牛顿法估计了台湾公 债市场的利率期限结构。 ( 2 ) 仿射模型 o u f f i ea n dk a n 嘲在1 9 9 6 年提出了国债收益率的仿射模型。由于仿射模型的易于统 计处理和计算的特点，在之后被大量的论文所引用。q d a ia n dk s i n g l e t o n 。”通过实证 检验获知，仿射期限结构模型比c i r 等模型能更好地解释利率的历史行为。并在此基础上， 对该模型进行扩展，获得了广义仿射模型。d u f f e e 发现三因子广义高斯仿射模型可以 很好地描述美国国债市场的利率期限结构，而常见的利率模型如c i r 模型、v a s i c e k 模型 都做不到这一点。 事实上，仿射模型是许多模型的一般形式，如典型的单因子、多因子v a s i c e k ，c i r 模型等。m o n i k ap i a z z e s i 汹j 再次对仿射模型进行总结概括，并提出了在该系统中加入一 些宏观因素的建议。 在国内，由于国债市场还不是很成熟，对于该模型的研究并不是很多，主要由复旦 大学的范龙振把该模型应用到中国国债交易市场，进行了实证研究n 1 。呻1 脚。 1 2 2 利率期限结构的宏观因素模型 在上小节中，我们主要介绍了潜在因素模型。然而，潜在因素利率期限结构模型有 些缺点，其主要缺点是它们并不能直观地得到，具体是什么因素来影响国债收益率的变 化。所以，学者们尝试着把一些宏观经济因素加入到利率期限结构模型中去。关于这方 面的研究，还是近几年的事。国外关于这方面的研究，主要有： 4 卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用 p i a z z e s i , a n g 在2 0 0 3 年运用国债收益率和宏观经济因素的联合动态向量自回归模 型，建立了一个不仅具有潜在因素，而且也带有通货膨胀和经济增长等宏观因素的利率 期限结构模型。实证研究发现，带有宏观因素的模型比仅有潜在因素的预测效果要好。 最后，使用方差分解方法得到，宏观因素对国债收益率变动的解释力达到了8 5 。p i a z z e s i , w e i 在2 0 0 3 年研究了如何运用收益率曲线来解释g d p 增长。他们对c - d p 变化与国债收益 率变化建立了相关的模型，并对g d p 增长进行了预测。a n g , r u d e b u s c h , w u 在2 0 0 4 年建 立了具有仿射利率期限结构特征的宏观金融模型。该模型使用了出口和通货膨胀率等宏 观因素，并解释了货币政策和宏观经济因素对国债收益率的影响。 d i e b o l d , p i a z z e s i , r u d e b u s c h 伽在2 0 0 5 年提出了联合宏观金融模型，并说明该模型能够 最广泛地理解利率期限结构。最后，比较了n e l s o n - s i e g e l 和仿射利率期限结构模型。 d i e b o l d 。r u d e b u s c h , a r u o b a 瞄j 在2 0 0 6 年把潜在和宏观变量与收益率曲线联系起来，提供 了宏观经济因素和收益率曲线之间的动态相互作用的特征表示。运用n e l s o n s i e g e l 模 型，建立状态空间模型，对于宏观经济因素对收益率曲线的未来变动进行了解释。 在国内，关于这方面的研究就比较少，其中，范龙振“”实证研究了上交所国债收益率 与宏观经济因素之间的关系，说明了一定的问题。 1 3 本文主要工作及创新点 本文主要探讨了v a r 模型结合卡尔曼滤波方法在利率期限结构中的应用，拓宽了现 代计量经济方法在中国利率期限结构中的应用。 首先，在n e l s o n - s i e g e l 模型中，使用周建新“8 所使用的高斯一牛顿法估计2 0 0 2 2 0 0 6 年上交所即期利率曲线并得到反，卮，度序列。对磊，扈，危序列进行单位根检验和 协整关系检验，结果表明可以对磊，扈，皮向量序列建立向量自回归( v a r ) 模型。以向 量自回归模型为状态方程，( 1 5 ) 式的n e l s o n s i e g e l h p 期利率模型为观测方程。接着， 使用v a r 模型结合卡尔曼滤波方法对上交所国债即期利率曲线进行估计。使用高斯一牛顿 法对f - - 5 时的即期利率进行估计，得到的估计误差为0 7 2 4 1 。我们使用v a r 一卡尔曼滤波 方法得到的估计误差为0 4 6 0 7 。所以，使用v a r - 卡尔曼滤波方法得到的结果更佳。 其次，在宏观因素模型中，我们采用以下宏观经济因素：1 物价指数方面：居民消费 5 第一章绪论 价格指数( c p i ) ，工业品出厂价格指数( p p i ) ，商品零售价格指数( p c 伽) ；2 货币政策方面： 狭义货币余额( m 1 ) ，广义货币余额( 9 2 ) ；3 实体经济增长方面：工业生产增长值( i p ) 。 把以上宏观数据取自然对数后，组成宏观因素向量f 。使用最小二乘法来估计l o 年期 即期利率和宏观因素向量f 组成的线性回归模型。对各个宏观因素进行单位根检验并对 序列进行协整关系检验后，知可对f 建立向量自回归( v r ) 模型。以宏观因素f 的向 量自回归模型为状态方程，1 0 年期即期利率和f 组成的线性回归方程为观测方程。现 在，使用v a r 模型结合卡尔曼滤波方法来估计宏观因素模型。我们把最小二乘法的残差 平方和1 7 x 1 0 - 4 与v a r 一卡尔曼滤波方法的残差平方和2 4 7 7 c 1 0 。进行比较，可以发现 v a r 一卡尔曼滤波方法所得结果明显优于最小二乘法所得结果，误差减少了8 5 4 3 。 下面，介绍论文中使用的主要方法：卡尔曼滤波方法。 1 4 卡尔曼滤波方法 卡尔曼滤波方法嘲是基于状态空间描述并受噪声干扰的信号进行滤波，提取有用信 号的方法。在卡尔曼滤波方法之前是著名的维纳滤波，但是维纳滤波是基于频率域的， 用积分方程描述，不好计算，而且只适用于平稳过程，计算时需要利用全部数据，不便 于在线计算。卡尔曼滤波是基于时间域的，用状态方程描述，计算仅需用有限步的观测 数据，特别适合于在线计算，可以推广到非平稳过程。 卡尔曼滤波不要求保存过去的观测数据，当新的数据测得之后，根据新的数据和前 一时刻的储量的估值，借助于系统本身的状态方程，按照一套递推公式，即可算出新的 储量的估值。这就大大减少了滤波装置的存储量和计算量，并且突破了平稳随机过程的 限制。 1 4 1 状态空间模型 由于，当一个模型被表示成状态空间模型时，就可以使用卡尔曼滤波方法对其进行 求解。所以，我们首先介绍状态空间模型。 状态空间模型一般由状态方程和观测方程组成。 状态方程则描述了状态变量的随机变化过程，而观测方程描述了状态变量和可观测 6 卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用 变量( 如债券即期收益率) 之间的关系。 状态方程：x + 1 ) 一o ( k 弦 ) + r ) w 忙) 七- 1 , 2 , ，r 观测方程：_ ) ， ) 一h ( k h ( 七) + ， ) 其中，x ( k ) 为状态向量，y ( 七) 为观测输出，_ h 忙) v 传) 均为零均值正态白躁声， r ( 啡) ) 一q ，v a r ( v ( t ) ) 一r 若要使上述的状态空间模型成立，还需要满足下面两个假定： ( 1 ) o ( 0 ) ) 一x ( 0 10 ) ，v a 啦( o ) ) - p ( o lo ) ( 2 ) 在所有时间区间上，扰动项 也) ，v ) 相互独立，而且它们和初始状态x ( o ) 也不 相关，即e ( 和p p y ) - 0 , e ( w ( t ) x ( o ) ) - 0 ，e o ( f 弦( o ) ) - 0 , t ，s - 1 , 2 , ，r 1 4 2 卡尔曼滤波算法 卡尔曼滤波是在时刻t 基于所有可得到的信息计算状态向量的最理想的递推过程。卡 尔曼滤波的主要作用是：当扰动项和初始状态向量服从正态分布时，能够通过预测误差 分解计算似然函数，从而可以对模型中的所有未知参数进行估计，并且当新的观测值一 旦得到，就可以利用卡尔曼滤波连续地修正状态向量的估计。 卡尔曼滤波递推式，可总结如下： f 叠( 七+ 1 i k4 - 1 ) 一垂 ) 叠( 七i 七) + k + 1 ) f y 4 - 1 ) 一日仲+ 1 ) 垂 弦 i 七) 】 l k + 1 ) - p ( 七+ 1 i k ) h 1 仲+ 1 ) 【日( 七+ 1 ) p + 1 i k ) h 1 + 1 ) + r 】。1 l p ( k + 1 i 七) - o ) p i k ) 0 1 ( 七) + r ) q r l ( 七) l p ( k + 1 i k + 1 ) - ( l 一足( 七+ 1 ) h ( 七+ 1 ) ) p ( 七+ 1 i 七) 根据上面的递推式，我们可以得到算法流程，见图卜1 。 图卜1 卡尔曼滤波算法 f i g u r e1 1k a l m a nf i l t e ra l g o r i t h m 7 第一章绪论 1 5 利率期限结构的潜在因素和宏观因素模型的应用 随着利率市场化改革的深入，作为无风险利率的国债利率将成为金融市场的基准利 率。由不同到期期限的国债收益率组成的利率期限结构，将对金融产品( 包括股票、债券 及其衍生证券) 的定价产生重大影响。同时我国将大力发展债券市场，国债和企业债券将 得到迅速发展，各种隐含有某种期权特性的混合债券产品将会层出不穷，利率期限结构 在混合债券的设计与定价中将起重要作用。 在利率市场化条件下，利率期限结构是所有金融产品定价的基础，是套期保值、投 资分析与管理、利率风险管理、货币政策制定与分析的重要工具。下面，我们介绍利率 期限结构的具体应用。 1 5 1 金融产品定价 ( 1 ) 国债定价 国债收益率曲线是新的国债定价的重要基准。由于任何期限的国债都可在收益率曲 线上找到它对应的收益率，所以，只要知道了新发行国债的到期期限，就可以算出上市 那天该国债的应有收益率，进而可以算出国债价格。 ( 2 ) 利率衍生品定价 利率期限结构模型的重要应用就是用于利率衍生产品定价。比较典型的是债券期权 的定价问题，由于相当多的原因，使得b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式不能用于债券期权定 价问题。首先，b l a c k - s c h o l e s 公式假定标的物资产的波动率恒定不变。这明显与债券价 格的行为不同，因为当债券越接近到期日，价格波动就越小，最终价格肯定趋向债券的 面值，所以价格的波动是随着时间变化而变化的。现在，大部分的研究者都认为，为了 能合理的给债券期权定价，必须研究期限结构的随机行为，而不能仅根据标的债券的价 格 1 5 2 国债投资方面旧 ( 1 ) 为投标者进行国债投标提供了准确的预测。对即将发行的国债，在即期收益率曲 8 卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用 线上寻找到与其期限相对应点的即期收益率，从而确定自己的投标范围，提高中标的概 率，降低中标成本 ( 2 ) 预测未来各个期限的利率走势。在固定收益的投资中，如果投资管理者能够对未 来市场走向做出准确预测，就可以在市场投资中获得更大的收益。分析利率期限结构及 其变化，能够得到将来利率的较准确的信息，有助于投资者做出正确的判断和投资决策 ( 3 ) 分析不同期限资产组合的预期收益率。这类资产组合不仅包括不同期限债券的组 合，而且还包括利率衍生证券的组合投资者若能掌握国债收益率曲线的变化趋势，便 有可能获得丰厚的回报 1 5 3 国债管理方面 ( 1 ) 利率风险是金融风险管理中最为关键的论题。 在固定收益证券投资组合的v a r ( v a l u ea tr i s k ) 啪计算中，通常需要模拟利率的动 态变化路径，以及组合的分布值，一个较好地反映利率期限结构随机本质的动态利率模 型至关重要。此外，要合理的确定持有头寸的价值，也需要对利率的行为有良好的理解。 ( 2 ) 利率期限结构为管理部门提供了新的调控手段。 如果与宏观经济背景联系起来看，在不同的经济波动阶段，国债收益翠曲线的变化 形态及其变动速度，即为管理部门提供了调控且标，又能从另一方面反映财政货币政簧 对经济刺激的强弱力度。从这个意义上讲，国债收益率曲线为管理部门对宏观经济的调 控提供了新的导向手段 ( 3 ) 利率期限结构是国债管理部门追求成本费用最优的依据。 国债作为弥补财政赤字，筹措资金，配置社会资源的宏观调控手段，其中心问题是 如何选择合理的期限结构以使得筹资成本最优化。国债发行主体一财政部可根据本年度 的财政预算，货币政策和利率期限结构来选择发行短、中、长期国债及其比例，从而有 效配置货币资源，促进经济稳定发展。 ( 4 ) 利率期限结构为中央银行制定、实施货币政策提供重要的依据。 美国国债收益率随经济周期的波动而变化，有明显的规律性特征。因而在不同的经 济周期，国债利率期限结构会发生变化，其变化程度既可为管理当局提供调控目标，又 9 第一章绪论 能反映货币政策对经济运行状况的调节力度。货币政策有法定存款准备金，再贴现和公 开市场业务三大工具，其中公开市场业务具有灵活多变的特点，中央银行可根据自己的 货币政策目标来适时适度地在二级市场买进或卖出国债。通过公开市场业务，中央银行 不仅可以灵活地吞吐基础货币，而且对利率期限结构将产生深远的影响。因此，从某种 意义上来说，国债利率期限结构是中央银行实施货币政策所需要观测的一个中介目标变 量，是管理当局对宏观经济调控的一种导向手段。 1 6 论文结构 本文以实证分析为主，以下为本文的大体结构： 第一章，绪论。介绍了一些有关国债收益率的基本概念以及在建模中使用即期利率的 原因。并介绍了利率期限结构的潜在因素模型和近几年的新研究方向宏观因素利率期限 结构模型的发展状况。阐述了本文的主要工作和创新点。介绍了实现主要工作的方法： 卡尔曼滤波方法。最后，说明了我们研究这些模型的原因及实际应用以及论文结构。 第二章，n e l s o n - s i e g e l 模型的卡尔曼滤波估计。首先，我们使用周建新“8 所使用的 高斯一牛顿法对上交所国债即期利率曲线进行估计。其次，我们对反，卮，度序列进行 单位根检验和协整关系检验，结果表明可对反，卮，度向量序列建立向量自回归( v a r ) 模型。最后，使用v a r 模型结合卡尔曼滤波方法对上交所国债即期利率曲线进行估计。把 高斯一牛顿法和v a r 一卡尔曼滤波方法得到的结果进行比较。 第三章，宏观因素模型的v a l i 一卡尔曼滤波估计。首先，我们对主要的宏观经济因素 进行处理和比较分析，并组成宏观因素向量正4 使用最t j 、- - 乘法来估计宏观因素模型。 对各个宏观因素进行单位根检验并对正。序列进行协整关系检验。其次，使用v a r 模型结 合卡尔曼滤波方法来估计宏观因素模型最后，我们把最t j 、- - 乘法的残差平方和1 7 x 1 0 。 与v a r 卡尔曼滤波方法的残差平方和2 4 7 7 x 1 0 。4 进行比较，可以发现v a r 一卡尔曼滤波方 法所得结果明显优于最小二乘法所得结果，误差减少了8 5 4 3 。 第四章，主成分分析方法和仿射模型的推导。首先，对利率序列进行单位根检验， 发现一阶差分后各个序列趋于稳定。我们使用利率变化作为主成分分析对象，得到两因 加 卡尔曼滤波在利事期限结构中的应用 子利率动态模型可以很好地刻画国债即期利率变化。对于仿射模型，介绍了它的定义及 其相关假设。对广义高斯仿射模型进行了介绍，并应用i t o 弓l 理和均衡定价原理对随机微 分方程进行分析。先把随机微分方程化为偏微分方程，再把偏微分方程化为常微分方程 进行求解，得到即期利率方程。最后，通过对随机微分方程中的状态变量求条件期望和 条件方差，得到状态方程，可以使用卡尔曼滤波方法对其进行估计。 第五章，结语。总结了论文的创新之处和不足之处。 1 l 第二章n e l s o n s i e g e l 模型的卡尔曼滤波估计 2 1 研究背景 先介绍一下我们使用的模型：n e l s o n - s i e g e l 模型 n e l s o na n ds i e g e l t 3 呻在1 9 8 7 年提出了一个用因子表示的瞬时( e p 期限几乎为零的) 远期利率模型： ，o ，6 ) 一风+ 届e x p ( - t r ) + 岛q r ) e x p ( - t r ) ( 2 1 ) 其中，r ( f ，6 ) 表示为到期期限为t 的瞬时远期利率，b 一( 风，a ，岛，f ) 。 由( 1 4 ) 式，可以得到期限为t 的即期利率模型： 盹6 ) - 岛+ 届【1 一e 印( f ，瑚砸，力+ 岛一e 印( o f ) 】( f f ) 一e 印( o 砌 ( 2 2 ) 这个模型中只有四个参数岛，肛，岛，f 。 根据( 2 2 ) 式的即期利率，我们可以得到相应的贴现函数，从而计算债券的理论价值 用以拟合现实数据。虽然这里的因子比较少，但是这样的函数形式已经能够很好地拟合 不同形状的国债收益率曲线了。在该模型提出以后，许多国家的中央银行都相继采用 n e l s o n s i e g e l 模型来计算国债的收益率曲线。 我们对n e l s o n s i e g e l 模型进行进一步解释a 其中，岛，届，岛是模型的线性参数， f 是指数衰竭率。瞬间远期利率包括三项，第一项尾是一个常数：第二项f f l e x p ( - t r ) 是 单调递减( 或递增，若a 为负数) 趋向于零的剩余期限t 的函数；第三项岛( f 厅) c x p ( _ f f ) 也是剩余期限t 的函数，它使瞬间远期利率曲线产生驼峰状( 或u 形状，当晟为负数) ；当 剩余期限t 趋向于无穷大时，瞬间远期利率就趋近于风，当剩余期限t 趋近于零时，瞬间 远期利率就趋向于常数风+ 届。因此，参数磊，岛，区，f 可以被相应地解释为利率的长 期水平、短期利率、即期收益率曲线的斜率和弯曲程度。 下面我们具体来介绍参数估计过程。 我们可以使用现金流折现来计算国债理论价格： 卡尔曼滤波在利率期限结构中的应用 毒( 6 ) - p , r - c 丽巳, b ) p 一，1 i s ( 2 3 ) 其中，鸯p ) 为n e l s 彻一s i e g e l 模型估计的国债理论价格，c 瓦为第i 个国债在第m 期的 现金流，正为第i 个国债的到期日，t 为到下次付息的时间，t 。为第i 个国债在第m 期距下 次付息日的时间，s ( m ，6 ) 为m 期即期利率，n 表示国债个数。 露- 霹( b ) + 毛， 1 f ( 2 4 ) 其中，只为第i 个国债的市场价格。 由( 2 2 ) 、( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式得： 号一蠹丽面；icfii=nl咧一，小，刁硎-f，锣+弓lol(uo+l ，k 圳( 2 5 ) 台q + 届+ 属d _ a 甲一l l 喇一，小，刁o 甑- f ，锣 一 目标函数为： m i n ( 霹p ) 一层) 2 ( 2 6 ) 这样，我们就可以得到参数岛，届，岛，_ r 的估计值，并由( 2 2 ) 式得到即期利率曲线， 即国债利率期限结构。 2 2 高斯一牛顿法估计即期利率曲线 在许多非线性回归的求解问题上，高斯一牛顿法常用来估计参数。如果我们直接对 ( 2 6 ) 式算f 的偏微分，将相当复杂。所以，另一种可以代替的方法是，先取定f 的值， 再对风、局、应使用高斯一牛顿法进行估计。下面是对高斯一牛顿法的具体介绍 2 2 1 高斯一牛顿法 协阱q 慨删几妇肌肝俨粮肌戒恫妣骱理 论价格公式( 2 3 ) 改写为：，g ) 一妻击，1 “ 1 3 儆皴椭抛虬赫伽燃叻施矧舭黼 考虑，( c e ，g ) 对g 的一阶泰勒展开式： 解g ) _ 解，+ 妻【型掣l 一( 州0 ) ，l a i n ( 2 7 ) 掣- 耋c 小罱葡 掣舯 掣= 耋( 小c f t , , x 将( 2 7 ) 式代入( 2 4 ) 式，得 【1 + r ( m ，6 ) r w ( 酣) + 毫 掣u 反刮仰 ， ( 2 8 ) 式变形得， 纠( 酬。降挈掣l 所以对于n 个国债来说， y t o ) 1 只一f ( c v , ，g 。1 b 一，( c f 2 ，g ) 昂一，( c b ，g 。) d ( o j - 氏一毋 届一 b 。一鲤 + 毛，1 i ( 2 9 ) 笪笠墨：2 堑i 5 ：2 堑丝墨：墨2 a p oa p ia p 2 望丝墨：12 堑! 墨! 2 堑笠墨! 12 a 声oa 声l a 卢2 ； 笪丝生：呈! 堑! ：2 坚l 墨：趾 a 8 0a p ta 9 t 憷：】 所以，( 2 9 ) 式可以简化为y i o l d i e ) 6