（机械电子工程专业论文）有限元动力模型修正.pdf

摘要 有限元分析技术作为结构分析设计的一种方法，获得了成熟的发展并得到 广泛的过程应用。但是，有限元建模与实际对象比较往往存在误差。为此，以 提高有限元模型计算精度为目标的有限元模型修正技术在近年来得到了深入的 发展。本文基于对各种模型修正法的分析，根据其缺点，提出了两种改进方法： 针对矩阵修正方法不能保存原模型的连接信息以及计算效率低的缺点，基 于多自由度振动和矩阵奇异值分解( s v d ) 理论，提出了一个具有s v d 的模型修 正方法并结合对最终修正结果的矩阵物理化处理。提高了矩阵修正法的计算效 率同时恢复了原模型的连接信息。 针对传统频响函数法的计算效率低以及模型测量维数高的缺点，本文基于 频响函数和模型缩聚技术提出了一个动力结构模型修正方法。引入了阻尼刚度 比以减少修正参数、提高了计算效率。并且结合模型缩聚技术，降低了模型测 量维数的要求。 最后结合对多轴齿轮传动系统的数值仿真，证明了两种方法的有效性和可 行性。 关键词：模型修正矩阵修正奇异值分解频率响应函数 模型缩聚 a b s t r a c t a sam e m o do fs t m c t u r ea n a l y s i s ，t h ef i n i t ee l e m e n t ( f e ) a n a l y s i st e c h n i q u e o b t a i n sm a t i l r ed e v e l o p m e n ta n dc o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o n b u tt l e r ei sal o to f e 丌0 r b e t w e e nf em o d e la i l dp r a c t i c a jm o d e l c o n s e q u e n t l y ，m o d e lu p d a t i n gp r o c e d u r ew h i c h i su s e dt 0c o 玎e c tf em o d e l sh a sb e e ni n t r o d u c e d 锄dw i d e i yu s e di nr e c e n ty e a r s b a s e d o nt l l ea n a l y s i so fv a r i o u sm o d e lu p d a t i n gm e m o d s ，“sp a p e rp r e s e n t s 咖n e w u p d a t i n gm e 也o d st 0o v e r c o m et 1 1 e i rd i s a d v a n t a g e s ： c o n s i d e 血培m es h o r t c o m i n go f t l l em a t r i xu p d a t i l l gm e t h o d sw m c h c a i l tp r e s e r v e t ：h ep h y s i c a lc o 珊【e “们t y 洫f b m l a t i o na n dl l a v el o wc o m p u t a t i o n a l l ye m c i e 吐ai l e w 删i n g m 础o d 谢t i ls i i l g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( s v d ) m o d e l i sp r e s e n t e do nm e b a l s i so f m et h e o r i e so fm u l t id e 畔eo ff i e e d o mv i b m t i o na n ds v d c o m p a r e d 谢t l l m a t r i xl l p 妇i r 培，t i l i sm e t h o di i l l p r 0 v e st i l ec o n l p u t a t i o n 越l ye 伍c i e n ta r l dp r e s e e s 也e p h y s i c a lc o m l e c t i 访哆i n f o 彻a t i o n a i r i l i i 坞a tt h es h o r t c 0 血r 培o fn l e 丘e q u e n c yr e s p o n s e 向n c t i o n ( f i 疆) u i ) d a 血g m 幽d sw h i c hk el o wc o m p u t a t i o 捌l ye 伍c i e n ta r l dl i 】【u l t i 功e 嬲m d i n l e r l s i o n s ，a n e wu p d a a n gm “h o do fd ”砌i c 劬m c t u r e si sp r e s e m e db a s e do n 也ei n o d e l c o n d e n s a 虹o nt e c l l i l i q u e 舡1 df r f i no r d e rt 0i m p r o v et h ec o m p u 伽o r l a l l l ye m c i e n t ，t h e 瑚【t i oo f 妇n p - t 0 s t i 丘h e s si si i l ：1 p o r t e d c o m b i 血g 、析也m ef em o d e lc o r l d e r l s a d o n t e c h i l i q u e ，m er e q u e s to f 也et e s 血gm o d e ld i m e n s i o n si sd e c r e 觞e d f i i l m l y ，m n 耐c a ls i n l u l a t i o nr c s m to f 瑚m t ia x e sg e a r 曲v es y s t e m ss 1 0 、邪t h e v a l i d i t ya r l df e 嬲i b i l i t yo ft h em e m o d k e y w o r d ：m o d e lu p d a t i i l gm a n 叔u p 妇t i n g s i r 礓阻l a rv a l u ea n a l ) ，z e f r fm o d e lc o n d e n s a t i o n 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名：赵差丝 导师签名：徭宣： 日期2 丝2 ：么垒 日期型翌! 厶俎 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 有限元法作为一种应用工具，随着现代力学、计算数学、特别是计算机技术 等科学的发展，已经成为科学技术和工业应用领域的核心技术之一【l ，2 】。有限元的 动静力计算已经极其广泛的用于各种工程结构设计和动力响应预报，像航天航空 器、大型船只等的结构设计以及大跨度桥梁、运载工具等的响应预测。 图1 1 模型修正流程图 但是，在建立有限元模型时，存在各种理论假设，边界条件的近似性，材料 参数的不确定性，支撑刚度和连接刚度的不恰当模拟，阻尼特性或者是被忽略或 者远远不够精确等因素，使得有限元模型和实际模型之间不可避免地存在误差【3 】， 这些误差可能是很大的。一个有限元模型，只有在被证明具有一定的可信度时， 有限元动力模型修正 才能被应用于实际的生产和结构动态响应的预报。为此，以提高有限元模型计算 精度为目标的有限元模型修正技术在近3 0 多年来得到了深入的发展。早在八十年 代初，就开始提出模型修正的概念( 其步骤如图1 1 所示) ，以期利用计算机技术 来建立一个能够具有一定可信度的模型，从而可以根据这个模型来分析结构的静 动态特性，达到模型修正的目的”l 。 1 2 模型修正的现状与发展 所谓模型修正是指利用结构现场实测的信息修正结构动力模型，使得修正后 结构分析的模态参数与试验值趋于一致。 有限元模型修正法就修正的对象而言，大体可分为矩阵型法和设计参数型法。 矩阵型法首先假定原始的动力模型与“真实”结构模型间存在差异，然后，在满 足特征方程的条件下利用最小二乘法直接对有限元模型的质量、刚度矩阵等进行 修正，其缺点是修正后的系统矩阵没有明确的物理意义，由此还破坏了原系统矩 阵的对称、带状特征，给后续计算带来巨大的困难：其优点是计算简单，可用于 修改量较大的情况，另外还可以发现和修正某些错误，如单元网格划分、边界条 件确定以及某些建模错误。灿n a d i a n 【8 】详细介绍了矩阵型模型修正方法的基本原 理和步骤，并通过对一简单悬臂梁的仿真计算说明了该方法的有效性以及存在的 主要问题，即缺乏明确的物理意义和不适用于大型结构。为了解决未知参数过多 的问题，向锦武等【9 j 提出了基于矩阵型模型修正的两步法：先通过误差矩阵判断 模型误差的范围，然后在该范围内确定修正量。该方法虽然提高了计算效率，但 一旦模型误差范围判断失效，修正结果就是错误的。李书等【l o 】提出了一种带约束 条件的广义特征值模型修正方法，该方法仅需要少量的试验数据，其有效性仅通 过一简单结构的数值计算得到验证。由于测量得到的动力参数远远少于动力模型 的理论值，以及传感器的数目远远少于动力模型的自由度数目，运用矩阵型法进 行模型修正不可避免要进行模型缩聚或振型扩充，这也会增加计算误差【1 1 h j 。 设计参数型法则对结构的设计参数，如材料的弹性模量，质量密度，截面积， 弯曲、扭转惯量等参数进行修正，其优点是能保持原模型系统矩阵的对称带状特 征，修正结果具有明确的物理意义，便于实际结构分析计算，并与其它结构优化 设计过程兼容，因而实用性较强，其主要缺点是计算复杂1 4 9 1 4 1 。参数型修正方法 的基本思路与结构优化理论相似，通过构造理论模型与实际模型之间在同一激励 下的动力特性的误差( 目标函数) ，然后选择一定的修正量使该误差满足最小化 来达到修正的目的。修正参量可以在质量，刚度或阻尼矩阵中选取，而不必象矩 阵型修正法那样需设定以参数矩阵为不变量。由于所构造的目标函数往往是非线 性的，使得多数情况下对目标函数的优化采用迭代算法。在这些方法中，通过特 第一章绪论 征灵敏度分析来修正模型参数的做法应用最为广泛。f o x 和k a p o o r l l 5 】首先利用正 交条件，通过对模型的特征方程求导，首次推到了线性结构特征值和特征矢量关 于设计参数的一阶灵敏度计算公式。随后n e l s o n 【1 6 j ，l i m 和j u i l l ( i n s 【1 7 】， o j a l o ，s u t t e r 【1 引和c 锄a r d a 对其进行了改进，国内的z h a n g 和c h a i l g 【2 0 1 等也运用 类似方法对一缩小的桥梁振动模型进行了修正。 参数型修正法的特点使得它是目前比较受欢迎的修正方法。参数型修正法可 以分成两类：基于模态参数的模型修正方法【2 2 1 刀l 和基于频率响应函数( 缸q u e n c y r e s p o n s e 劬c t i o 玛f r f ) 的模型修正方法。从试验特征值和特征向量来修正有限元 模型参数的方法称为模态法，其关键在于试验模态参数识别的精度。近年来，模 态法得到长足的发展并日臻完善，已逐步在工业界得到应用。下面就该修正方法 的3 项关键技术分别加以论述： 1 对计算模型与实验模型相关分析和使用的模型缩聚与扩充方法，以及关于振型 的比较准则得到了充分研究，出现了不少实用有效的方法。一般而言，计算模型 的自由度总数，远大于试验模型的自由度总数。要解决这个问题，或者是将有限 元模型缩聚到试验模型的自由度上，或者是将试验模型的振型扩展到有限元模型 的自由度上，这就是所谓的模型的缩聚与扩充。关于模型缩聚与扩充有许多成熟 方法，典型的有g l l y a l l ( 静态) 方法【1 2 1 、动态方法团】、模态方法【1 3 1 、等效系统缩聚 与扩充方法( s y s t e me q u i v a l e n tr e d u c t i o ne x p a i l s i o np r o c e s s ，s e 砌弹) 【2 4 】和改进的系统 缩聚方法( h p r o v e dr e d u c e ds y s t e m ，i r s ) 1 2 5 j 方法等。 2 特征值和特征向量的灵敏度计算是设计参数型修正法所必须的，目前已有成熟 的解析公式和有效算法【2 j 。由于特征值和特征向量的非线性，因此，直接对其进 行修正较困难，为了使模型线性化，只有将它们进行一阶线性展开，对其灵敏度 进行计算。特征值的灵敏度通过求解刚度矩阵和质量矩阵对设计参数的导数得到。 特征向量的灵敏度没有解析公式，需求解方程组得到。典型的计算方法有n e l s o n 法、经典模态法、迭代模态法、完备模态法【2 7 】等、其中n e l s 0 n 方法【1 6 1 最为常用。 对于重根或密集模态问题，上述方法易发生奇异而不能满足要求，z h a i l g 和 l a l l e m e m 乜8 】提出用结构修正改的方法把密集模态分开以得到条件数比较好的灵 敏度矩阵。 3 关于( 加权) 最小二乘求解修正反问题时易出现条件数差的情况，各种归一化 方法以及其它改进方法都得到了发展【2 9 j 。模型修正普遍使用迭代法，对修正参数 的求解方程是个超定方程，并没有一个准确解，普遍使用最小二乘法求它的最优 解，则必然会出现归一化问题。设计参数型修正方法一般都给予一阶泰勒公式， 将模态参数、质量矩阵、刚度矩阵等看作是未知设计参数的隐函数，在上一迭代 位置按照一阶泰勒公式展开，从而使问题线性化。这类算法的目标函数可以是模 态频率、模态振型或者模态置信度( m o d a la s s u f a l l c ec r i t 耐o n ，m a c ) 【2 6 】，实际修正 4 有限元动力模型修正 中的目标函数往往是以上几种模态参数的组合，这样加权矩阵选择就成为设计参 数型方法普遍面临的问题。解决的方法之一是基于b a y e s i a i l 估计原理的最大方差 估计法。这种方法要求理论分析数据和测试数据的方差己知，但是一般只是由一 组实验数据和分析数据，可以假设这组数据是系列根据一定统计特性分布的数 据的一个采样，对数据的精度做进一步假设。r o t 1 w e l l 【2 9 】等、n a t k e 【3 0 j 、b l a l ( e l y 【3 1 1 、 f r i s 、e l l 【3 2 】以及华宏星等【3 3 1 讨论了求解修正反问题的具体方法和加权矩阵的选择 问题。 模态修正法根据修正方式可分为直接模态法和迭代法。直接模态法计算时间 短，但对测量质量的要求高，理论振型与实测振型须“配对 出现，且不能保证 修正质量和刚度矩阵的正定性。迭代模态法是使基于实验和预测模型的数据之差 的目标函数最小化。首先需要将该非线性的函数作线性化处理，迭代方法的优点 是对多个参数可以同时修正。 基于f i 疆的模型修正是近些年发展起来的，如徐张明等p 4 j 利用试验测试和有 限元模型计算得到的频响函数，推导出了一种基于频响函数的灵敏度分析模型修 正方法。秦仙蓉等详细、深人地研究了基于灵敏度分析的模型修正方法并从理论 上讨论了一种频响函数残差法。h e m e z 等f 3 5 】分析了应用频响函数进行动力学模型 修正的难点。t i n 6 1 提出了一种改进的计算频响函数灵敏度的方法，用于研究频 响函数模型修正技术等。频响函数法回避了试验模态参数识别这个步骤，直接利 用有限元计算和测量得到的频响函数进行模型修正，其优点是：克服了模态法需要 振型一一对应的缺点，并且修正计算的频率范围很宽，采用适当数目频率点上的 频响函数，便可求解问题。通常情况下，基于模态参数辨识的方法易受病态条件 的影响，从而导致影响模型修正的质量。而基于频响函数的模型修正方法则不受 其影响：并且，比起模态修正法，其最大优势在于，能够对有阻尼的动力结构进行 分析修正。 1 3 本文的主要工作 1 3 1 本文完成的主要工作 本文基于各种有限元模型修正方法的分析，根据它们的优缺点，结合已有的 多轴齿轮传动系统模型，提出了两种改进方法：一、基于正交向量基结构的动力 模型修正；二、利用频响函数对阻尼结构进行模型修正的方法。本文主要是在计 算机仿真的基础上对两种方法进行分析和讨论，以期对以后的现场试验和今后进 一步的研究提供一定的指导性意见。 主要工作如下： l 、详细介绍传统有限元模型修正法的原理和步骤。分析其优点和不足之处， 第一章绪论 为后面对它提出改进的方法提供理论依据。 2 、根据有限元模型修正法中矩阵修正法的优缺点，提出了基于正交向量基 结构的动力模型修正法。采用多自由度振动的理论，对自由振动矩阵进行重组将 刀2 门维矩阵辨识问题，简化为1 2 胛维辨识问题，提高了计算效率，并引入矩阵 奇异值分解理论，使得修正后的模型保留了原模型的连接信息。 3 、针对矩阵修正法不能修正阻尼结构的缺点，提出了一种改进的利用频响函 数进行阻尼修正的方法。该方法相比矩阵修正法，成功的实现了对阻尼结构的修 正。并且为了克服传统频响函数修正法不能进行模型缩聚且计算效率低的缺点， 此方法结合了单元模型缩聚技术，同时根据工程中以结构阻尼为主的特点，引入 了刚度阻尼比的概念，既克服了模型缩聚的难点又减少了修正参数即减少了测试 频率点，降低了测试工作量，提高了工作效率。 4 、对无阻尼的多轴齿轮传动系统模型和有阻尼的多轴齿轮传动系统模型使用 上述两种方法进行数值仿真，数值结果验证了两种方法的可行性和可靠性，为进 一步工程实现奠定了基础。 1 3 2 论文的章节安排 第一章为绪论部分，主要对有限元模型修正的背景，发展及意义进行简单介 绍，同时也介绍了各种模型修正方法的最新国内外动态和研究进展。 第二章简单论述各种模型修正方法的基本原理，分析其优点和不足之处。 第三章主要介绍基于正交向量基结构动力模型修正法。介绍此方法和传统方 法相比有哪些改进。 第四章针对实际结构中普遍存在阻尼影响，提出了一种改进的利用频响函数 进行阻尼修正的方法。将此方法与传统的频响函数进行比较，突出其的改进部分。 第五章用介绍的第一种基于正交向量基的改进方法对无阻尼结构的多轴齿 轮传动系统模型实现数值仿真实验。同样介绍的第二种基于频率响应函数的改进 方法对有阻尼结构的多轴齿轮传动系统模型实现数值仿真实验，最后对所得的结 果进行分析，并以此来评价这两种方法的优缺点。 第六章对本文进行总结，并展望下一阶段的工作。 第二章有限元模型修正法的基本理论 第二章有限元模型修正法的基本理论 2 1引言 众所周知，关于结构建模和分析的方法主要存在两种：一是理论建模，对于 大型复杂模型，目前主要通过有限元离散方法进行数值仿真，二是试验建模，即 通过结构试验对模型动力特性进行辨识和修正。 有限元方法由于具有适应性广、分析速度快、设计周期短、和结构动力试验 相比费用很低等优点，在实际工程中得到了广泛应用。然而，在多数情况下通过 有限元数值分析得到的结果与实验得到的结果并不能很好地吻合。导致这一现象 的原因是通过有限元离散化建立的模型与实际对象比较往往存在一定的误差。当 这些误差较大时，将导致由有限元法所分析得到的结构模型动力特性与实际的测 量结果相比有较大的出入，甚至超出了工程实践中所要求的精度。此种情况下需 要借助实验结果分析和模型修正技术对数值模型进行修正，以达到正确预测结构 行为的目的。 在大多数工程实践中，结构模型修正的目的之一是尽量缩小理论模型与实际 结构之间的误差，因此有必要分析一下在理论建摸过程中误差的来源。m o 舵r s h e a d 和f r i s w e l l 【2 】曾总结了这些误差产生的原因和方式，并将它们归为3 类： 1 模型结构误差，由影响模型控制方程的一些不确定因素引起，通常与所选 择的数学模型有关。分析中的数学模型通常是对实际模型所做出的一种简化，略 去了次要因素的影响。例如将结构模型取为线性数学模型就忽略了非线性因素对 实际结构的影响。 2 模型参数的误差，如模型物理参数( 密度、弹性模量、截面积等) 因环境 的变化和生产制作等原因存在误差，边界条件和连接条件的简化、几何尺寸和本 构关系不准确，系统阻尼必须人为引入等等。 3 模型阶次的误差，即有限元离散化所带来的误差。实际的结构模型是连续 的，有无限个自由度，而离散化的模型自由度数是有限的，两者之间必然存在模 型阶次的误差。 一般情况下，进行模型修正前必须要先确定合理的数学模型。否则，一个完 全脱离实际结构主要特征的数学模型无论如何修正，也不能得到正确的结果。合 理的数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，线性模型又可以分为时变和时 不变模型，这完全由实际结构的主要特征决定。一般地，在实际工程中大部分结 构的动力特性都可用线性时不变模型来描述，因而在模型修正中它的应用也最为 广泛。如果不作其它说明，文中以下模型修正方法所用到的数学模型均指线性时 有限元动力模型修正 不变模型。其次，即结构模型的有限元离散方案和有限元网络的疏密程度可根据 需要进行选择，使得第3 项误差可以最大限度地缩小。因而多数模型修正方法实 际上归结为设法缩小第2 项误差，即各种模型参数误差的所谓灰箱问题。当然， 除了上述误差以外，模型修正中有时还必须考虑数据测量，特别是模态测量中的 误差以及数值过程中的舍入误差。要解决此问题，一方面是设法提高测量的精度， 另一方面是发展能有效滤除测量误差且稳定高效的修正方法。 2 2 有限元模型修正理论 2 2 1 系统的相关性分析 l 、 模态参数与频响参数 大多数系统的相关分析、灵敏度分析和模型修正的方法都是基于一个模型的 模态参数，模态参数通过实验可以比较容易的获得。 一个线性、离散的结构的系统方程为： 【m 】 舀( f ) ) + 【c 】 矗o ) ) + k 】 甜( f ) ) = 厂( ，) ( 2 1 ) 式中【m 】系统质量矩阵：【k 】系统刚度矩阵；【c 】系统阻尼矩阵： 厂( f ) ) 时域 激励向量； 五( f ) ) 加速度向量；伍( r ) 速度向量；缸( f ) ) 位移向量。 上述公式如果经过拉普拉斯变换或变换到复频域，就更容易分析，在简谐振动 中，有如下形式： ( f ) ) = 厂) ( 2 2 ) 扣( f ) ) = 西 矿。( 2 - 3 ) 将式( 2 2 ) 、( 2 3 ) 代入式( 2 1 ) 得到： ( k 】+ 研c 卜2 【m 】) ( 厅) = 力( 2 - 4 ) 矩阵( 【尺】+ “c 卜i l 2 肘】) 称为系统矩阵或者动力阻尼( 阻抗) 矩阵，该矩阵求 逆后就是系统传递函数日( s ) ，又称频率响应函数。 求解式( 2 _ 4 ) 可以得到模态参数。试解为 五 = 0 ，这个解适用于所有的国值其 他的解应当满足d e t ( 【k 】+ “c 卜m 2 【m 】) = 0 。所得解为系统的特征值。也即系统的 模态参数。 2 、 模型修正参数的相关准则 有限元模型修正般通过三种模型进行。第一种是有质量矩阵、刚度矩阵和阻 尼矩阵构成的空间状态模型( s p a c i a lm o d e l ) ，利用摄动法或优化方法直接对质 量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵进行修正。由式( 2 1 ) 求得质量矩阵，刚度矩阵和阻 尼矩阵，则模型可以确定。 第二章有限元模型修正法的基本理论 9 第二种是模态模型( m o d a lm o d e l ) 模态模型由模态频率、模态振型、模态 阻尼、模态质量矩阵和模态刚度矩阵等构成。一般而言，模态模型由实验确定， 模态阻尼无法由计算得到，但是模态频率，模态振型可以由模型的特征方程 d e t ( k 】+ 1 ) 【c 】一i ，2 【m 】) = o 解得。 第三种模型是频率响应函数模型。频率响应函数模型由频率响应函数矩阵给 出。频率响应函数矩阵由下式给出 x ( ) = 【月( l ，) 】 f ( l ，) ( 2 5 ) 或 以1 ) ) ) = 【z ( 曲】( l ，) )( 2 6 ) 上式中【z 舢) 】是阻抗矩阵，为频率响应矩阵的逆矩阵。 对无阻尼系统，三种模型的关系为： 【h ( t ，) 】 ，州= 【k 一2 肘】j x = 【】州 ；一2 瑶w 【中】乙埔 ( 2 7 ) 其中【日油) 】是频率响应函数，【中】是模态振型，是模态频率( 结构固有频率) 。 2 2 2 模型缩聚与模态扩展 很多修正方法中都用到了实测模态，并且要求实测模态的自由度数与原分析模 型的自由度数一致。对于大型结构而言，测点数、实测的固有频率和模态数均远 远小于由有限元法离散得到的模型自由度数，即使在测得的同一阶模态矢量中， 数据也远不是完整的。最初的方法是将振型中未测量自由度的数据用原分析模态 中相对应的数据来代替，这样做必须要保证原模型与实际模型相差不大，否则会 导致很大的误差。解决此问题有两条途径：一是减缩原分析模型的自由度数，称 为模型缩聚；二是设法扩充实测振型的自由度数，称为模态扩展。 l 、 模型缩聚 所有的模型缩聚法都是近似法，并且缩聚的对象是原分析模型。典型的有 g u y a j l 【1 2 】的静力缩聚法、o c a l l a h a n 【2 5 l 的改进减缩系统法( i m p r o v e dr e d u c e ds y s t e m ， i r s ) 、k a m m e r l 2 3 】的精确模态缩聚法( e x a c tm o d dr e d u 撕o n ，e m r ) 、张德文1 3 7 】提出 的改进g u y 锄递推减缩法和等效模态缩聚扩展法( s y s t e me q 血v a j e n tr e d u c t i o n e x p a n s i o np r o c e s s ，s e r e p ) 1 2 4 j 等。g u y 锄法的思想是将位移矢量分为主坐标( 保留) 和副坐标( 舍弃) 两部分，通过忽略副坐标上惯性力和根据缩减前后系统动、势能 不变的原则对模型质量和刚度矩阵进行缩聚。g u v a n 法本质上是一种静态缩聚，当 所选择的副坐标上惯性力较大时，g u y a l l 法的精度就会降低。i r s 法对此作了改进， 考虑了副坐标上惯性力并将g u y a n 法的结果作为一级近似解代入特征方程中，得到 了精度更高的结果。改进g u y a i l 递推缩减法采纳了i r s 的思想，将改进的g u y a i l 缩聚 l o 有限元动力模型修正 结果再带入特征方程得到二级缩聚结果等等，如此反复，可得到任意级缩聚结果。 事实证明这种方法精度较高。e m r 法与s e r e p 法相似，基本思想是将位移用原模 型的k 阶模态来线性表示，并将模态矩阵均分为对应于主、副坐标的两个子矩阵， 对主坐标子矩阵求广义逆消去副坐标位移，从而得到缩聚模型。由于这些方法存 在模态截取误差，因而只能保证在小于最高截取模态频率范围内缩聚结果的精度。 2 、 模态扩展 与模型缩聚法所不同的是，模态扩展的对象是实测的各阶模态。由于阻尼的存 在( 一般为非比例阻尼) ，实测的模态实际上是复模态，而当前大多数模型修正法 是基于实模态理论的，所以在扩展前一般要进行实测模态的预处理，即从复模态 中提取主模态。此外，在模态扩展完成后，还要进行相关性分析，如模态匹配， 即判断一个测量模态与哪一个分析模态属于同一阶振型的问题，可采用模态置信 度准则p 8 】。另外，还有模态正交性分析等等。模态扩展主要是通过插值技术来实 现的，比较有代表性的方法有b e r n l 肌【3 9 】和f 耐斌删等的迭代插值法以及最优拟合 法等u 。此外，一些模型缩聚方法也可以反过来用于模态扩展。迭代法的思想是 将质量、刚度矩阵按已测量自由度和未测量自由度划分为4 个子块，根据特征方程 得到一次扩展后的模态，然后进行模型修正得到新的质量、刚度矩阵。反复重复 上述步骤，得到多次扩展后的模态和多次修正的质量、刚度矩阵，将相邻两次扩 展后的模态进行比较，满足一定准则后迭代停止。最优拟合法是将拟合后的模态 矩阵用分析模态矩阵线性表示，由此构造误差和目标泛函，通过极小化目标泛函 得到拟合的模态矩阵。 2 3 常用模型修正方法介绍 由于计算机的迅速发展，使得在工程上广泛地应用数值方法，尤其是有限元 方法进行结构静动态分析成为可能。但是，在建立有限元模型时，存在各种理论 假设，边界条件的近似性，材料参数的不确定性，支撑刚度和连接刚度的不恰当 模拟，阻尼特性或者是被忽略或者远远不够精确等因素，使得有限元模型和试验 模态模型之间不可避免地存在误差，这些误差可能是很大的。在此，虽然试验模 态模型存在测试噪声，实际系统不完全是线性的，仍然假定试验模态模型和有限 元模型相比较要可靠得多。一个有限元模型，只有在被证明具有一定的可信度时， 才能被应用于结构动态响应的预报。而试验模态模型是可以用于验证有限元模型 的可靠性。因此，在八十年代初，开始提出模型修正的概念，即获得一个能够重 现所有模态参数的模型或获得一个能够重现所有测得的频率响应函数的模型，或 者是一个具有正确的质量、刚度、阻尼矩阵的模型。 模型修正的主要方法，如果从被修正的参数来分大致有二类，其一是直接修 第二章有限元模型修正法的基本理论 正矩阵的方法，如j z c h e n 的矩阵摄动法，b a r u c h 及b e r m a n 的拉格朗日乘 子法，误差矩阵法等其二是基于灵敏度分析的参数修改法。 2 3 1 直接修正矩阵的拉格朗日乘子法 该方法首先有b a r u c h 提出。稍后，b e i 洲a n 独立地提出了同样的方法。 这类方法的特点是用实验模态得到的特征值和模态向量修正有限元模型。 1 、质量矩阵的修正 假设己经得到的试验模态频率l 和振型中是可靠的，给定的计算模型和试验 模型之间的误差是不大的。如果试验模态的自由度数小于计算模型的自由度数， 则可以通过适当的矩阵扩展或缩减方法来解决。构造目标函数( 中，和m 为列向 量) ，= 8 + ( 中；m 电一) ( 2 8 ) 8 = 善蚓c m 一心蚓= 弦c m 一心，群8 ， 上式表不，对给定的初始质量矩阵，经过修正后得到的正确质量和初始质量 矩阵之间的误差应该最小，并且满足振型对质量矩阵正交的条件。对式( 2 - 8 ) 两边 求导 盖= 2 蚓( 膨一心，) 蚓+ 喜t 中i 屯= 。 ( 2 1 0 ) f = 1 ，n 由此得： 膨：帆，一丢圭。鸠，中j 中。鸠， ( 2 11 ) 写成矩阵形式 1 m = 鸠一去m 月中，l 中心 ( 2 - 1 2 ) 将上式代入正交条件 中m 矿= ， ( 2 1 3 ) 得到 中心中7 一丢中m 。中7 1 ( 1 ) m 一中r = ， ( 2 1 4 ) 令 有限元动力模型修正 耽= 中m 月矿 由此可解得 = 2 呖。( 胁一j ，) 螈 代入式( 2 12 ) 得到 肘= 鸠一鸠扩嘎1 ( 胁一，) 孵1 中心 2 刚度矩阵的修正 仿造质量矩阵修正方法，构造目标函数 ，= 8 + ( i ) 向( k 中一m 中a ) 矿 f = lf = l + j | ，( 中r k 中一人 + t t ，硝( k r k ) 8 = 卜叫 ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) ( 2 1 8 ) 对给定的初始刚度经过修正后得到的正确刚度矩阵和初始刚度之间的误差应该最 小，并且满足特征方程，振型对刚度矩阵正交的条件及对称性。式中m 为上面 求得的质量矩阵。同质量矩阵的求解方法一样，可以得到： k ：肠+ + r = 三m 中( 中r 乜中+ a ) 巾7 m 一乜中中7 m q 。1 功 2 3 2 参数型修正法 参数型修正方法可以分为模态法和频响函数法。模态法是从固有频率和振型 来修正动力学模型参数的一种方法，应用这种方法进行修正可以使修正后模型计 算所得的固有频率和振型与试验测量所得的相一致：而频响函数法是直接利用计 算所得的和测量得到的频响函数进行模型修正，使得修正后的频响函数与精确的 频响函数相一致，这种方法是近些年才发展起来的。 1 基于模态参数的修正方法 设无阻你结构运动的理论动力学模型为： 厶王)+乙x=0(220) 其中，坛、乜均为矩阵形式。 第二章有限元模型修正法的基本理论 计算得到的理论固有频率和振型分别为、中月，它们并不能准确反映实际结 构的动力学特性。而通过实验模态分析分别获得的固有频率，和振型中，才能反映 实际情况。则试验值与理论值之差为： 会l ：5 l ：，一! ：月 ( 2 - 2 1 ) 中= m ，一中爿j 、7 设( 1 ) 及中均为小量，称之为摄动，并引入一个小参数 ：，2 ：月+ 会二：二 ( 2 2 2 ) 电= 呜+ 中j 、7 当8 = 0 时，= 、中，= 表示的是有限元模型的理论参数值。8 = 1 ，则表 示实验的测量值。为了修正质量矩阵地和刚度矩阵乜，可以假设修正后的质量、 刚度矩阵具有的幂次级数形式，即： 膨= 地+ 8 m l + 8 2 m 2 + ( 2 2 3 ) 尼：肠+ k i + 8 2 k 2 + 当8 = o ，反映未修正的原始刚度矩阵和质量矩阵： 由振型正交性条件有 中f rm r mf = ， ( 2 - 2 4 ) 当8 = 1 时，便是所求结果。 尼中，= 膨巾，q 首先，对质量矩阵进行修正，将式( 2 2 2 ) 、( 2 - 2 3 ) 分别代入式( 2 2 5 ) ， 等式两边同次幂的系数分别相等便可得到矩阵型的摄动法修正公示。 ( 中+ 8 中) 7 ( 尥+ m l + ) ( 巾+ 8 西) = ， 展开式( 2 2 6 ) ，收集同次幂的项，得 叱7 毖叱= ， 中r 舭中_ + 叱7 坛中 + 中7 坛巾一= o ( 2 2 5 ) ( 2 - 2 6 ) 然后令 ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 显然，式( 2 - 2 8 ) 就是原分析方程的特征方程，因此是满足的。由式( 2 2 9 ) 得到 中一7 厶中_ = 一( 中月r j j i z t 币_ + 巾 7 此中月)( 2 3 0 ) 式中中、巾一和地都是已知的，因此，可以得到质量矩阵的修正量肘。 然后对刚度矩阵进行修正，现将式( 2 - 2 2 ) 、( 2 2 4 ) 代入式( 2 2 6 ) 得： 1 4 有限元动力模型修正 巍：篇嚣嚣， 陪3 t ， = ( 坛+ e m l + ) ( 中一+ e 中) ( 4 + ) 、7 展开式( 2 3 0 ) ，收集同次幂的项，得 乜中一= 地巾_ ( 2 - 3 2 ) 乜中+ k l 中爿= 地中月l ，+ m i 中一+ 地中l ， ( 2 - 3 3 ) 显然，式( 2 3 2 ) 就是原分析方程的特征方程，因此是满足的。由式( 2 3 3 ) 得到 k l 中一= 地中月+ m l 中月1 ) 月+ 讹中( 1 ) 一忍中= f ( 2 - 3 4 ) 式中中、t 1 ) 和m 都是已知的，由此，可以得到刚度矩阵的修正量。 2 、基于加速度频响函数的修正方法 加速度频率响应函数方法是通过振动试验测量所得到的加速度频率响应函数 和计算所得到的加速度频率响应函数，来建立被修正参数的估计表达式。 考虑刀自由度粘性阻尼系统，在简谐激励下，频域内输入和输出的关系为 x ( ，) = 日( 1 ) ) f u )( 2 - 3 5 ) 式中：彳( 灿) 为稳态加速度相应：日( 弘) 为加速度频响函数：f ( ，) 为简谐激励。 设计算模型和实验模型的加速度频率响应函数矩阵为 乜( 弘) = j 孬石= 一坛+ 硒儿+ 乜2 ) - 1 ( 2 - 3 6 ) 届( 弘) = = 孑瓦= 弋一膨+ 弘i ) + 髟) _ 1 ( 2 - 3 7 ) 令计算模型的初始矩阵为地、已、肠，实验模型的初始矩阵为肱、g 、髟， 对计算模型的尬、乜、已进行修正，引入一个小摄动量，有 膨= 地+ m ( 2 3 8 ) c ，= 已+ c ( 2 3 9 ) 尼= 乜+ k ( 2 - 4 0 ) 将上述三式代入式( 2 3 5 ) 可得： h ( 灿) = ，麓+ _ 彳已7 + 肠7 一m + 弘c 1 ) + 足。) ( 2 4 1 ) = ( 乙+ d ) 1 、。 式中： 第二章有限元模型修正法的基本理论 z | = 弋一施+ 已+ 尼1 ) 2 ) = 胁“( 弘) ( 2 4 2 ) d = 一( 一m + c l + k l ，2 ) ( 2 - 4 3 ) 当结构比较复杂时，只能测量得到部分信息。在这种不完备信息的情况下， m 、c 、k 也没有唯一解。这里将质量、阻尼、刚度的修正量局部化，利用 位置矩阵将修正量集中体现在测量自由度上，将式( 2 3 8 ) ( 2 - 4 0 ) 表示为： m = 砌， ( 2 4 4 ) c ：p c f ( 2 4 5 ) k = 尸即r ( 2 4 6 ) 式中：朋、c 、七均为厂厂阶的实对称矩阵，为测量自由度数目，p 彤”称之为 位置矩阵，它是由甩阶单位阵划去非测量自由度对应列所成的矩阵。 将上述三式代入( 2 _ 4 3 ) d = ( 一尸m p r + 脚r i + 脚r 1 ) 2 ) = 砌r ( 2 - 4 7 ) 式中： 西= 一( 一所+ 弘+ 七1 ) 2 ) ( 2 - 4 8 ) 将式( 2 - 4 7 ) 代入( 2 4 1 ) ，得到： 拙；+ 尸却r 届= ， ( 2 - 4 9 ) 式( 2 - 4 9 ) 可化为 尸7 胁z 忍p + p r h p 6 p r 月护= 尸r 脚 ( 2 5 0 ) 将式( 2 - 4 2 ) 代入上式，有： 尸7 脚+ 尸7 胁p 西p r 舢= 尸7 脚 ( 2 5 1 ) 令 厨= 尸r 脚 ( 2 5 2 ) 风= ，脚 ( 2 5 3 ) 代入式( 2 - 5 1 ) ，得： 胁+ 助飘= 局( 2 5 4 ) 因此， 1 6 有限元动力模型修正 西：上一土 h m 两 ( 2 5 5 ) 由式( 2 4 8 ) 有 色= 一( 一7 + 坞l ，+ 吒i ) 2 ) ( 2 5 6 ) 式中：、勺、屹分别是m 、c 、七的元素，或为西的元素。根据结构振动 系统所要求的频率范围，利用曲线拟合法由( 2 - 5 6 ) 可以估计得到每个、c ：f 、屯的 值，然后由式( 2 4 4 ) ( 2 _ 4 6 ) 和式( 2 - 3 8 ) ( 2 _ 4 0 ) 得到修正后的系统矩阵。 2 3 3 基于b p 神经网络算法的参数型修正法 对于大型工程结构，需要修正的模型参数数目是很多的，参数修正量也可能 是很大的，而且测量误差的影响也不能忽略，传统的矩阵模型修正和参数模型修 正无法克服这些困难，因此人们一直谋求一种能真正实现大型工程结构模型修正 的智能方法。基于神经网络算法的模型修正方法作为一种新的智能修正方法，近 年来得到了快速发展，受到了广泛的重视和应用。 b p 神经网络由于具有较强的非线性映射能力而被广泛用于结构分析中，而且 大部分采用三层的构造，既一个输入层、一个隐层和一个输出层。b p 算法是一种 有指导的训练多层前馈网络的算法，多层前馈网络的b p 算法就是将一组输入输出 样本模拟仿真问题，变成一个非线性优化问题，采用梯度下降法等算法来调整网 络的连接权值和阀值，以尽量接近期望输出【4 2 j 。近年来，一些学者提出了许多改 进算法，不仅提高b p 网络学习算法收敛速度，同时避免其引起 的网络麻痹或振荡问题【4 3 ，矧。 基于神经网络算法的参数型模型修正方法的基本思路是：首先依据文献【协删、 进行神经网络结构的确定、网络参数的选取、学习样本规格化以及初始权值的选 取：然后输入训练样本，得到一个训练好的神经网络模型：最后将测量获得的振动 模态参数输入到训练好的神经网络模型，得到模型参数修正值。为了验证和进一 步提高模型修正精度，可将上述网络影射得到的模型参数修正值，重新输入到计 算模型中，计算相应的振动模态参数值，并将计算值与实测值进行比较，若两者 误差在容许范围内，表明模型修正是成功的：否则，以上述理论模型输入输出值 组成一新的网络训练样本，加入到原训练样本集中，重新训练网络，直到误差满 足为止。 人工神经网络的固有特性表明了它在结构动力模型修正方面有如下优点【4 i 】