（机械电子工程专业论文）双自由度平面五杆机构的运动设计、动态仿真和轨迹控制.pdf

摘要 本课题束自上海海事大学机械创新设计与实践基地项目平面机器人运 动设i 1 和轨迹控制的实验研究。 本课题研究的目的是：1 ) 探讨平面多自由度多柯f y l4 , 2 的设计、分析及轨迹 择制的方法；2 ) 研讨甲而多白山度多f f 机构的i i 算机动念仍真；3 ) 了婀披拧f 0 序的放；f 也镐以及p c4 j 1 , 4 t l 敛控系统削通l l l 的力法； 受控连4 - r f ) l 构是指一个或若于个原动件受计算机控制，从而使机构粕确实现 任意给定运动并具有智能化的一类机构。精确实现任意给定运动是机构学领域具 有重要实际意义的一大难点，受控机构与受控机构学的研究正是应这一要求而兴 起的。具有一个或两个受控原动件的平面受控五卡丁机构是一个两自由度机构。本 文以精确实现给定运动为目的，对受控平面五柯机构进行了以下几个方面的研 究： 1 ) 平面血卡t 机构运动设计，包括五柯机构的类型、工作空间、曲柄存在条 件和运动干涉等的研究。 2 ) 连杓点轨迹控制研究： a 、控制原理研究； b 、二个原动件输入位置的计算，包括根掘预定轨迹上的已知点计算输入位 胃；根捌连卡1 点沿预定轨迹作等速运动的要求确定输入位胃及根掘连丰1 点沿预定 轨迹运动且主电机作匀速转动的要求计算输入位旨等三种情况。 3 ) 实验装霄的制作和轨迹控制的实现，以及机构运动的动态仿真。 奉文通过对上十丁机构进行结构分析，建立为使连十t 点走出颅定轨迹的b 卡1 机 卡，j 数等梭儿然后通过解析法对数学校型进行求斛，得出与连中丁点所走轨迹十【| 匹 配的各卡1 位胃，再使用v b 语言对此数学模型进行编程，求得两种控制方式下的 动画仿真以及主动件的两个输入值。 文中还介绍了血柯二自由度轨迹控制实验装置的研制过程和控制原理，通过 自 丁研s f j r 发了这套实验装置，通过v b 编程对其进行轨迹控制，大量的实验结 果和实验数掘充分表明了此套实验装胃是可行的，也验证了有关理论和计算公式 的f 确性。 平面血杆机构连打点轨逊的三种运动控制方式的实现及相关的理论和计算 公式的提出是本文的创新之处。 关键词：血卡t 二自山度机构，轨迹控制，受控机构学。 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o m e sf r o mt h ep r o j e c to ft h em a c h i n ei n n o v a t i o nd e s i g na n d p r a c t i c eb a s eo fs h a n g h a im a n t l m eu n i v e r s l t y t h ee x p e r i m e n ts t u d yo f m o v e m e n td e s i g n i n ga n dt r a c kc o n t r o l l i n go ft h ef l a tr o b o t t h i st h e s i sl sa i m e dt o ：1 ) d i s c u s s i o nt h em e t h o d so fd e s i g n i n g a n a l y z i n g a n dt r a c kc o n t r o l h n go ff l a t m u l t i d e g r e e s o ff r e e d o m p l a n a r m u l t i b a r s m e c h a n i s m ； 2 ) r e s e a r c h i n g t h ec o m p u t e r d y n a m i c sj m u i a t l o n ，3 ) u n d e r s t a n d i n g t h ep r o g r a m m t n go fn u m e r l c ajc o n t r o l p r o gr a m a n d t h e c o m m u n i c a t l o nm e t h o do fp ca n dt h es y s t e mo fn u m e r l c a ic o n t r o i t h ec o n t r o l l e dl i n k a g em e c h a n i s mi sak i n do fi n t e l h g e n tm e c h a n i s mt h a t o n eo rs e v e r a ip n m em o v e m e n tb a r sa r ec o n t r o l l e db yc o m p u t e rs o a st om a k e t h em e c h a n i s mp r e c i s e l yr e a l i z ea n yg i v e nm o t i o n i th a sb e e nas i g n i f i c a n t l y p r a c t i c a j p r o b l e mt or e a l i z ea n yg i v e nm o t i o nw i t hp r e c i s i o ni nt h ef i e l do f m e c h a n i c s ，t h e r e f o r et h ec o n t r o l l e dm e c h a n i s ma n dt h ec o n t r o l l e dm e c h a n i c s b o o m s t h ep l a n n e rc o n t r o l l e df i v e b a rm e c h a n i s mi sat w of r e e d o m d e g r e e s m e c h a n i s m a i m e da tr e a l i z i n ga n yg i v e nm o t i o nw i t hp r e c t s l o n t h i st h e s i sw i l i r e s e a r c ht ot h ec o n t r o l l e df i v e b a rm e c h a n i s mf r o mt h ef o i l o w i n ga s p e c t s ： 1 ) s t u d i e st h em o t i o no fp l a n a rf i v e b a rl i n k a g e s ，i n c l u d i n gt h et y p e so f f i v e b a rl i n k a g e s ，w o r k s p a c e ，t h ec o n d i t i o no fc r a n ke x i s t i n ga n dt h ep r o b l e m s o fm o t i o ni n t e r v e n e 2 ) r e s e a r c h e st h et r a c kc o n t r o l l i n go fc o u p l e rp o i n t a s t u d l e st h ep r i n c i p l eo fc o n t r 0 1 bc a l c u l a t i o nt h et w oo r i g i n a lc o u p l e r s ，i n c l u d i n ga c q u i r e dt h ei n p u tp o i n t a c c o r d i n gt ot h ed a t u mo ft r a c k c o n f i r m e dt h ei n p u tp o i n ta c c o r d i n gt ot h e r e q u i r ee q u a l p a c em o t i o no ft h ec o u p l ep o i n ta n dc a l c u l a t et h ei n p u tp o i n t a c c o r d i n gt ot h em a i nm o t o r se q u a l p a c er o t a t i o n 3 ) m a d et h ee x p e r i m e n td e v i c e c a m et r u et h et r a c kc o n t r o l l e da n dt h e d y n a m i cs i m u l a t i o no fm e c h a n i s mm o t i o n m a t hm o d e lw a se s t a b l i s h e di no r d e rt om a k et h ec o u p l ep o i n tt r a c eo u t t h ep r e d e s t m et r a c k s b a s e do nt h em e c h a n i s ma n a l y s t st of i v e b a ri i n k a g e s f u r t h e r m o r e ，b ym e a n s o fas o l u t i o no ft h em a t hm o d e l 1 h ev a l u eo fc o u p l e s i o c a t l o nw e r eg a i n e d f i n a l l y w es e e kf o rt h et w oi n p u tv a l u e so ft w oc o u p l e s w i t hv bl a n g u a g ep r o g r a m m i n gt om a t h e m a h c a lm o d e l t h ep r o c e d u r eo fs t u d i e da n dm a n u f a c t u r e da n dt h ep r i n c i p l eo fc o n t r o l l e d i nt h i se x p e r i m e n td e v i c ew e r ei n t r o d u c e d t h r o u g ht h i sd e v i c e w ec o n t r o l l e d t h ec o u p l ep o i n t st r a c kw i t hv bi a n g u a g ea n dd r a wt h ec o u p l ec ur v e i tw a s f i n d i n gt h a tt h i sd e v i c ei sf e a s i b i l i t ya n do u re x p e r i m e n ti ss u c c e s s f u l w i t h m u l t i t u d eo fd a t e sa n dr e s u l t so fe x p e r i m e n t m e a n w h i l e w ea l s ov e r i f i e dt h e c o r r e c t n e s so ft h ec o r r e l a t i v et h e o r i e sa n dt h ef o r m u l a so fa c c o u n t i ti st h ea r e a so fj n n o v a t i o nt h a tt h et h r e em e t h o d so fm o v e m e n tt r a c k c o n t r o l l e do ff i v e b a rl i n k a g e sc o u p l ew e r er e a l i z e da n dt h ec o r r e l a t i v et h e o r i e s a n dt h ef o r m u l a sp fa c c o u n tw e r ep u tf o r w a r d k e yw o r d s ，t w od e g r e e so ff r e e d o mp l a n a rf i v e b a rh n k a g e ，t r a c kc o n t r o l l e d c o n t r o l l e dm a c h i n e r y j i a n gs h u a i ，e n g i n e e r i n gd e p a r t m e n t d i r e c t e db yp r o z h a n gj i y u a n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进管的矽 宄工作及墩得的研究成 果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不舒含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做 的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 作者签名：i = ! ! 立 论文使用授权声明 日期： 本人同意上海海事大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文复印件，允许论文被匿阅和借阅；学校可以上网 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名： 新签名：槛日期：! ：型! z 兰 取白由j 盘，1 7 血五杆机构的运动垃计、动态仿真和轨迹撺制 01 本文研究的目的和主要研究内容 绪论 011 课题来源、研究目的、用途、意义以及国内外研究现状 1 课翘求脚 奉课题木自上舟向事大学机械创所设计与实践基地项目平面机器人运 动设计和轨迹控制的实验研究。 2 研究目的 本课题研究的目的是：1 ) 探讨平面多自由度多秆机构的设计、分析及轨迹 控制的方法：2 ) 研讨平面多自由度多柯机构的计算机动态仿真；3 ) 了解数控程 序的数字化编程以及p c 机和数控系统间通讯的方法： 3 研究意义及用途 混合输入r r r r p 血卡t 二自由度机构通过两个伺服电机束控制机构的运动， 能够输出多种多样的连杆曲线，克服了单自由度平面连杆机构的许多不足。这种 平面并联机构与串联机构相比刚性得到了提高，精度得到了保证。由于并联机械 于只有刚性好、精度高、承载能力大等特点，近年束在机器人领域中引起了广泛 的重视。凶此，随着可控机构和平面机器人技术的发展，国内外学者对平面l 杆 机构的性能进行了大量的研究，也取得了许多有效的成果，但对平面五柯机构的 构型分析及连丰丁的运动变化舰律的研究还不够完善。 就本文而言，分析了平面血杆机构的结构条件，也例举了血打机构的主要类 掣，还刘本文中的实验模型进行了分析，得出了r r r r p 血十1 机构全曲柄存位的 条件，并倡助于计算机机构仿真的方法，研究了滑块五打机构的运动土见律。把 r r r r p 机构同数控机床的平台相连接，很好地应用了p c 机和数控平台之f h j 的 配合，使得舣自由度平面血卡1 机构的输入简单化、实用化，便于提供教学和科研 使用。在此基础上，本文还要通过v b 强大的动画制作功能，对此机构进行计算 机动态仿真，能使我们更直观、准确地看到机构的运动状念、运动轨迹和运动控 制等。 一if 竹一缸奉人事1 6 l i 学他论文一 双自由度，r 由五杆机构的运功垃汁，动态仿真和轨垃打制 本文所述的血打机电系统具有以下几个优点： 1 ) 实现高精度运动输出 传统的p u 十i 机构，通过引算和优化，能实现复杂轨迹、同4 体位冒和函数输 b 。 如铰链四卡t 机构最多只能实现9 个精确点的轨迹再现，5 个精确位霄的刚体导引 和5 组精确对应位晋的函数综合。四卡丁机构难以实现较高的精度要求和复杂的运 动上兕 # ，而且当要求输出运动的方式变化时，机构就完全不适应了。 f h j 服电 几可j m 世i i 算机f n 先编f ? ，肘白十i 帆 j 的运z j j 进j i 周符，补偿机 ，的 构瞑差。并丈现高柑度的运动规什。 2 ) 实现复杂运动规律 伺服电机通过计算机程序进行控制，可实现复杂的运动规律。 3 ) 叮成组输出，适于多品种、小批量的工业生产要求 由于五卡t 机构相当于一组四卡t 机构，故它可完成该族四杆机构的功能，运动 输出可在最小停机调整时间或零停机调整时间条件下变化，这种性质十分适于当 酌柔性化生产时代多品种、小批量工业生产要求。 ， 4 ) 较低的成本 工业生产要求设备柔性化，但其输出通常只要求在一定范田内变化。所以在 许多情况下只要求设备具有部分柔性，不必使用万能通用型设备。 与多伺服马达输入系统相比，较少的伺服马达系统具有部分柔性，又可降低 成本而提供较大的动力。 5 ) 优良的机械性能 此结构属于闭链结构。传统机械手都采用串联形式，即每一个主要连柯的驱 动装葛都安装在它的饺链处，这样每一个连柯都要承受它后面的所有连十f 和驰动 装胃的匝黾，这就i ；巾避免地增加机械手的惯性，自损机械手的动力特性。此外， 【式运动链虽然在实现复杂运动舰律方面有很大的自由度，但具刚度差、运动误 差积累较大、精度低。 混合输入的血辛1 机构的驱动装冒可以安装在机架上，自然能减小机构的惯 性，改善机构的动力特性，并且刚性好、误差积累小、精度高。 4 国内外研究现状 平_ 向并联机构是一种典型的并联机构，利用它可以综合出许多性能优良的机 一i ，n 一一事人学岫l 阜伯沦卫一 双口由度1 7 由五杆机构的运功改计、动态仿真和轨迹柠制 构，同时它也是研究空m 并联机构的基础。最具代表性的平面并联机构是平面二 自由度机构和平面三自由度机构。平面血杆机构是并联机构的一种，它是单闭环 机构，具有鲜构简单、便于应用的特点。它不仅可以作为机嚣人的本体机构，还 州以作为机器人的部件使用，如作为步行机器人的步行机构，因此该机构得到了 国内外很多学者的重视。 八十年代初期，m i t 的a s a d a 等文献“1 1 研究了“亩接驱动并联血十f 机器人”。 义献f l ，2 荫先建节了并脱h 十l 机忉的厶j 力；叶毖型，通改变符+ j r 川v j 相肘尺 d 使i j l4 ；, j 达钊觯藕，这- 1 、仪减少控制系统的复杂忖，也自利于直接拊导系统功率 分配的解析式。在此基础上他们丌发出了并联血卡t 机器人样机，通过实验进一步 验证并联血卡t 机构的电机功耗要小于相同条件下的串联机械手。之后在文献 3 ， 4 中进一步研究了直接驱动原理、动力学建模和控制系统的设计。在a s a d a 等人 研究的基础上，a b d e l 年d h o e l t z e l 研究了一种新型直接驱动血卡t 机构f 5 6 】，他们在 设计血孝丁机器人的过程中不是通过限制柯长之j 1 b j 的关系束减小系统的惯性力，而 是通过静念平衡方法柬减小机构的惯性。 此外，较早且具有代表性地研究血卡t 机构可动性和曲柄存在条件的是美幽阳 纳西科技大学的t l n gk w u n l o n 教授。他在文献 7 中给出了血卡t 机构的g r a s h o f 准则。在此基础上对血杆机构进行了分类并推导了曲柄存在条件。m e r l e t 提出了 并联机构最仇设i f 的几条准则j ：( 1 ) 工作空i 日j 上灵巧度最好；( 2 ) 驱动力最小； ( 3 ) 动平台误差最小：( 4 ) 在给定驱动器的驱动速度时，动平台速度最大：( 5 ) 工 作空l b j 内无奇异位形。 九十年代初，英国学者t o k u z 在文献【9 ，1 0 】首次提出h y b r i dm a c h i n e 的新概念。 他川一个! 殳时町拧，5 达和一个实时小司控马达驱动一两 i 山度若动轮系，差幼轮 系的输出驰功一曲枘f j 块机构，已实现组滑块输 u 运动圳律。实验表【j 有些输 出运动规律r7 f a ( r e a lt l m ea d j u s t a b l e ) 马达功率需求较r t n a ( r e a lt i m e n o n a d j u s t a b l e ) 马达功率需求较小，但是如果输出运动规律中有停歇段，则由 j 。输入输出运动的线性组合，倒服马达提供的功率甚至等于或大于常速马达的功 率。在t o k u z 研究之后，相继有一些研究出现，但是这方面的研究较少。 g r e e n o u g h 在文献 1 1 中用一两自由度七卡t 机构作为混合机构产生变规律的 转动输出。他们强调要使混合机构系统的长处明显，则实现运动柔性输出时，r f a i t 向。灯事人掣坝i 学位论殳一 硬臼由度r 血五杆机构的运上力垃汁、动态仿真和轨垃拧制 马达所需的驱动功率一定要小。他们以这一设计准则建立目标函数进行了七打混 合机构实现一组指定转动运动规律输出的优化设计，实验结果表明混合机构系统 中r i a 马达的峰值功j 尹婴比用i l a 马达直接驱动机构系统实现同样的输出规作的 马达峰值功率小5 0 ，但是他们没有对这个混合系统做系统的研究，例如混合马| ：! 动七柯机构的的奇异性、可动性等。 h e r m a n l 在文献 1 2 】中应用混合驱动的思想，希甲r t a 功率需求爰 l r t n a 小。他蚪jr r j j 轮系作为混合驱动机构，带动凸轮机”鼻现，叟近、远休【f 吲川i 的棠l 俞出您r 山。皿j 1 f ，j 负 粜衷 埘，；配合机构系统的f c i a 。- ! j 丛的峰值功啤干4 知要比r7 l a 机构系统中的峰值功率和转矩d 、7 0 。 斟内许多学者列血杆机构的特性进行了定性研究：曲柄存在条件；动力学分 析、工作空f - 日j 分析：奇异性与灵巧度分析等。奇异性和灵巧度分析是机器人机构 学研究的又一重要内容。当机构处于奇异位形时其雅可比矩阵奇异，此时机构的 速度反解不存在，机构会失去控制，因此在设计和应用并联机器人时应避丌奇异 位形。灵巧度作为评价机器人运动学的性能指标，反映了机器人输入输出运动之 日j 的运动失真度。以往研究表明利用雅可比矩阵条件数可以作为灵巧度评价指 标。l e e 基于雅可比矩阵特征向量、条件数及广义雅可比矩阵推导了可用于多自 山度机构运动学和动力学综合的各种性能指标。 口j 摔机构与町控机构学研究是应精确实现给定运动的裴求厩兴起的。具研究 内容主要包括可控连卡t 机构的分析与综合理论、控制方法与控制系统应用等方 面。它在任意多个点上能精确实现给定运动的特性具有重要的实际应用价值。 目的困内外学者对具有一个可控原动件的混合驱动血杆机构研究较多。在一精 确实现给定返动力面，主要进行了以下几个力面i 的研究：( 1 ) 精确实现给定的传 动比l 4 1 ：( 2 ) 精确实现给定的函数。5 】；( 3 ) 精确实现给定的轨迹f ”i ；( 4 ) 猫确实现 多个给定的运动l i ；( 5 ) 在机构具有加工误差和弹性时精确实现给定的运, 4 j f ”i 。 矗f j i j 电机驱, 4 j 适卡1 机构的研究中，t o k u z 首先建奇了用无刷倒服电机骀动 的p q & r l t 迹创成系统模型。通坦仍真分析发现伺服电机驱动的四卡1 机构町以减小 迄卡丁曲线的误差，并改善机构的运动学及动力学特性。在全伺服驱动平面五丰 机 构方面，陈瑞芳研制了血连杆机构试验台旧l ，此试验台两原动件的运动分别由 两台步进电机驱动，可以演示血枉机构的运动和连 r 点轨迹的异同，还可以验训 浙幻巾人垧l7 抽沧爻一 4 双自由度平呵五杆机构的运动跛计，动态仿真和轨逊挣制 血杆机构的曲柄存在条件，以及五连柯机构曲柄存在条件的复杂性。 与混合驱动血卡t 机构相比，全伺服驱动血卡t 机构具有更大的柔性，因此具有 史多的优点。在实现变规律往复运动及摆动的情况下，例如在升一停一降、升一降一 停运动中，混合驱动血柯机构伺服电机的调节量和功率比全伺服驱动血柯机构中 伺服电机的调节量和功率要大的多，而全伺服驱动五柯机构可以很容易地满足停 歇运动要求。在轨迹方面一些学者用遗传算法研究了给定轨迹的混合驱动上卡t 机 构的尺度综合，建奇的目标函数包括连 r 曲线误差、机构可d j 性及f 叫服电f l 的调 节量三部分，从综合结果束看机构的可动胜及伺服电机的凋肖量均达到预期的效 果。但是从实现的曲线轨迹来看结果不太令人满意。造成这一结果的原因是混合 驱动血卡i 机构的柔性是有限的。全伺服驱动血柯机构可以精确实现工作空| 日j 内任 意给定的计时轨迹，而混合驱动五杆机构只能精确实现给定的非计时轨迹。这限 制了工作效率和工作质量，因此也限制了混合驱动五柯机构的工程应用范围。 0 1 2 本文主要研究内容 1 ) 平面血杆机构运动设计，包括五杆机构的类型、工作空l 日j 、曲柄存在条 件和运动干涉等问题。 2 ) 连杆点轨迹控制研究： a 、控制原理研究； b 、二个原动件输入位置的计算，包括根据预定轨迹上的己知点计算输入位 詈；根据连杆点沿预定轨迹作等速运动的要求确定输入位置及根据连杆点沿预定 轨迹运动且主电机作匀速转动的要求计算输入位霄等三种情况。 3 ) 实验装管的制作及轨迹控制的实现，包括轨迹控制的实现和机构运动的 动念仿真。 02 平面连杆机构运动分析的解析方法 平面机构运动分析的解析方法有封闭向量多边形法、复数法和矩阵法等，但 最常用的方法是封闭向量多边形法和复数法。本节重点介绍封闭向量多边形法。 平面机构在其任一确定的运动位旨，其构形为封闭的平面几何图形。存排 一i 咖由事人学坝i 学位论文一 双自由度p 由五杆机构的运动设计，动态仿真和轨迹拧制 除了虚约束和局部自由度后，根据独立封闭形建立的位霄方程个数恰好等于平面 机构中待定的位冒变量个数，求解机构的位置方程组，可得从动件的位旨，进而 可进行速度和加速度分析。这就是平面机构运动分析的基本原理。 02 1 封闭向量多边形法 l 、独立封闭形个数 在根掘机构示意图选出的k 个封闭形中，若= l ，9 1 i j 玖土寸l 牙 彤足独盘的；若 k = 2 ，如果住第2 个封j 形中，出现第1 个封j 形中未出现的新构件，则称此2 个封闭形是相互独立的：否则，独立封闭形个数仍为l ；般地，设已得i 个独立 封闭形，如果在一个未经判断的封闭形中，出现前i 个独立封闭形中未出现的新 构件，则此h - 1 个封闭形为互相独立的封闭形；由此可在k 个封闭形中挑选出 机构的一组独立封闭形。设其包含的独立封闭形个数为，则根据图论中的欧拉 公式可知 ，= p j v + l ( 0 1 ) 式中，p 为机构的运动副个数，为机构中的构件总数。 2 、用封闭向量多边形法建立机构的位置方程组 封闭向量多边形法建立平面机构位置方程组的主要步骤如下： 1 ) 取定与机架固联的直角坐标系( 一般只画x 轴，y 轴由右手法则定) ；用 矢量代表构件或封闭形的边( 若构件为连架杆，则其代表矢量起自机架) ；标注 各矢量的位霄角( 为x 轴正向沿逆时针方向转到与该矢量指向相一致时的角度) ； 2 ) 针对每个独立封闭形，写出，个矢量封闭方程： 3 ) 将每个矢量封闭方程向x 轴和y 轴投影，可得由2 ，个方程组成的机构位 霄方程组。 3 、机构位霄方程组的求解 ( 1 ) 二角函数的有理化 机构的位胃方程组是一非线性代数方程组。其解法有牛顿迭代法、区间分析 法，同伦法和消元法1 2 0 , 2 1 等。机构位置方程组中含有三角函数，为将其化成多项 式方程组，以便用区i 日j 分析法、同伦法或消元法求解，必须对三角函数有理化。 三角函数有理化的方法主要有以下二种： 一i 街海事入学帧l 学位论文一 6 双h 由煌1 7 血五杆帆构的运动砹计、动态仿真和轨垃抨制 1 ) 半角币切法 令x ，：培霎，则 凶力1 + z j o ，敞舀对c o s o , 、s l l l p 皆代后，可，肖上分州1 + x ? ，从而把机陶f - 崔方程组化成一个多项式力程组。半角j 下切法不增加变量个数，但所得多项式力 组复杂，且容易引起增根。 在解上述多项式方程组，求得与角位雷变量p 相对应的工。的值后，可用下式 直接求得眇的值： 咖只= 蚤( 0 - 3 ) 2 ) 补充方程法 令札= c o s o , ，x 。= s i n 8 , ( p 为第个角变量) ，再补充一个方烈 j ；+ 石毛- - 1 = 0 ( 0 4 ) 故在对机构位冒方程组中的c 0 s 0 t 、s i n o , 符代后，连同补充方程一起构成一个多 项式方程组。补允方程法需增加变量个数，但所得多项式方程组较简单，而目不 易引起增根。实算表明，补充方程法更易成功。 存解上述力程组，求得与角位移变量p 相对应的屯和z 的值j 舌，可用f 式 直接求得伊的值： t a n o , ：生 ( o 一5 ) 屯 ( 2 ) 三角方程的求解 求解机构位胃方程组时，常需求解下列三角方程： i 以向事人学垧i 学位论文一7 吡 丝弘叫 l i = 毋 谚 宝 m 双臼由度，r 由五杆机构的运动设计、动态仿真和轨迹挣制 “，c o s 6 * , + v ，s i n 只+ w ，= 0 ( 0 6 ) 此时，可用半角正切法求解。令x ，= t g _ u 7 t ，并将式( 0 - 2 ) 代入方程( 0 - 6 ) j 消去分母1 + x ? ，整理可得： ( ”，一，) 工j + 2 v ，x ，+ t + “，= 0 其解为 。：二：圭匿7 ) 式中的“”号应根掘机构的装配构形确定。 在求得x ，后，可由下式确定p ： t a n p = 鲁 s ， 需注意的是：p 的值应根据点( i 一# ，2 x ，) 所在象限定。 4 、机构的速度和加速度分析 ( 1 ) 速度分析 设平由机构的位眢方程组为 ，q ；工) = 0 ( o 9 ) 式中，厂( 叮；工) = ，i 0 ；x ) ，白；x 圩为刀维向量值函数，工= k l 一，k r 表示”个 待定的位酉，叟量，g = - i q ，r 是f 个输入运动参数( 即已知的原动倒位百量) 。 将机构位臀方稃组( o - 9 ) 对时l 日j ，求导，并注意原动件位臀q = 叮( ，) ，日j 得： 喜黟+ 善珈- o ，川，n ( 0 - 1 0 ) l 式町用她阿表示为： 咖= 6( 0 ，1 1 ) 式中，= ，0 ；工) 一0 盯) 的f 对x 的雅可比矩阵： v = j = 扎，砖 g t ) 的未知的从动件速度列阵： 双臼由度甲曲五杆机构的运动垃计、动态仿真和轨迹拧制 b = 口；e = 卜影却j r e ( n f ) 的系数矩阵； 审= p 一，口， 7 一妒t ) 的已知的原动件速度列阵。 ，：，o ，工) ：箬： 咖 弧甄 毋l良。 眠 觑 1 影影 i 。 e = e 白；x ) = - t ! ； l 既既 l a q l a q 当f = 1 时，q = q 。，式( o 1 1 ) 成为： 彰。 苏。 咖= 一鼢a e ，既a q 尊 ( o 1 2 ) ( 0 1 3 ) 斟尊已知，且在位移分析完成后，j 、e 也已知，故方程组( 0 - 1 1 ) 为线 性方程组。只要，非奇异，解之可得从动件的速度列阵v 。 ( 2 ) 加速度分析 将速度方程( 0 1 1 ) 对时f b j f 求导，可得： 妇= c ( 0 一1 4 ) 式中，娌亍t = 札，氘 7 一o x t ) 的末知的从动件加速度列阵； c = 占一，v = 直叮+ 叵4 一，v o 1 ) 的系数歹0 阵； 牙= 巧j ，一，口， 7 一扩1 ) 的已知的原动付加速度列阵。 凼口已知，且在位移、速度分析完成后，、c 均已知，故方程组( o - 1 4 ) 为线 疗平口组。只要j 非奇异，解之可得未知的从动件加速度列阵d 。 一i 洳向事人学坝i 学位论文一 9 双自由度，i 一血五杆机构的运动垃计动态仿真和轨迹挣制 0 ，2 2 复数法 若一个平面矢量的坐标为【，】= 【工，y 】t ，则该矢量可用一个复数表示： r = x + l y = r e 9 = r c o s t a + i r s i n ( o - 1 5 ) 式中，i = = i 为虚数，= x 2 + y 2 为矢量的横，妒为矢量，对x 轴币向的央角， t a n 口= y x 。 用复数法对平面机构进行运动分析的主要步螺如下： 1 、f 0 移分析 ( 1 ) 刈饥构的每个独立封肜j f 个父量“州力程； ( 2 ) 用指数形式的复数表示矢量鲥闭方程中的每个矢量，写出，个复数位智 力程； ( 3 ) 将，个复数位胃方程的虚部和实部分离，可得由2 ，个方程组成的机构位 霄方程组； ( 4 ) 求解机构位霄方程组，可得位移分析的结果。 ( 5 ) 用共轭复数法减少联立求解的方程个数 为了尽町能地减少联立求解的方程个数，有时可用共轭复数法从2 个闭环复 数方程中消发1 个位置变量。 例如，对一个机构的2 个独立闭坏，可得如下2 个闭环复数方程： 2 ：r 3 4 p e | ：二7 1 4 8 ：1 p ：。c 。s ，s er 2 e 0 【_ p 地+ 吼一仍+ 岛= r 式中，妒：一伊，为4 个角位旨变量，其余量为定值。 苔将上述方程组向x 和y 轴投影，川得4 个标肇方程，需联立求解4 个与“。 为此，我们司按f 列做法将联立求解方程的个数降剑2 个。 为了从七述与程组的第1 个方程中消去妒：、第2 个方程中消- z 红，j 将方 程组改写为如下形式： f ，2 p 纯= 厶已约+ ，4 p 钆一- p 岛 l z 5 p 。n = ，3 p 7 他+ g e 吼+ 吃p 岛 将上述每个力程的纳边乘以各自的共轭复数，化简司得： 一l 以力唪人掌帧i 学位论殳一 取自由瞧呷血五轩机幸i 的运功l 歧计、动态仿真， f l 轨逊拧制 f f ；= ，；+ 瑶- t f 1 2 + 2 l3 ，4c o s ( 妒3 - 6 p 4 ) - 2 1 3 1c o s j 一0 1 ) 一2 1 4 厂lc o s ( t p 4 一日i ) 【譬= 厂3 + 0 + + 2 r 3 r 4c o s ( f p 3 一p 4 ) + 2 _ ，3c o s ( 6 p 3 一b ) + 2 r 2 r 4c o s ( c p 4 一目2 ) 这早，特别囊江意上述表达的内在规律。联立求解上述2 个方程，可得吼和妒。的 位，进而可山下式求得吼和妒，的值： t 。n 凹，= ! ! 里里! j ! ! 墅旦翌! 二刍墅! ! 一 2 kc o s ( 0 1 + j 4c o s p 4 一- c o s p i t a n 凹；：垒兰! 里! ：尘! ! ! 堕! 垒羔! 竺 0c o s p j 十 4c o s 妒4 + 厂2c o s 2 2 、速度分析 ( 1 ) 将，个复数位置方程对时l 日j 求导，可得，个复数速度方程； ( 2 ) 区分复数速度方程的实部和虚部，可得由2 ，个方程组成的机构速度方 w 组： ( 3 ) 求解速度方程组，可得速度分杌结果。 3 、加速度分析 一 ( 1 ) 将，个复数速度方程对时间求导，可得，个复数加速度方程； ( 2 ) 区分复数加速度方程的实部和虚部，可得由2 ，个方程组成的机构加速 度方程组； ( 3 ) 求解加速度方程组，可得加速度分析结果。 03 非线性代数方程组解法概述 按承解过盯和求解结果分类，非线陛代数方程组( 简称为非线性方拧绀或疗 秤组) 的解法大致舒以下四类解泫。 0 31 准确解法 大多数机构分析与综合的多解问题都可以转化为求解下列非线性方平口组的 问题： ， ，r h ；x ) = 【 ( h ：x ) ，l 似，x ) 】7 = 0 ( o 一1 7 ) 式中，= “一，u 】7 为，个参变元，工= 【x j ，一，x 。】7 为n 个变元，肌h 。 一i 白向审人7 坝j 学位论史一 双自由度，r 由五杆机构的运动 i 汁、动态仿真和轨迹搭制 巷力榭组( o 1 7 ) 的倒可用具体的函数表达式表示为 x ：= 芹? ( )，i = 1 , 2 ， ( o 1 8 ) 则称x = 工姐) = 卜? ( “) ，z ：( “) ，x ：( “) 1 7 为方程组( o t 8 ) 的准确解或公式斛。 例如，4 次以下的一元多项式方程有公式解，因为公式肼最可靠，可以寿清 楚问题的本质；而且赴计算方法中，常以准确解捡验各种近似解的近似程度：另 外，方种组能否求得准确解的研究列数学本身的发展f 1 节大推动作用：所吼，方 b 绁的f j 确婀囱氧爱息义。在n ，能的f 况f ，应爆“j 能，托得r 确解。然向，人多 数椎线性方挫组没囱砟i 确解。 0 3 2 求类解析解的消元法 设方程组( o 。1 7 ) 经过某种消元过程可得如下形式的三角形方程组： t ，= ( t t ；x i ，x 2 ，x ，) = 0 ，i = 1 , 2 ，f ( 0 - 1 9 ) 且原方程组( 0 - 1 7 ) 的每个解都是三角形方程组( o 1 9 ) 的解，则称方程组( o 1 9 ) 是原方程 组 的类解析解 。 记集合 ( 倦) = ，l ( “：) ，2 ( 蟛x l ，x 2 ) ，( “；x l ，工2 ，x 。) ；。则炎解析解( o 一1 9 ) 可表示为 ( t s ) = 0 。 若能求得类解析解，则可以依次独立地求出( t s ) = 0 中的n 个一元方程的解， m 代入原方稃组检验，就可确定原方程组的解：而且，当原方程组( o 1 7 ) 的参 变元“的值改变时，不需重新消元，只要重新计算( 瑙) 中与“有关的各参数的 值，就可顺利的求得新的解，计算效率高。另外，类解析解的形式便于演绎、摊 理。 然向，并小是所铂的方程组鄙自其炎解析解。i j 喜的足，在机构学研究中遄 钊的方程组，经过三角变换后，大多数方程组都司化成一个多项式方程组： ( p s ) = p l ( h ；上) ，p 2 ( “；x ) ，p 。( ；x ) ；= 0 ( 0 - 2 0 ) 其中的每个p ，( 脚：工) 都是以口= 【“，z f 2 ，u ，】7 为参变元的关于变元 x - 【一，工：，x 。】7 的多元多项式。 一f i 缸由事人筝坝i 学位硷盘一 1 2 双臼巾度1 7 血五杆机构的运动设计，动态仿真和轨迹抨制 对于多项式方程组( o - 2 0 ) ，现在已经有较为成熟的理论和方法，通过消元 求得其类解析解( t s ) = o 。此时( t s ) 中每个方程的求解都可以化成一元多项 式方程的求解。而一元多项式方程的解法已成熟1 2 2 2 3 1 ，因此，可通过求解( r s ) ：0 求甜燎方程纽( p s ) = 0 的所有解，即( j p s ) 的零点集z e r o ( 尸s ) 。特称多项弋方 利组( 用) = 0 的类解析解( t s ) = 0 为多项式0 彳。 求多项方程钳( 尸) = 0 的多项式解( t h ) = 0 台仉构学研亢巾f 】t f 毁 r 、y 川。 它町用 解决机构的装配构彤| l u j 题、机 戒手的树状斛闻越和机构多为粢综合笔多 鲻i 口j 题【2 4 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 。 方程组的消元理论及其应用方面的研究我国处于领先地位。我国著名数学家 吴文俊根据r i t t 原理提出了随后称之为吴方法的理论和方法并应用于几何定理 的机器i j e 明1 2 9 q 2 。虽然吴方法将大量工作花在了用伪除法整序上，从而导致了 计算工作量过大计算效率偏低，但是吴方法对其他学者的启发意义却是不可估 量的。杨路等继承了吴方法的思想，在文献 3 3 】中提出了更进一步的聚筛法。文 献 3 4 】提出m 7 结式消元法，提高了消元效率，使消元法更趋实用化。但这些 方法还有进一步提高消元效率、降低消元结果次数的余地。文献 3 5 1 中提出的堆 组结式消元法和综合消元法等消元法是对吴方法的改进和完善。 0 33 数值迭代法 设在方程组( 0 1 7 ) 中的参变元“。，2 ，“，已有确定的值，且m = 胛。此时 力程组( o - 1 7 ) 可以简单地表示为： ( ) = 0 ( 0 - 2 1 ) a q , ，j = _ ，x 2 ，z 。1 7 r ”表示月个变元，似) = - 厂l ( 工。) ，2 ( x 2 ) ，( 工。) j 7 为定义在n 维子空问d cr ”上的变元工的片维向量值函数，即：，：d c r ”呻r ”。 用数值迭代法求解方程组( 0 - 2 1 ) ，就是构造迭代格式： x “”= ( 汲 ( o 一2 2 ) 使它午少满足以f 要求： ( 1 ) 适定性，即山迭代格式( o - 2 2 ) 得到的序列缸 是适定的。也就是 一i 以j 奸事人等岫i 学仲论殳一 烈h 巾j 童r 向五 f 机构的运动砹十、功态仿真和4 j 【迹拧制 x d 对k = o ，l ，均成立： ( 2 ) 收敛性，若x d 是方