（岩土工程专业论文）饱和半空间土与基础的相互作用.pdf

饱和半空间土与薯瑚的相互作用 饱和半空间土与基础的相互作用 摘要 本文主要研究饱和半空间土与基础的相互作用，包括两个问题， 即表面有堆载的群桩问题和多孔饱和半空间上刚性圆板问题。 1 对于表面有堆载的群桩问题，根据b l o t 固结理论和流变理 论、引入m e n a m e e 位移函数并对所得方程进行 l a p l a c e h a n k e l 变换得到半空间饱和土中作用垂直载荷的 基本解，基于该基本解建立了半空间粘弹性饱和土中的群 桩负摩擦问题的积分方程。利用l a p l a c e 变换方法对上述积 分方程进行简化，并用数值求解所有的积分方程及相应的 逆变换就可以得到半空间饱和土中群桩负摩擦任意时刻各 桩的轴力、桩侧摩阻力、孔压和位移。体文的方法相对于 f 弹性理论方法和有限元方法更容易考虑固结和流变过程中 的时间因素，因而能有效地求解粘弹性饱和土中的群桩负 摩擦问题。在本文中给出了一些计算结果，并进行了参数 分析，如s d 的变化对最大轴力的影响、s d 的变化对中 性点位置的影响及重点分析了中心桩( 不同桩距固结过程 中对中心桩的影响、桩长对中心桩的影响、土的泊松比的 大小对中心桩的影响、e 。e 。对中心桩的影响等等) 。通过计 算得出了群桩负摩擦效应，即外围桩对于地面堆载附加应 力起遮挡作用而使群桩的负摩阻力降低，在一定程度上说 j 媾，灌，津硪士唯嘴，： 饨和牛蔓：间土与| m 的相】0 t f 用 明了本文计算方法的有效性。由于采用了l a p l a c e 变换和积 分方程方法，因而对于有限元方法来讲可以大大地减少计 算量卜厂 2 对于半空间上刚性圆板问题，首先计算轴对称情形下b l o t 固结基本方程的求解问题，引入无量纲变量对b l o t 固结方 程无量纲化，引入m c n a m e e 位移函数把b i o t 固结方程解 耦为两个偏微分方程，并用l a p l a c e - h a n k e l 变换把偏微分 方程化为常微分方程，得到变换域内的位移、应力和孔压 等的表达式。引入半空间饱和土表面有一圆形刚性板问题 的边界条件建立对偶积分方程，利用a b e l 变换及其性质把 对偶积分方程简化为第二类f r e d h o l m 积分方程，并用数值 求解所述积分方程以及进行相应的逆变化就可以得出我们 所关心的任意时刻圆板的沉降和圆板与地基的接触应力。 ， f 计算结果表明初始时刻由于孔压的作用，固结度趋近于零， 也即土体相当于刚性体；如果时间足够长则孔压耗散，土 体相当于普通弹性材料；板的应力中间最小，板边有应力 集中。把本文的结果和c h i a r e l l aa n db o o k e r 的结果对比， 发现本文结果和文献c h i a r e l l aa n db o o k e r 的结果基本一 致，但是本文数值方法非常简单。于一k 一“ 关键词：负摩擦，b l o t 固结，流变，群桩，f r e d h o l m 积分方程， 多孔饱和半空间 本文的研究工作获得教 r 部博士点基金( n o 9 8 0 2 4 8 3 2 ) 资助 饱和牛空间土与| m 的抽i 作 i n t e r a c t i o nb e t w e e ns o i l sa n d f o u n d a t i o n si ns a t u r a t e dh a l f s p a c e a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t w op r o b l e m s a r ed i s c u s s e da b o u tt h ei n t e r a c t i o n b e t w e e ns o i l sa n df o u n d a t i o n si ns a t u r a t e dh a l f - s p a c e o n ei st h ep r o b l e m o f p i l eg r o u p s u n d e rg r o u n ds u r f a c el o a d ；t h eo t h e ri st h ep r o b l e mo f r i g i d c i r c u l a rp l a to nf l u i d s a t u r a t e dp o r o e l a s f i ch a l f s p a c e 1 t os o l v et h e p r o b l e mo fp i l eg r o u p s u n d e rt h es u r f a c e l o a d ， r h e o l o g ya n db i o t s c o n s o l i d a t i o nt h e o r ya r eb a s e do n ，a n d m c n a m e ed i s p l a c e m e n tf u n c t i o ni s i n t r o d u c e d t r a n s f o r m i n g t h e d i s p l a c e m e n t f u n c t i o n b y m e a n so f l a p l a c e - h a n k e l t r a n s f o r mm e t h o d s ，f u n d a m e n t a ls o l u t i o no ff l u i d - s a t u r a t e dh a l f s p a c es o i lu n d e r v e r t i c a ll o a dc a l lb ed e r i v e d t h ef u n d a m e n t a l s o l u t i o no ft h i si n t e g r a le q u a t i o ni su s e dt oe s t a b l i s ht h en e g a t i v e f r i c t i o n s i n t e g r a le q u a t i o no fp i l eg r o u p si nt h ef l u i d - s a t u r a t e d p o r o e l a s t i ch a l fs p a c es o i l a p p l y i n gl a p l a c e t r a n s f o r mm e t h o d s t os i m p l i f yt h ei n t e g r a le q u a t i o na n df i g u r i n go u tt h en u m e r i c a l s o l u t i o no fi ta n di t sc o r r e s p o n d i n gi n v e r s ei n t e g r a lt r a n s f o r m s ， w ec a r lo b t a i nt h ep i l e s a x i a lf o r c e s ，f i c t i o nr e s i s t a n c e sa r o u n d t h ep i l e s c i r c u m f e r e n c e ，p o r ep r e s s u r e sa n dd i s p l a c e m e n t sa t 上冉，曩大# 1 哺口呻t ，； i i l a n yt i m ed u r i n g t h ec o u r s eo fp i l e g r o u p s n e g a t i v e f r i c t i o n e f f e c t a l o n g t h e p i l e i nt h ef l u i d - s a t u r a t e dh a l fs p a c e s o i l c o m p a r i n g t oe l a s t i c i t ym e t h o da n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h i s p a p e r sm e t h o d i sm o r ea v a i l a b l et ot a k ea c c o u n ti nt h ef a c t o ro f t i m e ，s o t h e p r o b l e m o f p i l eg r o u p s n e g a t i v e f i c t i o ni n f l u i d - s a t u r a t e dp o r o e l a s t i c s o i lc a l lb es o l v e dp r o p e r l y s o m e c o m p u t i n g r e s u l t s a r e g i v e n w i t h p a r a m e t e r a n a l y s e s t h e i n f l u e n c et om a x i m u m a x i a lf o r c ef r o mv a r i a t i o no fs d ，t h e i n f l u e n c ef r o ms h i no fn e u t r a lp o i n t sp o s i t i o n t ot h ec e n t r a l p i l e a r e a n a l y z e d ( e s p e c i a l l y o nt h ec e n t r a l p i l e ，a b o u t i n f l u e n c ef r o mt h ev a r i a t i o no fp i l es p a c i n g ，p i l el e n g t h ，s o i l s p o i s s o nr a t i o y o u n g sm o d u l u s r a t i oo f p i l eu p o ns o i l ，e p e s ) w e c a no b t a i nt h e p i l eg r o u p s n e g a t i v e f i c t i o ne f f e c t ，t h a ti s ， p e r i p h e r yp i l e sc a n s h e l t e rt h ea f f i x a t i o ns t r e s sc a u s e db y s u r f a c e l o a d ，s ot h ep i l e s n e g a t i v ef r i c t i o n d e c r e a s e s t h i sm e t h o di s v a l i dt oac e r t a i ne x t e n d b e c a u s eo fl a p l a c et r a n s f o r m s m a d i n t e g r a le q u a t i o nt h e o r y , t h ec o m p u t i n g w o r ko ff i n i t ee l e m e n t m e t h o dc a nb er e d u c e dg r e a t l y 2 t ot h ep r o b l e mo fr i g i dc i r c u l a rp l a to n f l u i d s a t u r a t e dp o r o e l a s t i c h a l f s p a c e ，t h es t e p s a r e ：s o l v i n g t h eb i o t f i m d a m e n t a l c o n s o l i d a t i o ne q u a t i o ni n a x i a l s y m m e t r ys i t u a t i o n ；e m p l o y i n g v a r i a t i o n st on o n - d i m e n s i o n a l i z et h eb i o tc o n s o l i d a t i o ne q u a t i o n ； i v 饱和牛空间土| 瑚的相王t p 用羞0 文埔l e m p l o y i n gm c n a m e ed i s p l a c e m e n tf u n c t i o n s t o u n c o u p l et h e c o n s o l i d a t i o n e q u a t i o n i n t ot w o p a r t i a l d e r i v a t i o n f u n c t i o n s ； t u r n i n g t h e mi n t od e r i v a t i o nf u n c t i o nw i t h l a p l a c e - h a n k e l t r a n s f o r mm e t h o d t h e nt h ed i s p l a c e m e n t ，s t r e s s ，p o r ep r e s s u r e o ft h i s t r a n s f o r m i n gr e g i o n c a r lb ed e d u c e d t h ed u a li n t e g r a l e q u a t i o n sa r ee s t a b l i s h e da c c o r d i n g t ot h eb o u n d a r yc o n d i t i o no f t h ep r o b l e mw h i c ht h e r ei sa r i g i dc i r c u l a rp l a to n t h es u r f a c eo f t h ef l u i d - s a t u r a t e d p o r o e l a s t i ch a l fs p a c e t h e s e d u a l i n t e g r a l e q u a t i o n sa r e f u r t h e rr e d u c e dt of r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o no f t h es e c o n dk i n db ya b e lt r a n s f o r ma n di t sc h a r a c t e r t h ec o n t a c t s t r e s so ft h ec i r c u l a rp l a ta t a n yt i m ei s o b t a i n e db yn u m e r i c a l m e t h o da n d c o r r e s p o n d i n g i n v e r s i o no ft r a n s f o r m t h e c a l c u l a t i o nr e s u l ti n d i c a t e st h a tt h ed e 耵e eo fs e t t l e m e n tt e n d st o z e r oa tt h ef i r s tt i m eb e c a u s eo ft h ea c t i o no ft h ep o r ep r e s s u r e a n dt h es o i li s e q u a lt or i g i do b j e c t ；a tt h ee n do f t i m et h ep o r e p r e s s u r ed i s a p p e a r sa n dt h e s o i li s e q u a lt o c o r n n l o ne l a s t i c i t y o b j e c t ；t h es t r e s si nt h em i d d i eo f t h ec i r c u l a rp l a ti sm i n i m u m a n dt h es t r e s sc e n t r a l i z e sa tt h e e d g e o ft h ec i r c u l a r p l a t c o m p a r i n g w i t hc h i a r e l l aa n db o o k e r sr e s u l t s ，t h er e s u l t so ft h e p a p e ra r ei d e n t i c a l t oc h i a r e l l aa n db o o k e r sb a s i c a l l y , b u tt h e n u m e r i c a lm e t h o do ft h i sp a p e ri ss i m p l e r d e 囊l 冀l 囊l 士t 蕾恃支 v 竺竺兰竺圭竺苎竺竺竺兰! 竺苎兰竺 k e yw o r d s ：n e g a t i v ef r i c t i o n ，b i o tc o n s o l i d a t i o n ，r h e o l o g y , p i l e g r o u p s ，f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n ，f l u i d - s a t u r a t e dp o r o e l a s t i c h a l f s p a c 。 上冉史曩 掌女掌位恃支 v 1 饱年_ 牛l _ l | i 土j f | k i 作用 第一章绪论 1 1 桩一土共同作用方法进展 桩基础是一种历史悠久的基础形式，正如文献“1 所指出的：“在人类有历史 记载以前，就已经在地基土条件不利的河谷及洪积地区采用了桩基这种基础工程 方法；在许多不同文化时期的初期，都可以找到桩基的房屋。”早在古代的建筑 活动中就已有木桩来解决软土地基的基础建设问题，桩在建筑星中起着承担上部 结构载荷，与土或基岩相连接，将上部结构的载荷传递到桩周土体、基岩中，从 而降低上部结构、基础的总体沉降；同时，桩基础又有效地承受一定的水平载荷 和上拔力。因此，桩基础能提高建筑物的抗倾斜能力：此外，桩基础还常常用来 减少地基的振幅，减弱机器振动对于结构物的影响；桩基础比天然基础具有更好 的抗震性能，可以减少震陷。所以，桩基础是土质不良地区( 例如：沿海软土地 区、湿陷性黄土区、膨胀土地区、地震区) 建造建筑物，特别是高层建筑物和重 型厂房以及各种具有特殊要求的建筑物所广泛采用的基础形式。 对于大型油罐、粮仓、原材料堆放地等，为使其地基承受巨大的载荷，一般 要用桩基进行加固，若承台刚度相对较小，桩会产生负摩擦力，此时不能用一般 的方法进行计算，历史上为此曾经发生过多起严重事故。 桩的负摩擦问题是土木工程中很关心的一个问题在通常的桩基中，桩的承 载力是由桩周围土的摩擦力和桩端力共同组成，其中桩侧土的摩擦力依据其对桩 身的作用方向，又可分为正摩擦力和负摩擦力两种，当桩在外荷载作用下，桩相 对于土体产生向下的位移时，土表现为对桩的支承作用，土对桩产生正的摩擦力， 反之产生负的摩擦力，负摩擦力的产生增加了桩身负荷。 1 1 1 线弹性基本解 目前，应用线弹性理论计算弹性地基中的桩基的方法比较成熟。t h u r m a n 和 d ，a p p o l o m a ，d ，a p p o l o n i a 和r o m u a l d ”1 以及s a a s 和b e l z u n c e “对线弹性 土中的单桩的性态进行了深入的研究。在此基础上p o u l o s 和d a v i s 进行进一步 的研究和总结，提出了一套以m i n d l i n t ”解为基础的较为系统、简单的方法。p o u l o s 方法的基本假定是：地基为均质各相同性的弹性半空间体；土的弹性模量和泊松 比不因桩的存在而变化；桩的周边粗糙而底端平滑，由于桩与土之间保持弹性接 触而无相对滑动，所以满足桩身位移等于相邻位移的相容条件；半空间土体的位 移采用m i n d l i n 解进行计算：在计算中只考虑桩身竖向荷载下的竖向变形，而忽 海，：珥 掌q 【掌t 健。支 饨* 牛空间土与| i 的相l 作月 略桩的径向变形。p o u l o s 把桩以及桩周进行离散，然后用材料力学杆的求解理论 建立其位移方程，利用桩土位移协调条件就可以得出桩土共同作用的线性方程 组，求解线性方程组即可求得桩侧摩阻力、桩端的地基反力，以及每段桩的位移 和轴力。在群桩的计算中p o u l o s “1 提出了桩与桩之间的位移影响系数的概念。 在单桩分析的基础上，应用位移影响系数p o l o s 分析了桩与桩的相互作用，研 究了群桩的受力、变形特性。由于在p o l o s 方法中以作用在桩表面的真实的未 知力做为方程组的未知函数，求解以后即作为桩的真实的摩阻力，因此，在p o l o s 方法中把桩土分离以后假设桩所在的孔洞不存在，在理论上不够严密，在计算中 会带来一定的误差。b u r e r f i e l d 和b a n a e 0 ”1 将边界元方法应用到单桩和群桩的 计算中。该方法的特点是沿桩的表面取未知的虚拟力分布函数( 包括径向力和垂 直力) ，然后把半空间的量通过奇异积分表示出来，根据桩土变形协调条件建立 桩土共同作用的积分方程。通过积分方程的求解得出桩的剪力、轴力和位移。 m u k i ”1 在桩的计算中把桩土体系分解为一个扩展的半空间线弹性体系，和一根 虚拟桩，虚拟桩的弹性模量为真实桩和半空间土的弹性模量之差他用半空间桩 截面上的平均应变和虚拟桩截面上的应变相等作为协调条件，利用半空间圆形载 荷基本解得出桩土共同作用的第二类f r e d b o l m 积分方程。对上述的积分方程的 数值求解，就可以求解出桩土的共同问题。上面三种方法中，b u r e m e l d 和 b a n a e o e e 的方法理论上最严密，但是，计算较复杂；p o u l o s 的方法理论上不 如b u r e r f i e l d 和b a n a e o e e 严格，但是数值计算相对较容易，但是，计算量较大， 特别是对于群桩问题；m u k i “的方法理论的严格程度介于上面所述的两种方法 之间，数值计算较简单，计算量较小。因此，在桩基的计算中m u k i “1 的方法得 到了一定程度的应用。 从上面的简短评述不难看出，对于线弹性单相介质中的群桩的计算问题，计 算方法比较成熟。但是，上述的桩基计算方法都把桩土相互作用问题看成是总应 力问题，而认为桩的沉降与时间无关。实际上，桩受载荷以后，它的沉降随着时 间有一个缓慢的发生发展过程。这是由于土受桩所传递给它的载荷以后，孔隙水 从土中排出，使得土固结，因此，土中的桩也随着土的固结而发生缓慢沉降。在 这个过程中，土骨架上的应力以及孔隙水压都发生变化。此外，在骨架应力作用 下，由于颗粒表面所吸附的水的粘滞性，颗粒的重新排列和骨架体的错动具有时 间效应，导致土体的变形和时间有关，这种土体的变形和应力与时间相关的现象 称为土的流变现象。所以，由于土的固结和流变，真实的桩土的共同作用是一个 和时间相关的过程。 11 2 半空间b i o t 固结方程求解方法 b i m “1 于1 9 4 1 年提出了准确反映孔隙水压力消散与士骨架变形相互关系的 上囊| ，0 l j 鼻| 士雌t t 文2 饱和半空间a - j f ；础的r 相| 卅用 三维固结方程，一般称为b l o t 固结方程。b l o t 固结方程属于一组偏微分方程， 由于孔压的耦合使得b i o t 固结方程比线弹性力学方程求解更为困难。只有对于 很特殊的区域才有可能得到解析解，对于一般的土层很难得到解析解。因此，从 19 4 1 年建立b i o t 固结方程以来，b i o t 固结理论一直没有在工程中得到广泛的应 用。但是，近年来随着计算机技术的发展，b i o t 固结理论又重现生命力，并开始 广泛地应用于工程实际。 1 9 6 0 年m c n a m e e 和g i b s o n “”引入了两个位移函数来表示平面问题和轴对称 问题的位移、应力和孔隙水压力。并且把原来耦合的偏微分方程组转化为两个以 位移函数为未知函数的不耦合的偏微分方程。利用f o u r i e r 变换和h a n k e l 变换， 求解了均质地基的片面问题和轴对称固结问题。s c h i f f m a n 求解了半空间表面 的水平圆形载荷作用下均质地基的b i o t 固结问题。s c h i f f m a n 通过引入三个位移 函数来表示空间问题的位移、应力和孔隙水压力。位移函数的引进使得原来耦合 的四个偏微分方程化为三个相互独立以位移函数为未知函数高阶的偏微分方程。 利用h a n k e l 积分变换方法s c h i f f m a n 求解了表面圆形载荷作用下的半空间的b i o t 固结问题。1 9 8 8 年，p u s w e w a l a 等“2 1 半空间和全空间的线弹性孔隙弹性体的轴 对称情形下的基本解。他们求解了三种轴对称基本解，即轴对称环状垂直力，轴 对称径向环状力，轴对称“沉降”。这里“沉降”是指单位流量在某个面上或某 一点上的间断，相当于在某个面或某一点给土体抽水或注水。他们首先引入了 m c n a m e e 位移函数来表示轴对称的位移应力和孔隙水压力，这样原来三个耦合 的偏微分方程就化为两个以位移函数为未知量的非耦合偏微分方程。通过 l a p l a c e 和h a r t k e l 变换 1 3 1 ，把这两个偏微分方程化为常微分方程，并求出带有6 个任意函数的常微分方程的通解。然后把所有的位移、应力和孔压用通解表示。 通过边界条件、连续性条件以及无穷远处的正则条件，可以求解出这些任意函数。 这样就得出变换域内一些半空间和全空间问题的轴对称基本解，通过数值逆变换 即可得出物理域内的解。此外，作者还讨论了这些基本解用在边界元法中的可能 性。r a j a p a k s e “”于9 3 年建立了可压缩孔隙弹性体的半无限域内的基本解。首先， 他们利用m u k i “1 的方法，把位移和孔隙水体积的变化对疗进行f o u r i e r 展开，然 后，对基本方程进行l a p l a c e h a n k e l 变换求得了该组控制方程的通解。把载荷 作用面或“沉降”作用面看成是土层的界面，利用边界条件和无穷远处的正则条 件，以及界面上的连续性条件，可以得到位移函数中的任意常数，这样就可以得 到变换域内的基本解。文中分别给出了四种情况所对应的基本解：( 1 ) 垂直的环 形载荷；( 2 ) 径向的环形载荷：( 3 ) 切向的环形载荷；( 4 ) 环向“沉降”。g i b s o n 等“”利用轴对称和平面问题的位移函数，并利用l a p l a c e 和h a n k e l 变换求解了 有限厚的单层地基问题。b o o k e r 和c a n t e r “”在1 9 8 6 年应用f o u r i e r 变换方法得 出了半空间线弹性体“点沉降”周围应力、应变、孔隙水压的解，他们的解对于 求解地表由于地下水的抽取而产生的沉降有一定的意义。w o r s a k ”等在1 9 9 0 t 鼻，巳| i 夫l t 掌口艟支 饱年口毕空间土与| ；的l z n 月 年利用m c n a m e e 位移函数以及h a n k e l 及l a p l a c c 变换，求解了轴对称条件下的 “点沉降”问题的解，他们利用所得的解基本解了抽水速度为g ( r ) 时，在地表所 引起的沉降。最近，c h a u “”利用m c n a m c e 位移函数和s c h i f f i n a n 位移函数求解 了饱和半空间内部作用垂直集中力和水平集中力是的解，另外，他还考虑了半空 间饱和土内部作用“点沉降”时的解。他给出了变换域内垂直集中力和水平集中 力必及“点沉降”的显式解。通过l a p l a c e h a n k e l 逆变换，给出了物理域中一些 算例。 1 13 本文的工作 本文研究了考虑固结和流变的饱和粘弹性土中的群桩负摩擦的变形特性问 题，为了解决该问题，首先利用文献”提到的圆形载荷作用下的b l o t 固结基本 解和桩土的变形协调条件喁l ，得出了该问题时间域内的第二类f r e d h o l m 积分方 程。对该积分方程进行l a p l a c e 变换，并利用l a p l a c e 变换的卷积性质，可得出 该问题l a p l a c e 变换域内的f r e d l l o l m 积分方程。利用s c h a p e r y 的逆变换方法“”， 就可以得出时间域内的群桩的近似积分方程，对时间域内的积分方程的数值求 解，就可以得出群桩负摩擦的沉降、轴力及孔压等物理量。 1 2 地基板一土共同作用方法进展 半空间饱和土体上作用载荷而引起变形最终达到稳定的分析是土木工程中很 一个重要的研究课题。建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，从 而引起地基变形。若地基应力过大，超过了地基的极限承载能力，则可能引起地 基丧失整体稳定性而破坏。不均匀的地基变形可能造成建筑物倾斜也可能在上 部结构中产生一定的次应力而导致建筑物开裂或破坏。即使是均匀下沉，如果沉 降量过大，也必定会影响建筑物的正常使用。因此，掌握地基的应力与变形计算 是保证建筑物正常使用和安全可靠的前提。 1 2 1 弹性理论方法 以前有一段时间只能借助于实验得到，曾经进行过各种小尺度和大尺度的室 内实验和现场实验：在这些实验中，根据外加表面荷载，用压力盒进行了原位量 测工作( f o s t e r 、f e r n s ，1 9 5 1 ；m o r g 趾、s c a l a “，1 9 6 8 ；b o z o z l l k ”1 ，1 9 7 2 ) 。 这些研究结果表明：当计算模型的边界条件近似于原位的边界条件时，根据量测 结果得出的应力分布与按线性弹性分析所预估的应力分布相当吻合。但实际上很 难做到计算模型的边界条件近似于原位的边界条件，而且该方法实验复杂，可能 上， 嗣l 攀| 士b 位t ，：4 饱_ 半1 月土目l a l 作月 会有很多不定因素出现。 因为位移计算值比较直接地取决于所假定的本构定律的本质和其中所包含 参数的量值，用弹性理论来预估位移的效率要比用它来计算应力更显著地取决于 原位土的非线性和土的不均匀性。自从s k e m p t o n 1 等( 1 9 5 5 ) 提出粘性土层由于 初始不排水畸变所引起的沉降量可以利用弹性理论来估算以来，太尺度的室内试 验和现场试验的结果指出：如果理论分析中的假定能够很好地被满足的话，弹性 理论是有用的( f o s t e r 、f e r g u s “”，1 9 5 1 ：l e o n a r d s “5 l1 9 6 6 ：b o z o z u k “”，1 9 7 2 ) ， 也就是说，当饱和的或几乎饱和的粘性土在受到中等以上应力增量的作用时，土 的弹性参数可以假定约为恒值。反之当线性弹性理论的假定与原位情况有明显 不同时如在无粘性土的情况下，其等效弹性模量明显地与其侧限条件有关， 或者当由于荷载所引起的附加应力在整个土层内是变化得如此明显以致等效模 量不能认为是一个恒值时采用线性弹性理论( 连同均匀性的假定) 就不合适了。 在这种情况下，可以利用数值方法如有限元法来进行分析，而其中“等效”弹性 模量是根据介质内点的应力而确定的。虽然，这种方法已取得了相当成功( 例如， p e n m a n ”等，1 9 7 1 ) ，但可能还不适用于常规设计。 1 2 2b i o - t 固结解简介 半空间饱和土体上作用载荷而引起变形最终达到稳定的分析是土木工程中 很重要的一个研究课题，由于问题复杂，以前一般用有限元求解“。t e r z a g h i ”早在1 9 2 5 年创立一维固结理论，b i o t 。把t e r z a g h i 一维固结理论推广到三维。 对于地基的固结度这一重要课题，m c n a m e e 和g i b s o i l “1 利用一维固结理论 做过研究，对于空间问题用一维固结理论求解明显不足，c h i n a r e l l a 和j r b o o k e r “3 1 利用三维固结理论求解了此问题，但是该方法非常复杂。金渡“1 对此动力问 题进行了求解的尝试。 1 2 3 本文工作 本文通过l a p l a c e 变换和h a n k e l 变换得出了饱和土表面圆板上作用轴向载荷 时的基本解，由边界条件建立对偶积分方程，用a b e l 变换化简对偶积分方程， 通过对该对偶积分方程的数值求解，得出了我们所关心的任意时刻圆板的沉降和 圆板与地基的接触应力。 上l 冀l ，洋i 擎潸文 t b _ + l 闽土与| i 础的相z 作月 第一部分表面有堆载的群桩负摩擦分析 第二章基本解 2 1b i o t 固结方程的通解 在本文的计算中需要半空间饱和土在圆形载荷下的b i o t 固结基本解。基本 解包括应变、位移、应力等。要得到这些量，必须首先求解b i o t 固结基本方程。 因此，首先讨论b i o t 固结基本方程的求解问题。 轴对称情形下，b i o t 固结方程“为 妒”( 2 r - 1 ) 詈一+ 蠢- o v 2 ”( 2 卵一1 ) 祟+ 罴= 0 ( 2 1 a - c ) c rl ，仃 v 2 p ：一兰 c o t 式中：蚱，“：分别是r ，z 方向的位移，p 为超静水压( n n i e ) ，应力也以压为 正，t 为时间常量 v ：曼+ 三旦+ 篓 静2r 丹出2 p ：一f 塑+ 生+ 堕1 ( 2 2 ) 静r出 行：! = ! ，c ：2 g r l k 1 2 vp 这里，v 2 是l a p l a c e 算子，e 是体积应变，y 和g 是介质的泊松比和剪切弹性模 量，c 是固结系数，p 是水的单位体积的重量，k 是土的渗透系数。不难看出， 在( 2 1 ) 式中土骨架的位移和孔隙水的超静水压是耦合在一起的。为了得出( 2 1 ) 式的解，引入m c n a m e e 1 位移函数把( 2 1 ) 式解耦为两个偏微分方程。即 刃4 e = v 2 警 ( 2 3 ) d r “j7 v 2 s = 0 引入如上式的位移函数以后，位移、应力和孔压分别可以表示为 上膏，：l 大j l 士雌位静史 6 饱_ 半i 问a - 与蕞m # 】：t 月 酢= 一娑+ ：譬 o ro r “：一丝+ z o s s 叱一瓦 出一 p ：2 g 【竽一，7 v 2e 。z = 2 g 。- o 加2 e 。_ v 2 ea 静2 s 。- + o 尹s 瑙【窘- v ：e0 矿2 s + 誓 一g ，3 石e v 2 占一詈警+ 暑】 ( 2 4 a ) ( 2 4 b ) ( 2 4 c ) ( 2 4 d ) ( 2 4 f ) ( 2 4 9 ) 为了求解式( 2 3 ) 所示的偏微分方程，定义如下的1 7 1 阶l a p l a c e h a n k e l 变换 ( 掌，z ，s ) = i1 8 一“，o 。( ，善) 庐( r ，z ，t ) d r d t i i 烈盏邵) - 壶从矽州增冲借 。删 1 鼍，一护 一m 这里函数上面的一表示该函数为变换域你的量。对( 2 3 ) 0 阶l a p l a c e h a n k e l 变换，得到 ( 2 5 ) 式进行如( 2 5 ) 式的 ( 参管) 謦弩一= 。 c 2 血， ( 刍誓) 毒= 。 ( 2 6 b ) 上式中上标0 表示l a p l a c e - h a n k e l 变换的阶数。根据常微分方程理论求解( 2 6 ) 所示的常微分方程得到 上式中：y = 舌2 + s c 。 对( 2 4 ) 中的u ：、p 、盯。进行0 阶的l a p l a c e - h a n k e l 变换，而卧0 0 对进 行1 阶的l a p l a c e h a n k e l 变换得到变换域内的位移、应力和孔压的表达式分别为 篡：一丝+ z 箜一窖 ( 2 8 a ) 虬一i 瓦叫 “m 。 凸亭兰一乒毒 ( 2 s b ) 上奠蔓皿 攀n 蝉口0 恃支 扣 v d+ + 舻 + + 巧 畸 加 = = 卢，芦， 4 e s b 和 空间土与l 的相i 作月 一p = 2 g 警一z 警吲2 南 ( 2 8 c ) 啥- 0 z g 也筝+ 筝 眩 盯- ，i ：2 g 卜孝竿+ 乒_ o s ( 2 8 e ) 上式中上标0 ，1 表示l a p l a c e h a n k e l 变换的阶数。把式( 2 7 ) 代入( 2 8 ) 即可 得用6 个任意函数a 、b 、c 、d 、e 、f 表示的位移、应力和孔压的表达式，这 里不再列出。 2 2 边界问题的b i o t 固结解 图l 所示的半空间饱和土内作用有半径为r 的圆形均布载荷，其合力为单位 载荷。以载荷作用面为界面，把半空间 分为两部分，载荷作用面以下的区域用 d l 来表示，载荷作用面以上的区域用功 来表示。显然d 1 域内的位移函数有6 个 任意的未知函数，即a l 、b 】、c l 、d 】、 e i 、f l ，而d 2 域内由于应力、位移在无 穷远处有界，因此只有3 个任意的未知 函数，即a 2 、b 2 和e 2 。所以，半空间内 芹 生叫 1 。， 夕 z 图2 - 1 半空间饱和土内作用圃彤均 布戴荷 f i g 1o n i f o r mc i r c u l a rl o a di n t h ei n t e r 5 0 ro fh a i fs p a c e 作用均布圆形载荷总共有9 个任意的未知函数。假定半空间表面完全透水且不受 外载荷，则半空间表面的边界条件可表示为 - o 盯= l = 0 0 仃，l = 0 ( 2 9 a - c ) - 0 a = 0 上式中上标的涵义为l a p l a c e - h a n k e l 变换的阶数，而下标则代表该变量所在的区 域为d 】还是d 2 。在z = h 的界面上有如下的连续性条件 上，奠 蔓随 攀| _ b 位支8 饱_ 半空，司土- 与| i 的相l 作用 - o- 4 1 “：i2 “：2 一l一1 “2 “，2 一i一1 “，1 = “，2 - 0 - 0 p t 。p 2 00 一a p t ：盟 国a z 载荷作用面上、下的仃。在z - - h 处满足如下连续性条件 o z z i - - 0 = 2 一泰 ，蚰 ( 2 1 1 ) 仃。【一盯= 2 = o ， r 经过0 阶l a p l a c e - h a n k e l 变换以后，上式化为 广2 = 一姒( 馨) 几如r 2 ) ( 2 1 2 ) 利用边界条件( 2 9 ) 和连续条件( 2 1 0 ) 、( 2 1 2 ) 就可以求解上述9 个未知函数。 下面具体地给出这9 个未知函数 p 一衅( 善+ h 叩( - r 2 + f 2 ) ) 。 2 r 善( - y 2 + 孝2 ) 旦2 驴瓣e r t c l = ( p 一6 盯+ 5 r , ( 2 e “。y ( 善2 + 刁( ，一善) ( y + 善) + e h r ( ，+ 善) ( ，唧+ 孝一卵善) ( - 4 + h v ( r 一手) ( y + 善) ) ) ) ( 2 叩( ，一善) 2 善( r + 善) 7 + ( - 1 + 叩) 善) ) b = ! 塑篙焉篇篇器学 2 ，7 ( ，一善) 2 ( r + 孝) 7 + ( 一l + 叩) 善) 五= 警 丌p 一7 + 。( 2 p k 垮+ e h r ( ，+ 善) ( 善一叩( ，一善) ( 1 + 2 向善) ) ) 2 f ( y + 孝) ( 聊+ ( - 1 + 叩) 喜) a 2 = ( e 一6 卸+ 2 ( e 2 “7 + r ( 2 r 2 刁一2 ( 一1 + ，7 ) 善2 + p “7 + 5 ( 一善2 + 而可驴3 刁+ 善3 ) ) ) + p 6 卸+ ( ( y + 亭) ( 聊+ 孝一刁亭) ( 一善+ h o ( r 一善) ( ，+ 善) ) + e 2 埘孝( 一h y 3 叩+ ( 一1 + 叩) 善2 ( 一1 + b r a e ) + y 2 ，7 ( 1 + h ( 4 2 ，7 善) ) ) ) ) ) ( 2 刁( r 一善) 2 善( y + 善) ( 研+ ( 一1 + ，7 ) f ) ) 岛= 贮盟盐篙嵇篇鬟产幽 上膏寞鱼 | _ 1 雌a 艟支 + 9 饱- 2 m 土与| i 础的相互作用 e：i!兰!：丝生!主丝丝l二!翌塑!：竺业生巡二翌立二主211兰生业