（固体力学专业论文）等价无奇异边界积分方程及工程应用.pdf

山东理工大学硕士学位论文摘要 摘要 本文综述了边界元法的发展历史和研究现状，分析了奇异积分和几乎奇异 积分计算的重要性，介绍了等价的边界积分方程。 基于前人的工作，归化出二维各向同性等截面直杆扭转的等价直接变量和 间接变量无奇异边界积分方程，计算了端面剪应力。给出了二维各向异性等截 面直杆扭转问题的基本解，归化出了二维各向异性等截面直杆扭转的等价直接 变量和间接变量无奇异边界积分方程，端面剪应力的数值计算结果表明了本文 算法的精确性。 给出平面正交各向异性单一介质坝基渗流问题的基本解，归化出平面正交 各向异性单一介质坝基渗流的等价直接变量和间接变量无奇异边界积分方程， 并应用其求解矩形坝基面的水头和法向流速，数值算例表明了本文算法的有效 性。参照韦氏假设和动水压力的基本方程，归化出迎水坝面地震动水压力的等 价间接变量和直接变量无奇异边界积分方程，动水压力的数值计算结果与韦氏 解答一致。 利用二维静电场的等价间接变量无奇异边界积分方程，对传输线中非常关 心的同轴线的特性阻抗进行了数值计算，分析了内外导体半径比与边界的电位 势通量的关系。 引入了一种新的积分变换，有效地消除了边界元法在解决二维各向异性等 截面直杆扭转问题和平面正交各向异性单一介质坝基渗流问题中所产生的边 界层效应。数值算例表明，即使域内点非常的靠近边界，本文算法仍可取得理想 的结果。 以温度场为例，基于一种新的思想，归化出第二类无奇异边界积分方程， 数值结果表明，方程具有良好的收敛特性。 最后，对全文的研究成果进行了总结。对第二类无奇异边界积分方程理论 的实际应用进行了展望。 关键词：边界元法，无奇异，第二类方程，边界层效应，各向异性 山东理工大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n ta n dp r e s e n ts i t u a t i o no fb o u n d a r ye l e m e n ta r es u n ，e y e d t h e i m p o r t a n t o f s i n g u l a r 锄d n e a r l ys i n g u l a r i sr e s e a r c h e d e q u i v a l e n t n o n s i n g u l a rb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e d b a s e do nt h ew o r ko ft h ep r e d e c e s s o r s ，e q u i v a l e n tn o n s i n g u l a rb o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n so ft w o - d i m e n s i o n a l i s o t r o p i cu n i f o mb a rt o r s i o na r en a t u r a l i z e d t h es h e a rs t r e s so nt h ee n di sc a l c u l a t e d f u n d a m e n t a ls o l u t i o no ft h ea n i s o t r o p i c u n i f o mb a rt o r s i o ni sp r e s e n t e q u i v a l e n te q u a t i o n so fa n i s o t r o p i cu n i f o r mb a r t o r s i o na r e “s on a t u r a l i z e d t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wa na c c u r a t ea l g o r i t h m f u n d a m e n t a ls o l u t i o nt op l a n eo r t h o t r o p i cp r o b l e mo fs e e p a g ef l o wf i e l dw i t h s i n g l em e d i ai sg i v e n ，e q u i v a l e n te q u a t i o n so fw h o s ei sn a t u r a l i z e d t h en u m e r i c a l r e s u l t so fs e e p a g ep a r 锄e t e r ss h o w 锄e f f e c t i v em e t h o d t h es a m ee q u i v a l e n t e q u a t i o n sa r en a t u r a l i z e di nh y d r o d y n a m i cp r e s s u r ep r o b l e m ，w h i c hb er e f b r e n c e d b yw t sp r e m i s ea n db a s i ce q u a t i o n so fh y d r o d y n a m i cp r e s s u r e t h ep a r a m e t e r s o fh y d r o d y n a m i cp r e s s u r ea r ec a l c u l a t e dt h es a m et ot h ew t s w i t ht h e e q u i v a l e n te q u a t i o n so fe l e c t r i cf i e l d ， i tm a d et h en u m e r i c a l c a l c u l a t i o nt ot h ec h a r a c t e r i s t i ci m p e d a n c eo fc o a x i a l l i n e a n a l y s i si sm a d et ot h e r a t eo fr a d i u sc o n t r a s tt ot h ep o t e n t i a lf l u xo nb o u n d a r y an e wi n t e g r a lt r a n s f o r mi si n t r o d u c e d i ti s e f f e c t i v e l ye l i m i n a t e dt h e b o u n d a r yl a y e re f 艳c t i n t r o d u c e db yt h es o l u t i o no ft w o - d i m e n s i o n a li s o t r o p i c u n i f b mb a rt o r s i o np r o b l e ma n dp l a n eo r t h o t r o p i cp r o b l e mo fs e e p a g ef l o wf i e l d w i t hs i n g l em e d i aw i t hb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o w a ni d e a lr e s u l te v e nt h o u g ht h ei n n e rp o i n tv e r yc l o s e dt ot h eb o u n d a r y t a k et e m p e r a t u r ef i e l df o re x a m p l e ，t h es e c o n d - k i n dn o n s i n g u l a re q u a t i o ni s n a t u r a l i z e d ，b a s e do nan e wi d e a t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o ws t a b l ec o n v e r g e n c e f i n a l l y ，i ts u m m 盯i z e st h er e s e a r c hr e s u l t s 觚dm a k e st h eo u t l o o kf o rt h e s e c o n d - k i n dn o n s i n g u l a rb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：b o u n d a r y e l e m e n t m e t h o d ；n o n s i n g u l a r ； s e c o n d - k i n d e q u a t i o n ；b o u n d a r yl a y e re f f e c t ；a n i s o t r o p i c h 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献，均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 时间：亿年莎月 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体 上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名函眇访 。、 一 导师签名：豸髫彩阿乡时间：钐归石月日 山东理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 数值解法概述 第一章绪论 物理学、力学和工程技术中的许多问题都可归结为求解偏微分方程的初边 值问题。当只有初始条件而没有边界条件时称为初值问题：反之则称为边值问 题。区域内的偏微分方程称为基本方程或控制方程。常把初始条件和边界条件 合称为边值条件。 工程实际问题中，由于物性不均匀、物体几何形状不规则、边界条件较复 杂等原因，能采用解析法并按照边值条件求解偏微分方程的情况少之又少。一 般只能研究它的近似解法一一数值方法，来求解近似解。目前，数值解法已成 为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的一种重要方法和手段。在独创 性工作的先行性研究中，科学计算更具有突出的作用。 数值解法总体分为区域型和边界型两大类。前者主要包括有限差分法 ( f d m ) 和有限元法( f e m ) 。后者主要是边界元法( b e m ) 。 有限差分法是s o u t h w e u 在二十世纪三十年代在求解薄板弯曲问题时首次 提出，是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。基本思想是把 连续的定解区域用有限的离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节 点，把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近 似，把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是 原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此 方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解，后再利用插值方法便可以从离 散解得到定解问题在整个区域上的近似解。对于有限差分格式，从格式的精度 来划分，包括一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可 分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、 隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合， 不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步 长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 有限单元法最早可上溯到二十世纪四十年代。c o u r a n t 第一次应用定义在 山东理工大学硕士学位论文 第一章绪论 三角区域上的分片连续函数和最小位能原理来求解s t v e n a n t 扭转问题【l 也j 。现 代有限单元法的第一个成功的尝试是在上世纪五十年到，t u r n e r 、c l o u g h 等人 在分析飞机结构时，将钢架位移法推广应用于弹性力学平面问题，给出了用三 角形单元求得平面应力问题的正确答案。六十年代初，c l o u g h 进一步处理了 平面弹性问题，并第一次提出了“有限单元法 ，使人们认识到它的功效。我 国著名力学家、教育家徐芝纶院士首次将有限元法引入我国，对它的应用起了 很大的推动作用。 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，基本思想是用有限多个单元 将连续体离散化，通过对有限多个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的 一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限多个单元，杆系结构的单元是每 一个杆件，连续体的单元是各种形状( 如三角形、四边形、六面体等) 的单元 体。每个单元的场函数是只包含有限多个待定节点参量的简单场函数，这些单 元的场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残 量方程可建立有限多个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限 元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限 元模型。如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法有效、通用性 强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅 助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。但也有不足之处，如需将 整个区域离散化，所以不仅数据准备工作量庞大，尤其对三维连续体的网格剖 分相当困难、繁琐、复杂、耗时、易错、单元数多、未知量多、存储及计算量 大，且有时不能保证整个区域内某些物理量( 如应力、应变) 的连续性，区域上 所有节点的有关量( 如节点位移) 不论是否需要，都要计算，因而浪费计算时间， 对某些问题，如无限域问题、应力集中问题、裂缝问题等，不易精确处理，计 算也不能令人满意。尤其对经典壳体方程的求解问题几乎没有通用的有限元方 法。一种类型的单元对某一问题有效，而对另一问题不仅误差大而且常常是无 效的。对非线性问题，有限元法就存在着更多待研究的问题。 边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新型的较精确有效的工 程数值分析方法，又称边界积分方程一边界元法。与有限元法在连续体域内划 分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，将满足控制 方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元法相比具有单元的未知数 少，数据准备简单等优点。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通 过将边界插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相 2 山东理工人学硕士学位论文第一章绪论 比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比对区域 的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终建立阶数相对 较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分 方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别 是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异 性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所 利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处 理无限域和半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微 分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不 如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数矩阵是非对称满 阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域 内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。 国际上流行的边界元法大致可分为间接法与直接法两大类。直接法是利用 高斯的散度定理和微分方程的基本解，将微分方程转化为边界积分方程，j t 再将 积分方程离散化，求其数值解。间接法是基于散度定理和微分方程的基本解， 通过非解析开拓，建立内、外域上两个边界积分方程，再由这两个边界积分方 程之差建立了一个新的关于边界上的待定分布源函数为未知函数的积分方程， 再以离散化方法求出分布源函数的离散值，最后以分布源函数和基本解求出域 内或边界上任意点的其它物理量。 1 2 边界元法发展简介 二十世纪六十年代，有限元法的离散思想被应用到边界积分方程中，创 建了基于边界积分方程的数值解法一边界元法。上世纪六十年代末期 m a j a s w a n 【3 】和g j s y m 【4 】用间接边界元法求解了位势问题，而同一时期 f j r i z z o 【5 】用直接边界元法求解了线弹性二维问题，t a c r u s 【6 】将此方法推广到 三维弹性力学问题。到上世纪七十年代末期，b r e b b i ac a 编著了国际上的第 一本边界元专著，它提出如何用加权余量法建立边界积分方程，初步形成了边 界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。我国的边界元研究 始于二十世纪七十年代末，大部分的边界元方法方面的工作从固体力学的工程 应用开始。 边界元法的发展经历了从间接边界元法【3 卅到直接边界元法【5 - 6 】的历程。间 3 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 接边界元法中的未知量不是问题的物理变量，所以其解函数往往不具有明确的 物理意义。直接边界元法在互等定理的基础上建立s o m i g l i a n a 等式，以边界点 作为源点，基本未知量正是需求的客观未知量【_ 7 1 。用于弹性力学的边界元法称 为常规的边界元法【8 】，它以边界上节点的位移和面力为基本未知量，待边界上 未知量求出以后，再通过内点积分方程得出内点参量。基于边界元法的优点与 不足，许多学者扬长避短，充分发挥边界元法的优势，提出和建立了边界元法 的新形式。n a r d i n i 和b r e b b i a 提出对偶互易边界元法【9 1 ，使用互易定理将一般 的体力项域积分化为边界积分，显著减小了计算量。g h o s h 【1 0 】等对二维弹性问 题推导出以位移沿边界的切向导数和面力为变量的积分方程，把基本解中强奇 异积分核降为弱奇异积分核。另外还发展了自适应边界元法、位移杂交边界元 法【1 1 - 12 1 、应力杂交边界元法【13 1 、随机边界元法【1 4 - 15 1 、自然边界元法【1 7 】以及目 前流行的快速多极边界元法【”】等。 目前边界元法的应用已相当广泛，从固体力学、流体力学到应用数学、电 磁物理、电化学等各个方面都取得了重要的进展1 1 9 艺0 1 。它不仅成功地应用于求 解线性边值问题，而且在解决非线性、非定常问题上也有了重要的突破【2 卜2 4 1 。 近年来，边界元法在塑性力学、断裂力学、动力学等方面的应用也日趋广泛。 在塑性力学方面，由我国学者发展起来的弹塑性问题的拟线性解法，避免 了域内积分的复杂迭代过程，使塑性问题的边界元法取得了较大的进展【2 5 也6 1 。 文【2 7 1 就体力的处理提出了域内积分法，该法在域内划分网格。文2 8 1 就粘弹性 问题的域内积分处理提出了避免直接积分的方法，其特点是将粘弹性附加项化 为边界项。文【2 9 】提出了处理无限域问题和半无限域问题的边界单元法，并且 提出了“无限边界单元”的概念，给出了相应的公式，可以节约大量单元而取 得较好的计算精度。 边界元法在弹性动力学初边值问题中的应用大致可分为两大类解法：一类 是频域法，另一类是时域法。频域法是经过积分变换，在频域利用相应静力问 题的基本解求出频域值，然后再经过积分反变换求出时域内的响应值。弹性动 力学的基本方程是双曲型的，可以通过积分变换转化到变换空间内求得数值 解，再作数值反变换来得到要求的结果，所以数值反变换的精度和效率是积分 变换法有效性的关键。时域法是在时域内直接求响应值，将动力问题化成有限 多个较小时段中的有限多个时刻上的拟静力问题，用边界元法求解，即所谓逐 步积分一边界元法，有隐式和显式两类逐步积分法。 边界元法在断裂力学中的应用也非常广泛，发展起来的方法也较多【3 0 3 1 1 。 4 山东理工火学硕士学位论文第一章绪论 由于边界元法所用基本解本身的奇异性，使得它在处理断裂力学问题时具有较 高的精度。其中发展起来的四分之一等参位奇性元计算应力强度因子的方法， 使得计算格式简单统一，便于应用。 1 3 边界元法中的问题 边界元发展至今四十多年，虽然已大量地应用于物理、力学及其它工程实 际领域中，但仍存在若干问题待研究，包括边界积分方程解的存在与唯一性的 充要性问题，边界奇异积分和几乎奇异积分的计算，以及边界元法的非对称性 问题等等，其中奇异积分的处理被认为是边界元分析的中心研究课题【3 2 - 3 3 1 。 边界元法分析中，有三种奇异积分：弱奇异积分，柯西主值( c p v ) 积分和 超奇异积分( 定义为h a d a m a r d f i n i t e p a r t s 积分，简称为h f p ) 。如用边界元法 求解弹性扭转问题，在求解边界面力( 或位移) 时，需处理c p v 奇异积分，而 求解边界应力时，需处理超奇异积分。 当源点不在边界上，但特别趋近于边界，或源点虽在边界上，但不在当前 积分单元上而是特别趋近于当前积分单元时，源点与场点的距离趋近于零，但 又不等于零，这时即产生所谓的几乎奇异积分( n e a r l ys i n g u l a ri n t e g r a l ) 。从数 学理论上来说，不管内点多么地接近边界，积分均是有定义的，不属于奇异积 分。但是，从计算的角度来看，当内点很接近边界时，由于计算机精度的有限 性，刻画一个无限接近的量是不可能的。因此，虽然该积分有定义，但它又表 现出奇异积分的特性，故称为几乎奇异积分。它常常出现在求解边界附近区域 内的物理量中。传统边界元法中，计算离边界较远的区域内点物理量时，解的 精度很高，计算边界附近区域内点物理量时，由于几乎奇异积分的存在，求解 精度大大地降低，甚至结果失真，称为边界层效应( b o u n d a r yl a y e re f 诧c t ) 。 对于这一问题，文【3 4 】和文【3 5 1 分别采用解析法和变换法给出了完美的解答。处理 几乎奇异积分的方法大体上可概括为为两大类： a ) “整体算法 。此方法主要是通过建立新的规则化边界积分方程，来间接 计算或避免计算几乎奇异积分，如刚体位移法，简单解法等各种整体规则化算 法。简单解法和刚体位移法得益于奇异积分的规则化思想和方法，利用密度函 数中的零因子消除核函数分母中的拟零因子，但计算结果的精度并不理想。 b ) “局部算法”。此算法是对几乎奇异积分的直接计算或近似，通常有区间 分割法、特别的g a u s s i a n 积分法、解析或半解析法及变换法等。区间分割法 是一种比较有效的方法，但分割区间的数量密切依赖于计算点到边界的距离， 计算点越靠近边界，分割区间的数量越多，这样不仅需要付出分割区间所带来 的巨大计算代价，而且还会增加累计误差，所以此方法不被推崇，特别的 g a u s s i a n 积分法需要繁复的数学推导工作。解析法计算几乎奇异积分比计算奇 异积分似乎更困难，对于曲线单元一般来说是难以实现的。半解析法主要是通 过“加减法”分离几乎奇异部分，分离出去的部分采用解析计算，规则化部分 采用标准的g a u s s 求积公式计算，但是这种方法并没有完全消除被积函数的几 乎奇异性，规则化部分仍然保留着弱几乎奇异性。目前在“局部算法”中，最 盛行的是各种变换法。如s i g m o i d a l 变换、优化坐标变换、距离变换等。 近年来，中外边界元法研究者在奇异积分的处理问题上做了大量的工作， 发展了许多种数值处理技术。解析和半解析计算c p v 积分，数值计算奇异积分， 域外奇点法等。虽然各种方法在解决奇异性问题上都取得了不同程度的成功， 但是总存在着这样或那样的欠缺之处。 孙焕纯研究小组基于g j b u r g e s 于二十世纪八十年代中期提出的“叠加法 的思想，将所研究的问题延拓至无限远，并在实际边界之外( 包括多连域问题) 的一定距离处截取虚边界( 虚边界的数目与多连域的数目相同) ，在虚边界上 作用未知的虚体积力，利用原问题微分方程的基本解和叠加原理，以满足实际 边界条件来确定这些虚体积力，建立求解的线性代数方程组，从而求得方程的 解。这种方法与g j b u r g e s 方法的区别在于虚体积力不限于有限多个点上施加 的集中虚体积力，它可以是沿着虚边界连续分布的虚体积力，称为虚边界元法。 此法的优点是避免了奇异积分的麻烦处理，消除了传统边界元法的边界层效 应，而其中的虚边界元一最小二乘积分法和超额配点法求解的线性代数方程组 的系数矩阵具有对称性，节省了存储和计算时间，另外此法将弹性力学问题和 板壳问题采用了统一的简单的k e l v i n 基本解和统一的方法进行求解，避免了 各种壳体方程基本解的复杂性和无基本解的困难，而且具有相当高的精度。 1 4 本文的主要工作 基于前人的工作，本文对无奇异边界归化方法、无奇异边界方程中的边界 层效应及边界元法的工程应用进行了研究，主要工作是： 1 ) 基于文【3 6 1 的思想，结合弹性力学中等截面直杆扭转的基本方程，归化 出二维各向同性等截面直杆扭转的等价直接变量和间接变量无奇异边界积分 6 山东理工大学硕士学位论文第一章绪论 方程，计算了端面剪应力。给出了二维各向异性等截面直杆扭转问题的基本解， 结合各向异性材料力学的关于各向异性等截面直杆扭转的解答，归化出了二维 各向异性等截面直杆扭转的等价直接变量和间接变量无奇异边界积分方程，端 面剪应力的数值计算结果表明了本文算法的精确性。 2 ) 给出平面正交各向异性单一介质坝基渗流问题的基本解，参照平面正 交各向异性稳定渗流控制方程的表达式，归化出平面正交各向异性单一介质坝 基渗流的等价直接变量和间接变量无奇异边界积分方程，并应用其求解矩形坝 基面的水头和法向流速，数值算例表明了本文算法的有效性。在研究动水压力 问题时，参照韦氏假设和动水压力的基本方程，基于文【3 6 】的思想，归化出迎 水坝面地震动水压力的等价间接变量和直接变量无奇异边界积分方程，数值结 果表明本文方法与韦氏解答基本一致。 3 ) 利用二维静电场的等价间接变量无奇异边界积分方程，对传输线中非 常关心的同轴线的特性阻抗进行了数值计算，分析了内外导体半径比与边界的 电位势通量的关系。 4 )引入文【3 5 】中的积分变换，有效地消除了边界元法在解决二维各向异性 等截面直杆扭转问题和平面正交各向异性单一介质坝基渗流问题中所产生的 边界层效应。数值算例表明，即使域内点非常的靠近边界( 最近可达l o 母) ，本文 算法仍可取得满意的结果。 5 )以矩形截面柱体和圆截面柱体的温度场为例，基于一种新的思想，归 化出第二类无奇异边界积分方程，数值结果表明，方程具有良好的收敛特性。 6 )最后，总结全文研究成果，并对第二类无奇异边界积分方程的工程应 用进行了展望。 7 山东理工大学硕士学位论文 第二章位势问题等价的边界积分方程 第二章位势问题等价的边界积分方程 2 1 预备知识 2 1 1 定解问题 a ) 只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题( c a u c h y ) 。 b ) 只有边界条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题。 c ) 既有初始条件，又有边界条件的定解问题称为混合问题。 特别的位势问题的定解条件，由于位势方程表示的物理现象定常，与时间 无关，因此在定解条件中无初始条件，只有与时间无关的边界条件。其主要包 括以下三种情况： 第一边界条件 ”( x ，y ，z ) = 万( x ，j ，z )( 2 1 ) 第二边界条件 巡掣：虿( w ，z ) ( 2 2 ) ( 珊 第三边界条件 后兰掣+ 甜( x ，y ，z ) = 7 1 ( x ，y ，z )( 2 3 ) 册 满足式子( 2 - 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 - 3 ) 的边值问题分别称为第一边值问题、第二边值问 题和第三边值问题。工程中经常遇到的是“混合边值问题”，即不同的边界上 分别给出不同的边界条件。 在指定条件下求解微分方程精确解析解的问题已经有了比较完整的理论， 但真正能求出解析解的问题却很少，只是特殊情况下才有可能。且工程技术中 面临的问题复杂多样，数值解法便成了工程问题分析的重要手段，而计算机技 术的发展为数值解法提供了有利的条件。 8 山东理工大学硕士学位论文第二章位势问题等价的边界积分方程 2 1 2 格林公式 设q 是平面内的有限区域，它的边界为r = 讹( 规定边界r 的正向为沿边 界移动时，区域在边界r 的左边) ，其补域为q ，= r 2 一孬。将反映物理问题( 或 者说物理现象) 的控制微分方程转化为边界积分方程或将区域上的积分转化为 边界上的积分从根本上是g r e e n 公式的应用。 g r e e n 公式对于在西上连续且在q 内有连续偏导数的任一向量函数形 ( 记为( c 1 ( q ) n c o ( q ) 2 ) ) 下式成立 l 咖形撒，= l 形刀订 ( 2 - 4 ) n 4 膏 、7 其中刀是r 的单位外法线向量。特别地 上挚q = 工吼订 ( 2 - 5 ) 如叙： 膏 、7 以上公式两种常用的形式： g r e e n 第一公式【3 9 1 设函数”( x ) ，1 ，( x ) 以及它们的所有一阶偏导数在闭域五 上连续，并且它们在q 内的所有二阶偏导数连续( 记为材，v c 2 ( q ) n c l ( 哟) 。 在公式( 2 4 ) 中，令= 刃“，就得到g r e e n 第一公式 l 讼耐q + v 1 ，v 谢q = f 1 ，笔订 ( 2 - 6 ) 式( 2 6 ) 中，v 称为h a m i l t o n 算子，v 甜= 罢虿+ 昙乏，且罢= 刀v 甜。 吸l佩2 明 g r e e n 第二公式【3 9 1 将g r e e n 第一公式中的甜和1 ，交换位置，并把所得的 式子与g r e e n 第一公式相减，便得到g r e e n 第二公式 l m 一”血】抛= f v 詈一“三】汀 ( 2 - 7 ) 注：假设上面所考虑的函数在r 2 上有紧支集( 在平面上一有界闭域q 以外 函数值为零) 。则上述g r e e n 公式对无限区域q 。= r 2 一西也是成立的。 2 1 3 高斯求积公式 当被积函数比较复杂，难以求得解析解时，可运用数值积分技术获得数值 9 山东理工大学硕士学位论文 第二章位势问题等价的边界积分方程 解。在边界元法中核函数往往是奇异函数的边界区域积分，它们的一维、二维 和三维高斯求积公式如下【3 9 】： 一维高斯求积公式为 ，= 鼽溅喜q 聪) ( 2 - 8 ) 式( 2 8 ) 中的即为求积分近似值时所取的高斯积分点数，磊为高斯积分点的坐 标，魄为加权系数。 对于矩形区域二维高斯求积公式为 ，= f 。f 。厂( 孝，玎矽孝d 刁= 善善q 哆( 毒，仇) ( 2 - 9 ) 式( 2 9 ) 中，哆，力，是加权系数，7 ，) 是高斯积分点坐标，聆是高斯积分点个数。 对于三角形区域二维高斯积分公式为 ，= fr 厂( 螽，磊，磊比礞= 善q 聪，岛，彘) ( 2 - 1 0 ) 式( 2 1 0 ) 中，皑是加权系数，磊，最。，磊。为第f 个高斯积分点的面积坐标。 对于六面体单元，三维高斯求积公式为 ，= 上。厂g ，7 ，纠影，7 蟛= 善萋善哆哆纬厂( 专，巩，靠) ( 2 - 11 ) 式( 2 1 1 ) 中，q 国，和q 是加权系数，( 参，哆，氕) 是高斯积分点坐标。 2 2 经典边界积分方程 2 2 1 拉普拉斯方程 讨论拉普拉斯方程的第三类边值问题f 3 3 1 区域q 内： v 2 甜= 0 在r 。上 材= 万， 在r 。上 g = 虿； 其中r = r 。+ r 。，r 。表示位势已知的边界，r q 表示法向导数已知的边界。 根据g r e e n 第二公式将其中的1 ，和“分别以基本解“ ，y ) = 圭l l l 去和 = z 刀。 ，1 x ，y 上述问题中的“来分别代替，根据万函数的性质，可得区域q 内任意点函数值 的积分方程为 i o 山东理工大学硕士学位论文 第二覃位势i 司趑等影r 的边界积分万栏 咖，= 去f h 志掣叫x ，毒陋志，卜 弘 当j ，趋于边界时可得相应的边界积分方程为 c 蚺去工 h 志掣叫工，毒陋忐，卜 陋 式子( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 中j ，r ，c ( j ，) ：妥堕，秒( j ，) 为边界点j ，处的边界切线之间的 夹角。 2 2 2 泊松方程 讨论泊松方程的第三类边值问题【3 3 l 在q 内： v 2 “= 6 在i 。上： 材= 万 在r 。上： g = 虿 其中r = r 。+ r 口，r 。表示位势已知的边界，r 叮表示法向导数己知的边界。 同拉普拉斯方程一样采用g r e e n 第二公式，基本解“( x ，j ，) 与拉普拉斯方 程一致，得到区域q 内任意点函数值的积分方程为 础) = m 训) 掣叫工) 掣 一m 圳d q ( 2 1 4 ) 同拉普拉斯问题的场合一样，可得边界积分方程为 c ( j ，m 力= m 训) 掣叫曲掣旷m 圳扣( 2 - 1 5 ) 式子( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 中j ，r ，c ( j ，) ：妥盟，口( j ，) 为边界点j ，处的边界切线之间的 夹角。 2 2 3 多连通区域问题 由于工程设计的多样性，很多问题的区域属于多连域，对于这种类型的区 域问题的计算多采用“分割法 。以复连通区域为例，如图2 1 所示，在区域q 外内边界上任取两点么和b ，并将它们连结，用连结它们的曲线将q 假想地分 割成单连域。设外内边界分别为r l 和r ：，规定边界r 的正向为沿边界移动时， 山东理工大学硕士学位论文 弟一草位势l 口j 题，岢暂r 明迈开枞分力程 区域在边界r 的左边。则域内任一点的积分方程可写为1 3 7 】 “( j ，) = f 。( 甜g 一叼) d r + f ( 甜g 一甜g ) d r ( 2 1 6 ) + f ，( 材+ g 一叼) d r + r 譬一姆) 订 由于 r ( 甜留一叼) 订= 一r ( z ，g 一叼) 订 ( 2 - 1 7 ) 将式子( 2 1 7 ) 应用到式子( 2 - 1 6 ) 中可得复连域内任一点的函数值为 咖，2 川掣叫x ，掣加 亿 小h 掣叫x ) 掣肛 一 当j ，趋于边界时可得任意边界点的函数值为 m 加训，掣叫x ，掣加 亿 小协) 掣州x ) 掣) 订 一 式子( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 中j ，r ，c ( j ，) ：妥堕，秒( j ，) 为边界点j ，处的边界切线之间 的央角。 2 3 等价的边界积分方程 图2 1 复连通区域 2 3 1 等价的直接变量边界积分方程 1 2 r i 在有限域上传统的直接变量积分方程是等价的，但是在无限域上则不具有 普遍适用性，下面介绍无限域上的等价的直接变量边界积分方程。 设无限区域q 的边界r 为分段光滑闭曲线，“( 功是q 上的调和函数，它 的一阶偏导数在q 。u r 上连续，并假定l i l 甜( x ) = c ，( c 为待定常数) ，则有【3 3 1 f f y ，警叫x ，学肌c = 蹶；茎戛亿2 。， 式中，力一为区域q 。的边界外法线向量。 考虑如下混合外边值拉普拉斯问题 在q 。内：甜= 0 在i i 上：= 万 在r ：上：学= 瓦 在处：l i m “( j ，) = ct 则其等价的直接变量边界积分方程为3 3 】 l 工挚- - - k 书y ，警叫x ，挈m 印r q 。2 。 考虑同样混合外边值泊松问题可得等价的直接变量边界积分方程为【3 3 】 工挚r = f 等嘧 勋( j ，) ：肛( w ) 掣叫x ) 笔掣】订 ( 2 2 2 ) 咖咖 + 工厂( x ) 材+ ( x ，j ，) d q 。( x ) + c ， j ，r 其中彩( z ) 为混合外边值泊松问题的一个特解。 2 3 2 等价的间接变量边界积分方程 对于间接变量边界积分方程的导出，无论是内边值问题还是外边值闷题， 都要借助于非解析延拓，必然涉及到外域问题。所以必须刻画出接在无穷远处 山不理工大掌坝士学位论文 第二章位势问题等价的边界积分方程 的性态。文【3 3 1 已经证明传统的间接变量边界积分方程不论是有限域还是无限 域均不具有普遍适用性。下面介绍等价的间接变量边界积分方程。 考虑混合边值问题【3 3 1 在矿上：甜= 0 在r 1 上： 材= 万 在r 2 上：锄锄= i i ： 这里y = q 或q 。r = 1 1 l u r 2 ，且r l 、r 2 分别是位势和通量已知的边界。 其等价的间接变量边界积分方程为 l ( x ) 订= o 孑( j ，) = 【( x ( x ，j ，) d r + c ，j ，r l ( 2 2 3 ) k = 却( x ) + 工( x ) 重型羞差_ 堕d r ，j ，r ： 式中口( y ) 是j ，点处的边界切线之间的内角，对内边值问题忌：笺：堕，对外边值 问题j j ：望? 盟。 同样可得泊松问题的等价的间接变量边界积分方程为 f 矽( x ) d r + 厂( 功d q = o 万( j ，) = f 矽( x ) “( 墨j ，) 订+ 上厂( x 姐( x ，j ，) d q + c ，y r 。 ( 2 - 2 4 ) _ 制咖) 掣订+ 胁) 掣栅r 2 注：将上式中的q 换为q 。，笔：盟换成掣，即为无限域上等价的间接变 z 死z 霄 量边界积分方程。 2 4 边界积分方程的离散 现以等价的间接变量边界积分方程为例，将边界r 分割成三份线性单元， 引入形函数 m = 三( 1 一孝m ，2 = 三( 1 + 善，孝【_ 1 ，1 】 ( 2 2 5 ) 1 4 山东理工大学硕士学位论文第二章位势问题等价的边界积分方程 其中0 口l 。由于通常体力厂是简单的已知量，其区域积分不存在奇异性问 题，常规方法即可计算，所以假定体力不存在。则内点积分方程式( 2 2 3 ) 可离 散成下列形式 l ( j ，) = 工，【m ( _ 一。) + 2 ( ) 】”( 而j ，) 订+ c 一，( 2 2 6 ) ，、一一一， v “( j ，) = 善工，【m ( 一一- ) + 2 妒( 一) y 甜 ，j ，) 订 式( 2 2 3 ) 离散的积分影响系数为 f ，m 挺b ，j ，) 订一去f ，m l i l 册( 七= 1 ，2 ) l 巩堕豪生订= 去l m 吾，订( u = 1 ，2 ) 式中_ = 昙= 一昙。 对于高次单元，如二次单元，物理量采用不连续插值近似， m ：丢兰二一1 ) ，鸩：( 1 一与( 1 + 与，3 ：昙兰苣+ 1 ) za aa仅z 仅a 类似可写出萁官高阶插信。 1 5 ( 2 - 2 7 ) 形函数为。 山东理工大学硕- 上学位论文第三章弹性扭转问题的无奇异边界元分析 第三章弹性扭转问题的无奇异边界元分析 弹性扭转是弹性理论中最重要的空间问题之一，目前只是对一些简单的边 界形状，如椭圆、等边三角形、矩形和扇形等求出解析解。对稍微复杂一些的 形状，则因边界不规则，使得其弹性分析较为困难。在材料力学中，引用平面 假设，求得了圆形和环形截面杆的扭转问题的结果【4 0 1 。但这些结果不能推广 应用于非圆截面杆，原因是非圆截面杆在扭转后，横截面变成曲面而不再保持 平面( 这种现象成为翘曲) ，所以等截面杆的扭转只有借助于弹性力学的方法求 解。 等截面杆扭转问题常采用按应力函数和按扭转函数求解1 3 7 训】。常采用的求 解方法有加权残值法【4 引，准格林函数法4 3 1 ，域外奇点解法【4 4 1 ，只一函数方法f 4 5 1 和边界元方法【4 6 1 等。其中边界元法的应用受到奇异积分计算的影响而未能受 到广泛的应用。 本文假设等截面直杆【4 1 1 ，体力不计，只在两端平面受大小相等而转向相 反的扭矩m ，采用半逆解法，参照材料力学中对于圆截面杆的解答，也假设 除了横截面上的剪应力，k 外其余的应力分量均为零，即 气= 吒= 吒= 飞黾= o 由弹性理论知道【4 ，等截面直杆扭转问题，可采用p r a n d t l 应力函数求 解，基本方程为 v 2 够= 2 g k 其边界应力为零，端面边界条件为 2 肛呶= m 截面剪应力为 8 回a p 2 赢，= 一赢 1 6 山东理工大学硕士学位论文第三章弹性扭转问题的无奇异边界元分析 3 1 各向同性等截面直杆扭转的等价的无奇异边界积分方程 在前面第二章已经介绍了等价的边界积分方程，在此基础上基于文1 3 6 j 的 思想，与实际问题匹配，归化出各向同性等截面直杆扭转的等价的无奇异边界 积分方程如下。 1 ) 归化出的各向同性等截面直杆扭转的等价的直接变量无奇异边界积分 方程为 工g ( x ) 订一2 l 俐q = o f 伊。( x ，j ，) g ( x ) d r f ( 缈( x ) 一矽( j ，) ) g + ( 墨j ，) 订+ 2 l 似伊( x ，j ，) d q + c = o ，j ，r 式中q 为截面区域，r 为q 的边界，伊( 而j ，) 为等截面直杆扭转问题的基本解， 沿边界外法向导数为g ( 而j ，) ：娑，g ( x ) ：掣，c 为待定常数。 。可