（应用数学专业论文）基于跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究.pdf

硕一仁学位论文 摘要 在现代金融市场上，金融衍生工具由于其强大的避险与保值功能而大受欢 迎在这些金融衍生工具中，期权是重要的一种，应用广泛，因此关于它的研究 引起了广大专家学者的关注随着我国期权市场规范化建设的加强和国际化步 伐的加快，关于期权定价问题的相关研究的重要性和紧迫性日益增强，具有重要 的现实意义 本文在m e r t o n 的跳扩散模型基础上，假设股票价格服从带时齐泊松跳的跳 扩散过程，研究了欧式交换期权及两个风险资产的欧式择好( 择差) 期权的定价问 题文章运用无套利理论分别推导出股票价格服从不支付红利和支付连续红利 时交换期权满足的价值微分方程，利用等价鞅测度理论，采用变换计价单位，将 二维的资产期权定价转化为一维的资产期权定价问题，从而利用原有的结论得 到欧式交换期权的定价公式j 利用同样的方法得到了两个风险资产的欧式择好 ( 择差) 期权定价的定价公式我们摈弃了经典的b l a c k s c h o l e s 扩散模型，选择 m e r t o n 的跳扩散模型，并将得出的结论与扩散模型的结论进行了比较事实证 明，在扩散模型中的等价鞅测度理论及变换计价单位的方法在跳扩散模型中的 使用容易得到期权的定价公式 关键词：跳扩散过程；交换期权；择好( 择差) 期权；期权定价；随机微分方程； 计价单位 基于跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究 a b s t r a c t i nm o d e r nf i n a n c i a lm a r k e t s ，f i n a n c i a ld e r i v a t i v e si sv e r yp o p u l a rf o ri t ss t r o n g f u n c t i o n a l i t yo fa v o i d i n gr i s ka n dh e d g i n g o p t i o n si sa ni m p o r t a n tf i n a n c i a l d e r i v a t i v e sw h i c hi sw i d e l yu s e d t h e r e f o r et h er e s e a r c ha b o u to p t i o n sh a sa r o u s e d t h ec o n c e r no ft h em a j o r i t yo fe x p e r t sa n ds c h o l a r s w i t ht h e s t r e n g t h e n i n go f s t a n d a r d i z e dc o n s t r u c t i o na n dt h ea c c e l e r a t i n go fi n t e r n a t i o n a l i z a t i o np a c ei nt h e o p t i o n sm a r k e to fo u rc o u n t r y ，t h ei m p o r t a n c ea n du r g e n c yo ft h es t u d ya b o u to p t i o n p r i c i n gi si n c r e a s i n ga n dt h es t u d yh a sg r e a ts i g n i f i c a n c e t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ep r i c i n go ft h ee u r o p e a no p t i o nt oe x c h a n g eo n ea s s e t t oa n o t h e ra n dt h et w oa s s e te u r o p e a nb e t t e r ( w o r s e ) o f o p t i o n s i ti so nt h eb a s i so f t h ej u m p d i f f u s i o nm o d e lp r o p o s e db ym e r t o nw h i c hi so nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e s t o c kp r i c i n gp r o c e s s e sa r ej u m p d i f f u s i o np r o c e s s e s ，a n dt h ej u m pp r o c e s s e sa r e h o m o g e n o u sp o i s s o np r o c e s s t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fo p t i o nv a l u ew h e nt h e s t o c kp r i c i n gp o c e s s e sh a sb o t h d i v i d e n d sp a y m e n ta n dn o n d i v i d e n d sp a y m e n ti s d e r i v e dw i t hn o a r b i t r a g et h e o r y b yu s i n gt h et h e o r yo fe q u i v a l e n c em a r t i n g a l e s m e a s u r ea n dt h em e t h o do fn u m e r a i r e c o n v e r s i o n ，s e l e c t i n gt h ea p p r o p r i a t e r i s k - n e u t r a lp r o b a b i l i t ym e a s u r e ，t h ep r o b l e mo ft h et w o d i m e n s i o n a la s s e to p t i o n p r i c i n gi st r a n s f o r m e di n t o t h a to fao n e d i m e n s i o n a la s s e to p t i o np r i c i n g s ow e c o u l do b t a i nt h ee x a c tf o r m u l af o rp r i c i n ge x c h a n g eo p t i o nb yu s i n gt h eo r i g i n a l c o n c l u s i o n s t h e nt h ef o r m u l af o rp r i c i n gt w oa s s e t b e t t e r ( w o r s e ) o fo p t i o n si s o b t a i n e dw i t ht h es a m em e t h o d w ec h o o s et h ej u m p d i f f u s i o np r o c e s sm o d e lr a t h e r t h a nt h ec l a s s i c a lb l a c k s c h o l e sd i f f u s i o n p r o c e s sm o d e l ，a n dc o m p a r et h e c o n c l u s i o no ft h et w o f a c t sh a v ep r o v e dt h a tt h ef o r m u l ao fo p t i o np r i c i n gi se a s i l y o b t a i n e di nt h ej u m p - d i f f u s i o nm o d e l sw i t ht h et h e o r yo fe q u i v a l e n c em a r t i n g a l e s m e a s u r ea n dt h em e t h o do fn u m e r a i r ec o n v e r s i o nw h i c hi sa l s ou s e di nt h ed i f f u s i o n m o d e l s k e yw o r d s ：j u m p 。d i f f u s i o np r o c e s s ；e x c h a n g eo p t i o n ；b e t t e r ( w o r s e ) o fo p t i o n s ； o p t i o np r i c i n g ；s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n u m e r a i r e i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：荔汐刁日期：砷年f 月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密阢 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：欲a 参 世 别币签名名五柱乞| b1 十 日期：啪罗年 日期。呷年 卜月f 日 f 月弓 日 硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 问题研究的背景和意义 早期场外期权市场产生已达几个世纪之久早在1 7 世纪3 0 年代就有了“荷 兰郁金香热”1 9 世纪2 0 年代早期，伦敦股票交易所己开始交易股票期权了：1 9 世纪8 0 年代晚期至1 9 世纪9 0 年代早期，场外交易的衍生工具市场已经开始提 供范围广泛的期权种类以满足其客户的金融需要现代场内期权市场是伴随着 2 0 世纪7 0 年代及8 0 年代的各种经济、政治事件和外汇与利率衍生工具的普遍 引入而逐步发展起来的2 0 世纪9 0 年代以来，国际金融衍生品市场发展迅猛，进 入新世纪，完成清理整顿后的我国期货市场也呈现出各交易品种全面活跃的态 势在此背景下，国内理论界和期货界对商品期权的研究逐步升温，并有发展成 为近期研究热点的趋势 现代金融理论是金融学中大量运用数学工具来研究风险的预防与控制，各 种各样的经济金融的数学模型占据着重要的地位在现代金融市场上，金融衍生 工具由于其强大的避险与保值功能而大受欢迎，在这些金融衍生工具中，期权是 重要的一种期权于2 0 世纪7 0 年代首先在美国出现，它作为一种防范风险和投 机的有效手段，由于具备以下特点而发展迅猛，应用广泛：( 1 ) 与其它衍生证券相 比更易于定价；( 2 ) 许多衍生证券可以表示为若干期权合约的组合形式；( 3 ) 由于衍 生证券定价原理的一致性，可能通过对期权定价从中找到一般衍生证券定价的 方法 科技的快速发展带动了金融业的飞速发展，而金融业的发展则取决于对金 融产品的不断创新，依此来满足投资者的需求，因此出现了许多新的金融产品 彩虹期权就是其中的一种多资产期权，包括择好择差期权、交换期权等彩虹期 权的定价取决于多种原生资产价格的变化，择好期权赋予期权持有人在到期同 有权取得在多个原生资产中最佳回报的权力；而交换期权又是被研究最广泛的 多资产期权之一，交换期权的模型主要应用于国际贸易，进出口结算等金融领域， 交换期权的定价模型对于基金管理费用的制定，对其它衍生证券的定价比如可 转换债券的定价也有很大贡献m a r g r a b e 在19 7 8 年首次给出了在连续的扩散模型 中交换期权的闭式解【1 1 ，而后国内外很多专家学者在m a r g r a b e 的模型上相继做出 了相关的改进 我国期权市场自l9 9 5 年开始发展以来，市场机制不断创新，市场框架不断完 善，目前我国证券市场正发生着重要转变，一是监管力度不断加强、市场规范化 基_ j ：跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究 程度不断提高；二是随着我国加入w t o ，国际化进程不断加快，竞争对手从国内 向国际延伸；三是市场规模的扩张和投资者结构的变化，市场的波动性不断增 大我国期权市场虽然发展很快，但由于刚刚起步，期权的管理和配套制度还不 成熟，随着证券市场的发展，期权期货市场面临的政策环境和市场环境都在发生 着重大变化，承担的风险也在相应增加由于所处发展阶段，以及证券市场投资 环境的特殊性，关于期权期货风险管理的理论研究和期权期货市场管理体系的 建设都处于相对落后的状态，与国际上存在着相当的差距随着期权市场规范化 建设的加强和国际化步伐的加快，关于期权定价等问题的相关研究的重要性和 紧迫性日益增强因此，无论在理论上还是在实际运用上，都需要做出积极努力 的探索因此，关于期权定价问题的研究具有重要的现实意义，期权定价问题成 为金融数学中的核心问题之一 1 2 问题研究的历史 期权定价模型是金融学中重要的数学模型，取决于原生资产价格的演化模 型现代期权定价理论的历史，开始于1 9 0 0 年，法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 在 他的投机理论中最早提到期权定价模型，这一理论认为股票价格服从布朗运 动，b a c h e l i e r 的投机理论被认为是资产定价理论诞生的标志只是b a c h e l i e r 的 模型存在缺陷，之后cms p r e n k l e 、pas a m u e l s o n 、k a s s o u f 等分别建立起不同 的期权定价模型，直到1 9 7 3 年，f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 2 】在他们的期 权与公司财务的定价中提出了著名的b s 模型，假定股票价格服从几何布朗运 动，用无套利复制的方法证明了著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式这一开创 性的工作不仅为衍生证券的迅速发展奠定了可靠的理论基础，而且为金融业的 发展带来革命性的变化，被誉为现代金融理论的又一次“革命” 在此之后，期权定价理论得到不断的推广( 见文献 1 5 ，7 1 7 ，2 0 2 1 ，2 4 4 1 】) s c h o l e s ( 1 9 7 6 ) 考虑了税收对期权价格和复制投资组合策略中股票和债券的制定 的混合物产生的影响后，就对基本的b s 模型进行了调整c o n s t a n t i n i d e s 、 s c h o l e s ( 1 9 8 0 ) 和i n g e r s o l l ( 1 9 8 4 ) 也分析了税收对证券的影响l e l a n d ( 1 9 8 5 ) 、 f i g l e w s k i ( 19 8 9 ) 、h o d g e s 和n e u b e r g e r ( 19 8 9 ) 、b o y l e 和v o r s t ( 19 9 2 ) 以及b e n s a i d ， l e s n e 和s c h e i n k m a n ( 19 9 1 ) 研究了存在交易成本条件下的期权定价和不完全套期 保值的风险g i l s t e r 和l e e ( 1 9 8 4 ) 、b a r r o n 和j e n s e n ( 1 9 9 0 ) 以及b e r g m a n ( 1 9 9 1 ) 推 导出了无风险借贷利率之间存在利差时的期权定价 然而，由于几何布朗运动是连续随机过程，所以假设股票的价格过程是几何 布朗运动就意味着股票价格是时间的连续函数而大量的金融统计数据表明，几 何布朗运动并不是刻画股票价格过程最理想的工具文 3 】通过实测数据分析发 现几何布朗运动与市场实际有一定偏差，实践表明，股票的价格可能会出现间断 硕_ ：学位论文 的“跳跃”，股票的预期收益率往往是波动变化的，可能是依赖时间和股票价格的 函数 为了减小期权定价的偏差使得结果更符合实际，很多文献对股票价格波动 规律进行了研究目前最主要的方法就是在资产价格过程中引入随机跳，c o x 和 r o s s ( 1 9 7 5 年) 、m e r t o n ( 1 9 7 6 年) 首先建立了股票价格服从跳扩散行为模型，其中 扩散过程表示股票价格的连续波动，跳跃过程表示股票价格的不连续变动，即重 大信息到达时带来的股票价格的大幅度变动之后，大量的关于期权定价的文献 都是假定期权所依赖的股票价格服从跳扩散过程，如j a r r o w 和r u d d t 4 1 ( 1 9 8 3 年) 、 j o n e s 5 1 ( 1 9 8 4 年) 、b a t e s t 6 1 ( 1 9 8 8 年) 等，这些文献中，都假定跳跃过程为泊松过程 此外还有一些非泊松跳的跳扩散模型如b a t e s ( 1 9 9 1 ) 和m a d a n ，c h a n g ( 1 9 9 6 ) 的纯 粹跳跃模型等 另一种主要方法是假设波动率是随机的，如c o x 和r o s s ( 1 9 7 6 ) 的波动率弹性 为常数的模型；h u l l 和w h i t e ( 1 9 8 7 ) 的随机波动率模型；h e s t o n ( 1 9 9 3 ) 等人的随机 波动率模型；a m i n 和n g ( 1 9 9 3 ) 的随机波动率模型除此之外，还有一些别的模型 也相继出现如k n u tka a s e t l 7 】的i t o 过程和随机点过程混合模型；m e r t o n t 8 】和 a m i nj a r r o w ( 1 9 9 2 ) 的随机利率模型；m a r t i ns c h w e i z e r t 9 】的一般半鞅模型；c h a n t l o 】 的l e v y 过程模型；j a nk a l l s e n t l l 】的指数l e v y 过程模型；j e a n l u cp r i g e n t 1 2 1 的一 般标志点过程模型；a m i n 和n g ( 1 9 9 3 ) 的随机利率模型；r u b i n s t e i n ( 1 9 9 4 ) 的马尔 科夫模型等 传统的期权定价方法有3 种：解偏微分方程法；离散模型逼近法；鞅方法， 这些方法通常假设金融市场是无套利均衡的完备市场而实际的金融市场很可 能是有套利的( 如股票价格遵循几何分式布朗运动) 或不完备的( 如股票价格过程 为l e v y 过程) ，这时等价鞅测度不存在或存在而不唯一，用传统的期权定价方法 就有一定的困难于是，各种新的期权定价方法被提出，如b l a d t 和r y d b e r g l l 副 提出了期权定价的保险精算方法，将期权定价转化成一个保险问题，利用公平保 费原则，在无任何市场假设下，证明了当股票价格服从几何布朗运动时，保险精 算定价与无套利定价是一致的，依此证明了著名的b l a c k s c h o l e s 公式此外，钱 晓松【1 4 】等人提出了利用改变计价单位和测度变换的方法解决期权定价问题，也 证明出了b l a c k s c h o l e s 公式 1 3 本文的研究思路及所做工作 本文意在研究两个风险资产的期权定价问题，以m a r g r a b e 在文献【1 】中交换 期权的定价研究为基础，他的工作是在b l a c k s c h o l e s 模型的假设下，假设在完 备市场和标的资产价值服从几何布朗运动的条件下利用欧拉定理的方法对欧式 交换期权进行了研究鉴于b l a c k s c h o l e s 模型与实际的偏差，本文考虑在 幕于跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究 m e r t o n 的跳扩散模型刈下，在不完备市场和标的资产价值服从泊松跳的条件下， 研究两个风险资产的期权定价问题 当股票价格过程引入随机跳时，金融市场是不完备的，在不完备市场中的未 定权益的定价取决于风险中性鞅测度的选取，风险中性鞅测度的引进是期权定 价理论上一个重要的里程碑h a r r i s o n 和k r e p s t l 6 】于1 9 7 9 年首先证明了市场无套 利等价于存在一个风险中性的概率测度p ，使得市场中任何财富的贴现价格过程 ( d i s c o u n t e dp r i c ep r o c e s s ) 在p 中都是鞅，而且当市场是完备时，p 是唯一的，我们 称这样的p 是风险中性概率测度这时期权的定价问题就简化为求其收益函数的 贴现在p 中的( 条件) 数学期望，通常用来贴现的计价单位( n u m e r a i r e ) 是无风险资 产b ( f ) j a m s h i d i a n i l7 j 和g e m a n 等人【1 8 】的工作表明通过选取一些不同于b ( f ) 的资 产作为计价单位，同样可以得到具有类似性质的概率测度具体的，设s ( f ) 为一 个资产价格过程，则也可以用s ( ) 作为计价单位构筑一个概率测度o ，使得市场 中任何财富的价格过程相对于s ( t ) 都为q 鞅通过这样的变换，他们得到了许多 关于期权定价的有用的性质然而，他们的这些工作都是在扩散模型中进行的 本文受其选取合适的风险中性概率测度研究期权定价问题的启发，在 m e r t o n 的跳扩散模型【l5 】的基础上，采用变换计价单位，通过测度变换的方法着 重研究了不完备市场中欧式看涨交换期权以及在欧式看涨交换期权基础上的两 资产欧式看涨择好择差期权的定价问题相应的欧式看跌期权可以由看涨看跌 期权的平价公式较容易地推导出来值得注意的是，我们所讨论的跳扩散模型中， 市场是不完备的，即这时市场中风险中性鞅测度q 的选取不是唯一的，关于如何 选取一个恰当的鞅测度，可参见文献 1 0 】、 1 9 】，本文讨论当市场中鞅测度选定以 后，如何进行期权的定价故文章中的讨论都是限于鞅测度的条件下，即在所给 的风险中性的概率空间中所有资产的价格过程对于8 ( 0 的贴现都为鞅 m e r t o n 的跳扩散模型【l5 】把股票价格的运动过程分为两部分：其一是正常的 连续价格波动，即因一些细小的信息的到达使得股票价格进行一些小波动，用布 朗运动来刻画；其二是“非正常”的不连续的价格波动，即因一些比较重大的信息 的到达使得股票价格进行较大的波动，用泊松过程来刻画本文假定股票价格过 程遵循带有强度参数都为九的时齐泊松过程的跳扩散过程，在文献【15 】的基础上 进行了扩展，借鉴了文献 15 】和【2 0 中利用无套利理论的方法分别推导出股票价 格服从不支付红利和支付连续红利时交换期权满足的价值随机微分方程，然后 运用文献【2 1 】中通过测度变换改变计价单位的方法求解无套利条件下期权价值 满足的随机微分方程，给出了期权定价公式，并推广得出两个风险资产的欧式看 涨择好期权与择差期权的定价公式，从而得到了一类股票价格服从跳扩散过程 两个风险资产的欧式期权的定价公式，并将之与扩散模型的结论进行了比较 硕j ：学位论文 2 1 期权的定义 第2 章预备知识 定义2 1 瞳2 3 期权( o p t i o n ) 是持有人在确定时间，按确定价格向出售方购买 ( 销售) 一定数量和质量的原生资产的协议，但他不承担必须购入( 销售) 的义务 期权持有人在确定时间实施这个协议的权利，但不负有必须实施这个协议的义 务在期权合约中，确定价格成为实施价格( e x e r c i s ep r i c e ) 或敲定价格( s t r i k e p r i c e ) ，确定日期称为到期日( e x p i r yd a t e ) ，按期权合约规定执行购入或销售原生 资产称为实施( e x e r c i s e ) 按照期权中包括的选择权不同，期权可分为看涨期权 ( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) 按照期权的执行日期的不同，期权可分为 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 和美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 本文研究的是欧式看 涨期权的定价问题，由平价公式可以得到欧式看跌期权的定价公式 定义2 2 乜2 1 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 是只能在合约规定的到期日实施的 期权 定义2 3 心列 美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) 是能在合约规定的到期日以前( 包括 到期日) 任何一个工作目实施的期权 定义2 4 瞳2 1 看涨期权( c a l lo p t i o n ) 是一张在确定时间，按确定价格有权购入 一定数量和质量的原生资产的合约 定义2 5 强2 1 看跌期权( p u to p t i o n ) 是一张在确定时间，按确定价格有权出售 定数量和质量的原生资产的合约 定理2 1 幽1 看涨一看跌期权的评价公式( c a l l p u tp a r i t y ) c f + 胎”7 一= 只+ s ( 2 1 ) 其中q 表示欧式看涨股票期权价格，7 , 表示欧式看跌股票期权价格，s 表示风险 资产价格，k 表示期权的敲定价格，丁表示期权的到期日，厂表示无风险利率 定义2 一乜2 1 交换期权( o p t i o nt oe x c h a n g eo n ea s s e tt oa n o t h e r ) 是一种期权持 有人在到期日有权但不必须以种资产交换另一种资产的合约，由两个标的资 产组成交换期权的持有人有权在一定的时间按照事先约定的比例将一种资产 转化为另一种资产 定义2 7 乜2 1 择好期权( b e t t e r o fo p t i o n s ) 是持有人在到期同有权取得在多个 原生资产中的最佳回报的期权 定义2 8 口2 3 择差期权( w o r s e o f o p t i o n s ) 是持有人在到期日有权取得在多个 原生资产中的最差回报的期权 基于跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究 2 2 无套利原理 定义2 9 旺幻一个自融资投资策略称为在 0 ，t 】时段内，存在套利机会 ( a r b i t r a g eo p p o r t u n i t y ) ，如果存在t ( o ，t 】，使得当 ) = o ，有( ) 0 ，且 p r o b ( ) 0 ) 0 ，这里p r o b r o ) 表示事件发生的概率 定义2 1o 幢2 1 若对于任意自融资投资策略在任意时段i t , ，t 2 c _ 【0 ，t 】内都不 存在套利机会，那么称市场在时段【0 ，t 】内是无套利的( a r b i t r a g ef r e e ) 定理2 2 乜2 1若市场在时段 0 ，t 】内是无套利的，则对于任何两个投资组合 和，如果 巧( m 。) 巧( 2 ) ， ( 2 2 ) 以及 p r o b 略( 1 ) 巧( 2 ) ) 0 ( 2 3 ) 成立，那么对于任意，【0 ，t ) ，必有 k ( 1 ) k ( 2 ) ( 2 4 ) 2 3 随机过程 定义2 1 1 瞳3 3 如果概率空间 q ，p ，( e ) 。g ；r ) 上的随机过程 缈( f ) ，0 f o ，b ( s + f ) 一b ( s ) - n ( o ，c 2 ，) ，即b ( s + t ) - b ( s ) 是期望为0 ，方差为c 2 t 的正态分布； ( 3 ) 形( f ) 关于t 是连续函数 我们就称随机过程w ( t ) 为布朗运动( b r o w np r o c e s s ) 或维纳过程( w i e n e r p r o c e s s ) 定义2 12 乜铂一随机过程 ( f ) ，20 ) 称为时齐的泊松过程，若满足 ( 1 ) 是一计数过程，且n ( t ) = 0 ； ( 2 ) 是独立增量过程，即任取0 t 2 0 ，有 p n ( t + a t ) 一o ) = 1 】= a 7 + d ( n ( 2 5 ) 【p n ( t + a t ) 一n ( t ) 2 】= o ( a t ) 、 其中a 0 ( 称为强度常数) ，o ( a t ) 为高阶无穷小 硕上学位论文 定义2 1 3 强2 1 设u 是某一个风险资产，b 是无风险资产，兹称为在f 时刻风 险资产u 的贴现价格( d i s c o u n t e dp r i c e ) 或称相对价格( r e l a t e dp r i c e ) 定义2 ：14 心2 3如果在概率q 下，有 旷p r o b q 僻= 譬 = 筹， 锄= p r o b q 品= 雩) = 而u - p ( 2 6 ) 且0 - 1 ，否则会出现非正价格) 是泊 松过程发生跳跃时股票价格的相对跳跃高度，z 是第i 个泊松过程发生跳跃时股 票的相对跳跃高度，是独立同分布的，且x o = o ；w ( t ) ，n ( t ) ，z 相互独立；e ( ) 是给定概率测度p 中的无条件期望算子 引理3 1随机微分方程( 3 1 ) 的解【7 j 为 s o ) = s ( o ) e x p ( ( z a 足一q 一去仃2 弘+ 仃o ) ) 兀( 1 + 工) ( 3 2 ) 3 2 期权价值微分方程 记关于股票价格和时间的期权函数为v ( t ) ，设矿( f ) = f ( s ，) ，其中f 关于r 一 次连续可微，关于s 二次连续可微 引理3 2 ( 广义i t o 公式) 2 4 1设有跳扩散过程出= a d t + b d w + y d q ，另有函数 f ( t ，x ) 关于f 一阶连续，关于x 二阶连续可导，则 硕一i ：学位论文 矽= ( z + 识+ 三厶扔出+ b l a w + 坳， 其中y = f ( t ，x + y ) - f ( t ，x ) 定理3 1设由跳产生的风险为非系统风险，f ( s ，f ) 是期权在f 时刻的价值， s 满足( 3 1 ) 式，则f ( s ，f ) 满足以下价值微分方程： e + 去仃2 s 2 瓦+ p a k - q ) s f 。- r f + a e ( f ( s ( 1 + x ) ，t ) - f ( s ，f ) ) = 0 二 其边值条件和终值条件分别为 f ( o ，f ) = 0 ， f ( s ，丁) = ( s k ) + 其中丁是到期日，k 是期权的敲定价格，f 的下标表示偏微分 证明 由( 3 1 ) 式，期权的收益率可写成下面的形式： ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 等= ( i l l v - - _ , h ) 衍+ r r , d 哪x j n ( t ) ( 3 6 ) 其中。是期权的期望收益率；吼是期权的支付红利；仃，是没有跳跃发生时 期权收益的波动率；瓦= e ( x j ，k = 兀置，其中墨是服从独立同分布的第i 个 泊松过程发生跳跃时期权的相对跳跃高度由引理3 2 ，有 d v = d f = ( 鼻+ ( p a k q ) s f , + i 三仃2 s 2 g ) d t + a s f f l w + ( f ( s ( 1 + x ) ，f ) 一f ( s ，t ) ) d n 与( 3 6 ) 进行比较，可得 心= 【c + 去仃2 s 2 瓦+ ( j l l 一；t k - q ) s f , + a e ( f ( s ( 1 + x ) ，t ) - f ( s ，) ) 】f ( s ，f ) ， ( 3 7 ) 铲堡f ( s 等， ( 3 8 ) ” 。，) 、 x v ：堡坠塑尘丛业( 3 9 ) f ( s f ) 、 其中f 的下标表示偏微分，e ( ) 是给定测度p 中的无条件期望算子 我们考虑一个包含股票s 、期权y 和回报率为银行利率，的无风险资产的资 产组合，令其比例分别为a 。、a 2 和a 3 ，a 。+ 2 + 3 = 1 ，记p ( ，) 为组合在f 时刻的 价值，那么组合的期望收益率可以写成下面的形式： 鬻= ( 1 a p - - ) , - q p ) 出+ c r p d 哪x p d n ( 班 ( 3 1 0 ) 其中心是组合的期望收益率；曰p 是组合的支付红利；仃p 是没有跳跃发生时组合 基- f 跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究 收益的波动率；k = e ( x p ) ，= 兀置，置是服从独立同分布的第f 个泊松过程 j = o 发生跳跃时组合的相对跳跃高度 由( 3 1 ) 及( 3 1 0 ) 式，有 p p = a l ( | “一，) + 2 ( p ，一，) + ， 仃，2 l 仃+ a 2 仃v ， x p = a 1 x + a 2 型篙产 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 当a = 0 时，即z = 置= x 。= 0 ，模型( 3 1 ) 就是股票价格服从支付红利的 b l a c k s c h o l e s 模型2 2 1 为了避免套利，我们可以选取a 。= ：和a 2 = ：使得 + ：仃，= 0 ，此时资产组合的期望回报率就等于无风险利率，由( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 知下式成立： ( j l l r ) c r = ( ，- r ) t r ，( 3 1 4 ) 由( 3 7 ) 、( 3 8 ) 和( 3 1 4 ) ，我们得到著名的股票价格服从支付红利的 b l a c k s c h o l e s 模型的欧式期权满足的偏微分方程 z + - 寺c r 2 s 2 瓦+ ( ，一q ) s f , 一r f = 0 ( 3 1 5 ) 当a 0 时，即股票价格模型( 3 1 ) 存在泊松跳时，期权的价值就不是股票价 格的线性函数了，因此不会存在这样一组权值( 。，：) ，使得资产组合的“跳”风 险可以被消除然而，由于( 3 1 ) 中股票的价格变化是由连续的布朗运动和不连续 的泊松跳组成的，而泊松跳过程带来的股票价格的变化是瞬时的，非边际影响的， 所以在多数时候泊松跳部分对股票价格几乎不产生影响，由跳部分产生的资产 组合的风险表现为非系统风险由b l a c k s c h o l e s 的保值策略，取a ，= a ：和 a ：= a ；使得+ ；仃，= 0 ，记此时资产组合的价值为，把( 3 1 2 ) 代入( 3 1 0 ) ，有 瓮“l z p a - q p ) d t + x p d n ( 吼 ( 3 1 6 ) 由资本资产定价理论，组合的期望收益率等于无风险利率，即弘：= r ，因此 我们得到如下方程组： ：( p 一7 二) + ：( j l l v 一，) = o ( 3 1 7 ) 【a ；o + = 0 、7 将( 3 7 ) 及( 3 8 ) 式代入方程组( 3 1 7 ) ，我们可以得到f 满足如下微分方程组： jc + 三1 一瓦+ ( r - z k - q ) s f , - r f + 2 e ( 邢( 1 + n 沪郴，) ) _ - j ( 3 18 ) 【f ( s ，丁) = ( s k ) + 于是，定理3 1 得证 硕l 学位论文 注3 1如果a = 0 ，微分方程( 3 3 ) 即股票价格服从支付红利的b l a c k s c h o l e s 方程【2 2 1 c + 去仃2 s 2 瓦+ ( r - q ) s f ，- r f = 0 ( 3 19 ) 其边值条件和终值条件分别为( 3 4 ) 和( 3 5 ) 注3 2 如果q = 0 ，微# 7 i n ( 3 3 ) 即股票价格服从不支付红利的m e r t o n 模 型，期权价值微分方程为u s e + 去a 2 s 2 疋+ ( r - z k ) s f , - r f + a e ( f ( s ( i + x ) ，f ) 一f ( s ，f ) ) = 0 ( 3 2 0 ) 其边值条件和终值条件分别为( 3 4 ) 和( 3 5 ) 注3 3如果九= 0 且q = 0 ，微分方程( 3 3 ) 即股票价格服从不支付红利的 b l a c k s c h o l e s 方程1 2 2 】 c + 去仃2 s 2 瓦+ 塔e 一伊= 0 ( 3 2 1 ) 其边值条件和终值条件分别为( 3 4 ) 和( 3 5 ) 3 3 期权定价公式 设f ( s ，f ) 是欧式看涨期权在f 时刻的价值，那么f 满足期权价值方程( 3 3 ) ， 且其边值条件和终值条件满足( 3 4 ) 和( 3 5 ) ，定义股票价格服从扩散过程的 b i a c k s c h o l e s 欧式期权定价公式1 2 2 】为 h ( s ，t ；k ，仃2 ，) = s ( 碣) 一k e 。卜( 吐) ( 3 2 2 ) 其中 ( 加去口p 1 出， 儡2 南陋扣t c r 2 - q 灯卅】， ( 3 2 3 ) 吹= 儡一仃2 ( t - t ) ( 3 2 4 ) 那么，( 3 3 ) 的解可由下面的定理得到 定理3 2设f ( s ，) 是欧式看涨期权在t 时刻的价值，且股票价格过程满足 ( 3 1 ) 式，则 脚) = 薹坐等型删瓯e - ( x k + q x r - t ) , t ；k , 0 2 , r ) ) 】 ( 3 2 5 ) 其中咒= 兀( 1 + 墨) ，规定x o = l ，e ( ) 是期望算子即 基于跳扩散过程两个风险资产的期权定价研究 脚) = 薹坐攀型陬喇h 密( 1 + 驴扩叫咐) ) 】( 3 2 6 ) 其中 坼，= 击一a ， 一 s 兀( 1 + 置) i = o 畋= 4 一乒可习 + ( r + 三g 2 _ 九七一g ) ( 丁一f ) 】， ( 3 2 7 ) 证明 要证明( 3 2 5 ) 是偏微分方程( 3 3 ) 的解，而且满足边值条件( 3 4 ) 和终值 条件( 3 5 ) ，我们记欧式期权定价公式( 3 2 5 ) 为 f ( s ，) = o ) 占( ( 匕，t ；k ，0 2 ，) ) ( 3 2 8 ) 其中只( 归竺塑譬盟，艺三s x e - t 帅肌n 对( 3 2 8 ) 进行偏微分，下标表示偏微分，有 s g ( s ， ) = 只( f ) e ( 艺皿) ， ( 3 2 9 ) s 2 瓦( s ，f ) - - - z 只( f ) e ( 砰