（凝聚态物理专业论文）ads背景下Ⅱb超弦的krr参数化.pdf

摘要 用撬一理谂寒描述辩然羿静嚣种基本褶盏作瑙是入们长潮追求的醪标，超弦理论 是迄今为毫葭霄棼爨的驻褥器穆蒸誊辐蔓俸薅统一起寒熬理逶。怒弦臻论其存耩镶煞 数学绻褐，这嫂它熬空溺对称褴鞠维羧都福当确定，鄄这萃申理论在缭寇的犬前提下照 耐挫懿，这一点符合终投瑾谂静癸謇。霆就，它是鉴今褥毽攀赛熬热点之一+ 是繇论豹 主流方游。超弦胃分为糨赛趣弦鞭菲裕羿超弦。 d 箍固铲背景下的i i b 超弦是十维趣 弓l 力理谂中具鸯最大对称整豹怒弦，是旗器麓弦瀚典囊我袭，受裂物瑾学嚣麴广泛关 注。矗矗岛os 1 背景下麴l l b 怒弦楚菲牾莽超弦。 越陵璧沦与凝聚态貔理乏弱蠢饕摄深裁熬鼗系，二者不疆凌方法上讶竣鼙稽嫠壤， 覆显奁极削葺瑟溅理土存氍内在联系，它稻是耦互德进又褶强影响，阂此，趟弦理论的 发爨无谂是麸方法遥是结莱主都会绘凝聚态浆囊静发麓豢寒更广瓣瓣天缒。 学饺审请者磉论文戆研究方商是熬论中的类鬟要关系式和a d s 背荣下越弦横 型熬参数毪。 。 论文主器熊述7 两体工作。然一，庭厢f i e r z 随等式给出了礼缎c 一7 求和式的 一般形式，在特定象转下爵疆这令求窝式整窭妇翟瞧簿式及类酝瓣等式，这些等 式楚磷究越弦耧型所登滞的。论文其 奉静折了电荷共轭筑阵0 为艇称时的四维空间 ( 尹= - 1 ，n = 4 ) 书静瀵嚣。繁：，参数纯在蓬弦瓣磷究孛舂凝螫爨女斑瑙，程超弦 懿量予能、求瓣逐动方程游时候，都赫须瀚超弦模鍪逶行参数化。k a l l o s h 等人曾提出 了a d s 5 鸯( 醚譬 蓬弦摸型戆一耱参数豫方法( k 滚参数佐方法) ，缝餐懿方法手续 多，魄坡寐蠼，不窑荔器广。本文徐出了辩稀典鍪越弦横登觚兔0 和a d & 固掣的弱 一静蕊肇懿k 墩参数诧鬻寿法，赫结会遂耩拿超弦摸塑爨蕊毒戆x 愆稼装绘密了它稻 的卡当l 。菠m s ，m a u r e r - c a r t a n 方糕，俸雳蠹和运动方程。除了a d 蕊0 s 5 和a d s 5 固s 1 弦 蜀爨这糖参数健方法参数诬乏努，还骞a d s 29 字黎、奠蠢巍0 弦帮p o l y a k o v 弦模登 郄可雳邀静参数纯方法参数纯。 篾键词：藏论c - y 一7 关系式，参数健，a d 鼹。铲，a d & o 伊，k 慰裁性 a b s t r a c t ag o a li st ou s eau n i f i e dt h e o r yt od e s c r i b ef o u rb a s i cr e c i p r o c i t i so ft h en 舡 t u r e ，w h i c hp h y s i c i s t sh a v ep u r s u e d o v e ral o n gp e r i o do f t i m e s of a r ，t h es u p e r s t r i n gt h e - o r yi st h em o s tp r o s p e c t i v eo n et oa c h i e v e t h i sg o a l t h et h e o r yh a sp r e c i s em a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e ，w h i c hm a k e si t ss p a c i a ls y m m e t r ya n dd i m e n s i o n sq u i t ed e t e r m i n a t e t h a ti s t os a y , i ti sr i g i du n d e rg i v e nm a j o rp r e m i s e t h u s ，t h i st h e o r yi sab e s tc a n d i d a t ef o ra u l t i m a t et h e o r yt ou n d e r s t a n dt h en a t u r e t h e r e f o r ei ti so n eo fh o t s p o t si nn o w a d a y s p h y s i c s i tc a nb ed e v i d e di n t oc r i t i c a ls u p e r s t r i n g sa n dn o n c r i t i c a ls u p e r s t r i n g s t y p e i i bs u p e r s t r i n gi na d s sos 5b a c k g r o u n dh a st h em o s ts y m m e t r yi nt e nd i m e n s i o n a l s u p e rg r a v i t a t i o n ，a n di ti st h et y p i c a lr e p r e s e n t a t i v eo fc r i t i c a ls u p e r s t r i n g s t h u si th a s a t t r a c t e db r o a da t t e n t i o ni np h y s i c s 。t y p ei i bs u p e r s t r i n gi na d s sos 1b a c k g r o u n di s o n eo ft h en o n c r i t i c a ls u p e r s t r i n g s t h e r e8 ep r o f o u n dr e l a t i o n s b e t w e e nt h es u p e r s t r i n gt h e o r ya n dc o n d e n s e ds t a t e p h y s i c s t h e yb o t ho f f e re a c ho t h e ri nm e t h o d s ，m e c h a n i s ma n dp r i n c i p l e t h e ya r em n - t u a l l yp r o m o t i o n a la n di n f i u e n e h a g 。t h e r e b yt h ed e v e l o p m e n to ft h es u p e r s t r i n gt h e o r y w i l lb r i n gw i d es p a c et ot h ed e v e l o p m e n to fc o n d e n s e ds t a t ep h y s i c sf r o mv a r i o u sa s - p e c t s t h er e s e a r c ha r e ao ft h ea p p l i c a n t sm a s t e rt h e s i si n c l u d e sas e to fi d e n t i t i e si m - p o r t a n ti ns t r i n gt h e o r ya n dt h ep a r a m e t r i s a t i o no fi i bs u p e r s t r i n gm o d e l si na d s b a c k g r o u n d 1 潍遮p a p e ri so r g a n i z e da st w op a r t s i nt h ef i s tp a r t 。t h eg e n e r a lf o r mo f 露r a n k c 7 1s u m m a t i o nf o r m u l ai sg i v e nb yu s i n gf i e r zi d e n t i t y , a n du n d e rs p e c i f i cc o n - d i t i o n ss e h w a r zi d e n t i t ya n df i 幽r i l a ri d e n t i t i e sa r ed e d u c e dw i t ht h es u m m a t i o nf o r - m u l a t h e s ei d e n t i t i e sa r en e e d e dw h e ns t u d y i n gs u p e r s t r i n gm o d e l s t h e nt h es i t u a - t i o no ft h ea n t i s y m m e t r i e a lc h a r g ec o n j u g a t i o nm a t r i xco ff o u rd i m e n s i o n s ( p = 一1 ，n = 4 ) i sa n a l y z e d t h es e c o n dp a r to ft h ep a p e rs t u d i e sp a r a m e t r i s a t i o no f a d si i bs t r i n g ，p a r a m e t r i s a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ns u p e r s t r i n gt h e o r yi na d s s p a c e w em u s tp a r a m e t r i z et h em o d e l so f s u p e r s t r i n g sw h e nq u a n t i z i n gs u p e r s t r i n g s o l v - i i i n g i t se q u a t i o n s o f m o t i o n ，e t c k a l l o s he t a t g a v e a m e t h o d o f p a r a m e t , r i z i n g a d o s 5 s u p e r s t r i n g ( k r rp a r a m e t r i s a t i o nm e t h o d ) 。h o w e v e r t h e i rt r e a t m e n ta n dd e r i v e - t i o n sa r ed i f f i c u l t 。t h i sp a p e rg i v e sai l e wm e t h o do ft h ek r r p a r a m e t r i s a t i o nf o rt w o t y p i c a ls u p e r s t r i n gm o d e l so fa d s 5 圆铲a n da d s s o s l a n dt h e nt h e i rc a r t a nt - f o r m s 。 m a u r e r - c a r t a ne q u a t i o n s ，a c t i o n sa n dm o t i o ne q u a t i o n sa r eg i v e n ，b e s i d e sa d s 5os 5 a n da d os 1s u p e r s t r i n g ，a d s 2os 2 ，a d s 20s 1a n dp o l y a k o v ss u p e r s t r i n gm o d e l s c a nu s et h i si l e wm e t h o dt op a r a m e t r i z ea sw e l l k e y w o r d s ：s t r i n g 一7r e l a t i o n ，p a x a m e t r i s a t i o n ，a d s sos 5 ，a d 岛0s 1 ，慧 s y m m e t r y i l l 第一耄引言 1 1关予超弦 爱因新坦农他生命的最后3 0 年里一点在罨找一种统一场论一一个g 程单独的毽 罗万象的协和的框架下描绘所有自然力的理论，但是他从未实现她的梦想，因为郑醛叁 然力和物质的许多纂本特征还是来知的，戏者知之甚少。但是在过去的半个世纪星，物 理学家在经历了无数的曲折，走过数不瀵的歹e 胡阅之艇，逐渐构筑起越来越完整数字 宙行为知识体系。如今，他们终于发璁了个框架，毖把这些知识缝台成个无缝蛉整 体一一个单一的理论，一个原则上可戆能描述一切现象的理论，这就是超弦理论【l 】。 弦论起源予2 0 世纪6 0 年代的粒子物理，当时关于强相囊作用的实验表明存在无穷 多质量与自旋越来越太、越来越辐的强予，这些技子鳃大多数是不稳定粒予。姿无穷 多的粒子参与相互作用时，粒子与粒子的散射振蠛潢延一祧对偶性质。1 9 6 8 年意大测 物理学家韦内齐亚诺( g a b r i e l ev e a e z i a n n o ) 发现一个简单的函数瀵足对稷蛙，弹著名 的韦内齐亚诺公式。很快人们发现这个简单的公式可以自然地勰释为弦与弦躲教射振 幅，这样，超弦起源于一个公式两不悬实验f 2 l 。从此之后，麟有人专门去研究弦，弦论 逐渐发展起来。 一维的弦在d 维时空背燎中运动时，会在时空中扫过一个称为擞界蕊( w o r l d s h e e t ) 的= 维的面暑。在世界面e 上，我们可以引入两个坐标参数r ，盯来撼述它。弦农拜重空中的 运动可以看作将世界面冀嵌入到d 维时空中，这里我们要求时空的维数d 丈予2 。 在弦理论中，反常桐消的自愉性条件限制了时空盼维数。慰玻魏弦理论蕊吉，时空戆 维数是2 6 维；对于超对称弦理论，要求的时空维数是l o 维。 玻住弦理论可以看柞是标准的二缳场论，我们研究二维场论时邋棠采用a # 线性a 模 型的描述方法。这时，时空中的坐标x p 看成是世舆砸上的檬量场。 现在，人们知道十维的超弦理论，有五种不同的理论描述形式，分别是：! 型趣 弦、j 埘型越弦、l i b 型超弦、风固e 8 杂化弦、s o ( 3 2 ) 杂化弦。这些不同的超弦理论可 以通过对偶性( 强弱耦合的对偶) 建立起联系，它们都可以统一在十一维的m 理论中。 超对称和超引力起源于弦论，与弦论有密切的联系。将超对称弓l 入弦论就是超弦 理论，研究超弦在一般背景中的逡动行为有着十分重要的意义嘲。超弦的低能理论就 3 是超引力理论。在所有的超引力中，含有最大超对称的是1 0 维时空中的嚣型超引力， 是1 0 维i i b 型超弦瑗论的低能极限。当1 0 维i i b 超弦紧化在p ( 小于1 0 ) 维环面上时，就 得到l o p 维时空中有辙大超对称的弦论，这样就会出现一系列的低维l i b 超弦。 ，e 墅1 0 维超g f 力存襁一个a d s 时空背景解，这个时空不再是1 0 维的闵氏空间， 最简单的情形是时空分离为两部分，一部分是5 维球面，有磁曲率，另一部分是5 维 的a 掰空间，有负曲率，即a d 瓯0s 5 时空，落是1 l 维超引力中的4 维和7 维的a d s 解的 摧广2 1 。本文的主鞭研究内容就是研究a d 鼠0 铲时空中及将a d 鼠0 伊时空中的5 维 球面紧化成1 维球面后的a d s 5os 1 时空中运动的弦的参数化问题。这种参数化的原理 是k a l i o s h 等人给出的，但是他们用的方法比较麻烦，这从一个事实可以看出来：他们 是在好凡蒲论文之后【4 j ( 5 】 6 】【7 】，而且在别人一些工作的基础上f 8 ( 9 】才给出参数化的 最后缩采。因此这个方法难于推广到其它弯曲空间的超弦模型上。本文给出一种颓的 处理办法，对a d 0s 5 弦模型给出了等价的结果。 1 2 超弦理论与凝聚态物理 避足零来，人镪发现痒必：璐论懿沿鹱域熬弦理沦与凝聚态窃理之瀚有簧肉在酌联 系，这些联系虽然还没有全方位遮显承出来，毽是恐经受裂物理眷熬关注。 弦理谂螅低毙远 熬霹以绘出拓鹾妇理论，入钓发褒n = 2 斡趣对称榜m i l l s 瑾论 的谱蝗线是一些哥积体系的灌越线，酝- m i l l sh i g s s 方程墨凝聚态耪毽孛酌g i n s b e r g - l a n d u 方程是 s 鬻棚l 鞋的，这些拶l 陛教擐本原因帮舆俸撬裁窍待进一步蟪研究。o k o u n k o vr e s h e t i k h i n 墨l l v 如等在耱嚣牮发现摄羚弦与菸揍联论窍萋黠稻关系f 珀 l l b 而弦 理论中硬究磁单极或其宅粒子豹凝聚也楚理谂孛豹亮点。 弦理论是一秘低维场论，场论中豹方法广泛皮用子凝聚态物理豹备令领域。低维 场论，如s i n eg o r d o n 场、j # 线性菸定谔场、t o d a j 舞等理论在凝聚态物毽孛的意义是众 所阅知的，这一方藤是因为鸯些熙格翊鼹的逡续极殴就是低维场谂，另外凝聚态耪理 理论中的一些耋要虮制与场论中购孤子，数射攘骥等都密螺摆荧。 因此弦理谂的深入礤定一定会绘凝聚态物理从物理背景秘方法主绘于帮助，蔼轿 究凝聚态模型的些方法如b e t h ea d s a t z 方法瞧能解决弦理论串豹霾要润鼷。 4 1 3 群的参数化 群论是研究系统对称性的有力工具，一个群元对应着系统的一个对称操作1 2 1 ，即 群元描述的是物体的对称性。 对于一个有无限多个对称操作的物体，描述这些对称性的群元也是无限多个，如 果我们像研究物体的空间几何结构那样将所有群元放在特定的空间中，让空间中的一 组参数代表一个群元，参数在一定区域内盼变化可以对应所有群元，这样我们就将群 元和一组参数对应起来，这就叫做群的参数化，这个空间叫参数化空间。通常我们选 择的群的参数化空间为物体的几何空间，群的参数就是物体的空间几何参数。同一个 群有多种不同的参数化方法，但是由这些不同的参数化方法得到的物理量的结果是相 同的，通常我们采用使运算方便简洁的群参数化方法来计算我们所需要物理量。 群的参数化使群元可以用物体的空间坐标来区分，让群元的描述方便简洁，揭示 了群元与物体空间结构的关系。 在超弦理论中，超弦在时空中的运动不但具有上述的一般对称性，而且还有特殊 的一种对称性即超对称。如果引入超对称，描述这种对称性的群就是超群，对超群进 行参数化，不但需要玻色参数( 普通数，描述一般群的参数) 而且还要有费米参数( 与 超对称有关) 即g r a s s m a n n 数。超群的参数化在超弦中有重要的应用，与一般群的参数 化相同，超群的参数化也有多种，我们选择的时候也是以对运算方便简洁为原则。 文中，我们采用空间坐标来参数化超弦的陪集模型，用这些坐标，超弦的整体对 称性群能够线性实现，使弦坐标和场耦合规范理论关系明确化 1 3 l 。 l o 维的超弦理论有两种不同的描述方法：g r e e n - s c h w a r z ( g s ) 描述方式及r a m o n d n e v e u - s c h w a r z ( r n s ) 描述方式。这两种描述的不同特点是：r a m o n d n e v e u - s c h w a r z 超 弦理论在超弦的世界面引入局域的超对称，g r e e n s c h w a r z 超弦理论是在1 0 维时空中直 接引入超对称，它是一个协变的理论 1 4 1 5 卜g s 描述的优点在于此作用量不仅具有 整体的超对称性，还具有明显的局域超对称变换，此变换称为k 一对称性。k 一对称性 最早在文献【1 6 】中提出，也称为s i e g e l 对称性。利用k 一对称性可使超弦的半费米坐 标为零即减少一半的费米自由度，超弦模型的运动方程还可使剩下的费米自由度的一 半为零，最后达到物理的玻色和费米自由度相匹配，从而大为简化超弦背景空间的几 何f 6 1 7 1 8 1 ，也使它的运动方程可解。 5 1 4 a d s 背景下超弦模型的参数化意义 在a d s 背景下的超弦理论，它的作用量和运动方程通常是用超群的流g _ 1 d g 来表 示出来的，这种表示的缺点是，流本身不是独立参量，它要满足结构方程f i p m a u r e r c a r t a n ( m c ) 方程。因此，这些参量不能当作动力学上的广义坐标，但是在求解具体运 动方程时，特别是进行量子化的时候，必须把作用量用独立的参量表示出来，才能进 行进一步的计算，这就是说，要把作用量中的流g _ 1 d g 直接用群元参量( 在m t 模型中 是陪集代表元的参量) 表示出来，这就是群的参数化。 在将群元参数化时，参数化的方法有很大的技巧，因为原则上，比如对a d s 5o s 5 弦而言，超群的费米参量o i a a 有3 2 个，因此，求g - 1 d g 时，费米元的幂次可以达 n 3 2 ，再考虑到方向微商屏口7 d ，以日胁与p 7 a 一是独立的，所以最多在g - 1 d g 中可能 达到3 3 2 次，这就使得作用量变成一个很难计算的式予，而且这么多费米予相互作用 的体系无法考虑其量子化。因而我们总是希望参数化之后费米项的最高次幂能尽量减 少。k a l l o s h ，r a h m f e l d 和r a j a r a r a a n 利用m t 模型的积t 称性，提出了一种参数化方案， 使得作用量最多只出现目的四次幂，而且形式简单，这是一个很大的成功。但是，他们 的方案在计算中要分很多步骤来处理，还要用到吕红等人的基本结果，所以他们为了 完成对m t 模型j l p a d s 5 圆s 5 弦模型 19 】的参数化写了好几篇论文，有些推导还很复杂， 一些关键点也不够透明。我们借鉴了他们的基本思想，提出了一种新的参数化方案，方 法简单直接，也能够给出等价的结果，并且可以把它推广到其它一些模型中去。 6 第二章g 1 1 关系式 在开创人g r e e n - s c h w a r z 等人提出的模型中，很重要的一个特点是：在某些维数的 空间中，著名的，y 一9 s c h w a r z 恒等式1 4 减立，这是一个相当不平庸的等式，s c h w a r z 等 人在研究超弦模型时大量使用这个恒等式及类似的等式。文献【1 9 】给出了f i e r z 恒等式， 并指出这个等式是研究他们的模型所必需的，且在s o n ，1 ) 和s 0 ( 5 ) 的5 维空间中成立， 即此恒等式中对指标a 求和应包含5 个1 矩阵，但是我们经过证明发现对a 求和只能包 含4 个7 矩阵，即它在4 维空间中成立。我们现在还没有证明这个等式是否在1 0 维空间中 成立，但是根据我们的经验在1 0 维空间中可能也不成立。在这一章，我们在f i e r z 恒等式 成立的维数空间中利用该恒等式推导类似s c h w a r z 恒_ 等式的一类等式，证明各级c 7 7 ( c 7 “7 ”7 a - 妒1 妒2 。妒3 ) 求和式的线性关系，这些结果会对研究有关超弦 模型的结构有所帮助。 2 1 一般结果 2 1 1 f i e r z 恒等式及相关约定 根据文献【1 9 】，在某些维数中，f i e r z 恒等式 ( g 矿) 。d ( c ) t a = 2 ( 口c 0 一g 1 0 5 ) ， 成立，对 矩阵和电荷共轭矩阵c 有【1 2 】( o = 0 ，1 _ 一，一l ，是空间维数) 7 。，7 6 = 2 矿6 ，= r l a b 7 6 ，r k , b q k = 髭， 矿，舶) = 2 醒，= 士g 三p c ，c 1 7 ”c = ，y 。 为度规( 在本文的例子中，n = 4 ，”= ( 一+ + + ) ) 。 考虑三个m a j o r a u a 旋量饥，妒2 ，妒3 ，假设 奶a 妒即= 土妒k 口咖a ；q 妒筇咖a 其中正号表示玻色型旋量，负号表示费米型旋量。 引进旋量玩= 谚g ，所以 妒奶= p q 叱啦 7 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 2 1 2 结果 令a ( 1 ) = c 。妒，_ 2 妒3 ，将( 2 1 ) 式代入写成分量式为 a = ( c ，y 。) 。6 妒1 6 妒2 t ( c h 。) 佃妒3 口 = 2 q 瓯口讥口妒2 1 q 6 1 ，f ，1 d 一2 c 1 妒2 1 妒3 口o d 妒1 d = ( 2 q c 妒3 妒2 妒1 2 g 咖可3 妒1 ) 。， 所以 a ( 1 ) = 2 q c 妒3 可2 妒1 2 c 妒2 瓦妒1 现在考虑 a “= g 7 “严7 8 ”妒1 - 2 。讥， 令妒i = 7 。2 7 。“砂1 ，始= 。妒3 ，由( 2 7 ) 式可得 a 哪= c 7 1 妒j 1 - - 掣2 1 。l 蛾= 2 0 a 妒3 i - - v 2 v 1 i 一2 c 妒2 - 掣- 3 tv l ! ， 其中：玩妒i = n ”一1 _ 3 妒，因此 a “= 2 q c ：。忆_ 2 7 ”，y “妒1 2 c n 一1 也_ 3 妒1 = 2 q a , ( - - 1 ) 一2 n “一1 g 妒2 _ 3 妒1 这里a 7 m ) 是将a ( “) 中略的指标j = 3 和l 互换得到的结果。 由( 2 1 0 ) 式可得 州k a 一) _ a 胪。( p + 譬) e 慨札 在本文的例子中= 4 ，p = 一1 ，所以有 a ”1 = 4 a ( “一1 ) 一4 “a 如_ 3 妒1 t t a ( ”) 的原始定义( 2 8 ) 式可得 a ( o ) = g 妒1 可2 1 i f l 3 ， 由( 2 7 ) 式可得 a ”= 2 q c 妒3 _ 2 妒1 2 c 妒2 _ 3 妒l = 2 p c 妒3 妒1 1 l f l 2 2 c 妒2 - 3 妒l ( 26 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 因此，当p = 1 时，将上式对指标1 ，2 ，3 轮换求和，就 i 一等式【1 4 c 7 。妒1 _ 2 妒3 + c y c = 0 辛r 妒l _ 2 1 】 ，3 + c y c = 0 ， ( 2 1 5 ) 而当p = 一1 时得到 q c r 。妒1 - 3 7 。也+ c 7 4 妒1 _ 2 妒3 = 0 ， f 2 1 6 ) 也就是 硒3 也= p q 妒2 c a ， ( 2 1 7 ) 因而在p = 一1 时：q 7 4 妒1 玩妒2 = 一 d e l 币2 也，得到类似s c 1 w 缸z 恒等式的等式 7 。咖l 硒2 妒3 + 0 ，y a v l - - v 3 7 。妒2 + c y c = 0 f 2 i s ) 2 2p = 一1 ，n = 4 的具体情形 2 2 1q = z ( 妒为玻色旋量) 当妒为玻色旋量即q = 1 时：玩奶= p q 啄讥= 一_ j 以，由( 2 7 ) 式得到 a 1 = c 7 。1 妒1 _ 2 。1 i f l 3 = 2 c ( 忆_ 2 妒1 一仍- 3 妒1 ) ，( 2 1 9 ) 由( 2 1 3 ) 式，( 2 1 9 ) 式和递推公式( 2 1 2 ) 就可得到佗( 1 ) 取任何正整数时的a ( n ) a 2 = g 4 1 ，y 8 2 妒1 _ 2 。如= 4 c ( 妒1 玩如一仍_ 3 妒1 ) ， ( 2 2 0 ) a c 3 ) = c - 。1 7 4 2 7 。3 妒l 可2 ，。讥= 8 g ( 如_ 2 妒1 3 仍玩妒1 ) ，( 2 2 1 ) a 4 = g ，y 。1 ，y “户7 “妒l _ 2 。也= 1 6 e ( 妒1 _ 2 饥一5 也_ 3 妒1 ) ，( 2 2 2 ) 观察以上4 个式子，( 2 1 9 ) 式和( 2 2 1 ) 式是由两个相同的单项式组成，( 2 2 0 ) 式和 ( 2 2 2 ) 式由两个相同的单项式组成，并且( 2 2 2 ) 式可以用( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 式 表示出来，即( 2 2 2 ) 式是其余3 式的线性组合 a ( 4 ) = 4 a ( 3 ) + 4 a ( 2 ) 一1 6 a 0 ) 继续礼= 5 ，6 ，7 ，的计算，我们会从中发现如下规律： 9 ( 2 2 3 ) ( 1 ) 当n = 2 k + l ( k = 0 ，1 ，2 ，下同) 时 驴阱1 e ( 蛳。生兰蝻伽 = 掣a ( a ) q - 掣以 ( 2 z a ) ( 2 ) 当n = 2 ( k + 1 ) 时 a ( - ) ：2 2 ( t m ) g ( 蛳。炉竺蛳。伽 = 4 2 k i 二- k a ( 3 + 4 a ( 2 ) + 4 k + 1j _ 一4 2 k + 1 a ( ( 2 2 5 ) 应用以上两个通式，可以通过简单的运算就可以得到胡受任何正整数时a ( n ) 的表达 式以及它表示成a ( 3 ) ，a ( ”，a ( 1 ) 的线性组合形式。在这一系列的a ( n ) 中，只有a ( 3 ) ，a ( 2 ) 年f l a ( 1 ) 是线性独立的，其余n 4 f 拘a ( n ) 都可用它们的线性组合来表示。 进一步考虑a ( ”) + c y c # 9 情形，即 g 7 。1 7 ”，y 。“妒l - 2 。也+ 研8 ，y n 2 俨妒2 - 3 。妒1 + g 7 。1 7 。2 p 也可1 。妒2 当礼= 0 时 a o + 叫c = g ( 妒1 - 2 如+ 妒2 - 3 妒1 + 讥可1 也) ， ( 2 2 6 ) 当n = 2 k + 1 时 a ( n ) + c y c = 一! 竺掣g ( 妒，可。也+ 妒：- 3 妒。+ 讥硒。如) 4 2 k + 1 + 2 4 i + 1 ( a ( o + c y c ) 当n = 2 ( k + 1 1 时 a ( n 十叫c = 4 k + 2 百_ 4 2 k + 2 一g ( 妒1 _ 2 讥+ 如- 3 妒l + 讥孑1 也) ：4 k + 2 1 _ 一4 2 k + 2 ( a ( 。+ c ! ，c ) 3 、一。”。， ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 由上面两式可知，在a “+ c c 的不同n ( 0 ) 值的系列向量中，每一个向量都 是a ( o ) + c ”c 的倍数，即只有a ( o ) + 纠c 是线性独立的，其余向量均是它的线性组合。 令口( “) = g 1 。- ，y - - 1 “妒1 万3 一r 。1 。妒2 ，类似分析a ( ”) ，t 。, i n = 2 k + 1 时 b ) + q c = 一竺兰! 手兰兰e ( 母。硒。锄+ 币2 _ ，妒。+ 妒3 _ ：妒，) 3 所以，上式加上( 2 2 7 ) 式得到 e ( 妒1 可2 妒3 如硒3 妒l 6 3 硒l 妒z ) ， ( 2 2 9 ) ( a ( ”+ b ( “) ) + c y c = 0 同理可以得到n = 2 ( k + 1 ) 时也有：( “) + b ( “) + c y c = 0 ，此时，得到了个在玻色 情形下的一个类似s c h w a r z 恒等式的一个恒等式 ( a ( “) + b ( “) ) + c y c = 0 ( 2 3 0 ) 2 2 2q 一1 ( 妒为费米旋量) 当妒为费米旋量时：币i 奶= p q 功呲= 码咖，由( 2 7 ) 式得到 a ( 1 1 = c 丁。1 1 i f l l 万2 1 j 。妒3 = - 2 c ( 讥硒2 妒1 + 如硒3 妒1 ) ，( 2 3 1 ) 与玻色情形类似我们可由( 21 3 ) 式，( 2 3 1 ) 式及( 2 1 2 ) 式可得n 取任何大于1 的 正整数时a ( n ) 的表达式 a 2 = c 8 1 7 4 2 妒1 _ 2 ，。妒3 = 4 c ( 妒z _ 2 讥一如玩妒1 ) ， a 3 = c 7 8 1 7 8 2 1 。妒l _ 2 ，：讥一- 8 c ( 妒3 _ 2 妒l + 3 也玩妒1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) l 司样司以归纳出以f 规律： ( 1 ) 当n = 2 k + 1 时 a ( n ) ：一2 2 k + 1 g ( 也_ 2 妒1 + ! ! ：；三妒2 3 妒1 ) ：兰掣a ( 3 ) + 兰竺掣a ( n ， ( 2 3 4 ) ( 2 ) 当n = 2 + 1 ) 时 a ：2 2 ( ) e ( 姗：2 惦一兰竺惦可3 妒1 ) ：竿舻叫2 ) + 竺芝坐肚 ( 2 3 5 ) 对比玻色情形，可看出两种情形组成a ( “) 的单项式相同，且只有礼= 2 + 1 时妒3 _ 2 妒l 项的系数互为相反数，其余项系数均相同，且a ( “) 可分解为a ( 3 ) ，a ( 2 ) 和a ( 1 ) 的线性组合 的组合系数也相同。 现在分析a + c c 的结果。 f 1 ) n = 2 k + l 时，有 a ( “) + c y c = 一 b ( ”) + c y c = 一 ( 2 ) n = 2 ( k + 1 ) 时，有 4 2 k + 2j - 2 3 4 2 k + l + 2 3 e ( 妒1 硒2 讥+ 1 ；f 1 2 可3 妒l + 咖3 1 妒2 ) e ( 妒1 _ 2 妒3 + 妒2 _ 3 妒1 + 惦可，如) a ( n + 甜c = 4 k + 2i _ 4 2 k + 2e 似l _ 2 魄+ 咖2 玩妒1 + 妒3 1 妒2 ) ， 弘) + 叼c = 竺与竺c ( 船。蚶痢。卅溉蚴 ( 2 3 6 ) ( 23 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 所以有：( a ( “) 一b ( ”) + c y c = 0 。 我们可以看出：a + c y c - 与玻色情形的表达式完全一样，但是因为交换两个费米 量必须出来一个负号，所以费米情形得到的恒等式只能是 ( a ( 帕一b ( 砷) + c y c = 0 ( 2 4 0 ) 2 2 3 7 。1 7 ”矿”妒1 妒2 ，- ，。讥 前面考虑的a ( ”) 中两次出现的凡个7 矩阵是以相同次序即对称形式出现的，较容易 处理，现在讨论一个更一般的情形后面n 个7 矩阵是前面n 个7 矩阵的置换，即它们 是以不同次序的不对称形式出现的。一个很自然的想法就是以前面的n 个7 矩阵的次序 为参照，将后面的n 个7 矩阵通过反复应用反对易关系 俨，7 q ) = 2 矿删转变成前面的 排列次序t 这样就可以应用前面的处理方法处理，但是因为每用一次反对易关系就会 多出来一项，如果n 取较大值时运算量就会非常大。另一个较为简单的处理方法就是： 假设n l 级( 矿1 ，y 。严一，1 i f l l 2 。：。也) 及以前的各级问题都已解决，现考 虑n 级的情形。先将后面出现的个7 矩阵。，：。中的。找出并用反对易关系将 它移到最末一位置上，然后就有一项变为士7 4 ，7 。2 7 a - - , - y “妒1 _ 2 。，。如 ( 对换为偶数次取正号对换为奇数次时取负号) ，可令妒i = 7 。n 母，识= 。妒3 这样这一 1 2 项就化成了一个n 一1 级的问题，就可以直接将n 一1 级的结果代入即可，其余项中有的 项也可应用类似的方法处理，这就使问题简化了许多，下面给出一些例子来说明： ，y 0 1 7 劬妒1 砂2 ，y 。2 7 。1 妒3 = , y a l 7 。妒1 妒2 ( 2 q 。，。2 一1 1 铴) 妒3 = 7 。1 7 。2 妒l 妒2 2 7 7 0 1 0 2 7 “1 7 。2 妒l 妒2 k 1 2 1 】f f 3 = 一7 口1 ，y 劬妒1 妒2 k 。7 。2 妒3 + 8 母l 母2 砂3 ，( 2 4 1 ) 矿1 7 0 2 ，y 。3 妒l 妒2 3 2 1 1 】 1 3 = ，y “- y “7 ”妒1 妒2 ( 2 ：一2 3 ) 。妒3 = 7 毗7 衄7 妒1 砂2 2 r n 2 n 3 1 妒3 一r 1 7 毗7 n 3 1 1 1 妒2 y a 2 ( 2 1 n 3 一1 3 ) 咖3 = 即。1 母1 妒2 一y 。1 母3 1 口1 1 衄1 0 3 妒l 中2 k 2 2 叼o , 1 g 3 硇3 + 1 a l , y 吐2 , - y 0 3 母1 妒2 k 2 1 。l - y 。3 母3 = 8 7 町妒1 妒2 7 。讥一( 2 矿m 2 7 衄一y 町) 7 妒1 妒2 2 2 7 7 。砂3 + 一y n l ，y 妒i 妒2 4 k 2 ，砂； = 8 y a l 妒1 硒2 。讥一4 7 。，t f i l 可2 。如+ 8 7 4 ：妒l 可2 ：讥一7 “7 a 2r l - - r 2 。以+ 8 妒i 硒2 观 = 4 7 。1 妒1 妒2 h 。妒3 + 8 1 劬妒1 妒2 2 妒3 7 毗一y 0 2 俨妒l 妒2 。1 。3 讥+ 8 - y 幻妒l 妒2 1 。妒3 = 一- y “，y ”7 ”妒l 妒2 1 2 3 咖+ 2 0 。妒1 1 ； 1 2 幽，( 2 4 2 ) 一r 。1 7 。2 7 8 3 7 “妒1 妒2 4 3 2 l 妒3 = 1 6 7 q , 7 a 2 妒l 妒2 y a 2 。幽+ 4 邮1 虮妒1 妒2 7 1 妒3 一，y d l ，y r 3 妒i 妒2 y a a t a 2 l 惦 = 1 6 ( 一矿1 7 ”妒1 妒2 1 2 惦- 4 - 8 妒1 妒2 咖) + 4 7 ”矿1 妒1 妒2 7 l 惦 + 7 。- 7 。：7 。s 妒1 i - - v 2 。喝一2 0 7 。妒i _ 2 锚 = 一1 6 0 1 - y 8 2 母1 妒2 1 。1 1 。2 饥+ 1 2 8 母1 妒2 妒3 + 钾“1 0 1 妒1 母2 3 - y 。l 妒3 + r 1 7 。户7 0 4 妒l 妒2 。2 3 乜他一2 0 7 。7 6 妒1 妒2 饥t f l 3 = 7 ”矿2 1 ”俨咖1 妒2 。仉一3 2 r 矿砂1 妒2 讥+ 1 2 8 1 ：妒2 讥( 2 4 3 ) 此时，如果考虑7 。1 7 8 2 7 a - 妒l - 2 。7 也。讥，就可以直接代入对称情形 下推导出来的一系列结果。 1 3 第三章a d s d + 1 和s ”空间 参数化超弦模型最主要的工作是将其卡当1 - f o r m s 用玻色和费米参数表示出来，然 后利用得到的卡当1 - f o r m s 检验m c 方程、构造作用量，从而得到运动方程。在下一章 里，我们要参数化的超弦模型的背景空间是一个a d s 空间直乘一个s 空间，因此其卡 当1 - f o r m s 有一部分是a d s 空间的，一部分是s 空间的，如果不考虑其中的费米耦合项， 那么这些卡当1 f o r m s 就是纯粹的a d s 空间和s 空间的卡当1 - f o r m s 。我们将这一章作为 下一章参数化的预备知识，给出单纯的a d s 空间和单纯的s 空间中的卡当1 - f o r m s 与它 们各自几何的关系，并推导出m c 方程。 3 1a d s d + 1 时空 d es i t t e r 在研究宇宙学时，得到两种满足爱因斯坦引力方程的具有常曲率的时空 背景背景解，时空的曲率与宇宙学常数有关。当宇宙学常数为正时，所得到的时空称 茭j d s ( d es i t t e r ) 时空；宇宙学常数为负时，所得到的时空称为a d s ( a n t id es i t t e r ) 对空 叫作反d es i t t e r 时空。 3 1 1 在平直空间的实现 d + 1 维的a d s a + i 时空可看作d + 2 维阂氏时空中的超双曲面，设b ( x 一1 ，x o ，x 1 ， ，弱) 为双曲面上点，尼勾半径，且有 d 一粥一罡。+ 霹= 砰 = 1 ( 3 1 ) 容易看出，群s o ( d ，2 ) 是a d s d + 1 空间的等长变换群( i s o m e t r yg r o u p ) 2 0 】。 为了进一步描述a d s a + 1 时空的特点，引入以下变量 r = 咒1 + 托，= r x p = o ，1 ，d 一1 ) ，：亍址1 一蜀( 3 2 ) 利用这些变量可以写出度规 d s 2 = d 霹 i = 1 d 拟1 1 = d x u d x v q ” i = 一1 1 4 = 芸如：扩+ d r 2 - d r 、 2 r ，d r + 芸州剐百r 2 d r z ：俨) q