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连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用中文摘要中文摘要量子纠缠是量子信息科学与技术的核心资源，如果能用纠缠态表象来描述量子纠缠，就可以使量子纠缠的阐述更为清晰，通过建立连续变量纠缠态表象就会给量子测量带来很大的便利。由于自然界中绝大多数系统都是“浸”在一个热库中，所以系统一热库构成的总系统中就会存在着某种量子纠缠。探讨连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用，就是本文要讨论的主要内容。我们用纠缠态表象方法计算了对双模压缩真空态第一个模场施行正交振幅测量，结果发现，第二个模塌缩到一个压缩趋强的压缩态，导出了它的显函数表达式。利用纠缠态表象，我们对具有两个压缩参数的广义双模压缩态作单模正交振幅的测量所引起的另一态的塌缩结果作了理论分析，结果表明，测量后第二个模塌缩为一个与这两个压缩参数都有关的单模压缩态。当用单模压缩态投影算符作为测量基，对三参量s u ( 1 ，1 ) 相干态施行测量，另一个场模变为一个单模压缩态，这个压缩态不仅与s u ( 1 ，1 ) 参数有关，而且与测量算符的压缩参数有关。这个结果呈现带压缩的量子纠缠，意味着测量模可以来控制光场模，从而达到构建新量子态的目的。根据双模压缩数态是双模压缩真空态的双变量厄米多项式激发态，得到了单模，一光子数投影算符对双模压缩数态最i m ，n ) 施行测量的结果。结果表明，剩余的场模塌缩到数态i 刀一m + 1 ) ，其系数是是g l , m 和j 的雅可比多项式，表现了两模之间的纠缠，即塌缩态依赖于两个模之间的数差。当第一个模是用相干态去i ：j 量时，第二个模则塌缩到一种激发相干态。这些结果丰富了利用双模压缩态实现量子隐形传态的理论。通过分析热场动力学的特性，我们引入了在热平衡状态下一个新的态i z ，n ) ，它是热不变相干态，这个态不仅能保持系统和热库的总能量不变，而且还是一个广义相干态。当整个系统处在这个态时，湮灭系统的一个量子，同时湮灭热库的一个有负能的空穴将不会改变系统的总能量。利用热w i g n e r 算符在热场纠缠态表象中的表达式和有序算符内的积分技术，我们导出了热不变相干态l z ，n ) 的w i g n e r 函数，利用w i g n e r 函数的负值讨论了热不变连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用中文摘要相干态的非经典性质。结果表明，热不变相干态i z ，n ) 的非经典性质与相干态的参量z 和热平衡时整个系统的总能量n 都有关系。当n 取不同的值时，态l z ，n ) 表现出不同的非经典性质。特别是当总能量n 为奇数时，态i z ，n ) 的非经典性质更明显。在热场动力学理论中，对每个真实的光学场模须引进一个“虚拟”的场模，所以光子数态应为i 刀，j ；i ) 。对于包含热库效应在内的总系统的哈密顿算符存在五i ，z ，元) = 0 ，但它不能体现本征值是珂，对描述一定温度下的热激发态是不方便的。为了避免态l 甩，商) 的不足，通过引入合适的热激发算符，我们找到了热场动力学理论中新的热激发态，它是哈密顿量h 具有本征值d 的真正的本征矢。态0 d ，甩) 不仅能体现h 的本征值为d ，还能表现出热激发行为，是一个热激发态。值得注意的是它也是纠缠态。最后，我们给出了新的热激发态在构造新热压缩态和相态中的可能应用。本文所提出的热不变相干态和新的热激发态丰富了热场动力学理论。关键词：纠缠态表象；双模压缩态：热不变相干态；w i g n e r 函数；热激发态作者：许雪芬指导教师：朱士群连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用a b s t r a c ta b s t r a c tt h eq u a n t u me n t a n g l e m e n ti sac o r er e s o u r c ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e i ft h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tc a l lb er e p r e s e n t e db yt h ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o n ，t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tc a nb em o r ec l e a r l ye x p o u n d e d t h ee s t a b l i s h m e n to fc o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o nc a nb r i n gg r e a tc o n v e n i e n c et oq u a n t u mm e a s u r e m e n t s i n c em o s tr e a l i s t i cs y s t e m sa r ei m m e r s e di na 、h e r m a lr e s e r v o i r ，t h e r ei sac e r t a i nq u a n t u me n t a n g l e m e n ti nt h et o t a ls y s t e mo ft h es u b s y s t e ma n dt h er e s e r v o i r s o m ea p p l i c a t i o n so fc o n t i n u o u sv a r i a b l ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o ni nt h eq u a n t u mm e a s u r e m e n ta n di nt h et h e r m of i e l dd y n a m i c s ( t f d ) t h e o r ya l et h em a jo rd i s c u s s i o n so ft h ep a p e r w ec a l c u l a t et h er e s u l to ft h eq u a d r a t u r e - - a m p l i t u d em e a s u r e m e n to nt h ef i r s t m o d ef i e l do fat w o - m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t eb yv i r t u eo ft h ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o n i ti sf o u n dt h a tt h es e c o n d m o d ef i e l dc o l l a p s e st oas i n g l e m o d es q u e e z e ds t a t e 、析t l ls t r o n g e rs q u e e z i n g t h ee x p l i c i tf o r mi sd e r i v e d b yv i r t u eo ft h ee n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o n ，w ea n a l y z et h er e s u l to fo n e m o d eq u a d r a t u r e a m p l i t u d em e a s u r e m e mf o rs o m eg e n e r a l i z e dt w o - m o d es q u e e z e ds t a t e sw i t ht w os q u e e z i n gp a r a m e t e r s i ti sf o u n dt h a tt h er e m a i n i n gf i e l d - m o d es i m u l t a n e o u s l yc o l l a p s e st ot h es i n g l e - m o d es q u e e z e ds t a t e ，w h i c hi sr e l a t e dt ob o t hs q u e e ，：i n gp a r a m e t e r s w h e nam e a s u r e m e n tf o rt h e3 - p a r a m e t e rs u ( 1 ，1 ) s q u e e z i n gs t a t ei sp e r f o r m e d 撕t l lt h ef i r s t m o d ef i e l di nt h es i n g l e m o d es q u e e z e ds t a t e ，t h es e c o n d m o d ef i e l db e c o m e sas i n g l e m o d es q u e e z e ds t a t e i t ss q u e e z i n gd e p e n d sn o to n l yo nt h es u ( 1 ，1 ) p a r a m e t e r , b u ta l s oo nt h es q u e e z i n gp a r a m e t e ro ft h em e a s u r e m e n to p e r a t o r t h i ss h o w st h eq u a n t u me n t a n g l e m e n t 谢t l ls q u e e z i n g t h a ti s ，t h el i g h tf i e l dm o d ec a l lb ec o n t r o l l e db yt h em e a s u r e m e n tm o d e ，s oa st oe s t a b l i s han e wq u a n t u ms t a t e b a s e do nt h ef a c tt h a tt h et w o m o d es q u e e z e dn u m b e rs t a t ei sat w o - v a r i a b l eh e r m i t ep o l y n o m i a le x c i t a t i o no ft h et w o m o d es q u e e z e dv a c u u ms t a t e ，t h er e s u l to fo n e m o d ei i i连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用a b s t r a c t- p h o t o nm e a s u r e m e mf o rt h et w o m o d es q u e e z e dn u m b e rs t a t e sm ，刀) i so b t a i n e d i ti sf o u n dt h a tt h er e m a i n i n gf i e l d m o d es i m u l t a n e o u s l yc o l l a p s e st ot h en u m b e rs t a t en - m + 1 ) w i t ht h ec o e f f i c i e n tb e i n gaj a c o b ip o l y n o m i a lo f 以，ma n dz i tm a n i f e s t l ye x h i b i t st h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h et w om o d e s ，i e ，i td e p e n d so nt h en u m b e r - d i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w om o d e s t h es e c o n dm o d ec o l l a p s e st oa ne x c i t e dc o h e r e n ts t a t ew h e nt h ef i r s tm o d ei sm e a s u r e da sac o h e r e n ts t a t e t h e r e f o r e ，t h eq u a n t m nt e l e p o r t a t i o nt h e o r yc a nb ef u r t h e rd e v e l o p e db yt h e s er e s u l t s b ya n a l y z i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e r m of i e l dd y n a m i c s ，an e wp h y s i c a ls t a t eiz ，n )a tt h e r m a le q u i l i b r i u mh a sb e e nf o u n d i ti st h et h e r m o - i n v a r i a n tc o h e r e n ts t a t e t h i ss t a t en o to n l ym a i n t a i n st h ew h o l ee n e r g yo ft h es y s t e ma n dt h er e s e r v o i rb u ta l s oi sag e n e r a l i z e dc o h e r e n ts t a t e w h e nt h ew h o l es y s t e mi si l lt h i ss t a t e ，t h ee n e r g yo ft h ew h o l es y s t e mw i l ln o tc h a n g eb ys i m u l t a n e o u s l ya n n i h i l a t i n gaq u a n t u mo ft h es y s t e ma n dah o l e诵t 1 1n e g a t i v ee n e r g y 访t h er e s e r v o i r b yu s i n gt h e r m a lw i n g e ro p e r a t o ro ft h et f di nt h ec o h e r e n tt h e r m a ls t a t er e p r e s e n t a t i o na n dt h ei n t e g r a t i o nt e c h n i q u ema l lo m e r e dp r o d u c to fo p e r a t o r s ，t h ew i g n e rf u n c t i o no ft h et h e r m o - i n v a r i a n tc o h e r e n ts t a t eiz ，n ) i sd e r i v e d t h en o n c l a s s i c a lp r o p e r t yo ft h es t a t eiz ，n ) i sd i s c u s s e db a s e do nt h en e g a t i v i t yo ft h ew i g n e rf u n c t i o n i ti sf o u n dt h a tt h en o n c l a s s i c a ls t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so ft h et h e r m o - i n v a r i a n tc o h e r e n ts t a t eiz ，n ) d e p e n do nb o t ht h ep a r a m e t e rzo ft h ec o h e r e n ts t a t ea n dt h ee n e r g yno ft h ew h o l es y s t e mi nt h e r m a le q u i l i b r i u m f o rd i f f e r e n tv a l u e so fn ，t h es t a t eiz ，n ) c a ne x h i b i td i f f e r e n tn o n c l a s s i c a ls t a t i s t i c a lp r o p e r t i e s t h en o n c l a s s i c a l i t yo ft h es t a t eiz ，n ) i sm o r ep r o n o u n c e dw h e nni sa i lo d dn u m b e r i nt h et h e r m of i e l dd y n a m i c s ，e v e r yr e a lo p t i c a lf i e l dm m o d ec a nb ea c c o m p a n i e db yaf i c t i t i o u sf i e l dm o d e t h e r e f o r e ，t h ep h o t o nn u m b e rs t a t e ( n - e x c i t a t i o ns t a t e ) c a nb ed e n o t e db yig , 疗) t h eh a m i l t o n i a no ft h et o t a ls y s t e mi n c l u d i n gt h ee f f e c t so ft h ei v连续变量纠缠态表象在量_ 了测量和热场动力学中的应用a b s t r a c tr e s e r v o i rh o l d sf o rh n ，五) = o i tc a n n o te m b o d yt h ee i g e n v a l u e ，z i ti si n c o n v e n i e n tt od e s c r i b et h e r m a le x c i t a t i o no ft h es y s t e ma tf i n i t et e m p e r a t u r e t oa v o i dt h ew e a k n e s so f刀，疗) ，n e wt h e r m oe x c i t a t i o ns t a t e sa les u c c e s s f u l l yc o n s t r u c t e db yi n t r o d u c i n ga p p r o p r i a t et h e r m oe x c i t a t i o no p e r a t o r s i ti st h ee i g e n v e c t o ro ft h eh a m i l t o n i a nh 埘t ht h ee i g e n v a l u ed t h es t a t e0 d ，刀) c a l le x h i b i tn o to n l yt h ee i g e n v a l u edo fh ，b u ta l s ot h et h e r m a le x c i t a t i o nb e h a v i o u r i ti sn o t e dt h a ti ti sat h e r m a le x c i t a t i o ns t a t ea n da ne n t a n g l e ds t a t e a p p l i c a t i o n so ft h en e wt h e r m oe x c i t a t i o ns t a t ei nc o n s t r u c t i n gn e wt h e r m os q u e e z e ds t a t ea n dp h a s es t a t ea l ea l s op r e s e n t e d t h et f dt h e o r yc a nb ef u r t h e rd e v e l o p e db yt h et h e r m o i n v a r i a n tc o h e r e n ts t a t ea n dt h en e wt h e r m oe x c i t a t i o ns t a t e k e y w o r d s ：e n t a n g l e ds t a t er e p r e s e n t a t i o n ；t w o - m o d es q u e e z e ds t a t e ；t h e r m o - i n v a r i a n tc o h e r e n ts t a t e ；w i g n e rf u n c t i o n ；，t h e r m oe x c i t a t i o ns t a t evw r i t t e nb yx u e f e nx us u p e r v i s e db ys h i q u nz h u苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明学位论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。研究生签名：日期：兰4 上堕学位论文使用授权声明苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。研究生签名：导师签名：嬲夕日期：丝z ：互：旦日期：连续变量纠缠态表象在量了测量和热场动力学中的应用第一章绪论第一章绪论1 1 引言自2 0 世纪8 0 年代以来，信息论和量子力学之间的联系和交叉产生了一门新兴学科一量子信息。它以量子力学原理为基础，充分利用量子理论中的态叠加原理和纠缠概念，探索以全新的方式进行计算、编码和信息传输的可能性，为突破芯片极限提供新概念、新思路和新途径，预计它将在本世纪引起一场信息和通信技术的革命【1 】。自1 9 9 3 年b e n n e t t 等人通过深入剖析量子纠缠，第一次提出量子隐形传态方案【2 】以来，人们对量子态的隐形传输产生了极大的兴趣，多种信息载体的各种量子隐形传态方案相继问世，并已经在实验室成功实现【3 7 】。从此以后，量子信息科学得到了飞速发展。近年来，量子信息的研究已经取得了日新月异、令人叹为观止的进步，但最终要实现有实用价值的量子计算、量子通讯和量子密码，不仅在实用化过程中存在着相当大的技术困难，而且存在着某些原理性的困难。一般说来，这些困难的根源正是量子力学的测量问题。自从量子力学诞生以来，以量子测量问题为核心，关于量子力学的思想基础和基本问题的争论，从来就没有停止过。近年来，伴随着科学技术的进步，过去仅限于哲学思辩式探讨的量子理论基本问题，已经能够在实验室里加以精确的检验。最近由于量子信息的发展，量子测量等基本问题的研究进一步得到了广泛的重视。量子纠缠是量子信息的核心资源，在量子信息领域中有着重要的应用，特别是在未知量子态的隐形传送中有着重要应用。量子信息最早起源于研究单粒子分离变量系统，近来扩展到无限维希尔伯特空间的连续变量体系。连续变量量子通信具有比特效率高等潜在的优越性，所以引起了人们广泛的研究兴趣。量子隐形传态的基本思想是：为实现传送某个粒子的未知量子态，必须在发送者和接收者之间事先共享一个非局域关联的e p r 纠缠通道。发送者先对需要传送的未知与所拥有的e p r 对的其中一个粒子施加联合的测量，然后发送者将测量结果通过经典通道传递给接收者，后者根据这个信息对所拥有的e p r 对的第二个量子实施相应的幺正变换，这样可以使得e p r 对连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论的第二个粒子能精确地制备在初始未知的量子态上。利用新的纠缠态和幺正算符可以构造各种连续变量的量子通讯协议，包括量子远程传输，量子密集编码，量子交换等等。由于这些幺正变换基本上都能用被动光学器件( 如分光镜) 等实现，可以设计出实验上可行的、可靠的量子通讯方案。当a l i c e 和b o b 共享一个广义压缩态时，通过连续变量纠缠态表象对a l i c e 所持有的态作一个正交分量实施测量，就能引起的另一态的塌缩。目前国际上关于量子纠缠的理论和应用主要集中在量子信息、量子密码和量子计算方面【8 1 0 1 ，而很少在量子统计物理中应用量子纠缠这个概念。由于自然界中绝大多数系统都不是孤立地存在的，而是“浸”在一个热库中，系统与热库之间存在着热交换，这种热交换将影响激发和退激发过程，因此相应的量子理论应该能包容系统的激发与热库的能量释放两部分功能，系统一库总系统中存在着某种量子纠缠。为了自然地包含了热库对系统的影响，t a k a h a s h i 和u m e z a w a 进一步发展了多粒子系统的热性质完全用量子场理论形式来处理的方法，提出了有限温度下平衡态的量子统计的一种理论删场动力学( t h e r m of i e l dd y n a m i c s ( t f d ) ) 理论i 1 1 - 1 3 。它可以更方便地描述系统和热库之间的热交换。在热场动力学理论中一个量的统计平均是由某种期望值给出，也就是说，他们构造了一个表象 1 4 1 7 ，在这个表象中的“真空”期望值和统计平均值相等。热场动力学理论的特点是，对每一个真实的振动模式须引进一个“虚拟”的模式，从而把处于非零温度下的系综平均值等价地转换为对于一个纯态的期望值。应用热场动力学理论，m a n n 和r e v z e n 定义了热相干态，并计算了一些相关函数 1 6 】：m a n n 、r e v z e n 和u m e z a w a 等应用热场动力学理论导出了量子和热起伏间的广义的不确定关系，从而把热起伏从整体起伏中分离出来 1 8 】；b e r m a n 等人应用热场动力学理论通过数值计算研究了热w i g n e r 函数 1 9 2 0 。由于系统与热库之间存在的热交换会影响激发和退激发过程，相应的量子理论应该能包容系统的激发与热库的能量释放这两部分功能，系统与热库之间存在着某种量子纠缠，自然地会将量子纠缠理论应用于热场动力学理论中去。注意到有序算符内的积分( i n t e g r a t i o nw i t h i na l lo r d e r e dp r o d u c t( i w o p ) ) 技术能使得量子理论中的一些可对易函数的运算在算符上很难实现的计算简化。通过分析热场动力学理论的特点，运用量子纠缠理论引入热不变相干态，就可2连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论能导出其w i g n e r 函数和引入新的热激发态，进一步发展热场动力学理论。1 2 量子纠缠如果在量子力学中能够制备两个粒子态，它们之间的关联不能用经典理论解释，这样的态就称为纠缠态，量子纠缠指的是两个或多个量子系统之间的非定域非经典的关联。量子力学中纠缠态的概念最初是由爱因斯坦等人为了论证量子力学几率波解释的不完备性而提出的，称之为e i n s t e i n - p o d o l s k y r o s e n ( e p r ) 佯谬 2 l 】。1 9 3 5 年e i n s t e i n( 爱因斯坦) 、p o d o l s k y 与r o s e n 在物理评论上发表了题为量子力学对物理实在的描述完备吗? 一篇论文。他们指出，按照量子力学的常识，会存在一些两粒子态，若测量粒子l 的某个可观测量时，这两个粒子是分离得如此远，以至于在测量粒子l的有效时间内对另一个粒子不可能施加任何影响。对于这样的两个粒子态，e p r 引进了“物理实在”的概念，当对第一个粒子物理量的一次测量结果能够确定地预言第二个粒子的相应物理量而又不干扰该粒子，那就存在物理实在的一个元素以对应此物理量，即第二个粒子有这样一个物理量值，而不管它是否实际上被测量与否。这在某种意义上与通过测量才能告诉我们事实这一事实相悖，以致使人困惑。更令人迷惑不解的是对粒子1 的共轭于上述物理量的可观测量作测量，其结果又能预言粒子2 的相应共轭量的值。一般而言，该粒子的相互共轭的算符并不对易，按照量子力学理论，它们不能被同时确定。这一点似乎又告诉我们，不管你决定去测量粒子1 的一个变量还是与之共轭的变量，当第二个粒子相距得足够遥远，这种测量也会影响到第二个粒子。于是自相矛盾就出现了。这导致e p r 得出现行的量子力学是“不完备”的结论。e p r 佯谬主要包括两方面：l 、量子力学波函数描述的完备性与否；2 、量子力学对定域原则的违背。由此激烈的辨论引出了量子力学当中最诱人的概念纠缠。事实上，两粒子的这种非局域性的关联在实验上被观测到了，而且这种非定域效应是量子力学的基本特征，能反映e p r 佯谬( p a r a d o x ) 的这种态就称为纠缠态 2 2 2 3 】。纠缠是量子力学特有的概念，反映了量子两体或多体系统之间的相关与不可分离性。对于两粒子系统，处于纠缠着的两粒子，没有一个粒子能单独有一个态。即处于连续变量纠缠态表象在量了测量和热场动力学中的应用第一章绪论纠缠的粒子没有相互独立的态，或者甚至没有独立的性质。纠缠可以分为两大类，一类是存在于单光子之间的纠缠，即通常所说的分离变量纠缠，主要是利用非共线i i 类相位匹配的自发参量下转换，产生的两个偏振正交的单光子，它们的偏振之间存在纠缠【2 4 】；另一类是存在于光场的具有连续谱的正交分量之间的纠缠，即连续变量纠缠，这一类纠缠可以利用非简并光学参量放大器直接获得 2 5 2 7 ，也可以通过简并光学参量放大器先产生单模压缩态，再通过线性光学分束器耦合而得蛰j 2 8 3 0 】。虽然有限的纠缠以及纠缠对损耗的敏感性给连续变量纠缠的应用带来一定的困难，致使连续变量量子信息发展较慢，然而连续变量与分离变量一样服从量子力学规律，分离变量具有的功能连续变量同样具有。人们已经证明，许多量子通讯当中不可缺少的环节，如态制备、态操作、光传输以及探测，都可以在连续变量系统中高效率地完成。例如，应用成熟的非线性光学技术，实验上已经可以高效率地产生决定性的连续变量纠缠 2 8 ，3 1 - 3 3 等等。正是由于这些原因，量子信息已被扩展到连续量子变量体系中。事实上，许多量子变量，例如粒子的位置和动量，光场的正交分量都是连续的，最初e p r 佯缪就是在连续量子变量( 粒子的位置和动量) 的基础上提出的。1 3 连续变量纠缠态表象量子力学表象论是狄拉克( d i r a e ) 在1 9 2 6 - - 1 9 3 0 年期间首先提出的【3 4 】，它是量子力学的数理基础之一。表象是解动力学薛定谔方程的“载体”，选择合适的表象有利于算符的对角化。应用有序算符内的积分( 1 w o p ) 技术可将原本只能应用于可对易的c 数函数的牛顿一莱布尼兹积分公式有效地推广到由k e t b r a 组成的不对易量子算符( q 数) 中去，大大简化了量子力学新表象和新算符的寻找过程。为引入连续变量纠缠态表象，我们先回顾一下相干态表象及其相关知识和有序算符内的积分技术。1 3 1 相干态表象相干态 3 5 - 3 7 在近代物理中的应用非常广泛，它不但是一个重要的物理概念，而且是理论物理中的一种有效方法【3 5 】。它可以非常自然地解释一个微观粒子系统怎样能够表现出宏观的集体模式，从而给出量子力学的经典对应。相干态表象是量子光学4连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论中一个有用的表象，激光的量子力学描述就是相干态。早在1 9 2 6 年薛定谔提出了在谐振子位势的研究中找最接近经典情形的态，这就是相干态这一物理概念的雏形。到了1 9 6 1 年，美国物理家、数学家k l a u d e r 从数学形式上给出了谐振子相干态在f o c k 空间中的表达式及完备性【3 5 】。1 9 6 3 年，美国物理家g l a u b e r 把相干态用于研究光的相干性，并认为激光的量子力学解释就是相干态【3 6 - 3 7 ，他因此获得2 0 0 5 年诺贝尔物理奖。相干态是谐振子湮灭算符的本征态，又是使坐标一动量不确定关系取极小值的态。人们对相干态的研究与应用的兴趣与日俱增 3 5 ，3 8 】。1 量子力学的常用表象狄拉克于1 9 2 6 年出版了著作量子力学原理 3 4 ，在书中狄拉克创立了符号k e t i ) ( 表示右矢量，里面是态参量) 和b r a ( i ( 表示左矢量) ，在它们中填入一定的参量就可表示h i b e a 空间中一个特定的矢量，对应于一定的量子力学态，如坐标本征态l x )以及它的共轭态( x i 。常用的基本量子力学表象有坐标本征态表象、动量本征态表象和粒子数表象。设x 为坐标算符，尸为动量算符，i x ) 和i p ) 分别为z 和尸的本征态，且x 和p 满足海森伯正则对易关系( 式中壳为普朗克常数) 3 4 】【x ，尸】- i h 。( 1 1 )则i 石) 的本征方程为坐标表象是完备和正交的类似地，动量本征方程为x l x ) = x i z ) 。e 出愀x l = 1 ，( x l x ) = 万( x x ) 。p l p ) = p i p ) 。( 1 2 )( 1 3 )( 1 4 )( 1 5 )连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论动量表象也是完备及正交的e d p p ) ( p = 1 ，( p l p ) - - - 万( p p ) 。用x 和p 来表示湮灭算符a 与产生算符口+ ，则有口= 击 厣+ z 去 ，弘西l 、百n 1 了萧i 儿击 厣一，击 ( 1 6 )( 1 7 )( 1 8 )( 在f 向的讨论中为了方便起见，取壳= 国= m = 1 ) 。显然，产生算符口+ 和湮灭算符口有对易关系 口，口+ = 1 。粒子数算符= 口+ 口，相应的本征态为i 甩) ，则协嘉1 0 ) ，9 ，这里i o ) 是真空态，a l o ) = o 。粒子数表象k ) 是完备的 3 9 】i 门) ( 胛l = 1 ，( 1 1 0 )而且口i 甩) = 石卜1 ) ，a t i 刀) = 鬲卜1 ) 。( 1 1 1 )由以上关系可以写出坐标本征态i x ) 在f o e k 表象中的表达式= z r - v 4c x p 愕+ + 一讣) 。动量本征态l p ) 在f o c k 表象中的表达式为l p ) = n - v 4e x p 愕+ 疡n 钟) 。n 2 相干态的定义及性质归一化的相干杰表达式是6连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论z = e x p e 绷+ 一z 口 j 。) 三l 三 ，( 1 1 4 )其中z 是复数，i z ) 是湮灭算符订的本征态，a l z ) = z l z ) 。相干态满足超完备关系相干态并不正交，两个相干态的内积为( z i z ) = e x p ( 一圭i z l 2 一圭i z 2q z i z * ) 。相干态的波函数为矧z ，= n - v 4e x p 卜譬+ 届一对钏z ，= 7 r - v 4 e x p 降譬一廊+ 卦利用正则算符( x ，p ) ( 这里x 为坐标算符，p 动量算符)( 1 1 5 )( 1 1 6 )( 1 1 7 )( 1 1 8 )x = ( 口+ 口+ ) 压，p = ( 口一口+ ) f 压，i x ，尸】= f( 1 1 9 )相干态l z ) 可改写为以下正则形式。扣i ) _ e 帅( 一x p ) l 啦，( 1 2 0 )这里z = ( x + 咖) 乏。由对易关系【x ，p 】= f 可知( p , x l x l p ，x ) = 石，( p , x l p l p ，x ) = pa 对于某个量子态j 甲) ，相干态i p ，x ) 能生成它的经典相空间表示v ( p ，x ) - - ( p ，x l v ) 。因此，相干态可为量子系统提供很好的经典相空间描述。在相干态中出现的n 个粒子的几率为i ) 降阿簪，它是个泊松分布。又由( z i i z ) = h 2 ，( g i n 2i z ) - - i z l 4 + l z l 2 得7( 1 2 1 )连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论( a n ) 2 = l z l 2 ，a n ( ) - 南，( 1 2 2 )表明当i z l 大时( 平均光子数多) ，粒子数( 能量) 量子起伏变小，接近经典场。1 3 2 有序算符内的积分技术有序算符内的积分技术 4 0 4 6 1 使得狄拉克的符号法更完美、能更具体地表达物理规律。它具有物理上直观、内涵丰富、数学简捷的特点，因而能解决一些悬而未决的问题。例如，将坐标本征态表象的完备性关系( 1 3 ) 式稍作改动，可定义算符u 三嘉胁i ，删2 3 ，上式中的k e t 和b r a 不再对称，因此无法明显看出该积分的结果。但就从这个积分的形式上分析，( 1 2 3 ) 式中的积分事实上是将经典的压缩变换x 一通过坐标表象投影到了一个量子力学幺正算符上。有序算符内的积分技术正是为解决形如( 1 2 3 )式的算符积分而产生的。这里所指的有序算符主要是正规乘积排序的算符。1 正规乘积性质 4 7 】正规乘积起源于量子场论，在l o u i s e l l 的q u a n t u ms t a t i s t i c a lp r o p e r t i e so fr a d i a t i o n ) ) 书中 4 8 】有介绍。不失一般性，玻色算符a 与a + 的任何函数可写为i ( o ，口+ ) = 口叫口口州a m f ( j ，七，m ) ，其中，七，m 是正整数或零。利用玻色算符的对易关系i 口，口+ l = 1 ，总可以将所有的产生算符口+ 都移到所有湮灭算符口的左边，这时我们称厂( 口，矿) 已被排列成正规乘积形式，用记号：表示算符的正规乘积排序 4 8 1 。正规乘积有以下一些重要性质：( 1 ) 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。即a + a = ：a + a ：，又因矿a = ：a a + ：，所以有：a + a ：= ：a + a ：。( 2 ) c 数可以自由出入正规乘积记号。( 3 ) 只要积分收敛，以正规乘积排序的算符可以被当作c 数一样对其进行积分连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论运算。( 4 ) 正规乘积内的正规乘积记号可以取消。( 5 ) 正规乘积内部算符函数的和与差可以分拆，即：( 形矿) ：= ：形：v ：( 6 ) 正规乘积：( 口+ ，口) ：的相干态矩阵元为( z i ：厂( 口+ ，口) ：l z ) = 厂( z ”，z ) ( z l z ) 。( 1 2 4 )( 7 ) 真空投影算符l o ) ( o i 的正规乘积展开式是i o ) ( o i = ：p 。4 ：。( 1 2 5 )这里口i o ) = o 。( 在l o u i s e l l 的书中，i o ) ( o i = l i m 删：p 一_ ：。上式的严格证明参见文献 4 5 ，4 8 】)( 8 ) 厄米共轭操作可以进入：内部进行，即：( 形v ) ：+ = ：( 矿y ) + ：有了正规乘积的这些性质，便可以将( 1 2 3 ) 式中的被积算符函数化成正规乘积内的积分形式进行计算。2 有序算符内的积分技术下面以( 1 2 3 ) 式中的积分为例，具体介绍有序算符内的积分技术。利用( 1 1 2 )式可以将( 1 2 3 ) 式重新写成u 暑嘉胁l = 去e 舌孵1 0 ) ( 0 i e 扣。2 6 ，至此，对于x 的积分仍然不能进行，因为真空投影算符l o ) ( o i 和指数上的算符都是不对易的。将( 1 2 5 ) 式代入( 1 2 6 ) 式可得u = 舞p 舌压矗p 。一争廊。n 2 7 ，注意，这里：e 1 + 口：的左侧全是产生算符，而在它的右侧的则都是湮灭算符，因此整个被积函数事实上处于正规乘积形式。根据性质( 1 ) 可以将上式重新排列成9连续变量纠缠态表象在量子测量和热场动力学中的应用第一章绪论u = 去蚓州+ 口) 如+ ) 2 ：。( 1 2 8 ，根据性质( 7 ) ，可将式中的产生算符a + 和湮灭算符a 看成c 数而进行积分。设= e 五，贝, l js e e h 2 = l + 2 , u 。，伽 1 l l 五= 万, u 2 + 1 ，进行积分后可得u = 辱e x p掣1 引：l + _2 l ”，：( s e c m ) 怛p 一譬t 柚h ：e 陋胁- ) 口“：p 譬t 柚h 五( 1 2 9 )上式就是很多文献中提到的单模压缩算符的正规乘积形式【4 9 - 5 l 】。在上述过程中，虽然算符a + 和a 被排列成正规乘积后可以被看成c 数而对它们进行直接积分，但它们作为算符的本质并没有因此而改变。所以当积分完成后，如果要除去结果中正规乘积记号：，应当同时恢复它们的算符本质，即算符的不对易特性。利用正规乘积性质可导出以下算符恒等式：e z a * a = 窆p 加愀刀i = 薹p 知鲁：p 1 _ ：扎：e x p i ( e a - 1 ) 口+ 口 ：( 1 3 0 )n = on ；o，i ：一由( 1 3 0 ) 式，( 1 2 9 ) 式就变为u 暑寺胁k 刨山专卜p 和。3 ，这样，应用有序算符内的积分技术就完成了( 1 2