（岩土工程专业论文）桩波动性状若干问题的研究.pdf

浙江人学博十学位论文：桩波动性状若干问题的研究 桩波动性状若干问题的研究 摘要 本文用弹性动力学方程研究了无限长埋入桩的波动性状的若干问 题。针对轴对称情况，推导了纵向模态的频率方程。频率方程代表了 无量纲频率和无量纲波数之间的超越关系。频率方程的解为无究多个， 并且形成无穷多支频散曲线无量纲频率一无量纲波数曲线) 。本文用 数值方法计算了在软土与硬土中混凝土桩的前j 支频散曲线。敏感眭 分析表明，无量纲波数实部与桩周土的剪切模量和密度无关，并与自 _ - 、一 由杆很一致。而波数虚部则，随着桩周土剪切模量与密度的增大而增 大， 一 f 一导波模态单位长度的衰减可以直接由波数虚部来代表。相速度和 j 。群速度随频率或波数而变化，这点与一维波动理论的假设相反。随着 曲线分支阶次和频率的提高，导波模态的能量及位移分布益线的起跌 程度也相应增大。当无量纲频率低于2 时，l ( o ，1 ) 模态衰减最小， 容易被激发，这点与实际中广泛采用的频响函数测试法( 导纳法) 相 印证。当无量纲频率高于1 2 时，模态l ( o ，2 ) 衰减最小，其模态相对 一 比较简单，这意味着这些模态在实际中也可能被激发y 卜 。 浙江大学博：e 学位论文：桩波动| 生状若干问题的研究 s o m ea s p e c t so ft h ew a v eb e h a v i o ri np il e s a b s t r a c t g u l d e dw a v ep r o p a g a t i o rina ni n f in i t e l yl o n gc y i in d r i c a p ：1ee m b e d d e d lns o ijis d e v e l o p e d f r o m d y n a m j ce q u a l l o n s o f e i a s t i c i t y c o n s l d e rl n g a x is y m m ec r icm o t i o ni nt h ep i le t h ef r e q u e n c ye q u a t i o nf o rl o n g i t u d i n a m o d e sl sd e r iv e dh e r e in t h ef r e q u e n c ye q u a l i o nr e p r e s e n t sat r a n s e e n d e n t a l r e l a t 【o n s h i pb e t w e e nt h en o n d i m e n s i o n a lf r e q u e n c y q ，a n dr o l l d 】m e t l s i o e a ! w a v en u m b e r ，扣t h es o l u t i o no t t h ef r e q u e n c ye q u a t i o ni ss a t i s fl e db ya n in f i n i t en u m b e ro fm o d e st h a tf o r mb r a n c h e si n q c ap l a n e t h ef i r s zf i v e b r a n c h eso ft h e1 0 n g i t u d i n a lf a r o f1 yo fm o d e si nac o n c r e t ep il ee m b e d d e di n s or l ，i o o s ea n dh a r d d e n s es o i lsw e r en u m e r i c a l l y e v a l u a t e dr e s p e c ：v e ! v s e n s l n t ya n a ly s e s s h o wt h a tt h er e a lb r a h e h e si nt h e q 一4 apl a n e a r e e s s e n tl a l lvjn d e p e n d e nco ft h es h e a rm o d u l u sa n dd e n s i t yo ft h es u r r o u n d i n g s o il ，a n dc o r r e s p o n dc l o s e l yt ot h eb r a n c h e so f l o n g i t u d i h a l m o d e si na f r e e sl a n d i n g p i l e h o w e v e r ，t h ej m a g i n a l yc o m p o n e n t so ft h eb i a r c h e si n t h e q c ap l a n e a r e h i g h e r f o rs o ll sw it hi n c r e a s e ds h e a rm o d u l u sa n d d e n s ic y t h ea t t e n u a t i o no ft h e 1 0 n g i t u d i n a lg u i d e dw a v em o d e s i s r e p r e s e n t e d d jr e c t lyb yt h ei m a g j n a r yp a r to ft h ew 1 v en u m b e r i nn e p e r sp e r1 e n g t h t h e p h a s ea n dg r o u pv e l o c i t i e sv a r y w i t ht h ef r e q u e n c yo rw a v en u m b e r c o i l t r a y t ot h ea s s u m p ti o n sm a d ei nt h et h e o r y0ft h eo n e d i m e n s i o n a la p p r o a e h t h e p o w e ra n dd is p i a c e m e n tp r o f i l e so fag i v e ng u i d e dw a v em o d eg e n e r a l l yb e c o m e 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 m o r eo s ci1 l a t o r ya st h eo r d e ro ft h eb r a n c hi n c r e a s e sa n dh st h er r e q u e n c y ir c r e a s e s f o rr o nd i m e n s i o n a lf r e q u e n c i e sl e s st h a n2 ，t h el ( 0 【) m o d e s d l s p 【a yt h ei o w e s ta t t e n u a t i o na n da r ee a s fi yi n d u c e di nap e ，a se v i d e n c e d b y t h ep o p u l a r i t y o ft h e i m p u s er e s p o n s e t e s ti np r a c t i c e m o d e so nt h e l ( 0 ，2 ) b r a n c hh a v et h e1 e a s ta t t e n u a t i o rc o m p a r e dt oa l lo t h e r m o d e s f o r r o r d i m e n s io n a f r e q u e n c ie sa b o v e1 2 a n dt h e irr e a t iv es i m d lem o d es h a p e s s u g g e s t t h a t t h e ya r el i k e l y t ob ei n d u c e dl np r a c t i c e 浙江走学博士学位论文：桩波动性状若干闯题的研究 第一章绪论 1 1 桩基动力学论发展概况 桩基础是现代土木工程中广泛应用的一种基础形式，特剐是在高层建筑、桥 粱、大型动力机器、海岸码头，海上平台等韵基础工程中，采用桩基础常常是最为 合理的。 在桩基础的研究方面，桩基动务学主要咀机器动力荷载、地震荷载、波浪反 复荷载以及桩顶在动力荷载( 动测时) 作用下的性状，用动力测试方法检验成桩的 桩身质量以及用波动方程分析打桩过程和预测桩的承载力等课题为研究内容。桩墓 动力学对桩的分析大致可分为振动法与波动法两类方法。振动法包括分类频减方 法，其采用的理论分析方法主要是动力学中的驻波法( 或称分离变量法) ，其解取 无穷三角级数形式。频域分析法已取得了很大进展。t a g i m ( 1 9 5 9 ) 针对单桩在粘弹 性土中受桩项竖直简谐激掂的单桩响应，忽略了土的竖向响应，发展了频域下的闭 合解析结果。n o v a k ( 】9 7 4 ) 曾使用w i n k l e f 土模，即在连续介质力学模式中引入平 面应变假定，假定土体是由一系列互不相关的无限薄层组成，波在土中只沿水平方 向传播土体的应力一应变关系。符合平面应变假定。利用这些薄层在圆孔周边的 力一位移关系，沿桩身周边积分求得桩测土的总反力再按刚度定义写出桩侧土作 用的参数引入波动方程而得土的动力复刚度公式。n a g a m i 和n o v a k 等利用波动方 程法对各种类型土层中的单桩进行频域下的动力分析求得单桩动力复刚度。 a n g e li d e s 和r o e s s e t ( 1 9 8 0 ) 则针对非线性单桩基础，改进了以前由b 1 a n e y ( 1 9 7 6 ) 等作的有限元程序，考虑了频域下的非线性特性。其它如陈昌聚、王勇等( 1 9 8 5 ) 在桩周土的线性弹簧和线性阻器的模型下，用机械阻抗法求得了标准桩的竖向幅频 响应函数，并在此基础上发展得到了任意变阻抗桩的竖向幅频响应函数的递推方 法。张阿舟、赵淳生( 1 9 9 1 ) 又在忽略桩底阻尼作用的前提下，导出了标准桩的自由 浙i 工大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 振动特性。其后，王奎华( 1 9 9 7 ) 在桩基纵向振动研究上取得了很大的进展。他也是 在忽略桩底阻尼作用的前提下，运用一维波动方程，得到了非完整线弹性体桩和 v o i g t 体桩的自由振动特性，并用振型分解法求得了有限长非完整桩的受振动级数 形式的解析解，以及在忽略桩端附近材料粘性的假设下，导出了有限长非完整v o i g c 体桩的受迫振动解。 波动波包括多种波动方程的时域分析方法，主要采用的理论是行波法( 或称 特征线法) 。波动法所应用的方程是古典的一维波动方程，或是将反映桩周土作用 的参数引入到一维波动方程而得。 s m i t h ( 1 9 6 0 ) 首先提出了基于一维波动理论的打桩问题计算公式，他将桩锤一 桩一土系统离散化为一系列质量一弹簧单元，分析了系统的模拟问题，定义了模拟中 所涉及的全部参数，并根据各种不同的应用实例，提供了这些参数的建议值，使波 动方程分析方法开始进入实用阶段，此后，s a m s o n 及h i r c h ( 1 9 6 3 ) 、f o r e h a n d 和 r e s e ( 1 9 6 4 ) 、l o w e r y ( 1 9 6 7 ) 、c o y l e ( 1 9 7 1 ) 、f e l l e n i u s ( 1 9 8 4 ) 、f i s h e r ( 1 9 8 4 ) 、 r a u s c h 及g o b l e ( 1 9 7 2 、1 9 8 5 ) 、m f d d e n d o r p ( t 9 8 8 ) 等人计算机程序的编制、参 数的确定、可靠性研究以及波动方程法的实际应用方面都做了大量工作。v a nk o t e n 与m d d e n d o r p ( 1 9 8 0 ) 还在简化化条件下，运用一维波动方程，利用线性代换和 阶跃函数，求得了半无限长桩在锺击条件下考虑桩侧土阻力对应力起衰槭产7 e 作用 时的解折解。 以上所述研究工作，大多是把桩作为一维杆件，把土对桩的影响用若干参数 代替，也就是晚把三维的桩一土体系简化为一维体系进行分析。而用更加符合实际 情况的三维体系进行的理论分析，由于数学、力学上的困难一直未有明显的进展。 1 2 本文主要工作 根据上述对前人在桩基动力学理论上的研究工作的回顾，本文主要做了以下 的工作： ( 【) 用三维线弹性动力学理论推导无限长桩的运动频率方程通式，并求得桩 浙江大学博：匕学位论文：桩波动性状若干问题的研究 一土体系用势函数表示的位移、应力表达式。 ( 2 ) 着重对桩的轴对称纵向振动模态进行研究。将频率方程表达为无量纲形 式，并推导了无量纲位移与无量纲应力的解析表达式。引入波动能流归一化系数。 以使各模态之归一化的无量纲位移与无量纲应力的径向分布可直接进行比较。 ( 3 ) 用数值法求解频率方程，得到了埋入桩纵向模态频散曲线，并对频率方 程及其数值解进行验证。还分折了桩、土的剪切模量比和密度比等参数对频散曲线 的影响。 ( 4 ) 详细研究各导波模态的波数，给出了应力波衰减的计算方法。对比研究 了一些典型模态的归一化能量、位移的径向分布情况，并考察了相速度与群速度随 频率的变化规律。通过分析，为桩基动测提供一定的理论基础。 浙江大学博- b e t 立论文：桩波动性状若干问题的研究 第二章桩基波动频率方程 2 1 引言 本章推导了无限长埋入桩( 圆柱形) 的波动频率方程。当桩受到激励时，假设 波的传播沿两个方向，一是沿桩长度方向传播，一是从桩身向土沿径向传播。 运动方程可由三维弹性动力学理论推导而得。桩、土均假设为各向同性均质线 性弹性体。 桩土体系的位移和应力均用标量和矢量的形式来表示。频率方程通式由边 界条件列出，并从中解得三种简单的运动形式。 2 2 1 概述 2 2 频率方程 本小节推导土中无限长桩( 圆柱形) 的波动频率方程。如图2 - l 所示的桩土体 系，纵坐标z 轴与桩的纵轴重合。 对于各向同性均质线性弹性体，其运动位移方程可由n a v i e r s t o c k e s 方程给 出： u ，川，m 照v u 即，争 ( 2 1 ) 这里t u ，为位移矢量，p ，为密度，兄，与，为拉梅常数。下标j 用来区分桩和 f 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 土，j = p 时指桩，j = s 时指士。v 为h a m i h o n 算子，v2 为l a p l a c e 算子。在柱坐 相、f 其中， r 图2 1 桩一土体系简图 有： v ：旦7 + ! 旦百+ 旦： 融re 0e z 2 , 21a1a 二品： v 二= _ = ， _ + 三二+ ；竺了+ 二丁 0 r 二 r0 r r 二0 目2恐二 r ，e ，z 分别是径向、法向和轴向的单位矢量。 2 2 2 边界条件 ( 2 - 2 ) ( 2 - 3 ) 假设桩、土是紧密结合的，这样在桩一土交界处位移与应力连续。方程( ! 1 1 的解必须满足下列边界条件： 1 位移： 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 2 应力 2 2 。3 势函数 j ，r ， r ，。，1 b 3 、。 2 矿”、 = 。i = r 。 由波动方程的拉梅分鼹，位移矢量可由标量势函数表示为 u = v 巾+ 可v vv = f ( r ，口= ，) ( 2 4 ) f 2 5 ) f 2 6 ) r 2 7 1 式中，_ ，为标量势，v 为矢量势，f ( r ，目= f ) 为某一函数( 将在后面选定) 。展 开式( 2 6 ) ，可将位移各项表示为： 聊，1a p 二i8 q 8 ， “，2 可+ 7 1 矿一 10 庐0 吵，a p = ，2 ；畜+ i 一手 ( 2 - 8 ) r 2 9 ) ，= 警弓掣壬等( 2 - 1 0 )“2 i + 7 j _ 一了育 根掘波副方程的拉梅分解理论t 如果标量势妒，和矢量势之分量”，、y 。，与 q , - 。分别满足如下的标量波动方程( 2 11 ) 和矢量波动方程( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 及( 2 1 4 ) 那么由式( 2 - 8 ) - ( 2 1 0 ) 得到的位移向量就满足运动方程。 唧，= 专擎 p 叫 i 却 r r r ， 3 t “ “ “ i | = = u “ d 忙 忙 肛 p p p ， 9 _ _ “ “ “ 7 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 可2 一等一7 2 百0 q , o , j ( 2 1 2 ) 唧一等号等= 专争 陋 咖。= 毒等 p 其中，c 和c ，分别为纵波( 拉伸波) 和横波( 剪切波) 之波速。 假定位移的传播呈稳态简谐，9 1 l j 势函数可表示为： 妒，= f ( r ) o 十( 臼) p ”“。 ( 2 - 15 ) 虬，= 舡( r ) ( 占) p ”一乒 ( 2 2 0 ) = h 目( ，) o 口( 口) p ”一乒 ( ! 一2 0 虻，= m ，( r ) 。_ ( 曰) p “”。 ( ! 一2 2 ) 其中t 厂融，和 是径向坐标r 的任意函数，o 。，o ，0 a ，和。二是角坐标。 的任意函数，u 为圆频率，为波数。 将这些函数式代入势函数波动方程，可得到这些函数的形式。将式2 - 15 ) 代 八式( 2 11 ) ，得： 万r 二矿o z f ；+ 砉笪o r + 古0 等( 鲁c 掣) _ o ( 1 9 ) j ? e r z f ?。e e i j i i j 引入下面的记号： 。，2 ：兰一g 2 【2 0 ) 2 - 2 0o ，2 i 了一；。 【 o i 则式( 2 1 9 ) 变为： 等t 等0 0 拿0 0 仙，：，二：。 b ：， f j 西!，f 却 1。 运用分离变量法，将式f 2 2 1 ) 重写为： 堂皇立苎坠垦圭兰堇兰兰生墅壅i ! 堡苎董塑矍墅业塞 ! ：! 塑+ 二堡2 l a 2 0 ， 万矿十万芳地，1 p2 一毒矛2 n 2 f 2 _ 2 2 ) 其中，n 为某一常数。 从上式可以得到以下两个式子： “。r 。b ，! 擎+ r 誓+ e l 2 r z _ 2 ) 厂：。 b ! 。， 方程( 2 _ ，3 ) 是一个二阶常系数偏微分方程，而方程( 2 2 4 ) 是n 阶b e s s e l 。，= c 1 c 。s ( n 臼) + c 二s i n ( 臼) ( 2 - 2 5 ) 式中，c l 和c 二为常数。 对于函数。，边界条件即为在。方向具周期性，i ! i ，j k o i 必定为。的连续 函数，并连续可导。这样t n 就是一个整数。同样地，将式( 2 1 6 1 、 2 - 17 ) f 受1 2 - 18 ) 的势函数代八式( ! - l 2 1 、 2 - 1 3 ) 及( 2 一1 4 ) 等矢量波动方程，就町得到关f 、 。“和。一的类似结果a 由于纵向、扭转和弯曲模念与角坐标。的相关性，可以 除去。、0 一o t 和。= 表达式的正弦项或余弦项。于是，势函数的表达式 变为： 口。= f i t r ) c o s ( n 0 ) e ? t “。 p ，= h ，f r ) s i n ( n s ) e “# 妒口= ( r ) c o s ( n o ) e “。 二2 二( r ) s i n ( n o ) e “ 式( 二2 4 ) g jn 阶b e s s e i 方程，其通解为 ( r ) ：a ，z 。( i ) + 且形，( i ) ( 2 - 3 0 ) 种 卧 外 舀 奶 亿 b b 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 式中，爿，? 和b 。为常数盘? 为口，的模。当口，为实数时，z ，和肜，分别为筛 类b e s s e l 函数j 。和第二类b e s s e l 函数，而当口为虚数时，则z 和眠分别为 第一类修正b e s s e l 函数，。和第二类修fb e s s e l 函数k 。 将式( 2 2 7 ) 与( 2 2 8 ) 代入式【2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) ，得： 萼+ 拿+ 吉“一：鸭_ h ：”：o(2_，or o rc rr 。1。 二 j 婆+!拿+士(砒+2nh，一hoo h ，+ 魂，：o (，-，：)rro rc 一 ，一 ： 式( 二一3 1 ) 减去式 2 3 2 ) ，得： a 一( 一h e ) o r io ( h ，一h 目) r o r + ( 车一害! ) 一业坚m 一 。) ：o ( 2 3 3 ) c ：7 r ” 卢_ 0 9 -【2 3 4 ) 上式代入式( 2 3 3 ) 得； 掣+ ；翌掣邶譬m ，丸) _ 0b，s)or o r pr 。 式( 2 - 3 5 ) 为b e s s e l 方程，其通解为 ，一h e = a 2z 。l ( p ，r ) + b ! 肜( 卢，) f 2 3 6 1 式中，爿- 和b 为常数，卢，为，的模。当，为实数时，z 。和睨+ 1 分别代表 第一类b e s s e l 函数j 。和第二类b e s s e l 函数r ，t 而当少，为虚数时，则z 。l 和 肜r + 1 分别代表第一类修订三b e s s e l 函数，。和第二类修正b e s s e l 函数k p 将式( 2 3 2 ) 与式( 2 31 ) 相加，得： 里塑型望兰生兰兰! ! ! ! 墨壁垫垫些丛董王塑望塑竺塞 ! ：! 掣+ 掣+ k 学k ：。 弘，。， 式( 2 3 7 ) 是一个关于+ 目的b e s s e l 方程，其通解为 n + = a 3 j z 一( 3r ) + 马，睨一i ( f i r ) f 2 3 9 ) 式中r 爿s ，与b 为积分常数，这两个常数可通过对函数，( ，口，：，f ) 施加规范化 条件而消除。因为任何等容势可以置为零而不会丢失解的一般性，故一个等容 势所对应的位移场可以由另两个等容势的组合而导得。这样，令爿，：b 、：0 ， 得： h _ = 一h 日 将上式代入( 2 3 6 ) ，得： h ，2a 4 ，z 。i i p ，r 、+ b | ，w ，t 8j r 、 争、耻扛 最后将式( 2 - 2 9 ) 代式( 2 1 4 ) ，得： ，! 兽 垫4 - ( 印! ) h o r 。：。 ，一 + r r 口二r ! 一儿二、= n e r 。 。 。 上式也为b e s s e l 方程，其解为： a 。( ，) = 爿，z n ( f l r ) + 日s w n ( f l , r ) 式中，爿，与占；为常数。 2 2 4 势函数中径向函数的选择 ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) ( 2 4 2 ) 势函数中径向函数的通式已由上节给出了本节将选定径向函数。由于式f 2 3 9 ) 所示的相等性质，所咀在标量势与矢量势只有六个径向函数，其中三个对应于 | 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 2 - 8 桩，另三个对应于土。其具体的表达形式则依赖于问题的几何条件与边界条件。 考虑由式( 2 3 0 ) 、( 2 4 0 ) 丰d ( 2 4 2 ) 给出的对于桩的径向函数。由于桩体为固体， 所以在桩的中心( 即r _ 0 处) 这些函数必为有限而b e s s e l 函数y 与k 则因 趋近于无穷而变为不适合。这样，径向函数给出为如下形式： l = d l p z 。一r ) ( 2 4 3 ) h 。= a 4 p z 。( 。r ) ( 2 4 4 ) h ，= 爿5 f z 。+ l ( ，r ) ( 2 4 5 ) 同样，对于土体也可给出合适的径向函数。在2 2 2 节中曾提到，桩中的谐 波导致波动能量沿径向从桩传向土中。所以，这些函数应能代表径向逐渐消减 的外向波，而边界则为无限远处。虽然b e s s e l 函数本身并不能描述这种波动形 式，然而却可用来组成h a n k e l 函数，而h a n k e l 函数可以描述这种波动形式。 于是，土的径向函数可给出如下： 工= 爿。h ，( 口；，) ( 2 4 6 ) h 。= a 4 , h 。i + z ( 卢。，) ( 2 4 7 ) h 二、= 爿；、e 1 1c p 、r ) ( 2 4 8 ) 式中h i 。为第二类型h a n k e l 函数： 2 2 5 位移 于是，位移可用势函数来表示。将式( 2 2 6 ) 、( 2 - 2 7 ) 、( 2 - 2 8 ) 及( 2 2 9 ) g 。2 偏导 数，代入式( 2 8 ) 、( 2 9 ) 及( 2 10 ) ，得： 塑坚查兰苎兰兰竺堡苎! 壁婆垫竺堡董塑璧塑竺塞 ! ：! 。：兰+ ! 监一监 甜r 0 目a 2 ，c 0 s ( 棚一“+ ；bc o s ( 叫。“j _ 。如c o s ( 一o ) e , t w e - 。( 2 - 5 0 ) 2 ( ，：+ ；一魄) c 。s ( 一目) e “刊 矿訾警号 浯。 = ( 一；f f 纸一 。) s i n ( 一目) 。岬剞 。 址：盟+ 10 ( r 矿e ) 三型 ：k 。一生1 瓜。嘲 汜巧23 式中厂、 二、和 ：代表关于，的一阶导数。 为方便起见，将式( 2 4 0 ) 中的a q 和b 两个系数定义为包含一i ，就可以在 上三式中以 ，代替f 。以 ：代替一i h 于是位移可表示为： 目，。2 ( + _ 。n k ，+ 乳) c 。s ( ”曰) p “ 2 ( ；厂，纸- r 。) s i n m 口) e 一嘲 一- 影, - h 。一导r 。 。c 删。”呻 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) f 2 5 5 ) 将式( 2 - 4 3 ) 、( 2 - 4 4 ) - 与( 2 4 5 ) 代八式( 2 5 3 ) 、( 2 - 5 4 ) 与( 2 5 5 ) ，可得到以第一类 型b e s s e l 函数及第类型修正b e s s e l 函数表示的桩体位移： “- 2 ( j + n 。h ，+ 珈，) c 。s ( 月目) p f f - i 讹云，元( 珀+ a s p ：nz - ，m 风( 孙。s ( 删乒，( 2 _ 5 6 ) ：f 一；+ 一 j 。j n ( 卿。岬剖 o j r 5 ，( 云们q 屈。( q ，万 ( 1 s i n ( 嗍。”咩、 ( 2 5 7 ) “，= i i 一亩0 一 二 2 i | _ a i 。羁( 浙江大学博士学位论文：柱波动性状若干问题的研究 半小咖跏t s e ，r ) - a 2 p ，z 。( 万，) 一一：，幽z 。( 万，) c 。s 印曰) 。忡一乒，。 厂 。 j ( 2 - 5 8 ) 再将f 列b e s s e l 函数的递推公式 z h ( x ) = z 。( x ) 一 z 。( z ) ：旦动( x ) 工x 代八( 2 5 6 ) 、( 2 - 5 7 ) 7 ( 2 5 8 ) ，并化简，可得 “，叫知c t p z 躯p r ) - a 4 p z i 西等m ，) 洳啪c o s 。 ( 2 - 6 2 ) 铲 - a l 一；z ( c t p r ) + a 4 p 券z 一( m 饥洲s ，耻一( m s i n 剞 “，：j - 爿l ，弘。( 五，r ) 一a ；，万，z 万，) 】c 。s 忉曰) e ”f - 耆 引入如下记号 式( 2 6 2 ) 与( 2 6 3 ) 可分别简化为 r “，= h ，三，z 。( 五，r ) 一爿；，弘：( 万。r ) + 爿。， l ( 2 - 6 5 ) f 2 6 6 、 9 o 5 6 6 2 ，一 2 旺乙 ，一r 一 )扛 月 z d 一 了r ( i i )扛 h ， z z 型。 撕 撕 爿 坐艮 = 4 搴 一w f ) ph “ 0c 1j ) r 一声( n z 门一， 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 铲卜川“，势万p r ) - a e p 酗知 s i n ( 嗍s 呻 类似地，可导得土体位移的表达式如下 r “。= h ，云。h 五，) 一a 。伊h 万。，) + l r： ”卜汐五卅 c 芳彤! ) ( f l , r ) - a 6 , h ，i ( 瓦一卜p ”_ 。 ：i - a l 。舛乳云、，) 一a 4 , 万。j 【，乳万；r ) 】c o s ( n 目) e 州啼 2 2 6 应变一位移关系 ( 2 - 6 7 ) ( 2 - 6 8 ) ( 2 6 9 1 ( 2 7 0 ) 在轴对称条件下，径向下应变，、切向正应变5 叭及轴向f 应变s 。可分 别表示为： 非零的剪应变为 1 f 1o u 。a ，“目、 5 崎。i l i 百 万了| 铲牾+ 等 ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) ( 2 7 3 ) ( 2 7 4 ) f 2 7 5 ) 一 p ) 曰” 故 0c 1；j ) r 一卢( 忙h h 胛一广 丽 一毋 ” 鸭一曲 一一，气r = ： 占 哂 。 l，；i1111 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 2 - 1 2 假定为小应变，体积应变为 | = ，i l 七6 0 0 七j l 将式( 2 - 7 1 ) 、( 2 - 7 2 ) 及( 2 - 7 3 ) 代入式( 2 - 7 6 ) ，可得 ：塑+ 堕+ ! 塑+ 塑 i 8 rrra e0 z 将式( 2 8 ) 、( 2 9 ) 及( 2 - to ) 代入式( 2 7 7 ) ，经化简，得： ：垡+ 甜2 = v 二毋， 2 2 7 应力一应变关系 r 2 7 6 ) ( 2 一了7 ) r 2 - 7 8 ) 在柱坐标下r 径向下应力o 。、切向正应力o - 柳及轴向正应力盯。分别为 盯。“，卟2 卢，誓 盯晰= - 五，协辟+ ；鲁， 口，一+ 2 塑 二二 j i j ? e z 非零的剪应力为： 2 2 8 应力 t 。：。正塑+ 监一堕1 7 m2 一7 葡+ 言一了 。，：，( 堕+ 塑) f ，。= ，( + 二) 出d r r 2 7 9 1 ( 2 8 0 ) ( 2 - 8 i ) r 2 _ 8 2 、 r 2 - 8 3 1 盟劳 + 盟护一厂峨可 塑坚查兰堡二! = 兰竺丝苎：堑些垫丝鉴董王望望塑翌窒 ! ：堕 现在可以用势函数来表示应力了a 由于本文以后未用到。口：及f 。故 此三项的计算省略。 1 、弪向- f 应力力口 将式( ! 】1 ) 代入式( 2 7 8 ) ，芦利爿j 式 ! 2 6 ) ，得： ，= 寿豢 = 一：孝厂c r ，c 。s t 。目，。，t “一。， 2 - 8 4 对( ! 5 j ) 取r 的偏导数，得： 等如+ 号”纸 c o s ( 呐。岫吲 b s s ， 再将式( 二- 2 0 ) 、c 2 8 4 ) 及( 2 8 5 ) g 式( 2 - 7 9 ) ，即得力d ，： a 。? = 一卫c a ；一- 孝! ，f + ：， 厂+ ；c j 一等，+ 勃j c 。s c ”曰，e c w = i ：、螬府力r ，“ 将式( 2 8 2 1 中的各项展开，有 ；鲁= 一形+ ；h g t + 吼 s i n ( 删e m 陋明 警- 【_ + 知一瓯一 渺( 删 ，( 2 - 8 8 ) 等= 卜号，+ 缸一如s j n ”；，( 2 - 8 9 ) 将以上三式代回式( 2 8 2 ) ，得 r 珊= _ 7 92 卜孓+ 1 ) ” 】 s i n ( 呐。n h ： 一 厅 一r + 扎 一 ) 一一， 一 ( 翌， ijii，l 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 又式( 2 4 1 1 可重写为 墨 再将上式代入式( 2 9 0 ) n ，可得剪应力r 。之表达式 f 2 9 0 1 ( 2 - 9 i ) 净厂一知：吒帆h 辟一。以 s i n 。 3 、剪应力f 。 将式( 2 8 3 ) 中的各项展开，有 r 2 9 2 、 誓叫姒。+ 托+ 引c 。s ( n 占剖 ( 2 _ 0 t 2 z j ：f 【- 彰一 j 一( 型) j + 掣 。】c o s ( n 口) e 删嘲( 2 - 9 4 ) o r ，r 将以上两式代入式f 2 - 8 3 ) ，得： 铲m ，p 一铷以一半n 学c o s ( n o 。 又，将式( 2 3 4 ) 及( 2 3 9 ) 代入( 2 31 ) ，可得 一e l = 一等+ 孚一- 寸。 再将上式代入式( 2 9 5 ) ，整理后可得 r 。= 忸， - 2 占- f j 一号；一。一了n 一， c 掌2 ( 2 9 5 ) ( 2 - 9 6 ) 卵+ 堕半o s c 删e m 咕 ( 2 - 9 7 ) 于是，桩中应力的表达式可由第一类型b e s s e l 函数表示了。将式( 2 4 3 ) 、( 2 0 向 、， 矿一， 一 卢 ，0l、 一 0 厅一 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究2 - l5 4 4 ) - 与( 2 4 5 ) 代入式f 2 8 6 ) 、( 2 - 9 2 ) f a ( 2 - 9 7 ) ，整理后可得 盯，m = f ，、1 爿，卜z ，【- ；+ 孝二肪五，r ) + 2 , u ，五；刃( 云，r ) j + a 4 ：2 , u ，羁+ l ( 万，r ) 】 h ，b 孚引3r ) - 2 , u p 旦f 2z 知r ) | lj 爿，等 ；z 。c 五一，一五，z 。c 云，1 ，善忙，。c ，一 孚h zc ) + 一。，善f 卢，z 。l ( 卢，r ) 一l 兰 l 。i ( ，) + 爿；， - 2 卢；z ：( 万，、r ) 一卢；z 。【万，r ) a l ：b 2 善( a 川 + 爿 + 爿 巫“m1 r 7 ，m r1 、 f 卅) + l 孚肛西) l 知叫 c o s ( n o ) e ”曹1 f 2 - 9 8 ) s i n ( n o ) e 。 r 2 - 9 9 、 c o s ( n o ) e “一。 ，2 - 1 0 0 ) 运用b e s s e l 函数递推公式( 2 - 5 9 ) 、( 2 6 0 ) 及( 2 6 1 ) ，以上三式可重写为 。伸 a 1 ， ”a ；+ g - + 2 a t 伊砷西一 + a 4 ，2 a p 善 一一 z 。( ，) 一z 。( f l ，r ) l f j j + 爿。，：，； 万，z ：( 万，) 一；1z 。( 万，r ) c o s ( n o ) e “( 2 - 1 0 1 ) | 7 ，pl。，、，卜，p，。 一一l 帆一v “1 ( ， + 一p 蟹孚 生，防 一， 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究2 - 】6 盯，印：掣， 爿l ，塑r l ! rz 。( 云一r ) 一五，z ：( 五，) “小，一铲抄) + 半撕) m ，降喊巾铷 ) o c n 。l p ” a , r - 2 古a ，z ：( 五，r ) r ， ，、 卜卜券勘阱譬l 巧，盹叫 卜降引 ) s i n ( n s ) e 7c “。 ( 2 - 1 0 2 ) c o s ( n s ) e 。r 2 - 1 0 3 、 若引入式( 2 6 5 ) 中的记号，则式( 2 - 1 0 1 ) 、( 2 1 0 2 ) 及( 2 - 1 0 3 ) ，又可写为 盯= 卜c 却nz ，p - 21 z 庙，a l p 一 、 【_ 2 警引甜 m 瑚，善肛井 卅如，r ) + 爿。，：，； 万，z ：( 万，l 一；1z 。( 万，r ) o r 印2pp 爿l ，三r 兰l 三rz 。( 五，) 一苫，z ：( 五，r ) “，锋阱去z 删 “，降 巾降咖 ) c o s ( n o ) e “( 2 - 1 0 4 ) s i n ( n o ) e “峙1 ( 2 - 10 5 ) 浙江大学博 学位论文：桩波动性状若十问题的删究 f i 爿， - 2 善夏，z ：( 云，) ) 2 驰， + 爿。箩2 一万；，k 。p ：，i c 。s ( ”目，e “e 卜孚z 西，i 类似地，可得土体中的应力表达式： f 懈= 川 f t ( a - - ：9 + f ：+ 2 p 嬖一五：k 气五朋 月l 、 一 、 1 2 一。生圳：，( 五、r ) 【， 札f p 寿p c 孙抄 + 爿。2 。! 【万：，( 万。，) 一! ，( 万。，) ? t j ， l 靶蹦i 一石蚋i ，) j 刊一一孚弦h ( n 卜毒吼础 r 1d ，1 饥 孕矾聃f 堡f 2t 囊2 p l ， a i , 2 矗h h 动 + 爿。，i f ：一7 0 ) 一叫：，( 万，) 】 + 爿。j 一堕础2 ，( 万，r ) l ， l 2 2 9 矩阵表达式 ( 2 】0 6 ) s i n ( ng ) e “一5 ( 2 - 1 0 7 ) r 2 1 0 8 ) c o s ( n o ) e “一o r 2 - 】0 9 ) 式( 2 4 ) 与( 2 - 5 ) 所示位移及应力边界条件，可写为如下矩阵表示式 刮 浙江丈学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 , 4 ，d 一“p j ”聊一村自 “：n 一“：。 6 r 一o m f r 即一r ，品 f w f c = 0( 2 - 1 1 0 、 将2 2 ，5 与2 28 节中的位移及应力表达式代入上式，经整理，得 x l lx l ：x l3x l4x 1 5 x 1 6l 【x 2 1x 2 1x 2 3x 2 4x 2 5x 2 6i x 3 1x 3 2x 3 3 x 3 4x ”x ”1 l _ 。，z 。2 一，爿。；工。，z 。s j ( 2 1 1 1 ) 上式为齐次线性方程组，它或者有平凡解，或者有无穷多个非平凡解。显当然， 平几解无实际意义，而要有无穷多个非平凡解，则必须系数矩阵行列式为零， 这也就导出了频率方程。系数矩阵中的x 。项由式( 2 - 1 1 2 ) 至( 2 1 1 7 ) 给出： 工i i = dp z 。( 口，口) ：= 一弘。( 卢。口) x 】3 = 一, v z 。( 万。岱) 日一一 ( 2 - 1 1 2 ) x 1 4 = 一a 、h ：2 ( a ，口) 一；= 弘：2 ( 户叫 x 16 ：一- ”h 0 2 ，( 万。口) 口 浙江大学博士学位论文：桩波动性状若干问题的研究 2 1 9 工二，= 一! z 。( 五，口) 如= 鲁z ，扫p a ) 卢。口 j ! ，= 一万。z ：( 万。口) x ! 。= 竺圳3 ，( 云刚 如：一箬h 乳万、啪 、口 “。 x 2 6 ：一万h 乳万、口) x 1 】= - - f 弘。( d ，a ) 屯2 = 一，声z 够。d ) x ：t = 0 。= ? 善日池。a ) z 3 5 = 泸、一”妒，口) o - 6 = 0 2 卉”2 嘶l n2 石j 肛动) _ 2 “詈抓捌 k 锄，；肛寿弘一妇珀) z 。，= ：，。 7 z - - ，。，一z 。c 万，。， 工。= 一 一 。仁：+ ；2 ) + ：。( ：；一五： ：”c 三一。，一：卢辱二日j ”c 否，“， 一时胁番pc m c 叫 。：一2 “；万片：z ，( 万。) 一：z ，( 万口) 口l 日 j f 2 - 1 1 3 1 f 2 - 1 1 4 、 ( 2 - 1 】5 ) 1，、 0 浙江太学博士学位论文：桩被动性状若干问题的硼究 h 叫，等协a ( 动心属匠删j 。 dli 强碣孚弦一去乏活，们j 碣降 矿( 等砷以。) 防， 强一。望c 2 协“坍( i