（应用数学专业论文）两两nqd序列下递归型密度函数核估计的大样本性质.pdf

摘要 概率密度函数的估计问题一直是数理统计中比较热门的问题，受到了许多学者的广 泛关注。针对密度函数估计问题，人们提出了多种估计方法，其中最常见的有直方图法、 核密度估计法以及最近邻密度估计法等。随着研究的深入，又有学者以普通的核密度估 计为基础，提出了递归型密度函数核估计的方法，该方法在计算上比较方便，受到了许 多学者的关注。关于递归型密度函数核估计的性质，人们最初是在独立同分布情形下研 究的，并取得了相应的结果。但在很多情况下样本并不独立，而是具有某种相关性，因 此，又有学者在相依情形下对其进行讨论。基于两两n q d 序列应用的广泛性，本文主 要研究了两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的大样本性质。 首先，本文简单介绍了密度函数估计问题以及两两n q d 序列的研究背景、国内外 研究现状，说明了在两两n q d 序列下讨论密度函数估计问题的重要性。 其次，以两两n q d 序列矩不等式及相关引理为基础，证明了两两n q d 序列下递 归型密度函数核估计的r _ 阶平均相合性、弱相合性、逐点强相合性以及一致强相合性， 并在适当的条件下得到了r - 阶平均相合性的收敛速度，从而推广了独立同分布和其它相 依情形下的密度函数估计性质的相关结论。 最后，利用两两n q d 序列的若干不等式以及l i n d e b e r g f e l l e r 中心极限定理，在适 当的条件下证明了两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的渐近正态性，推广了现有 文献的相关结论。 关键词 n q d 序列，递归型密度核估计，相合性，渐近正态性 a b s t r a c t t h ee s t i m a t o ro fp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o ni s a l w a y sah o tt o p i ci nm a t h e m a t i c a l s t a t i s t i c s ，i tr e c e i v e dw i d ea t t e n t i o nf r o mm a n ys c h o l a r s f o rt h ee s t i m a t o rp r o b l e mo fd e n s i t y f u n c t i o n ，t h e yh a v ep r o p o s e dv a r i o u sm e t h o d sf o re s t i m a t i n gt h ed e n s i t yf u n c t i o n ，t h eu s u a l m e t h o d sa r eh i s t o g r a m ，k e r n e ld e n s i t ye s t i m a t o r , n e a r e s tn e i g h b o rd e n s i t ye s t i m a t o ra n ds oo n w i t hf u r t h e rr e s e a r c h ，s o m es c h o l a r sb a s e do no r d i n a r yk e r n e ld e n s i t ye s t i m a t o r , p r o p o s e d r e c u r s i v ek e r n e ld e n s i t ye s t i m a t o r , t h i sm e t h o di sm o r ec o n v e n i e n ti nt h ec a l c u l a t i o n ，s oi t a r o u s e dt h ea t t e n t i o nb ym a n ys c h o l a r s a tf i r s t ，s c h o l a r sd i s c u s s e dt h ep r o p e r t yo fr e c u r s i v e k e r n e ld e n s i t ye s t i m a t o ru n d e rt h ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a ld i s t r i b u t i o ns e q u e n c e s ，t h e y o b t a i n e dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s b u ti nm a n yc a s e s ，t h es a m p l ei sn o ti n d e p e n d e n t ；t h e y h a v es o m ec o n n e c t i o n s ，s ot h e r ea r es c h o l a r sd i s c u s s e di ti nt h ed e p e n d e n tc a s e t h i sp a p e r r e s e a r c h e dt h el a r g es a m p l ep r o p e r t i e so fr e c u r s i v ek e r n e ld e n s i t ye s t i m a t o ru n d e rp a i r w i s e n q ds e q u e n c e s f i r s t l y , t h i sa r t i c l eb r i e f l yi n t r o d u c e st h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dp r e s e n ts i t u a t i o na t h o m ea n da b r o a do ft h ee s t i m a t o ro fd e n s i t yf u n c t i o na n dp a i r w i s en q d s e q u e n c e s ，t h e n d e s c r i b e dt h ei m p o r t a n c et od i s c u s st h ee s t i m a t o ro fp r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o nu n d e r p a i r w i s en q d s e c o n d l y , b a s e do nt h em o m e n ti n e q u a l i t i e sa n dr e l a t e dl e m m ao fp a i r w i s en q d s e q u e n c e s ，w ep r o v e dt h er - o r d e rm e a nc o n s i s t e n c y 、w e a kc o n s i s t e n c y 、s t r o n gc o n s i s t e n c ya n d u n i f o r m l ys t r o n gc o n s i s t e n c yo fr e c u r s i v ek e m e ld e n s i t yf u n c t i o ne s t i m a t o ru n d e rp a i r w i s e n q ds e q u e n c e s i nc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ec o n v e r g e n tr a t eo fr - o r d e rm e a nc o n s i s t e n c yh a s b e e ng m n e d a l lt h es t u d i e sa r ep r o m o t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si ni n d e p e n d e n ta n d i d e n t i c a ld i s t r i b u t i o nc a s ea n do t h e ra s s o c i a t i o n s f i n a l l y , u n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s ，w eu s i n gs o m ei n e q u a l i t i e so fp a i r w i s en q ds e q u e n c e s a n dl i n d e b e r g - f e l l e rc e n t r a ll i m i tt h e o r e mi no r d e rt op r o v et h ea s y m p t o t i cp r o p e r t yo f r e c u r s i v ek e r n e ld e n s i t yf u n c t i o ne s t i m a t o ru n d e rp a i r w i s en q ds e q u e n c e s ，a n df u r t h e r e x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si ne x i s t i n ga r t i c l e s k e y w o r d s n q ds e q u e n c e s ，r e c u r s i v ek e r n e ld e n s i t yf u n c t i o ne s t i m a t o r , c o n s i s t e n c y , a s y m p t o t i c p r o p e r t y 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 、， 学位论文作者签名：j 丝牡指导教师签名：秘 w 啤6 月l 日 。年占月f f 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：认肇耗 乃f o 年6 月fj 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 密度函数估计方法的介绍 概率密度函数估计i 司题一直是数理统计中比较热门的i 司题，所谓概率密度函数估 计，就是要利用总体中所抽取的样本去估计其概率密度函数。到目前为止，关于密度函 数估计的方法已有很多种，其中最常见的有：直方图法、核密度估计法以及最近邻密度 估计法等等，后来又有学者以普通的核密度估计为基础，进而提出了递归型密度函数核 估计的方法。 直方图( h i s t o g r a m ) 法是一种比较简单的密度函数估计方法，其基本思想是：先 用若干个点 口l 口。把整条直线分成所个相连的小区间 口，- l ，a j ( 1 j m ) ，在 每个区间内，总体概率的估计值可以表示为 p ( a j 一1 五乃) = 撑( f ：1 f 刀，乃一l 置乃) ) 刀 又因为 p ( 口一置巳) = f 1 1 厂o ) d x p ( a j _ i x t n ) | q j a j = 受j 出l 姬j a j 。 当( 巳一乃j 充分小的时候，e ( 戈) 出乃一哆1 ) 可以近似的表示厂( 石) 在区间【口，巳】 上的值，故总体密度函数f ( x ) 在各个区间内的估计值可以表示为 z ( x ) = 撑( “：l f 力，乃一l 置a j ) n ( a j a j 1 ) ( 1 - 1 ) 其中 ( 4 ) 表示集合彳中所含元素的个数。 不难看出，直方图法虽然简单可行，容易理解，但也有明显的不足之处。这种估计 方法对区间【口产。，口， 的中心部分估计得比较精确，但对端点附近的估计则相对比较差一 些。 为了弥补该方法的不足，1 9 5 5 年r o s e n b l a t t 在文献 1 】中对此估计进行了改进，提出 - j r o s e n b l a t t 估计，这种估计的基本思想是：以每个x 为中心，作区间陆一每，x + 等】， 令b 一等，x + 每】- ，则厂( x ) 在每个区间内的估计值可表示为 第一章绪论 z ( x ) = 群( f ：l f 刀，_ l ，) ) 疗吃 ( 1 2 ) 在此估计中，区i 司长度吃是固定的，分割区间则是由估计点x 来确定的，这样就使 得估计点x 一直处于区间的中心位置，从而使得估计效果更加理想。但该区间所包含的 样本点个数是随机的，如果有大量的样本点落入到此区间，则在点x 处用到的数据就较 多，否则用到的数据就较少。显然，该方法对各个点x 估计时所用到的信息并不均匀。 我们知道x c 亍f ( x ) 进行估计时，与x 越靠近的样本点所起的作用越大，但是用该方法估计 时，落入区间h 一每，x + - 办f 内的样本点对厂o ) 的估计所起的作用是一样的。 p a r z e n t 2 1 在一定的基础上对r o s e n b l a t t 估计作了相应的改进，他引入了以下函数： k c x ，= 一；专，c x ，= 1 。, ，- 其l 恤 0 ，称为窗宽，z ( z ) 为 密度函数厂( x ) 的核估计。在给定样本的条件下，密度核估计五( z ) 是密度函数，并且满 足非负性与规范性。当给定点x 时，z ( x ) 为一点估计量。该估计的统计性质由“核函数 与“窗宽 决定，样本给定后，“窗宽 吃更多地决定了该估计统计性质的优劣，因 此，利用该估计时，对于“窗宽”吃的选择一定要合适。 l o f t g a r d e n 和q u e s e n b e r r y1 9 6 5 在文献 3 中提出了最近邻密度估计法，该方法的基 西北大学硕士学位论文 本思想是：先固定一个自然数吒，并且1 包刀，对任意的x ，以a n ( 工) 记最小的口，使 得区间b 一口，石+ 口 内至少包含吒个样本点，称五o ) = 吒2 ( x ) 为密度函数厂( 石) 的最近 邻密度估计。在该估计中，区间长度2 口。( 工) 是随机的，但该区间内所包含的样本点的个 数是固定的，这样就保证了每个离x 最近的屯个样本点都能用到。 随着研究的深入，w o l v e r t o n 和w a g n e r 以普通的核密度估计方法作为基础，于1 9 6 9 年在文献 4 】中提出了另一种新的密度函数估计方法一递归型密度函数核估计，其定义 为：设 五，i v 1 ) 是具有相同分布的样本序列，f ( x ) 为墨的概率密度函数，贝l j f ( x ) 的递 归型密度函数核估计为 l ( x ) - 1 玎智+ 1 赡k ( 寻) ( 1 5 ) 将( 1 5 ) 式进一步展开可以得到下式： 胎) 型厶( 功+ 去喜寿k n n h ( 争 ( 1 6 ) ：_ 肛门。 从( 1 6 ) 式我们发现用递归型密度函数核估计去估计密度函数时，如果添加了新的样 本点，我们只需要计算添加项，对于所有项不用去重新计算，这就给计算上带来了很大 的方便。因此，相关学者对此进行了进一步的研究。 1 2 密度函数研究的发展历史 以上所介绍的方法都属于非参数密度函数估计的方法，在密度函数的非参数估计 中，我们一般都会对密度函数f ( x ) 做一些假定，假设f ( x ) 具有连续性、有界性、r 阶可 导等等，但如果要利用这些假设条件去推出比较具体的小样本性质，还是相对比较困难 的。因此，对于密度函数估计问题的研究大多数都是集中在大样本性质方面的，而我们 要想说明某个估计的好坏，就需要去讨论该估计的大样本性质。 关于估计j l ( x ) 的大样本性质，主要包括以下几个方面： ( 1 ) 弱相合性 工o ) j 厂( 工) ， 疗专o o ( 2 ) 渐近无偏性矾( x ) 一厂( 石) ， 刀专o o 3 第一章绪论 ( 3 ) 强相合性 丘( x ) 哼厂( x ) ， r l - ( 4 ) 一致强相合性l i m s u p l 六( x ) 一f ( x ) l j o h ，w 工 ( 5 ) 渐近正态性 并以此作为基础进一步去讨论l ( x ) 的收敛速度。 人们最初是在独立同分布的情形下去研究密度函数估计的大样本性质，并取得了相 应的结果。然而，样本在很多情形下并不是独立的，而是具有某种相关性。因此，许多 学者又在相依情形下致力于该方面的研究，也取得了较好的结果。 在相依情形下，对于普通型密度核估计的研究已经比较深入。林正炎1 9 8 3 年在文 献【5 中讨论了密度核估计的均方相合性及渐近正态性。杨善朝1 9 9 6 年在文献 6 中对伊一 混合样本下密度核估计的渐近正态性给予了证明。李军1 9 9 9 年在文献 7 中证明了y 一混 合序列下密度核估计的强相合性。r o u s s a s 2 0 0 0 年在文献 8 】中讨论了密度核估计的渐近 正态性。韦来生2 0 0 1 年在文献 9 1 q b 讨论了n a 样本下密度核估计的相合性。文志诚2 0 0 2 年在文献 1 0 3 中分别讨论了n a 样本和p a 样本下密度核估计的相合性。许昌满2 0 0 8 年 在文献 1 1 中讨论了两两n q d 序列下密度函数核估计的相合性以及渐近正态性。赵翌、 杨善朝2 0 0 9 年在文献 1 2 1 中讨论了口混合序列下核密度估计的强相合性以及一致强相 合性。 关于最近邻密度估计在相依的情形下的大样本性质，也有很多文献对其进行讨论。 1 9 9 8 年b o e n t eg 和f r a i m a nr 在文献 1 3 1 中讨论了沙一混合样本下最近邻密度估计的相 合性。之后，柴根象在文献 1 4 1 q b 讨论了口一混合样本下最近邻密度估计的相合性及其收 敛速度。杨善朝2 0 0 3 年在文献 1 5 d f l 讨论了n a 样本下最近邻密度估计的相合性及其收 敛速度。对于两两n q d 序列情形下，刘妍岩则在文献 1 6 d f l 讨论了最近邻密度估计的弱 相合，强相合以及一致强相合性。 在独立同分布的情形下，w o l v e r t o n 和w a g n e r 4 1 ，w e g m a n 和d 口协1 7 1 对于某些形式 的递归型密度函数核估计的性质作了相应的研究，并得到了较好的结果。 在相依情形下，关于递归型密度函数核估计的大样本性质相关学者也进行了研究。 m a s r y1 9 8 6 年在文献 1 8 】中讨论了p 一混合序列下递归型密度函数核估计的均方收敛 性，之后又在文献【1 9 中讨论了渐近不相关情形下递归型密度函数核估计的渐近正态性。 4 西北大学硕士学位论文 蔡宗武教授1 9 9 0 年在文献 2 0 】中讨论了以，) 混合序列下递归型密度函数核估计的强收 敛速度，1 9 9 2 年又在文献 2 1 中讨论了p 一混合序列下递归型密度函数核估计的渐近正 态性。杨善朝教授1 9 9 7 年在文献 2 2 1 中讨论了p 一混合序列下递归型密度函数核估计的 强收敛速度。李永明、杨善朝2 0 0 3 年在文献 2 3 】中对n a 样本下递归型密度函数核估计 的渐近正态性给予了证明。 综合上述文献，我们发现，对于两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的性质的 研究几乎没有。鉴于此，本文讨论了两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的大样本 性质。 两两n q d 序列是由著名统计学家l e h m a n n 于1 9 6 6 年在文献 2 4 1 首次提出来的， 其定义如下： 若对任意的五y r 都有：p ( x x ，y y ) sp ( x x ) p ( y y ) ，则称随机变量x 和】， 是n q d 的( n e g a t i v e l yq u a d r a n td e p e n d e n d ) ，若对任意的置与x ，( f j ) 都是n q d 的， 则称随机变量列 疋，n l 是一两两n q d 列。 近几年来，对两两n q d 序列研究的学者也逐渐增多，并取得了一些成果。例如王 岳宝、苏淳1 9 9 8 年在文献 2 5 】中讨论了两两n q d 序列的若干极限性质。吴群英2 0 0 1 年在文献 2 6 ，2 7 】中研究了两两n q d 序列的若干收敛性质，得到了与独立情形一样的 完全收敛定理、弱大数定理。王志刚2 0 0 6 年在文献 2 8 1 讨论了两两n q d 序列的弱大 数定理及收敛性。吴永锋在文献 2 9 中讨论了两两n q d 序列的收敛性以及完全收 敛性。 两两n q d 序列不仅包含了通常的独立变量序列，并且n a 序列也是它的特例之一， 它是一类非常广泛的随机变量序列，在许多领域有着非常广泛的应用。因此，在该序列 下讨论密度函数的估计问题有着重要的意义。本文主要讨论了两两n q d 序列下递归型 密度函数核估计的相合性以及渐近正态性。 1 3 本文的主要结果 定理1 ( r 一阶平均相合性) 设正o ) 是厂o ) 的递归型密度核估计，五，五，疋为同分布 的两两n q d 序列，且具有弱平稳性，若以下条件成立： 5 第一章绪论 ( a ) k ( x ) 为墨上的b o r e ln - i 测有界密度函数，并且 ，o一， l i m u k ( u ) = 0 ，lu 2 k ( u ) a u 口o啪啪 ( b ) k ( x ) 可导，i ! is u p k ( x ) l c ( c ) 密度函数f ( x ) 满足，阶可导、有界、连续 ( d ) z ，f l 的协方差结构满足孝毒f c 。“五，五) | = 。( 旁 ( e ) 当挖寸时，吃专。，丢喜忍2 = 。( 吃2 ) 则对0 0 月斗 推论1 假设k ( z ) 是蜀上的b o r e l 可测有界密度函数，k ( x ) 和，k ( 石) 都可积，且 互u r k ( “) d u = 0 ，= 1 ，2 ，j 一1 ，i e u k ( “) d u = a o ，k ( x ) 可微，且s u ，p i k 侧c 。 x 。，力1 ) 为分布相同的两两n q d 序列，且具有弱平稳性，其协方差结构满足： 喜f c 。五，五) i c ，若z ( 力和厂( z ) 都s 阶可导，连续，有界，且丢喜名5 = 。( 缘) ， l 则当= 刀一而时，对o ，2 有： 一 翌 f l f ，( x ) - f x ) 1 7 = d ( ，22 2 + 5 ) 定理3 ( 逐点强相合性) 设 x 。，刀1 ) 为同分布的两两n q d 序列，满足以下条件： h n - - - 0 , 去如卜 佃，三n 嘉( 每 ，_ 巳 佃。寸a 。，： 6 西北大学硕士学位论文 ( b ) k 为r 1 _ 1 2 b o r e l 可顸l j 有界密度函数； ( c ) fu k ( “) a u = o ，lu x ( “) a u 0 ，使得= o ( 珂吨) 。 n h n 则对厂( x ) 的任一连续点x 有正 ) 一厂( x ) a s 。 定理4 ( 一致强相合性) 设 x 。，刀1 ) 为同分布的两两n q d 序列，若以下条件成立： ( a ) k ( x ) 是b o r e l 可测的有界密度函数； ( b ) l i m u k ( “) = o ，上“2 k 协 ；+w ( c ) k ( 工) 可微，且s u ，p g ( x ) j c ； c 。l i m h 一o ，去言铲帅，吉否nc 分嘭 。 且密度函数f ( x ) 在( 咖，佃) 上一致连续，满足l i p s c h i t z 条件，则有： l i m s u p l f ( x ) 一( x ) l = 0 口j ox e l 定理5 ( 渐近正态性) 设 置，l f 刀) 是具有相同分布的平稳n q d 序列，假设其满足条 件( a ) 一( d ) ( 见3 1 节) ，又设存在n ，q 。，以+ 吼 o o 4 v 口r f c x ) 、。 本文的内容安排如下： 第二章主要讨论两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的r - 阶平均相合性、弱相 合性、逐点强相合性以及一致强相合性，并对其进行证明。第三章进一步讨论两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的渐近正态性，并得到相关结论。接下来针对本文进行总 结，提出了在以后的学习中迸一步可以研究的内容以及想法。 8 西北大学硕士学位论文 第二章n q d 序列下递归型密度函数核估计的相合性 2 1 引言 递归型密度函数核估计是w o l v e r t o n 和w a g n e r 于1 9 6 9 年在文献 4 】中首次提出来的， 根据第一章中的( 1 6 ) 式可知，用递归型密度函数核估计方法去估计密度函数时，如果 添加了新的样本点，我们只需要计算添加项，对于所有项不用去重新计算，这就给计算 上带来了很大的方便。因此，相关学者对此进行了进一步的研究。 两两n q d 序列是由著名的统计学家l e h m a n n 于1 9 6 6 年在文献 2 4 中首次提出来 的，它不仅包含了通常的独立变量序列，并且n a 序列也是它的特例之一。两两n q d 序列是一类非常广泛的随机变量序列，在许多领域有着非常广泛的应用，因此，在该序 列下来讨论密度函数的估计问题有着重要的意义。 本章主要讨论了两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的r - 阶平均相合性、弱相 合性、逐点强相合性以及一致强相合性。文中假定c 在不同的地方代表不同的常数。 2 2 预备知识 首先给出相关定义： 定义1 若对任意的五y r 都有：p ( x 工，y y ) p ( x l ，! + ! ：1 ，对任意的随机变量x 和y ，都有 rs ll e x y l ( e l x l 7 ) 7 ( e 时) 7 ( m i n k o w s l a 不等式) 设，l ，对任意的随机变量x 和】，都有 lll e 7 i x + r l - c ex 1 7 ) 7 + ( er 1 7 ) 7 ( j e n s e n 不等式) 若伊为墨上的函数，x 和妒( x ) 都可积，则有缈( 麟) e 9 ( x ) 2 3 相关弓i 理 引理2 2 i 假设核函数k ( x ) 满足条件： k ( x ) 厶互k ) 幽= 1 ，s u ，p ( 1 + i x l ) i k ( x ) l 佃，若g 厶，则： ( 1 ) 对g ( x ) 的任意连续点x ，有l 。i m h 。1 【k ( 兰孑) g ( “) a u ：g ( x ) ， 冉 u wn 烛矿丘足2 洋) 鲋) a u = 贴) 上k 2 ) a u ( 3 ) e v x ，y 尺，x y ，都有慨办一1 上k t x - u 烈丁y - u ) g ( “) 如= o 证明：见文献 2 1 】中引理3 。 引理2 2 2 t 3 0 1 设墨，五，以为两两n q d 随机变量序列，对p 2 ，有e l x , i p o ，使得 j = l e l 墨i p q 力争窆e l _ i p j 暑l 引理2 2 3 【冽设随机变量x 和】，是n q d 序列，若，s 同时为非降( 或非增) 的函数，则 ，( x ) ，s ( 】，) 仍是n q d 序列。 引理2 2 4 设x 和y 是两个n q d 随机变量，且存在有限的方差，则对于任意两个可 微的函数厂和g ，有： l c o y ( f ( x ) ，g ( y ) ) 2 ，c p i 懒- ：5 p 有关的常数。 引理2 2 6 对于任意的五，x 2 a , b ，若以下条件成立： ( 1 ) k ( x ) 可微，且s u 。p l k 训c ， 去喜c 分 则有： l l ( x 。) - l ( x d l c x i 一艺1 矾 吲剥! 争i = lh h i 尉x l - 吩x , ) 嘲警，】f = 睡丢学c 挚l 好1 1 门鲁+ 1 秽五训l 寺悖和训1 2i ，z 鲁。镌八“一匕7 i ：警i x 。x 2 x 。- x 2 1 2 可i = c 。2 i 五- - x 2 i 引理2 2 7 设厂( z ) 满足三枷幽比条件，r r 阶可导、有界、连续，k ( x ) 为足上的b o r e l 可 测有界密度函数， 时有。l i m u k ( “) = 0 ，e “2 k 似) d u o o ，亡“k ) a u = 0 ，则： s u p l 甄( x ) 一m ) i 以2 证明：由定理2 3 1 的证明可知，i 甄( x ) 一厂( x ) f 詈喜囊2 = 吮2 ， 第二章n q d 序列下递归型密度函数核估计的相合性 因此s u p 磁( x ) 一厂( x ) f 吮2 ，证毕。 2 4 主要定理及其证明 定理2 3 1 ( r 阶平均相合性) 设五( x ) 是厂( x ) 的递归型密度函数核估计，五，五，以为 具有相同分布的两两n q d 序列，且具有弱平稳性，若以下条件成立： ( a ) k ( x ) 为墨上的b o r e l 可测有界密度函数， ，m f i m u k ( u ) = 0 ，iu 2 k ( u ) d u ，iu k ( u ) d u = 0 “， ( b ) k ( 工) 可导，i ； s u pk ( 划 c o o ( c ) 密度函数( 功满足二阶可导、有界、连续 ( d ) 地f 1 ) 的协方差结构满足季丢l c 。v ( 五，置) i = 。( 毒) ( e ) 万j o o ，吃专。，i 善n 红2 = 。( 吃2 ) 则对0 ，2 ，有 ( 1 ) 当吃哼o ，玎吃4 寸o 。时，有。l i m e l l ( x ) 一( x ) = o ( 2 ) 进一步，当吃= 刀一i 时，有j z l l ( x ) 一厂( x ) f ，= o ( 纷一i ) 定理的证明：因为0 ，2 ，所以由c ，不等式以及砌j 绷不等式可得 e l l ( x ) - f ( x ) 1 7 = e l f ( x ) - e f ( x ) + e l ( x ) - f ( x ) 7 c t e l l ( ) e f ( ) 1 7 + l 甄( x ) 一厂( x ) | ，】 c 砌唬( x ) 】_ + c l e f ( x ) - f ( x ) 7 ( 2 1 ) 蜕( x ) = 磁1 k k ( “) m 一咖胁 令三= 甜，可知而= x 一绣“ 忆 把f ( x 一办，“) 进行t a y l o r 展开，得到： 1 2 西北大学硕士学位论文 所以 f ( x - 忽“) = 厂( x ) 一厂( x ) 吩扰+ 掣( 囊“) 2 ，。 s l 甄( x ) = ! n 窆i = 1e k ( 纠厂( x ) 一八x ) 忽“+ 掣( 红妒坳 蜕( x ) 一( 刮= b 喜e 【k ( 材) 厂( x ) 一八x ) 曩k ( 咖+ 掣红2 “2 k ( ) 一k ( 甜) 厂( x ) 协i 由条件( a ) 和( c ) 可知 陬矿m 炉睦亡鼍产咖2 脚胁 = 去利i ：学嘞，幽 = i c 善? t 吃2 综上可知，( 2 1 ) 式等于 c v a r f ( x ) 】三r + i c 善 彬= + 厶 又因为 令 则有 吼= 万1 嚎扣争一脒c 竿明2 咖= 丢k c 学 v a r f ( x ) = 孑1 研喜纪( x ，置) 一玩( x ，置) 】2 = 三拧e g 百- c 鲵( x ，置) 一e 仍( 五置) 】2 + 吾善荟c 。v 仍( 而一) ，纺( 毛一) 】 ( 2 2 ) = 正+ 以 ( 2 3 ) 因为置，五，以为具有相同分布的随机变量，所以由引理2 2 1 可得 1 3 第二章n q d 序列下递归型密度函数核估计的相合性 以= 专喜胁仍c 五五，= 吉喜毒眦c 羔， 嘉喜= 1 毒脒2 c 竺产， h f kf ! 毒喜毒m 方 面1 ，吉喜毒【k 2 咩肌，砂 n - 去f ( y ) 脾寻协丢= c ( 蝴叫 旺4 ， 由引理2 2 4 以及平稳性可知 五丢善丕s u p 侈够c 墨五，i s u p 高哆c 五_ ，i | c o v ，一) l 吾2v l i f j 0 a - - - 0 0 证明：由定理2 3 1 的结论可知。l i m 。e l l ( x ) 一( x ) l ，= o ，再根据胁砌v 不等式得到 尸( 1 六( x ) 一( x ) l g ) 了1e | z ( x ) 一厂( x ) l o 当，z 专时 该定理证毕。 推论2 3 1 设k ( x ) 是b o r e l 可测的有界密度函数，k ( x ) 和x 7 k ( x ) 都可积，且 f r u 7 k ( u ) d u = 0 ，= 1 ，2 o 8 - - 1 ，fu m u ) a u = 彳o ，x ( x ) 可微，且s u p i x ( 刮c o 。， x 。，以1 ) 为分布相同的两两n q d 序列，满足弱平稳性，其协方差结构满足： e l c o v ( x , ，置) l c o o 若五( 工) 和厂( 石) j 阶可导、连续、有界，且去喜。= 。( 吃5 ) ，则当吃= 刀一而1 时，对。 ，2 有以下结论： 证明：利用t a y l o r 展开式得 e l l ( x ) - f ( x ) 7 = d ( ”2 2 + 5 ) m 却m 嘶脚+ + 锶- l + 盟产( 制( o 删) 又因为r：，rd u ：a u r k ( u ) d u 0 u k ( u ) d ua ，厂( x ) 满足s 阶可导，且有界又因为i= ，i = ，厂( x ) 满足s 阶可导，且有界 jm，m 故 e i 五c x ，一厂c x ，i 吉喜红5l 亡i k c 材，i 甜5i 掣0 第二章n q d 序列下递归型密度函数核估计的相合性 一l - 当取吃= 即4 亿时，有 所以 竺窆囊，：o h , ， 咒智 一竺 e l s ( ) - s ( x ) l 魄扩= c n 2 2 + 。 e l ：( x ) - f ( x ) 1 7 = d 2 2 + 。) 证毕。 定理2 3 2 ( 逐点强相合性) 设 x 。，刀1 ) 为同分布的两两n q d 序列，满足以下条件： ( a ) k 为马上的b o r e ln - 删有界密度函数； c b ，当疗寸时，吃j 。，去喜( 每 专秒 佃，吉骞( 每 p 专巳 佃； ( c ) k ) 为单调增或单调降函数，且工旅 协= o ，上“2 k ) a u o ，使得：o ( n - i z ) ； ，l 则对f ( x ) 的任一连续点x ，有l ( x ) 斗f ( x ) 口s 。 定理的证明：因为j z o ) 一厂( x ) l = i 工( x ) 一厂( x ) + 既( x ) 一甄( x ) i - 啦p p 嘲 筹q 击t 如i ，+ c 扣角 他 将( 2 8 ) 、( 2 9 ) 式代入( 2 1 0 ) 式可得： 刊删一卜 专嗉喜钾+ 寿c 去 哆寿+ 赤毋 c 【吃一l 打一g ，1 + 锄一丁】 口p s ) 佃 工( x ) 一既( 功- - 4 0 伽 由引理2 2 1 可知，对厂( z ) 的任一连续点x ，有： 驰) 1 1 喜= 古- 工k ( 寻删砂州x ) 设 x 。，n 1 ) 为同分布的两两n q d 序列，若以下条件成立： ( a ) k ( ) 是蜀上的肋耐可测有界密度函数： ( b ) l i m u k ( u ) = 0 ， i , u 2 k ( u ) d u o o ； h - - 0 0 ( c ) k ( x ) 可，微， f t s u ，p k ) l - c o o 。 c 。，。l i 。m 。h = 。，丢喜c 每，= 口 ，吉喜c 每，p2 巳 。 1 8 且闭区间 口，6 】为密度函数厂( x ) 的支撑集，厂( x ) 满足枷幽比条件，则有： l i m s u p l l ( x ) 一( x ) l = 0 ， 口。s i i - - _ r ox e l 定理的证明：将，= 【口，刎均匀的分割成个子区间，设口= x n o x n t = b 记= 【氏，】，= - i 】，l = 1 ，2 ，n ，把区间厶的长度记为瓯2 瓴2 一吒， 设皖满足条件l i m 瓯= 0 ，l i m 瓯吃= o 。i 扫t b - a = a v a 所以瓯 c ，即n o ，当玎充分大时，有： 三，厶 三，厶 争 副喜扣挚嘲争，l 争 1 9 第二章n q d 序列下递归型密度函数核估计的相合性 割跏秘等 c 万1 驯n ，+ ( 善轷p 】 打 c ( n 一口( p 一1 + 刀一下) 可选择适当的p ，使得口( p 1 ) 1 和警1 都成立， 则有 尸 s u p l 五( x ) 一厂( x ) i s - + 0 ( 刀一o o ) 故有 e s u p l f ( x ) - f ( x ) i s f = l j 由b o r e l c o n t e l l i 引理可得： 从而该定理得到证明。 s u p l f 。( x ) - f ( x ) i 专o j 2 0 西北大学硕士学位论文 第三章n q d 序列下递归型密度函数核估计的渐近正态性 3 1 引言 在相依的情形下，许多学者对递归型密度函数核估计的渐近正态性也进行了研究， 并得到了相应的结果。m a s r y l 9 8 6 年在文献【1 8 】中讨论了p 一混合序列下递归型密度函数 核估计的均方收敛性，之后又在文献 1 9 】中讨论了渐近不相关情形下递归型密度函数核 估计的渐近正态性。蔡宗武教授1 9 9 0 年在文献 2 0 q h 讨论了他，) 混合序列下递归型密 度函数核估计的强收敛速度，1 9 9 2 年又在文献【2 1 中讨论了p 一混合序列下递归型密度 函数核估计的渐近正态性。杨善朝教授1 9 9 7 年在文献 2 2 】中讨论了夕一混合序列下递归 型密度函数核估计的强收敛速度。李永明2 0 0 3 年在文献 2 3 】中对n a 样本下递归型密度 函数核估计的渐近正态性给予了证明。 但是，至今还未有文献对两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的渐进正态性进 行讨论，鉴于此，本章主要讨论两两n q d 序列下递归型密度函数核估计的渐进正态性。 3 2 主要假设及相关引理 ( a ) 设 五，i f 门 是同分布的严平稳n q d 序列 ( b ) 五与五“的联合密度函数厂( 工，y ，尼) 满足s u p i 厂( x ，y ，k ) - f ( x ) f ( y ) i c j ，y ( c ) 吃-