（信息与通信工程专业论文）小波变换在图象预处理和景象匹配中的应用研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 f 小波变换作为一种卓越的数学分析工具，在很多工程应用领域已取代传统 傅立叶变换的作用。因为小波变换能够同时分析信号在时域和频域的局部性质， 所以它在信号处理领域中的应用已经引起了很大的关注。) 本文试图完整地、全 匦地阐述小波变换的基本理论以及具体算法的实现，并将小波变换理论引入到 图象降噪应用之中，建立了小波降噪方法的理论体系，并且结合各种方法提出 了几种性能优越的小波降噪方法。同时在文章中还研究了小波分析理论中一个 很重要的问题，即如何根据应用目的和输入信号设计性能最优的小波滤波器。 通过将这个问题转化为传统完全重构滤波器组的优化设计，提出了几种根据不 同限制设计小波滤波器的方法。 7 本文的详细内容主要包括以下几个方面： 1 、1 ) 系统地阐述了在信号处理背景中小波变换的基本理论，并将小波变换 与多分辨分析、滤波器组统一起来，同时给出了在离散时间信号情况下正交小 波变换和冗余小波变换的实现算法。 2 ) 研究了在加性白噪声模型下图象降噪的问题。以小波阈值技术为基础， 结合空间自适应、w i e n e r 滤波器以及空间局部化先验模型，提出了几种图象的 小波降噪算法，实验结果表明，它在性能上比传统方法要好得多。 3 ) 将小波变换引入到景象匹配研究之中，研究了两个方面的问题：一是 s a r 雷达图象的斑点噪声的抑制问题，二是将多分辨分析的思想引入到分层匹 配之中，并提出了一种适合于硬件实现的非线性小波一形态学h a v ：小波变换。 4 ) 研究了定制正交小波滤波器的问题。通过理论分析，将小波滤波器的 设计归结为滤波器组的优化设计问题，并给出几种从不同角度出发的设计方法， 包括基于格式结构的优化设计以及基于平坦程度或频域响应的设计方法。 在论文的最后，还对本文所作的工作和今后的研究与发展作了进一步的展 、 挚。，1 关t 词t 小波变换，多分辨分析。滤波器组，图象降嗓，景象匹配， 吓潲嗽叭 第i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t a sa 1 1e x c e l l e n tm a t h e m a t i c a la n a l y s i st o o l 、w a v e l e tt r a n s f o r n li sb e i n gm o r e a n dm o r ei m p o r t a n ti ne n g i n e e r i n gp r a c t i c ea n dr e p l a c i n gt h er o l eo ft h ec o n v e n t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o i mi nm a n yr e s e a r c hf i e l d s w a v e l e tt r a n s f 0 1 t nh a sr e c e i v e dm o r ea n d m o r ec o n c e r n si ns i g n a lp r o c e s s i n gf i e l db e c a u s eo fi t sc a p a c i t yo fa n a l y z i n gt h el o c a l i n f o r m a t i o no fs i g n a li nb o t ht i m e - d o m a i na n df r e q u e n c y - d o m a i na tt h es a n 3 et i m e t h i st h e s i st r i e st oe x p a t i a t eo nt h ef u n d a m e n t a la n dr e a l i z a t i o na l g o d t h m so fw a v e l e t t r a n s f o r m w a v e l e tt r a n s f o r mi s a p p l i e d t o i m a g ed e n o i s i n g i n t h i s p a p e r t h e t h e o r e t i c a lf r a m e w o r ko fw a v e l e td e n o i s i n gt e c h n o l o g yi sd i s c u s s e d a n ds e v e r a ln e w w a v e l e td e n o i s i n gm e t h o d sc o m b i n i n gw i t ho t h e rd e n o i s i n gm e t h o d sa r ep r o p o s e d a n i m p o r t a n tp r o b l e m i nw a v e l e ta n a l y s i si sa l s os t u d i e di nt h i st h e s i sa b o u th o wt o d e s i g no p t i m a lw a v e l e tf i l t e r s b a s e do na p p l i c a t i o n sa n di n p u ts i g n a l s ，t h a ti st h e o p t i m i z a t i o no fp e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nf i l t e rb a n k s s o m eb a s i cm e t h o d so fd e s i g n i n g w a v e l e tf i l t e r sa r ep r e s e n t e d t h ec o n t e n to f t h i st h e s i si sa sf o l l o w s ， 1 ) e x p a t i a t e so nt h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e tt r a n s f o r mi ns i g n a lp r o c e s s i n g ， c o m b i n a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r i l l ，m u l t i - r e s o l u t i o na n df i l t e rb a n k s t h er e a l i z a t i o n a l g o r i t h m so fo r t h o g o n a l w a v e l e tt r a n s f o r ma n dr e d u n d a n tw a v e l e tt r a i l s f o r mo f d i s c r e t e t i m es i g n a l sa r ep r o p o s e di nd e t a i l 2 11 1 1 ep r o b l e mo f i m a g ed e n o i s i n gi na d d i t i v ew h i t en o i s em o d e li sd i s c u s s e d b a s e do nw a v e l e tt h r e s h o l d i n gt e c h n o l o g ya n dc o m b i n e dw i t l ls p a t i a la d a p t i v ef i l t e r w i e n e rf i l t e ra n d s p a t i a l l o c a l i z a t i o na p r i o rm o d e l 。s o m e w a v e l e t d e n o i s i n g a l g o r i t h m so fi m a g e sa r ed e v e l o p e da n da r ep r o v e dt oh a v eb e t t e rp e r f o r l t l a n c et h a n c o n v e n t i o n a ld e n o i s i n gm e t h o d s 3 1w a v e l e tt r a n s f o r mi si n t r o d u c e di n t ot h es t u d yo fs c e n em a t c h i n g t h ef i r s t a p p l i c a t i o ni s t or e d u c es p e c k l en o i s ei ns a p , i m a g e sa n dt h eo t h e ro n ei s u s i n g w a v e l e tb a s e dm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i si nh i e r a r c h i c a lm a t c h i n g an e wn o n l i n e a r w a v e l e tt r a n s f o r m - m o r p h o l o g i ch a l tw a v e l e tt r a n s f o r i l l ，w h i c hs u i tf o rh a r d w a r e r e a l i z a t i o ni sp r e s e n t e df o rm a t c h i n ga p p l i c a t i o n 4 1h o wt os p e c i a l i z eo r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r si sd i s c u s s e d t h ed e s i g no f w a v e l e tf i l t e r sc a nb ec o n v e r t e di n t ot h eo p t i m i z a t i o no f p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nf i l t e r b a n k s s e v e r a ld e s i g n i n gm e t h o d si nd i f f e r e n ta s p e c t sa r ed e v e l o p e di n c l u d i n gt h e o p t i m a ld e s i g n i n gt e c h n o l o g yb a s e do n l a t t i c es t r u c t u r ea n d d e s i g n i n gm e t h o db a s e d o nt h ee x t e n to fs m o o t h n e s so rf r e q u e n c yd o m a i n r e s p o n s e s 5 1t h eo v e r a l ls t u d yi sr e v i e w e da n dt h ef u t u r ew o r ki sp r e s e n ti nt h ee n do f t h e t h e s i s ， k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，m u l t i 。r e s o l u t i o na n a l y s i s ，f i l t e rb a n k s ， i m a g ed e n o i s i n g ，s c e n em a t c h i n g , w a v e l e t f i l t e r sd e s i g n i n g 国防科学技术大学研究生院学位论文 绪论 理论与应用之间是一种互动的作用关系，新理论的出现推动了应用的发 展，而反过来应用发展的要求又是理论研究的原动力。自从傅立叶天才性地提 出了傅立叶分析这种强有力的数学分析工具以后，傅立叶变换已经广泛应用在 信号处理领域，使频域处理方法成为与时域处理方法同等重要的处理工具。但 是，随着工程应用领域的拓宽和发展，处理任务中遇到的信号越来越复杂，从 一维信号发展到二维信号，从平稳信号发展为非平稳信号，而傅立叶变换由于 其在理论上的先天局限性一缺少在时间轴上的任何分辨，在这些新的应用领域 中无法胜任。为了解决这个问题，g a b o r i “1 在傅立叶变换中引入了滑动时间窗的 思想，构造了信号的短时傅立叶变换，试图实现同时对信号在时域上和频域上 的局部信息进行分析的目的。但是由于短时傅立叶变换在时间轴和频率轴上的 分辨窗口是固定的，而在具体应用环境下图象信号往往十分复杂，既包括变化 缓慢的平滑区域，也包含变化剧烈的边缘细节。而在信号分析时，对高频细节 时需要一个窄的时间窗来分析，而对低频区域时又需要一个宽的时间窗来分析， 所以需要有一种比短时傅立叶变换更加好的数学分析工具来适应复杂的图象处 理任务。这种分析工具时间轴上的分辨能够随着频率的改变而改变，当分析高 频细节时时间窗较窄，而在分析低频部分时时间窗则比较宽。小波变换的出现 实现了人们对新的信号分析工具的要求。 小波变换首先是纯数学家和应用数学家发现的，虽然它的历史可以追溯到 1 9 1 0 年h a r r 提出的h a r r 小波系，但是它的真正发展却是在8 0 年代通过一批被 称为“f r e n c hs c h o o l ”的数学家的深入研究而发展起来的。1 9 8 4 年，地球物理 家j m o f l e t 首先利用小波变换来处理地震信号，法国数学家ym e y e r 和美国y a l e 大学的c o i f m a n 教授合作建立了小波理论的基本理论，并将这些成果汇编在y m e y e r 主编的小波经典著作小波与算子0 2 ) 之中。其后，s g m a l l “”2 ”将 多分辨分析的思想引入到小波变换理论之中，并于1 9 8 7 年提出了小波分析与重 构的算法- - m m i a t 算法，这个算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换 在经典傅立叶变换中的地位。1 9 8 8 年i d a u b e c h i e s l 2 8 】【2 9 i 基于多分辨分析的结构 首先构造了具有紧支撑的正交小波基，使得非数学领域内的人可以避开小波基 构造这一复杂而困难的问题，而直接获得具体的小波滤波器，并出版了小波分 析理论上具有划时代意义的巨著t e nl e c t u r e so nw a v e l e t ) ) 1 8 1 。其后，美籍华 裔科学家崔锦泰也出版了样条小波理论方面的专著小波分析导论) 。 随着小波分析理论的发展，小波变换在实践中的应用领域越来越多，包括 信号处理、图象处理、量子场论、地震勘探、话音识别与合成、音乐、雷达、 c t 成象、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 分形以及数字电视等科技领域，从原则上来讲，凡是传统上使用傅立叶变换的 地方，都可以用小波变换来代替。 在信号处理领域，小波变换应用得最多的是信号压缩【4 5 1 1 4 6 1 1 4 ”，这方面的研 究资料和成果已经蔚为大观，并已经取得了实用化的应用成果。在信号处理的 其它领域，这方面的研究还只有很少的研究成果，但是已经引起了人们的研究 兴趣。 在信号降噪方面，小波变换的应用没有如信号压缩那么多的研究成果和文 献【2 2 】【2 3 】【“i 。但是自从s t a n f o r d 大学d d o n o h o t 4 8 】【4 9 】【”】f 5 i t2 l 教授提出了小波阈值技 术的基本思想以后，因为其简单性和有效性，引起了很多研究人员的关注，发 展了很多以小波阈值技术为基础的小波降噪方法，适用于不同的应用环境，成 为小波变换理论中一个新的研究热点。 本文的主要工作之一就是研究小波变换在图象降噪中的应用，以小波闽值 技术为基础，结合小波变换的平移不变性，基于图象分割的空间自适应性思想， 经验w i e n e r 滤波器以及空间局部自适应模型，提出了几种新的小波降噪方法， 取得了比较好的效果。它的后继工作是将小波阈值技术引入到s a r 雷达图象的 斑点噪声抑制应用中。 小波变换是通过信号与母小波函数的伸缩和平移形式内积而得到的，对于 母小波函数，除了少量几条性质上的限制以外，对于它的具体形式并没有作出 明确的规定，所以小波变换的应用具有较大的灵活性，可以根据应用的目的和 输入信号自适应地定制小波滤波器。本文的另一项工作是研究正交小波滤波器 的优化设计问题。小波变换可以用滤波器组来实现，通过将小波变换与滤波器 组联系起来可以将小波滤波器的设计问题转化为完全重构滤波器组的设计问 题。 本论文的内容安排如下： 1 ) 在第一章中，详细阐述了信号处理背景下小波变换的基本理论，比较 了小波变换与傅立叶变换、短时傅立叶变换在性能上的差异，并且讨论了小波 变换的几种类型。将小波变换与多分辨分析、滤波器组统一起来。主要的注意 力放在离散时间信号小波变换的具体实现算法上，详细给出了正交小波变换的 基本框架- - m a l l a t 算法以及一种适合于信号分析的冗余小波变换算法的实现细 节。 2 ) 在第二章中，研究了在加性白噪声模型下的小波信号的降噪问题。首 先研究了小波变换系数具有的一些性质，并由此出发提出了小波降噪方法的基 本理论框架和实现算法。在详细讨论小波闽值技术的理论细节之后，从理论和 实践上指出平移不变性在小波降噪中的重要性：结合图象分割的思想，提出了 一种具有空间自适应性的小波降噪方法；结合经验w i e n e r 滤波器，采用多小波 变换基的思想，提出了小波域上w i e n e r 滤波器的设计方法；提出了小波系数的 一种简单有效的空间自适应的局部化模型，并将此种模型引入到小波降噪技术 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 之中，构造了一种基于此先验模型的w i e n e r 滤波器用于图象降噪应用。 3 ) 在第三章中，研究了基于应用目的和输入信号设计最优正交小波滤波 器的问题。在详细研究完全重构滤波器组和正交小波滤波器之后，指出正交小 波滤波器可以通过完全重构滤波器组加上规则性限制来实现，这样将正交小波 滤波器的定制问题转化为完全重构滤波器组的优化设计问题。给出了两种实现 完全重构滤波器组的格形结构，并由这两种格形结构出发，利用遗传算法，提 出对应用目的和输入信号最优的正交小波滤波器设计方法。还提出了根据小波 滤波器平滑程度和频域响应限制而设计正交小波滤波器的方法。 4 ) 在第四章中，将小波变换理论引入到景象匹配的应用之中。主要是在 两个方面：一是将小波变换应用s a r 雷达图象的斑点噪声抑制之中，作为第二 章研究成果的继续和改进，提出了几种基于小波的斑点噪声抑制算法，做到既 抑制噪声，又保持细节，同时还能够增强图象特征；另一方面是利用基于小波 变换的多分辨分析思想，构造了从“粗略”到“精细”的分层的匹配算法框架， 以减少景象匹配所需的计算量，并尽可能地保证了匹配的精度。并提出了一种 非线性小波一形态学h a r t 小波，它能够尽可能多地保持低频部分的能量，又由 于运算的简单，只需通过加、减和逻辑取大取小算子，十分适于硬件实现。并 提出两种多分辨分层匹配算法，能够很好地保证景象匹配的有效性和简单性。 5 ) 在文章的最后，总结了本论文并提出了进一步研究的方向。 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章小波变换与信号处理 在信号与图象处理技术中，除了时间和空间域的处理方法外，一个更重要 的方法是变换域处理方法。通过某种变换对应关系，将原始信号从时间和空间 域映射到变换域上，使得信号的某些特征更加明显，使处理更加简单。 本章讨论几种重要的变换方法，包括傅立叶变换、短时傅立叶变换以及本 论文的理论基础一小波变换，详细讨论了几种变换之间存在的差异，指出了小 波变换的优越性在于同时对信号在时( 空) 域和频域上的局部化性质都有精确的 描述。在后续的部分中，对小波变换的种类有一概括的描述，在剩下的部分里 详细给出了离散时间信号小波变换的实现算法，包括正交小波变换的实现框架 - - m a l l a t 算法和冗余小波变换的具体实现细节。 1 1 傅立叶变换、短时傅立叶变换与小波变换 最经典的变换方法是傅立叶变换，公式为 脚) = 去胁矿“出= ( 邝如) ( 1 1 1 ) 其逆变换为 巾) = 而1 p ( 珊删 ( 1 - 1 - 2 ) 从傅立叶变换公式可以看出，傅立叶变换是原始信号与e 作内积后得到 的。e 是复s i n 形函数，它的幅值i e 1 = l ，在整个时间轴上不具有衰减性。 所以傅立叶变换利用了原始信号时域上的全部信息，这样傅立叶变换在时间域 上就没有任何分辨，它是一个纯粹的频谱分析，可以用来分析信号在频域上的 任意细节。 可以用相空间来直观描述变换方法在时间轴和频率轴上的分辨。所谓相空 间就是指以频率为纵轴，时间为横轴的二维空间，则傅立叶变换的相空间示意 图如图】1 1 所示。 直到7 0 年代，傅立叶变换还是信号处理中的主要工具，这是因为当时信号 处理中牵涉到的绝大部分都是语音或其它一维信号，这些信号可以近似认为是 一个高斯过程，同时由于信号的平稳性假设，傅立叶变换是一个很好的信号分 析工具。但是n - ；8 0 年代，随着图象处理的发展，傅立叶变换已经不太适合了。 因为图象一般来说都比较复杂，并不能简单地用高斯过程来描述，同时在图象 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 处理中，对图象中那些具有突变性质的结构特征( 如边缘等) 的重视已远远超 过了图象的平稳部分。所以需要一种新的信号分析工具来解决这个问题，希望 它能够更好地刻划信号的局部信息，能够更准确地描述信号在某个时间段上的 频域性质。 图1 - 1 1傅立叶变换的相空间示意图 1 1 2 短时傅立叶变换 由于傅立叶变换在时( 空) 域不具有任何分辨，即傅立叶变换不能够描述信 号在局部时间段( 空间段) 内的频域性质。为解决这个问题，在傅立叶变换中引 入了时间窗的概念1 ，构造成信号的短时傅立叶变换， s f ( p ，q ) 3 去0 叫虱葡邝渺 ( 1 _ 1 - 3 ) 其中g ( r ) l 2 ( r ) n - i l g ( t ) j l or 是一个窗函数，它在时间轴上滑动以得到信号时 域上的局部信息。窗函数一般取为g a u s s i a n 窗函数， 1 一 g a ( r ) = _ 每p 4 。 ( 1 - 1 4 ) 其中a 0 为一定值。 则对任意定值a 0 ，函数厂( f ) r ( r ) 的短时傅立叶变换为， 慨，。) ( 国) = f = 扩( f ) e - , o x k 。( 一b ) d t ( 1 - 1 - 5 ) 由于有 e 陋肋如= f = i = 吣“) g 口( f 一6 脚 m 6 1 = e 厂( r ) e 1 “跚d 。( f - 6 脚= 夕( ) 、。 也就是说，f 的短时傅立时变换集合阮。厂：b r 精确分解了，的傅立 叶变换，给出f 在局部时间内的频谱信息。 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 定义窗函数宽度为 铲掣 ( 1 - 1 7 ) 可以知道对于高斯窗g a ( ，) 而言，a 。= 2 口，其傅立叶变换为 e e - a t 2 e - l a s t 拈挣百( 1 - 1 _ 8 ) 所以 鼬咖f ：志e 百e 1 嘞 一生一生 ( 1 - 1 9 ) ：= _ 一厮。4 云：。4 击：g ( ) 2 d 石 。者 。 且有 蚝= z 压= 仨 则时域窗和频域窗宽度的乘积为 a 。= z 石正= z ( 1 - 1 - 1 0 ) 是固定的，而且时域窗和频域窗在整个时间轴和频率轴上尺寸都是一样 的，其时间一频域窗可以表示为 “啦去川爿 m m ， 短时傅立叶变换在相空间上的示意图如图1 - 1 2 所示。 6 l b 2 t 图1 1 2 短时傅立叶变换相空间示意图 从以上的分析可以知道短时傅立叶变换在窗函数固定下来以后，它的频 国防科学技术大学研究生院学位论文 率窗和时间窗的大小和形状都固定了。为了更加精确地分析信号的局部化信息， 需要选择窗函数国使得时间一频率窗具有充分小的面积4 。，以分析信号足 够精细的局部信息。 但是由测不准原理可以知道不可能得到任意小的时间一频率窗面积。 h e i s e n b e r g 测不准原理 定义， 时域窗中心： 时域窗宽度 b ：，e 丁l f ( t ) i f 2 t d t ( 1 - 1 - 1 3 ) f = 一 ”口厂( f ) 2 d t 驴：粤坚竺 m 4 ， 口邝) f 2 d t 、 同样在傅立叶频域上定义 频域窗中心 频域窗宽度 ”器 耐：盥迹竺二型竺 l q f ( o ) 1 2 d c o 则有 f - 国j 1 或a t 2 a o u 2 i 1 ( 1 - l - 1 7 ) 1 7 h e i s e n b e r g 测不准原理表明，在时间轴和频率轴上，不可能同时获得任意 小的精度。 在分析一个既具有很高频率分量，又具有很低频率分量的信号时，短时傅 立叶变换是不太合适的。因为高的频率在时域上只有很短的持续周期，要精确 分析这个频率分量，需要较窄的时间窗：而对于较低的频率成分，由于其持续 周期很长，故需要取一较宽的时间窗来分析。这种情况在图象处理领域内是比 较常见的。而短时傅立叶变换的时间一频率窗在整个时间轴和频率轴上都是保 持形状和大小不变的。所以需要有一种分析工具能够克服短时傅立叶变换的缺 点，使得它的时间一频率窗可以调整，在分析高频成分时呈现较小的时间窗宽 度，而在低频区域则呈现较大的时间窗宽度。于是就出现小波变换这种强有力 的被称为“数学显微镜”的信号分析工具。 小波变换是基于小波函数y 的，y 必须满足“容许性”条件， 第7 页 回 0 0 j 0 0 国防科学技术大学研究生院学位论文 c ，= e 警 。o 。 ( 1 - s ) 等价地有 r 妒( f ) 西= 0 。( 这就是y 被称为小波的原因)( 1 - 1 1 9 ) 对任意的f l 2 ( r ) ，它的小波变换公式为， 呱厂地加小e 厂( f ) 玎三a 里y 西= ( 邝) ，口( f ) ) ( 1 - 1 - 2 0 ) 其中口，be r ( r ) ，且口0 ， l 矿6 ，。( f ) = = i 口i 一；g t ( t - d b ) 。( i - 1 2 1 ) 从式( 1 1 2 1 ) 可以看出，小波变换是通过信号与母小波函数妒的伸缩与平移 形式内积而实现的。 设母小波函数| i f ，的中心为t ，半径为，则函数。( f ) 的中心为b + a l ， 而其半径等于a a ，。由小波变换公式可以知道，小波变换在时间轴上的分辨窗 为， p + a t 一口y ，b + a t + + a a r j ( 1 1 - 2 2 ) ri 同样设母小波函数矿的傅立叶变换痧的中心为珊，半径为二，由于 如俐= 害p 吖等卜置譬e “钡删( 1 - 1 - 2 3 ， 所以函数既。的中心为生，而其半径为垒，由小波变换公式同样可 以知道，小波变换在频率轴上的分辨窗为， f 车一笠，尘+ 垒】( 1 - 1 2 4 ) l 口口口口l 这样，小波变换在相空间内给出了一个时间一频率窗 【6 州一吟加矿+ 呜】 等一等，0 口, - 一+ 等i ( 1 - 1 - 2 5 ， 这个时间一频率窗的面积为2 a a ，。丢p = 4 a r ，与它在相空间的位置 无关，在整个相空间内它的面积都是保持不变的。但是，它的时间窗宽度为 2 a a 。，随着口的变化而变化。在口较大时，时间窗会自动变宽以检测低频信息； 而a 较小时，时间窗会自动变窄以检测高频信息。它在相空间内的示意图如图 1 1 - 3 所示。 。 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 w w q w 呸 图1 1 3 小波变换相空间示意图，q 口： 同时，在频率窗上可以知道， 尝掣：；：尘( 1 - 1 2 6 ) 一：一 - 一 带宽 p2 a 口 中心频率与带宽的比与中心频率的位置无关，即这个比值在任意频率位置 都保持为一个常量，称为“常数一q 滤波”。这种现象同样说明了小波变换的时 间一频率窗的可调整性，在频率较大的位置，由于“常数一o 滤波性质”，其频 率窗带宽要相应增大，由于整个时间一频率窗的面积是不变的，频率窗带宽增 大的结果是使时间窗宽度变窄，而在频率较小的位置，时间窗的宽度的变化正 好相反，所以在整个相空间上，时间一频率窗保持了随频率的大小而调节形状 的特性。 1 2 小波变换的种类 在第一节e p ，我们已经知道，f l 2 ( r ) 的连续小波变换为， c 胛( 伊l 口l e ，( ，) 攻譬卜 ( 训) 其中，口，b 为整数。参数口被称为尺度参数，参数6 被称为偏移因子。 令r = a t ，则连续小波变换公式为 c w t ( f ) = h ；胁) 卜 ( ”2 ) 国防科学技术大学研究生院学位论文 从( 1 ) 式可以看出，当尺度日增加时，f 丝1 在时域上扩展，对越来越长 口 的时间范围内的信号，( ，) 起作用，而从( 2 ) 式，当尺度口增加时，信4 号f ( a t ) 在时 域上的收缩越来越厉害，而滤波器长度保持不变。所以说，尺度参数a 所起的 作用与地图上的比例尺类似，当尺度越大时，表示的是全局的概况，而尺度越 小时，则表示更详细的细节内容。 在实际应用中，常用的小波函数有以下几种： 1 墨西哥草帽小波函数 1 2 妒( f ) = ( 1 一r2 ) e 2 ( 1 - 2 3 ) 它是高斯函数妒) = 2 e 的二阶导数。 2 m o r l e t 小波函数 y ( f ) = e t o “t e 2 i r a l 1 2 2 小波框架 ( 1 2 - 4 ) 连续小波变换对信号的表示冗余度是很高的。在实际应用小波变换时，需 要对连续收缩因子口和偏移因予b 作离散化处理。问题是，怎样保证在口、b 离 散化以后，使得信号在小波分解后能够完全重构出来。 两个尺度a 。 z ，根据n y q u i s t 定理，在尺度a 上 的小波系数再抽样的比例是在尺度上的小波系数再抽样比例的兀 倍，所 以很自然地将口，b 离散化为 口= o 。 ， b = k a o 。其中j ，k 为整数。( 1 - 2 - 5 ) 如下图所示， ； ； ? ”r 一r - 丫一”“- + 了- 了 图1 - 2 1 小波离散化示意图，a = 2 ，b = k 2 ， 相应的小波函数虮。( f ) 为 锛1 n 面 国防科学技术大学研究生院学位论文 少卅( f ) = a o - i 妒, ( a o - j l k ) 一个特殊的取法是a 。= 2 ，则相应的小波函数为 一 i ( t ) = 22 妒( 2 1 卜k ) 。 这种小波函数被称为二进制小波，在这种情况下， 信号与小波函数y 似( r ) 的内积： 州2 j 厂( f ) y ”( f 。 ( 1 - 2 - 6 ) ( 1 - 2 - 7 ) 信号f ( t ) 的小波变换为 ( 1 2 8 ) 如果小波函数y 似( f ) 满足以下条件 m r ，而= 产嚣 m z 却 则可以认为所有的缈卅( ，) 构成了r ( r ) 上的一个正交基。l 2 ( r ) 上的任意函 数可以用这个正交基来描述，信号可以由小波基函数的加权和来表示， 邝) = w f ( f ) ( i - 2 1 0 ) 1 3 多分辨率分析、m a l l a t 算法与滤波矗组 最简单的正交小波基是h a a r 小波基。8 0 年代中、前期，随着分析科学和 信号处理科学的发展，小波变换的研究才开始真正引起研究人员的注意。 s t r o m b e r g ，m e y e r t ”】，l e m a r i 和b a t t l e 等从尺度函数出发构造了正交小波基。 稍后，m a l l a t i ”1 1 2 0 】将多分辨率分析的思想引入到小波分析理论之中，将此前的所 有正交小波基的构造统一起来，并给出了小波分解与重构的算法- - m a l l a t 算法， 并将其应用于信号和图像的分解与重构。m a l l a t 算法在小波分析中的地位相当 于快速傅立叶变换( f f t ) 在经典傅立叶分析中的地位。特别是d a u b e c h i e s t 2 8 | 【2 9 1 的研究和小波变换方面的权威著作“t e nl e c t u r eo nw a v e l e t s ”【l ”的出版，使非 数学专业的研究人员可以直接应用已经构造好的小波滤波器，小波变换的研究 与应用进入了一个新的时期。 本节讨论信号的正交小波变换及其具体的实现算法。并且着重讨论了小波 变换与多分辨分析、滤波器组之间存在的关系，指出了小波变换实质上可以用 级联的滤波器组来实现，在每一级上，滤波器组由低通滤波器和高通滤波器组 成，分别对应尺度函数和小波函数。 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 3 1 多分辨分析 定义1 3 1 一个函数( f ) l z 似) 被认为生成一个多分辨率分析( m r a ) 。 如果用 = c f d s m ，移卅，k z ，z ( 1 3 一1 ) 定义的l 2 ( 月) 的子空间矿，满足如下性质( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 、( 5 ) ， 1 ) c h lc k c k c 2 ) c l o s l ：( u r n ) = r ( r ) j e z 3 ) n = o ) i e z 4 ) v j + 。= 一+ 杉，j z 5 ) f ( x ) 矿，f ( 2 x ) + ，j z 并且使如( 一) ，k z 形成v o 的一组r i e s z 基。庐( f ) 称为是一个尺度函数。 在式( 1 3 - 1 ) 中，矽m 为： 妒( f ) = 2 以( 2 t 一女)歹，k z( 1 3 2 ) 在多分辨率分析的定义中，只要求使 ( - k ) ，k z 形成的一组r i e s z 基，但是根据这个理论，又可以通过构造得到某个( f ) ，使得移( - 一女) ，k z 构 成的规范正交基，从而移小，女z ；构成矿，的规范正交基，这样，由于 去( ) c ，有 去妒畸) = ( 女) ( f 一女) ， ( 1 0 3 ) vz 女e z 其中， m ) = ( 击( 扣( r j j ) ) ， ( 1 _ 3 - 4 ) 式( 1 3 3 ) 有时候称为“二元尺度方程”。事实上，h ( k ) 完全决定了一个多 分辨率分析，或者更明显的说，某个 ( t ) 序列它唯对应了一个尺度函数( f ) ， ( t ) 在实际应用中相当于起到一个低通滤波器的作用。从旷的规范正交基 劬小，z 出发t 又可以构造得到某个小波函数y ( f ) ，使得移小，k zj 构成 ，的规范正交基，并且满足正交补的关系，即 一一。o 一一= _ r 1 3 - 5 ) 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 这样，又由于击j ；f ，( 圭) 矽，c ，有 击鸣) = 乏贴磁h ) ， 其中， 舭，= 绩哆吲) ， g ( k ) 在实际应用中相当于起到了一个高通滤波器的作用。 由一的性质( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) ，以及式( 1 - 3 3 ) ，易得 ，曼一。矿- 。彬。= 2 ( r ) 因此，移。，k z 构成r ( r ) 的一个规范正交基。 1 3 2m a l l a t 算法 ( 1 - 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 - 3 8 ) 给定一信号，( f ) ，由于得到的信号总是有一定的分辨率，可以设厂( f ) y ， ( j t 为一确定整数) ，以尺度函数为正交基分解得到， 厂( f ) = a s ，厂( f ) = q 一九j ( ，) ( 1 - 3 9 ) e z 由一一o 一。= ，j z ，有 f ( t ) = a s ，f ( t ) = a j i - i 厂( f ) + d s i - i 厂( f ) ( 1 - 3 1 0 ) 其中， a s ，一。厂( f ) = c s ，扎。九 ，( f ) m e z d s 一厂( f ) = 。一。( r ) m e z 由第一部分知道， 。，九 。) = 噍。 ( 办一，虬l - 1 。) = g 。， 所以有 q 。吐，= 。c 1 t z d 一，= g h ，c s ( 1 - 3 - 1 1 ) f l 一3 - 1 2 ) ( 1 - 3 一1 3 ) f 1 - 3 - 1 4 ) ( 1 - 3 1 5 ) ( 1 3 一1 6 ) 可以用同样的方法对一十一，( r ) 进行分解得到4 。一2 f ( t ) + d a 一2 厂( f ) ，并得到相 应的系数q 一，与协吐，如此进行下去，直到满足需要为止，这就是m a l l a t 分解算法，也称为小波分解或小波变换，其图示如图1 - 3 1 。 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 罐铅球 q pq 。q - 2 斗q 。斗q 吐 图1 - 3 1m a l l a t 分解示意图 i g r j - ( 1 3 一1 4 ) 式两边同时与九_ 作内积，可以由尺度j 。一l 上的尺度系数和小 波系数得到尺度j 上的尺度系数， q 一= 。0 一，。+ 反。d ，吐，( 1 - 3 - 1 7 ) m zm e z 由上式可以构造m a l l a t 重构算法，如图1 3 2 所示， q 乜一 三。q 1 3 3 小波变换与滤波器组 从上面m a l l a t 算法的讨论可以知道，信号f ( t ) 的小波分解或小波变换实际 上就是求分解系数c 。与d 这些系数可以通过对初始系数c 。运用式( 1 3 1 5 ) 和( 1 3 1 6 ) 得到，重构过程则相反。在理论上，系数c 。要通过初始信号f ( o 与 小波基通过内积求得，然而，在实际应用中，则常将系数c 。= f ( k ) ，f ( k ) 为 信号f ( t ) 的离散形式，因为实际处理的均是离散信号。另外，从式( 1 3 1 5 ) 、( 1 3 1 6 ) 与( 1 3 1 7 ) 可以看出，无论是小波分解还是小波重构，都是通过与离散滤 波器& ( 女) 和g ( k ) 的卷积运算进行的，所以m a l l a t 算法可以从滤波器组的角度来 认识。滤波器组的每一级都由低通滤波器和高通滤波器组成，低通滤波器对应 尺度函数，其输出是信号的低频近似部分，而高通滤波器对应小波函数，其输 出是信号的高频细节部分。 在小波变换的一级上，对应的滤波器组形式如图1 3 3 所示。 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ，0 ) 分解 重构 图1 3 3 信号的一阶小波分解与重构过程 j ，2 表示2 ：l 下抽样，即每两点取一点 个2 表示零插值，即每两点间补一个零点 ，0 ) 在图1 3 3 中，h ( n ) 与g ( n ) 称为分析滤波器，其中h ( n ) 为低通滤波器， g ( ) 为高通滤波器，而h ( n ) 与g ( n ) 称为综合滤波器，其中h ( n ) 为低通滤波器， g ( n ) 为高通滤波器。可见，在每一尺度上，信号的小波分解实际上是通过一个 高通滤波器和一低通滤波器，将信号分解成一个低通分量和一个高通分量。这 样信号的小波分解与重构实质可以认为是通过滤波器组的分析与综合实现的。 对于每一尺度上的低通分量再通过同样的滤波器，得到下下一尺度上的低 频分量和高频分量，如此通过一个级联的滤波器组可以实现对信号的多个尺度 上的小波分解， 氍 叶回剧 分解 重构 图1 3 4 二阶级联滤波器组用于小波分解与重构 对应正交小波变换的滤波器组是完全重构滤波器组，它一般满足如下关 系， h ( n ) = h ( - n ) ，g ( n ) = g ( 一i 1 ) ，g ( n ) = ( - 1 ) ”h ( 1 一以) 滤波- 器h ( n ) 、g ( n ) 、h ( n ) 、g ( n ) 的具体形式与所选择的小波基类型有关， 以六阶d a u b e c h i e s 性能为例，h ( n ) 的系数为 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 0 3 3 2 6 7 1 ，0 8 0 6 8 9 2 ，0 4 5 9 8 7 8 ，- 0 1 3 5 0 1 1 ，一0 0 8 5 4 4 1 ，0 0 3 5 2 2 6 ) 则相应的g ( h ) 系数为， 0 0 3 5 2 2 6 ，o 0 8 5 4 4 1 ，一0 1 3 5 0 1 1 ，一0 4 5 9 8 7 8 ，o 8 0 6 8 9 2 ，- 0 3 3 2 6 7 1 这两个滤波器的频域响应如下图所示， 图1 - 3