数学奥林匹克初中训练题（94）含答案.doc

数学奥林匹克初中训练题（94）第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1已知a、b、c是两两不相等的实数则方程（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=0根的情况为（ ） （A）必有两个不相等的实根 （B）没有实根 （C）必有两个相等的实根 （D）方程的根有可能取值a、b、c2在半径为1的圆内，自点A出发的所有长度不小于该圆的内接正ABC的边长a的弦，所组成的图形的面积为（ ） （A）+ （B）+ （C）+ （D）+3已知a、b为实数，设b-a=2 006，如果关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的根都是整数，则该方程的根共有（ ）组 （A）4 （B）6 （C）8 （D）104如图是一个三角形数表，从上到下依次称作第一行、第二行、已知该三角形数表中每个“”中的数均为正整数的倒数，且等于与其相连的两脚下数之和如果第一行中的那个数是，则第三行中的数从左至右的填法有（ ） （A）恰有一种 （B）恰有两种 （C）恰有三种 （D）有无数多种5在ABC中，ABBC0，所以，方程必有两个不相等的实根2D由题给条件易知，这些弦组成的图形恰为正ABC及其所对的弓形设ABC的中心为O，则小扇形BOC的面积为而 SAOB=SAOC=12sin120= 故所求的图形的面积为+3B 由韦达定理得x1+x2=-a，x1x2=b，则x1+x2+x1x2=2 006 所以，（x1+1）（x2+1）=2 007=9223 =-9（-223）=3669=-3（-669）=12 007=（-1）（-2 007） 易知方程有6组解4C 设第二行的两个数为m、n，则=1（m、nN+）于是，m=，解得n-1=1从而，n=2，且n=2，即第二行的数只能为， 设第三行中脚下的两个数为=（m、nN+） 则m= 故（n-2）4，知n-2=1，2，4于是，故第三行的数由左到右是 ，或，或，5B如图，过点E作EFAD交CD于点F，设AB=x，则 有BD=DF 所以，DG为BEF的中位线，则BG=GE 又BAG=EAG，所以，AB=AE=x 得CE=AC-AE=AC-AB=2 又因EFAD，所以=2 故DF=，CF=1 而 及，故x=2 006 因此，BC=2 0076D （1）选择题及填空题的得分有0，7，14，70共11种可能，解答题得分有0，5，10，70共有15种可能，故产生1115=165种结果 （2）下列23个分数0，5，7，10，12，14，15，17，19，20，21，22，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34可以得到且只有一种获得方法；又35=75=57，即35分可表示为做对5个7分或7个5分的题，故前面23个分数相应分别加上35所得的分数均有两种获得方法于是，这新的23个分数各有两种获得方法，且均小于70根据对称性，用140减去新的23个分数所得的数也均有两种表示方法，这些数恰为71到140之间的能够取到的分数前后共计223=46个数 （3）由70=710=514=75+57，知共有三种获取方法 故满足不重复的要求的不同分数共 165-46-2=117（种）二、1-1或8 令=k，则 b+c=（k+1）a，c+a=（k+1）b， a+b=（k+1）c 于是，2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c） 故a+b+c=0或b+c=2a，c+a=2b，a+b=2c 所以=-1或82如图，在ABD中，应用梅涅劳斯定理得 =1， 即 在ADC中，应用梅涅劳斯定理得=1，即 则=1 故=3，即=3 所以，3mn=m+n2，解得mn 而一次函数y=-x+n与x轴、y轴的交点坐标为（m，0），（0，n），故所求的三角形的面积S=mn，且当且仅当m=n时，等号成立 注：本题也可以用特殊值法求解33设n个正方形的边长分别为x1，x2，xn，则x12+x22+xn=2006.由于xi20或1（mod 4），而2 0062（mod 4），故xi中至少有两个奇数。若n=2，则x1、x2均为奇数，设为2p+1、2q+1， 故p2+p+q2+q=501。 但是p2+p，q2+q均为偶数，矛盾 若n=3，可设 x1=2p+1，x2=2k，x3=2q+1 则（2p+1）2+（2k）2+（2q+1）2=2 006， 即p2+p+k2+q2+q=501 显然，k为奇数且k，故k21 当k=1时，p2+p+q2+q=500无正整数解； 当k=3时，p2+p+q2+q=492有解 p=8，q=20 故得172+62+412=2 006，所以nmin=34由对称性知，A1B1A2C2，B1C1A2B2，C1A1B2C2，即RtA1AF，RtA2AB，RtB1CB，RtB2CD，RtC1ED，RtC2EF全等故考察RtA1AF 设A1B1=a（aN+），AA1=x，则AF=x，A1F=2x，有x+x+2x=a解得x= 故SA1AF=x2=（）2 则S=a2-3SA1AF =a2-a2 由已知S=及a为正整数，m、n为有理数，得m=第二试一、设在RtABC和RtA1B1C1中，直角边分别为AC=b，BC=a及A1C1=b，B1C1=a1，斜边为AB=c及A1B1=c1，根据题意得 式两边平方得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a12+b12+c12+2a1b1+2b1c1+2c1a1，并结合，得c（a+b+c）=c1（a1+b1+c1） 再利用式得c=c1 于是，a+b=a1+b1=m，ab=a1b1=n 则知a、b是方程x2-mx+n=0的解，同时a1、b1也是该方程的解 故必有 不妨设a=a1，b=b1于是，得a=a1，b=b1，c=c1 从而，RtABCRtA1B1C1，命题得证二、（1）设2 004k+a=m2， 2 004（k+1）+a=n， 这里m、n都是正整数，则n2-m2=2 004 故（n+m）（n-m）=2 004=223167 注意到，m+n、n-m的奇偶性相同，则 解得 当n=502，m=500时，由式得2 004k+a=250 000 所以，a=2 004（124-k）+1 504 由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，124，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共124组 当n=170，m=164时，由式得2 004k+a=26 896 所以，a=2 004（13-k）+844 由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，13，相应得满足要求的正整数数组（k，a）共13组 从而，满足要求的正整数数组（k，a）共有 124+13=137（组） （2）满足的最小正整数a的值为1 504 满足式的最小正整数a的值为844 所以，所求的a的最小值为844三、根据同弧所对的圆周角相等，得 DAN=DBC，DCN=DBA 又因为DAN=BAM，BCM=DCN， 所以，BAM=MBC，ABM=BCM 有BAMCBM，则，即BM2=AMCM 又DCM=DCN+NCM=BCM+NCM=ACB=ADB， DAM=MAC+DAN=MAC+BAM=BAC=CD