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简支板梁桥车桥振动的横向分布特性研究 摘要 随着国民经济的发展，对交通的需求日益提高，众多的高速公路及城市快速 干道相继修建。公路桥梁上行驶车辆的轴重加重、速度提高，车流密度也相应提 高。同时，简支板梁桥又是小跨径桥梁最常用的桥型之一，因此，移动车辆荷载 引起的简支板梁桥动力效应越来越被工程技术界所关注。 本文首先介绍了桥梁动力学的基本理论及数值计算理论，然后将板梁桥简化 为欧拉伯努利梁，分别采用移动荷载及车桥振动模型进行板梁的动力响应及冲击 系数分析。最后，通过对移动荷载的简化，提出了板梁桥动力响应横向分布的概 念，应用有限单元法和解析法分析了窄桥和宽桥的动力响应。具体内容如下： l 、以板梁桥的单块板梁为研究对象，将板梁桥简化为欧拉伯努利梁。首先， 用移动荷载对板梁的动力响应进行分析，同时建立了板梁的有限元模型，将数值 结果与解析解对比，然后分析了不同跨径不同速度下板梁的动力响应，在此基础 上又分析了板梁桥的冲击系数，并考虑了速度与跨径对冲击系数的影响。其次又 用车桥振动模型对板梁桥进行分析，建立了车桥振动微分方程，并用n e w m a r k 法进行求解，同样分析了不同跨径不同速度下板梁的动力响应，在此基础上又分 析了板梁桥的冲击系数，并考虑了速度与跨径对冲击系数的影响。并与移动荷载 模型对比，同时得到的冲击系数又与规范规定的冲击系数进行了对比。 2 、以板粱桥整桥为研究对象，采用移动荷载来模拟车辆荷载，通过对移动 荷载的简化及假设，提出了板梁桥动力响应横向分布的概念，推导了计算板梁桥 各梁动力响应的解析解，并建立了板梁桥的有限元模型对板梁桥进行有限元分 析，对两种方法所得结果进行比较分析。并且分别对窄桥及宽桥进行分析，得出 公式的适用性。并用本文方法与规范方法的计算结果进行对比，验证本文方法的 正确性和规范的安全性。 本文提出的研究方法和成果，将为简支板梁桥的动力分析的进一步研究提供 一定的理论依据，也对筒支板梁桥的动力设计及移动荷载识别有一定的参考作 用。 关键词：板梁桥动力响应移动荷载冲击系数车桥振动横向分御 s t u d yo nt r a n s v e r s e d i s t r i b u t i o no fb r i d g e - v e h i c l e i n t e r a c t i o no fs i m p l ys u p p o r t e dp l a t eg i r d e rb r i d g e a b s t r a c t a st h en a t i o n a le c o n o m yc o n t i n o u s l yi n c r e a s e s ，m er e q u i r 咖e n tf o rt m l l s p o n a t i o ne s c a l a t e s s o ，m a n yh i 曲w a ya n dc 时舶e w a y sh a v eb e e nb u i l tr e c e n t l y a m d b e c a u s eo fh i 曲s p e e do fv e h i c l ea 1 1 dh e a v yt r a m co nt 1 1 eh i g l l w a yb r i d g e s ，a n da l s o b e c a u s et h es i m p l ys u p p o r t e dp l a t eg i r d e rb r i d g ei s 仙em o s tf b q u e n t l yb r i d g et y p eo f g n l c t u r eu s e di nt h eb r i d g ed e s i g n s ot h ed y n 枷cr e s p o n s eo ft h ep l a t eg i r d e rb r i d g e u n d e rm o v i n gl o a d sa r et h ep r o b l e mw h i c hi sc o n c e m e da b o u ta l la l o n 参a n da l s oa p r o j e c tt ob es t u d i e dd e e p l y i nt l l i s p a p e r ，t h e 廿1 e o r i e so fb r i d g ed y n 删c sa l l dn u m e r i c a lc a i c u l a t i o na r e i n 订o d u c e df l r s t l y ，a n d _ 【1 1 e ne u l a rb e 唧i sd e c i d e do na sm es i m u l a t i o no f b m d g e a n d m o v a b l ei n v a r i a b l el o a da n dm o v a b l ev i b r a t i o nm o c l ca r ed e c i d e do na st h es i m u l a t i o n o f v e h i c l el o a d st oa 1 1 a l y s et h ed y n 栅i cr e s p o n s e 绷dt 啪s v e r s ed i s t 曲u t i o n0 f t l l ep l a t eg i r d e r b r i d g e a tl 喊，p r e s e n tt 1 1 ec o n c 印to ft r a i l s v e r s ed i s t 曲u t i o no ft i l ep l a t eg i r d e rb r j d g e a n d t h ew i d eb d d g e sa n dn a r r o wb “d g e sa r ea n a l y s e dw i t hf e am e t h o da n da n a l y s i s m e m o d t h em a i nc o m e n t sa r ea st h ef o l l o w i n g ： 1 v i e v i n gm es i n g l ep l a l eg i r d e ra st h es t u d y i n gt a r g e t ，e u l a rb e a mi sd e c i d e d0 na s m es i m l l l a t i o no fb i r i d g e f i r s t l y ，d y n 锄i cr e s p o n s e so fp l a t eg i r d e ra r ea i l a l y s e d w i t hm o v a b l ei n v a r i a b l el o a da n dt 1 1 e nc r e a tf e am o d e lo f p l a t eg j r d e c o m p a r et h e n 啪e r i c a l 柚dt h ea n a l y s i sr e s l l l t s n e na i l a l y s et h ed y n 砌i cr e s p o n s e so fp l a t e g i r d e rw i t h d i 丘l e f e n t s p e e do fv e h i c l ea 1 1 dd i 艉r e n ts p a no fb 删g e ，a n d 宅l l e i n n u e n c eo fd i 腩r e n ts p e e do fv e h i c l ea n dd i 虢r e n ts p a l lo f b r i d g co ni m p a c t i n g f a c t o ro fp l a t eg i r d e rb r i d g ei sa 1 1 a l y z e d a n dd y l l a m i cr e s p o n s e so fp l a t eg i r d e ra r e a i l a l y s e dw i mm o v a b l ev i b r a t i o nm o d ea n dt h e nc r e a tb r i d g c - v e h i c l ei n t e r a c t j o n d i f f 色r e n t i a le g u a t i o no fp l a t e 百r d e l t h en e w m a r km e t l l o di su s e dt os o i v et h ed i f 诧r 朗t i a l e g u a t i o n a i s oa n a l y s e 廿l ed y n 舢i cr e s p o n s e sa n di m p a c t j n gf 如t o ro fp l a t eg i r d e rw j t h d i f f 打e n ts p e e do fv e l l i c l ea n dd i 旋r e n ts p a l lo f b r i d g e a n dt h er e s m t so b t a i n e d w i t ht h e 似om e t l l o d sa r ec o m p a r e da n da n a l y z e d t h ei m p a c t i n gf 乱t o ro b t a i n c d 谢1t h et w om e t h o d sa r ec o m p a r e d 、v i t l lt l l en e wc o d ea i l dt l eo l dc o d e 2 v i e 、 l ，i n gt h es i n g l ep l a t eg j r d e r b r i d g ea st 1 1 es t u d y i n gt a r g e t ，v e h i c i el o a d si s s i m p l i f i e da sm o b i l ei n v “a b l el o a d f i r s t l y ，p r e s e mt l l ec o n c e p to ft r 柚s v e r s e 1 1 d i s t r i b u t i o no ft h ep l a t eg i r d e rb r i d g eo nm o v i n g1 0 a d ，d e d u c e 血ea 1 1 a l y s i sr e s u l t so f d y n a m i cr e s p o n s eo fe a c hb e a mo fp l a t eg r d e rb r i d g e ，a n dc r e a tf e am o d e lo fp l a t e g r d e r b r i d g ea n da n a l y z e d 谢mf e am e t l l o d t h er e s u l t so b t a i n e dw i t ht h e 佃o m e t h o d sa r ec o m p a r e da n da n a l y z e d a n da i l a l y z et h e 埘d eb r i d g e sa n dn a r r o w b r i d g e s ，g e tt h ea p p l i c a b i l i t yo ft h ea 1 1 a l y s i s 础m l t s t h em e t h o da 1 1 dr e s u h so f m i sp 印e rw i np r o v i d ec e r t a i nt h e o r e t i c a lm e t l l o d 卸dr e f b r e n c ef o rc o n t 协u o u s r e s e a r c ho nd y n 锄i ca n a l y s eo ft h es i m p l ys u p p o n e d p l a t eg i r d e rb r i d g e a n da l s o p r o v i d ec e n a i nt h e o r c t i c a lm e t l l o da n dr e f e r e n c ef o rc o n t i n u o u sr e s e a r c ho n d y n 踟i cd e s i g na n dm o v i n gl o a d si d e n t i f i c a t i o no ft 1 1 es i m p l ys u p p o r t e dp l a t e g i r d e rb r i d 譬e k e yw o r d s ：p l a t e 舀r d e rb d g e ，d y n a m j cr e s p o n s e ，m o v i n gl o a d ，i m p a c t i n gf k t o lb r i d g e - v e h i c l e i n t e r a c t i o n t r 卸s v e r s ed i s t r i b u t i o n i l l 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 论文选题的意义 随着国民经济的发展，对交通的需求r 益提高，众多的高速公路及城市快速 干道相继修建。公路桥梁上行驶车辆的轴重加重、速度提高，车流密度也相应提 高。同时简支板梁桥【3 1 啦! 又是小跨径桥梁最常用的桥型之一，一般有以下优点： ( 1 ) 建筑高度小，适用于桥下净空受限制的桥梁，可以降低桥头引道路堤高度和 缩短引道长度。( 2 ) 外形简单，制作方便，即便于现场整体浇注，又便于进行工 厂化成批生产。( 3 ) 做成装配式板桥的预制构件时，重力小，架设方便。 板梁桥的主要缺点是跨径不宜过大。跨径超过一定限制时，截面显著增大， 从而导致自重过大，不经济。此外，装配式板桥是通过铰缝传递横向荷载的，整 体性差，因而在通过特殊重载车辆时无超载挖潜能力。 特别是在车辆动载作用下，桥面板的铰缝混凝土可能完全丌裂或脱落，造成 梁板之间的横向联系破坏，而且车辆在桥上行驶都会产生冲击影响，而冲击影响 一般都是用冲击系数简化的方法，即将车辆荷载的动力作用影响用车辆的静力乘 以冲击系数来表示。但是冲击系数受很多的因素影响，所以得到的动力效应不是 很准确，因此，移动车辆荷载引起的简支板梁桥动力效应越来越被工程技术界所 关注。 目前，在分析桥梁的动力响应问题时，桥梁一般根据宽跨比的大小被简化为 正交异性板或梁，宽跨比大的简化为正交异性板，宽跨比小的简化为梁来分析。 这样一来，桥上的每根粱的动力响应都是相同的，面对于简支板粱桥来说，由于 铰缝的存在，桥上的各根梁的动力响应应该是不尽相同的，动力响应也是存在横 向分布的，而目前这方面的研究很少。近2 0 年以来，由桥梁的响应识别桥上移 动荷载的研究进展很快，求解桥梁的响应是移动荷载识别模拟研究的重要部分。 所以对简支板梁桥的车辆荷载作用下的动力响应的横向分布分析，可以为简 支板梁桥的动力设计提供一点理论依据，进一步完善设计理论，便于工程设计应 用，同时对移动荷载识别有一定的参考作用。 浙江大学顺士学位论文 1 2 研究现状 1 2 1 车桥振动的研究现状 车辆以一定的速度通过桥梁，桥梁受到车辆荷载的激励会产生振动，反过来 桥梁的振动对于车辆来说也是一种反激励，因此车辆和桥梁的振动是一个相互影 响，相互耦合的过程，我们称之为车桥耦合振动问题【1 j 。 关于车辆通过桥梁时的振动研究己有一百多年的历史，起源于铁路桥梁。早 在1 8 2 5 年f 2 3 1 ，世界上建成第一座铁路桥梁以来，科技工作者就开始了对车载和 桥梁相互作用研究探索的漫长过程。1 8 4 4 年，法国和英国桥梁科研工作者对著 名b r i t a n n i a 桥做了模型试验。1 8 4 9 年，r w “l i s 【2 川提交了第一份关于桥梁振 动研究的报告，探讨了c h e s t e r 铁路桥梁倒塌的原因。在随后的一个世纪中，人 们对车桥共振问题作了大量的理论和实验研究，对弄清车桥共振机理，揭示激励 的原因和车桥共振的特点都有了较为深入的了解，并且具有一定的实践价值。 我们一般称其为车桥振动的古典理论。 实际上，由于实际桥梁和车辆耦合振动系统本身的复杂性，并且车型和桥型 又种类繁多，以及引起振动的各种激振源的随机性，古典理论显然不能全面合理 的模拟车桥耦合振动问题。2 0 世纪7 0 年代末，随着电子计算机的应用以及有限元 技术的发展，使得车桥耦合振动的研究有了飞速的进步。 e d i a n a l ”6 】探讨了大跨度悬索桥的列车走行问题( 以及列车在已经发生变形 的大跨度悬索桥上运行时的动力响应) ，m o l s s o n l 7 】采用有限元一模态技术求解车 桥动力响应。 g r e e n 和c e b o n 【8 母1 提出了在频域内求解分离的车桥系统方程的新方法，他们 利用模态脉冲响应函数与模态激扰力。采用模态迭加法并结合f f t 和i f f t 技术来 求解桥梁的动力响应；y e o n g b i ny a n g 【l o - 1 1 1 采用动态凝聚法求解车桥系统的动力 响应问题，由于将所有与车体有关的自由度在单元级进行凝聚，使得计算效率大 为提高；b o g a e r t f l 2 j 采用简化的车辆模型，研究高速列车通过肋式拱桥的竖向振 动冲击效应，并给出了冲击系数的简化表达式。 m u l c a h y ，h u t t o n 等及g u p t a 先后用有限元( 条) 法结合模态分析技术研究了 公路桥梁在双轴车辆通过时的动力响应【j 3 】。他们将简支梁桥理想化为有限条的 渐江大学硕+ 学位论文 集合，用广义模态坐标表示桥梁响应，将车辆理想化为两轴模型。并且在模型中 考虑了桥面不平顺对车桥振动的影响。 国内有关科研院校从7 0 年代末8 0 年代初开始，对车桥祸合振动理论进行了较 系统的研究工作。 谭国蜊1 4 】把桥梁和车辆视为一个相互作用的系统，以模拟桥梁在汽车行驶 时的动态性能与反应该系统中将桥梁结构理想化为二维的格排粱，可以包括扭 转和横向振动等高阶振型的效应。三维的汽车模型，具有竖向位移与纵向摇摆的 振动自由度，可以有各样的非线性支悬装置与轮胎。 单德山、李乔f 3 7 】以某铁路曲线连续梁桥方案为例，讨论了大跨度铁路曲线 梁桥的车桥耦合振动。在对曲线梁桥车桥耦合振动的分析中，建立了铁路车辆曲 线通过模型动力方程和曲线梁的动力模型及其动力方程；应用了一种基于激励非 线性振动的数值方法算法，取得了较好的计算结果。分析中将车辆和曲线连续粱 桥分为两个由非线性轮轨接触力所联系的振动子系统，通过迭代法进行求解，轨 道不平顺采用在给定轨道条件下的人工模拟不平顺，在分析过程中计入了不同车 速对曲线通过的车辆及曲线连续梁桥振动的影响。 陈炎、黄小清、马友剔3 8 1 通过用正弦波形模拟桥面的不平和考虑移动车辆 一桥梁间的相互作用，在e u l e r - b e m o u l l i 梁理论的基础上建立了种车桥系统的 耦合振动模型。利用模态分析法和r u n g e k u t t a 法对模型进行数值求解，获得了 车桥系统耦合振动的动态响应和共振曲线。发现车桥耦合振动的共振曲线中存在 两个共振区域，一个反映主共振而另一个反映次共振。 张宏杰、曹艳梅、g d e r o e c k 埯通过建立随机激励下的车桥耦合系统的 空间动力模型，根据实测的轮对加速度，由时间序列自回归模型生成随机激励作 为系统的输入，对列车通过桥梁的全过程进行了计算机模拟，得到桥梁的动力响 应，并对计算结果进行了统计分析。 目前的车桥振动研究大都是对列车通过铁路桥的研究，特别是大跨度的铁路 桥，而对公路桥的车桥振动研究较少。随着交通事业的迅速发展，公路桥梁上行 驶车辆的速度提高，交通流量也相应提高，所以对公路桥梁上应用较为广泛的简 支板梁桥的车桥振动的研究也变得越来越有意义。 浙江人学硕士学位论文 1 2 2 冲击系数的研究现状 冲击系数是汽车过桥时对桥梁结构产生的竖向动力效应的增大系数。冲击作 用有车体的振动和桥跨结构自身的变形和振动。冲击影响一般都是用冲击系数简 化的方法，即车辆荷载作用的动力影响用车辆的重力乘以冲击系数来表达的。 由于各国的交通状况及车辆荷载的加载方法不同，所以冲击系数的计算方法 以及数值本身也大相径庭。例如，英联邦，由于已经在所规定的荷载值中考虑了 2 5 的动力作用，故在表面上未体现冲击系数。冲击系数的计算方法，德国采用 直线式、意大利采用二次曲线式。比利时考虑了车辆荷载的速度效应。奥地利未 将冲击系数规定为跨径的递减函数，而是规定了具体的数值。但是包括美国在内 的大多数国家，按工程设计的目的，为简明起见，在设计中将冲击系数规定为计 算跨径的递减函数。 加拿大的安大略省的桥梁设计规范中采用了动荷载增量的概念，将冲击系数 表示为不易发生共振的短跨桥及局部构件，分别补充了固定值o 3 0 和o 4 0 。桥梁 结构基频在2 5 4 5 h z 时，冲击系数取最大值o 4 0 ，这是考虑到这一频率范围内， 汽车频率接近桥梁固有频率，易引起共振。瑞士也研究过采用固有频率来考虑车 辆动态影响的方法。 目前对冲击系数的研究很多，国内外对这一问题均在进行大量的实验和理论 研究。应当特别指出，瑞士的e m p a 实验室f 1 5 】自1 9 2 4 年以来对移动荷载的冲击 系数进行了十分深入和系统的实验研究。他们指出车辆振动本质上是一种强追共 振现象，用放大谱，即把冲击系数定义为桥梁固有频率的函数，来代替现行的按 跨度递减的冲击系数公式更为合理。 宋一凡、贺拴海6 j 用结构动力学理论建立了公路桥梁行车状态下的动力简 化模型，分析了影响桥梁冲击系数的主要因素，提出了采用桥梁冲击放大谱计算 冲击作用的必要性。 刘菊玖、张海龙基于结构力学及随机过程理论，分析桥梁所承受车辆冲 击力与车辆、桥梁的动力特性及桥面平整度之间的关系，提出了确定冲击系数的 一种新方法，用示例将以此计算的冲击系数与我国现行的桥涵设计规范及加拿大 安大略省设计规范所取的冲击系数进行对比与分析。 张利宁【1 踟也运用随机振动理论，对车辆荷载作用下的桥梁冲击系数进行分 4 浙江大学硕士学位论文 析。以随机量的数字特征( 标准差o ) 为参数计算分析冲击系数，通过一座典型 桥为工程背景，进行实测和数据分析，得到基于挠度和钢筋应力的冲击系数，并 将其与部分国家以及我国各部门规范进行比较。 李玉良、孙福中等【19 j 从现场实测入手，采集桥上汽车荷载流对桥梁结构产 生的冲击系数随机样本，采用概率与数理统计的方法研究公路桥梁冲击系数的统 计规律，得到了公路桥梁冲击系数的概率分布及置信度为o 0 5 的冲击系数谱， 对冲击系数的适应范围及其与国内、外冲击系数的研究成果进行了比较和讨论。 张运波、张耀辉、徐步青1 2 0 1 分析了铁路简支梁及连续梁桥在高速列车作用 下的冲击系数与车速的关系，并对这两种桥型的冲击系数进行了比较。计算表明， 连续梁桥的冲击系数比简支梁桥在相同条件下有一定减小。徐关尧、孙宏才口4 】 等通过研究和试验发现，装配式公路钢桥的车辆冲击系数不仅与跨度有关，而 且与活荷载大小、车辆行驶速度以及桥面结构有关：提出了修正的冲击系数计算 公式。所得结论对于桥梁设计和使用都有参考价值。 吉林省交通科学研究所利用动态测试经1 2 h 连续观测，从跨径6 m 的钢筋 混凝土矩形板桥到跨径4 5 m 的预应力混凝土箱梁桥共7 座跨径不同、初始条件 不同的桥梁的实测中收集了6 6 0 0 多个具有一定代表性的冲击系数样本，通过回 归分析，得到冲击系数与桥梁结构基频之间的关系曲线。 华中科技大学【2 i 】曾利用反应谱理论及随机过程理论来分析计算桥梁受车辆 冲击作用的影响，用桥面状况系数描述桥面平整度、车辆动力特性、行车速度等 因素对冲击系数的影响，利用大量实测数据进行分析，得到了与现行桥梁规范规 定相吻合的曲线。 纵上所述，有关冲击系数的研究己经取得了一些成就，在这一问题上均进行 了大量的实验和理论研究，目前的冲击系数研究大都采用反应谱及随机过程理 论，而且对简支板梁桥的冲击系数研究较少。因此从冲击系数的定义出发，开展 对简支板梁桥的冲击系数研究，能为简支板梁桥的动力设计理论提供一点理论依 据。 1 2 3 荷载横向分布的研究现状 荷载横向分布理论在梁桥设计中占有重要地位。通常的梁桥设计可以分为三 浙江大学硕十学位论文 个部分：首先是桥梁荷载横向分布的计算，其次是按平面杆系结构力学进行主梁、 横梁及桥面板内力计算，最后是按桥梁结构设计原理作构件的结构设计计算。就 桥梁荷载横向分布理论在整个桥梁设计中的地位而论，它相当于结构设计原理与 广义的结构力学之间的结合部。因此，荷载横向分布理论在梁桥设计中的重要性 可见一斑。五十多年来，国内外学者对梁桥的荷载横向分布理论做了大量的研究， 提出的方法通常可分为三大类：( 1 ) 按梁格系法，把桥梁按主梁和横梁的布置当 作纵横相交的梁格系来分析。( 2 ) 按板梁系法，把可能设置的横隔梁的刚度近似 的连续分摊给桥面板，按主梁的布置将桥梁作为板粱系来分析。( 3 ) 按各向异性 板法，把主梁和横梁的刚度都近似的连续分摊，从而形成各向刚度不同的异性板， 以此作为桥梁的力学模型进行分析。这些方法有效的将梁桥设计中的空间问题简 化为平面问题，为梁桥设计提供了方便。 刚性横梁法是梁格系法中的典型特例。在国内，胡肇滋1 2 2 l 在这方面有较为 深入的研究。胡肇滋在学习郑文及史尔毅论文中提及的德国人s c h o t t 贴n 公式之 启发下导出了适用范围广泛的公式，并根据其力学原理命名为刚性横梁法的普遍 公式，该公式于1 9 7 6 年在史尔毅主编的公路技术资料中发表。胡肇滋还考 虑了桥跨结构弯扭耦合作用，通过平衡关系，导出的修正刚性横梁法的普遍公式， 不仅适用于简支梁桥，而且可以适用于各种静力体系的桥梁。程翔云在梁桥理 论与计算一书对胡肇滋的普遍公式在连续梁桥的应用上做了一些记述。金成隶 在结构静力学一书中，对修正刚性横梁法在拱桥的应用做了论述。胡肇滋也 对这一公式在曲线梁桥及斜拉桥上的应用有所论述。 比拟正交异性板法【2 3 】是各向异性板法中的典型例子。早在1 9 1 4 年，h u b e r 就考虑加劲板为正交两向具有不同弹性性质的板，首次提出理想化的正交异性板 的概念。在他以后的著作中推导了材料正交异性板的理论，引起了桥梁工程师的 注意。然而由于其刚度计算的困难，它的应用是受到限制的。1 9 4 6 年g u y o n 考 虑板肋的结构加劲板为一静力等效的开截面粱格，或理想化的粱格系，这是一个 简单的近似方法。g u y o n 考虑的是无扭结构，他的方法后来为m a s s o n n e t 所扩充， 后来在分析中导入了扭矩的效应，统称为。一m 法，即比拟正交异性板法。 铰接板法属于典型的板梁系法。这一方法最早是由h u n d r y j a r 2 c r 提出的。 他将桥面沿纵向划分成各个主梁单元，而横梁的抗弯刚度均摊在桥面上，主梁之 6 浙江人学硕士学位论文 间的连接用赘余力表示，可用力法求解。现在，这一方法已被公认是最具有较高 实用价值的近似计算方法。 以上研究都是对静力问题的研究，对于动力的荷载横向分布研究很少，目前 国内外的文献也较少。如能仿效静力横向分布的做法，提出动力的荷载横向分布 概念，对于简化设计理论，提高设计精度很有意义。 1 3 本文主要工作 首先，通过对国内外大量文献的阅读，了解了桥梁动力学的基本理论及数值 计算理论，然后将板梁桥简化为欧拉伯努利梁，分别采用移动荷载及车桥振动模 型进行板粱的动力响应及冲击系数分析。最后，通过对移动荷载的简化，提出了 板梁桥动力响应横向分布的概念，应用有限单元法和解析法分析了窄桥和宽桥的 动力响应。具体内容如下： 1 、以板梁桥的单块板梁为研究对象，将板梁桥简化为欧拉伯努利梁。首先， 用移动荷载对板梁的动力响应进行分析，同时建立了板梁的有限元模型，将数值 结果与解析解对比，然后分析了不同跨径不同速度对板梁的动力响应，在此基础 上又分析了板梁桥的冲击系数，并考虑了速度与跨径对冲击系数的影响。其次又 用车桥振动模型对板梁桥进行分析，建立了车桥振动微分方程，并用n e w m a r k 法进行求解，同样分析了不同跨径不同速度对板梁的动力响应，在此基础上又分 析了板梁桥的冲击系数，并考虑了速度与跨径对冲击系数的影响。并与移动荷载 模型对比，同时得到的冲击系数又与规范规定的冲击系数进行了对比。 2 、以板梁桥整桥为研究对象，采用移动荷载来模拟车辆荷载，通过对移动 荷载的简化及假设，提出了板梁桥动力响应横向分布的概念，推导了计算板粱桥 各梁动力响应的解析解，并建立了板梁桥的有限元模型对板梁桥进行三维有限元 分析，对两种方法所得结果进行比较分析。并且分别对窄桥及宽桥进行分析，得 出公式的适用性。并用本文方法与规范方法的计算结果进行对比，验证本文方法 的正确性和规范的安全性。 本文提出的研究方法和成果，将为简支板桥的动力分析的进一步研究提供一 定的理论依据，也对简支板梁桥的动力设计及移动荷载识别有一定的参考作用。 浙江人学硕士学位论文 第二章桥梁动力学的基本理论及数值计算 理论 2 1 梁桥的振动方程及梁桥振型函数正交性 梁桥是公路桥梁工程中最常用的一种桥型，同时它又是其他体系桥梁动力学 的基础。建立粱桥振动方程的力学原理常用的有达朗贝尔原理、拉格朗只原理和 哈密尔顿原理。前者是后两者的基础，是动力学的普遍原理。拉格朗日方程对于 多自出度体系振动分析较方便，哈密尔顿原理则经常用于连续的真实桥梁结构振 动分析。 2 1 1 梁桥的振动方程 用哈密尔顿原理建立梁桥的振动微分方程。图2 一l 表示一变截面的简支初等 粱，抗弯刚度为彤( x ) ，单位长度的质量为m o ) ，假定不计梁横向剪切变形的 影响和阻尼的作用，在夥对称面内的横向荷载p ( 墨f ) 的作用下，梁产生自静平 衡位置计起的动挠度y ( x ，f ) ，以向下为正。 v 图2 1 简支初等梁 8 - x 浙江人学硕士学位论文 梁在振动时的动能为7 2 丢p ( x ) ( 梦) 2 出 梁在振动时的位能为矿= 丢? 脚) ( 亭卜 根据哈密尔顿原理，有： 石 ( 丁一y 矽f + j j d f ：o ( 2 1 ) 其中，动能的变分为： kf 21 f 万p 斫= 万砖卜( x ) ( 多) 2 揪 ：碍f 吣涉占脚 t ，ilt ， 一j p ( 彬脚+ 肛x ) 昙( 泐) 妣 oo u 由于在、如瞬时的运动已经给定，因此，上式中 舄( 弦肛蚴降 位能的变分为： 艿弘= 占殄弦， 窘 2 锄 f 21 = l 告l e i t 幻6 d x d t ：一f 町( 踟膨蝴+ f l 【町( 堋万岁 抛 = 亨豇肼c z ，玎占y 出巩一再肼c z ，列6 yb 出 = 肼( z ) j ；p j ，出巩一n 肼( z ) 歹】6 yi ：、出 ol u + 了e ，c x ，夕占夕l ：d r 式( 2 1 ) 的第二部分为除弹性力以外的主动力所做的虚功之和，其中作用在梁 浙江大学硕士学位论文 上的分布荷载p ( x ，f ) 在梁虚位移如上做的虚功为 f if 2f p 出= j p ( 彬矽j ，黝 ( 2 2 a ) ，lf 1 0 作用在梁的两端的弯矩眠、m 和剪力q 0 、q 在对应的梁端虚位移上所做虚功 为 p 彬出= r 肘。j 九一鸠j 办一q o 占一q 占m p ( 2 2 b ) 将式( 2 2 ) 两式相加并和动能、位能的变分代入式( 2 1 ) ，得 一j 【e ，( x ) 夕】“+ 坍( x ) y 一尸( x ，f ) p y d 工d f = 了 c e ，c x ，y ，。l ，+ q ， 艿y ，d r 一了 t e ，c 石，y ，l 。+ q 。) 莎y 。d r c z 。， 一j t e ，c z ，j j ，i ，+ m ， 6 夕，d r j t e - c z ，夕，l 。+ m 。) 6 夕。d ， 由于在边界上j ，万岛，等变分对于位移边界条件是等于零的，而对于力的 边界条件则是任意的，要使式( 2 3 ) 成立，必须满足以下各式 一1 ：f 【e ，( x ) y 】+ m ( x ) y p ( x ，) p y 出d f = o ( 2 4 f1 l ，+ 9 ， 籼= o i j | 。+ q o b = 。 1 l + m l 6 ，l = o pj 1 l n + f o 占多o = o | uj ( 2 5 ) 由于变分j y 在域内是任意的，因此从式( 2 4 ) 就可以得到梁的振动方程为 吣肌导h x ，窘1 叫圳， 协s ， y y y y 工 x x x 日 即 日 日 ，、l r，l rj、l，、l 塑坚查兰堡兰堡堡苎 上式实际上表示动力平衡方程，也即达朗贝尔原理，将惯性力聊( x ) j j 加到外荷载 项后即可求得。式( 2 6 ) 就是欧拉一伯努利( e u l e r b e m o u l l i ) 梁【2 5 】最初等的 弯曲振动方程。 式( 2 6 ) 是连续体系的梁桥振动微分方程，而对于多自由度体系的梁桥振 动微分方程可表示成如下的统一形式： f m 】+ 【c 伶 + 【k 】= f ( 2 7 ) 式中， m 】、【c 】、【足卜一系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵； x 卜一系统的广义位移矢量； 砖系统的广义速度矢量： f 章l 系统的广义加速度矢量； f 卜一系统的广义荷载矢量； 其中，向量 x 是时间的函数，它包含所有结点各自由度的位移。其中嘲、 翻、 【圈分别代表质量矩阵、阻尼矩阵、静力刚度矩阵，在线性体系中皆为常量，在 非线性体系中也是时间的函数，向量 只是所有结点上与位移向量相应的设计荷 载，也是时间的函数。 2 1 2 梁桥振型的正交性 在结构力学中，多自由度体系的振型正交性是用矩阵形式描述的。而对于连 续体系的梁桥的振型函数正交性，则只能用积分形式给出。 由上面推导出一般形式的梁( 欧拉伯努利梁) 的振动方程，即 吣肌导h z 謦1 叫刈， 令p ( 工，f ) = o ，日为常数，得自由振动方程： 甜拼斜一萝 协8 ， 设仇( x ) 为第后阶振型函数，且令 y b ，f ) = 妒ib ) s i n 妇女，+ p 女) ( 2 - 9 ) 浙江大学硕士学位论文 将上式代入式( 2 8 ) 中，有 豢 日掣 劬鳓 她t 。， 用另一阶振性函数乘上式，并对x 自。到z 积分，则有 p 。嘉 日掣卜国：卜c x 脚x 味m 将上式左端作两次分部积分，有 b 筹 日纠玉= 卜罢( 彤磐) i - 隆丢( 髓争) 出= 晏 彤警 1 警( 田参 i + p 祭争出 上式中，对于简单梁端边界条件，也就是对于x = o 和x = ，端为自由、简支和固 定的任意一种组合方式，都使左端第一项为零。故式( 2 1 1 ) 可写成 p ( x 溉啦= p 争磐出 ( 2 - 1 2 ) 用同样的方法，也可以得到 p ( x 概纯救= ? 肼磐争次 e z 一，s ， 只要国：，即得 f ：) b 溉g 硫( x 陋= o 0 o 概( z ) 纯( z ) 出= o ，( 七胛) ( 2 1 4 ) o 将上式代入式( 2 1 2 ) 或式( 2 1 3 ) 中，得 再由式( 2 1 1 ) 可得 7 日争窘坪圳 1 2 ( 2 1 5 ) 浙江大学硕二l 学位论文 b 钟掣卜 仫 上述积分形式的振型正交性质，对于自由、简支和固定端的任意一种组合方 式，无论是对于等截面梁或是变截面梁，式都是正确的。对于一般边界条件的情 况，也可以用同样的方法来求振型的正交条件。 2 2 粱桥振动微分方程求解 对于自然界中大部分的工程问题，都可归结为在给定边界条件下求解其控制 方程( 常微分方程或偏微分方程) 的问题，但能用解析方法求出精确解的只是方 程性质比较简单，且几何边界相当规则的少数问题。对于大多数的工程技术问题， 由于物体的几何形状较复杂或者问题的某些特征是非线性的，则很少有解析解。 这类问题的解决通常有两种途径：一是引入简化假设，将方程和边界条件简化为 能够处理的问题，从而得到它在简化状态下的解。这种方法只能在有限的情况下 是可行的，因为过多的简化将可能导致不正确的甚至是错误的解。因此，人们在 数学、力学的基础上，借助于现代科学技术的成果一计算机来获得满足工程要求 的数值解，即采用数值模拟方法。随着电子计算机的问世，数值方法丌始应用于 实际工程中，并不断发展成熟的。求解式( 2 7 ) 的振动方程一般分为直接积分 法和模态叠加法【1 9 】。 2 2 1 直接积分法 直接积分法是建立在以下两个思路上： 1 、不是在求解时间区间内任何时刻f 都满足式( 2 7 ) ，而是在相隔f 上的 一些离散时刻满足式( 2 7 ) 。 2 、对位移、速度、加速度在每一时间区间出内变化的形式进行假设，事实 上若把式( 2 7 ) 看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限插分格式 通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。 从差分格式上看，分显式和隐式两大类方法。所谓显式差分法就是不必对方 程进行求解，而是由前一时刻f 的已知平衡条件直接就可以求解f 增量f + 出时 刻的各参数；而隐式差分法则必须对方程进行求解。应用最广泛的显式差分法是 浙江大学硕士学位论文 中心差分法，而威尔逊法和纽马克法是最为常用的隐式差分法。 2 2 2 模态叠加法 我们知道，直接积分法在对振动微分方程式( 2 7 ) 进行数值积分之前不对 方程做任何形式变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步对方程进行积 分；而对于模态叠加法，它在对振动微分方程进行相关的数学变换，使得基底降 低，或使矩阵的带宽减小，然后再进行求解。 应用模态叠加法，可以简单的看成是，对应于 个自由度的系统，其振动微 分方程是n 阶；我们将其做数学变换，不使原系统的固有特性有所改变，使得珂阶 方程组变成m 阶方程组( 埘聆) ，即是，将该振动系统的聆阶模态缩减为较为重 要的研阶模态；这样，就使得计算量大为减小对于无阻尼系统，或者是存在成 比例的阻尼的体系，我们很容易将这脚个方程进行解耦，得到m 个独立的方程， 分别求解，然后将每一模态的结果进行叠加，即得到系统的完整响应。当然，对 于具有不成比例阻尼的振动微分方程，模态叠加法无法实施，可直接利用直接积 分法进行求解；或者，将微分方程( 2 7 ) 通过求解一个二次特征问题而得到分 离，在这种情形下要计算复频率和模态，也较为繁琐。 对于求解结构的动力响应，我们在选取有限元模型时，应使它能很好的逼近 所有的重要模态，然后在求解时只需计算含有这些模态的响应，只考虑有限元系 统重要模态的叠加分析恰好能达到这个目的；所以，使用模态叠加法时不必包对 应于有限元系统中可能不精确的高频响应，与直接积分法相比，这是该法的特有 优点，尤其是当自由度数越高时这种方法的优点越显著。 2 3 结构振动的特征值问题 在结构振动分析中，如果采用模态叠加的方法，最终往往归结为求解广义特 征值的问题： 即为： 世妒一2 m = o ( 茁一2 m ) 庐= o 1 4 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 浙江大学硕士学位论文 其中，是固有频率：矿是振型：足、m 是刚度矩阵和质量矩阵。式( 2 1 8 ) 有 非零解的充要条件是： 足一2 m l = o ( 2 1 9 ) 上式即为结构的特征方程。 求解特征方程( 2 1 9 ) 的方法很多，常用的有逆迭代法、瑞利一李兹法、子 空间迭代法等。 子空间迭代法又称联立或同时迭代法，它是逆迭代法的一种推广。该法b q 基 本思路是利用瑞利一李兹法来缩减自由度，又在计算过程中利用逆迭代法使振型 逐步趋近其精确值。 子空间迭代法有以下几个特点： l 、刚度矩阵k 的三角分解只进行一次，这样可以大量节省最费机时的三角化 分解，从而提高效率。每次迭代的过程实际就是回代过程。相对而言，如果必须 利用内一外存交互求解，其交互次数也是较少的。这对于高阶、大带宽系统的求 解十分有利。 2 、我们常常需要的是低频范围的模态，而子空间迭代法正好满足了这一要 求。 3 、子空闯迭代法的收敛速度与初始迭代空间的选择直接相关，一个好初始 迭代空间仅用少数几次即可收敛，而一个差的初始迭代空间将会大幅度提高计算 费用。 经验表明，该法是目前求解结构自振频率和振型的最有效的方法之一。 2 4 本章小节 桥梁动力分析的主要任务就是建立结构的振动微分方程和求解振动微分方 程，而梁桥是公路桥梁工程中最常用的一种桥型，同时又是其他体系桥梁动力学 的基础。本章首先利用常用的力学原理建立了欧拉一伯努利( e u l e r b e m o u l l i ) 梁的弯曲振动方程，并阐述了梁桥的振型正交性原理；介绍了求解梁桥振动微分 方程的两大类常用方法：直接积分法和模态叠加法；讨论了结构振动的特征值问 题及求解方法。 浙江大学硕士学位论文 第三章单板梁在移动荷载作用下的动力响 应和冲击系数分析 随着我国经济的快速发展和运输市场的激烈竞争，超载车辆急剧增加，使公