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边坡稳定性监测t d r 技术的试验研究 摘要 f 滑坡运动情况的监测是交通、矿山、建筑及水利等工程的一项重要课题。通 过对滑坡运动的监测，掌握其活动情况、破坏机理及对工程的影响，分析监测信 息，预测工程可能发生的破坏，从而为防灾减灾提供依据。n i m ed o m a i n一 、r ，7 一 r e f l e c t o m e t r y ( 时域反射法，t d r ) 是一种新型的滑坡监测技术，具有方便，安 全，经济，数字化及远程控制等优点，使滑坡监测效率得到较大的提高。 本文阐述了t d r 技术的基本电磁学理论及t d r 滑坡监测系统的工作原理，研 究了电磁波在介质中的传播机理，建立了t d r 监测系统的理论计算模型，并利用 m a t l a b 语言编程实现了对电磁波在同轴电缆中的传播、反射和透射过程的模拟 分析，通过与同轴电缆传输系统试验及不同型号同轴电缆的直剪试验数据相比 较，验证了本文计算模型的合理性。 本文介绍了c a m p b e l ls c i e n t i f i c 公司的t d r 测试系统的组成、性能及工作 原理。通过三种型号同轴电缆的直剪试验，总结了同轴电缆t d r 反射波形随剪切 位移的变化规律及不同型号同轴电缆的t d r 试验特性。为模拟实际工程情况，对 浇筑于水泥砂浆填充体中的同轴电缆t d r 剪切与拉伸试验特性进行了研究，总结 了t d r 波形的变化规律，并将试验数据与同轴电缆直剪试验相比较，为t d r 技术 的实际工程应用提供了依据。l ”、一 e x p e r i m e n t a ls t u d y o nt h e a p p l i c a t i o n so f t d ri n m o n i t o r i n gs l o p es t a b i l i t y a b s t r a c t m o n i t o r i n gs l o p es t a b i l i t y i sa ni m p o r t a n ts u b j e c tf o rt r a n s p o r t a t i o n ， m i n i n gi n d u s t r y , c o n s t r u c t i o na n dw a t e ru t i l i z a t i o np r o j e c t m o n i t o r i n g s l o p em o v e m e n t ，a n a l y z i n g f i e l dd a t aa n dp r e d i c t i n gp o t e n t i a lf a i l u r e p l a n e s c o n t r i b u t et oh a z a r d sp r e v e n t i o na n dr e d u c t i o n t i m ed o m a i n r e f l e c t o m e t r y ( t d r ) i s an e wm e a s u r i n gt e c h n i q u ei nt h ef i e l do f g e o t e c h n i c a le n g i n e e r i n g ，w h i c hh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n f o ri t sc o n v e n i e n t ，e c o n o m i c a l ，d i g i t a la n d r e m o t ec o n t r o lp r o p e r t i e s t h eb a s i c e l e c t r o m a g n e t i cp r i n c i p l e s o ft d ra n dt h e m e a s u r i n g p r i n c i p l e so ft d rs y s t e mw e r ed e s c r i b e dh e r e i n a c a l c u l a t i o nm o d e lo f t d rm e a s u r i n g s y s t e mw a sg i v e n b a s e d o n e x p e r i m e n t a ld a t a ，t h e f e e d b a c ks y s t e mt h e o r yw a su s e dt oc a l c u l a t ea n da n a l y z et h ep r o p e r t i e s o fe l e c t r o m a g n e t i cw a v ep r o p a g a t i o ni nc o a x i a lc a b l e ，w h i c hv a l i d a t e d t h er a t i o n a l i t yo ft h ec a l c u l a t i o nm o d e lg i v e ni nt h i sp a p e r i nt h i s p a p e r , t h ec o m p o n e n t s a n d p r o p e r t i e s o ft d rs y s t e m f c a m p b e l ls c i e n t i f i ci n c ) w e r ei n t r o d u c e d b a s e do nt h e d i r e c ts h e a r t e s t so ft h r e et y p e so fc o a x i a lc a b l e s t h ei n f l u e n c eo fc o a x i a lc a b l e ss h e a r d e f o r m a t i o no nt d rs i g n a lw a ss t u d i e d f u r t h e r m o r e ，s h e a r i n ga n d t e n s i o nt e s t sw e r ep e r f o r m e do ng r o u t e dc a b l ea s s e m b l i e si no r d e rt o s i m u l a t et h ef i e l ds i t u a t i o n c o m p a r e dw i t hd i r e c ts h e a rt e s t so nc o a x i a l c a b l e ，t h ee x p e r i m e n t a ld a t aw e r ea n a l y z e da n dv a l u a b l e c o n c l u s i o n s w e r ep r o p o s e do nt h ec o m i n ga p p l i c a t i o no ft d r t e c h n o l o g yi ns l o p e m o n i t o r i n g 浙江人学坝i 学位论文2 0 0 3 陈赞 第一章绪论 1 1 问题的提出 天然土坡和人工填筑土坡是工程普遍存在的构筑物。由于自然力( 地震、暴 雨等) 和人类工程活动导致土体的损伤，如土单元体所受的剪切力增加，或含水 量增加、抗剪强度降低导致剪切破坏。大量土单元体的剪切破坏的累积，最终导 致土坡失稳。滑坡运动情况的监测是交通、矿山、建筑及水利等工程的一项重要 课题。通过对滑坡运动的监测，掌握其活动情况、破坏机理及对工程的影响，分 析监测信息，预测工程可能发生的破坏，从而为防灾减灾提供依据。 滑坡的监测围绕着确定一系列重要参数以及这些参数如何随着时间而变化。 其中最重要的两个参数便是地下水位情况及滑坡的运动情况。滑坡的运动情况包 括破坏面的深度，滑动方向，滑动变形量及滑动速率。由于滑坡问题的复杂性， 工程分析往往需要几项甚至所有这些参数。传统的滑坡监测往往将几种监测手段 结合起来应用，测斜仪是最常用的滑坡长期监测手段，这种手段存在以下缺点： 1 测试工作量大，每次只能测试一个孔位，自动化程度不高。 2 远程操作十分困难。 3 对具有危险性的边坡工程的监测，测试人员安全性无法保障。 而在许多不稳定滑坡附近，往往存在一些重要的设旋，这就需要一种能够及 时反馈滑坡运动信息的监测系统。因此，滑坡监测方法的研究与改进一直是项 重要而意义深远的课题，这也是本文研究的重点。 滑坡监测技术要进一步发展，要解决如下几点问题： 1 如何提高监测方法的自动化程度，改善监测方法的精确度，增强监测方 法的实时性。 2 如何提高监测手段的远程操控能力，能更好地利用目前先进的通讯手段 及完善的通讯网络。 浙江人学琐1 学位论文2 0 0 3 陈贽 3 如何使得监测工作更安全、更方便、更经济。 1 2t d r 技术的研究背景 时域反射法( t i m ed o m a i nr e f l e c t o m e t r y ，t d r ) 是一种远程遥感测试技术， 产生于2 0 世纪3 0 年代，最初用于电力和电讯工业中电缆线路缺陷的定位和识别 ( r o h r i g ，1 9 3 1 ) 。在经研究发现t d r 技术能测定土壤含水量之后，它被广泛 应用于农业领域( t o p pa n dd a v i s ，1 9 8 5 ) ”1 。自2 0 世纪7 0 年代起，t d r 技术 逐渐向岩土工程领域发展，主要在测定土体含水量、监测岩体和土体变形、滑坡 稳定性及结构变形等方面得以应用，并以方便，安全，经济，数字化及远程控制 等优点而受到广泛关注。 雷达是t d r 系统的雏形，对雷达而言，由无线电发射机发射能量脉冲，通过 测定能量在被测对象上反射的回波时间而对其进行定位。t d r 系统的工作原理与 此类似，其本质可理解为一种闭合回路雷达( a n d r e w s ，1 9 9 4 ) 0 1 ，由信号发生 器激发的电脉冲以电磁波的形式沿着同轴电缆传播，如果脉冲遇到同轴电缆特性 阻抗的变化，就有反射发生。同轴电缆特性阻抗的变化称为“电缆缺陷”，缺陷 形式有其它电介质的侵入，同轴电缆变形甚至断裂等等。信号接收器获取经反射 的脉冲信号，当传播速度以及发射脉冲与反射脉冲的时间间隔确定时，将接收信 号与发射信号相比较，便可确定缺陷的类型，缺陷的位置及程度( s u ，1 9 8 7 ) “1 。 t d r 技术在过去的2 0 年中有了很大的发展，已经成为了测定土体含水量及 监测岩体或土体相对位移的一种很有应用价值的手段。 含水量是土体的一项重要指标，因此准确、快速地测定土体含水量具有重要 的意义。土是由土颗粒、水和空气三相组成的混合物，在电磁场的作用下，介质 会发生极化现象，介质极化后在介质内部产生一个极化电场，这个电场的方向与 外加电磁场的方向相反，大小与介质的极化程度、物质成分和物理状态有关，具 体来说极化电场与介质的介电常数、电导率和磁导率有关。因为这个逆电场的存 浙江人学倾i 。学位论义2 0 0 3 陈赞 在，电磁波通过介质后的强度和相位都会发生改变。介电常数是综合反映电介质 极化行为的宏观物理量。介质在电场作用下的极化能力愈强，其介电常数值则愈 大。目前计算土体电介质介电常数的模型分为两大类，扩散模型( d el o o r 1 9 6 8 ) ”3 和体积混合模型( bj r c h a k ，1 9 7 4 ；w o b s c h a l l ，1 9 7 7 ”1 ；w a n ge t a 1 ，1 9 8 0 t ”： h e i m o v a a r a ，1 9 9 4 。3 ) 。其中扩散模型是根据分子极化和扩散理论提出来的，是 基于平面相聚合物在宿主媒介质中的扩散，强调的是扩散颗粒与其周围环境之间 相互作用的微观效应。体积混合模型是基于平面电磁波在非均匀介质中的衰减理 论提出来的。 t d r 技术对土体含水量的测定是基于电磁法而发展起来的，通过分析电磁波 在探头中的传播时间( 反映于t d r 反射波形中) 来确定被测土体的介电常数，再 利用土体介电常数计算模型来确定土体含水量，具有方便、快速、准确、和自动 化等优点。d a v i s 和c h u d o b i a k ( 1 9 7 5 ) “”首先将t d r 技术应用于测定土体含水 量；t o p pe ta 1 ( 1 9 8 8 ) “o 通过试验建立了介质介电常数和体积含水量的经验 公式，推动了t d r 技术在该领域的进一步发展；d a l t o ne ta 1 ( 1 9 8 4 ) 1 经过 研究，成功地使用一个t d r 探头测定土体含水量和电导率；随后的研究将其推广 到多探头t d r 量测系统，能进行自动化远程测量，并取得了成功( b a k e r 和 a 1l m a r a s ，1 9 9 0 ：h e i m o v a a r a 和b o u t e n ，1 9 9 0 ：h e r k e r l r a t he l ：a 1 1 9 9 1 ) 。 另一方面，2 0 世纪7 0 年代末开始，t d r 技术逐渐在监测岩体和土体运动的 领域得以应用。t d r 滑坡监测系统由电脉冲信号发生器，传输线( 同轴电缆) ， 信号接收器三部分组成，其传播原理如图1 1 所示。t d r 监测系统的埋设如图1 2 所示，首先，在待监测的岩体或土体中钻孔，将同轴电缆放置于钻孔中，顶端与 t d r 测试仪相连，并以砂浆填充电缆与钻孔之间的空隙，以保证同轴电缆与岩体 或土体的同步变形。岩体或土体的位移和变形使埋置于其中的同轴电缆产生局部 剪切、拉伸变形，从而导致其局部特性阻抗的变化，电脉冲将在这些阻抗变化区 域发生反射和透射，并反映于t d r 波形之中，通过对波形的分析，便可掌握岩体 或土体的变形和位移状况。 浙江人学帧1 学位论义2 0 0 3 陈赞 时问( 距离) 图1 1t d r 监测系统的测试原理 t i ) r 测试仪 图1 2t d r 监测系统的埋设 理论研究方面，d o w d i n g ，c h ，s u ，m b ，0 c o n n o r ，k ( 1 9 8 8 ) “”用有限元 法计算了同轴电缆截面几何特性的改变对其电容的影响，并分析了由此引起的 t d r 波形的变化，从理论上在同轴电缆的几何变形量和反射系数幅值变化量之间 架起了一座桥梁；y a n u k ae ta 1 ( 1 9 8 8 ) “”提出了考虑非均匀传输线多重反射 的计算模型，但没有考虑频率对材料介电常数的影响；h e i m o v a a r a ( 1 9 9 4 ) “1 用频谱分析研究了电介质的离散特性，但其方法只适用于均匀传输线；c h i h p i n g l i n ( 2 0 0 1 ) “”应用频谱分析及输入阻抗的概念建立了t d r 测试系统中电磁波传 播的模型，以此可以分析电介质的离散和同轴电缆的非均匀性。 塑坚查堂兰l 兰燮兰! ! ! j 塑：堑 呈 鲁 - 凝 馁 畚 怄 e o oe1 21 6 剪切变形衄 图1 3 不同直径同轴电缆剪切变形与t d r 反射系数之间的 关系( s u ，1 9 8 7 ) 在室内试验方面，s u ，m b ( 1 9 8 7 ) 。3 ，0 c o n n o r k ( 1 9 9 1 ) j ，p e t e r s o n ( 1 9 9 3 ) 1 通过一系列室内试验研究了同轴电缆的t d r 特性，图1 3 所示为s u ，m b ( 1 9 8 7 ) 得出的不同直径同轴电缆剪切变形与t d r 反射系数之间的关系，图l4 所，j i 为0 c o n n o r ，k ( 1 9 9 1 ) 通过。系列直剪试验得出的1 d r 反射数据； oii鲁赣礞接越 oe裱长絮略 浙江人学帧 。学位论文2 0 0 3 l 畴，赞 a i m o n e m a r t i n ，c t e ta 1 ( 1 9 9 4 ) ”研究了同轴电缆在剪切拉伸共同作用下 的t d r 特性：m c a i s t e r ，c m ，p i e r c e ，c e ( 2 0 0 1 ) 研究了小直径t d r 同轴 电缆的试验特性，并提出将其应用于模型试验以获取相对位移数据。 皇 目 赣 髅 擦 哒 变形，_ 图1 4 一系列同轴电缆直剪试验得出的反射数据( 0 c o n n o r ，1 9 9 1 ) 2 0 世纪7 0 年代末及8 0 年代，美国矿务局和西北大学率先研究了t d r 技术 对岩体运动的监测，并将其应用于实际工程侧。美国矿务局首先应用t d r 技术确 定煤矿上覆层的破坏带的位置( w a d e ，l v ，c o n r o y ，p j ，1 9 8 0 ) 。“；伊利诺斯 州地质勘测局将t d r 技术应用于监测废弃煤矿上部土层的运动情况( b a u e r ，r a e ta 1 ，1 9 9 1 ) 。”；加拿大矿务与能源技术中心( c a n m e t ) 将其应用于监测废弃 金矿上覆层情况( a s t o n ，t ，c h a r e t t e ，f ，1 9 9 3 ) 弧“；k a n e ，w f e ta 1 ( 1 9 9 4 ，1 9 9 6 ) 汹删将1 、d r 技术应用于监测不稳定边坡的活动情况；d o w d i n g ，c h ， p ie r c e ，c e ( 1 9 9 4 ) ”研究了t d r 技术对土体局部破坏面的检测，并提出了适 用于确定土体局部破坏面的同轴电缆一砂浆系统的组成及研制步骤。 w a d e 和c o n r o y ( 1 9 8 0 ) ”将t d r 技术应用于监测一煤矿上覆层的变形情况， 该碳矿位于1 1 l i n o i s ，采用长壁开采法，直径2 2 2 m m 的同轴电缆被埋置于上覆 层的钻孔a 和b 中，并以砂浆填充空隙，如图l - 5 所示。随着长壁开采面逐渐推 进，b 孔处的同轴电缆受到土层和岩层的作用而产生变形，产生的t d r 信号如图 l6 所示，分别为b 孔与开采面不同间距时的一系列t d r 波形。 浙江人学烦1 。学位论文2 0 0 3陈赞 图1 5t d r 技术在某煤矿开采工程中的应用 ( w a d e 和c o n r o y ，1 9 8 0 ) b 孔与开采面同艇扣r 信号 2 * 5 9 - - 1 午叶= r 三三i _ 一 5 i 一一一 1 5 2 - 乍 o 事 ：二掣【土 = = f 匕3 1 3 0 s - 1 一毯厂 1 负值反射知区t 乞簟切硅筇毫簟曩 3 拄伸t 坏簟曩 号蕞变 5 寿室蛱鼍 图1 6b 孔与开采面不同间距时的t i ) r 波形 可以看到，矩形区域l ( 深度4 8 8 m ) 中的负值尖峰信号随着开采面的接近 其幅值逐渐增加，这表明该处同轴电缆的剪切变形逐渐增大：区域2 处的t d r 信 号为剪切变形所引起同轴电缆的断裂( 大幅值正值信号前存在明显的负值尖峰信 号) ；反之，在区域3 ( 深度3 6 6 m ) 处，大幅值正值信号前并无明显的负值尖峰 信号表明该处是拉伸变形所引起的同轴电缆断裂；区域5 中间隔均匀的负值尖峰 信号是由埋设同轴电缆前所做的标定缺陷产生的，用于更精确地对变形位置进行 定位。 浙? j 人学颂士学位论文2 0 0 3陈赞 ! ：芒一= ：! 三! ! ：! # 竺! 竿! ；! 潦度。 一_ t 十十一十卜一砰厦 旷f 1 r 群盯 图1 7 局部放大的t d r 信号 图1 7 所示为局部放大后的t d r 信号，两信号分别取自b 孔距开采面1 5 2 m 及开采面正好位于b 孔之下时，深度5 i 8 m 至6 7 1 m 。可见，随着开采面的接近， 位于5 6 4 m 和6 2 8 m 深度处的反射系数幅值分别由1 0 和1 3 增至2 1 和1 9 ，将 此增量与室内试验结果( 图1 3 ) 相结合，可得两处相应的同轴电缆剪切变形分 别由8 3 r a m 和8 5 m m 增至9 o m m 和8 9 m m ，从而定量分析了剪切变形值，确定了 此两深度处上覆层岩体和土体的变形量。 对于同轴电缆的选择，许多学者做了研究工作，d o w d i n ge ta 1 ( 1 9 8 6 ) 研 究了用于t d r 监测系统的同轴电缆的选择阻3 。由于岩石的硬度较大，岩层之间滑 动面的剪切相对位移能用刚度较大的同轴电缆较容易地检测到并且定量分析 ( d o w d i n ge ta 1 ，1 9 8 9 ) m 1 。一种2 2 2 m m 直径，实心外导体层的商品同轴电 缆经常被用于监测岩体位移，而一种类似结构的1 2 7 m m 直径，实心外导体层的 同轴电缆被用于软弱岩层和坚硬土层变形的监测，但成功率有限( o c o n n o re t a 1 ，1 9 9 5 ；k a w a m u r ae ta 1 ，1 9 9 4 f 3 s 】；m c k e n n ae ta 1 ，1 9 9 4 删) 。p i e r c e ( 1 9 9 8 ) 。7 为能找寻到一种能够更精确测定土体局部变形的同轴电缆，对直径小 于l o n u n ，柔韧性较好，编织外导体的同轴电缆做了研究工作，最后得出最合适 的同轴电缆为特性阻抗7 5q ，7 7 m m 直径，编织外导体的同轴电缆。理论分析表 明这种同轴电缆能够很好她测定硬粘土层的剪切变形量，但在软粘士中还有一定 局限性( d o w d i n g ，p i e r c e ，2 0 0 1 ) 1 。 浙江人学颂上学位论文2 0 0 3陈赞 与测斜仪相比，t d r 技术具有以下优点：( 1 ) 信号可信度高、测试过程快速 方便、耗电量低，且一套t d r 设备可同时监测几百个测点。( 2 ) 将t d r 技术与 g i s 技术相结合，可利用通讯网络远距离传输监测数据及信号。( 3 ) 技术人员只 需在室内便可对各个测点进行远程监控，监测工作安全性大大提高。 国外学者所做的这些研究工作都促进了t d r 技术的发展及在岩土工程中的 应用，目前在国内，特别是岩土工程领域，t d r 技术的应用还处于起步阶段，相 关的介绍和工程应用鲜有所闻。因而，基本的理论分析及大量室内实验是将t d r 技术应用于实际工程必不可少的阶段，这也是本文的研究重点。 1 3 本文的研究工作 t d r 技术对于国内岩土工程领域而言是一种新的技术，新的手段，要从根本 上发展和应用t d r 技术，必须从研究t d r 测试系统的基本原理出发，了解同轴电 缆中电磁波的传播机理，并通过室内试验进一步研究同轴电缆变形情况下t d r 波 形的变化规律，然后将其应用于实际工程，并结合试验结果分析实测数据，进一 步完善对t d r 技术的认识，发展t d r 技术的实际应用。 本文第二章阐述了电磁波的传播原理及t d r 滑坡监测系统的基本工作原理， 通过研究电磁波在同轴电缆中的传播、反射和透射机理，建立了t d r 监测系统的 理论计算模型。运用m a t l a b 语言编程实现了对t d r 信号的变换与分析以及对电 磁波在同轴电缆中的传播，反射和透射过程的模拟。 第三章，本文介绍了c a m p b e l ls c i e n t i f i c 公司的t d r 测试系统的组成、性 能及工作原理。进行了不同长度不同特性阻抗同轴电缆组合的传输系统试验及三 种不同型号同轴电缆的直剪试验，总结了同轴电缆在剪切作用下的t d r 波形变化 规律，并通过与计算模型相结合，分析了同轴电缆的剪切变形对同轴电缆特性阻 抗的影响，同时验证了本文计算模型的合理性。 浙江人学钡l 学位论文2 0 0 3陈赞 由于实际工程中，同轴电缆是浇筑于砂浆中，靠砂浆来传递滑动面的剪切和 拉伸作用。为模拟实际工程情况，在第四章中对浇筑于水泥砂浆填充体中的同轴 电缆t d r 剪切与拉伸试验特性进行了研究，总结了t d r 波形的变化规律，并将试 验数据与同轴电缆直剪试验相比较，为t d r 技术的实际工程应用提供了依据。 第五章对本文的研究和试验工作进行了总结，概括了不同型号同轴电缆的 t d r 直剪试验特性以及浇筑于水泥砂浆填充体中的同轴电缆t d r 剪切与拉伸试验 特性。同时，提出了有待迸一步研究的内容以及t d r 现场试验和实际工程应用的 建议。 浙江人学硕f 学位论义2 0 0 3 陈赞 第二章电磁波的传播理论及t d r 测试系统的计算模型 电场和磁场的相互依赖关系可以用电磁波在空间的传播过程表示出来。因为 变化的磁场会产生变化的电场，同时变化的电场也会产生变化的磁场，在这个相 互交替的过程中，能量以光速在自由空间中传播。 2 1 电磁波的传播理论 2 1 1 麦克斯韦电磁学理论 麦克斯韦电磁理论是根据电学和磁学中的基本定律创建起来的，麦克斯韦方 程及由它导出的波动方程，能量和动量守恒定律，定量地描述了场、源的变化规 律，揭示了场的物质属性，是支配自由空间及媒质中电磁场特性的基本定律。 普遍情况下的麦克斯韦方程组的积分形式为“” ( 1 ) 咀场的两新定理 妒d s = i i i p d v ( 2 ) 静电场的环路定理 4 e 锄= 一赡a s ( 3 ) 磁场的高斯定理 伽- d s = 0 ( 4 ) 安培环路定理 扣肚黔警蕊 对应的麦克斯韦方程组的微分形式为 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 浙江大学硕j ：学位论文2 0 0 3 陈赞 vd 2 p0 z 5 ) v e ：一罢( 2 6 ) 西 、 v b = 0 ( 2 7 ) v h ：j + 竽( 2 8 )。 a 、 其中，e 为电场强度( v m ) ，d 为电通密度( c d ) ，h 为磁场强度( a m ) ，b 为 磁通密度( w b d ) ，p 为自由电荷的体密度( c d ) ，j 是电流密度( a d ) ，a d o t 在介质中，上述麦克斯韦方程组尚不完备，还需补充三个描述介质电磁性质 的本构关系方程1 ，对于各向同性介质来说： d = 8 r s o e ( 2 9 ) b = 1 2 ，h ( 2 1 0 ) j = e r e ( 2 1 1 ) 其中，占，和盯分别是相对介电常数、相对磁导率和电导率，式( 2 1 1 ) 是欧 姆定律的微分形式。 o = 4 石1 0 。7 h i m( 2 1 2 ) 氏= 专1 0 。1 2 f m ( 2 1 3 ) 。 3 6 ，r d = 氏e + p ( 2 1 4 ) b = o h + o m ( 2 1 5 ) 其中，p 为极化强度矢量，m 为磁化强度矢量，分别表示电、磁介质材料单位 体积内的电偶极矩和磁偶极矩的矢量和。对于大多数物质，在场不强的情况下， 媒质对场的反应是线性的。尤其在各向同性媒质内，实验表明，p 与e ，m 与h 成正比，即： p = 6 0 z 。e ( 2 1 6 ) m = z 。h ( 2 1 7 ) 浙江人学坝 。学位论义2 0 0 3陈赞 式中，以和分别称为极化率和磁化率，将式( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 代入式( 2 1 4 ) ， ( 2 1 5 ) 得： d = e e ( 2 i s ) b = j l h( 2 1 9 ) 其中，s = 6 0 占，占，= l + z 。，= o ，u ，= 1 + z 。 应当指出，上面结果只适用于缓慢变化的场。当场快速变化时，例如在高频 中，由于场变化很快，以致极化电荷和磁化电流跟不上场的变化，所以极化率和 磁化率都将是场变化频率的函数，因而 占= c ( c o 、 ( 2 2 0 ) = ( ) ( 2 2 1 ) 在真空( 或空气) 中，占= 氏，声= 胁，盯= 0 。仃= 0 的介质称为理想介质， 盯= o 。的导体称为理想导体，盯介于两者之间的介质称为导电介质。若介质参数 与位置无关，称为均匀介质；若介质参数与场强大小无关，称为线性介质；若介 质参数与场强方向无关，称为各向同性介质；若介质参数与场强频率无关，称为 非色散介质，反之称为色散介质。“” 在很多工程问题中，电磁场是时谐场，而且任意能够具体实现的周期性或非 周期性的时变场，可以应用傅立叶级数或傅立叶积分分解为时谐场的离散或连续 的频谱。对于单一频率的稳态电磁波，常称为连续波，连续波的电磁场为时谐场。 彻底理解连续波的情况，对于研究所有电磁波现象是很重要的。( 1 ) 连续波的假 设可以消除麦克斯韦方程组中的时间因子，从而大大简化了数学表示式与运算： ( 2 ) 一旦连续波情况得解，并对频域现象有了深刻理解，即可应用傅立叶理论 研究时域现象；( 3 ) 连续波表示可以覆盖电磁波的整个频谱1 。 时谐场中的标量用以模和相角表示的复数表示时，对时间的导数昙的运算 简化为乘以，因此相应的麦克斯韦方程组可表示为： v - d = p ( 2 2 2 ) 1 3 浙江大学坝l 。学位论文2 0 0 3 陈赞 v e = 一r o b v b = 0 v x h = + j c o d ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 麦克斯韦方程组反映了电荷、电流激发电磁场的一般规律，而电磁场反过来 对电荷电流的作用，在麦克斯韦方程组中没有反映出来。当e g 布q 的粒子以速度 v 在随时间变化的电磁场中运动时，它将受到洛仑兹力的作用： f = q ( e + v x b )( 2 2 6 ) 其中第一项代表带电粒子受到的电场力，第二项代表上述带电粒子因运动而 形成的电流所受到的磁场力，式中e 和曰是该带电粒子所在处的总的电磁场，包 括带电体自己激发的场在内，洛仑兹力公式是电磁场通过电荷与其它物质相互作 用的关系式。 2 1 2 电磁波在自由空间中的传播 图2 1自由空间平面电磁波传播电场矢量与磁场矢量分布示意图 自由空间中电磁波的传播，场的方向如图2 1 所示。电场强度e 与磁场强度 h 在同一个平面内，且在此平面内所有点的电场强度与磁场强度都是等值的， 电场强度e 与磁场强度日始终互相垂直，且分别与垂直于电磁波的传播方向。 我们称电场强度、磁场强度和传播方向满足右手螺旋关系、等相位面为平面的电 磁波为平面波；称电场强度和磁场强度振幅为常量的平面电磁波为均匀平面电磁 浙江大学硕l ：学位论文2 0 0 3陈赞 波。无论是平面电磁波还是均匀平面电磁波，电场强度和磁场强度均垂直于传播 方向，即在传播方向上无电磁场分量，这种电磁波又被称为横电磁波，也称为 t e m 波。作为波动方程的解，平面波是电磁波中最简单也是最基本的模式，许多 实际电磁波可以用平面波的叠加来处理。研究平面波的传播特性有助于理解较复 杂的波动现象。 假设平面波沿x 轴传播，则电场强度e 仅在y 方向有一个分量e 。，而磁场强 度h 仅在z 方向有一个分量h ：。同时，e y 和日：仅沿着波传播方向变化，即沿x 轴发生变化。 在自由空i 司中，电导翠为零，凼此式( 2 8 ) 口j 简化为： v 。日：罂 ( 2 2 7 ) a f 其中d 是电通密度，在自由空间中定义为： d = 6 0 e ( 2 2 8 ) 其中氏为自由空间介电常数，考虑到只存在日：和e ，且只沿着x 轴发生变化，该 式可转化为： 粤- - - z 川。拿 ( 2 2 9 ) i 一言 皑2 9 同理，v 。e = - 2 0 掣可转化为： 优 孚：柏掣 ( 2 3 0 ) i 一风i 坦3 0 其中。是自由空间的磁导率，联立式( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) ，得到该平面波的波动方 桴： 堡生：上竺生 a 2 o 氏缸2 a 2 e y 1 c 9 2 e ， o t 2 胁岛舐2 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 浙江人! 学坝卜学位论义2 0 0 3 陈贽 光速c 可表示为：c = 。：，则波动方程变为： f l l o p 0 里要：c 2 丁a 2 h z ( 2 33)ot 2 o x 2 一。7 等彰等 。a ， 将上式转换为与坐标无关的形式： v 2 e = 吉警 亿。s ， v 2 h = 吉害 眨。e ， 转换为复变量形式： v 2 肛字e ( 23 ，) v 2 日一字h ( 2s s ) 其中，e 和h 为频率f 的函数。在此平面波情况下，电磁波以电场和磁场的形 式以光速在自由空间中传播，且传播方向垂直于电场强度e 与磁场强度矗所在 的平而 2 1 3 电磁波在电介质中的传播 在电介质中，介电常数占和磁导率是与介质有关的参数，同时，绝大部分 材料具有导电性，介质的电导率仃将成为波动方程的一部分。 在导电介质中，麦克斯韦方程组中的安培定律形式为： v 。h ：o - e + 竽 ( 2 3 9 ) 西 麦克斯韦方程组中的法拉利定律形式为： 1 6 浙江人学坝l 学位论文2 0 0 3陈赞 v x e ：一“型( 2 4 0 ) o t 联立式( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) ，得到导电介质中的波动方程： v 2 e = 昙( 葩+ s 争 ( 2 t ，) v 2 h = , u - 未( c r h + s 百o h ) ( 2 4 2 ) 其复变量形式为： v 2 e = ( j 2 a f u c r 一4 n 2 厂2 ) e ( 2 4 3 ) v 2 h = ( j 2 f j c r 一4 ，r 2 厂2 肛) 日 ( 2 4 4 ) 方程中电导率这一项的出现使得波动方程更加复杂。此外，由于介电常数是 一个复数并且与频率相关，所以波动方程将因此而变得很繁复，这可从电磁波波 动方程的求解中看出来。 2 1 4 自由空间中电磁波波动方程的解 由自由空间中的波动方程，利用达朗贝尔法可求得以频率，表示的波动方程 的解析解： e ：e j 2 4 ( t - e l e j 2 c ( t + 争 ( j 4 5 ) h ：h o e l 2 7 ( - ；+ e 肼争 ( 2 4 6 ) 其中，z 是电磁波传播的方向，e o ，e 。，h o 和风是可由边界条件确定的未知常 数。电场强度e 的解与磁场强度的解在形式上是一致的，两者由两部分组成， 第一部分为沿着+ z 方向传播的波，第二部分为沿着z 方向传播的波，且在自由 空间( 真空) 中，波的传播没有衰减和能量损失。 对于在导电介质中的波动方程，其解更为复杂，解析解为 e = e e 一”e j 2 哪+ e l e ”e i 2 神 ( 2 4 7 ) h = h o e f e 。2 种+ h 1 e 声e 2 妒 ( 2 4 8 ) 同理，z 是电磁波传播的方向，式中的第一部分为沿着+ z 方向传播的波，第二 浙江人学硕l + 学位论文2 0 0 3陈赞 部分为沿着z 方向传播的波。y 称为传播常数，是一个复数 y - = 值七| 6 ( 2 4 9 ) 其中，口为衰减常数，p 为相常数，两者与介质特性有关，将上式代入式( 2 4 7 ) 和( 2 4 8 ) 可得： e = e o e 一茁e 2 神一摩+ e l e 落e 7 2 斫+ 皿 ( 2 s o ) h = h 。e 一茁e 2 种一卢+ h 1 e 位e 。2 研+ 皿 ( 2 5 1 ) 2 1 5 电磁波在传输线中的传播 电磁波不仅在自由空间或者开放的介质中传播，而且在具有导电边界的有限 空间中传播，此时，电磁波被边界所限制，形成有导向的传播。传输线便是这样 一种波导( 波的载体) ，它几乎连接了所有的通讯与计算机系统。 卜 醅 叫卜& 叫 图2 2 传输线电路参数分布图 传输线中的波动方程可以用回路法来建立，如图2 2 所示，传输线可以用一 组电路参数来表示“，包括传输线导体的串联电阻和电感及它们之间的并联电容 和电导。实际情况下传输线的串联参数分布于两导体，由传输线的几何特性来决 定，但为了简化，将用集总参数来表示，尺表示单位长度电阻，表示单位长度 电感，g 表示单位长度电导，c 表示单位长度电容。 传输线的微分单元如图2 2 所示，长度为出，通过基于电压与电流的回路 分析便可得到回路形式的波动方程，沿着传输线，电压和电流变化可表示如下1 ： 浙江人学琐j 二学位论文2 0 0 3 陈赞 一v = 俾缸) f + ( 厶缸) ，罢 一a i = ( g 缸) v + ( c 缸) 娑 当缸趋向于0 时，上式可表示为： 一堡：r i + l 鱼 一旦：g v + c o y 联立式( 2 5 4 ) 和( 2 5 5 ) ，并用复变量矿、，分别等效时谐变量v 、i ，得 罟川+ j ( o l ) ( g + 阚灿 器郴+ 删( g + 阚圳 ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 5 5 ) ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) 其中是角频率，= 2 矿，定义x = r + j 6 0 l ，y = g + ，甜，则得到传输 线波动方程： 窑一删：0 ( 2 5 8 ) 舐2 一 磐一删：o( 2 5 9 ) 缸2 一 令，= 万= 口+ 伊，其中口称衰减常数，称相常数，联立式( 2 5 8 ) 和 ( 2 5 9 ) ，得： 矿= 圪e 一蕊e “耐一摩+ 圪e + “e 7 删+ 卢( 2 6 0 ) ，= 1 4 x 旁e 4 ”剐+ 了募”剐 ( 2 6 1 ) i yx | y 式( 2 6 0 ) 和( 2 6 i ) 就是传输线波动方程的解，其中，第一项表示沿彳正方向 传播的波，第二项表示沿j 负方向传播的波。当只有沿j 正方向传播的波时，定 义特性阻抗z o 为： z o = t + ，。+ ：撅万：4 ( r + j w l ) i ( g + j a x t ) ( 2 6 2 ) 浙江人学坝i j 学位论芏2 0 0 3 陈黄 2 1 6 同轴电缆电性参数的计算 前面所得到的普遍传输线的波动方程同样适用于以同轴电缆为传输线的t d r 系统，其电性参数与同轴电缆的几何特性以及填充介质的特性等有关，本节将对 同轴电缆的电性参数的进行计算推导。 外导体 内导体 填充 介质 图2 3同轴电缆示意图 则图z 3 所不为典型明同捆电现不恧例，同钢电现田冈导体，琨允，r 厦，外 导体及护套组成，其中内导体半径为a ，外导体内半径为6 ，同轴电缆的尺，工， g ，c 四个参数与电磁波频率，同轴电缆的几何特征( b l a ) ，填充介质的介 电常数s 、磁导率及电导率盯。和内外导体的电导率盯：相关。 c ：三冬 ( 2 6 3 ) l n ( 6 口) g ：害黑 ( 2 6 4 ) l n f 6 a ) 工= 兰i n ( b 口) ( 2 6 5 ) z 万 r ：当三+ 舅 ( 26 6 ) 2 玎l 口6 j 如图2 4 所示，为同轴电缆的截面及电磁场分布图，其中填充介质的介电常 数为、磁导率为，电导率为q ，内外导体总电导率为盯：。假设电磁波以t e m 模式沿着传输线传播，则此时电场为中心辐射形式，而磁场则围绕内导体形成一 系列的同心圆。 浙江人学坝 学位论文2 0 0 3 陈赞 图2 4 同轴电缆横截面及电磁场分布示意图 2 1 6 1 电容与电导的计算 同轴电缆单位长度的电容可以由单位长度内导体上的电荷来决定，围绕内导 体取一个半径为，的虚拟柱面，通过圆柱面的总的电流为吼： q l = 2 n r d = 2 n r e e r ( 2 6 7 ) 因此，轴向电场强度e 为： 耻彘 内外导体间的电势差为： v = 铁西= 老，睁 而电容与电荷的关系为： c v = q 因此，单位长度的电容为： ( ，：旦 i n ( b 口) ( 2 ：6 8 ) ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) ( 2 7 1 ) 同理，单位长度的电导可用类似的方法得到，对于导电介质，电流密度的矢 量形式为： j = t r e + j 2 n f e e ( 2 7 2 ) 浙江人学硕士学位论文2 0 0 3 陈资 在回路系统中，电流可以表示为： ，= g v + j 2 z g u v 通过g 与c 的类比，g 可以通过用盯代替式( 2 7 1 ) 中的占来得到 ( ；：旦 l n 佑a ) 2 1 6 2 电感与电阻的计算 ( 2 7 3 ) ( 2 7 4 ) 根据安培电流定律。电磁场与内导体中的电流有关： ，= d 王五刃( 2 7 5 ) 由于截面的对称性，电磁场日可以用电流，和半径r 来表示： h = ( 2 7 6 ) 磁感应强度为： 曰：朋：丛( 2 7 7 ) 2 z r 、 因此，电感可用下式表示： 上= 嶂卜= 去蚓( 2 7 8 ， 电阻r 与高频条件下的集肤效应有关，r 的经验值为( d a v i d s o n ，1 9 7 8 ) “”： r ：墨b + 目 ( 2 7 9 ) 2 厅i