（应用数学专业论文）几类无穷维动力系统的渐近性分析及其在神经网络中的应用.pdf

四川大学博士学位论文 摘要 几类无穷维动力系统的渐近性分析及其在神经网络中的应用 应用数学专业 研究生牛健人指导教师徐道义教授 本文的主题是研究几类无穷维动力系统的渐近性态 第二章讨论一类时滞偏微分方程c a u c h y 问题的渐近性。利用该问题解的积 分表达式和适当的分析技巧，得到了一类时滞偏微分方程c a u e h y 问题的不变 集、吸引集和吸引盆存在的一些新的充分条件；结合m 矩阵的性质，得到判定 其指数稳定的方法 第三章根据积分微分不等式的有界性，渐近性与指数收敛的定理，借助矩阵 的谱半径理论和基本解方法，将滞后型泛函微分方程的相应理论推广到中立型 泛函微分方程的情形，得到无穷时滞中立型微分积分方程渐近稳定，指数稳定的 新判定准则 第四章利用半群理论和不等式技巧给出b a n a c h 空间上泛函微分方程不变 集，吸引集和吸引盆存在的充分条件，这些条件分别导出了不变集和吸引子的存 在域，进而给出当系统具有平衡点时，该类方程在平衡点渐近稳定的充分条件 第五章根据i t a 公式，时滞微分不等式，随机时滞神经网络的特性，获得了变 时滞随机c o h e n g r o s s b e r g 神经网络均方指数稳定的充分准则所得结果在现有 文献中束见报导 关键词：中立型，变时滞，偏微分方程，泛函微分方程，微分积分方程，随机神经网 络，不变集，吸引集，稳定性，均方指数稳定 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t a s y m p t o t i cb e h a v i o ro f i n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m s a n d a p p l i c a t i o n s i nn e u r a ln e t w o r k s m a j o r ：a p p l i e d m a t h e m a t i c s w r i t e r ：j i a n r e nn i u s u p e r v i s o r ：d a o - y ix u t h em a i na i mo ft h i sp a p e ri st od e a lw i t ht h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fi n f i n i t e d i m e n s i o n a ld y n a m i c a l s y s t e m s i nc h a p t e r2 ，s e v e r a ln e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ei n v a r i a n t s e t sa n da t t r a c t i n gs e t so fac l a s so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y sa r e o b t a i n e d b yu s i n g t h ei n t e g r a lf o r m u l ao f t h es o l u t i o no f t h ec a u c h yp r o b l e ma n ds o m e m e t h o d so fm o d e m a n a l y s i s t h ee x p o n e n t i a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fc a u c h yp r o b l e m i ss t u d i e db ym e a n so f t h e p r o p e r t i e so f m - m a t r i x i nc h a p t e r3 ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d n e s s ，a s y m p t o t i cp r o p e r t i e sa n d e x p o n e n t i a ld e c a ya r ed e r i v e df o rs o l u t i o n so f l i n e a rs y s t e m so f i n t e g r a li n e q u a l i t i e s w i t hi n f i n i t ed e l a y t h e nn o n l i n e a rn e u t r a li n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t e d e l a ya l er e d u c e d t od e l a yi n t e g r a li n e q u a l i t i e sb yt h ev a r i a t i o no f p a r a m e t e rf o r m u l a a n ds o m ec r i t e r i aa r eg i v e nf o ra s y m p t o t i cs t a b i l i t y , u n i f o r ma s y m p t o t i cs t a b i l i t y , a n d e x p o n e n t i a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f n e u t r a li n t d g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gs g m i g r o u pt h e o r ya n dt h ei n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，s o m e m e t h o d sf o rt h ee x i s t e n c eo f t h ei n v a r i a n ts e t sa n da t t r a c t i n gs e t sa n da s y m p t o t i cs t a b i l - 时o f f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e sa r ed e v e l o p e d t h em e t h o d s y i e l dc o n d i t i o n sf o rd e t e r m i n i n gt h ei n v a r i a n ts 9 t s ，a t t r a c t i n gs e t sa n d b a s i no fa t t r a c 。 t i o n c h a p t e r 5t h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t y i nm e a n s q u a r e o fs t o c h a s t i cc o h e n g t o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s i sd i s c u s s e db ym e a n so fi t 6 i i 旧川大学博士学位沦文 f o r m u l a ，d e l a y sd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ya n dt h e c h a r a c t e r i s t i c so fs t o c h a s t i c d e l a y n e u r a ln e t w o r k s k e yw o r d s ：p a r t i a l d i f f e r e m i a l e q u a t i o n ，n e u t r a l ，i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n ，f u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，s t o c h a s t i c n e u r a ln e t w o r k ，t i m ed e l a y , a s y m p t o t i cb e h a v i o r , a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , e x p o n e n t i a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ， e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nm e a ns q u a r e i l l 四川大学博士学位沦文 第一章综述 上世纪末到本世纪初，p o i n c a r e 等人从经典力学和微分方程定性理论的研究 中，提出动力系统的概念动力系统的现代研究，则始于本世纪6 0 年代初p e i x o t o 等人的工作在s m a l e 和其他许多学者的倡导和推动下，这一学科的基本理论的 研究取得了重大的进展自7 0 年代以来，微分动力系统的研究更广泛地向各个 应用领域发展其中的多数研究集中于由常微分方程定义的有限维动力系统然 而，在自然科学与社会科学领域中，许多现象是由泛函微分方程、偏微分方程、 偏泛函微分方程以及b a n a c h 空间中抽象微分方程来描述这些方程的一个共同 特征是具有无穷维的状态空间与有限维系统相比，无穷维动力系统的研究难度 更大，应用更广本文着重研究上述几类无穷维动力系统的渐近性态 1 1 一类时滞偏微分方程的渐近性 一 1 1 1 时滞偏微分方程 偏泛函微分方程起源于生物，化学，物理学等学科无论在理论上还是在应 用上偏泛函微分方程的研究都富有发展的前景因而近年来，偏泛函微分力程 的研究有了长足的发展自8 0 年代以来，众多学者利用半群理论、线性、非线 性泛函分析理论，借助于常微分方程，偏微分方程，泛函微分方程的方法研究偏 泛函微分方程取褥了重大进展【l 】【1 8 】 具有时滞的反应扩散方程是偏泛函微分方程的一个重要分之支，近二十年 来，时滞反应扩散方程的研究日益受到重视，这是因为反应扩散方程涉及的大量 问题来自物理学，生物学等自然科学和应用科学中众多的数学模型( 如渗流理论， 生物化学和生物种群动力学模型) ，因而有强烈的实际背景另一方面，在反应扩 散方程的研究中，对数学也提出了许多挑战性问题因此，正引起愈来愈多的数 学家、物理学家、化学家、生物学家和工程师的注意【1 9 一 4 9 】 p q 川大学博士学位沧文 1 1 2 反应扩散方程的吸引子与吸引集 在反应扩散方程研究中，近年来发展最快的，受人们广泛关注的研究课题之 一是反应扩散方程吸引予的研究，吸引子的结构虽然复杂，但它所具有的丰富数 学内容及辉煌的应用前景推动了反应扩散方程吸引子研究 5 0 【7 0 】但在众多 的文献中涉及时滞反应扩散方程吸引子的内容很少其原因主要是，一方面由于 时滞的引入，使对于反应扩散方程吸引子的研究变得更加复杂，另一方面研究时 滞反应扩散方程吸引予的方法不成熟与偏微分方程一样，反应扩散方程解的长 期动力学行为是由吸引子决定的，因此，对反应扩散方程吸引子的研究就显得更 加重要而不变集，吸引集的研究为确定吸引子的存在性与存在范围提供了有效 的方法，因此本文第二章讨论时滞反应扩散方程的渐近性态 1 2 中立型微分积分方程与稳定性 1 ，2 ，1 动力系统稳定性 动力系统稳定性是自然科学与工程技术中，人们普遍关心的问题因为一个 实际运动或工作的系统，总不可避免有各种干扰，干扰的后果如何，是不能不考 虑的微小的干扰因素对于物质运动的影响，对于不同的运动来说是不一样的 对于一些运动，这种影响并不显著，因而受干扰的运动与不受干扰的运动差别不 大反之，对于另外某些运动，干扰的影响就可能很显著，以致无论干扰的力多小， 随着时间的发展，受干扰的运动与不受干扰的运动可能相差很大简而言之，属 于第一类的运动称为稳定的，属于第二类的运动称为不稳定的因为在研究实际 问题时，干扰的因素总是不可避免地存在着，从而稳定性的研究具有普遍意义 经典的例子如天体运行的稳定性，旋转流体所构成的星球的稳定性，近代技术中 如火箭、人造地球卫星飞行的稳定性，以及控制系统、电力系统、生态系统的 稳定性等等 1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫的博士论文运动稳定性的一般问 2 凹川火学博士学位论文 题才给出了运动稳定性的严格的精确的数学定义和一般方法，从而奠定了稳 定性理论的基础但人们对李雅普诺夫理论的了解、欣赏继承和发展也有一个 漫长的过程 1 9 5 2 年，苏联著名数学家马尔金的专著运动稳定性及1 9 5 5 年苏联著名 控制论专家列托夫的专著非线性调节系统的稳定性同时在序言中提到“现 代自动控制理论，不论它以何种体系出现总是发源于一个唯一牢固的基础李雅 普诺夫运动稳定性学说” 1 9 5 7 1 9 5 8 年中国科学院数学所秦元勋教授为纪念李雅普诺夫诞生一百年 及逝世四十周年而编写了运动稳定性的一般问题讲义，讲授了李雅普诺夫 博士论文中的主要内容，同一时期前后还有中山大学的许淞庆教授、山东大学 的张学铭教授，先后把李雅普诺夫稳定性理论在中国传播之后，我国在稳定性 理论和应用方面，许多学者做出了重要贡献 1 9 7 6 年美国布朗大学著名数学家拉塞尔教授在动力系统稳定性的序言中写 到：“在某种程度上可以说，李雅普诺夫直接法在西方重新发现是五十年代中 期的事至少那时在非线性控制系统的设计中已广泛地承认了它的重要性”他 在6 0 年代还说过：“稳定性理论在吸引着全世界数学家的注意”，“稳定性理 论在美国正迅速变成训练控制论方面的工程师们的一个标准部分”我国著名 科学家钱学森、宋健在工程控制论中写到：“对于控制系统的第一个要求 是稳定性，从物理意义上讲，就是要求控制系统能稳妥地保持预定的工作状况， 在各种不利因素的影响下不至于动摇不定，不听指挥”，这些足以说明了 稳定性具有普遍意义，事实上，在经典控制论中，稳定性是唯一的要求，即使在现 代控制论中，它仍然是主要的性能指标 1 2 2 中立型泛函微分方程的稳定性 在众多的稳定性研究结果中，中立型泛函微分方程稳定性的讨论还不多见 中立型泛函微分方程是1 9 7 0 年左右由h a l e 与c r u z 共同从滞后型泛函微分方程 中分离出来的作为滞后型泛函微分方程的推广形式，它的稳定性亦引起了学者 们的兴趣【7 1 】一【7 6 】文 7 2 】利用h a l a n e y 时滞微分不等式方法，获得了中立型泛 四川大学博士学位沦文 函微分方程稳定性的充分准则：【11 】 7 3 一 7 7 利用李雅普诺夫泛函方法拉滋 米辛方法及不等式技巧，分别讨论了几类中立型泛函微分方程的稳定性，鲁棒稳 定性和吸引性等问题，得出与滞后型泛函微分方程平行的基本理论在这些的研 究工作中，对具有无限时滞的中立型微分积分方程的稳定性的讨论并不多见， 故本文第三章利用常数变异法及适当的分析技巧对具有无限时滞的中立型微分 积分方程稳定性进行讨论，获得了与滞后型微分积分方程 7 6 】稳定性理论平行 的结果 1 3 b a n a c h 空间上泛函微分方程的不变集与吸引集 b a n a c h 空间上泛函微分方程的渐近性分析是非线性理论的重要组成部分 随着非线性科学的快速发展。出现了对吸引子的研究热潮同时，吸引子理论与 方法的发展也已超越了原来的数学界限，并广泛应用于振动，自动控制，系统工 程，机械工程等部门的非线性问题的研究，而且对经典力学，物理学，固体力学，流 体力学，化学工程，生态学，生物医学，神经网络动力学等的研究和发展都产生了 深远的影响为此，吸引着大批的自然科学，工程学和数学工作者对吸引子的理 论和方法迸行深入的研究与探索，【9 】【7 8 】_ 【8 4 在文【7 8 】【7 9 中，美国气象学家 l o m e z 运用定性分析方法研究了三维非线性常微分方程的奇异吸引子存在性； 文【8 0 】利用分析法给出了二阶非线性常微分方程的周期吸引子存在性判别准则 文 8 1 】 8 2 】分别对非线性波动方程和s i n g o r d o n 方程的全局吸引子存在性进行 研究；文【7 3 】引进了“过程”的概念，并用“过程”来刻划泛函微分系统，根据 算子半群等理论，得到了泛函微分方程吸引子存在性判别条件文 8 3 】 8 4 】分别 讨论了几类非自治偏微分方程的吸引子存在性除此之外，有关非自治泛函微分 系统和非自治偏泛函微分系统的吸引子存在性工作还不多见其原因主要是由 于时滞的引入，使得影响吸引子存在性因素增多，讨论起来也就更为复杂 非线性微分系统的不变集( 不变域，不变流形) 和吸引域( 吸引盆) 是研究 吸引子存在性的重要条件之一，同时它们也在工程等一些应用学科中发挥着 重要的作用例如有关半导体材料的行波问题【8 5 】；电子系统切除故障和电压 瓦解r h - j 题【8 6 】；自动控制中离心调速问题 8 7 】；无线电通讯系统的锁相技术问 四川大学博上学位论文 题 8 8 】：经济系统的运动与预测 8 9 】【9 0 】；生态系统的持续生存和关联稳定性 分析 9 l 】 9 2 】；神经纤维电子脉冲传播问题 9 3 】等等 在现有的有关不变集和吸引集的研究成果中，多数是对非线性自治( 或时滞 自治) 微分系统的如文 9 4 】【9 5 】分别给出了非线性自治时滞常微分方程不变集 的判据：文1 9 6 ，讨论了时滞微分方程的不变流行问题；y a s h i z a w a 【9 7 利用李 雅普诺夫函数法给出了常微分方程吸引域的估计；作者科尔曼诺夫斯基在 9 8 】 中，通过李雅普诺夫泛函方法获得了自治泛函微分方程的吸引域估计专著 9 9 利用半群理论研究了偏微分方程的不变集和吸引集问题最近，文【l o o 】一 1 0 3 】利 用不等式技巧，讨论了非线性时滞离散系统的吸引域问题但是对确定非线性非 自治泛函微分方程的不变集和吸引盆( 吸引域) 还很少研究许多的泛函微分方 程和偏泛函微分方程均可表为在某个b a n a c h 空间上抽象的泛函微分方程，因而 对b a n a c h 空间上抽象的泛函微分方程的渐近性态进行研究具有广泛意义鉴于 此，本文第四章将讨论b a n a c h 空间上抽象的泛函微分方程的不变集和吸引集问 题，并且给出一些确定不变集与吸引集存在的方法与技巧 1 4 一类神经网络的渐近性分析 1 4 1 神经网络 神经网络是一种并行的分布式信息处理结构，它通过称为连接的单向信号 通路将一些处理单元( 具有存储并能执行局部信息处理能力) 互连而组成每一 个处理单元都有一个单输出到所期望的连接每一个处理单元传送相同的信号一 处理单元输出信号，它可以是任一种所要求数字类型在每一个处理单元中执行 的信息处理在它必须完全是局部的限制下可以被任意定义，即它必须只依赖于 处理单元所接受的输入激励信号的当前值和处理单元本身所存储记忆的值。换 句话说，神经网络是能获取、存储和利用经验知识的物理细胞系统 5 阴川大学博士学位论文 1 4 2 变时滞随机神经网络的稳定性 时滞神经网络系统作为一类特殊的泛函微分方程模型，近二十年来，它的理 论和应用研究引起了科学工作者的极大兴趣，并成为非线性科学领域的研究热 点( 【1 0 4 一【1 0 9 】) 这主要因为神经网络有着丰富的动力学行为，如稳定性，振荡 性和混沌现象等由于c o h e n g m s s b e 唱神经网络包含了h o p f i e l d 神经网络和 l o t k a v o l t e r m 竞争模型等重要模型【11 0 1 【1 2 4 1 ，因而对其稳定性的研究具有广 泛意义 日本数学家i t 6 从1 9 4 2 年到1 9 4 6 年发表了一系列论文，直接通过布朗运动 的样本轨迹来定义随机积分后来，人们把他定义的随机积分称为i t d 积分引 入i t 6 积分后，随机微分方程就建立起来了有关随机时滞微分方程稳定性的研 究已相当广泛 1 2 5 【1 3 0 ，随机时滞神经网络的稳定性研究始于 1 3 1 】 1 3 2 1 最 近【1 3 3 】研究了随机h o p f i e l d 神经网络的稳定性， 1 3 4 】研究了随机h o p f i e l d 神 经网络的极限集性态而具有变时滞随机c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的均方指数 稳定性很少有入讨论，故第五章讨论变时滞c o h e n - g r o s s b e r g 随机神经网络的均 方指数稳定性 1 5 本文的主要工作 1 讨论一类无穷维时滞偏微分方程的c a u c h y 问题渐近性态，利用该问题解 的积分表达式和适当的分析技巧，得到了无穷维时滞偏微分方程c a u c h y 问题的 不变集、吸引集和吸引盆的一些新的充分条件；结合m 一矩阵的性质，得到判定 其指数稳定的方法 2 根据积分微分不等式的有界性，渐近性与指数收敛的定理，借助矩阵的谱 半径理论和基本解方法，将滞后型泛函微分方程的理论推广到中立型的情形，得 到无穷时滞中立型微分积分方程渐近稳定，指数稳定的新判定准则 3 利用半群理论和不等式技巧给出了b a n a c h 空间上泛函微分方程不变集， 吸引集和吸引盆存在的充分条件，这些条件分别导出了不变集和吸引子的存在 叫川人学博士学位论文 域，进而给出了当系统具有平衡点时，该类方程在平衡点渐近稳定的充分条件， 4 根据i t j 公式，时滞微分不等式，随机时滞神经网络的特性，获得了变时滞 随机c o h e n g r o s s b e r g 神经网络均方指数稳定的充分准则 叫川大学博士学位论文 第二章、一类时滞偏微分方程的渐近性分析 由于扩散方程模型描述了自然界中广泛存在的扩散现象，所以在渗流理 论、生物化学和生物种群动力学等学科领域都提出了这类方程而在扩散方程 的基本模型中并没有考虑由于时滞引起的反馈作用以及由时滞引起的系统行为 的变化近年来，具有时滞的泛函微分方程和偏微分方程的渐近性得到了广泛 研究【7 6 】【1 3 5 一【1 4 9 最近， 1 3 6 】研究了一类时滞偏微分方程的不变集和稳定 域，给出了确定不变集和稳定域的准则；文 1 4 2 】讨论了一类时滞泛函微分方 程的不变集和吸收性 本章利用文 1 3 6 】得到的关于一类时滞偏微分方程的c a u c h y 问题的一个变 易公式，结合文【1 4 2 】引入的一种模，利用适当的分析技巧，得到了c a u c h y 问 题的不变集、吸引集和吸引盆的一些新的充分条件 。 2 1 预备知识 本章讨论如下带时滞的偏微分方程的c a u c h y 问题 p 跏弛喵啦“。，啦) ( t 如胛1( 2 “) iu t 。( 口，z ) = 毋( 日，z ) ，( 日，z ) 【一r ，0 】r ”， u t ( 日，x ) = u + d ，z ) ，q ，t ( 口，x ) = u ，0 + 目，3 7 , ) 。和q 为大于零的常数 一rs 口0 p 0 ，r o o ) 一8 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) r n l i l u 竹2l= ，f 里这 四川大学博 ：学位论文 c ( x ，y ) 表示由拓扑空间x 到拓扑空问y 的连续函数集 c = g ( 【一n 0 】r ”，彤) ( 2 1 5 ) 初始数据 ( 口，x ) = 【曲1 ( 日，z ) ，。( 口，z ) r c b ，( 2 1 6 ) 既为e 中有界连续函数构成的空间 五( t ，饥) c ( r c ，月) ，( 2 1 7 ) 五( t ，0 ) = 0 ( 2 1 8 ) 对u r n ，定义 【】+ = i ，i ，i u 。i 】t ，( 2 1 9 ) 对 t d t ( 口，x ) = h 一，u np t 】t ，( 2 1 1 0 ) 定义 【u t 】，= 川札，l i u 州m t ，( 2 1 1 1 ) 这里， 恤，t =s u pl “( 日，z ) | ( 2 1 1 2 ) ( 日，z ) i 一 叫x r m 对矩阵或向量a 和口，a b 表示a 与b 的对应位置上的元素间满足s ， 即a i j 吣； 对z ，y r “， x y 表示x y 且x y i ，对所有i a = i l x , 0 ，1 i n ) 成立； z y 表示z y ，且至少存在一个i f = l ，2 ，他) 使得x i y i ； x y 表示鼢 y i 对所有i f 成立 9 刚川大学博士学位论文 定义2 1 1 集合s c ，如果对( 2 1 1 ) 的任意初值s ，t 0 ，都有 “( t ，z ，t o ，砂) s( 2 1 1 3 ) 则称s 为( 2 1 1 ) 的正不变集 定义2 1 2 设s c g ，d 为s 的一个开邻域，若对( 2 1 1 ) 的任意初值d ， 当一+ 。o 时，系统( 2 1 1 ) 的解u ( t ，z ，t o ，庐) 都收敛到s ，则称s 为( 2 1 ，1 ) 的 吸引集，开邻域d 称为s 的吸引盆 其中u ( ，z ，t o ，) 收敛到s 的定义是： d i s t ( u ( t ，z ，t 。，) ，s ) 一0 ( t 一+ ) ， ( 2 1 1 4 ) 这里 d i s t ( 妒，s ) 2 赠幽( 咖，妒) ， d i s t ( 0 ( s ) ，妒( s ) ) = s u p l i 毋( s ) 一妒( s ) - r 。 如果下列条件满足 1 ，2 ，一，n ) ； 定义2 1 5 称系统( 2 1 1 ) 的零解稳定，如果对任意e 0 ，存在d = 6 ( e ，t o ) 使得当 t l ， 0 ，使得 “( t ，如，西) l 0 和q 0 是常数，协c ( r ，r ”) 并且 g t ( t - - t o , x - - ) = i i 五：j ；f i ( t t 。) 】一号e 一9 1 = “：# i 掣e a 。一如( 2 1 2 7 ) 定义2 1 7 g ；( t - t o , x - ) = i j 五： ；f i _ ( t t 。) 】一号e 一9 1 = 5 。亳 i ：掣e a ( 一t 。( 2 1 2 8 ) 称为方程( 2 1 2 5 ) ，( 2 1 2 6 ) 的基础解 引理2 1 2 【1 3 6 】向量函数 v ( t ，z ) = 【 l ( ，z ) ，t h 0 ，z ) 】? g ( 陋。一r + o o ) ，r “)( 2 12 9 ) 是c a u c h y 问题( 2 1 i ) 的解，只要v ( t ，z ) 满足下述泛函积分方程： 眦z ) _ + o o - 5 g ( t - - t o , x - - ) 旭) 武，蝙 + f e e 1 州小埘灶m d t , t t o , x e 矽， 【2 13 0 ) k 。( p ，x ) = ( 口，茹) ，( 0 ，x ) f r ，0 】r “，( 2 13 1 ) 这里 ，= 【，l ，n t ， ( 2 13 2 ) g ( t t o ，z 一) = d i a g g 1 0 一t o ，z f ) ，g 。p t o ，z 一) ， ( 2 1 ，3 3 ) g i 一t o ，x 一) 由( 2 1 2 7 ) 定义 旧川大学博士学位论文 定义2 1 8 若 v ( t ，z ) c ( t o r ，+ ) ，r “)( 2 1 3 4 ) 满足泛函积分方程( 2 13 0 ) 和( 2 1 3 1 ) 则v ( t ，3 7 ) 称为( 2 1 1 ) 的温和解( m i l d s o l u t i o n ) 引理2 1 3 设a 0 为常数，则 厂“。z 。如：亚 j o o a 2 2 时滞偏微分方程的不变集和吸引集 设系统满足如下条件： h 1 ：v t t o ， 凰：函数矩阵 ( 2 1 3 5 ) ( t ，毗) ls 黝( m j ) ，i = l 川2 一，礼 ( 2 2 1 ) j = l p ( ) = 如珏( ) 是毋( r + = 0 ，o 。) ) 上单调非减矩阵函数 h a ：存在常向量k 和厶满足 且至少存在某个i f ，使得 ( i ) 对任意z q l o k l q 1 = ( z t k 乏z l ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 旧j i 【大学博士学位论文 有 使得 则 只( z ) 0 ( i i ) f ( l ) 0 ，3 z n q = q 1n z l z l + j 1 f ( z ) 0 这里 f ( z ) = ( e l ( z ) ，r ( z ) ) r 踯) ：壹掣一 j = l 。 定理2 2 1 设日1 ，飓成立，且存在z 0 ，使得 f ( z ) 0 s = ( g i f 毋】， z ) ( 225 ) ( 226 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 ，1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 是系统( 2 1 1 ) 的不变集 证明：设“( t ，z ) 是系统( 2 1 1 ) 的解，e h ( 2 1 3 0 ) 及条件皿，对i = 1 ，2 ，n 及( t ，z ) t o ，+ o o ) r m ， r + 。or + u i 0 ，z ) l - g ，0 一t o ，z 一) 1 也( o ，) i d 4 1 d 矗t j 一。 - - 0 0 + h 0 巴g z 1 4 p , a u ， t ) d 4 1 蛎d l ( 2 2 1 2 ) j = l 四川大学博士学位沦文 这里g t 是齐次方程 的基解 豢= 觚z ) - c 4 u ；( m ：1 ，2 ，n ) ( 2 2 1 3 ) 由引理2 1 3 ，对( t ，z ) 【t o ，+ 。) 胛有 席蔗g t ( 一如，z f ) 。蛎 ：虑虑赤_ ( t - t o ) 一号。监铲e - c i ( t - - t o ) 妒 = e 廿t o ) 鱼、，。，f + o o e 一拣2 心= e 一( w ( 2 2 1 4 ) 由( 2 1 1 2 ) 得： 姒拈) | _ e - q ( t - t o ) 忪州r + re q n 骞酬叫淞 ( 2 2 1 5 ) 我们证明：当s ( 即：【纠， 刃时， ，“0 ，。) s ( p i u l + o o 使得 且 l u i ( t l ，z ) i = 盈， 饥( t ，z ) i z i ，t t 1 【叫+ 墨z ，t o t t l 1 5 ( 22 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) 四川大学博上学位沦文 由p i j ( ) 的单调性有 注意到 等价于 u 。( t ，。) l s e c i o ，一t o ) 1 1 妒4 1 + j ：| ：le c 。( h - r ) c i 1 曼甍型d r s e 一州。- 一l i 也i i ，+ 层e 一“1 一r ) c l 1 塑琶盈d 7 - ( 2 2 2 0 ) e 1 - ( h - t o ) z l + 露e 一( “q l 警打 从而 f ( z ) 0 妻掣 五 ，- l ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) u ；( 。，z ) i e 一( t l - t o ) z l + ( 1 一e - q ( ) 墨l 警 e c i ( “一幻+ ( i e e - ( t l - - t o ) ( 2 2 2 3 ) = z i 即i u ( t l ，x ) l 0 及所有的i f ，存在t 0 ，使得 + 。一c t s d s 。 j t 在飓条件( i i ) 的第一种情况中 f ( l ) 0 则对任意咖d ，由定理2 2 1 ，有u ( t ，z ，t o ) d ，即 u t 汁l 在条件( i i ) 第二种情况中，对任意西d ，存在z q 5 2 唑似一l i e t 忖 使得产 z l ，且f ( z ) s 0 由定理2 ：2 1 u ( t ，圳+ z t o ，使得对任意 t t 2 ， y ( t + 日) ( 1 + e ) 盯l ，日【一r ，o 】( 2 2 3 4 ) 当 t 2 + t = 3 时有 u ，( t ，z ) 玑( f ) l i 也e q ( 一吣) + 口t ，p i j ( l ) e - c | ( 。r ) d t + 正t ，【( 1t c ) a e 一郇_ r ) 打 l i 咖怕一( t - t o ) + 片。p i j ( l ) e “8 d s + f t tte - c , ( 一) 打l 黝 ( 1 + 蚺 ( 2 嬲) i l c d l ，e 1 - “。) + e 1p i j ( l ) + c 一1 i ( 1 一e 一4 7 l p 巧【( 1 + e ) 卅 慨怕1 “。+ 一，n ：1 p , a l ) + 叮1 跺1 p l j ( 1 + 咖 再次运用上极限定义：存在t b t + t 2 ，= l ，2 ，使得 一l i m + 。( “) = 口 1 8 ( 2 2 3 6 ) 四川大学博士学位沦文 令t 一+ o 。，e _ 0 我们有 亦即： 以圣型n ：! ：g ! q f ( 盯) 0 根据( 2 2 3 4 ) 和风中的条件( i ) 有 口 0 ( c p ) z 0 a 1 m i n n q c a e + p e l 7 】z 0 妻v p q 至兰- 譬2 o ) ，则 i i z ( t o ) l l ，k l l l t ， ( 2 31 3 ) 这里 扣赢，( 2 3 1 4 ) 1 t t o 及m ，使得 ( t ，z ) = k l l l l ， ( 2 3 1 6 ) 名o ，。) k l l l l ，t t o ，+ 】，i = 1 ，n ( 2 3 - 1 7 ) 联立( 2 3 1 2 ) 及( 2 3 8 ) ，可得 z 。( 扩，z ) 墨e 一( c 仉一1 ) ( t - t o ) 七1 j ，+ e - 叫卜7 打lz z j p 哪k l l l i r e “ e 一( c m - a m q 。) k l l l l ，+ ( 1 一e - ( c m 叫( 卜) 1 纽譬竽k ， e 一( c m 一堋一h ) k i i l i ，4 - ( 1 一e - 一岬+ 一“) ) k l l l l ， = 七l l 毋l l ，= z m ( r ，茁) ， ( 2 3 1 8 ) 四川大学博士学位沦文 矛盾，于是( 2 3 ，1 5 ) 是正确的，从而 u i ( t ，z ) l k z , l l 妒l l ，e 一1 0 一幻，i = 1 ，n ，t t o ( 2 3 1 9 ) 根据定义2 1 6 ，系统( 2 1 1 ) 是指数稳定的定理证毕 2 4 实例 例2 4 1 考虑如下时滞偏微分方程的c a u c h y 问题 曩卅妒班8 8 i n ( t , x 小) e 心- 2 , ，o 吣o ) x r , ， 所以 单调不减 当l z l 8 时，有 o ：= 4 ，c 1 - 9 ， ，l ( t ，饥) = “；+ 8 s i n 2 t ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) f l ( t 融) i p n ( t 】；) = m t 孝) 2 + 8 ( 2 4 4 ) n ( z ) = 兰仇l ( z ) 一z l = 孙1 2 1 + 8 ) 一z l = j ( z - 一1 ) ( z ，一8 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 四川大学博士学位论文 由定理2 3 1 知，( 2 4 1 ) 的正不变集为 s = 咖g l 事 8 ) ( 247 ) 再由定理2 3 2 知，( 2 4 1 ) 的吸引集为 s = 砂c 1 1 j - 1 ) ( 2 4 8 ) s 的吸引盆为 d = c l m 孝 8 ) 例2 4 2 考虑如下时滞偏微分方程 a v 矿( t , x ) = ( t ，z ) 一2 ( t ，z ) - v 2 ( t ，z ) - v 2 ( t ，。) ( t - - r , x ) 因为 0 ，毗) = 一v 2 ( t ，z ) 一v 2 ( t ，。) o r ，。) 一2 v ( t ，z ) 0 一r ，。) ( 2 4 1 1 ) 则： j f l ( t