（信号与信息处理专业论文）非线性非高斯叠前地震反演理论及应用.pdf

、。：4xr ! o 川i i 11 1i ll i iii i iii ii ii ! y 1713 4 5 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：钗日期：u ，护年多月2 ，日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：j 塑旋导师签名： 日期：，d 年g 月二日 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一1。_。_。一 摘要 摘要 口稳定分布是一种比高斯分布适用性更广泛的统计分布。在近二十的时间里， 口稳定分布吸引了大量信号处理领域专家学者的注意，人们开始尝试利用非高斯 的视角来重新审视信号处理方法。另一方面，叠前地震反演是信号处理的一个重 要的应用领域，反演的目的就是希望从地面采集到的地震记录和测井信息，推演 出人们感兴趣的深地层地质岩性参数。精确的地质岩性参数信息是储层识别和油 气检测的基础。随着人类对隐蔽油气藏的开发，现在的油气勘探对反演结果精确 度和准确率的提出了更高的要求。从信号处理角度来看，要想有效地解决这些问 题，必须对传统的反演理论进行适当的改进，寻找新的精确反演方法。 首先，本文从研究非高斯口稳定分布的理论基础、性质、关键参数对分布的 影响以及重要的数字特征等出发，找出了区分非高斯口稳定分布与高斯分布在理 论上的方法；然后，在叠前反演理论基础上，研究了叠前基本弹性阻抗、扩展弹 性阻抗和广义弹性阻抗的特点，确立了叠前地震反演的步骤和关键环节；最后， 建立适合数字信号处理的地震反演模型，并将口稳定分布理论应用到叠前地震反 演当中，提出了基于分数低阶矩统计量的叠前地震反演算法。通过对实际叠前地 震数据反演实验，验证了本文提出的反演方法的正确性和有效性。 本文大胆地打破传统的地震信号服从高斯分布的假设，尝试将非高斯口稳定 分布理论应用到地震反演中，取得了较好的效果。本文的突出成果表现在： ( 1 ) 提出了利用地震数据的动态样本方差曲线判别地震数据是服从高斯分布 还是非高斯t ；t 稳定分布的新办法。利用非高斯口稳定分布随机数据没有有限的动 态样本方差的特点，通过分别比较理论上的高斯分布随机数据的动态样本方差曲 线和理论的非高斯口稳定分布随机数据的动态样本方差曲线与实际的地震数据动 态样本反差曲线变化的异同，估计实际地震数据的分布。实例数据的仿真结果表 明，实际的地震数据基本服从非高斯的口稳定分布，用口稳定分布来描述地震数 据的分布比用高斯分布描述更合适。 ( 2 ) 提出了基于非高斯口稳定分布的叠前地震反演算法。由于非高斯口稳定 分布没有有限的二阶矩，基于传统的高斯分布假设下的最小二乘等方法不再适用。 本文在非高斯口稳定分布的分数低阶矩理论的基础上，建立了以反演误差的最小 平均j 。范数作为目标函数的地震反演模型。在此基础上，结合非高斯口稳定分布下 t 摘要 的信号处理方法，提出了适合计算机编程的地震反演算法，并给出了具体的实施 步骤。 通过实际的叠前地震资料反演的实例，验证了本文提出基于非高斯口稳定分 布的叠前地震低阶矩反演方法的正确性和有效性。 关键词：非高斯，口稳定分布，分数低阶矩，叠前反演，非线性 i i a b s t r a c t a b s t r a c t a l p h as t a b l ed i s t r i b u t i o np r o c e s s e sw h i c hh a sg r e a t e ra p p l i c a b i l i t yt h a nt h ei d e a l g a u s s i a nd i s t r i b u t i o na t t r a c t sag r e a td e a lo fa t t e n t i o no fs i g n a lp r o c e s s i n ge x p e r t sa n d s c h o l a r si nt h ep a s tl e s st h a nt w e n t yy e a r s t i m e a n dn o w , p e o p l eb e g i nt ot r yt o r e - e x a m i n ea n d i m p r o v es i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d s i n t h en e wp e r s p e c t i v eo f n o n g a u s s i a n w h i l ep r e s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o ni sa ni m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h ef i e l d o fs i g n a lp r o c e s s i n g ，a n dt h ep u r p o s eo fs e i s m i ci n v e r s i o ni st od e d u c et h er e q u i r e dd e e p g e o l o g i c a l i n f o r m a t i o na n dl i t h o l o g yp a r a m e t e r sf r o ms e i s m i cr e c o r d sa n das m a l l a m o u n to fa v a i l a b l el o g g i n gi n f o r m a t i o n a si ti sk n o w n ，a c c u r a t eg e o l o g i c a l i n f o r m a t i o na n dl i t h o l o g yp a r a m e t e r sa r eo fv i t a li m p o r t a n c ef o rt h er e s e r v o i r i d e n t i f i c a t i o na n d h y d r o c a r b o nd e t e c t i o n ，e s p e c i a l l y , o n t h eh i d d e nr e s e r v o i r e x p l o i t a t i o n ，r e q u i r i n g m o r ep r e c i s ea n da c c u r a t ei n v e r s i o nr e s u l tt h a ng e n e r a l a p p l i c a t i o n t oa d d r e s st h ei s s u ew i t hs i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d s ，e f f e c t i v e l yi n v e r s i o n t h e o r ym u s tb ei m p r o v e d f i r s to fa l lt h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e ss u c ho rs t a b l ed i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c 嬲 t h e o r e t i c a lb a s i s ，p r o p e r t y , i n f l u e n c eo fk e yp a r a m e t e r so nt h ed i s t r i b u t i o na n ds o m e i m p o r t a n tn u m e r i c a lc h a r a c t e r i s t i c , a n dt h e n ，d i f f e r e n c e sb e t w e e nn o n - g a u s s i a n 口 s t a b l ed i s t r i b u t i o np r o c e s s i n ga n dt h ei d e a lg a u s s i a nd i s t r i b u t i o na r ee x t r a c t e d a f t e rt h a t ，p r e - s t a e ki n v e r s i o nt h e o r ya sw e l la sb a s i ce l a s t i ci m p e d a n c ei n v e r s i o n ， e x t e n d e de l a s t i ci m p e d a n c ei n v e r s i o na n dg e n e r a l i z e de l a s t i ci m p e d a n c ei n v e r s i o na r e s t u d i e d ，p r e s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o ns t e p sa r ee s t a b l i s h e d i nt h el a s tp a r to ft h i sd i s s e r t a t i o n ，口s t a b l ed i s t r i b u t i o ns i g n a lp r o c e s s i n gt h e o r yi s a p p l i e dt op r e s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o n , a n dan e wp r e - s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o na l g o r i t h m b a s e do nf r a c t i o n a ll o w e ro r d e rs t a t i s t i c st h e o r yi sp r o p o s e d t h ea l g o r i t h mp r o p o s e di n t h ed i s s e r t a t i o nw a sp e r f o r m e di np r a c t i c a lp r e - s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o na p p l i c a t i o n s u c c e s s f u l l y , w h i c hd e r n o n s t r a tt h ea l g o r i t h mi sp r a c t i c a la n de f f e c t i v ei np r e s t a c k s e i s m i ci n v e r s i o n t h ed i s s e r t a t i o na b a n d o n e dt h et r a d i t i o n a la s s u m p t i o nt h a ts e i s m i cs i g n a lo b e y st h e i d e a lg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ，a n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e d 口s t a b l ed i s t r i b u t i o nt op r e - s t a c k i i i ， a b s t r a c t s e i s m i ci n v e r s i o n t h em a i na c h i e v e m e n t so ft h ed i s s e r t a t i o nc a nb es u m m a r i z e d 嬲 f o l l o w s ： ( 1 ) p r o p o s e dam e t h o do fo b s e r v i n gd y n a m i cs a m p l ev a r i a n c ec u r v et od e t e r m i n e w h e t h e rt h es e i s m i cs i g n a l o b e y sg a u s s i a nd i s t r i b u t i o no rn o n g a u s s i a n 口s t a b l e d i s t r i b u t i o n a sn o n - g a u s s i a n 口s t a b l ed i s t r i b u t i o ns i g n a ld o e sn o to w nl i m i t e d d y n a m i cs a m p l ev a r i a n c ev a l u et h e o r e t i c a l l y , c o m p a r i n gt h e t h ed y n a m i cs a m p l e v a r i a n c ec h iv e so fg a u s s i a nd i s t r i b u t i o na n dn o n g a u s s i a n 口s t a b l ed i s t r i b u t i o ni sa c o n v e n i e n tw a yt od i s t i n g u i s ht h e m i nf a c t ，r e a ls e i s m i cd a t as u b j e c t st on o n g a u s s i a n s t a b l ed i s t r i b u t i o nr a t h e rg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ( 2 ) p r o p o s e dan e wp r e s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o na l g o r i t h mb a s e do nt h ea s s u m p t i o n t h a ts e i s m i cs i g n a ls u b j e c t st on o n g a u s s i a n 口s t a b l ed i s t r i b u t i o n d i f f e r e n tf r o m g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ，n o n g a u s s i a n 口s t a b l ed i s t r i b u t i o nd o e sn o th a v eas e c o n d o r d e rm o m e n t ，t h ec l a s s i cs i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o d ss u c h 嬲l e a s ts e q u a r e sa l g o r i t h md o n o tw o r ka ta 1 1 c o m b i n i n gf r a c t i o n a ll o w e ro r d e rs t a t i s t i ct h e o r ya n dt h ec o n v o l u t i o n t h e o r y , t h i sd i s s e r t a t i o ne s t a b l i s h e dan e wo b j e c t i v ef u n c t i o nw i t hl e a s ta v e r a g e 厶 n o r mo ft h ei n v e r s i o ne r r o r , o nt h i sb a s i s ，p r o p o s e dn o n - g a u s s i a ns t a b l ed i s t r i b u t i o n i n v e r s i o na l g o r i t h ma n di m p l e m e n t a t i o ns t e p s k e y w o r d s ：n o n g a u s s i a n ，口s t a b l ed i s t r i b u t i o n ，f r a c t i o n a ll o w e ro r d e rs t a t i s t i c s ， p r e - s t a c ks e i s m i ci n v e r s i o n ，n o n - l i n e a r i v 一 誊 t _ 过- 0 目录 目录 第一章绪论1 1 1 研究背景及其意义l 1 2 国内外研究现状2 1 3 本文研究的主要内容4 第二章口稳定分布基本理论。6 2 1口稳定分布简介6 2 2口稳定分布的定义6 2 2 1 基于特征函数的定义6 2 2 2 基于稳定性的定义9 2 2 3 基于吸收域的定义9 2 3 口稳定分布的三个特例1 0 2 4 口稳定分布与高斯分布1 1 2 4 1 中心极限定理和广义中心极限定理l l 2 4 2 样本方差12 2 4 3 两类随机数据样本方差曲线的仿真1 3 2 4 4 高斯分布和非高斯的口稳定分布不同的原因。1 6 2 5 口稳定分布的性质一17 2 6 口稳定分布的不同参数系的表征。1 8 2 6 1 标准参数系19 2 6 2s 1 参数系。19 2 6 3s 2 参数系19 2 7 口稳定分布随机变量的产生方法2 0 2 8 口稳定分布的概率密度函数( p d f ) 的产生方法2 1 2 8 1 基于f f l 变换求概率密度函数一2l 2 8 2口稳定分布概率密度函数仿真实验。2 3 2 9 口稳定分布的数字特征2 4 2 9 1 分数低阶矩2 5 2 9 2 共变的概念2 6 v 目录 2 1 0 本章小结。2 7 第三章叠前地震反演基础2 9 3 1 叠前地震反演方法2 9 3 2 叠前地震反演的理论基础2 9 3 2 1 z o e p p r it z 方程。2 9 3 2 2z o e p p r it z 近似方程3 0 3 2 3 弹性阻抗基本原理3 2 3 3 有限角度叠加3 5 3 3 1 直线射线法。3 7 3 3 2 直线参量法3 7 3 3 3 有限角度叠加法处理叠前地震数据步骤3 9 3 4 叠前反演关键技术3 9 3 4 1 反演低频模型的建立3 9 3 4 2 子波提取4 0 3 5 本章小结一4 0 第四章基于非高斯分布的叠前地震反演4 2 4 1 叠前地震数据与口稳定分布数据的关系4 2 4 2 叠前弹性阻抗反演4 4 4 3 测井约束反演方法4 5 4 4 叠前地震反演数字处理方法4 5 4 5 高斯假设下的最小二乘反演方法4 7 4 6 口稳定分布下的叠前地震反演算法4 8 4 6 1 最小平均，。范数反演算法。4 8 4 6 2 递归最小z 范数算法( r l p ) 4 9 4 7 利用实际资料提取地震子波5 0 4 7 1 单角度子波提取原理5 l 4 7 2 多角度子波提取方法5 l 4 7 3 基于粒子群优化算法的叠前角道集子波反演5 2 4 8 基于口稳定分布的子波提取方法5 9 4 9 基于口稳定分布的波阻抗反演方法6 1 4 9 1 川东北地区x 6 区块地震数据反演6 1 4 9 2 川东北地区x l 区块和x 3 区块的地震数据反演6 5 目录 第五章结论7 3 5 1 结论与认识7 3 5 2 下步工作建议7 4 致谢一7 5 参考文献7 6 攻读硕士学位期间取得的研究成果一8 l v i i 一 0 p 一 第一章绪论 1 1 研究背景及其意义 第一章绪论 油气工业是关系到民生和国家安全的重要产业，随着工业化进程，人类对油 气资源的不断消耗，油气勘探的重点已经逐渐由原来的容易开采的构造油气藏转 移到岩性油气藏、隐蔽油气藏等储层【i 】，勘探油气储层的技术难度加大，对地震储 层预测提出了更高的要求。同时，由于勘探目标逐渐变深、变小和复杂，对储层 预测精度的要求越来越高，仅仅利用简单的叠后地震反演方法已经不能满足油气 勘探的要求。理论和实践已经证明，叠前地震数据比叠后地震数据保留了更为丰 富的岩性和流体信息，因此更有利于储层含流体性质的判别，提高储层预测的精 度。 另一方面，传统的地震信号处理中，都是采用高斯信号模型，即假设采集到 的地震数据以及噪声都是服从高斯分布的，基于这种假设的信号处理方法易于理 论分析和简化运算。实际上，地震信号的分布远远不是人们想象的这么简单，很 多的学者在对地震信号进行研究的过程就发现了地震信号具有比高斯分布更重拖 尾的现象【2 】，表现出非高斯性，非高斯的信号的处理往往具有一定的难度，通常情 况下都不能转化为一个线性的理论模型来研究。因此，研究基于叠前数据的地震 反演方法，特别是寻找更符合与叠前地震分布的非高斯分布的反演模式，以及非 高斯的反演方法具有十分重要的理论意义和工程应用的价值。 该课题的研究的重要性和迫切性具体体现在一下的两个方面： ( 1 ) 叠前反演本质上是属于典型的非线性j 高斯的反演 叠前反演技术是在a v o ( a m p l i t u d ev a r i a t i o nw i t h0 f f s e t ) 分析基础上发展起 来的。经过二十余年的研究发展和技术更新，a v o 技术已由以往单一的a v o 定 性分析发展成为叠前定量反演与分析技术，以叠前弹性参数反演、叠前纵横波联 合反演、叠前弹性阻抗反演为代表的新技术成为油气勘探领域新的研究热点和前 沿技术。众所周知，地球物理反演属于典型的非线性、非高斯反演，叠前地震反 演是地震反演的一种，自然也不例外。虽然，许多的地球物理学者，在寻求好的 反演方法上付出了诸多努力，如广义非线性反演、非线性共轭梯度法、神经网络 法、模拟退火( 包括量子退火) 、遗传算法( 包括量子遗传) 、混沌理论、蚁群算 电子科技大学硕士学位论文 法、粒子群优化f 3 1 、粒子滤波非线性【4 】反演理论与方法，一定程度上推进了地球物 理反演论的发展和进步。但是，这些反演方法大都采用了非线性问题的局部线性 化处理，导致反演结果严重依赖于所建立的初始模型。模拟退火、遗传算法、粒 子群优化等非线性优化方法一定程度上克服了依赖初始模型和全局寻优问题，实 际上，这些方法虽然考虑了反演中的非线性寻优问题，却未充分考虑正演模型和 反演数据本身的非线性、非高斯问题( 非高斯背景、噪声甚至所处理的数据本身 就并非服从高斯分布等) ，而且大都存在收敛性、稳定性欠佳，且时问消耗大的致 命问题。反演理论与反演方法依然是地球物理领域的研究热点和难点问题。 ( 2 ) 储层流体识别是一个世界范围内的亟待攻克的难题 随着地质勘探要求的提高，利用地震资料的储层预测，不再只是判断储层的 有无，更需要进一步确定储层中的含流体性质，即油、气、水的判别问题。基于 水平叠加数据的一些属性分析技术，由于横波信息的缺失，往往对储层流体性质 的判别无能为力。由于叠前地震信息包含了更多的岩性和流体信息，因此，叠前 反演技术一定程度上，为储层流体识别，特别是碎屑岩储层带来了生机和活力。 在这种情况下，建立合适的非高斯、非线性叠前地震反演模型对反演出精确 的地质参数和后续的油气属性识别至关重要。由于数学工具的发展程度以及硬件 的数据处理速度的限制，非高斯假设的信号处理方法受到人们关注的程度很高， 但是发展很缓慢，应用的领域很狭窄，在地震信号处理领域，该非高斯地震反演 的使用基本上处于空白。 本课题基于叠前地震数据服从非高斯口稳定分布，提出一种新的非线性、非 高斯叠前反演理论，建立非线性、非高斯叠前反演模型，从理论上解决叠前地震 反演的唯一性、稳定性等问题。因此，本课题研究着眼于地球物理反演中的创新 理论与方法研究，具有重要的理论意义；同时，研究紧密结合当前复杂油气藏勘 探亟待解决的难点问题，具有良好的应用背景。研究成果对提高地震储层预测能 力、促进我国油气勘探开发增储上产、降低开发成本以及维护国家的能源战略安 全具有重大意义和实用价值。 1 2 国内外研究现状 地球物理科学中的反演就是根据观测到的各种地球物理数据，通过定量计算， 揭示出隐藏在观测数据中的人们感兴趣地特定信息的方法，这些隐藏的信息往往 就是各种重要的地球物理参数，利用这些地球物理参数就能够进一步推测出地球 2 第一章绪论 内部的地质结构形态和物质构成。假设大地是一个时不变的系统，通常在地表用 爆破的方式产生一个人工的地震输入信号，再在地表采集到经过地层系统反射后 的反射信号，即地震记录，因此本文中将该反演方法称为地震反演。虽然自上个 世纪2 0 年代地震反演方法就开始得到应用，但是，由于观测到的地震数据的不完 备性和复杂性，反问题求解依然是地球物理研究领域的热点和难点。 a v o ( a m p l i t u d ev a r i a t i o nw i t h0 f f s e t ) 技术的兴起促使了叠前反演地震技术 的发展。所谓的a v o 技术就是利用叠f i i j c d p 道集，分析地震信号的振幅随偏移距 的变化规律，推断地层岩性参数。该技术的理论基础就是描述平面波在水平分界 面上反射和折射的z o 印研t z 方程【踊】。z o e p p r i t z 方程早在2 0 世纪初就已经建立，但 是，由于利用z o e p p r i t z 方程导出的反射系数的表达式形式很复杂，数值计算运算量 大，尤其是该方程式本身在数学上的复杂性和物理上的非直观性，提出以后一直 没有得到直接的应用。为了克服这些困难，历史上许多地质方面的学者对z o e p p r i t z 方程进行了简化，提出了很多近似方程。例如，a k i r i e h a r d s 近似方程、s h u e y 近 似方程、s m i t h - g i d l o w 近似方程、g r a y 近似方程，等等。与叠后反演相比，叠前反 演的地质参数更多，期望地反演结果不仅有纵、横波反射系数和密度，还包括泊 松比、拉梅常数、体积模量、切变模量和杨氏模量等弹性参数。反演方法有p p 波 反演、p s v 波反演以及p p 波与p s v 波联合反演，等等。叠前反演技术兴起后一 段时间，由于反演手段、应用条件等限制，也曾遭到许多人的质疑，一度处于低 谷状态。此后，随着l m r 分析技术的应用以及弹性阻抗( e l a s t i ci m p e d a n c e ，e 1 ) 【3 4 】的概念提出，叠前反演技术重新得到人们的重视。一些新的基于叠前的新理论、 技术不断涌现，在基本叠前弹性阻抗的基础上，又发展出扩展弹性阻抗r 7 】和广义弹 性阻抗哺j 等概念。 对于反演方法，从一开始人们就认识到反演本质上是非线性的，但是为了分 析问题和运算的方便，人们习惯于将问题转化在线性的环境下来处理。在数学上， 将非线性方程转换成线性方程的理论也很成熟，如参数代换法、泰勒级数展开法， 等等。然后再用经典的最优化的解线性方程的方法对问题求解。通常使用的解线 性方程的方法有最速下降法、共轭梯度法、牛顿法、变尺度法、最小二乘法、阻 尼最t j 、- - 乘法和广义逆算法等方法。由于线性方法只是原问题的一种近似表达， 存在很大的信息损失，描述反演问题的方程曲线一般是单峰的，求取的极值是局 部最优值，而不一定满足全局最优，因此线性算法不一定能得到理论的最优解。 近年，越来越多的学者提倡将反演问题回归到非线性模型下来分析求解，并对非 线性的反演方法做了大量的研究。比较成功的非线性反演算法有模拟退火算法、 3 电子科技大学硕士学位论文 神经网络算法、遗传算法、最优粒子群算法、同伦法、混沌算法，等等。这些非 线性反演算法都是针对线性反演算法的假设反演问题只有一个极小值而提出的， 通过设置适当的参数，都可以跳出局部最优，达到全局最优。另外，彭真明等人 在非线性参数重建测井参数【9 】和波阻抗反演中的全局寻优【m j l 】等方面作了研究，推 动了非线性反演方法的发展。 由于通常情况下缺乏对信号的复杂模型进行分析和处理的工具，传统的信号 处理理论和技术基本上是基于比较简单的高斯分布模型和二阶统计量的，在这种 模型基础上设计的信号处理算法易于进行理论上的解析分析。自上个世纪八十年 代中期以来，非高斯信号处理理论和技术受到了信号处理学术界的广泛关注，并 的得到了迅速的发展。事实上，在对地震观测数据的处理过程中，人们很早就发 现这些观测数据具有很强的拖尾现象，而这种现象是满足高斯分布的数据不会存 在的，采用非高斯的处理技术来处理地震信号数据是必要的。在信号处理的很多 的应用中，例如图像处理，有学者已经开始了信号的非高斯分布处理方法的研究， 与这些领域相比，地震信号处理领域在数据的非高斯分布处理方法的研究滞后了 很多。发展最为迅速的非高斯统计分布是q 稳定分布( a l p h as t a b l ed i s t r i b u t i o n ) ， 该统计分布没有封闭的概率密度函数表达式，但是随着选取的参数的改变，该分 布存在着三个特例，即正态分布、柯西分布和列维分布，因此，在有的场合认为 q 稳定分布是广义的高斯分布。 1 3 本文研究的主要内容 本文在前人研究的基础上，将非高斯口稳定分布理论与叠前地震反演结合， 研究了基于口稳定分布的叠前地震数据反演方法。全文共五章，各章主要内容如 下： 第一章，主要阐述叠前地震反演发展历史和研究现状，提出非高斯非线性叠 前地震反演的重要意义； 第二章，介绍t ；t 稳定分布的定义和性质，以及相关的口稳定分布随机数据的 生成方法、概率密度函数数据的生成方法、数字特征等等，重点研究口稳定分布 与高斯分布的关系，以及非高斯口稳定分布与高斯分布的区别方法； 第三章，介绍叠前地震反演理论和反演的关键环节； 第四章，将非高斯口稳定分布的信号处理方法应用到叠前地震反演中，提出 非高斯口稳定分布叠前地震反演算法，并利用该算法进行实际叠前地震数据反演 4 第一章绪论 中。 第五章，对本文的主要工作总结，提出进一步研究建议。 5 电子科技大学硕士学位论文 第二章口稳定分布基本理论 2 1o f 稳定分布简介 o f 稳定分布的概念是l e v y 在1 9 2 5 年在研究广义中心极限定理时提出的【l 2 1 ， 但是，直到1 9 9 3 年q 稳定分布的概念和理论才在信号处理领域得到人们的重视。 该分布最重要的特点是其概率分布上的稳定性和概率密度的代数拖尾性。近几年， q 稳定分布在国内也得到了迅速的发展和广泛的应用。在后面的章节中会介绍， q 稳定分布中的最重要的参数之一特征指数口通常小于2 ，而对称q 稳定分布 的随机变量的p 阶矩仅当p o f 存在，这就意味着，所有的非高斯q 稳定分布都不 存在有限的二阶矩。若口l ，则此时的q 稳定分布甚至没有有限的一阶矩。无限 的二阶矩意味着无限的能量，因此在高斯分布信号处理中最常用的二阶矩和方差 等统计数字特征对于q 稳定分布统计信号已经不再适用，取而代之的是分数p 阶 矩统计量的处理方法。q 稳定分布研究的一个难点在于该分部没有封闭的概率密 度函数的表达式，其性质通常只能用其特征函数来表征，但是通过对特征函数作 f f r 变换，可以得到相应的a 稳定分布概率密度曲线i l 引。 2 2o f 稳定分布的定义 o f 稳定分布的定义可以分别以三个方式给出，即特征函数( c h a r a c t e r i s t i c s f u n c t i o n ) 定义方式、稳定性( s t a b i l i t yp r o p e r t y ) 定义方式和吸收域( d o m a i no f a t t r a c t i o n ) 定义方式。 2 2 1 基于特征函数的定义 o f 稳定分布是从广义中心极限定理发展而来的一类极限分布，其概率密度函数 没有封闭的表达式，通常由特征函数来描述。根据概率密度函数于特征函数的一 一对应关系，可以由特征函数来定义o f 稳定分布。 定义2 1 如果一个随机变量x 存在参数0 0 ， o o 【一l ，u 0 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 则随机变量x 服从稳定分布。 由上式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可见，口稳定分布的性质完全由其四个参数口、 、，和来决定。其中，口( o ，2 】称为特征指数，它的取值决定稳定分布的脉冲 特性程度，也即特征指数可以度量分布函数的拖尾厚度。对于一组观测到的口稳 定随机变量序列，口的值越小，表明对应的口稳定分布的拖尾越厚，脉冲特性越 显著，偏离其中心值的样本也就越多。反之，口值越大，表明所对应分布的拖尾 越薄，脉冲特性减弱，偏离中心值的样本就越少。特殊的，当口= 2 时，由特征函 数表达式可知，此时的口稳定分布退化为一般的高斯分布，另外当口= 1 ，= 0 与 口稳定分布又与柯西分布一致。参数y 称为比率参数，也称为分散系数，该参数的 意义类似于高斯分布的方差，是关于样本相对于均值的分散程度的度量，在高斯 情况下等于方差的一半。( - 1 ，1 ) 称为对称参数，该参数表征稳定分布的斜度， 当= 0 时，稳定分布是关于对称的，在这种情况下的稳定分布称为对称口稳定 分布( s 口s ) 。为位置参数，对于s 口s 分布，当1 口2 时，为均值，当0 0 ，使得 9 电子科技大学硕士学位论文 l i m p l 掣+ b - x l = 协5 ， 其中尸 ) 表示概率，那么随机变量x 就是服从口稳定分布的。 2 3 口稳定分布的三个特例 口稳定分布随机变量的概率密度存在且连续，但是除了很少的例外之外，一般 的口稳定分布随机变量都没有封闭的概率密度函数表达式。在前面口稳定分布的 定义的章节中，我们看到口稳定分布的特性完全有其四个参数( 口，厂，) 决定。为 了表述的方便，我们用s ( a ，厂，) 来表示口稳定分布。改变位，y ，) 的取值， 则s ( a ，厂，) 序列对应着不同的概率密度函数。虽然s ( a ，y ，) 通常没有封闭的 概率密度函数的表达式，但是存在三个特例。 ( 1 ) 高斯分布( g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ) 当口= 2 ，o r 2 = 么时，此时特征函数表达式( 2 一1 ) 可以表示为 伊( “) = e x p j p u 一! o - 2 盯) ( 2 6 ) 由式( 2 6 ) 可以很容易的得到此时的随机变量的概率密度函数的表达式为 似，= 击唧 一譬) 沼7 ， 即此时的随机变量x 一( ，仃2 ) 。 ( 2 ) 柯西分布( g a u c h yd i s t r i b u t i o n ) 当口= 1 和= 0 时，根据特征函数的表达式可以推出稳定分布的概率密度函数 的表示式为 似) 2 而翻 ( 2 - 8 ) ( 3 ) 列维分布( l 6 v y d i s t r i b u t i o n ) 当口= 1 2 和= 1 时，稳定分布随机变量x 的概率密度函数为 m ，= 去南唧 一骊y 2 沼9 ， 第二章a 稳定分布基本理论 并在区间x ( ，佃) 上收敛。 2 4 口稳定分布与高斯分布 2 4 1 中心极限定理和广义中心极限定理 根据前面的讨论，我们知道口稳定分布的特征完全有其参数陋，y ，) 来确 定，而且改变( 口，y ，) 为特殊的值，则口稳定分布可以表示成我们熟悉的高斯分 布、柯西分布和列维分布。其中高斯分布是在信号处理领域应用最为广泛的一种 概率分布，工程实践中和科学研究中很多类型的信号以及噪声都可以认为是服从 高斯分布的，这除了因为高斯分布的概率密度函数的表达式方便出来外，还有一 个很重要的原因就是在通常情况下，缺乏对信号的复杂模型进行分析和处理的工 具，中心极限定理的存在使得将信号模型假设为高斯分布模型的方法有了理论上 的依据。口稳定分布比高斯分布有更厚的拖尾，即服从口稳定分布的随机变量序 列有比高斯序列更强的脉冲现象，一般情况下口稳定分布没有二阶矩统计量以及 二阶以上的矩统计量，因此，盯稳定分布满足广义中心极限定理但不一定满足中 心极限定理。 ( 1 ) 中心极限定理【1 8 j 定理2 1 设随机变量序列置，五，以相互独立并且服从同一分布，并且具 有有限的均值心和方差。令随机变量序列的部分和为k = k ，则k 的均 值和方差均为有限值，并且均值和方差的值分别为 e ( ) = 心，r a r ( r ) - - n o - 三 ! 姥尸 话斗去e 冲衍 协 定理2 2 设随机变量x i ，五，以相互独立，且任一随机变量誓o = l ，2 ，刀) 的均值、标准差、三阶中心距和三阶绝对矩分别为：肛，q ，q ，6 ；，且以0 ， q 玑再令e = 压，和g = 辱满足略一o ，蚴有 电子科技大学硕士学位论文 i ( 置一段) l i m p 生l 一x 。 ie l = 去唧出 沼 定理2 1 和定理2 2 是中心极限定理的两个不同的表达方式，中心极限定理表 明，在随机变量相互独立，而且每一个随机变量对总和的影响可以忽略不计的前 提下，只要能够获得足够多的这样的随机变量，则这些随机变量的部分和的分布 将趋于高斯分布。两个中心极限定理的不同之处在于，定理2 1 要求所获得的随机 变量是独立同分布的；定理2 2 的条件就比较宽松，只要求这些随机变量的分布是 独立的。在一般情况下，这些条件是很容易满足的。 ( 2 ) 广义中心极限定理钉 定理2 3设一个随机变量x 是服从稳定分布的，其分布函数为f ( x ) ，如果 匕 存在独立同分布的随机变量序列k ，k ，匕和r + 及吃r ，令t 。艺+ 包， 同时，e ( 石) 为以的分布函数，则 l i r a f ( 工) = f ( x ) ( 2 - 1 2 ) n 即新的随机变量序列t 依分布收敛于x 。 广义中心极限定理也可以看作是稳定分布的稳