（应用数学专业论文）期权理论在处置我国不良资产问题中的应用与研究.pdf

摘要 本文运用期权分析的方法，结合b l a c k - s c h o l e s 模型和二叉树模 型对不良资产的处置问题进行了研究。主要工作包括： ( 1 ) 期权定价理论和不良资产处置理论的研究分析； ( 2 ) 不良资产股权化问题的研究分析； ( 3 ) 不良资产债券化问题的研究分析。 对于期权定价理论和不良资产处置理论，我们研究了 b l a c k s c h o l e s 模型及其推广、二叉树模型以及二者的比较，得出两 者实质是一致的；我们研究了不良资产的成因、现状和当前的处置方 法，发现股权化和债券化是一种趋势。 对于不良资产股权化，分别用b l a c k - s c h o l e s 模型和二叉树模型 研究了债权转换股权的比例测算，得出转换比例公式，并通过修正， 得出非上市公司和含股权回购合约的理性定价比例；研究了债权转换 股权企业的风险度量，给出了单一公司和多个公司的风险度量公式； 研究了债权转换股权企业的风险控制，给出了亏损概率公式；研究了 债权转换股权企业的效果分析，给出了一个评估效果分析标准。 对于不良资产债券化，我们研究了公司股票的估价和公司债券的 估价，并对可转换债券进行期权分析，得出了可转换债券的定价公式。 关键词：b l a c k - s c h o l e s 模型，二叉树模型，不良资产，股权化，债券化 a b s i 。r a cl i nt h i st h e s i s ，t h em e t h o do ft h eo p t i o na n a l y s ew a sa d o p t e d t os t u d y t h ep f o b l e mo fb a da s s e t sb yb l a c k - s c h o l e sm o d e la n db i n o m i a lm o d e l t h em a i nw o r ki n c l u d i n g ： ( a ) t h es t u d ya n da n a l y s e o ft h eo p t i o np r i c i n gt h e o r ya n dt h e d i s p o s i t i o nt h e o r yo f b a da s s e t s ； ( b ) t h es t u d ya n da n a l y s eo fs t o c k l i z a t i o n ； ( c ) t h es t u d ya n da n a l y s eo f b o n d l i z a t i o n f o rt h eo p t i o np r i c i n gt h e o r ya n dt h ed i s p o s i t i o nt h e o r yo f b a da s s e t s ， b l a c k _ s c h o l e s m o d e la n di t se x t e n d , b i n o m i a lm o d e la n d t h e c o m p 锄t i o no ft h e mw e r es t u d i e d ，a n dt h ec o n c l u s i o n t h a tt h e yw e r e v i n l | a n vc o n s i s t e n tw a sg o t ；w es t u d i e dt h ec a u s eo ff o r m a t i o n ，t h e a c 自u a i i t ya n dc u r r e n td i s p o s i t i o nm e t h o do f b a da s s e t s ，a n df i n di tw a sa 臼c n dt od e a lw i t hb a da s s e t sb y s t o c k l i z a t i o na n db o n d l i z a t i o n f o fs t o d d i z a t i o n 。w es t u d i e dt h ep r o p o r t i o nc a l c u l a t i n g o fc h a n g i n g c r e d i t o r t sr i 曲t si n t os t o c kr i g h ts e p a r a t e l yu s i n gb l a c k _ s c h o l e sm o d e l a i l db i i l o n l i a lm o d e l , a n dt h ec o n v e r s i o np r o p o r t i o nf o r m u l a w a ss e tu p af e v i s e s w eg a i n e dt h er a t i o n a lp r i c i n gp r o p o r t i o no fc o r p o r a t i o no f n o n c o m i n gi n t ot h em a r k e ta n dc o n t a i n i n gs t o c kr i g h t b a c kp u r c h a s e a g r e e m e n t ；w ea n a l y s e dt h er i s km e a s u r eo fc h a n g i n gc r e d i t o r sr i g h t s i i l t 0s t o c kr i 龇a n dt h er i s km e a s u r ef o r m u l ao fs i n g l ec o m p a n ya n d m u l t i c o m p a l l yw a sf o u n d e d ；t h er i s kc o n t r o l l i n gm e t h o df o rc h a n g i n g c r e d i t o r sr i g h t si n t os t o c kr i g h ta n dt h eb a n k r u p tp r o b a b i l i t yf o r m u l a w e r eg o t ；t h er e s u l ta n a l y s i sf o rc h a n g i n gc r e d i t o r sr i g h t si n t os t o c k r i g h ta n d as t a n d a r do f e v a l u a t i n gt h er e s u l ta n a l y s i sw e r es h o w n f o rt h eb o n a , t h ea p p r a i s a lo fc o m p a n y ss t o c k , t h ea p p r a i s a lo f c o m p a n y sb o n da n dt h eo p t i o na n a l y s i so ft h ec o n v e r t i b l eb o n dw e r e i n v e s t i g a t e d ，a n dt h ep r i c i n gf o r m u l ao ft h ec o n v e r t i b l eb o n dw a sg a i n e d k e yw o r d s ：b l a c k - s c l l o l e sm o d e l ，b i n o m i a lm o d e l ，b a da s s e t s ， s t o c l d i z a t i o n ，b o n d l i z a t i o n m 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： 工汞役 日期：兰! ! ! 年! l 月丝日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：量盘丛 导师签名! 盥7 v 必m 盈v ：日期：2 型峰旦月竺日 硕士学位论文第一章文献综述 第一章文献综述 1 1 期权定价理论早期发展简介 期权是一种独特的金融衍生产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又 能从好的结果中获益。金融期权创立于2 0 世纪7 0 年代，并在8 0 年代得到了广 泛的应用。今天，期权已经成为处理所有金融问题时功能最多和最激动人心的 工具，期权定价理论也被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。因此，了 解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，都具有极其重要的意义。 期权定价理论的研究由来已久，现在己成为金融数学的一个重要分支。期 权交易早在公元前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中已经出现，期权思想 的萌芽至少可追溯到公元前1 8 0 0 年前的 汉穆拉比法典，但期权的快速发展 则是到本世纪5 0 年代以后才开始，真正标准化的场内交易还只有不到4 0 年的 历史。 法国学者路易斯巴谢利耶伽( l o u i sb a c h e k i e r ) 是迄今为止所知最早的 用理论模型研究期权定价问题的学者，在期权理论史和整个金融经济学史上， 都占有先驱地位。1 9 0 0 年，他在他的博士论文投机理论中，假设股票价格 按无漂移和每单位时间具有盯2 的绝对布朗运动变化，得出了在到期日看涨期权 的期望值公式： 、 c s l f s 础- x 厂1x 4 f l s 础- x 、1 j + 仃取溯， 其中西( ) 和烈) 分别为标准正态分布函数和正态密度函数。巴谢利耶的工 作标志着连续时间随机过程的数学和连续时间为衍生证券定价的经济学同时诞 生。 在接下来的半个多世纪，期权定价理论的进展主要是在应用计量经济模型 方面。其中经典的成果是卡苏夫叫( k a s s o u f ) 的工作，他利用下面式子估计看 涨期权价格： c = 。r ( 【( s ，r ) 7 + 1 1 “7 - l l s ， x 的最小正整数，是无风险利率。 1 4 姿产定价理论的研究 b l a c k - - j e n s e n s c h 0 1 e s 于1 9 7 2 年给出了c a p m 早期最严格的实证研究。 s a m u e l s o n ( 1 9 6 9 ) 、h a k a n s s o n ( 1 9 7 0 ) 和f a m a ( 1 9 7 0 ) 着手建立多阶段政权组合及 资产定价模型，即i c a p m 。m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 通过假设连续时间流进一步发展了 i c a p m 。b r e e d e n ( 1 9 7 9 ) 将i c a p m 与c a p m 结合，构造了消费c a p m 模型( c c a p m ) 。 最早讨论期权、远期合约定价的有b a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) 、k e y n e s s ( 1 9 3 0 ) 和 h i c k s ( 1 9 3 4 ) ，然而直到2 0 世纪6 0 年代才开始研究如何给期权定价。1 9 6 5 年 s a m u e l s o n 开始了这方面的工作，但未成功。最终的突破由b l a c k 和s c h o l e s 于1 9 7 3 年完成，他们主要集中于欧式期权定价的研究。随后，m e r t o n 睁伽推广 了b l a c k - s c h o l e s 模型，他的工作是基于无套利定价技术。c o x 和r o s s 于1 9 7 6 年首次使用投资者为风险中性的定价方法来表示期权的价值。1 9 7 9 年c o x 、r o s s 和r u b i n s t e i n 采用二叉树考察期权价值，该方法的优点是可以很容易地用于计 算在b l a c k - s c h o l e s 框架下难以处理的衍生证券的价值，如美式看跌期权u 3 1 ”。 1 9 7 7 年，b y e r s 认为资本投资机会的灵活性可视为“增长选择机会”。b r e n n a n 和s c h w a t z 于1 9 8 5 年在研究采矿的机会价值时采用了具有灵活性的期权定价技 术，m c d o n a l d 和s i e g e l ( 1 9 8 6 ) 研究了延迟项目期权，m a j d 和p i n d y c k ( 1 9 8 7 ) 研究了放慢项目开发的期权，m y e r s 和m a i d ( 1 9 9 0 ) 研究了放弃项目的期权。1 9 9 5 年m i c h a e ls t u t z e r 提出了资产定价诊断模型的b a y e s 方法，1 9 9 8 年h a e t h o m a s 研究了在非直接先验信念下最优的非线性定价问题。2 0 0 0 年m a r e kb r o d i e 和 j e r o m ed e t e m p l e 采用非参数方法，研究了在随机红利和波动率条件下美式期 权的定价方法，得到了均衡资产价格、衍生证券价格和最优执行的边界条件。 2 0 0 1 年h e e - j o o na h n 研究了股权回购和买卖价差问题，主要研究这些因素对 市场微观结构及对做市商定价的影响。2 0 0 5 年，秦学志的金融工程原理与应 4 硕士学位论文 第一章文献综述 用研究一书中，汇集了博弈定价、资产组合选择及企业投融资决策方法的一 些模型呻“：入可赎回可转换债券的博弈定价，信息非对称程度与企业家效用、 资本结构、企业市场价值的信号博弈，委托人与与代理人的博弈问题和道德风 险与企业多项目动态投融资决策的有效策略集分析问题。另外，随着计算机的 发展和算法的提高，数值计算方法也成为研究期权的一种重要手段，国内外大 量学者在这一领域做出了贡献“，这些也都为处置不良资产提供了一定的方 法与思路。 1 5 可转债定价理论的研究 可转换债券起源于西方发达资本主义国家，因此这些国家的一些学者很早 就对其定价问题进行了大量的研究，并且取得了很大的进展。2 0 世纪7 0 年代 中期以前，可转换债券的定价仅限于其价值的刻画上，基本思路是先设定未来 某个时点上的可转换债券价值等于它的投资价值( i v ) 与转换价值( c v ) 的最大 值，即m x ( i v ，c v ) ，然后再贴现这个值。 2 0 世纪7 0 年代中期至8 0 年代中后期，由于期权定价模型的发展，使得 可转换债券的定价取得突破性的进展。i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 ) 发展了套利理论，得 出可转债的最优转股策略和最优赎回策略。b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) 用有限 差分法去解有赎回条款、票息和红利的可转债价值的偏微分方程( p d e ) ；而后， b r e n n a n 和s c h w a r t z 又用数值解法解可转债价值的双因素p d e ，双因素包括公 司市场价值和随机利率。n y b o r g ( 1 9 9 6 ) 将b r e n n a n 和s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 模型扩 展应用到拥有回售条款和浮动票息的转债上。m e r t o n ( 1 9 7 4 ) 的结构模型将公司 资产价值的波动率视为风险，改变公司资产价值的波动率将改变那些基于公司 资产价值基础上的衍生证券的信用风险溢酬。6 e s k e ( 1 9 7 9 ) 复合期权定价模型应 用了具有与公司价值负相关的股票波动率在1 9 7 7 年，英格索尔( j o n a t h a ne i n g e r s o l l ，j r ) ，布伦南( b r e n n a n ，乩j ) 与施瓦茨( s c h w a r t z ，e s ) 啪1 分别 将期权定价方法运用于可转换债券的定价中，认为可转换债券的价值依赖于公 司的价值，得出了几乎相同的定价模型可转换债券定价的单因素模型：从 1 9 7 9 到1 9 8 0 年，布伦南与施瓦茨相继发表论文o ”，把利率的不确定性引入模 型，得出了双因素定价模型。 8 0 年代后期到现在，可转换债券的定价研究进入了第三个发展阶段。在这 一阶段里可转换债券的研究主要是以期权定价方法得到的双因素定价模型为基 础，在考虑了信用风险的情况下进一步探讨转债的定价的理论模型：同时还出现 了把数值方法应用到计算转债的理论价值中的新发展。其中，m e c o m e l l 和 s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 以股票价值作为随机变量为基础发展了一个可转换债券的定价 5 硕士学位论文第一章文献综述 模型，为了考虑信用风险，他们把个固定信用风险价差加到了利率中去，而 且可转换债券信用风险随着不同货币而变化。随后，t s i v e r i o t i s 和 f e r n a n d e s ( 1 9 9 8 ) 发展了这个模型1 ，并提出了新的观点：把可转换债券的价值 分成两部分即股权价值与纯债券价值，并且这两部分遭受到不同的违约风险“。 股权部分由于发行者一直能够交易自己的股票，因此，它的违约风险为零：债券 部分由于票息支付、本金偿还取决于发行者能够利用的现金数量，从而导致了 信用风险。为了处理这个问题，t s i v e r i o t i s 和f e r n a n d e s 把可转换债券分成两 个部分：一部分是遭受违约风险的纯现金流：另一部分是没有违约风险的股权价 值。在2 0 0 0 年，h u l l 利用二叉树模型简单的描述了这个模型1 ，2 0 0 1 年 y i g i t b a s i o g l u 通过引入利率，及外汇风险因素扩展了这个模型“。另外，霍 和普费弗在1 9 9 6 年提出了可转换债券= 投资价值+ 欧式认股权证价值一强制转换 权价值：同时在这段时期里还出现了把m o n t ec a r l o 方法以及m o n t ec a r l o 与 g a ( g e n e t i cr l g o r i t h a n s ) 遗传算法结合在一起应用于可转换债券定价中。 m o c o n n e l l 和s c h w a r t z ( 1 9 8 6 ) 以股票价格为标的变量，提出了一个零息票、 可转换、可赎回、可回售的单因素可转债定价模型。s a c h s ( 1 9 9 4 ) 认为在对可转 债定价时，不同的情况下应使用不同的折现率。t f ( 1 9 9 8 ) 模型为基于标的股票 的单因素模型，而后被y i g i t b a s i l g l u ( 2 0 0 i ) 拓展为多因素模型。h oa n d p f e f f e r ( 1 9 8 6 ) 提出了利率单因素模型，而后( 1 9 9 6 ) 发展为一个双因素可转债定 价模型。比h oa n dp f e f f e r ( 1 9 8 6 ) 更好的还有扩展的v a s i e e k 模型或h u l la n d w h i t e ( 1 9 9 4 ) 和( 1 9 9 6 ) 模型，因为这种利率模型可以描述利率的均值回复特性。 d a v i sa n dl i s c h k a ( 1 9 9 9 ) 将这种模型和j a r r o wa n dt u r n b u l l ( 1 9 9 5 ) 的随机破 产率应用于可转债的定价。与其类似的还有t a k a h a s h ie ta l ( 2 0 0 1 ) ，b l o c ha n d m i r a l l e s ( 2 0 0 2 ) ，a r v a n i t i sa n dg r e g o r y ( 2 0 0 1 ) ，他们将破产强度的形式进行 了拓展。k a r i y a 等( 2 0 0 0 ) 考虑了经济环境及其相关因素对可转债价值的影响， 提出了离散时间变马尔可夫可转债的定价模型；y i g i t b a s i o g l u 等( 2 0 0 1 ) 使 用c r a n k n i c h o l s o n 技术建立了反映股票价格和利率的双因素可转债定价模 型；g o n g 和h e ( 2 0 0 3 ) 将复合期权方法应用于可转债的定价研究，以及其他学 者的一些研究，都为可转债的设计提供了新的思路。 我国学者对可转换债券定价的研究开始于2 0 世纪9 0 年代。1 9 9 8 年2 月2 1 日华夏证券研究所在中国证券报发表文章可转换债券定价理论分析酬， 该文认为可转换债券的价值等于普通债券加上欧式买权，其中期权部分的价值 可运用b l a c k - s c h o l e s 定价公式来定价：郑小迎和陈金贤( 1 9 9 9 ) 利用 r a t e - p r i c e 组合模型，导出了基于利率和股价的可转债定价模型；北京大学金 融数学与金融工程中心在1 9 9 8 年6 月1 1 日的中国证券报上发表债券、 6 硕士学位论文 第一章文献综述 认股权证与可转换债券“1 一文认为可转换债券应该等于普通债券加上认股权 证的价值，因为增加新股对股票的价值的稀释作用使得认股权证的价值小于欧 式买权的价值。在考虑利率和股价行为的基础上，运用无套利均衡原理的方法， 郑小迎博士( 1 9 9 9 ) 等得出了一个可转换债券的定价双因素模型0 2 1 ：通过分析可 赎回的可转换债券的发行人和投资人双方的动态博弈关系，运用完全信息动态 博弈原理和最优停时原理，秦志学博士( 2 0 0 0 ) 得到了可转换债券的博弈定价的 一般方法。王承炜、吴冲锋( 2 0 0 1 ) 利用m o n t ec a r l o 模拟求得达到赎回条件 和回售条件的概率；龚朴等( 2 0 0 4 ) 利用有限元方法求解了单因素的可转债定价 模型，为可转债的定价方法提供了一条新的思路。 1 6 结论展望和本文主要工作 本章我们对金融数学中期权定价理论进行了概括性的总结与回顾。随着国 际经济的一体化和金融市场的发展，期权作为重要的金融衍生工具将会得到越 来越广泛的应用，其本身也在应用中不断地发展变化，因此，对于期权理论的 应用研究也成为了一项艰巨而重大的任务。 本文共有五章，分为三部分： 第一章为第一部分，是本文的引论部分。主要介绍了期权理论的历史、发 展与应用研究。 第二章、第三章为第二部分，这一部分主要是对期权定价理论和不良资产 处置理论进行一定的探讨与研究 第二章是期权定价理论，主要是b l a c k - s c h o l e s 模型的建立、推导与推广， 二叉树模型，b l a c k - s c h o l e s 模型与二叉树模型的比较分析。 第三章是不良资产处置理论，主要分析了不良资产定义、分类、形成过程 和目前的处置对策。 其余两章为第三部分，这一部分主要是对不良资产处置问题的期权分析。 第四章是不良资产股权化，本章首先分析了债权转换股权的国际经验、我 国现行做法与其核心问题，然后，针对以上分析研究了债权转换股权的比例测 算、债权转换股权企业的风险度量、债权转换股权企业的风险控制和债权转换 股权企业的效果分析。 第五章是不良资产债券化，本章主要研究的是可转换债券，首先分析了其 定义、分类、产生和发展，然后研究公司股票的估价、公司债券的估价和可转 换债券的期权分析。 7 硕士学位论文 第二章期权定价理论 2 1 预备知识 2 1 1 连续复利 第二章期权定价理论 我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍 生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必 要的。 假设数额为a 的资金，以年利率r 投资了n 年，如果利率按一年计一次算， 则该笔投资的终值为彳( 1 + r ) ”。如果每年计m 次利息，则终值为：4 ( 1 + 二) 。 ，打 当m 趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的 情况下，金额a 以利率r 投资n 年后，将达到：a e ”。 对一笔以利率r 连续复利n 年的资金，其终值为现值乘以e “，而对一笔以 利率r 连续复利贴现n 年的资金，其现值为终值是乘上p 一。 在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为s 投资 股票，期望以复利u 计息，经过t 时期后( t 一般以年为单位) ，股票的期望价 格为：昌= & ，从而可得：= 亍1i n s s r 一。也就是说，股票价格的期望收益率 为股票价格比的对数。 2 1 2 股票价格的行为过程 众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻画 股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化， 则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与 该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可 夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。 ( 1 ) 基本的维纳过程 要理解遵循维纳过程的变量z 的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z 值的 变化。设一个小的时间间隔长度为f ，定义& 为在缸时间内z 的变化。如果满 8 硕士学位论文 第二章期权定价理论 足： a z = 绾 ( 2 1 ) 其中，s 是服从标准正态分布n ( o ，1 ) 的一个随机变量； 对于任何两个不同的时间间隔f ，止的值相互独立； 则称变量z 遵循基本维纳过程。 由知，z 也服从正态分布，且其均值为0 ，方差为出，标准差为f 。 由知，z 遵循马尔科夫过程。 设z 值在时问t 后的增量为z ( d z ( o ) ，这可以被看作在n 个长度为出的小 下 时间问隔后z 的变化的总量。其中n = ，从而 f n z ( 乃一z ( o ) = f 毛 ( 2 2 ) 扭l 其中e ( f = 1 , 2 ， r ) 是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而 ：( d z ( o ) 也服从正态分布，其均值为0 ，方差为t ( - - n a t ) ，标准差为，。 另外，( 2 1 ) 式的极限形式可表示为：出= 成占( 2 3 ) ( 2 ) 一般化的维纳过程 。 变量x 的一般化维纳过程定义如下： 凼= a d t + b d z( 2 4 ) 其中a , b 为常数，砬为同( 2 3 ) 式的基本维纳过程。 a d t 项表示变量x 在单位时间内的漂移量，其期望值为a b d z 项可被看作为增加到x 轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的6 倍。 在缺省b d , 项的情况下，方程变为：d x = a d t 对其积分可得：x = x o + a t 其中】【o 为变量x 在零时刻的值。经过t 时间后，】【增加的值为口f 。 ( 2 4 ) 式的离散形式为： a x = a a t + 6 z = a a t + 6 f s( 2 5 ) 从而，缸具有正态分布，且缸的均值为a a t ，方差为6 2 f ，标准差为6 f 。 经过时间t 后，x 值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为a t ，方 差为6 2 r ，标准差为6 丁 方程( 2 4 ) 给出了一般性维纳过程。其漂移率( 单位时间的平均漂移) 的期 望值为口，方差率( 即单位时间的方差) 的期望值为6 2 ( 3 ) i t 0 过程 i t 0 过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为： 凼= a ( x t w t + b ( x , t w z 9 硕士学位论文 第二章期权定价理论 i t 0 过程的期望漂移率和方差率都随时问的变化而变化。 在b l a c k s c h o l e s 期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循 i t 0 过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设 就是股价s 的变动可用瞬时期望漂移率为，d ，瞬时方差率为盯2 s 2 的i t 0 过程来 表达。表示为： 嬲= z s d t + o & 如 ( 2 6 ) 一, i s ：础+ a d z ( 2 7 ) s 这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的 方差率恒为0 时：舔= 劬，得：s = 岛。其中，瓯是零时刻的股价。这说 明了当方差率为0 时，股价以单位时间为的连续复利方式增长。 ( 2 7 ) 式的离散形式为： 一a s ：础+ 础：础埘压 ( 2 8 ) 5 方程( 2 8 ) 的左边是短时间f 后股票的收益比，肚f 项是这一收益的期望 值，四石项是收益的随机部分，其方差( 也是整个收益的方差) 为盯2 a t ，该方程 表明等服从均值为肚，方差为0 2 f 的正态分布。e p ： a ，s 。n 蛐o 压) ( 4 ) i t 0 定理和股票价格的对数正态分布 由前面的讨论知道，股价s 的运动遵循i t 0 过程：谢= ， 0 y 0 1 4 硕士学位论文 第二章期权定价理论 可m a x ( s , 一x o ) 1 = 妄b x ) g s t o , ) a y = 胁一柳南e 一掣砂 剞垆厶蜮2 t 南叩2 印叫二去e 2 砰国 t ( f 一一) 。 ( 卜h ) 。 姘一；击c e 警矿+ 譬出 粤h 坠攀 ) 嘶4警,，4-f ：x ( _ 幽 辑学1 l 州1 j = x n ( d 2 ) 其中：正：l n ( s x ) + ( r ，+ 0 5 a 2 ) t a 4 t 吐：in(sx_)+f(r-0502)t：吐一盯厅o q l 所以，c = e 童陋( 品一x ，o ) 】 = e 一”k ” ) 一剧弛) j = s n ) 一皿”) ( 2 2 2 ) 制m 灿 三 硕士学位论文第二章期权定价理论 根据欧式看涨期权c 与看跌期权p 之间的平价关系，有： c + x e 一4 = p + s 因此，欧式看跌期权的价值为： p = c x + x e 一4 = x e 一4 n ( - d 2 ) 一s n ( - d , 1 ( 2 2 3 ) 2 2 3b i a c k - s c h o i e s 期权定价模型的评价及其推广 ( 1 ) b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的评价 b 1 a c k s c h o l e s 定价模型自问世以来，受到普遍的关注与好评。 b l a c k s c h o l e s 定价模型及其推广表明，其对于理解几乎所有证券的定价是极其 重要的。象资本资产定价模型( c a p m ) 一样，b l a c k - s c h o l e s 定价模型己成为现代 金融经济理论和理财理论的一块基石，其意义在于：在理论上带来了经济学和理 财学研究方法的革命：在实践上对规范证券市场，特别是期权交易起了重大作用。 但由b l a c k - s c h o l e s 定价模型在理论上所表述的有关期权标的资产之间、看 涨期权与看跌期权之间以及期权价格与其各种影响因素之间的关系必须通过实 证检验才能得到证实。利用场外交易的期权资料，b l a c k 和s c h o l e s 发现他们的 模型低估了低力差股票的认购期权，高估了高方差股票的认购期权， b l a c k - s c h o l e s 定价模型本身存在一定偏差，模型存在的问题主要体现在模型假 设前提过严，影响其可靠性，主要是关于股价分布、连续交易、不存在交易成本 的假设。b l a c k - s c h o l e s 定价模型的某些偏差可以通过应用统计程序制作误差模 型，有些则需要移到一个没有误差的更普遍的期权定价模型中加以解决。 ( 2 ) 支付己知红利股票的期权定价公式 用厂表示期权的价格，该期权的标的资产为支付连续红利率g 的股票。假定 股票价格s 遵循几何布朗运动程= p s d t + a s d z ，其中出是微分方程。变量， 盯分别是股票价格预期增长率和预期波动率。由于股票价格提供了连续红利率， 因此口并不等于股票的预期收益率。 由于厂是s 和t 的函数，利用i t o 定理( 公式( 2 1 0 ) ) 可得 够= c 簧筇+ 詈+ 吉警盯2 趵硪+ 善盯眦 我们建立如下无风险证券组合 一1 ：期权合约 1 6 ! 里苎墅塑笠墨一 苎三皇塑墼塞堕型丝 一 弟二苹期权定价理诒 + 善：股票 用n 表示该证券组合的价值，则 = - 皤s ( 2 2 4 ) 证券组合在厶f 时间内的市场价格变化n 为 h = 皤一j 1 万a 2 f 神2 坶 ( 2 2 5 ) 一耋：兰竺篓善黧a 的投资者获取的红利为筘蔷出删 用矿表示证券组合持有者在f 内从财富变化。因此 矿= ( _ 筹一瓣10 2 f 盯2 + 筘争 ( 2 2 。) 的喜盂上述表达式不含布朗运动的随机变动项，所以该证券组合是瞬时无风险 的，因此， 一一“”“”、“ a w = ，n f ( 2 2 7 ) 将( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 代入( 2 2 7 ) 中，得到 卜等一三寨盯2 s 2 + 筘参缸= ，c + 善s 皿 整理上式可得 詈岍秘嘉+ 扣2 象= 矿 他z s ， 这就是支付红利率股票期权价格，必须满足的微分方程。 。翌三鳘孝看涨期权加上边界条件，我们可以求解得到支付连续红利率股票的 看涨期权价格为 。 。= & 一柑。h ) 一x e - r ( t - t r 鸲) ( 2 2 9 ) q：ln(six)+，(r-q+c：2)(t-t) o t t 吱= 坐塑与筹塑绌：碣一仃厉 仃，一t 一1 ( 3 ) 标的资产不可交易的期权定价公式 “可交易证券”用来描述一种被大量投资者仅仅用于投资的交易资产。股票、 1 7 硕士学位论文 第二章期权定价理论 债券、黄金和白银都是可交易证券，但是利率、通货膨胀率和大多数商品并不是 可交易证券。在期权定价中期权的标的变量是不是可交易证券的价格是一个重要 的问题。一般来说，当一个标的变量是可交易证券的价格时，风险中性定价结果 表明投资者对风险的态度与期权价格和标的变量价值之间的关系无关。当标的变 量不是可交易证券价格时，他们对风险的态度就变得很重要。在很多情况下，实 物期权的标的资产为不可交易资产。 假设曰为某一不可交易资产，并且曰遵循几何布朗运动。我们将考虑依赖变 量6 7 的期权价格 塑：础+ 舷 臼 ( 2 3 0 ) 其中出是布朗运动。相应的，参数n l 和s 分别为0 的期望增长率和波动率。 我们假设它们只取决于目和t 。但我们没有假设e 是一种可交易证券的价格。 设z 和正是仅决定于口和时间的两种期权的价格，在未来的某一时刻这些期 权的盈利为秒的某一函数。由i t o 定理，z 、五遵循下面的随机过程 粤：“西+ q 出 石 “1 和 拿：心盘+ o 2 d z 五 “ 其中，“，段，z 和正是口和t 的函数，d z 是方程( 2 3 0 ) 中相同的布朗 运动。这些过程的离散形式为 馘2 “z f + q z & ( 2 3 t ) 4 疋2 鸬五血+ c r 2 五止 ( 2 3 2 ) 由于两个期权合约都含有相同的随机项，因此，我们可以构造两个期权合约 的无风险组合。可以看到，将c r 2 五个第一种期权和一q z 个第二种期权组合起来， 我们可以消去止，并构造一个瞬时无风险证券组合。若n 为该证券组合的价值， 则 兀= ) ，：一 ) 厶 1 9 塑主兰竺堡苎墨三兰墅墅型竺! ! 竺 和 a h = c r 2 五颤一q z 蜕 将方程( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 代入( 2 3 3 ) ，得到， a l - i = 如乃z 五一肫q z 五) f 由于是瞬时无风险的，它的收益率一定为无风险利率。因此， n = ，n f 将方程 ，可得 所吒一儿q5 r o 2 一，q 即 业：业 矾 c r 2 定义五为方程( 2 3 5 ) 的每一边的值，所以 丛! ：坚：a q c r 2 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 如果，为一种依赖于口和t 的期权价格，去掉以上公式中的下标，我们可得 街= q f m o 社q 3 6 ) 于是： 等= a ( 2 3 7 ) 盯 厶o ， 一般来说，参数a 取决于口和t ，但不依赖于期权，的性质。我们称a 为目的 风险市场价格。变量和盯分别是，的预期收益和波动率。 占的风险市场价格衡量了风险与收益的关系，这种关系是对取决于日的证券 而言的。将方程( 2 3 7 ) 改写为 一，= 船( 2 3 s ) 我们可以首先从直观角度理解这个方程，我们注意到变量盯可以被粗略地解 释为，中代表的曰风险的数量。因此，在方程的右边，我们可以看作是用曰风险 的价格乘以曰风险的数量。方程的左边是要求得到风险补偿的超过无风险利率的 预期收益 1 9 硕士学位论文 第二章期权定价理论 利用t t o 定理，方程( 2 3 6 ) 的参数和盯为 = 善4 - 棚荔+ 三劝2 等 和 o f = s e 亳 将其代入方程( 2 3 8 ) 中，我们得到如下，必须满足的方程 翌+ 曰笪( 所一五s ) + 三s ：口：擘：玎 aa 臼、2a 占2 。 ( 2 3 9 ) 方程( 2 3 9 ) 在结构上与b l a c k s c h o l e s 微分方程( 2 1 9 ) 非常相似。用口 替换s 且9 2 ，一r e + i s ，这个方程就与( 2 2 8 ) 中基于一种提供己知红利收益率 q 的期权定价的微分方程相同了。所以，当期权的标的变量不是可交易证券时， 我们也可以使用上述公式。 风险中性定价 只要将9 2 ，一m + 2 s 代k ，方程( 2 2 9 ) 中的任何解都是方程( 2 3 9 ) 中目 的一个解，反之亦然。用风险中性定价原理，将s 的漂移率设定为7 一g 和以无 风险利率贴现期望盈利。因此，我们也可以通过令占的漂移为 r 一( ，一r e + a s ) = 埘一无y 求解方程( 2 3 9 ) ，然后以无风险利率贴现期望收益。 所以为期权定价的方法是使目的漂移减少船，使之由n i 变为m 一2 s 并把这 个世界看成是风险中性的。为证明这一点，设口是一种非红利支付股票的价格， 则 m - f = 砖 即 m 一2 s = r 它表明了将占的预期增长率替换为肼一a s 与令股票的收益等于无风险利率 是等价的。 值得注意的是，我们扩展风险中性估值的结论比它开始出现时更精巧了。当 日并不是可交易证券，风险中性估值方法不一定能告诉我们在风险中性世界中将 会发生什么事情。它只是说明：将日的预期增长率从m 变为坍一2 s ，然后将世界 看成时风险中性的，可以得出期权的正确价值。 2 3 二叉树模型 针对b l a c k s c h o l e s 模型股价波动假设过严、未考虑股息派发的影响等问 题，c o x 、r o s s 以及r u b i n s t e i n 等人提出了二叉树模型嘲1 ，又称c o x r o s s 一 2 0 硕士学位论文第二章期权定价理论 r u b i n s t e i n 模型。 2 3 1 二叉树模型的内容 该模型假设： 股价生成的过程是随机游走过程，股票价格服从二项分布与 b l a c k - s c h o l e s 模型一样，在二叉树模型中，股价的波动彼此独立且具有同样的 分布，但这种分布是二项分布，而非对数正态分布，也就是说，把期权的有效期 分成n 个相等的区间，在每一个区间结束时，股价将上浮或下浮一定的量。 风险中性。由于连续交易机会的存在，期权的价格与投资者的风险偏好无 关，它之所以等于某一个值，是因为偏离这一数值就会产生套利机会，市场力量 将使其回到原先的水平。 模型的基本思想是把期权的有效期分为若干个足够小的时间间隔，在每一个 非常小的时间间隔内，假定标的资产的价格从开始的s 运动到两个新值，运动到 比现价高的值j 。的概率为p ，运动到比现价低的值的概率为1 - p ，由于标的 资产价格的变动率服从正态分布，运用风险中性定价原理，可以求得 一 1 一， = p 刊“，d = 二，p = = _ 二( 2 4 0 ) 杠。耻一d 假设初始时刻时间为0 ，己知标的资产的价格为s ：时问为f 时，标的资产 的价格有两种可能：鼠和髟；时间为2 a t 时，标的资产价格有3 种可能：置。 s 0 和注意在计算每个结点标的资产价格时要使用甜= 这一关系。一般情 况下。i a t 时刻，标的资产价格有i + 1 种可能 置， ，= o ，l ，i ( 2 4 1 ) 如果是看涨期权，其价值应为m a x ( s x ，o ) ，这样，在已知到期日的股价之 后，可求出二叉树的n + 1 个末端期权的价格，依据风险中性定价原理丁一厶f 时 刻每个结点上期权的价格都可由t 时刻期权价格的期望值以无风险利率r 贴现求 得，以此类推，可由期权的未来值回溯期权的初始值。值得注意的是，二叉树模 型方法是由期权的未来值回溯期权的初始值，因此可以用于美式期权计算，美式 期权在某个节点期权的价格是如下两