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山东大学硕士学位论文 分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用 林 爱 华 ( 山东大学数学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 本论文由彼此相关而又独立的三章所组成第一章为预备知识，简要介绍了本 文所需要的数学工具在1 1 节中。简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概 念及在与本文内容相关的几个领域内的研究进展给出了r i e m a n n - l i o u v i l l e 型分 数阶微积分算子和c a p u t o 型微积分算子的定义及主要性质在1 2 节中，给出了 两类特殊函数，即m i t t a g - l e f l t e r 函数与h f o x 函数的定义及其某些重要公式在 1 3 节中，介绍了分数阶微积分的f o u r i e r 变换，l a p l a c e 变换，以及有限h a n k e l 变换第一章是以后各章的基础 第二章，在前人对分数阶薛定谔方程 访掣= 儿咐) ， 所作研究的基础上，求得了粒子入射双6 势垒时空间分数阶薛定谔方程 d 。( 一危2 凸ja 。妒( z ) + 陋( z ) + 6 ( x 一口) 砂( 。) = e 1 ；f i ( z ) ， 所满足的跃变条件 ( 一心社v 帅+ ) - ( 一惝社r e ( 0 _ ) = 等， 与 ( 一心社r e ( n + ) - ( _ 删2 。1 r e ( _ ) - 器 求出了透射系数和反射系数的表达式讨论了粒子发生共振透射时的条件，进而 讨论了整数阶和分数阶薛定谔方程的关系其结论与参考文献【2 9 】中结果一致最 后，给出了在动量表象中含有双6 势垒的空间分数阶薛定谔方程的解的表达式 始，= 羔( 墨) 七碟叭等) i i 0 | 菇1 。蕊l t f l1 、喙；， 山东大学硕士学位论文 第三章建立r 有限分形介质中带有分数髟r 振子的分数阶反厦扩取方崔 掣= 万d 丽0 ( 严1 掣) 南卜( 舭c ( r ) 利用l a p l a c e 变换，有限h a n k e l 变换及相应的逆变换给出了以广义m i t t a g l e f f i e r 函数表示的上述问题浓度分布的解析解 如= 喜甓揣佩啦 我们将二维、三维空间以及整数阶的有限分形介质中反应扩散的模型作为本文的特 例给予了讨论最后，分析讨论了不含吸附项的二维和三维欧式空间情形下有限分 形介质中分数阶反应扩散方程 掣= 旦r 棚 - i 熹( 少1 掣) ，丽- 2 丽r 百j 经计算求得其解为 俐= 壹i 笔篱挑啦 其结果与参考文献f是一致的 变换 关键词t 分数阶微积分；量子力学；反常扩散；分数阶振子；特殊函数；积分 山东大学硕士学位论文 t h ea p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a lc a l c u l u s i nq u a n t u mm e c h a n i c sa n da n o m a l o u s d i f f u s i o ne q u a t i o n s a i h u al i n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a l i l d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s ，w h i c ha r ei n d e p e n d e n ta n dc o r r e l a t i v et o o n ea n o t h e r i nc h a p t e r1 ：p r i o rk n o w l e d g e ，t h ed e f i n i t i o na n dh i s t o r yo ff r a c t i o n a lc a l c u l u sa r ei n t r o d u c e d i ns e c t i o n 1 1 ，t h ed e v e l o p m e n th i s t o r ya n dr e c e n ta p p l i c a t i o n s o ff r a c t i o n a 1c a l c u l u sa r ci n t r o d u c e dc o n c i s e l y ，t h ed e f i n i t i o n sa n dm a i np r o p e r t i e so ft h e r i e m a n n - l i o u v i l l ef r a c t i o n a lo p e r a t o ra n dc a p u t of r a c t i o n a lo p e r a t o ra x eg i v e n i ns e e - t i o n 1 2t h ed e f i n i t i o n sa n di m p o r t a n tf o r m u l a eo ft w os p e c i a lf u n c t i o n s m a t t a g l e f f l e r f u n c t i o na n dh - f o xf u n c t i o na r ed i s c u s s e d i ns e c t i o n 1 3 ，s e v e r a li n t e g r a lt r a n s f o r m s a r ed i s c u s s e d i ns e c t i o n 1 4 ，t h ef o u r i e rt r a n s f o r m ，t h el a p l a c et r a n s f o r m ，t h ef i n i t e h a n k e lt r a n s f o r mo ff r a c t i o n a lc a l c u l u sa r ed i s c u s s e d t h i sc h a p t e ri st h eb a s i sf o rt h e f o l l o w i n gc h a p t e r so ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，o nt h eb a s i so fp r e c e d i n gr e s e a r c ho fs c h r s d i n g e re q u a t i o n ， a 皿( z ， 。厅丽 = 风皿( z ，t ) ， w es t u d yt h ef r a c t i o n a ls c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t had o u b l e6 - p o t e n t i a lb a r r i e r ： d e ( 一炉) 考妒( z ) + 陋( z ) + 6 一口) 】妒 ) = e 妒( z ) f u r t h e r m o r e ，w ed i s c u s st h ej u m pc o n d i t i o n so ft h ee q u a t i o n ( 一惝社r e ( 0 + ) + 惝即v 们- ) - 器 ( 一萨) 詈一1 r e ( a + ) 一( 一危2 凸jz 一1 v 妒( n 一) = i v v 0 妒( o ) d n 辩。 山东大学硕士学位论文 t h ec o r r e s p o n d i n gr e f l e c t i o nc o e f f i c i e ma n dt r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n to ft h ep a r t i c l ea r e g i v e n a n dw ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e nf r a c t i o n a la n dc l a s s i c a ls c h r s d i n g e re q u a - t i o n ，a n dw ec a l lf i n dt h a tt h er e s u l tw eg o ti sc o n s i s t e n tw i t h 【2 9 i nt h ee n d ，w eo b t a i n t h es o l u t i o nt ot h es p a c ef r a c t i o n a ls c h r 6 d i n g e re q u a t i o nw i t had o u b l eg - p o t e n t i a lb a r - 帅，= 柰去( 墨) 碟p ( 等) 丢陋忽! 誉 i nc h a p t e r3 ，f r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i f f u s i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hf r a c t i o n a lo s - c i l l a t o ri nf i n i t ef r a c t a lm e d i u mi se s t a b l i s h e d 幽： 况黑r g l1 旦o r ( r t l r 一 一 。 l o c ( r ，t ) ) 一f ( n p - - - - ) ，。d ，( t 一，) 芦一1 c ( r ，) b ya p p l y i n gl a p l a c et r a n s f o r m ，t h ef i n i t eh a n k e lt r a n s f o r ma n dt h e i ri n v e r s et r a n s f o r m s ，w eg e tt h ee x a c ts o l u t i o no ft h em o d e li nt h ef o r mo fg e n e r a l i z e dm i t t a g - l e f f i e r f u n c t i o n o o c ( ，r ) = i - 1锈鬻挑嘎 旧( 九) 一刀( a t 冗) 】一v 1 ”r w ea l s od i s c u s st h es o l u t i o n so ft w o - d i m e n s i o n a ls p a c e ，t h r e e - d i m e n s i o n a ls p a c ea n dt h e i n t e g r a ld i f f u s i o ne q u a t i o na ss o m ep a r t i c u l a rc a s e so ft h i sp a p e r f i n a l l y , w ed i s c u s s t h et h ee q u a t i o nw i t hn of r a c t i o n a lo s c i l l a t o r 伊c ( r ，t ) 疣a ：旦旦r r 彭一10 c ( y , t _ _ a 、 2 万丽r 撕j ， a n dt h ee x a c ts o l u t i o n sc a nb ew r i t t e na 8f o l l o w c ( r ，t ) = t = 1篙鬻眠啦 名( 凡) 一聘( 凡r ) 】一v q ”r t h i si sp r o v e dt ob et h es a m ew i t hf 3 5 】 k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；q u a n t u mm e c h a n i c s ；a n o m u l o u sd i f f u s i o n ； f r a c t i o n a lo s c i l l a t o r ；s p e c i a lf u n c t i o n ；i n t e g r a lt r a n s f o r m v 山东大学硕士学位论文 符号说明 a 阶r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶微分算子 p i 箩汛i e m a i u 卜l i o u v i l l 盼数阶积分算子 o t 阶c a p t u o 分数阶微分算子 r i e s z 分数阶导数 g a m m a 函数 广义m i t t a g - l e t t i e r 函数 h - f o x 函数 l a p l a c e ：变换 f o u r i e r 变换 阶有限h a n k e l 变换 误差函数 余误差函数 z 的实部 略升0 泖御础咐黝荆一一一喇删荆 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律责 任由本人承担 论文作者签名：捆煎玺 日期：一墨q q ! 【：5 ：型： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和 汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：嶝导师签名：蘧堕 日期： 2 q q 旦：量一z 。、 第一章预备知识 1 1 分数阶微积分( f c ) 简介 1 1 1 分数阶微积分的历史回顾 关于非整数阶算子的积分和微分方程的一些基本问题的讨论由来已久例如， 在1 6 9 5 年，l h o s p i t a l 在写给l e i b n i z ( 微分符号d “y l d x “的创始人) 的信【1 】中提 到，。如果n 是1 2 将会发生什么? ”l e i b n i z 回答道：“d 1 2 z 应该等于z 怕z ：石( 用 现在的标记应改为。d l 2 y d z l 2 = 2 刁；) ，这将产生一个矛盾，即将来会有一天， 这是一个有用的结果。分数阶微积分( f r a c t i o n a lc a l c u l u s ) 的概念首次在他们的 这次对话中出现之后的十八世纪和十九世纪中，e u l e r ( 1 7 3 0 ) ，l a g r a n g e ( 1 7 7 1 ) ， l a p l a o e ( 1 8 1 2 ) 。f o u r i e r ( 1 8 2 2 ) 以及其他一些数学家都对分数阶微积分的发展做出 了重要的贡献 尽管有如此漫长的发展过程，但分数阶微积分却未能广泛应用开来这主要是 因为分数阶算子本身定义的不完善性一一甚至有些定义是相矛盾的，以及在如何定 义其逆算子上的难度一直到了1 9 世纪中叶，l i o u v i l l e ( 1 8 3 4 ) ，g r f i n w a l d ( 1 8 6 7 ) ， l e t n i k o v ( 1 8 6 8 ) 等人给出了分数阶积分和微分的比较完善的定义后，分数阶微积分 及其应用才得到了快速的发展1 2 - , i , 2 3 1 由于缺乏实际的应用背景，分数阶微积分理论的发展十分缓慢直到1 9 8 2 年， b b m a n d e l b r o t 第一次指出在自然界和其他一些科技领域存在大量的分数维数以及 整体和部分之间的自相似的例子f 5 - 7 】从那以后，分数阶微积分作为分形几何和分 形维数的一个基本概念得到了快速发展，并被应用到了许多领域 s l ，比如振荡 9 1 ， 随机扩散理论和波的传播。混沌和湍流，随机游走，粘弹性动力学l l o - 1 4 1 ，量子力学 等【1 5 1 1 反过来，这些应用的研究又加速了分数阶微积分理论的发展分数阶微 积分理论以及混沌和耗散结构理论被认为是当前非线性科学的理论基础这些论述 可参见分形理论的创始人m a n d e l b r o t 的专著“2 1 世纪基础科学的挑战：数学和理 论物理国际会议( c h a l l e n g e sf o rt h e2 1 s tc e n t u r y - f u n d a m e n t a ls c i e n c e s ：p r o c e e d i n g s o ft h ei n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo nm a t h e m a t i c sa n dt h e o r e t i c a lp h y s i c s ) ”中的“数 l 山东大学硕士学位论文 学和物理学中的分形专题( t o p i c so i lf r a c t a l si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ) ” 1 1 2 分数阶微积分的定义和性质 当前，关于分数阶微积分( f c ) 有很多种定义 2 4 2 3 1 本文采用所谓的r i e m a n n - l i o u v i l l e ( r - l ) 和c a p u t o 分数阶微积分理论对于任意的复数卢，睨( p ) 0 ，函数 ，( ) 的p 阶r i e m a n n l i o u v i l l e 积分定义为： m ) = d 可- 芦f ( t ) ：= f 错价灿， ( 1 1 ) 其中r ( ) 为g a m m a 函数，定义为t r ( 石) = e 一垆( i t ，跪( z ) 0 ( 1 2 ) 利用递推关系 r ( z + 1 ) = z r ( z ) ， ( 1 3 ) g a m m a 函数可解析延拓到r ( z ) 0 ) 定义为n n m 一1 0 ( 1 7 ) 山东大学硕士学位论文 性质4 ： o 讲o d f 芦，( ) = o d t 一口，( ) ，a o ，p 0 ( 1 8 ) 特别地， o d ；o d ； ，( t ) = f ( o ，a 0 公式1t 。，) f p t p = 揣p + 一，p 。，弘 一1 ( 1 9 ) 。芦p = 揣t p u ，q 。，p 一1 ( 1 1 。) 特别地，如果q 簪n 则常数函数f ( t ) 三c 的分数阶导数o d 孑f ( t ) 不等于零实 际上，当肛= 0 时( 1 1 3 ) 式变为。讲1 = 芾它一般不等于零特别值得注意的 是；分数阶微分方程等，( ) = 0 0 o ，n 一1s q r 。) ( 1 1 2 ) k = o 3 山东大学硕士学位论文 特别的，当0 q 1 时，上式简化为 c o 讲，( ) ，s ) = 冗s ) 一【o 衅一1 ，( 吼= o ( 1 1 3 ) 如果，( t ) 在t = 0 附近有界，i ，( t ) lsm ，则当0 仅 1 时，i o ，) - 1 ，( t ) i = j ：簧蓦，( 丁) 打l m j o ( t - 、f ) - ，d 下= 利l 一口_ o ( _ o ) 这时由( 1 1 3 ) 式可得 c o d t f ( t ) ：s = ，( s ) ，( 0 q 1 ，( ) 在t = 0 附近可积) ( 1 1 4 ) 另外，算子。研由于含有t ，因此是有量纲的，并且 o 研】= t 一实际上， 栅叭纠= 南新赫把捣未阁 = 鹉r 小( 0 ) ( 1 1 5 ) 函数f ( t ) 的口阶c a p u t o 分数阶导数定义为t ；嗍归南z 。器札一l l a l ， ( 1 2 0 ) 其中， 飞e , c k 舻) t ，= 杀晰，= 萎揣 2 ， ( 1 2 0 ) 式在文献中的证明非常繁琐，所以徐明瑜等给出了该公式的一个简单而又严 格的证明 i o i 1 2 2h 。f o x 函数 在文献中，h f o x 函数又被称为f o x 函数、h 函数、广义m i l l i n b a r n e s 函数或 广义m e i j e r 8g - 函数【2 2 ，矧为了统一和推广对称f o u r i e r 核的现有结果，f o x ( 1 9 6 1 ) 用一般的m i l l i n b a r n e s 型积分定义了h - 函数其广泛应用于统计学、物理学和工 程学的分数阶的线性微分方程的解的问题中【2 4 一其重要性在于，几乎所有在应 用数学和统计学中用到的特殊函数都是它的特例甚至诸如m i t t a g - l e f f i e r 函数、 5 山东大学硕士学位论文 m e i j e r sg 一函数、m a i t l a n d 广义超几何函数和w r i g h t 广义b e s s e l 函数等复杂函 数，都被它包含在内 h - f o x 函数定义为m i l l i n - b a r n e s 型积分： 爿最n ( z ) = h 晶“ zi ( h q , 脚a q ) 】= 爿晶“ z 牌舞淞高_ i 嚣) ：= 丽1h x ( s ) z 8 d s ，z 0 ， ( 1 2 2 ) 其中，积分密度 坤) = 渊 ( 1 2 3 ) 这里 a ( s ) = i 、( b 一伤s ) ，b ( s ) = r ( 1 一吻+ s ) ， i = lj = l g ( s ) = r ( 1 一b + 伤s ) ，j ) ( s ) = r ir ( 吩一s ) ， j = r a + lj = n + l m ，扎，p 和口是非负整数，满足0 n p ，1 m q ，n = 0 时，取b ( s ) = 1 ； 口= m 时，取c ( s ) = 1 ；p = n 时，取d ( s ) = 1 。参数a j ( j = 1 ，2 ，p ) 和 b 0 = 1 ，2 ，q ) 是复数，而( 歹= 1 ，2 ，p ) 和角0 = 1 ，2 ，口) 是正数，这些 参数满足条件 p ( a ) np ( b ) = 彩， ( 1 2 4 ) 其中 蹦) = s = 警i j = 1 ，2 ，m ；，1 ，2 ，) ， ( 1 2 5 ) 尸( b ) = s = 生。二三 二鱼b = l ，2 ，n ；七= 。，1 ，2 ，) ， ( 1 2 6 ) 分别是a ( s ) 和b ( s ) 的极点的集合积分围道l 从s = c i o o 到s = c + i ，将极 点p ( a ) 与p ( b ) 分开，使得a ( s ) 中的点位于l 的右边，p ( b ) 中的点位于l 的左 边我们还可以把( 1 2 4 ) 式写成a i ( b h + l ，) 风( n j a 1 ) ，( u 入= 0 ，1 ，2 ；h = 1 ，2 ，m ；j = 1 ，n ) 应注意到，路径积分( 1 2 2 ) 式表示的正是x ( s ) 的逆m e l l i n 变换 h - f o x 函数有如下的重要性质渊： 性质1 t h - f o x 函数关于数对( n 1 ，口1 ) ，( ，) ，( a n + 1 ，o t n + 1 ) ，( a p ，q p ) ： 山东大学硕士学位论文 ( f i l ，仇) ，( 厶m ，如) ，和( 6 。+ 1 ，从卅1 ) ，( ，线) 的置换对称。 性质2 。如果数组( 叼，) 0 = 1 ，2 ，n ) 中的一个等于数组( 幻，b ) ( j = m + 1 ，m + 2 ，q ) 中的一个( 或者( ( 0 j ) o = n 十1 ，n + 2 ：，p ) 之一等于( 6 j ，3 s ) ( j = 1 ，2 ， ) 之一) ，则h - f o x 函数可简化为低阶的h - f o x 函数，即p ( f ，和n ( 或者 r l l , ) 各减去1 这样我们有下面的化简公式： 日品“p 陋粼船篇泉跣州 = h m , 旷- 1 。眺等粼：龆溉川】， ( 1 ) 这里儿1 ，f t i , 性质3 ： 嘴“h 髯涮 = 磁，i 三陋z 譬i ( 1 船) 利用这个性质我们可以将一个肛= 岛一 o 的f o x 的函数 性质4t 这里k 0 性质5 ： 研眺捌 = 七峨”h 按涮】， z 6 嚼眺踹 = 掰卜( a # , + a a n , o v i ( 1 2 9 ) 当哟= l ( j = 1 ，2 ，p ) ，俦= l ( j = 1 ，2 ，g ) 时，h f o x 函数简化为m e i j e r g - 函数。即 h 。p , q ，。 z 陋农j j 怒0 = 嚼 邛a h if a j o p ( 1 3 1 ) 如果还有m = 1 和psq ，则f o x 函数可由广义超几何函数p 日表示为 珥。 zi 嚣：姑j 怒o = 彳f i 三笔兰熹 竹 p ；( 1 。+ + 。b l 。- 一b 2 a l ，, ，。l + + b b ，l 一- a p ；( 一1 ) p n 一1 z ) ( 1 3 2 ) 7 山东大学硕士学位论文 许多所谓的特殊函数，如误差函数、b e s s e l 函数、w h i t t a k e r 函数、j a c o b i 多项 式、椭圆积分等，都是广义超几何函数的特例 一个不包含在g 一函数类中的重要的h f o x 函数是 g p p l ，, g p + 1 zl(。1，-1)a(11,a一6d。,，-p。,)(，1-，a(p1,一a6p。)：岛) ( 1 3 3 ) p 田q ( z ) 被称为m a i t l a n d 广义超几何函数( 1 3 3 ) 式的一个特例给出了h f o x 函数 与广义m i t t a g - l e f t i e r 函数玩p ( z ) 之间的一个关系，即 咄( 谁制) = 玩，卢( 名) ( 1 3 4 ) 1 3 关于积分变换的简介 下面我们来介绍一下解分数阶微分方程常用的方法一一积分变换的知识，包括 了f o u r i e r 变换、l a p l a c e 变换以及有限h a n k e l 变换 f o u r i e r 变换【2 2 ，2 3 】： ，( p ) = “，( 嚣) ；p = e 洳，( z ) 如，p r ，十 ，0 0 他) = 硝承办扣去e e 啦硇d p ，xer q 阶微分算子的f o u r i e r 变换的公式为t ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ，( o d ， ) ；p ) = ( 一) 口，0 ) ( 1 3 7 ) l a p l a c e 变换【2 2 ，2 3 】： f ( s ) = c ，( ) ；s ) = e - t f ( t ) d t ，既( s ) c o ，( 1 3 8 ) ，十 巾) - c - 1 胁) = 丽1e 冗s ) d t c 州s ) c d ( 1 3 9 ) 这个积分收敛的条件是，( ) 随t 的增长的速度不能超过指数项e 一武随时间减少 的速度，当这个积分收敛时，我们就说，( t ) 的l a p l a c e 变换存在 譬 n d 脚肋坞一嘶 咻一嗡 小小，m似一啪州一 山东大学硕士学位论文 q 阶微分算子的l a p l a c e 变换的公式为见公式( 1 1 1 ) 一( 1 1 7 ) z ，阶的分数阶有限h a n k e l 变换及其逆变换【2 2 3 5 l 为 一 厂( a t ) = ，( ) ) = y ，( y ) 妒( a 拶) d y ， ) ) - 施) = 萼喜罨鬻， 这里 妒( 入秒) = l ( o a t ) k ( 入t 可) 一山( a t ! ，) k ( a t ) ， ( 1 4 0 ) ( 1 4 1 ) 九是方程妒( a 加) = 0 的正根，并且山( z ) 和k ( z ) 分别为l ，阶的第一类和第二类 b e s s e l 函数。 1 4f o 理论在各类复杂系统中的应用 当前国际非线性领域研究的重点课题之一是复杂系统( c o m p l e xs y s t e m ) 或称 复杂现象 2 s l ( c o m p l e xp h e m o m e n a ) 作为一个新的研究领域，尽管目前还很难对复 杂系统给出精确的定义，但可以用两个简单的思想概括它的内涵：其一是自组织临 界性( s e l f - o r g a n i z e dc r i t i c a l i t y ) ；其二是主动游走原则( p r i n c i p l eo fa c t i v ew a l k s ) 前 者认为，一个大的动力学系统总是趋向一个没有特征空间和时间尺度的临界状态； 而后者则是描述一个复杂系统的每个单元是如何与其环境和彼此之间通过相互作 用而交换信息的主动游走原则。已经成功的应用于诸如电介质击穿图案的形成； 在玻璃态中离子的输送；以及蚂蚁在搜集食物中的合作等方面也有的学者对复杂 系统给出如下的简单定义t 是这样一个物理系统，它具有长时间的记忆和( 或者) 长范围的空间相关的系统【8 】以下概述f o 在几类复杂系统中的应用 1 4 1f o 理论在线性和非线性固体遗传动力学中的应用 最近r o s s i k h i n 和s h i t i k o v a 系统地总结和综述了这方面的工作从历史到近期 发展，从各类黏弹性振子的阻尼振动到具有r a b o t n o v 核的遗传弹性振子的受迫振 动，以及具有弱奇异核的遗传弹性杆的各类非稳态波问题；以及在三维遗传弹性介 质的简谐波，具有f o 遗传弹性介质的一维非线性波等 9 山东大学硕士学位论文 1 4 2f o 理论在非n e w t o n 流体力学中的应用 由于黏弹性材料可分为粘弹性固体和流体，将f o 应用扩展到粘弹性流体的一 维标量形式的本构方程中，用r _ lf o 代替整数阶时间一阶导数，在一些特殊的几 何边条件下，可以得到适定的c a u c h y 问题再应用某些与f o 有关的特殊函数。 如h - f o x 函数，广义m i t t a g l e f l i e r ( m - l ) 函数以及w r i g h t 函数f 2 2 矧等往往可以得 到问题的解析解，进而揭示粘弹性流体的流动特征，而且当分数阶导数a _ 1 时， 所得解均趋于整数阶n e w t o n 流体的解我国学者在这方面做了大量的工作，取得 了一些有意义的结果1 1 1 ，3 9 一值得注意的是。对于上述解析解，稳态过程的建立 均满足尺度规律，保持了f o 所具有的主要特征 1 4 3 f o 理论在反常扩散与随机游走理论中的应用 应用f o 将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时间和空间的分数阶。 进而再扩展到各类非线性方程并给出其初边值问题的解，是近几年来f o 应用的另 一个主要领域这些问题有重要的物理背景，如在分形和多孔介质中的弥散、半导体 物理、湍流及凝聚态物理等历史上，扩散方程就是从两个不同的角度建立和发展 的其一是从f i c k 第一、第二定律建立通量与流的本构关系而来研究扩散方程的， 这可以称为确定型观点；其二是随机游走的观点建立的早期的e i n s t e i n - k o l m o g o r o v 扩散方程就是典型的例子在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概 念之后，从这两个方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式一般用时间的平均 平方位移 。cp 尺度来刻画一个分数阶扩散特性当a = 1 时，为整数阶 g a u s s 扩散；而入 1 分别代表反常次扩散和反常超扩散徐明瑜及其合作 者 1 2 - 1 4 , 3 2 , 3 3 最近分别求解了在无序分形介质和欧氏空间中由瞬时点源反常扩散所 形成的浓度概率密度分布并给出散射函数的解析表达式 1 0 - 1 3 , 1 6 当扩散系数是半 径r 的某种函数，或浓度c 的幂函数时，尽管是分数阶非线性方程，但应用变换群 技术有时仍可以找出有物理意义的解析解此b , - y 大多数解均出现了类行波的特性， 这与经典扩散方程截然不同，前者速度有限，后者瞬间传至无穷远 1 0 第二章粒子人射双6 势垒时空间分数阶薛定谔方程的解 2 1 引言 量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及变化 规律上1 2 7 薛定谔在1 9 2 6 年首先建立了描写微观粒子状态随时间变化的规律方 程，称之为薛定谔方程1 3 0 】它是一个非相对论的波动方程，是量子力学的基本方 程和基本假设之一薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原 子、分子、核固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好分数阶的定义 最早由m a n d e l b r o t 5 7 1 提出并广泛地应用到了各个领域作为国际非线性研究的一 个新的领域，近些年来，分数阶微积分被成功的应用到量子力学 1 5 - 2 1 , 3 7 ，生物物 理和生物力学，反常扩散与随机游走理论，粘弹性动力学，非n e w t o n 流体力学， 混沌和湍流等复杂系统 2 6 1 中在量子物理中将f e y n m a n 2 8 l 路径积分应用于量子力 学是分数阶定义的第一次成功运用2 0 0 0 年。l a s k i n 1 s - 2 0 首先将分数阶算子的工 作和方法推广到量子力学，建立了分数阶薛定谔方程： i 危掣= 吼咐) ， ( 2 1 ) 其中雪( z ，t ) 为与时间有关的波函数， k 为分数阶哈密顿算子： k = 仇( 一壳2 ) 詈+ v ( x ，t ) ，( 1 q 2 ) 利用量子r e i s z 分数阶导数定义 ( 一炉) 詈皿( z ，t ) 2 熹上。d p e 警i p i 。上e 半皿( z ，) 出， ( 2 2 ) 1，o 。 得到了空间分数阶薛定谔方程 i 危箬= d a ( - 萨) 考皿+ 唯 c ) 皿， ( 2 3 ) ( a = 等是拉普拉斯算子) 如果不依赖于时间，即v ( x ，t ) = y ( ) ，用分离变 量法( 虫( z ，t ) = 纵t z j e - - i e t ，e 为体系的能量) 得到定态分数阶薛定谔方程： d 。( 一危2 ) 羞妒( z ) + y ( z ) 妒 ) = e 妒( z ) ( 2 4 ) 1 1 山东大学硕士学位论文 l a s k i n 指出了哈密顿算子的哈米特性质，建立了奇偶守恒定律继l a s k i n 之后， 2 0 0 4 年，n a b e r t 2 1 1 应用c a p u t o 分数阶算子。建立了时间分数阶薛定谔方程，得到 了依赖于时间的分数阶h a m i l t o n 算子 近来g u oa n dx u 1 8 l 给出了自由粒子和势阱中粒子的分数阶薛定谔方程的解， 并且讨论了势垒贯穿量子散射中的格林函数解w a n ga n dx u l l7 j 建立了时空分数 阶导数，给出了自由粒子和无限深方势阱中分数阶薛定谔方程的一般解在第二章 中我们讨论了粒子入射双d 势垒时空间分数阶薛定谔方程的解，求出了透射系数和 反射系数讨论了粒子发生共振透射时的条件，并给出了在动量表象中含有双6 势 垒的空间分数阶薛定谔方程的解 2 2 方程及其解 d 。( 一慈2 厶，a 。妒( z ) + y oi 6 ( x ) + 6 ( z n ) 】妒( z ) = e 妒( z ) ，( 2 5 ) d 。( 一炉) 警妒扛) = e 妒( z ) ，( 2 6 ) ( 一删猢= 掣 ( 砒愚警= 去仁e 嘲w 唰， ( p ，t ) ：厂e 半e 警如：2 7 r 筋如一九 ， ( 一，| 2 ) 詈e 警= e 字i p ，i 口6 ( p p ，) d = l p l 口e 警， 考虑到e = d 口酬。，可令驴= 矗，则方程( 2 6 ) 的解为t 一 帅，= 篓墓誊 山东大学硕士学位论文 由妒( z ) 在：= 0 与z = a 处的连续性得 妒( o + ) = 妒( o 一) ，( 2 7 ) 1 】f i 【n + ) = 妒( n 一) ：( 2 8 ) 将方程( 2 5 ) 左右两边对z 在z = 0 附近积分，因为 ! 嘎f ( 搿脚= 。l i 鼾r a 坼蚴社掣b l 刚i m ，一。邮( 茁) + 巧( z 一。) ) 如= v o w ( o ) ， 。l i m 。， 一。踯( z ) 出= o ， 所以得到在x = 0 处的跃变条件： ( 一删2 a 。- 1 r e ( 0 + ) + 抛卢1 r e ( 0 - ) = 等， ( 2 9 ) 用与推导( 2 9 ) 式相同的方法，将方程( 2 5 ) 对z 在z = a 附近积分，得到在z = a 处的跃变条件t ( 一蚴即r e ( 口+ ) _ ( 一即r e ( a 十掣 ( 2 1 0 ) 当a ：2 时，方程( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 化为含双6 势垒的经典薛定谔方程的跃变条件3 l 】： v 卅h 帅) = 等， v 帅+ ) - v 帅小器 联立方程( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 得； 1 + r = a + b ， a c 知“4 - b c 一h = t e h ( - - i ) - 警q 一心垆- l ( ) + ( 埘。( b - r ) 】_ 等， ( - 1 ) 护睁七a - 1 e i k a ( t 叫- ( - 跖她】= 等 1 3 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 山东大学硕士学位论文 将方程( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 联立并经计算后得到， t = ( r + 1 ) 2 = t + e i 2 k a ( t 2 一t ) ， i ( rq - e 2 。) + ( e 2 h 一1 ) ( 1 + 动 i c e i 2 k a 这里c = - d = h = ( - c ) 瓦= - z l l - ( - 一1 ) 。- z ，将( 2 1 6 ) 式代入方程( 2 1 5 ) 整理后得。 r = 爷， 一 伊 忙万巧陋 显然l r l 2 + l t l 2 = 1 2 3 讨论与分析 2 3 1q = 2 时的情形 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 )