（测试计量技术及仪器专业论文）小波分析及其在机械故障诊断中的应用.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 y 3 2 1 s 7 3 摘要 | ( 经典的频谱分析方法提供的是信号的平均频谱系数它们是与时间无关的量，因此 频谱分析的方法只适用于稳态随机过程的分析，但是，实际上现实生活中存在着大量的 非平稳过程，例如，当运行中的机械出现故障时，其振动信号是一个典型的非平稳过程， 包含有大量的故障特征信息i ；i 是频谱分析的方法此时却无能为力，特别是在故障的初 期近年粜新兴的小波分析方法由于它在时域和频域都具有良好的局部特性，因而能够 很好的反映出瞬态信号的特征，为故障诊断提供了新的有效的分析手段本文中，我们 将小波分析分别应用到齿轮裂纹的故障，连杆响的故障，轴承剥落的故障等的检测中去 通过将故障信号与经过挑选的小波函数进行对比方便而有效的提取出了故障的特征 参数，取得了令人满意的结果实践证明，对于包含在非稳态信号中的故障特征，特别是 在故障的初期，此时故障信号能量较小，往往被噪声信号所淹没，用小波分析的疗法仍 能实现高灵敏度的时频检测 关键词小波分析，机械故障，非稳态信号 a b s t r a c t c o n v e n t i o n a l s p e c t r a la n a l y s i sp r o v i d e sa v e r a g e ds p e c t r a l c o e f f i c i e n t sw h i c ha r e i n d e p e n d e n to ft i m e t h e yr e p r e s e n t t h e f r e q u e n c yc o m p o s i t i o no far a n d o mp r o c e s s w h i c hi sa s s u m e dt ob es t a t i o n a r ys ot h a ti t ss t a t i s t i c sd on o tc h a n g ew i t ht i m e h o w e v e r m a n yr a n d o mp r o c e s sa l ee s s e n t i a l l yn o n s t a t i o n a r y w h e nu s i n gt h ew i n d o w e df o u r i e r t r a n s f o r mf o rc a l c u l a t i n gas p e c t r o g r a m ，b e c a u s eo ft h el i m i t a t i o no ff i x e dr e s o l u t i o n ，t h e t i m e - f r e q u e n c yd i s t r i b u t i o no b t a i n e d i sw e l ls u i t e dt ot h ea n a i y s i so f s i g n a l si nw h i c h a l lo f t h ep a t t e m sa p p e a ra ta p p r o x i m a t e l yt h es a m et i m es c a l e ，b u tm a yn o tb ea p p r o p r i a t ef o r s i g n a l sc o n t a i n i n gp a t t e r n sa tb o t hl a r g ea n ds m a l lt i m es c a l e s w a v e l e ta n a l y s i sp r o v i d e sa p o w e r f u lt o o lf o rp r e s e n t i n gl o c a lf e a t u r e so f a s i g n a l u n l i k et h ef o u r i e rt r a n s f o r m ，w h e n t h ef u n c t i o nu s e da st h eb a s i so fd e c o m p o s i t i o ni so n l yas i n u s o i d a lw a v e ，ac h o i c ec a nb e m a d eo ft h ew a v e l e ts h a p et os u i tt h ef e a t u r e so ft h es i g n a l o b v i o u s l y , w h e nt h es i z ea n d s h a p eo faw a v e l e ta r ee x a c t l yt h es a m ea sas e c t i o no f t h es i g n a l ，t h et r a n s f o r mg i v e sa m a x i m u ma b s o l u t ev a l u e ap r o p e r t y , w h i c hc a nb eu s e dt od e t e c tt r a n s i e n t si nia i g n a li n t h i sp a p e r , t h ea b n o r m a ls i g n a l sc a u s e db yg e a rf a u l t ，c o n n e c t i n gr o dc l e v e lf a u h ，b e a r i n g f a u l ta r ee x a m i n e d i tp r o v e dt h a tt h e yc o u l db ed i s p l a y e db yt h ew a v e l e tt r a n s f o r m ，w h i c h c a nb er e g a r d e da sp r o c e d u r ef o rc o m p a r i n gt h es i m i l a r i t yo ft h es i g n a la n dt h ec h o s e n w a v e l e t o nt h ec o n t r a r y ，c o m m o n l yu s e dt e c h n i q u e sm a ye x h i b i tl o ws e n s i t i v i t yt of a u l t s i nt h ee a r l ys t a g eo f d e v e l o p m e n t a n d o rp o o r d i a g n o s t i cc a p a b i l i t y k e y w o r d s ：w a v e l e t a n a l y s i s ，m a c h i n e r yf a u l t ，a b n o r m a ls i g n a l 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 傅立叶分析( f o u r i e ra n a l y s i s ) 大约在1 8 2 2 年，法国著名数学家傅立叶从热力学的角度提出一种新的理论即”热 的解析理论”这种理论以一种全新的观点对当时的分析领域产生了极为重要的影响， 使数学，物理等学科产生j 很大的变化，并引起众多科学家的广泛关注，后被誉为傅立 叶分析方法，但傅立叶提出的这种方法仅仅是一种理论，尚不能具体进行应用1 9 6 5 年， 美国贝尔实验室的c o o l e y , t u k c y 两位工程师综合前人的研究成果，提出了影响深远的 快速傅立叶变换即f f t ，从此傅立叶方法从理论走向实践，成为大家爱不释手的一种数 学工具，十分自然的将许多学科统一起来，很难发现一门自然科学或工程技术不与傅立 叶方法发生联系 傅立叶分析定义了”频率”的概念，用它可以分析信号能量在各个频率成分中的分 布情况尽管傅立叶分析对数学，物理产生了深远的影响，但对于许多应用来说是不够 的，即传统的傅立叶分析存在一些不足之处( 详见第一章) 例如，傅立叶变换无法作局部 分析等尽管1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗傅立叶变换( 或称短时傅立叶变换) 对弥补傅立 叶变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决这个问题小波分析正是为了克服 傅立叶分析的不足而提出来的 1 2 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 任何理论的提出和发现都有一个漫长的准备过程，小波分析也不例外1 9 1 0 年 h a a r 提出了小波规范正交基，这是最早的小波基，但当时并没有小波这个词：1 9 3 6 年 l i t t l e w o o d 和p a r l y 对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，这是多尺度分析思 想的最早来源；其后，其他一些数学家也为小波的发展陆续进行了一些工作但直到 1 9 8 1 年，才由法国地质物理学家m o f l e t 在分析地质数据时基于群论首先提出了小波 分析这一概念，m o r l c t 最初提出的是形状不变的小波，因为在分析信号时，加窗傅立叶 变换并不具有形状不变性，m o r l e t 方法所取得数值分析的成功不仅激发m o r l e t 本人对 小波分析进行深入研究，而且也大大鼓舞了法国理论物理学家g r o s s m a n ，于是他们携 手共同研究小波理论1 9 8 5 年，法国大数学家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基。后被 称为m e y e r 基，对小波理论作出了重要贡献1 9 8 6 年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了 多尺度分析的思想1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑正 交小波基，即d a u b e c h i c s 基，为小波应用研究增添了催化剂，因此d a u b e c h i e s 名扬世界 后来，信号分析专家m a u a t 提出了多分辨分析的概念，给出了构造正交小波基的一般方 法，因为在这以前人们构造的正交小波基都带有高度技巧性和不可模仿性多分辨分析 概念是小波理论最基本的概念之一多分辨分析原理与人类的视觉和听觉方式十分接 ! ! 壁坌堑垦基垄垫塑垫堕堡堑! 塑墅塑一一一一 近例如我们站在月球上看地球，只能看到地球上大概轮廓和地球上突出的建筑物，这 就是高频边缘提取；当我们站在地球上看地球时，一草一水清晰可辨，这就是低频分 析t m a l l a t 受到金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法，即 m a l l a t 算法( f w t ) ，这是小波理论突破性的成果，其作用和地位相当于傅立叶分析中的 f f t m a l l a t 算法的提出宣告小波从理论研究走向宽“的应用研究现在人们借助 d a u b e c h i e s 基和m a l l a t 算法可从事广泛的应用研究1 9 8 9 年，m e y e r 出版的 是小波理论这一新兴学科诞生的熏要标志，该书是目前最权威最系统的小波理 平移方向r 图1 - 1 小波变换的粗略解释 论著作关于小波分析理论的详 细介绍请见第一章图1 1 给出 了小波变换的粗略解释 通过上诉分析我们不难发 现，傅立叶分析的提出是从理论 通过f f t 算法真接迈向应用，这 是“理论专应用”的过程孙波 分析的提出则首先是取得应用 成果( 如m o r l e t 的地震数据处 理等) ，再形成系统理论，最后在 应用领域全面铺开，这是“应用 专理论应用”的过程，说明小 波分析更具有实用价值 1 2 2 国内夕惭究现状 国外研究小波的时间较早，8 0 年代就有文章发表，这正是小波理论真正产生的年 代，国外在1 9 9 0 年达到第一次熟潮，1 9 9 2 年达到第二次热潮，1 9 9 4 年小波研究达到白 热化程度，形成研究高潮国外在小波研究方面形成的热潮可概括为”四多一广”即：会 议多，论文集多，著作多，参与人数多，应用领域广 国内小波研究起步较晚，直到1 9 9 0 年才有论文公开发表，1 9 9 4 年形成国内的小波 研究高潮，并且已经取得重要进展据不完全统计，截至1 9 9 8 底国内公开发表的小波文 献2 0 0 多篇，大部分为小波理论及其在图象处理等方面的应用1 9 9 6 年6 月在北京召 开了国际调和分析与小波分析学术大会，同年国家教委举办了动力系统与小波分析高 级研讨班，这些活动对我国小波分析的研究起到了积极推动作用冲国国家自然科学基 金委员会已将小波分析与信号处理列为鼓励与重点资助研究领域，这也是小波研究在 我国迅速发展的原因之一 1 3 机械故障诊断技术( m a c h i n e r y f a u l t d i a g n o s i s ) 1 3 1 机棱故障诊断学的内客和方法 堕塞堕窒堕丕盔堂堡主兰堡堡苎一 机械故障诊断学是一门近二十年内发展起来的新学科它是随着机器的不断完善 化，复杂化和自动化而发展起来的所谓诊断，就是对机器的运行状态作出判断机器在 运行过程中内部零件受到力，热以及摩擦，磨损等多种作用，其运行状态不断变化，一旦 发生故障，往往会导致严重的后果因此必须在事故发生以前就查明并加以消除，即必 须在机器运行过程中对机器的运行状态及时作出判断，采取相应的决策例如，机器运 行状态不正常，就必须停机检查，或停止使用；机器运行状态正常，则可以继续运行，等等； 这样做，就大大提高机器运彳亍的可靠性，进一步提高机器的利用率 因此，机械故障诊断学是识别机器或机组运行状态的科学，它研究的是机器或机组 运行状态的变化在诊断信息中的反映它的内容包括对机器运行状态的识别，预测和监 视三个方面整个诊断过程如图1 2 所示 图i - 2 机械故障诊断过程 由于机器在装 配后和在运行的过 程中往往无法对它 的关键零件直接测 试，例如，无法直接测 量轴承的间隙和磨 损量，无法直接检测 关键零件裂纹的发 生和扩展等等因此 机器故障诊断中所 采用的检测，监视手 段虽然多种多样，但 诸如噪声和振动的 测定，润滑油中磨损 碎片的测定，温升的 测定，声发射测定等 等都有一个共同的 特点：即它们都是间 接的判断机器运行 状态，都是属于间接 测量之列这样，用这些间接测量所得到的信息作为判断机器运行状态的特征时就带有 某些“不确定性”例如判断机器在运行过程中主轴承的状态，究竟是正常状态还是异 常状态，可选择轴承润滑油作为判断轴承状态的特征油温升高可能是由于轴承运行状 态异常，也可能是由于室温升高，散热减慢。润滑油粘度偏高，或者运行时间较长等原因 因此，我们在判断时就可能出现两类决策错误：一种是把实际处于异常状态的机器误认 为是正常状态：另一种是把实际处于正常状态的机器错认为是异常状态如果我们同时 小波分析及其在机械故障诊断中的应用 用几个特征，例如，油温，润滑油分析帚j 噪声，来监视机器主轴承的运行状态，则判断就较 为可靠但也较为复杂由此可见，正确的识别理论是十分重要的 在识别理论中，首先要明确区分所要识别的状态，提出诊断的对象；其次，要选择检 测的特征。确定这些特征和机器状态之间的关系；第三，要提出决策规则通常，机器的状 态是事先规定的，为了区分正常状态还是损坏状态，应相应的选择一组检测特征如果 将机器状态划分的更细一些，例如将损坏状态分为花键剧烈磨损，；叶片剧烈振动等则 就需要选择另i 组检狈0 的特征因此，状态识别问题也可以称为分类问题 1 3 2 规。械故障诊断技术的现状和发展 机械故障诊断技术最早是在六十年代初期由于航天，军工的需要而发展起来的、 以后逐步攉广到核能设备动力设备和其他一些大型成套设备中去，诸如流体动力机械 ( 如发动机，汽轮机，压缩机和水轮机等) ，加工机械( 如金属切自机床和压力加工机床) ，电 气机械和运输机械，以及压力容器，管道系统中 从发展趋势看，近年在国内外研究的人不断增多，研究的手段和方法日新月异， 七十年代以来，发展尤其迅速，与古老的启蒙时期比较，在诊断方法上已经从感官直接 判断进入到充分利用近代测试，监控技术的阶段各种先进的技术在机械故障诊断中都 找到了用武之地，例如，计算机模拟，动态信息处理，机械图象分析，润滑油样分析，等等， 已经形成了各具特色的流派和分支 从近期看，机械故障诊断的原理和方法将会在些对机械故障十分敏感的领域，例 如飞机发动机，航天，化工机械，船舶发动机等方面首先得到应用，同时也将逐步推广到 其他运行机械行业根据当前开展的情况，下面一些研究方向将会得到迅速发展 在数理统计理论的指导下发展完善的判别方法，在一些关键机械设备上推广故障 树分析技术，制订合理的诊断程序 从时域和频域两个方面发展机械图象分析技术和计算机信息处理，特别是机器振 动和噪声的分析；提高信噪比，改善对故障诊断的灵敏度和可靠性 机器故障的计算机模拟和模型分析方法 典型机器部件( 轴承，齿轮箱，液压系统等) 的失效机理及其在二次信息中的反映， 发展复杂自动化机械系统的在线监控，预警技术和人工智能，专家系统 发展和推广先进的诊断方法例如，直接在液压系统运行过程中在导管外壁采用测 量流量的超声流量计，声发射技术，以及在滚动轴承运行中监视的光纤传感器件等 对小波理论从工程技术角度进行了系统的阐述，以工程技术人员容易理解的概念 与语言来描述闯题，使他们初步领会小波分析的要领 针对一些机械零件的故障，采用小波分析的方法进行了相关特征量的提取和实验 分析并与实际的结果相比较 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章小波分析 2 1 傅立叶分析及其缺陷 2 1 1 傅立叶变换( f o u r i e rt r a n s f o r m ) 任意一个周期为t 的周期函数x ( f ) ，若满足狄里赫利条件，则有下式成立 x q ) = 叩慨 吼= 彳1f x ( f 弦一业州斫 同样，任意一个非周期信号工o ) ，若满足狄里赫利条件，则有下式成立： x ( f ) = 五1 肛姻) e j “如 = r x ( o e j “d t x ( c o ) d t = 一 j “ 傅立叶变换的物理意义：把一个信号分解为一组复指数信号的线性组合对周期信号来 说，复指数信号的幅度为 口七) ，并且在成谐波关系的组离散点k c o 。，k = 0 ，l ，2 ，上出 现对非周期信号而言，这些复指数信号出现在连续频率上，其“幅度”为 x ( c o ) ( a e o 2 x ) 非周期信号x ( 0 的变换x ) 通常就称为x ( r ) 的频谱因为x ( c o ) 告诉我 们这样一个信息，就是x ( f ) 是由怎样的不同频率的正弦信号组成的 2 1 2 傅立叶变换的优点与局限 优点： 1 ) 用于分析的基函数p “是一组正交函数，易于分解，即易于计算各分量的大小 2 ) a k 或x ( 0 2 ) 的物理意义非常明显，是频率为c o 的谐和振动分量，有很大的实用价值， 3 ) 两个信号 ( r ) 及x ( f ) 在时域中的卷积，( f ) = l x ( t ) h ( t - r ) d t 的傅立叶变换f ) 等 于两者变换后频域里的乘积，即f 佃) = r ) h ( ) ，这给在频域中描述振动特性带 来很大计算上的方便 4 ) 对数字信号作离散傅立叶变换已经发展了快速算法f f t ，可以在很短时间内作谱 分析因此有可能做到实时分析 局限： 小波分析及其在机械故障诊断中的应h j j _ - _ _ 一_ _ _ _ 一 为了得到一个频率分量x ) 必须知道f 从- c o ，+ m ) 所有时间的信息实际上 ) 是甜频率分量的一个平均意义上的量由整体波形所决定，也即傅立叶分析不能作局部 分析 例如：设信号x ：( f ) = 一( 卜f ) ，则根据傅立叶变换的时移性质，有邑 ) = p ( ) 虽 然这两个信号的幅值谱i x ：) i = 恤，( 酬，但是时域波形是不一样的 为了能着重分析某一时间段内信号的特点，曾提出了短时傅立叶变换就是给被分 析的时域信号x ( f ) 加“时间窗”，即乘上一个限制时间段的函数g ( f ) 再进行傅立叶变 换，其变换如下x ( c o ，f ) = 【z ( f ) g ( f f ) e 埘出，注意窗函数g ( t f ) 中的r 是可以变动的， 即窗可以在时间轴上移动使工( f ) 逐段进入被分析状态，这样就可以提供在一局部时间 内信号变化快慢程度的特性了但是加窗傅立叶分析仍然有它的局限性干艮显然，此时 得到的频谱x ( c o ，f ) 是z ) 的一种近似有时两者相差很大( 取决于信号的频带和窗的 形状与大小) 而且由于窗的大小和形状是固定的，对变化着的不同时间段只能使用相 同的窗，所以它不能适应信号频率高低的不同要求 例如：设信号而( f ) = 1 ，- - 0 0 f 0 是尺度因子( 基于工程的需要，a = 卜( f ) y + ( t - o d t 卷积：( z ( ，) + y ( | ) ) = j x ( f ) y ( | 一r ) d f = j x ( o 缈+ o f ) d r 两式相比，区别仅在矿o f ) 改成y 0 一，) = 研0 f _ - f ) 】即y ( ，) 首尾对调如果y ( ，) 是关 于t = 0 对称的函数，则计算结果无区别洳非对称，在计算方法上也没有本质区别有些 学者是直接按卷积来定义小波变换的他们所采用的定义是( 是基本小波) ： 暇帆加扣叭刳出 亿z ， 不难证明式2 1 ，2 2 两个定义有密切联系当g c t ) 和y ，( f ) 都是实函数时，如果 ( ，) = 妒( f ) ，贝u 有：阡( 口，r ) = ， t ( d ，+ f ) 小波变换在频域上的特点： 呢( 口，f ) = 尝_ 徊) 妒+ ( 口) ”如证明从略 由此可见：如果妒( 叻是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析 信号x ( 叻频域上局部性质的能力采用不同口值作处理时，各g c a m ) 的中心频率和带 宽都不一样 但品质因数【即( 中心频率) “带宽) 1 却不变总之，从频域上看，用不同尺度作 小波交换大致相当于用一组带通滤波器对信号进行处理带通的目的既可能是分解地 可能是检测( 此时它相当于一组匹配滤波器1 7 ! ：望坌塑垄茎壅垫茎垫堕堡堑! 塑壁里一 2 2 2 小波变换的反演及对基本小波的要求 小波变换区别于某些常用变换( 如傅立叶变换，拉式变换) 的一个特点是没有固定 图2 1 典型小波函数基本分析单元的特点 的核函数但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波矿( r ) 任何变换都必须存在 反变换才有实际意义但反变换并不一定存在对小波变换而言，所采用的小波必须满 足所谓“容许条件”，反变换才存在 容许条件( a d m i s s i b l ec o n d i t i o n ) 当。 二竖! ! ! b m m 时才能由小波变换许互( d ，f ) 反演原函数x ( f ) 此时 。 o 州= ! r d = r 。、r r , ( 口 f ) 去y 睁卜 勺= m j 譬 m ( 2 3 ) 便是对y ( r ) 提出的容许条件由容许条件可以推出：能用作基本小波( f ) 的函数至少必 须满足矿= o ) = o 也就是说矿 ) 必须具有带通性质，且y ( f ) 必须是具有正交交替的 振荡波形，使得其平均值为0 这便是称之为“小波”的原因 正规性条件( i 屯g m a i i t yc o n d i t i o n ) 本来，满足容许条件的眇( ，) 便可以用作基本小波但实际上往往要求更高些，对y ( r ) 还 要施加所谓“正规性条件”，以便矿归) 在频域上表现出较好的局域性能为了在频域 南京航空航天大学硕士学位论文 上有较好的局域性，要求i 阡疋( d ，r ) 随口的减小而迅速减小这就要求( f ) 的前月阶原点 矩= o ，且n 值愈高愈好也就是要求 旷矿( o a t = o ，p = i ，且n 值愈大愈好( 2 4 ) 此要求的相应频域表示是：妒( ) 在国= o 处有高阶零点，且阶次愈高愈好( 一阶零 点就是容许条件) ，即 妒) = ”1 ( c o ) ， = o ) o ，月愈大愈好( 2 5 ) 式2 3 和2 4 就是正规性条件 2 2 3 连续小波变换的计算机实现与快速算法 常用的主要有 数值近似积分 利用调频z 变换进行快速计算 利用梅林变换进行快速计算 因不是本文重点，详细讨论略 2 2 4 几种常用的基本小波 1 ) m o r l e t 小波它是高斯包络下的单频率复正弦函数，性质如下： f 1 时域表达式：y ( f ) = e2 e j 州 频域表达式：y ( o j ) = 2 厅p 如一m ) 2 ，2 有限支撑：时、频域的局部性能都比较好，但严格的说并不是有限支撑 容许条件：严格的说不满足，不过实际工作时只要取5 便近似满足条件 正规性条件：严格的说不满足，但是由于矿洄) 在f - z ) = 0 处频率很小，所以妒徊) 在 = 0 处的一、二阶导数也近似为0 2 ) m a r r 小波( 墨西哥草帽小波) 它是高斯函数的二阶导数( 但是差负号) i z 时域表达式：硝) = ( 1 一r 2 ) p i m | 频域表达式：叭) = 、互玩u z e - q - 有限支撑：时、频域的局部性能都比较好，但严格的说并不是有限支撑 容许条件：满足 正规性条件：在= 0 处j p 徊) 有二阶零点 9 小波分析及其在机械故障诊断中的应用 3 1 h a r f 小波 l + 1 ，o f 的线性组合也就是说，设只z ( ，) 代表 x ( t ) 在v o 上的投影，则必有：矗x ( f ) - - z 丸( r ) 其中x 。是线性组合各权重，其值可如 下来求： = ( 晶川) 缸( r ) ) = 似( ，) ，( r ) ) 佗6 1 昂x ( 0 称为工( f ) 在中的平滑逼进，也就是x 0 ) 在分辨率= o 下的概貌工l o ) 称为x ( f ) 在分辨率j = o t 的离散逼进 子空问k ：如果矿( f ) k ，则根据二尺度伸缩性，庐( 三) 巧而且如果( 丸。( f ) ，i e z ) 是中的正交归一基，则翰。( f ) ，k z 必是k 中的正交归一基因此巧中的任意函数， 例如e x ( f ) , y b 可以表为秭t ( f ) ，七z ) 的线性组合：b x ( f ) = 九( r ) 且权重 x 2 = = ( x o ) ，氟 ( f ) ( 2 7 ) 1 4 塑塞塾窒堕鲞查堂堕主兰垡堡茎一 只x ( f ) 是x ( f ) 在u 中的平滑逼进，也就是z 0 ) 在分辨率= l 下的概貌x 是x ( f ) 在分判f 率- ，= 1 下不离散逼进 子空间彤：如果在子空间e e 能找到一个帝通函数v ( t ) ，其整数位移的集合 ( y ( f 一七) z ) 构成中的的正交归一基，则同样根据二尺度伸缩性，( 圭 e ，且 ( y 。；( f ) = 疆1y ( 主一七) ，t z ) 必构成 彬 中的一组正交归一 基：( f ，( f ) ，y i - ( f ) = a ( k k ) 又由于y ( f ) 是带通函数，所以l 妒( r ) 面= 0 因此中的任意函数必可表为( y 。( r ) ，七z ) 的线性组合也就是说，设d 】x ( f ) 代表x ( f ) 在彤中的投影，则必有：d i 工o ) = d f l ) 。( r ) ，且权重 t d ? = 2 ) 2 度差分关系存在于任意两相邻分辨级_ ，一1 与，之间值得着重指出的是差分 方程中的权重，k 是与j 的具体值无关的，不论对哪两个相邻级其值都相同 2 3 4 由多分辨率分析引出多采样率滤波器组 在以上多分辨率分析中我们引出了对信号x ( f ) 作分析时的离散平滑逼进x p 和离 堕室堕窒墅墨盔兰堡主堂垡丝兰 散细节信号d p 【后者就是二进离散栅格上的小波变换w 7 ：( j ，k ) 】这些离散系数问的 关系还可以用多采样率滤波器的形式表现出来，从而便于采用数字信号处理技术进行 分析 信号分解过程 下面分三步进行这一推导( 证明从略) 1 ) 导出x l 与x ，毹1 间的基本关系，它们是： 离散平滑逼进：= ( i ) x ( 2 12 a ) 离散细节信号：硪1 = 啊( 。”掣 ( 2 1 2 b ) 其帆。娟o ( f ) ，缸( ，) ) = 万1p ( 妒p 叫出 却。( ，) ) = 击p ( 圭) “h ) 曲 2 ) 导出由掣引出，碰1 的网路结构 式2 1 2 a 的电路结构是图2 - 2 ( a ) ，式2 1 2 b 的电路结构是图2 - 3 ( b ) 把此两图合并起 来，得图2 - 3 ( e ) 图中( - | | ) ，h i ( 一七) 就是前面推导中的( 圳，h i ( 圳， 球区卜伊掣 ( a ) 帮区搬一掣 ( b ) ( c ) 图2 3 电路的结构图 3 ) 逐级引伸 可以对嚣作由巧到砭，的类似分解，得2 和硪”，而且可以证明所需电路的结 小波分析及其在机械故障诊断中的应用 构不变，且滤波器的系数仍是：h o ( k ) = h o ( 一k ) ，h = h ( 一k ) 可见：由x 取得2 ，的步骤与由o 取得x ，酬”的步骤完全相同类似结构还可以 重复推演下去各z f 代表分辨率6 t = 2 下的离散概貌信号，也就是该分辨率下对x ( o 的 平滑逼进各力代表分辨率n = 2 下的离散细节信号也就是该分解率下小波变换所 得系数聊：( ，后) 只要( 七) ，h i ( k ) 己知，就可以由x ：逐级求x ： 和d ：”，j = 1 , 2 ，其计 算量远低于前一章的数值积分方法此算法是法国学者m a l l a t 首先提出的，故称为 m a l l a t 算法 用类似的思路不难逆推反演过程( 信号的重建过程) 此处从略 2 3 。5 m a l l a t 算法实现中的初始化问题 在查阅了大量的国内文献后，发现目前大多数应用报道中常常直接用x ( f ) 的采样 序列x ( 七i ) 【简记作x ( k ) 作为x ：”这当然是不严格的 因此本文提出了如下方法： 根据s h a n n o n 采样定理，x ( f ) 与各采样值x ( n ) 间的关系是： x ( f ) = x ( n ) s i n c ( t - n ) ( 2 1 3 ) 又设分解计算的最初输入是x p ，它是x ( f ) 在空间上投影e o x ( t ) 的离散概貌信 号：硝= b ( ，) ( f 一七) 出 把式2 1 3 代入上式得：掣= p ( 月) s i n c ( t - 丹) 庐( ，一七) 西 = z ( 玎) 卜协c ( f n ) ( f 一七) 础 但是按此式严格计算x p 过于繁琐一种折中的近似办法是把s i n c 函数近似看成万函 数，于是上式蜕化成： x ：= x ( 以) p ( ，一一m ( ，一七) 者= z ( 一) 妒( h 一七) ( 2 1 4 ) 我们在实验中加以了应用 壹壅堕窒堕蒌查兰堡主兰焦堡兰一 第三章机械故障诊断的振动监测技术 3 1 压电式加速度传感器 压电式加速度传感器，在振动铡试中应用较广，因为它重量轻，体积小，可测的幅值 范围和频率范围都很大，没有运动部件，坚固耐用 3 1 1 压电效应 从物理学知道，某些晶体介质，受到压力和变形影响时，在它们的表面上产生正负 电荷，在它们的内部有极化出现，当压力去掉后，介质重新回到不带电状态，这种现象称 为晶体的压电效应压电晶体受到载荷作用时，在压电介质表面上产生的电荷为 吼= c 。仃a( 3 1 ) 式中“：晶体的电荷量( c ) ；c ，：晶体的压电系数( c n ) 仃：晶体的压力强度( n m 2 ) ；a ：晶体的工作表面积( m 2 ) 3 1 2 压电式加速度传感器的工作原理 为了使加速度传感器工作于加速度的状态，被测物体振动的频率( 也就是加速度传 感器工作的频率) 厂应该远低于加速度传感器的固有频率 ，即f 当加速度传感 器承受振动时，由于质量块的相对位移就给压电片施加一个可变的力，该力与质量块的 相对位移精确的成比例由于压电效应，在这两个压电片的两端产生一个可变电压，这 个电压与该力成正比，所以也与质量块的相对位移成比例因为f 正，则质量块的相 对位移( 相对于壳体的位移) 和被测振动体的加速度成比例因此加速度传感器所产生 的电压也就与被测物体的加速度成比例此即为压电式加速度传感器的工作原理由上 述可知，若拨测物体振动频率越是低于加速度传感器的固有频率，加速度传感器的测量 精度就越高，为获得足够高的测量精度和足够宽的工作频带，通常总是尽可能的提高压 电型传感器的固有频率 3 1 3 压电式加速度传廖器的主要特性 1 ) 压电加速度传感器的灵敏度 图3 1 压电式加速度 传感器等效电路 表征压电式加速度传感器的灵敏度有两个，一个是电压 灵敏度最伽矿船。2 ) ，另一个是电荷灵敏度s q ( p c m s 。2 1 为了说明这个问题，我将个压电式加速度传感器的电学特 性画成等效电路如图3 - i 所示如前所述，只要满足工作频率 1 9 小波分析及其在机械故障诊断中的应用 厂远远低于加速度传感器的固有频率：| 这个条件，压电片上承受的压力p = 盯一就与 被测振动的加速度a 成正比，即口a zd ，根据式3 1 可知，在压电片的工作表面上产生 的电荷吼也与被测振动的加速度口成比例，即q 。= c x 仃4 * 口= s ，- 口 式中，比例系数s 。就是压电型加速度传感器的电荷灵敏度从图3 1 可以看出，此压电 式加速度传感器的开路电压= 粤，式中，q 为加速度传感器的内部电容量，对于一 l 。 个特定的压电式加速度传感器来说，g 为一确定的值，所以有 s q- p 。= ：d = 6v 日 l d 也就是说压电加速度传感器的开路电压e 。也与被测加速度口成比例，比例系数s 。就是 压电式加速度传感器的电压灵敏度其量纲为m v m s t 2 ) 压电式加速度传感器的频率特性 幻 0 0 10 111 01 0 01 0 0 01 0 0 0 0 f h z 图3 2 压电式加速度传感器的频率特性曲线 传感器的频率特性是指传感器在不同频率下灵敏度的变化特性典型压电式加速 度传感器的频率特性曲线如图3 2 所示，该曲线的横坐标是以对数刻度的频率值，而纵 坐标则是相对电压灵敏度( 用分贝表示) ，所谓相对电压灵敏度，就是被标定的加速度传 感器的电压灵敏度和一个标准电压灵敏度之比 在图3 - 2 中可以看到共振效应该共振效应决定了加速度传感器可以使用的频率 上限无。通常在无。 毋o ，。和：o ) o j ，其各阶导数( 例 如鲁，窘必定是带通函数因为根据傅立叶变换的微分定理，它们的频率特性在 南京航空航天大学硕士学位论文 。= 。处必有零点因此，矿m ( f ) = 警，y 2 ) ( f ) = 塑d t 2 ，都可以用作小波变换的基本小波 把上述两个概念结合起来便可得下述结论： 如果v o ) o ) 是某一低通平滑函数1 9 ( r ) 的一阶导数，则可用y m ( f ) 对j ( f ) 作小波变 换此时小波变换的零点正是等2 o 之点也就是y 。) 的极值点所在 y ( r ) 是x o ) 被目( ，) 平滑后的结果；小波变换的极值点是篆= o 之处，也就是y 的转折点，在极限情况 ( 阶跃) 下它就是阶跃点 如果2 ( f ) 是平滑函数口( f ) 的二阶导数，则可用妒( 2 ( f ) 对x ( f ) 作小波变换此时小 波变换为零之点是爿f ) 的转折点f 型d 皇t 2 = 。1 ；