（数量经济学专业论文）上市公司可转换债券定价及赎回政策研究.pdf

摘要 可转换债券是我国近年来引进的为数不多的西方金融创新产品之一。作为一种 新型金融工具，可转换债券在开拓我国企业融资渠道，扩大投资工具方面可以发挥 十分重要的作用。 本文在研究可转换债券定价的基础上，从衍生证券的或有权模型中推导出可转 换债券的最优赎回策略模型。模型包含公司税收和到期前违约概率的影响，这两个 因素被现有的所有或有权模型忽略。木文的模型不仅可以解释赎回的时机选择，同 时预测到提前赎回和高的息票，低的赎回补偿、分红收入、波动率和公司所得税税 率相关，推迟赎回和高的赎回补偿、分红、波动率和公司所得税税率以及低的息票 相关。对可转换债券的最优赎回策略的研究对转债的定价理论和实践具有重要的意 义，同时，提供给管理者关于可转换债券赎回策略更现实、更有用的指导。 本文从结构上分为五部分。第一部分对国外可转换债券定价及赎回政策的研究 进行归纳总结;第二部分研究可转换债券的定价。本文通过有限差分法研究 卜 市公 司可转换债券的附加条款对转债价值的影响，同时从定价的角度考察了我国可转换 债券的条款设计。第三部分从衍生证券的或有权模型中推导出可转换债券的最优赎 回策略模型，并进行实证应用研究。第四部分析了我国可转换债券市场的发展现状 和风险防范问题。 关键词:可转换债券双因素定价模型有限差分法最优赎回策略 ab s t r a c t c o n v e r t i b l e b o n d i s o n e o f t h e f e w f i n a n c i a l p r o d u c t s t h a t h a v e i n t r o d u c e d i n c h i n a r e c e n t l y . a s a n e w r o l e i n b r o a d e n i n g i ns t r u me n t s . fi n a n c i a l i n s t r u m e n t i n c h in a , c o n v e r ti b l e b o n d m a y p l a y a n i m p o r t a n t e n t e r p r i s e s f i n a n c i n g c h a n n e l s a n d e n r i c h i n g t h e v a r i e t y o f i n v e s t i n g o n t h e b a s i s o f t h e c o n v e r t i b l e b o n d p r i c in g m o d e l s s t u d i e s , t h i s p a p e r d e r i v e r t h e o p t i m a l c a l l p o li c y f o r c o n v e r t i b l e d e b t u s i n g a c o n t i n g e n t - c l a i m s m o d e l . o u r m o d e l i n c l u d e s t h e e f f e c t s o f c o r p o r a t e t a x e s a n d a l l o w s t h e p o s s i b i l i t y o f d e f a u lt p r i o r t o m a t u r i t y , b o t h o f w h i c h w e r e i g n o r e d i n t h e e x i s t i n g c o n t i n g e n t - c l a i m s m o d e l s . o u r m o d e l e x p l a i n s b o t h e a r l y a n d l a t e c a l l s , a n d p r e d i c t s t h a t e a r l y c a l ls w i l l b e a s s o c i a t e d w i t h h i g h c o u p o n a n d l o w c a l l p r e m iu m , d i v i d e n d i n c o m e , v o l a t i l i t y a n d c o r p o r a t e t a x r a t e ; a n d l a t e c a l l s w i t h h i g h c a l l p r e m i u m , d i v i d e n d i n c o m e a n d c o r p o r a t e t a x r a t e , a n d l o w c o u p o n a n d v o l a t i l i t y . t h i s r e s e a r c h o f t h e o p t i m a l c a l l p o l i c y f o r a c o n v e r t i b l e d e b t w i l l b e i m p o r t a n t t o t h e p r i c in g a n d p r a c t i c e o f c o n v e r ti b l e d e b t a n d g i v e s t h e m a n a g e r a m o r e r e a l i s t i c a n d u s e f u l g u i d a n c e o f t h e c o n v e r t i b l e b o n d c a l l . t h i s p a p e r i s d i v i d e d i n t o f i v e p a r t s . t h e f i r s t p a r t s u m m a r i z e s t h e f o r e i g n s t u d i e s o f c o n v e r t i b l e b o n d p r i c i n g a n d c a l l p o l i c y . t h e s e c o n d p a r t s t u d i e s t h e p r i c i n g o f c o n v e r t i b l e b o n d . t h e v a l u a t i o n e f f e c t s o f c o n v e rt ib l e b o n d c a l l a n d p u t a r e q u a n t i f i c a t i o n a l l y s t u d i e d b y u s i n g l i m i t e d d i f f e r e n c e m e t h o d . t h e n , t h e a u t h o r a n a l y s e s t h e d e s i g n i n g o f c o n v e rt i b le b o n d b a s e d o n t h e p r i c i n g o f c o n v e rt ib l e b o n d . i n t h e t h i r d p a r t , th i s p a p e r d e r i v e s t h e o p t i m a l c a l l p o l i c y f o r c o n v e r t i b l e d e b t u s i n g a c o n t i n g e n t - c l a i m s m o d e l a n d c o r r e s p o n d i n g e m p i r i c a l s t u d i e s a r e g i v e n . t h e f o u rt h p a rt a n a l y s e s t h e d e v e l o p m e n t a n d r i s k o f c o n v e rt i b l e b o n d m a r k e t o f o u r c o u n t r y ke y wo r d s : c o n v e rt i b l e b o n d t w o - f a c t o r p r i c i n g m o d e l fi n i t e d i ff e r e n c e me t h o d s o p t i m a l c a l l p o l i c y i v 1 序言 1 . 1 论题研究背景、意义 可转换债券 ( c o n v e r t i b l e b o n d ， 简称可转债或转债)， 是一种介于债券和股票之 间的可转换融资工 _ 具。1 8 4 3 年， 美国的n e w y o r k e r i e公司发行了世界上第 一 张 可转换公司债券，之后，可转换债券独特的金融性质逐渐为投资者们所熟悉并受到 了广泛的欢迎。目 前，在美国、欧盟、日本和东南亚等国家和地区，可转换债券市 场己经成为金融市场中不可或缺的重要组成部分，为这些国家和地区金融市场的繁 荣和企业竞争力的提升起到了积极的推动作用。 可转换债券是我国近年来引进的为数不多的西方金融创新产品之一。中国的资 本市场一直存在着股权融资比例过高、投资品种匾乏、金融创新困难等问题，需要 尽快地推出 债券类和权证类的金融产品并完善相关交易市场。而可转换债券市场的 培育和构建，既增加了资本市场中债权融资的比重，同时也为各项金融工具的推陈 出新创造了条件。可转换债券的繁荣和发展将十分有利于中国资本市场的成熟和金 融风险的化解。可转换债券作为一种中间性的投、融资工具，使融资者有新的融资 途径和新的融资市场，使投资者有更多的投资工具和更多的投资选择。采取可转换 债券融资，可以拓宽筹资渠道，实现企业多元化筹资，缓解企业在宏观政策从紧时 面临的资金困难问题。另外，还可改变企业财务结构，使资产负债率趋向合理。 目 前，我国股票市场仍处在一种尚未完全成熟的初级发展阶段，市场的波动特 别大。可转换债券集债权、股权和期权于一身，其独特的金融特性对于回避投资风 险、减少金融市场波动、化解金融风险具有非常重要的意义。如果股市暴涨，可转 换债券持续的转股压力将抑制基础股票价格的进 一 步抬升;如果股市大跌，可转换 债券可以使投资者的损失减小到最少。同时，两个市场的套利机会也有助于股价的 平稳。国外的研究表明，在市场不确定因素加大、股票价格波动加剧的情祝下，购 买可转换债券将是最佳的投资选择。可转换债券市场可以作为一种缓冲机制，为股 市的稳定和金融的安全“ 保驾护航” 。 随着中国正式加入wt o和中国资本市场的进一步开放， 我们必须深入对可转换 债券的理论研究，以保证我国可转换债券市场的健康成长。本文在研究可转换债券 定价的基础上， 从衍生证券的或有权模型中推导出可转换债券的最优赎回策略模型。 在完全资本市场 卜 ，最优赎回政策是当可转换债券的转换价值上升到赎回价格时赎 回可转换债券。这一规则理论上很有吸引力，实际中并不成立。一方面，很多可转 换债券在转换价值大大超过赎回价格时刁被赎回，另一方面，一些可转换债券在转 换价格达到赎回价格之前被赎回。最优赎回策略与实际赎回策略之间的较大偏差， 使人怀疑余融模型的实用性和有效性。由于可转换债券的理论最优赎回策略是在假 设没有交易成本、没有赎回通知、没有公司税收等的前提下推导出来的。所以人们 自 然会怀疑理论最优赎回策略与公司遵循的实际赎回策略的系统性偏差是这些简化 假设所致。本文对可转换债券的最优赎回策略的研究对转债的定价理论和实践具有 重要的意义，同时， 提供给管理者关于可转换债券赎回策略更现实、更有用的指导。 1 . 2 国内外文献综述 b l a c k 和s c h o l e s ( 1 9 7 3 ) 给出了 给定无风险利率和波动率条件下的欧式看涨期权定 价公式，即著名的b l a c k - s c h o le s 期权定价公式。b l a c k - s c h o l e s 的期权定价理论不仅 为衍生产品定价提供了数学处理的范式，更重要的是它的思想可以自 然地扩展到 - 般的衍生产品的定价中来，如b l a c k 和s c h o l e s 在同一篇文章中还讨论了认股权证、 股票、 债券等金融产品的定价 u 但是b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式只能应用于欧式 看 涨期 权， r o ll ( 1 9 7 7 ) 给出 了 美 式 看 跌 期 权的 定 价 公 式 z 1 . c o x , r o s s 和r u b in s te i n ( 1 9 7 9 ) 提出了用非连续的二项式方法计算期权价格的方法，即二叉树模型，该方法可以解 决 美 式 期权的 定 价问 题 3 1 o b a r o n e - a d e s i( 1 9 8 7 ) 针对 连 续时 间 的 情况 分别 给出了 美 式 期权的 近似解析解和数值解4 1 。 这一时期对期权定价的研究使得b l a c k - s c h o l e s 的期 权定价理论与技术被大大的扩展了，主要体现在定价模型、 研究对象、数值模拟上。 在定价模型上，期权定价公式的原始推倒过程中的几个限制性假设已经被放松了。 在现代期权定价中，利率可以是随机的，股价过程可以不是几何布朗运动。在研究 对象 卜 ，几乎所有的金融产品 ( 或者说 所有的不确定性定价)都可以纳入期权定价 的框架中来。公司债务也可以看作标的为公司资产的衍生工具，因此我们可以使用 衍生工具的定价方法对公司的债务进行定价。在数值模拟上，计算机的飞速发展为 金融产品的定价的数值模拟提供了物质保障，有限差分方法、网格方法、有限元力 - 法被广泛地应用到金融产品的定价中来。 最 早将期 权定价方 法运用于可 转换 债券定 价问 题的 是i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) 和b r e n n a n 与s c h w a rt z ( 1 9 7 7 ) 。 他们假定可 转换 债券的 价值仅依 赖于一个标的 变量: 公 司资 产价 值。模型假定公司资产价值的运动满足一个随机扩散过程，然后运用 b l a c k - s c h o l e s 期权定价方法， 采用风险对冲与无风险套利原理导出可转换债券满足的偏微分方程， 根据可转换债券的条款如转换条款、赎回条款等确定可转换债券的价值特征，!_匕 此 确定 偏 微分方 程的 边界 条 件， 最后 利用微分方 程数 值技术计算可转换 债券价 值5 16 1 在他们的模型中，不确定性仅来自 公司资产价值，不考虑利率变化，即假定利率的 期限结构是水平的，因此，他们的模型本质上是单因素模型。对于利率是常数的假 定，普通的期权因为存续期比较短，通常为一年左右， 这一假定不会有太大的问题， 但是对于可转换债券， 它的存续期相对较长， 一般在5 年以上， 有的存续期为2 0 年， 甚至3 0 年，在如此长的时间跨度上，假定利率为常数就有问题，毕竟市场利率是随 机的。 b r e n n a n 与s c h w a rt z ( 1 9 8 0 ) 在单因素模型的 基础上将利率的不确定性引入定价 模型，提出了双因素模型。在这个模型中，即期利率的变化满足 一 定的利率期限结 构模型，公司的市场价值受利率变化的影响，并表现在价值运动的随机扩散部分的 相关性上7 1 o c a r a y a n n o p o u l o s ( 1 9 9 6 ) 还发展了这一模型，并做了经验检验。 c a r a y a n n o p o u lo s ( 1 9 9 6 ) 和b r e n n a n 与 s c h w a r tz ( 1 9 8 0 ) 模型 的 不同 之 处 在与 利率 模型 的 选用上， b r e n n a n 与s c h w a r t z ( 1 9 8 0 ) 使用的是v a s i c e k 模型，而c a r a y a n n o p o u l o s 使 用的 是c o x - i n g e r s o l l - r o s s 模型。由 于v a s i c e k 模型和c o x - i n g e r s o l l - r o s s 模型 都是通 过假定即期利率的运动形式来拟合利率的期限结构的，所以得出的利率期限结构与 现实期限结构之间存在差距。因此，这两个模型得到的债券定价与实际债券的市场 价格有差距， 这样可转换债券的定价也就会出 现理论上的缺陷 8 1 。 为了 测量可转换债 的 信用风险， t s i v e r i o t i s 与f e m a n d e s ( 1 9 9 8 ) 将股票价格作为随 机变量， 并在无风险利 率的 基础上加上了一 个利率的 信用价差19 1 2 0 世纪9 0 年代以来， 可转换债券定价有了 些新的尝试， 但是并不很成功。 如 h o 和p f e f f ( 1 9 9 6 ) 的定价模型为:可转换债券的 价格= 投资价值+ 欧式认股权证价值 一强制转换价值。理论上讲，定价模型的这种发展并不见得高明。因为可转换债券 的所有条款是作为整体存在与可转换债券的价值中。 这些组成部分的价值是交叉的， 从严格意义上不存在这种价值关系 。 。但是，这一阶段有一个重要的发展是 mo n t e c a r l o 方 法以 及m o n t e c a r l o 和g a ( g e n e t i c a l g o r i t h m s ) 遗传算法结 合在金融产品 定价 中的运用。由于可转换债券的所有条款都与股价的演化过程相联系在一起，也就是 以时间为变量，同时， 可转换债券的期权部分是美式期权，具有提前执行的或有性， 在数值求解上为典型的自由边界问题，因此， 运用m o n t e c a r l o 方法可以说是 “ 面向 对象”数值方法，尤其是与遗传算法结合后，可转换债券的数值解求解变得更加准 确，因为遗传算法较好的处理了可转换债券的 最优策略问 题 1 可转换债券包含的其他期权，如赎回、回售期权等增加了可转换债券定价的复 杂性。大多数可转换债券是可赎回的。如何让可转换债券以最优的方式转换为公司 股票是一个很重要的决策，否则将会损害公司的股权价值。在完全资本市场上，最 优赎回政策是当u j . 转换债券的转换价值上升到赎回价格时赎回可转换债券。实际经 验表明，上而的最优赎回策略与公司实际奉行的赎回策略存在系统性的差异。一力 - 面，很多可转换债券在转换价值大大超过赎回价格时才被赎回，另一方面，一些可 转 换 债 券 在 转 换 价 格 达 到 赎 回 价 格 之 前 被赎回。 i n g e r s o l l( 1 9 7 7 b ) 选取了1 9 6 8 - 1 9 7 5 年 发行可转换债券的上市公司1 7 9 个，对它们的赎回策略进行实证分析， 结果发现除了 9家公司例外，其余所有公司的赎回都推迟了很长时间。me d i a n公司一直等到它的 可转换债券的 转换价值超过赎回价格4 4 个百分点才 一赎回 1 2 1 。 个别例子的考查能够解 释某些悬殊的原因。例如，其中的两家公司没有到达最优点就赎回可转换债券，其 目的是在兼并行为发生之前简化它们的资本结构。但是，推迟赎回可转换债券的整 体趋势是不可忽视的。 最优赎回策略与实际赎回 策略之间的较大偏差， 使人怀疑金融模型的实用性和有 效性。由于可转换债券的理论最优赎回策略是在假设没有交易成本、 没有赎回通知、 没有公司税收等的前提下推导出来的。所以人们自 然会怀疑理论最优赎回策略与公 司 遵循的实际赎回策略的系统性偏差是这些简化假设分析所致。从 7 0年代到 8 0 年 代，许多财务分析专家致力于解释这个使人感到困惑的问题。很多人企图根掘经验 证明 修正理论土的 最优赎回 政策， 通常的 做法是放宽i n g e r s o l l 模型的 基本假设条件。 一个简单解释模型认为推迟赎回的真正动机在于规避迫使转换失败以及由此产生的 公司财务危机成本和违约风险。如果在通知期间股票价格下降，导致通知期未可转 换债券是虚值的，即可转换债券的转换价值低于它的赎回价格、那么迫使转换失败。 债权人接受现金付款，公司必须筹集资金支付给他们。如果公司在不完全资木市场 上借款是昂贵的， 或者说如果公司正处于整顿阶段，现金支付与资本需求发生冲突， 其筹资成本将会相当高。那么筹措这笔资金将会给公司造成巨大的则务风险。财务 危机成本包括破产成本、违约成本、很短的通知期内筹资的成本等 j o h a r ri s和 r a v iv ( 1 9 8 5 ) 利 用 不 对 称 信息 ) , j a ff e e 和s h le i f e r ( 1 9 9 0 ) 利 用 再 融 资 成 本 来 解释 一 此，.j- 转 换 债 券 推 迟赎 回的 原 因 1 a a s q u i th ( 1 9 9 5 ) 将赎 回 公 告 期限 和i n g e r s o l l 模型 相结 合 来解释赎回的推迟和提前。他们的模型包含一定的经验性，但是他们没有对 一 这种检 验 性 进 行 检 验 ，“ 。 a s q u it h 和m u ll in s ( 1 9 9 1 ) 的“ 现金 流 假 设” 利 用 现 金 流( 包 含 税后 息票支付和转股的分红支付)来解释赎回的推迟和提前。他们的模型某种程度上并 不完善，因为他们忽略了赎回时的支付 ( 转换价值和赎回价格) 。而巨，现金流假设 不能解释为 什么有些可转换债券在具有现金流优势( 即 转股的分红支付大于转券的税 后息票支付) 时推迟赎回可转换债券 ; 1 1 . 3 研究的内 容、方法及创新处 本文采用有限差分方法对可转换债券的定价进行研究，同时定量考察了 赎回、 回售条款等美式期权对可转换债券价值的影响。然后，结合我国实际，从定价角度 考察我国可转换债券的条款设计。在此基础上，本文从或有权模型中推导出可转换 债券的 最优赎回 政策。 该模型类似于i n g e r s o l l ( 1 9 7 7 a ) 和b r e n n a n与s c h w a r tz ( 1 9 7 7 a ) 的模型。本文的模型包含公司税收和到期前违约概率的影响，这两个因素被现有的 所有或有权模型忽略。因为债券的税收庇护，所以公司税收可以影响赎回政策，使 得赎回推迟。到期前的违约概率也会影响公司的赎回政策。假定公司破产，公司股 票的价值为零公司为了提前破产， 可能提前赎回可转换债券。违约风险对于可转换 债券是很重要的。本文的模型不仅可以解释赎回的时机选择，同时预测到提前赎回 和高的息票，低的赎回补偿、分 i_ 收入、波动率和公司所得税税率相关，推迟赎回 和高的赎回补偿、分红、波动率和公司所得税税率以及低的息票相关。 最后，本文对我国可转换债券市场的发展进行调查研究并对可转换债券的风险 防范问题进行讨论。 2 可转换债券的定价研究 2 . 1 可转换债券的定义和结构特征 根据我国国务院2 0 0 1 年4 月颁布 _ 卜 市公司可转换公司债券实施办法规定: 可转换债是指发行人依照法定程序发行，在一定时间内依据约定条件可以转换成股 份的公司债券。 这里“ 发行人” 是指上市公司或改制后的股份公司; “ 约定条件” 指发行 时订立的转换期限、转换价格等条款;“ 股份” 是指发债公司的普通股票。 可转换债券是一种混合型的金融产品， 它既包含了 普通债券的特征，也包含了 权益特征。对于标准的可转换债券，在价值形态上，可转换债券赋予 投资人一个保 底收入，即债券息票的支付与到期本金偿还构成的普通付息债券的价值，同时还赋 予投资人在股票上涨到一定价格的条件下转换成发行人普通股票的权利，即看涨期 权的价值。对发行人而言，为了在公司股价上涨或者市场环境发生变的情况下实现 低成本融资，发行人可在一定的条件下行使赎回权利，即发行人提前赎回的权利。 对投资人而言，在股票价格大幅下跌超过一定幅度时，可以行使回售权力，将债权 回售给发行企业。因此，可转换债券的价值形态极其复杂，对可转化债券的定价无 沦从理论上还是从实践上极具挑战性，通常只能给出一个数值解。总体 匕 可转换债 券具有下述典型特征: ( 1 ) 可转换债券隐含了转换期权、赎回权和回售权等美式期权。 ( 2 ) 可转换债券的风险来源:利率期限结构的波动和企业的市场价值。 ( 3 ) 可转换债券的生命结束期:到期、赎回、自 愿转换和违约。 ( 4 ) 企业筹资在前、扩股在后。一次性筹资、逐步牺牲股权 n o 2 .2 可转换债券定价的双因素模型 双因素模型对可转换债券定价的研究可以分为两个方面:一方面考察利率与公 司市场价值的行为模式，以及两者之间的相关性;另一方面利用无风险套利原理， 导出包含利率、公司市场价值等因子在内的双因素定价模型。 6 - 先，给出可转换债券定价的假设条件: 1 ) 证券巾 场是弱势有效市场: z )不存在无风险套利机会; 3 )市场无交易费用或税收; 4 )允许无限制卖空; 5 )在可转换债券有效期内公司无股利支付; 6 )证券交易是连续的; 在交易时间内公司市场价值可看作是个随时i p 1 变化的连续时19 1 变量，并服从下 面的几何布朗运动: d 厂二_ =声 u d t +a r t 艺 v ( 2 . 1 ) 其中 ， 公 司 价值 的 预期 收 益 率p 和 波 动率。 是常 数，d z ， 为 标准 纳 维 过 程。 同样， 利率: 也遵循某种连续时间的随机过程， 但是利率与公司价值的行为模式 之间存在着一定差异。主要表现在前者具有均值回复特性，即:随着时间的推移， 利率呈现出向某个长期平均水平收敛的趋势。当r 较高时，均值回复现象使; 具有负 的漂移率;当r 较低时，则会使; 具有正的漂移率。所以，不易将利率行为描述成类 似于股票的 几何布朗 运动。 针对利率的 均值回复特征， v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) % 提出一个模型， 该 模型认为利率以速率a 被拉向b 水平， 并加入一个正态分布随机项a d x， 其表达式 为:d r = a ( b 一 r ) d t + o d x， 但该 模型 有可能 是 利率为 负 值1 9 1随 后c o x , i n g e r s o ll 和r o s s ( 1 9 8 5 ) 提出 的 模 型 克 服了 这一 缺点， 并 表明 利 率; 的 标 准 差正比 与万2 0 1 o h u l l 和w h it e ( 9 9 0 ) 的 研 究 结 果 也 表明 利 率的 标 准 差为 一 个 变量 2 1 . h o 和l e e ( 1 9 8 6 ) 的 论 文中指出利率行为与风险的市场价格有关2 2 1结合上述的 研究结果， 我们可得出 有 关利率行为的随机模型。 设利率行为满足i t 。 过程 ( i t o p r o c e s s ) ， 遵循下面随机微分 方程: d r = u ( t , r ) d t + c o ( t , r ) d z 2 ( 1 2 ) 其中， 。 ( ， : ) = 了 。 ( ) ; 一 刀 ( t ) ( 2 .3 ) u ( t , r ) = - y ( t ) r + s ( t ) + a ( t , r ) v a ( t ) r 一 at ) ( 2 .4 ) w ( t , r ) 为 利 率的 波 动率， u ( t , r ) 为 利 率的 漂 移 率， a ( r , s , t ) 为 市 场的 风险 价 格， d z , 为 标准纳维过程。 股价与利率之间的 相关性用相关因子p ( r , s , t ) 卜1 _ p _ 1 ) 来描述。 这样就可得: d z 了 = d t ( 2 .5 ) d z 子 = d t ( 2 .6 ) d z , d z 2 = 砂( 2 . 7 ) 结合上述 ( 2 .5 ) ( 2 . 6 ) ( 2 . 7 )又可以得出: d v 2 = 6 2 v 2 d z 子 = v 2 v 2 d t ( 2 .8 ) d r z = c o 2 d z 了 = 0) 2 d t ( 2 .9 ) d v d r 二 v v (w z ,d z , = p c v a x l t ( 2 . 1 0 ) 在经历微小时间段d t 后，当公司资产价值、 可得出 可转债d ( v 十 利率发生微小变动d v d r 时，利用 t a y l o r 定理， 忽略高阶小项， d v , r + d r , t + d t ) 的表达式 dd 一 ad d t+ d d v + d d r + 1 (5 2 d v 2at a v ar 2 a v 2 令 dr2 2 器、 、 将 ( 2 .8 ) ( 2 .9 ) ( 2 . 1 0 )式带入 ( 2 . 1 1 )式，有: ( 2 . 1 1 ) dd = ad +at 黔 。 臀 * 夕 2 。 2f 2 2v + ad dr + 1 (a d 6 2v 2 + a d w 2+ 2p q covar 2 a v ar2器 )dt 由于转券的价值和公司资产的价值包含着布朗运动带来的不确定性， 用转券和公司资产的投资组合消除不确定性，以便运用无风险套利原理。 ( 2 . 1 2 ) 因此考虑运 构造组合: ( 1 ) 买 入 一 分到 期日 为t , 的 可 转 换转 券d , ( 2 ) 卖出 数量为一 : ， 到 期日 为兀的 可 转换 债券d 2 ( 3 ) 卖出 数量为的一 ， 公司资产v 该 组合的 价 值为:i l = d ， 一 o , d , 一 , v ( 2 . 1 3 ) 其 中 ， ， - a d , l a d z . _ a d , 一 。 ， a d z o a r a ra v一a v 根据无风险套利理论，我们可以得到d t 时间后证券组合的价值变化为: d f l = d d , 一 z d d 。 一 , d v= r r l d t ( 2 . 1 4) 将卜 面关于d d d d , , d v 微分方程代入上式，可消除随机项。 整理得到: o d , a t a d z a t + z (a v 2豁 如 2v 2势 +2 p a ( o a叼r + 2 p a c o a不 叨r 一 a zd ,卜 f ad) + rv ,are av 一 rd ,a vor = 一 - 02d 2卜 。 ad)+ rv ?are a v 一 。 21/a vzli a r( 2 . 1 5 ) 方程左右两端等于相同的常数，并且该常数与可转换债券到期时间无关，即 。od + 2 (c zv z 黔 2 p a w v 器一a z d ) + rv d - rd / a vor- a v ar( 2 . 1 6 ) =a ( r , v , t ) 其中，a ( r , v , t ) 为一个仅与; , v , t 有关的常量。表示一类额外的市场风险，可用市场 的 风险价格a ( r , v , t ) 来描述: a ( r , v , t ) = c o ( r , t ) .1 ( r , v , t ) 一 u ( r , t ) ( 2 . 1 7 ) 其中，a ( r , v , t ) 取决于基础变量; , v , t ，与证券性质无关。 将 ( 2 . 1 7 ) 带入 ( 2 . 1 6 ) 得到可转换债券定价的 双因素定价公式2l : 臀 合 (。 2o 2 za + 2 (a =v 2 a d + 2p a (ov a x v ar 一a zd )+ rv ad +57 a v 一 te a ) ar 一 rd (， 18 ) 如果令u 二 。= o ，方程 ( 2 . 1 8 )就演变为可转换债券的单因素模型: o d，a d 1 ， _ ， ， 护d_ -+ r v -+-v- v -一r d =u 0 1 a 厂2 a v0 ( 2 . 1 9 ) 假设无风险证券组合中的可转换债券的面值为f， 息票率为c ，发行公司的股利 支付为b，则可转换债券单因素模型可以改写为: 2 . 3 ad + (r 一 、 ad + 1 v av 2 a 7d- -a v 2 a v z 一 rd + cf 一 0 有限差分方法 ( 2 . 2 0 ) 用基础变量v定义的衍生证券，其价格都满足b l a c k - s c h o l e s 微分方程。不同的 衍生证券只是边界条件不同而已。因此，我们只要解出满足特定边界条件的 b l a c k - s c h o l e s微分方程就可以为行生证券定价。求解偏微分方程的基本方法是有限 差分方法，即将微分方程转化为一系列差分方程后，再用迭代法求解这些差分方程。 为了说明这种方法， 我们考虑如何用它来估算一 个不付红利股票的美式看涨权 该期权必须满足以 下 微分方程: 即_ 即1 ， _ ， a 2 r 一+r l一+一q- 3- =r t a t o s 2 a s , ( 2 21 ) 假设期权的到期f l 为t 。 把现在( 0 时刻) 到期权到期( t 时刻) 分成有限个等问隔的 时 间 段。 假 设 t = t i n， 这 样 总 共 有n + 1 个时 间 点0 , a t ,2 a t - ., n a 假 设s 、为 标 低 股票 可以 到 达的 足 够高 的 股 票价 格。 假 设 s = s m _ i m， 并考 虑m + l 个 股票 价 格: 0 , o s，2 瑟 ， 二 ， s a x 。 我们可以构造 ( n+ 1 ) ( m+ 1 ) 个点的坐标方格，横坐标代表时间，纵坐标代 表 股 价。 坐 标 上 的 点 ( i , j ) 对 应 时 刻ia t 和 股 票 价 格j a s 。 我 们 用 变 量几代 表 点 ( 1 1 ,i ) 的期权价值。本文采用的是有限差分方法的显式解法。 对 于 坐 标 方 格 内 部 的 点 ( i, j ) , 鬓可 近 似 为 : 口 入 关 十 1 。 十 ， 一 关 + ij - 1 2 0s ( 2 . 2 2 ) 对 于of 近 似 为 : o f 关 刊 ， 一 几 a t 4t ( 2 . 2 3) c9 2 f a s2 近似为: 关1 十 . + 众1， 一 : 一 2 人!. ， ( a s ) 2 ( 2 . 2 4) 于f一论， 对护一韶 将 1几 面各式带入 ( 2 .2 1 )式得到: 关 十 1. 1 一 几. 。 十r na i 关 + ;， + ， 一 f + , ,1- , 2 4 s 十 粤 u 2 j 2 ( a s 2 ) f +,j+ i + f +i.j- 1 - 2 f ,_+i., = rf 1 , ; ( 2 .2 5 ) z i 二 0 ,1 . . . n一 1 ，j = 1 , . . . , m一 1 。整ft得到: + b 关 + 1.i + c ; 关 + , + l = 厂 ( 2 . 2 6 ) 。 ， = 冬 ( 。 ， ， 一 。 ) ; 乙 上面的差分方程告诉我们， 几，了 ， 然 后结 合 一定 的 边 界 条 件， 6 i = 1 一 ( 6 2 j 2 + r ) v ，d ( s , t ) :5 m a x ( c p ( t ) , x s )( v 是赎回 触发值，c p ( t ) 是赎回价格) 。 (， ) ， 期 条 件 : d (s ,t)= x s , x s ? f ( 1 + c ) f , x s f ( 4 ) 回售条件:回 售期间内， 如果x s - ( p p ( t ) , x s ) ( v , 是巨 j 售触 发值，p p ( t ) 是赎回价格) 。 以 上关于赎回、 回 售的边界条件适用于无条件赎回、回售。 我国 2 0 0 1 年4 月 卜 市公司可转换公司债券实施办法就 “ 赎回” 一词的含义做出规定: “ 赎回是指公司 股票价格在一段时期内连续高于转股价格达到某一幅度时，公司按事先约定的价格 买回未转换的转券。 ”所以 办法规定的赎回仅指有条件的赎回。这样的话，_ l 述 关于赎回、回售的边界条件就不再适用与我国可转债有条件赎回的定价。对 于 我国 的有条件赎回条款的定价我们可以采用如下公式: f c o n = c b一 b c b( 2 .2 7 ) c b 一 p ( c ) x e ( c b l c ) + ( 1 - p ( c ) ) x e ( c b ic ) ( 2 .2 8 ) 其中， f c o 。 是有条件赎回的 条款价值; c b 是包含赎回条件的可转换债券的价值; b c b 是 不 包 含 任 何 附 加 条 款 的 转 债 价 值 ; p ( c ) 指 赎 回 条 件 成 立 的 概 率 ; e ( ( 州 c ) 指 赎回条件成立时，包含赎回条件的可转换债券的条件期望价格。赎回条件成立的概 率可以 通过mo n t e - c a r l o 法模拟股票价格运动获得。 当股价变化使得赎回条件成立时， 相应的约束生效，然后利用有限差分方法为可转换债券定价。山于赎回条款对投资 者而台，相当于设置了一个收益上限，它对投资者的价值为负。 对于回售条款的计算类似与赎回条款。在假设只有回售条款的情况 下 ，用 m o n t e - c a r l o 方法模拟股票价格运动， 此时转债的价值为: c b 一 p ( p ) x e ( c b i p ) + ， 一 p ( p ) ) x e ( c b ip ) ( 2 .2 9 ) 其中，c b 是包含回 售条款的可转换债券的价值，p ( 川指回售条件成立的概率 e ( c b i p ) 指 回 售 条 件 成 立 时 ， 包 含 回 售 条 件 的 可 转 换 债 券 的 条 件 期 望 价 格 。 回 售 条 款 对投资者相当于一分最低收入保证，对可转换债券价值的贡献为正2 3 1 但是由于 卜 述方法的计算量非常大，所以本文在研究该附加条款对可转换债券 的定价的影响时，我们采用了 4 种近似办法，通过适当调整赎回或回售触发值，将 有条件赎回 ( 回售)转换为无条件赎回 ( 回售) ，从而得到条款的价值。 南京水运条款规定的赎回触发值为当期水运转债转股价的1 3 0 %， 回售触发值为 当期水运转债转股价格的7 0 %时。本文中将赎回触发值调整到v = 1 . 3 5 * 1 2 .0 9 a当 股票价格到达赎回触发值时，转债的持有人以当时的股票价格将可转换债转换为公 司股票。类似的，回售触发值调整为v , = 0 .6 5 * 1 2 .0 9 ，当股票价格到达回售触发值 时，转债的持有人以约定的价格将可转换债券回售给发行公司。 本文采用2 0 0 2 年8 月的五年期的银行存款利率代替无风险利率，r = 2 .7 9 %。 公司股 票的分 红率代替公司资 产的 支付率。 公司股票的 分红率是发债前两年的 平均股利与平均 股价的比 值，s = 3 .0 6 %。取南京机场2 0 0 1 年8 月1 2日 至2 0 0 2 年8 月1 2日的日 股票收 盘价为样本，共获得 2 4 2个数据，采用简单的平均法获得6 = 0 .3 1 4 ，参数估计的量为 、 一 、兴艺 ( r , 一 粉、 了 面， 这 里 。 表 示 第 i 个 交 易 日 股 票 价 格 的 对 数 收 益 率 ， : 表 示 样本期间 股票的平均对数收益率。我们用5年期的债券收益作为贴现率。 此外，根据可 转换 债券的 条 款， 可以 得到: f = 1 0 0 , c = 0 .9 , x = 8 .2 7 , v , = 0 .7 * 1 2 . 0 9 , v = 1 .3 0 * 1 2 . 0 9 。 所以，数值计算的边界条件可以表示为以下形式: 可转换债券在到期时的价值为m a x s , - x , 筑 ， 其中s ， 为t时刻的股票价 格， x = 1 2 .0 9 是转 券买入 期权的 执行 价格， 尽二 9 1 .2 3 8 3 9 是转 债以 无 风险利 率为 折现 率的 到 期 折 现价 值， 因 此:f n ,j = m a x j a s 一 x , b , , j = 0 ,1 , - - m 当股票价格为零时，可转换债券的价值为零，因此: 天 。 = 0 ，i = 0 , 1 , . . . , n 另外，考虑赎回价格时的对各节点可转换债券价值的影响: 在 赎 回 期内 ， 当 股 票 价 格 到 达 赎 回 触 发 值v 后 ， 人 ， 一 f ; 在 回 售 期内 ， 当 股 票 价 格 到 达 回 售 触 发 值k 后， 人 ， = v . - 在以上假设条件下，根据模型我们得到以下 可转换债券的发行价格 ( 如表2 . 1 ) o 表2 . 1 可转换债券的发行价格 不考虑赎回和回售条款的定